Упруговязкопластическая модель для описания деформирования многофазных поликристаллов в неизотермических условиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Кондратьев, Никита Сергеевич

• Кондратьев, Никита Сергеевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Кондратьев, Никита Сергеевич

Содержание

Сокращения и основные обозначения

Введение

1. Подходы, методы, модели исследования неупругого деформирования 15 моно- и поликристаллов, основанные на физических теориях пластичности

1.1. Физические теории пластичности: статистические, прямые, 15 самосогласованные

1.2. Физические механизмы деформирования многофазных мате- 20 риалов

1.3. Описание неупругого деформирования многофазных материа- 27 лов на основе физических теорий пластичности

1.4. Идентификация и верификация физических моделей

2. Конститутивная модель для описания неупругого деформирования 67 представительного объема двухфазного поликристалла

2.1. Структура модели, основанной на использовании внутренних 67 переменных

2.2. Описание механизмов неупругого деформирования монокри- 72 сталла: скольжение краевых дислокаций, двойникование

2.3. Согласование определяющих соотношений соседних масштаб- 82 ных уровней

3. Описание упрочнения моно- и поликристаллов

3.1. Физические причины упрочнения и разупрочнения кристаллов

3.2. Описание упрочнение за счет границ кристаллитов

3.3. Механизмы разупрочнения многофазных материалов и их опи- 111 сание в физических теориях пластичности

4. Моделирование некоторых процессов деформирования: методика, 116 алгоритмы, результаты моделирования

4.1. Система уравнений двухуровневой математической модели

4.2. Алгоритм реализации двухуровневой модели

4.3. Процедуры идентификации и верификации параметров модели 129 на примере ОЦК монокристалла с учетом процесса двойникования

4.4. Результаты моделирования некоторых простых нагружений: 137 одноосное деформирование, стесненная осадка, простой сдвиг

4.5. Анализ влияния температуры на поведение представительного 142 объема двухфазного материала

Заключение

Литература

111 I

II II II II

Сокращения

ВДС — внутризеренное дислокационное скольжение ГНД — геометрически необходимые дислокации ГЦК — гранецентрированная кубическая (решетка) ГПУ — гексагональная плотноупакованная (решетка) ДОН — дислокация ориентационного несоответствия ЗГУ — зернограничное упрочнение ЗГД — зернограничная дислокация КСК — кристаллографическая система координат

ЛСК — лабораторная система координат (единая для всех конфигураций

декартова ортогональная система координат)

МСС — механика сплошной среды

НДС — напряженно-деформированное состояние

ОС — определяющие соотношения

ОЦК — объемно-центрированная кубическая (решетка)

ПКА — поликристаллический агрегат

ПО — представительный объем

РД — решеточная дислокация

СД — система двойникования

СК — система координат

С С — система скольжения

ФТП — физические теории пластичности

ЭДУ — энергия дефекта упаковки

Основные обозначения

2 (а) — тензор напряжений Коши макроуровня (мезоуровня)

D, De, D ", Dth — тензор деформации скорости, его упругая, пластическая и

температурная составляющая (макроуровень)

d, de, dm, 6th — тензор деформации скорости, его упругая, пластическая и температурная составляющая (мезоуровень) Е — единичный тензор второго ранга

П(ю) — (антисимметричный) тензор спина, характеризующий вращение подвижной системы координат на макроуровне (мезоуровне) 6 — тензор Леви-Чивита

П (п) — тензор четвертого ранга упругих свойств макроуровня (мезоуровня)

о

VQ, V(.) — операторы Гамильтона (набла-операторы), определенные в отсчетной и актуальной конфигурациях

й?>(п?>) — единичные векторы направления скольжения и

нормали плоскости скольжения к-й системы скольжения в текущей (отсчетной) конфигурации

Ь2>(Ь2>), п2>(п2>) — единичные векторы направления двойникования и

нормали габитусной плоскости к-й системы двойникования в текущей (отсчетной) конфигурации

т

q — внешняя нормаль границы с соседним зерном т в актуальной конфигурации

0,0 — абсолютная температура (°К) на макроуровне и мезоуровне

(к) (к}

х) ,\s',tcm — сдвиговое напряжение, критическое напряжение сдвига и двойникования в к-й системе скольжения Я(-) —функция Хэвисайда

(•) — скобки Мак-Кэйли {(х) = шах (0, х))

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Упруговязкопластическая модель для описания деформирования многофазных поликристаллов в неизотермических условиях»

Введение

Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования интенсивного упругопластического деформирования поликристаллов свидетельствуют о существенной перестройке мезо- и микроструктуры материала, которая в значительной степени определяет поведение материала на макроуровне. Вследствие этого в последние годы интенсивно развиваются модели для описания неупругого деформирования моно- и поликристаллов, способные учитывать состояние и изменение структуры материала на различных масштабных уровнях. Первые попытки построения таких моделей были предприняты еще в середине XX века в работах Дж. Тейлора, Дж. Бишопа, Р. Хилла, Т.Г. Линя и др. Значительно повлияли и внесли ощутимый вклад на развитие указанного направления советские и российские ученые: Р.З.Валиев, Я.Д.Вишняков, С.Д.Волков, О.А.Кайбышев, В.А.Лихачев, В.Е.Панин, В.В .Рыбин, Т.Д.Шермергор и др.

