Математическая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов на базе несимметричной физической теории пластичности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Волегов, Павел Сергеевич

• Волегов, Павел Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волегов, Павел Сергеевич

Обозначения и сокращения

Введение

1. Подходы и методы исследования неупругого деформирования моно- и 16 поликристаллических материалов

1.1. Обзор экспериментальных исследований неупругого 16 деформирования моно- и поликристаллов

1.2. Физические теории пластичности

1.3. Многоуровневые модели для описания деформирования и 30 эволюции микроструктуры моно- и поликристаллов

2. Конститутивная модель неупругого деформирования поликристалла 35 2.1. Структура двухуровневой конститутивной модели

2.2. Несимметричные меры напряженного и деформированного 39 состояния

2.3. Несимметричный закон упругости на мезоуровне

2.4. Описание процессов разворотов кристаллической решетки 54 материала и фрагментации

2.5. Согласование определяющих соотношений мезо- и макроуровня

3. Описание упрочнения в моно- и поликристаллах

3.1. Обзор теорий упрочнения, их классификация

3.2. О физических механизмах упрочнения

3.3. Описание неориентированного упрочнения

3.4. Описание ориентированного упрочнения

4. Моделирование некоторых технологических процессов: постановки, 91 алгоритмы, анализ результатов

4.1. Система уравнений несимметричной физической теории 91 пластичности ГЦК-моно- и поликристаллов

4.2. Алгоритм численной реализации модели

4.3. Идентификация и верификация модели на примере 99 деформирования монокристалла

4.4. Одноосное напряженное состояние. Моделирование осадки

4.5. Упрочнение моно- и поликристаллов

4.6. Стесненная осадка

4.7. Равноканальное угловое прессование 125 Заключение 128 Литература

СОКРАЩЕНИЯ

ДОН - дислокация ориентационного несоответствия ЗГУ - зернограничное упрочнение

ИТН - изображающая точка нагружения в пространстве напряжений ИПД - (процессы) интенсивной пластической деформации КСК - кристаллографическая система координат ЛК - (дислокационные барьеры) Ломера-Коттрелла

ЛСК - лабораторная система координат (единая для всех конфигураций декартова ортогональная система координат)

МДТТ - механика деформируемого твердого тела

МСС - механика сплошной среды

НДС - напряженно-деформированное состояние

ОС - определяющие соотношения

ПКА - поликристаллический агрегат

ПО - представительный объем

СК - система координат

СС - система скольжения

ФРО - функция распределения ориентаций (КСК зерен в представительном объеме)

ФТТ — физика твердого тела ЭДУ - энергия дефекта упаковки ЭР - элемент ротации

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• )г - обозначение объективной производной

- индексы, обозначающие упругую и пластическую составляющую

Х1Х2Х3 - оси ЛСК ? - время (или его аналог) Е - единичный тензор

Обозначения величин мезоуровня в - число соседних фрагментов К — общее число СС кристалла К„ — число активных СС Мс - критический момент Б — площадь поверхности (фасетки, ЭР, т.д.) у® — пластический сдвиг по СС к т® - касательное напряжение в СС к т^ - критическое напряжение в СС к тдк)- начальное критическое (сдвиговое) напряжение в СС к аи — интенсивность напряжений

Ь<*> - единичный вектор по направлению вектора Бюргерса СС к п ® - нормаль СС к

Ч^ - внешняя нормаль к границе с соседним фрагментом т т - поверхностный момент М - объемный момент г(т) - радиус вектор, проведенный из центра масс ЭР к центру фасетки т О - тензор поворота, совмещающий ЛСК с КСК в - девиатор тензора напряжений Коши с - тензор (четвертого ранга) упругих свойств д - мера деформированного состояния £ - мера скорости деформации а - тензор напряжений Коши (несимметричный)

Обозначения величин макроуровня

N - число зерен представительного объема

Z- мера скорости деформации

2 - мера деформированного состояния

8 - девиатор тензора напряжений Коши

Е - тензор напряжений Коши

С - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов на базе несимметричной физической теории пластичности»

