Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных систем управления тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат физико-математических наук Зубов, Никита Иванович

• Зубов, Никита Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зубов, Никита Иванович

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность проблемы и общие формулировки рассматриваемых в работе задач.

2. Обзор литературы по теме исследований

3. Цели и основные результаты исследований

ГЛАВА 1. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ.

1.1. Об устойчивости в целом решения х = 0 линейной нестационарной системы.

1.2. Об эквивалентности условий устойчивости квазиподобных систем.

1.3. Синтез абсолютно устойчивых систем управления. Устойчивость системы при возмущении правых частей

1.4. Задача о движении объекта по заданной траектории.

ГЛАВА 2. ВОПРОСЫ О СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНОГО ДВИЖЕНИЯ БЫСТРОХОДНОГО

МОРСКОГО СУДНА.

2.1. Математическая модель движения быстроходного морского катера

2.2. Замкнутая система управления быстроходным катером.

2.3. Алгоритм функционирования системы управления движением.

ГЛАВА 3. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ БЫСТРОХОДНЫМ

МОРСКИМ СУДНОМ ПО ДИФФЕРЕНТУ.

3.1. Оптимальный закон изменения дифферента и обеспечивающее его программное управление

3.2. Синтез стабилизирующего управления.

3.3. Результаты компьютерного моделирования синтезированной системы

3.4. Варианты применяемых квадратичных форм.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические методы анализа и синтеза линейных нестационарных систем управления»

1. Актуальность проблемы и общие формулировки рассматриваемых в работе задач

При решении задач анализа, синтеза, компьютерного и имитационного моделирования систем управления динамическими объектами достаточно часто встречаются ситуации, когда в качестве математических моделей объектов выступают линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений. Часто практически значимые ситуации осложняются необходимостью учета нелинейных ограничений, определяемых возможностями реализации управляющих воздействий. Следует отметить, что в технических приложениях широко используются методы, базирующиеся на «замораживании» коэффициентов с последующим рассмотрением объектов как стационарных. Однако такой подход далеко не всегда применим при решении конкретных задач, что определяет необходимость в дальнейшем развитии теории и соответствующих вычислительных методов.

Важность этой задачи подчеркивается именами выдающихся ученых, посвятивших ей ряд фундаментальных исследований: A.M. Лётов, В.И. Зубов, А.А. Красовский, В.В. Солодовников, B.C. Пугачёв, А.И. Лурье и многие другие.

Вопросы решения прикладных задач нашли свое отображение в работах Е. А. Барбашина, А. А. Красовского, А. М. Лурье, В. И. Зубова, В. А. Якубовича и других специалистов.

Тем не менее, интенсивное развитие современной вычислительной техники в последние годы определило потребность и предоставило новые возможности в развитии исследований по указанному направлению. Следует подчеркнуть, что проблема еще далеко от своего исчерпывающего решения, поскольку даже для линейных нестационарных систем полный анализ можно провести лишь для весьма частных случаев. Особые трудности возникают при решении задач синтеза нестационарных систем.

Изложенные обстоятельства определяют актуальность работы, направленной на отыскание и исследование класса нестационарных систем, на которые возможно расширить область применимости методов, изначально ориентированных на стационарные объекты.

Не менее важной задачей является учет нелинейных ограничений при синтезе нестационарных систем. Особую актуальность представляет развитие специализированных подходов к решению прикладных задач анализа и синтеза нестационарных систем управления движением, возникающих в судостроении.

Основное внимание в настоящем исследовании уделяется разработке и программной реализации алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарного нелинейного объекта по заданной траектории с одновременным удовлетворением дополнительных требований на качество переходного процесса. Для достижения заявленной цели требуется решить следующие формализованные задачи:

Задача 1. Для систем вида х = А(Ох, Vx0eR\ t>0 (B.l) с матричной функцией A (t), удовлетворяющей условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, выделить класс матриц A(t), для которого вопрос об асимптотической устойчивости нулевого решения определяется только свойством гурвицевости матрицы А(/) в любой момент t > 0.

Задача 2. Для систем вида (В.1) с матрицей, представленной в виде А(/) = В(0 + В7(0, где Br(0 = Br(f + T), Т>0, выделить класс матриц В(/), для которого вопрос об устойчивости системы (В.1) определяется мультипликаторами матрицы монодромии системы у = Вг(0у.

Задача 3. Для абсолютно устойчивых систем управления вида: х = D(Ox + b(t)<p{S), D(0 = A(/) + b(Os*(0,

S — c*(f)x, (B.2) р{8)еФ = [(р:(реС, \<p\<k<°°, (p{S)8>0 при 5*0; <p(0)e [-&;&]}, где D(/) - матрица, принадлежащая классам, указанным в задачах 1 или 2 (ее гурвицевость для любого t > 0 обеспечивается заданием вектора s линейной части обратной связи), выбором вектора c(t) и функции ф(д) е Ф добиться устойчивости нулевого решения с одновременным выполнением условия

W(x) —>min. Здесь W(x)>0 при х^О - некоторая положительно определенен ная функция фазовых координат.