В последние десятилетия все большое распространение для описания глубоких пластических деформаций находят так называемые физические теории пластичности (ФТП) [26, 46, 64], основу которых составляет явное рассмотрение механизмов и носителей неупругого деформирования на более низких масштабных уровнях, чем представительный макрообъем материала [64]. Основной отличительной особенностью физических теорий от макрофеноменологических является то обстоятельство, что поведение материала рассматривается на нескольких масштабных уровнях, как правило, на двух и более, что позволяет корректно учесть механизмы пластической деформации.

Существует, как минимум, два способа учета эволюции структуры материала на нижних масштабных уровнях: неявно — с помощью операторов (функционалов), как правило, имеющих сложный вид, или посредством подхода, основой которого включение в структуру

определяющих соотношений параметров, отражающих текущее состояние и изменение мезо- и микроструктуры материала [63]. В первом случае достаточно сложно указать физическое содержание используемых соотношений и выделить действующие механизмы неупругого деформирования, соответствующие тем или иным операторам. Второй вариант представляется более перспективным, поскольку позволяет описать микроструктуру естественным образом и явно учесть механизмы пластического деформирования. Для этого в структуру определяющих соотношений вводятся так называемые внутренние переменные [59], характеризующие состояние и эволюцию мезо- и микроструктуру материала. На данный момент неупругое деформирование представительного объема (ПО) поликристаллических материалов в рамках данного подхода, как правило, описывают с применением статистических [60, 158, 165], самосогласованных [94, 95, 111, 129] или прямых [1, 72, 87] моделей.

Несмотря на то, что самосогласованные и прямые модели позволяют получить более точное распределение напряжений и деформаций областей рассматриваемых зерен, применение указанных подходов ограничено в силу больших вычислительных затрат, поэтому наиболее широкое распространение получили статистические модели, а также разновидность прямых моделей, основанных на статистическом подходе [61].

В физических теориях пластичности в настоящее время существует ряд нерешенных проблем, например, отсутствует должное физическое и математическое описание взаимодействия мобильных решеточных дислокаций с границами кристаллитов. Как известно из теоретических исследований (В.В. Рыбин, А.Н.Орлов и др.), на границе кристаллита имеет место резкая смена ориентации решетки, что не позволяет свободно продолжить скольжение дислокациям из одного зерна в другое. Во многих кристаллах, в которых затруднено движение краевых дислокаций, релаксация упругих напряжений может осуществляться путем двойникования. Следует также отметить, что

7

большинство пластических процессов является неизотермическими, а изменение температуры оказывает значительное влияние на формирование структуры материала. Например, при высокотемпературном деформировании возникают эффекты разупрочнения, связанные с процессами рекристаллизации и возврата.

Острым остается вопрос, связанный с разработкой численных алгоритмов реализации этапов идентификации и верификации физических моделей упругопластического деформирования. Требует дополнительного анализа проблема выбора численных методов для осуществления эффективных вычислительных экспериментов при анализе поведения ПО поликристалла при произвольном нагружении, а также проверка адекватности физических моделей на основе данных натурных экспериментов.

Таким образом, актуальной задачей является создание математических моделей для анализа процессов неупругого деформирования поликристаллов, учитывающих эволюцию микро- и мезоструктуры материала, в частности — описывающих взаимодействие дислокаций с границами зерен и различные моды неупругой деформации в неизотермических условиях.

Цель работы — исследование, обоснование, разработка и реализация математической модели для исследования неупругого деформирования представительного объема одно- и двухфазных поликристаллических металлов и сплавов, позволяющей описывать упруговязкопластическое неизотермическое деформирование, в том числе — эволюцию мезоструктуры и физико-механических характеристик кристалла.

Задачи работы:

- разработка на основе физической теории неупругого деформирования моно- и поликристаллов двухуровневой модели, позволяющей описывать как процессы внутризеренного и зернограничного упрочнения, так и процессы разупрочнения при высоких температурах деформирования;

- анализ механизмов неупругого деформирования (дислокационное скольжение и двойникование), разработка процедуры и алгоритмов идентификации параметров математической модели деформирования кристаллов, отвечающих за описания указанных механизмов (в частности — входящих в законы упрочнения материала);

- реализация численных методов и алгоритмов в виде комплекса программ и проведение численных экспериментов по предписанному кинематическому («жесткому») нагружению.

Научная новизна:

- предложена структура двухуровневой, включающей макро- и мезоуровни, модели физической теории пластичности для описания поведения многофазных материалов, в рамках которой:

1) предложен способ описания взаимодействия дислокаций с границами зерен, учитывающий сдвиги в соседних кристаллитах;

2) предложен способ описания процессов разупрочнения при высокотемпературном деформировании многофазных материалов — динамической рекристаллизации и возврата;

- предложен подход к идентификации параметров модели, основанный на физическом разделении действующих механизмов неупругого деформирования;

- разработаны алгоритмы и комплекс программ, реализующих предлагаемую математическую модель.