Хорошо известным является факт, что процессы интенсивного пластического деформирования (ИПД) поликристаллических тел не могут происходить без существенной эволюции микро- и мезоструктуры материала. Под эволюцией мезоструктуры здесь понимаются процессы разворотов кристаллических решеток зерен или фрагментов зерен, а также их фрагментация и дробление. Под эволюцией микроструктуры в первую очередь понимаются изменения в дефектной структуре материала, приводящие к существенным изменениям его макроскопических свойств. Попытки построения математических моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры в широком диапазоне воздействий на материал, предпринимаются еще с 30-50-х гг. XX века (Дж. Тейлор, Дж. Бишоп, Р. Хилл, Т.Г. Линь и др.); значительных успехов в описании процессов неупругого деформирования достигли и отечественные ученые (Я.Д. Вишняков, O.A. Кайбышев, В.А. Лихачев, П.В. Макаров, А.Н. Орлов, В.Е. Панин, В.В. Рыбин и др.).

Мезо- и микроструктура материала существенным образом эволюционируют в процессе деформирования. С одной стороны, макронагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.

Так, известно, что практически любая пластическая деформация, за исключением деформации по схеме всестороннего сжатия, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимается неоднородность функции распределения ориентаций (ФРО) [8] решеток зерен в представительном' объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела. Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Существуют примеры как положительного (например, пресс—эффект при прессовании), так и отрицательного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния текстуры на механические характеристики-. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов.

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом [53]. В первом случае в структуру определяющих соотношений- (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих собственно эволюцию мезо- и микроструктуры [20, 21]. Как правило, пр^ этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования, описываемые различными операторами модели материала. В последние десятилетия все большее признание находит второй подход — явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для* этих параметров, называемых внутренними переменными [2, 40, 41, 45]. Необходимо заметить, что при этом история воздействий не отбрасывается — она содержится во внутренних переменных.

Широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах, и появление которых во многом предопределили работы перечисленных выше ученых, будем называть физическими теориями пластичности [50, 53, 137]. Вместе с тем, несмотря на интенсивное развитие в последние годы физических теорий, многие проблемы теорий пластичности, построенных на симметричных мерах напряженного и деформированного состояния, до сих пор остаются неразрешенными: это и внесение не соответствующих кристаллографии систем скольжения в определение (симметричного) ориентационного тензора, и проблемы, возникающие в упругопластических моделях при определении активных систем скольжения, и некоторые другие вопросы [10, 14, 51,139].

В большинстве современных физических теорий, нацеленных на описание процессов разворотов зерен, рассматривается т.н. «материальный поворот» ([93] и др.): для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию; при этом наличие соседних зерен фактически- не учитывается. При описании текстурообразования большая часть исследователей, следуя работе Тейлора [130], определяет тензор спина решетки« как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов. Согласно этой модели зерно представляется заключенным в жесткую оболочку.

Вместе с тем, в литературе [37] имеются многочисленные данные о том, что процессы разворотов связаны и с несовместностью сдвигов по системам скольжения соседних зерен при скольжении дислокаций (В.В. Рыбин, И.М. Жуковский, Н.Ю. Золоторевский и др.). В ряде работ предпринимались попытки рассмотрения в качестве элемента выборки совокупности двух или нескольких зерен [140-144], однако и в этих моделях явного учета несовместности движения дислокаций в соседних зернах нет; предлагаемые модели ориентированы на описание частного случая деформирования — t¡ процесса прокатки. При описании процессов фрагментации, как правило, не рассматривается известный эффект изменения характерных размеров разворачивающихся областей в кристалле, хотя этот эффект также достаточно хорошо описан в физическом металловедении (В.В. Рыбин и др.).

Отдельным вопросом физических теорий является описание упрочнения -как правило, его описывают при помощи так называемой «матрицы модулей упрочнения», при этом вопрос о физике механизмов упрочнения в большинстве работ не рассматривается. Вместе с тем, законы упрочнения отражают изменения в дислокационной структуре деформируемого материала, поэтому в этих соотношениях важно учитывать по возможности большее число механизмов неупругого деформирования на микроуровне.

Таким образом, актуальным является построение математических моделей процессов неупругого деформирования поликристаллов, учитывающих несимметрию мер напряженного и деформированного состояния и описывающих эволюцию микро- и мезоструктуры материала в части разворотов кристаллических решеток зерен, фрагментации и упрочнения.