Задача 4. Для систем вида (B.I), (В.2), подверженных постоянно действующему аддитивному возмущению г(t) в правых частях, определить свойства системы, при которых решение будет устойчиво по отношению к возмущениям, принадлежащим некоторым заданным пространствам.

Задача 5. Для систем управления по состоянию со вполне управляемым объектом при каждом фиксированном t > t+, U < требуется определить свойства матрицы A it) и вектора b(f), при которых условия устойчивости системы x = (A(0 + b(0s*(0)x (В.З) и системы у = Т-1 (А(0 + b(Os* (t ))Ту, (В .4) где у = Т1х, T(f) - матрица управляемости для системы (В.З), совпадают.

Задача 6. Реализовать теоретические результаты, полученные при решении задач 1-5, для анализа и синтеза системы управления движением быстроходного морского глиссирующего судна.

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Зубов, Никита Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Содержание диссертационной работы составляет рассмотрение комплекса вопросов, связанных с анализом условий устойчивости линейных нестационарных систем и синтезом на этой основе систем управления, стабилизирующих движение некоторого объекта по наперед заданной траектории.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на выявление простых достаточных условий асимптотической устойчивости нулевых решений линейных нестационарных систем. Целью также является разработка и программная реализация алгоритма управления, обеспечивающего движение нестационарных объектов с учетом нелинейностей в приводе исполнительных органов. При этом должно быть обеспечено движение по заданной траектории с желаемым качеством переходных процессов. Предлагаемые подходы должны быть адаптированы для решения прикладных задач по управлению движением морских судов.

В соответствии с поставленными целями, центральное внимание в работе уделено следующим направлениям исследований:

- среди класса линейных нестационарных систем выделены такие системы, для которых вопрос об устойчивости в целом может быть решен на основании критерия Рауса-Гурвица, применяемого для моментов времени t>t,, где tt<°°- некоторое число;

- среди аналогичного класса систем выделены системы, для которых вопрос об устойчивости можно решить аналогично системам с Т-периодической матрицей;

- для абсолютно устойчивых систем, на классе допустимых управлений, синтезировано управление, обеспечивающее оптимальное демпфирование некоторой заданной положительно-определённой формы фазовых координат системы; исследованы вопросы устойчивости возмущённых нестационарных систем с возмущениями из некоторого заданного класса; для вполне управляемых по Калману при каждом фиксированном t > О систем управления выделены такой класс, для которого задача поиска стабилизирующего управления решается аналогично линейному стационарному случаю; обеспечена программная реализация полученных в работе теоретических результатов с использованием современных компьютерных технологий.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Применение второго метода Ляпунова позволило выделить классы линейных нестационарных систем, для которых анализ устойчивости можно выполнять аналогично стационарным системам.

2. Определены классы матриц А (О и векторов распределения управления bit), которые допускают распространение методов синтеза стабилизирующих управлений стационарными системами на нестационарный случай.

3. Разработан метод синтеза абсолютно устойчивых нестационарных систем с учетом разрывных нелинейностей в приводе управляющих органов.

4. На множестве допустимых разрывных управлений (pier) е О определена функция ф0{сг), обеспечивающая устойчивость нулевого решения и оптимальность по отношению к демпфированию заданной функции.

5. Предложен метод анализа устойчивости рассматриваемых систем по отношению к внешним возмущениям из определенных классов.

6. Разработан и реализован в программном виде для реального масштаба времени алгоритм стабилизации движения системы относительно заданной траектории.

7. Выполнены практические расчёты для быстроходного морского судна, демонстрирующие работоспособность и эффективность разработанных в диссертации теоретических положений и вычислительных методов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зубов, Никита Иванович, 2003 год

1. Айзерман М. А. Пятницкий Е. С. Основы теорем разрывных систем. М.: АиТ, 1974 №7 стр. 33-47, № 8 39-61.

2. Ахматгалиев И. И. К теории устойчивости движения. Казань: ПММ,1977.

3. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука 1967.

4. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука 1970.

5. Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. Об устойчивости движения в целом. Известия АН СССР. N 3,1952.

6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

7. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1975.

8. Боднер В.А. О выборе оптимальных параметров регулируемых систем. М.: Оборонгиз, 1953.

9. Бородай И. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. Л.: Судостроение, 1969.

10. Веремей Е.И. и др. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. -370 с.

11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1969.

12. ДидукГ. А. и др. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления. М.: Наука, 1984.

13. Дмитриев С.П., Пелевин А.Е. Задачи навигации и управления при стабилизации судна на траектории. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2002. 160 с.

14. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы устойчивости движения. М.: ПММ, вып. 2 1951.

15. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

16. Жабко А. П., Харитонов В. Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. 320 с.