Структура и объем работы. В диссертационную работу включено введение, список сокращений и основных обозначений, четыре главы, заключение, список цитированной литературы. Диссертация изложена на 169 страницах, содержит 21 рисунок, 3 таблицы и 171 наименование библиографического списка.

Во введении приводится обоснование актуальности исследования, практической ценности решаемой проблемы, краткое изложение содержания диссертационной работы по главам, формулируется цель и задачи работы.

В первой главе представлен обзор актуальных теоретических и экспериментальных исследований описания процессов

упруговязкопластического деформирования однофазных и многофазных поликристаллических тел. Отдельно рассматриваются подходы и методы многоуровневого моделирования в рамках физической теории пластичности. Рассмотрены подходы, методы, модели для исследования неупругого деформирования моно- и поликристаллических материалов. Приведена классификация моделей, основанных на явном рассмотрении физики: статистические, прямые, самосогласованные. Рассматриваются вопросы идентификации и верификации параметров моделей, в основу которых положена та или иная физическая теория.

Во второй главе рассматриваются проблемы построения математической модели упруговязкопластического деформирования ПО двухфазного поликристалла с учетом основных мод и неизотермических условий неупругого деформирования.

В п. 2.1 приводится структура конститутивной модели материала, которая включает определяющие соотношения (уравнения состояния), эволюционные уравнения и замыкающие уравнения. Для описания эволюционирующей мезо- и микроструктуры используются внутренние переменные каждого рассматриваемого масштабного уровня.

В п. 2.2 описаны основные механизмы неупругого деформирования кристаллитов — внутризеренное дислокационное скольжение (ВДС) и двой-никование. Анализируется полюсный механизм двойникования, позволяющий рассматривать двойникование подобно скольжению краевых дислокаций. Рассматривается кристаллография скольжения и двойникования.

В п. 2.3 обсуждаются вопросы перехода от величин модели мезоуровня к характеристикам макроуровня; исследуются проблемы согласования определяющих соотношений различных масштабных уровней. Связь соседних масштабных уровней происходит посредством включения в определяющие соотношения рассматриваемого масштаба явных внутренних переменных, определяемых на более низких по отношению к исследуемому уровню из замыкающих уравнений и использования расширенной гипотезы Фойгта.

В третьей главе рассматриваются вопросы описания упрочнения и разупрочнения в моделях, основанных на физических теориях пластического деформирования.

В п. 3.1 приводится описание физических причин, обусловливающих упрочнение в моно и поликристаллах. Предлагается использовать гипотезу аддитивности скорости критических напряжений сдвига по различным физическим механизмам. В частности, для дислокационного скольжения повышение критических напряжений связывается с взаимодействием мобильных дислокаций с дислокациями леса, барьерами дислокационного типа и границами кристаллитов, а падение при повышенных температурах — с процессами рекристаллизации и возврата.

В п. 3.2 анализируется упрочнение систем скольжения (СС) поликристаллических материалов за счет границ кристаллитов и его описание в физических многоуровневых моделях. Полагается, что граница представляет собой двумерную специфическую область, отделяющую различные однородные части кристалла (зерна, фазы, двойники). Данный дефект поликристалла является труднопреодолимым препятствием для мобильных решеточных дислокаций (РД), что обусловлено в первую очередь резкой сменой ориента-ций СС при переходе через границу (А.Н. Орлов, В.Н. Перезвенцев и др.). Принимается следующий механизм взаимодействия подвижных дислокаций с границей кристаллита: РД рассматриваемого кристаллита переходит в энергетически более выгодную СС соседнего (А.Н. Орлов, В.В.Рыбин), оставляя

11

в границе дислокацию ориентационного несоответствия (ДОН). Следующая решеточная дислокация, скользящая по той же СС кристаллита, будет испытывать дополнительное сопротивление за счет поля упругих напряжений ранее образовавшейся ДОН. Предлагается математическое описание увеличения критических напряжений за счет взаимодействия дислокаций с границей кристаллита.

В п. 3.3 рассматриваются механизмы разупрочнения в многофазных материалах. Приводятся соотношения, описывающие уменьшение критических напряжений на СС за счет динамического возврата и рекристаллизации.

В четвертой главе приводится система уравнений математической двухуровневой модели, предлагается алгоритм реализации модели, описываются этапы идентификации и верификации, обсуждается выбор численных методов решения поставленной задачи, результаты моделирования моно- и поликристаллов простого нагружения осадкой, стесненной осадкой и сдвигом. При моделировании определялись в ходе процедуры идентификации и использовались параметры материалов а-железа, тантала, дуплекс стали.

В п. 4.1 приводится система уравнений двухуровневой математической модели, описывающей неупругое деформирование двухфазного поликристалла в процессах глубоких пластических деформаций. Рассматриваются основные гипотезы физической модели для описания неупругого деформирования.