Целью работы является разработка, исследование и обоснование математической модели неупругого деформирования поликристаллического агрегата, качественно и количественно адекватно описывающую эволюцию микроструктуры и физико-механических характеристик моно- и поликристаллов.

Задачи работы: разработка двухуровневой физической теории неупругого деформирования моно- и поликристалла на базе несимметричных мер напряженного и деформированного состояния, позволяющей описывать в т.ч. внутризеренное и зернограничное упрочнение, процессы обратимых и необратимых разворотов кристаллических решеток, процессы формирования текстуры;

- реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению представительного объема поликристалла.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• Выявлен ряд проблем физических теорий, использующих симметричные меры напряженного и деформированного состояния при описании процессов глубокой пластической деформации: неоднозначность в определении активных СС; внесение в основные соотношения теорий физически необоснованных величин; противоречия в уравнениях баланса при рассмотрении процессов, связанных с интенсивными ротациями кристаллической решетки. Показано, что при использовании несимметричных мер некоторые из проблемных вопросов можно разрешить без введения дополнительных гипотез.

• Разработана структура двухуровневой (макро- и мезоуровни) упруговязкопла-стической физической теории пластичности, использующей несимметричные меры напряженного и деформированного состояния, в рамках которой: о разработан алгоритм определения формы и размеров элементов ротации — объемов материала, в данный момент деформирования испытывающих развороты; о предложен способ описания эволюции ориентаций решеток зерен как следствия несовместности пластических деформаций в соседних элементах ротации, а также несбалансированных усилий на границе элемента ротации вследствие несимметрии тензора напряжений Коши.

• Показано отличие диаграмм нагружения моно- и поликристалла для одинаковых схем деформирования в случае использования симметричной и несимметричной теорий; выяснено, что причиной различия диаграмм могут быть как различия в значениях компонент тензора упругих свойств, так и переход к несимметричной мере скорости деформаций.

• Предложен способ введения в законы упрочнения физических механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 41 рисунок, библиографический список - 150 наименований, изложена на 144 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Волегов, Павел Сергеевич

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

1. Разработана структура двухуровневой математической модели деформирования поликристаллов, позволяющей описывать эволюцию внутренней структуры.

2. На основе анализа некоторых проблем физических теорий пластичности в качестве базовой для модели зерна выбрана упруговязкопластическая модель, использующая несимметричные меры напряженного и деформированного состояния. Последняя модифицирована для учета геометрической нелинейности.

3. В рамках математической модели деформирования на мезоуровне предложен способ описания эволюции ориентаций решеток зерен, учитывающий взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них и несимметрии тензора напряжений Коши; предложена модель для описания фрагментации зерен в процессах интенсивной пластической деформации.

4. Предложены классификация механизмов упрочнения кристаллических тел при пластической деформации и подход к описанию этих механизмов. В качестве иллюстраций предлагаемого подхода рассмотрены три известных эффекта, связанные с упрочнением.

5. Реализован комплекс прикладных проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента по произвольному жесткому нагружению поликристаллического агрегата, в рамках которого поставлена и решена задача о выборе эффективных численных методов и алгоритмов.

6. Реализован алгоритм проверки адекватности математической модели на основе данных натурного эксперимента; результаты моделирования (в т.ч. упрочнение и эволюция функции распределения ориентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке и равноканальному угловому прессованию, удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

В соответствии с поставленной целью выполнены все этапы построения математической модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены вопросы, связанные с разработкой и применением методов и подходов математического моделирования, численных методов и комплексов программ для решения проблемы построения физической теории пластичности поликристалла, учитывающей развороты кристаллических решеток зерен и упрочнение в моно- и поликристаллах, на базе несимметричных мер напряженного и деформированного состояния.

Целью работы являлась разработка, исследование и обоснование математической модели неупругого деформирования поликристаллического агрегата, качественно и количественно адекватно описывающую эволюцию микроструктуры и физико-механических характеристик моно- и поликристаллов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волегов, Павел Сергеевич, 2011 год

1.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. - М.: Наука. 1983. - 280 стр.

2. Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Трусов П.В. Модель пластического деформирования и текстурообразования поликристаллических материалов // Сб. статей 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Екатеринбург: УрО РАН, 2007. С.65-68.

3. Ашихмин В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне //Физическая мезомеханика. — 2002. — Т.5. №3. — С.37-51.

4. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации (600 стр.); 4.2. Конечные деформации (432 стр.). — М.: Наука. Гл. ред. физ,- мат. лит. 1984.

5. Бровман М.Я. Применения теории пластичности в прокатке — М: Металлургия, 1965.-247 с.

6. Вассерман Г. Текстуры металлических материалов, — М: Металлургия, 1969.— 654 с.

7. Вишняков Я. Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах/ Я.Д.Вишняков, А.А.Бабарэко, С.А.Владимиров, И.В.Эгиз М: Наука, 1979. — 344 с.

8. Волегов П.С. Конститутивные модели с внутренними переменными и их применение для построения законов упрочнения для монокристалла. Научные труды Международной молодежной конф. «XXXIV Гагаринские чтения» в 8 томах. Т.1. М.:МАТИ, 2008. С.114-115.

9. Волегов П.С., Никитюк A.C., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // «Вестник ПГТУ», Серия «Математическое моделирование систем и процессов». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. N17. - С. 25-33.

10. Волегов П.С., Трусов П.В. Использование конститутивных моделей с внутренними переменными при построении законов упрочнения для монокристалла // Прикладная математика и механика, сб. науч. статей, № 8 (6) Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. С.11-23.

11. Волегов П.С., Трусов П.В. Несимметричные меры деформаций и напряжений и физическая теория пластичности гцк-поликристаллов // Сборник трудов всероссийской конф. молодых ученых «НПСС-2010» (Пермь, 26-27 ноября 2010). Пермь: ПГУ, 2010. С.67-70.

12. Волегов П.С., Шулепов А.В'. Упругие константы монокристалла в несимметричной физической теории пластичности // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. N1. - С. 19-34.

13. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: Изд-во Томского ун-та. 1988. - 256 стр.

14. Дударев Е.Ф., Почивалова Г.П., Бакач Г.П. Масштабные уровни потери сдвиговой устойчивости на стадии зарождения, формирования и распространения полос Людерса-Чернова// Физическая мезомеханика. 1999. Т.2. №1-2. С.105-114.

15. Жуковский И.М., Рыбин В.В., Золоторевский Н.Ю. Теория пластических ротаций в деформируемых кристаллах // ФММ, 1982, т.54, №1, стр. 17-27.

16. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа. - 1990. -368 с.

17. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. — М.: Изд-во АН СССР. 1963. - 272 с.

18. Ильюшин A.A. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. — М.: Логос. 2004. 388 с.

19. Кайбышев O.A., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. — М.: Металлургия, 1987. -214 с.

20. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука. - 1969. - 420 с.

21. Коттрелл А. Дислокации и пластическое течение в кристаллах М: Ме-таллургиздат, 1958. - 267 с.

22. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах, М: Металлургия, 1965. -292 с.

23. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности// Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7.- М.: Мир. — 1976. — С. 7-68.

24. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. - 512 с.

25. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне//Изв. РАН. МТТ.-1999.-№5.-С.109-130.

26. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне// Физическая мезомеханика. 2003. -Т.6. - №4. - С.111-124.

27. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования// Физическая мезомеханика. 2005 Т.8.— №6 — С.39-56.

28. Мак Лин Д. Механические свойства металлов М: Металлургиздат, 1965. - 432 с.

29. Миркин Л.И. Физические основы прочности и пластичности, М: Изд-во МГУ, 1968.-538 с.

30. Нелинейная механика геоматриалов и геосред. Макаров П.В., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П., Кузнецов П.В., Трубицын A.A., Трубицына Н.В., Ворошилов С.П., Ворошилов Я.С./ Отв. ред. Л.Б.Зуев. Новосибирск: Академическое изд-во «Гео». 2007. 235 с.

31. Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. М.: Металлургия, 1983.-232 с.

32. Орлов, А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. — М.: Высшая школа, 1983 144 с.

33. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. — М.: Металлургия. 1986. - 224 стр.

34. Рыбин В.В., Золоторевский Н.Ю., Жуковский И.М. Эволюция структуры и внутренние напряжения на стадии развитой пластической деформации кристаллических тел// ФММ, 1990, Т.69, вып.1, с.5-26.

35. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. - 592 стр.

36. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

37. Трусов П.В., Ашихмин В.А, Волегов П.С., Швейкин А.И. О физических теориях пластичности и их применении для описания микроструктуры // Современные проблемы термовязкопластичности. Труды II школы-семинара. М.: МАМИ, 2007. С.128.

38. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Двумерная модель пластического деформирования монокристалла // Математические модели и методы механики сплошных сред, сб. науч. статей, Владивосток, 2007. С. 259.

39. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Моделирование формирования текстуры в пластически деформируемом поликристалле // Упругость и неупругость, сб.науч.статей М.: Изд. Москов. ун-та, 2006.- С.242-248.

40. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика, т.12, №3, Томск: ИФПМ СО РАН, 2009. С. 61-71.

41. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности// Физическая мезомеханика. -2010. Т.13, №3. - С. 21-30.

42. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред 2008 - Т.1, № 3 - С. 15-24.

43. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов// Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. —Т. 15. -№3. - С.327-344.

44. Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах // Физическая мезомеханика. 2009. Т.12, №5. - С. 65-72.

45. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбовского университета, Серия «Естественные и технические науки». Тамбов, 2010, т. 15, вып. 3, ч. 1. С. 983-984.

46. Трусов ILBí, Волегов П.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для. описания эволюции микроструктуры поликристалла // Физическая мезомеханика. Томск, 2011. - Т. 14, №1. - С. 19-31.

47. Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зерно-граничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2010. - №2(98). - С.110-119.

48. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. 4.2. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та. - 2008. - 243 с.

49. Урцев В.Н. Анализ текстур кубических поликристаллов М: Уральский региональный центр, 1997. - 160 с.

50. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издат. фирма РАН. 1995. Т.1. 298 стр. Т.2. 320 стр.

51. Черных К. Ф. Введение в анизотропную, упругость, М.: Наука, 1988. -192 с.

52. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И. Исследование поверхности текучести. ГЦК-монокристалла// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». -Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. С.109-110.

53. Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании, металлов // Вестник ПГТУ. Механика. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. - №1. - С. 111-127.

54. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. - 1977.-400с.

55. Янц А.Ю., Волегов П.С. Законы упрочнения в несимметричной теории пластичности // Сборник трудов всероссийской конф. молодых ученых «НПСС-2010» (Пермь, 26-27 ноября 2010). Пермь: ПГУ, 2010. С.242-245.

56. Янц А.Ю., Волегов П.С. Законы упрочнения в несимметричной теории пластичности // XXXIX Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конф. Ч. V. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2010. - С. 147148.

57. Янц А.Ю., Волегов П.С. Упруговязкопластическая модель деформационного упрочнения поликристаллического агрегата: учет зернограничного упрочнения // Молодежная наука Прикамья, сб. науч. трудов. Вып. 11. Пермь: Изд-во ПГТУ, 2010. С.393-398.

58. Alankar A., Mastorakos I., Field D. P. A dislocation-density-based 3D crystal plasticity model for pure aluminum // Acta Materialia. 2009. - Vol.57. — Pp. 59365946.

59. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polyciystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -193(2004). -Pp. 5359-5383.

60. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity// J. of the Mechanics and Physics of Solids. -1996- Vol.44. No.4-Pp.525-558.

61. Arruffat-Massion R. Experiments and modelling of ECAE textures of f.c.c. po-lycrystals/ R. Arruffat-Massion, S. Suwas, L.S. Toth, W. Skrotzki, J.J. Fundenberger, A. Eberhardt // ICOTOM 14 Leuven. Belgium. -2005. - Pp. 839-844.

62. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals// Advances in Applied Mechanics. 1983. - Vol.23. - Pp. 1-115.

63. Asaro R J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals// Acta Metall. 1985. - Vol.33.- No.6 - Pp.923-953.

64. Baczmanski A., Hfaiedh N., François M., Wierzbanowski K. Plastic incompatibility stresses and stored elastic energy in plastically deformed copper// Mater. Sci. Eng.-2009. A 501. - Pp.153—165.

65. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for po-lycrystalline fee materials at low homologous temperatures// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp. 101-126.

66. Barlat F. Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample/ F.Barlat, Duarte J.M. Ferreira, Gracio J.J., A.B. Lopes, E.F.Rauch // Int. J. Plasticity.- 2003.-Vol.19-Pp. 1215-1244.

67. Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal// Acta Mechanica. -1995.- Vol. 113. No. 1-4. - Pp. 185-203.

68. Beausir B. Analysis of texture evolution in magnesium during equal channel angular extrusion / B.Beausir, S.Suwas, L.S.Toth, K.W.Neale, J.J.Fundenberger //Acta Materialia 56 (2008) - Pp.200-214.

69. Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Mater. Sci. and Eng. -2003.-Vol.A345.-Pp. 122-138.

70. Beyerlein I.J:, Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects//Int. J. Plasticity. 2008. - Vol.24. -Pp. 867-895.

71. Bilby B.A., Gardner L.R.T., Stroh A.N. Continuous distributions of dislocations and the theory of plasticity// In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. Bruxelles, 1956. -Universiter de Bruxelles. 1957. - Vol. 8. - Pp.35^4.

72. Bishop J.F., Hill R. A theory of the plastic distortion of a polycristalline aggregate under combined stresses// Phil. Mag. Ser.7. 1951. - Vol.42. -No.327. -Pp.414-427.

73. Bishop J.F.W., Hill R. A theoretical derivation of the plastic properties of a polycristalline face centered metal// Phil. Mag. Ser.7. - 1951. - Vol.42. -No.334.-Pp. 1298-1307.

74. Böhlke T., Risy G., Bertram A. A texture component model for anisotropic po-lycrystal plasticity// Comput. Mater. Sei. 2005. - Vol. 32. - Pp. 284-293.

75. Bunge HJ. Texture analysis in material science. London: Butterworths. 1982.

76. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polyciystals// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol.19 - Pp. 1401-1444.

77. Deshpande V.S., Needleman A., Van der Giessen E. Finite strain discrete dislocation plasticity// J. Mech. and Physics Solids. 2003. - Vol.51. -Pp. 2057 - 2083.

78. Fajoui J., Gloaguen D., Courant B., Guillén R. Micromechanical modelling of the elastoplastic behavior of metallic material under strain-path changes// Comput. Mech. 2009. - Vol.44. - Pp.285-296.

79. Follansbee P.S., Kocks U.F. A constitutive description of copper based on the use of the mechanical threshold stress as an Internal State Variable// Acta Metall. -1988. Vol.36. - Pp. 81-93.

80. Franciosi P. The concepts of latent hardening and strain hardening in metallic single crystals//Acta Metall. 1985. Vol. 33. - Pp. 1601-1612.

81. Franciosi P., Berveiller M., Zaoui A. Latent hardening in copper and aluminium single crystals // Acta Metall. 1980. - Vol.28. - Is. 3 - Pp. 273-283.

82. Franz G., Abed-Meraim F., Ben Zineb T. Strain localization analysis using a multiscale model// Computational Materials Science. 2009. Vol.45. - Pp. 768-773.

83. Gérard C., Bacroix B., Bornert M., Cailletaud G., Crépin J., Leclercq S. Hardening description for FCC materials under complex loading paths// Comput. Mater. Sei. 2009. - Vol.45. - Pp.751-755.

84. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals//Arch. Comput. Meth. Engng. 2004. -11. - No. 1. - Pp. 3-96.

85. Harder, J. FEM-simulation of the hardening behavior of FCC single crystals // ActaMechanica. 2001. Vol. 150-Pp. 197-217.

86. Harren S.V., Asaro R.J. Nonuniform deformations in polycrystals and aspects of the validity of the Taylor model// J. Mech. Phys. Solids. 1989. - Vol.37. - No. 2. -Pp.191-232.

87. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal plasticity// In Handbook ( ^ of Materials Modeling. S. Yip (ed.) Springer: Netherlands. - 2005. - Pp. 1133— \ 1149.5

88. Hutchinson, J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystal-line materials// Proc.R. Soc. Lond. 1976. - 348 (A). - Pp. 101-127.

89. Kadiri H. El, Oppedal A.L. A crystal plasticity theory for latent hardening by glide twinning through dislocation transmutation and twin accommodation effects// J. Mech. Phys. Solids. 2010. - Vol. 58. - Pp. 613-624.

90. Kalidindi S.R., Anand L. Macroscopic shape change and evolution of crystallo-graphic texture in pre-textured FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1994. - Vol.42. -No.3. - Pp.459—490.

91. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1992. - Vol.40. -No.3. -Pp.537-569.

92. Km H.-K., Oh S.-I. Finite element analysis of grain-by-grain deformation by crystal plasticity with couple stress// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol.19. - Pp. 12451270.

93. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold// Int. J. of Plasticity. 2002. - Vol.18. - Pp.715-741.

94. Kratochvil J. A theory of non-proportional cyclic plasticity based on microme-chanical approach// Proc. of IMMM-93. Int. Sem. On Microstruct. And Mech. Properties of New Enineering Mater. Mie Academic Press. - 1993. - Pp. 89-94.

95. Kratochvil J., Tokuda M. Plastic response of polycrystalline metals subjected to complex deformation history// Trans. ASME. J. Engng. Mater. Technol. 1984. -Vol.106.-Pp.299-303.

96. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannun-gen// Arch. Rational Mech. Anal. 1960. -B.4.- S.273-334.

97. Kuhlmann-Wilsdorf D., Kulkarni S.S., Moore J.T., Starke E.A., JR. Deformation Bands, the LEDS Theory, and Their Importance in Texture Development: Part I.

98. Previous Evidence and New Observations//Metallurgical and materials Transactions A 1999 - Vol.30A.September - Pp.2491-2501. 1999.

99. Le K. C., Stumpf H. A model of elastoplastic bodies with continuously distributed dislocations // Int. J. Plasticity. 1996. - Vol.12. - Is. 5 - Pp. 611-627.

100. Lebensohn R.A., Tomé C.N. A self-consistent anisotropic approach// Acta Metall. 1993. - Vol. 41. - Pp. 2611-2624.

101. Lee E.H. Elastic plastic deformation at finite strain// ASME J. Appl. Mech. -1969.-Vol. 36.-Pp. 1-6.

102. Leffers T., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater. Sci. 2008. - Vol. 17. - Pp.98-143.

103. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials// Acta Materialia. 56 (2008) - Pp. 1018-1030.

104. Lin T.H. Analysis of elastic and plastic strains of a face centered cubic crystal// J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - Vol.5. - No. 1. - Pp. 143-149.

105. Mahesh S. A hierarchical model for rate-dependent polycrystals// Int. J. Plasticity. 2009. - Vol. 25. -Pp. 752-767.

106. Masima M. und Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen// Z. Physik. 1928. -B.50. - S. 161-186.

107. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti-6A1-4V// Int. J. Plasticity. 2007. - Vol. 23. - Pp. 1457-1485.

108. Menzel A., Steinmann P. On the continuum formulation of higher gradient plasticity for single and polycrystals // J. Mech. and Physics Solids. 2000. - Vol.48. - Is. 8-Pp. 1777-1796.

109. Méric L., Cailletaud G., Gaspérini M. F.E. calculations of copper bicrystal specimens submitted to tension-compression tests // Acta Metall. 1994. - Vol.42. - Is. 3 -Pp. 921-935.

110. Miehe C. Multisurface thermoplasticity for single crystals at large strains in terms of Eulerian vector updates// Int. J. Solids and Struct. 1996. - Vol. 33. -No.20-22. - Pp.3103-3130.

111. Naghdi P. M., Srinivasa A. R. A Dynamical Theory of Structured Solids. I Basic Developments // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 15 December 1993 vol. 345 no. 1677 425-458

112. Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations// Int. J. Mech. Sci. 1993. - Vol.35(12). - Pp. 1053-1063.

113. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals// Acta Metall. -1953. -Vol.1.-Pp. 153-162.

114. Ortiz M., Repetto E.A. Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals// Journal of the Mechanics and Physics of Solids.1999. Vol. 49. - Pp.397—462.

115. Pan, J., Rice, J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices//Int. J. Solids Struc. 1983. - Vol. 19. - Pp. 973-987. MM

116. Pipard J.-M., Nicaise N., Berbenni S., Bouaziz O., Berveiller M. A new mean field micromechanical approach to capture grain size effects//Comput. Mater, sci. — 2009. Vol.45. - Pp.604—610.

117. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations// Int. J. Plasticity. 2004. - Vol.20. - Pp. 339-361.