17. Зубер И. Е., Якубович Е. Д. Некоторые вопросы дифференциальных уравнений в решении прикладных задач. Тула: ТЛИ 1982.

18. Зубер И. Е. Монотонная стабилизация нелинейных объектов управления. М.: ИЛУ, 1992

19. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем. // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. Сер. 1. СПб., 2000.

20. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

21. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л., Машиностроение, 1974.

22. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа. 1979.

23. Зубов В. И. Теория оптимального управления судном и другими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1966, 352 с.

24. Зубов В. И. Динамика управляемых систем. М.: Высшая школа, 1982, 286 с.

25. Зубов Н.И. Об устойчивости в целом нулевого решения системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. математика, механика, астрономия. — СПб., 1999.— 11 с. — Деп. в ВИНИТИ 16.12.99.

26. Зубов Н.И. Стабилизация линейных нестационарных систем управления с обратной связью по состоянию // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXI научной конференции ф-та ПМ-ПУ. — СПб., 2000. С. 64-67.

27. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

28. Кожинская Л.И., Ворновицкий А.Э. Управление качеством систем: синтез систем управления с заданным качеством методами модального управления. М.: Машиностроение. 1979.

29. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. М.: Физматгиз, 1959.

30. Красовский А. А. Системы автоматического управления полётом и их аналитическое конструирование. М.: Наука. 1973.

31. Красовский А.А., ред. Справочник по теории автоматического управления. М.: Наука, 1987.

32. Крейн М. Б. Лекции по устойчивости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Киев: АН УССР. 1954

33. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М.: Машиностроение. 1976.

34. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Стабилизация систем управления при помощи построения функции Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1985

35. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова.

36. Лефшец С. Устойчивость нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука 1967.

37. Лётов А. Н. Аналитическое конструирование регуляторов. М.: Автоматика и Телемеханика №4, 5, 6. 1960.

38. Лётов А. М. Математическая теория процессов управления. М.: Наука,1981.

39. Лётов А. М. Динамика полёта и управление. М.: Наука, 1969.

40. Лукомский Ю. А., Чугунов В. С. Системы управления морскими подвижными объектами. Л.: Судостроение, 1988.

41. Лурье А. Н. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. М.: Гостехиздат. 1951.

42. Лурье А. Н. Прямой метод Ляпунова и его применеие в теории автоматического регулирования. М.: Труды II всесоюзного совещания. Изд. АН СССР. 1955.

43. Ляпунов A.M., Общая задача об устойчивости движения.-М.:Гостехиздат, 1950.

44. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.; Л., 1935

45. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.; Л., 1952.

46. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.М.: Наука,1971.

47. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: Огиз, Госуд. изд-во технико-теор. лит. 1947. 448 с.

48. Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

49. Петров Ю. П. Вариационные методы теории оптимального управления. Д.: Энергия, 1977.

50. Петров Ю. П. Оптимизация управляемых систем, испытывающих воздействие ветра и морского волнения. JL: Судостроение, 1973.

51. Прасолов А. В. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1995.

52. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. М.: Наука, 1971.

53. Пугачёв В. С. Статистические методы в технической кибернетике. М.: Наука, 1971.

54. Ремез Ю. В. Качка корабля JL: Судостроение, 1983.- 328 с.

55. Рязанов Ю.А. Проектирование систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение, 1968.

56. Смирнов Е. Я. Стабилизация программных движений. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997.

57. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем управления. М.: Физматгиз, 1960.

58. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип сложности в теории управления. М.: Наука, 1977.

59. Справочник по теории корабля: В 3 т. / Под ред. Войткунского Я.И. JL: Судостроение. 1985.

60. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. М.: Наука, 1985.

61. Фомин В. Н. Методы управления линейными дискретными объектами. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

62. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М.: Наука 1965.

63. Якубович В. А., Леонов Г. А., Гелик А. X. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. М.: Наука, 1978.

64. Якубович В. А., Старжинский В. М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука 1987.

65. Bellman R. Kronecker Products and the second method of Lyapunov Calculus with Applications, Halsted Press, New York, 1959.

66. Brigland T. Some remarks to the stability of linear systems. JEEE, 1963, CT-10

67. Deza E. Ganthier J. A simple and robust non-linear estimator. CDC Conference, Brighton, p. 531-533.

68. Hahn W. Theory and Applications of Lyapunov Second Method, Berlin.

69. Kalman R. E. On the stability of time-varying linear systems./ JRE, CT-9,1962

70. Modern approaches to control system design / Ed. N. Nunro. London; New York: P.Peregrinus, 1979.

71. Nemirivski A., Gahinet P. The Projective Method for Solving Linear Matrix Inequalities // Proc. Americ. Contr. Conf., 1994, pp. 840-844.

72. Zadeh L. A. On stability of linear varying-parameters systems. // Appl. Phisics. Contr. Conf., 1951.