В п. 4.2 приводится алгоритм реализации двухуровневой модели многофазного материала. Обсуждаются способы повышения его вычислительной эффективности.

В п. 4.3 обсуждается методика и алгоритм процедуры идентификации

параметров модели, которые проиллюстрированы на примере однофазного

материала с объемно-центрированной кубической решеткой (тантал) с

12

учетом двух мод неупругого деформирования — скольжением краевых дислокаций и двойникованием. Приводятся результаты этапа верификации с использованием экспериментальных данных.

В п. 4.4 приводятся основные результаты численного моделирования двухфазных материалов, нагружаемых осадкой, стесненной осадкой и простым сдвигом.

В п. 4.5 представлен анализ результатов исследования неизотермического деформирования многофазных материалов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Достоверность результатов подтверждена результатами вычислительных экспериментов, демонстрирующими удовлетворительное соответствие данным натурных экспериментов, оценками сходимости и устойчивости.

Практическая ценность работы заключается в допустимости использования предлагаемой модели и разработанного комплекса программ для анализа и расчетов процессов интенсивной пластической деформации, учитывающих изменение внутренней микро- и мезоструктуры, а также возможности прогнозировать физические и механические характеристики материалов на макроуровне. Получено государственное свидетельство о регистрации программы для ЭВМ №2013619775 от 14.10.2013 [25].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156_а, 12-08-01052-а, 12-01-31094 мол_а, 12-08-33082 мол_а_вед, МК-3989.2012.1, 13-01-96006-р_урал_а, 14-01-00069-а, 14-01-96008-р_урал_а), Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535). Работа выполнена в Пермском национальном исследовательском политехническом университете с использованием результатов исследований по гранту Правительства

Российской Федерации (Постановление № 220 от 9 апреля 2010 г.), договор № 14.В25.310006 от 24 июня 2013 года.

Автор глубоко признателен и выражает уважение своему научному руководителю и учителю профессору П.В.Трусову, благодарен сотрудникам кафедры «Математическое моделирование систем и процессов» ПНИПУ за полученные ценные замечания и рекомендации при многократном обсуждении работы на научных семинарах.

1. Подходы, методы, модели исследования неупругого деформирования моно- и поликристаллов, основанные на физических теориях пластичности

1.1. Физические теории пластичности: статистические, прямые, самосогласованные

В настоящее время все большее распространение для описания интенсивных пластических деформаций находят так называемые физические теории пластичности (ФТП) [46, 64]. ФТП будут называться такие теории пластичности, основой которых является явное рассмотрение механизмов и носителей неупругого деформирования на более низких масштабных уровнях, чем представительный макрообъем материала [46, 63]. Данное обстоятельство является основной отличительной особенностью от макрофеноменоло-гических теорий, в которых поведение материала рассматривается на одном масштабном уровне — макроуровне, а соотношения этой теории формулируются на основе понятий континуальной механики — полей деформаций, напряжений и некоторых других параметров [7, 13]. Истоки физической теории пластичности заложены в ранних работах Дж.И. Тейлора, К.Ф. Элам [158-160] и Г.О. Закса [132, 145], которые имели огромное влияние на дальнейшее развитие физических теорий и оставили свой след в ее современных модификациях.

Важной характеристикой физических теорий является число масштабных уровней, которые применяются для рассмотрения неупругого деформирования в каждом отдельном случае и связано с особенностями исследуемых процессов, постановки задачи, представлениями о лидирующих механизмах и аккомодационных процессах, оказывающих влияние на неупругое деформирование. Вследствие того, что реальные носители пластической деформации относятся к более низким масштабным уровням, чем макроуровень, большинство известных моделей ФТП являются многоуровневыми. Основу

их составляет модель элемента нижнего масштабного уровня и принимаемые гипотезы о связях однотипных переменных соседних уровней. В большинстве ФТП элементами низшего масштабного уровня являются кристаллиты (зерна, субзерна, фрагменты, ячейки), описание поведения которых является первым шагом в построении практически всех вариантов физической теории пластичности. Ниже приведено краткое описание многоуровневых моделей (в большинстве — двухуровневых), позволяющих детально анализировать процессы неупругого деформирования кристаллитов (мезоуровень) и поликристаллических агрегатов (макроуровень).

В качестве отличительных признаков для классификации многоуровневых моделей могут выступать а) число уровней, вовлекаемых в исследование (выбор элемента низшего масштабного уровня, иерархия элементов различных уровней); б) гипотеза связи однотипных характеристик различных масштабных уровней; в) физические модели нижнего иерархического уровня. В настоящее время преобладающими являются модели, рассматривающие два масштабных уровня — уровень отдельного кристаллита (фаза, зерно, субзерно), и уровень представительного объема макроуровня (некоторая совокупность кристаллитов, достаточная для статистического осреднения). Следует отметить, что некоторые современные модификации моделей включают в себя более низкий масштабный уровень — трехуровневые модели с учетом микроуровня.