118. Rusinek A., Rodriguez-Martinez J.A., Arias A. A thermo-viscoplastic constitutive model for FCC metals with application to OFHC copper // Int. J. Mech. Sci.2000.-V.52.-Pp. 120-135.

119. Shiekhelsouk M.N., Favier V., Inal K., Cherkaou M. Modelling the behaviour of polycrystalline austenitic steel with twinning-induced plasticity effect/Tint. J. Plast. -2009. Vol: 25. - Pp. 105-133.

120. Steck E. A., Harder J. Finite element simulation of local plastic flow in poly-crystals// IVTAM Symposium on Micro- and Macrostructural Aspects of Thermoplas-ticity/ O. T. Bruhns and E. Stein (eds.). 1999. - Pp. 79-88.

121. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effect of strain paths shapes on nonproportional cyclic plasticity // J. Mech. Phys. Solids. -1985. Vol.33. No.6. -Pp.559-575.

122. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Metals. 1938. - Vol.62. - Pp. 307-324.

123. Taylor G.I., Elam C.F. The distortion of an aluminium crystal during a tensile test // Proc. Roy. Soc. (London). 1923. - Ser. A 102. - Pp. 643-647.

124. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminum crystals // Proc. Roy. Soc. (London). 1925. - Ser. A 108. - Pp. 28-51.

125. Tokuda M., Kratochvil J. Prediction of subsequent yield surface by a simple mechanical model of polycrystal// Arch: Mech. 1984. - Vol.36. - No.5-6. - Pp.661672.

126. Tokuda M., Kratochvil J., Ohashi Y. On mechanism of induced plastic anisotro-py of polycrystalline metals// Bull. JSME. 1982. - Vol.25. - No.208. - Pp. 14911497.

127. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition// Int. J. of Plasticity. -1985. Vol.1. - Pp.141—150.

128. Tokuda M., Ohno N., Kratochvil J. Unified constitutive equations for inelastic behaviours of polycrystalline metals based on a semi-micro approach// Proc. Int. Conf. On Creep. Tokyo. -1986. - Pp.411^16.

129. Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution// Physical Me-somechanics, Volume 13, Issues 1-2, January-April 2010, Pp. 38-46.

130. Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. -2010. Vol. 13, Is. 3-4. - Pp. 152-158.

131. Van Houtte P. Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory// Textures and Microstructures. 1987. - Vol.7. - Pp. 29-72.

132. Van Houtte P., Delannay L., Samajdar I. Quantitative prediction of cold rolling textures in low-carbon steel by means of the LAMEL model// Textures and Microstructures. 1999. - Vol.31. - Pp. 109-149.

133. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. 2005. -V.21. — Pp. 589-624.

134. Van Houtte P., Mols K., Van Bael A., Aernoudt E. Application of yield loci calculated from texture data// Textures and Microstructures. — 1989. — Vol.11. Pp. 2339.

135. Van Houtte P., Peeters B. Effect of deformation-induced intragranular microstructure on plastic anisotropy and deformation textures // Mater. Sci. Forum. — 2002. -Pp. 408-412, 985-990.

136. Viatkina E. M., Brekelmans W. A. M., Geers M. G. D. Numerical analysis of strain path dependency in FCC metals// Comput Mech. 2008. - Vol.41. - Pp. 391405.

137. Wang G., Wu S.D. , Jiang Q.W., Wang Y.D., Zong Y.P., Esling C., Zu L. Orientation Evolution During Equal Angular Channel Extrusion of Copper Single Crystal// ICOTOM 14. Leuven. Belgium. - 2005. - Pp. 815-820.

138. Wang H., Beyerlein I.J., LeSar R. Plastic anisotropy in fee single crystals in high rate deformation // Int. J. Plasticity. 2009. - V.25. - Pp. 26-48.

139. Wang H., Wu P.D., Tome C.N., Huang Y.A finite strain elastic-viscoplastic self-consistent model for polycrystalline materials// J. Mech. and Phys. Solids. 2010. - Vol.58-Pp.594-612.

140. Weng G.J. Dislocation theories of work hardening and yield surfaces of single crystals // Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3^. - Pp.217-230.

141. Weng G.J. The yield surface of single crystals at arbitrary strain// Acta Mechanica. 1980.- Vol.37. -No.3-1- Pp.231-245.