Основным классификационным признаком в многоуровневых моделях можно признать гипотезу связи «родственных» переменных соседних масштабных уровней (гипотеза осреднения или агрегирования). Руководствуясь им, можно выделить три ключевые группы моделей: статистические, самосогласованные и прямые. Основу статистических моделей составляет рассмотрение элемента низшего масштабного уровня (в двухуровневых моделях -мезоуровня). В этих моделях связь части параметров различных уровней осуществляется с использованием той или иной гипотезы, среди которых

16

наиболее распространенными являются гипотезы Фойгта, Рейса и Кренера. Для оставшейся части параметров используется те или иные операторы осреднения (ориентационное, объемное). Самосогласованные модели базируются на рассмотрении поведения элемента мезоуровня (как правило - канонической формы), находящегося в матрице с осредненными характеристиками поликристалла, которые определяются по свойствам элементов низшего масштабного уровня с использованием некоторой процедуры осреднения. Прямые модели можно разделить на два типа. К прямым моделям первого типа относятся модели, в которых физические теории пластичности напрямую используются для определения отклика материала в каждой точке исследуемого объема, т.е. каждый элемент входит в явном виде в состав представительного объема макроуровня; по существу, эти модели являются одноуровневыми. Дальнейшее развитие прямых моделей привело к созданию комбинированного класса моделей, которые сочетают в себе статистические модели с использованием прямого подхода. Реализация прямых моделей обычно основывается на методе конечных элементов (МКЭ). В зарубежной периодической литературе для обозначения обоих типов прямых моделей используют термин «the crystal plasticity finite-element method (CP FEM)».

В основу большей части статистических моделей (в частности — всех моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла) положена гипотеза Фойгта (или — кинематическая гипотеза). Макронапряжения в таких моделях обычно определяются объемным или ориентационным осреднением напряжений в кристаллитах (зернах), входящих в состав поликристалла. Модели, основанные на гипотезе Рейса (статическая гипотеза), являются менее распространёнными; в некоторых работах их называют моделями типа Закса. В этом случае откликом материала является тензор деформации (тензор скорости деформации), компоненты которого на макроуровне также определяются осреднением по поликристаллическому агрегату. Следует отметить, что модели, в которых используется гипотеза Фойгта, дают более высокие значения интен-

17

сивности напряжений на макроуровне («верхняя оценка»), в отличие от результатов по моделям с использованием гипотезы Рейса («нижняя оценка»). Вопрос о выборе гипотезы осреднения является достаточно актуальным, поскольку использование различных гипотез приводит как к качественно, так и количественно отличным результатам [140]. Например, при исследовании процесса прокатки применение гипотезы Рейса дает текстуру латуни, гипотезы Фойгта — текстуру меди [130]. Ни одна из вышеприведенных гипотез связи масштабных уровней не отражает существующих взаимодействии зерен в поликристаллическом агрегате. При этом в таких моделях, как правило, не учитывается взаимное расположение кристаллитов в поликристалле, вследствие чего нет возможности учитывать взаимодействие и взаимовлияние механизмов деформирования и их носителей в соседних кристаллитах. Существуют модели, в которых одновременно применяются гипотезы Рейса и Фойгта, а результаты определяются осреднением по двум подходам; такую группу моделей можно отнести к промежуточным. Другим подходом является согласование полей напряжений и скоростей перемещений по нескольким элементам-зернам или по части компонент.

Достаточно широкое распространение получили самосогласованные модели или, как иногда их называют, модели среднего поля, которые являются более точными, чем статистические. В рамках указанного типа моделей рассматривается поведение отдельного включения (которое представляет собой кристаллит, как правило, канонической формы), помещенного в матрицу с эффективными характеристиками поликристалла. Для определения осред-ненных характеристик используются статистические методы осреднения, что делает данный класс моделей «примыкающим» к приведенному выше. Аналитическое решение по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) упругого эллиптического включения в матрице с упругими эффективными характеристиками было впервые получено Эшелби [94, 95]. Модели данного класса имеют широкое применение при анализе механиче-

18

ского поведения представительного объема поликристалла, однако решение реальных задач требует использования существенно более высокопроизводительных вычислительных машин по сравнению со статистическими моделями. Можно отметить сложность учета реальных физических механизмов деформирования в таких моделях; например, одной из причин разворотов кристаллитов является несовместность сдвигов соседних кристаллитов, связанная с разориентацией систем скольжения [38], которую нельзя описать в терминах континуума с эффективными характеристиками. Обзор современных работ по самосогласованным моделям можно найти в [111, 129]; вопросы, касающиеся процедур осреднения и связи соседних масштабных, анализируются в [140-142].

Развитие самосогласованных моделей привело к созданию так называемых «прямых моделей», в которых, как отмечено выше, можно выделить два типа [91]. К первому типу можно отнести модели, в которых каждый кристаллит аппроксимируются конечными элементами; неупругая составляющая тензора деформации (или тензора деформации скорости) находится с использованием физической теории пластичности. Другими словами, в моделях первого типа рассматривается реальная геометрическая зеренная (субзе-ренная, фрагментная) структура. Модели первого типа являются по своей сути одноуровневыми моделями и решение реальных задач на их основе весьма ограничено вычислительной ресурсоемкостью. Прямые модели являются еще более ресурсоемкими по сравнению с самосогласованными моделями. Повышение эффективности моделей первого типа можно достичь за счет использования быстрого преобразования Фурье для нахождения локальных полей напряжений и деформаций [118, 128, 139]. Прямые модели второго типа предполагают описание совокупности некоторого числа кристаллитов с наперед заданным законом распределения ориентаций, приписанных каждой точке интегрирования или конечному элементу. Отклик материала на макроуровне (в точке интегрирования) определяется статистическим или объем-

19

ным осреднением. Модели второго типа являются комбинированными, в том смысле, что применятся элементы как прямых, так и статистических моделей. Можно отметить, что для реализации прямых моделей существует широкий спектр численных методов (граничных элементов, вариационно-разностные и др.), которые также могут применяться для реализации алгоритмов модели.

1.2. Физические механизмы деформирования многофазных материалов

В последние десятилетия широкое распространение в нефтеперерабатывающей, целлюлозно-бумажной, фармацевтической, химической, пищевой промышленности и многих других областях получили многофазные материалы, среди которых наибольшее распространение нашли стали и титановые сплавы. Физико-механические свойства многофазных материалов являются уникальными и в значительной мере отличаются от свойств отдельных фаз. Привлекательными с точки зрения эксплуатационных характеристик, которыми обладают многофазные материалы, являются высокая прочность, вязкость и устойчивость к коррозии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кондратьев, Никита Сергеевич, 2014 год

Литература

1. Ашихмии В.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне// Физическая мезомеханика. -2002. - Т.5. - №3. - С.37-51.

2. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации (600 стр.); 4.2. Конечные деформации (432 стр.). -М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. 1984.

3. Бокштейн С.З. Строение и свойства металлических сплавов. - М.: Металлургия, 1971.-496 с.

4. Вишняков Я.Д., Бабарэко A.A., Владимиров С.А., Эгиз И.В. Теория образования текстур в металлах и сплавах. - М.: Наука, 1979. - 344с.

5. Волегов П.С., Никитюк A.C., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности// Вестник Пермского государственного технического университета. Математическое моделирование систем и процессов. - 2009. - Т. 17. - С. 25-33.

6. Зубчанинов В.Г. Механика сплошных деформируемых сред. - Тверь: Изд-во ТГТУ, ЧуДо, 2000. - 703 стр.

7. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1990.-368 с.

8. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР. - 1963. - 272 с.

9. Ильюшин A.A. Пластичность. 4.1. Упругопластические деформации. -М.: Логос. 2004.-388 с.

Ю.Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ. - 2001. - 704 с.

П.Кадашевич Ю.И., Михайлов А.Н. О теории пластичности, не имеющей поверхности текучести// ДАН СССР. 1980. Т.254. №3. С.574-576.

12.Кадашевич Ю.И., Мосолов А.Б. Эндохронные теории пластичности: основные положения, перспективы развития// Изв. АН СССР. МТТ. - 1989. №1. - С.161-168.

13.Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. - 420 с.

14.Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. - М.: Мир, 1974.-504 с.

15.Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. - М.: Мир, 1979.-302 стр.

16.Кондратьев Н.С. Модель неупругого деформирования ОЦК-поликристаллов с учетом двойниковой моды деформирования// Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2011. -№ 9. - С. 129-138.

17.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Двухуровневая модель для описания неизотермического деформирования двухфазных поликристаллов// Вычисл. мех. сплош. сред. - 2014. - Т.7, № 2. - С. 181-199.

18.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Математическая модель для описания деформирования ОЦК-монокристаллов, учитывающая двойникование// Вычисл. мех. сплош. сред. - 2011. - Т. 4, № 4. - С. 20-33.

19.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Моделирование неупругого деформирования поликристаллических материалов с учетом упрочнения за счет границ кристаллитов// Вестник Пермского университета. Серия: Физика, 2012. -№4 (22).-С. 92-100.

20.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Модель неупругого деформирования ОЦК-поликристаллов с учетом двойниковой моды деформирования. Численное моделирование некоторых процессов деформирования// Вестник ПГТУ. Механика. - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2011. - № 4. - С. 115-141.

21.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Описание упрочнения систем дислокационного скольжения за счет границ кристаллитов в поликристаллическом агрегате// Вестник Пермского национального исследовательского политех-

153

нического университета. Механика. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012. - № 3. -С. 78-97.

22.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате// Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2012. - № 2. - С.112 - 127.

23.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Физическая модель неупругого деформирования двухфазных поликристаллов// Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. - 2013. - Т. 18. № 4-2. - С. 1873-1874.

24.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. Физическая модель неупругого деформирования двухфазных материалов с учетом зернограничного упрочнения// В сборнике: Высокие технологии в современной науке и технике. Сборник научных трудов в 2-х томах. Национальный исследовательский Томский политехнический университет. - Редакторы: Лопатин В.В., Яковлев А.Н.. Томск, 2013.-С. 380-384.

25.Кондратьев Н.С., Трусов П.В., Швейкин А.И. «Реализация двухуровневой модели неупругого деформирования ГЦК-поликристаллов для применения в пакете Abaqus» («Модель ГЦК-поликристалла для Abaqus»). - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619775 от 14.10.2013.

26.Линь Т.Г. Физическая теория пластичности// Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7.-М.: Мир. - 1976. - С.7-68.

27.Лубенец C.B. Динамический возврат и кинетика релаксации напряжений в кристаллах при низких и высоких гомологических температурах// ФТТ. -2002. - Т. 44, № 1 . - С. 72-77.

ф

28.Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне// Изв. РАН. МТТ.-1999.-№5.-С.109-130.

29.Макаров П.В. Моделирование упругопластичеекой деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне// Физическая мезомеханика. -2003. - Т.6. - №4. - С. 111 -124.

30.Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычисл. мех. сплош. сред. - 2011. - Т. 4, № 1. - С. 74-89.

31.Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации для представительного объема макроуровня// Вычисл. мех. сплош. сред. - 2011. - Т. 4, № 2. -С. 82-95.

32.Новиков И.И. Дефекты кристаллического строения металлов. - М.: Изд-во Металлургия, 1975. - 208 с.

ЗЗ.Орлов А.Н., Перевезенцев В.Н., Рыбин В.В. Границы зерен в металлах. -М.: Металлургия, 1980. - 156 с.

34.Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 328 с.

35.Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика - новая парадигма на стыке физики и механики// Физическая мезомеханика—2003.-Т.6. -№4. - С. 9-36.

36.Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука. - 1986. - 232 с.

37.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1988.-712 стр.

38.Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. -М.: Металлургия, 1986. - 224 с.

39.Рыбин В.В., Золоторевский Н.Ю., Жуковский И.М. Эволюция структуры и внутренние напряжения на стадии развитой пластической деформации кристаллических тел// ФММ. - 1990. - Т.69, вып.1. - С.5-26.

40.Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. - М.: Научный мир, 2000. - 315 с.

41.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир. 1975. - 592 стр.

42.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопла-стическом деформировании// Ученые записки Казанского университета. Физико-математические науки: Казань. - 2010. - Т.152, №4. - С. 225-237.

43.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры// Физическая мезомеханика. - Томск: ИФПМ СО РАН. - 2011. - Т. 12, №3. -С. 61-71.

44.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории пластичности// Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13, № 3. - С. 21-30.

45.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упру-гопластического деформирования поликристаллических материалов// Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. -Т. 15, № 3. -С. 327-344.

46.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности - Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2013. - 244 с.

47.Трусов П.В., Волегов П.С., Нечаева Е.С. Многоуровневые физические теории пластичности: теория, алгоритмы, приложения// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4. Часть 4. - С. 1808-1810.

48.Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах// Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12, № 5. - С. 65-72.

49.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели// Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

50.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели// Вестник ПНИПУ. Механика.-2011.-№ 2.-С. 101-131.

51.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории// Вестник ПНИПУ. Механика. -2011.-№3.-С. 146-197.

52.Трусов П.В., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивная упруговязко-пластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы, приложения: монография. - Saarbucken: LAP -LAMBERT Academic Publishing, 2011.- 147 c.

53.Трусов П.В., Волегов П.С. Определяющие соотношения с внутренними переменными и их применение для описания упрочнения в монокристаллах// Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12, № 5. - С. 65-72.

54.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зерно-граничного упрочнения моно- и поликристаллов// Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2010. - № 98. - С. 110-119.

55.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Двухуровневые модели поликристаллов: приложение к анализу сложного нагружения// Физ. мезомех. — 2013.-Т. 16. №6.-С. 43-50.

56.Трусов П.В., Келлер И.Э. Теория определяющих соотношений. Ч 1. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2006. - 173 с.

57.Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Двухуровневая модель для описания неизотермического деформирования двухфазных поликристаллов// Вычислительная механика сплошных сред - 2014. - Т. 7. № 2. - С. 181-199.

58.Трусов П.В., Кондратьев Н.С. Описание неупругого деформирования двухфазных поликристаллических материалов//Деформация и разрушение материалов. -2013. - № 6. - С. 8-15.

59.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика. - 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

60.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели//Физическая мезомеханика. -Томск: ИФПМ СО РАН. - 2011. - Т. 14, №4. - С. 17-28.

61.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели//Физическая мезомеханика. - Томск: ИФПМ СО РАН.-2011.-Т. 14, №5.-С. 5-30.

62.Трусов П.В., Швейкин А.И., Нечаева Е.С., Волегов П.С. Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры// Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15, № 1.-С. 33-56.

63.Трусов П.В., Швейкин А.И.. Теория определяющих соотношений. 4.II. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 243 с.

64.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. - Пермь: Изд-во ПНИ-ПУ, 2011.-419 с.

65.Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./ В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. - Новосибирск: Наука. Сибирская издат. фирма РАН, 1995. -Т.1. 298 с. Т.2. 320 с.

66.Фридель Ж. Дислокации. - М.: Мир, 1967. - 644 с.

67.Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. - 600 с.

68.Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. — М.: Мир, 1972. - 408 с.

69.Швейкин А.И., Бразгина О.В., Кондратьев Н.С. Моделирование эволюции структуры ГЦК-, ОЦК- и ГПУ-поликристаллов при неупругом деформировании// Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского. - 2011. - №4. Ч. 4. -С. 1859-1861.

70.Alley Е. S., Neu R.W. A hybrid crystal plasticity and phase transformation model for high carbon steel// Computational Mechanics. - 2013, Volume 52, Issue 2. -P. 237-255.

71.A1-Abbasi F.M., Nemes J.A. Micromechanical modeling of dual phase steels// International Journal of Mechanical Sciences. - 2003. - Vol. 45. - Pp. 14491465.

72. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains// Comput. Methods Appl. Mech. En-grg. - 2004. - Vol. 193. - Pp. 5359-5383.

73.Ankem S., Margolin H. The role of elastic interaction stresses on the onset of plastic flow for oriented two ductile phase structures// Metall. Trans. A — 1980. -Vol. 11.-P. 963-972.

74.Ashby M. The deformation of plastically non-homogeneous alloys// Philosophical Magazine. - 1970. - Vol. 21. - P.399-324.

75.Bailey J.E., Hirsch P.B. The dislocation distribution, flow stress and stored energy in cold-worked polycrystalline silver// Philos. Mag. - 1960. - Vol. 5 (53). -P. 485-497.

76.Bartali A.E1, Evrard P., Aubin V., Herenu S., Alvarez-Armas I., Armas A.F. and Degallaix-Moreuil S. Strain heterogeneities between phases in a duplex stainless steel. Comparison between measures and simulation// Procedia Engineering. -2010. - Vol. 2. -Pp. 2229-2237.

77.Berecz T. and Szabo P. J. Misorientation between austenite and o-phase in duplex stainless steel// Periodica polytechnica ser. mech. eng. - 2005. - Vol.49, №49. - Pp.123-130.

78.Bertram A. Elasticity and plasticity of large deformations// Springer-Verlag. -2008. -339 p.

79.Bowen D. K., Christian J. W. and Taylor G. Deformation properties of niobium single crystals// Canadian Journal of Physics. - 1967. - Vol. 45. - Pp. 903-938.

80.Cabrera J.M., Mateo A., Llanes L., Prado J.M., Anglada M. Hot deformation of duplex stainless steels// J. Mater. Process.Tech. - 2003. - Vol. 143-144. - P. 321-325.

81.Cailletaud G., Diard O., Feyel F., Forest S. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystals// Technische mechanik. -2003.-Vol. 23. - P.130-145.

82.Charles J. Vincent B. Duplex stainless steels for chemical tankers. - Duplex Stainless Steels'97 Proceedings, 5th World conference: Maastricht, Netherlands, 21-23 October 1997. - Vol. 2. - Pp. 727-736.

83.Chen, Yang J. R. Effects of solution treatment and continuous cooling duplex stainless steel// Materials Science and Engineering A - 2001. - Vol. A311. -Pp. 28-41.

84.Cizek P., Wynne B.P. and Rainforth W.M. EBSD investigation of the effect of strain path changes on the microstructure and texture of duplex stainless steel during hot deformation// Journal of Physics: Conference Series - 2006. - Vol. 26.-P. 331-334.

85.Dakhlaoui R., Braham C., Baczmanski A. Mechanical properties of phases in austeno-ferritic duplex stainless steel - Surface stresses studied by X-ray diffraction// Mater. Sci. Eng. A-Struct. - 2007. - Vol. 444, No. 1-2. - Pp. 6-17.

86.Deka D., Joseph D. S., Ghosh S., Mills M. J. Crystal plasticity modeling of deformation and creep in polycrystalline Ti6242// Metallurgical and Materials

Transactions A. - 2006. - Vol 37 (5). - Pp. 1371-1388. D01:10.1007/sl 1661006-0082-2.

87.Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity. Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries// International Journal of Plasticity. - 2005. - Vol. 21. - Pp. 691-722.

88.Dick T., Cailletaud G. Fretting modelling with a crystal plasticity model of Ti6A14V// Computational Materials Science. - 2006. - Vol 38. - Pp. 113-125.

89.Diercks D.R., Burke W.F. Elevated-temperature properties of austenitic stainless steels// ASME - 1974. - P. 19-30.

90.Dobrzanski L.A., Biytan Z., Actis Grande M., Rosso M. Properties of duplex stainless steels made by powder metallurgy// Archives of Materials Science and Engineering - 2007. - Vol. 28 (4). - P. 217-223.

91.Duchene L., Habraken A. M. Multiscale approaches// Advances in Material Forming. The 10 ESAFORM Conference on Material Forming: Liuge, Belgium. - 2007. - Pp. 125-141.

92.Duesbery M. S. and Foxall R. A. A detailed study of the deformation of highpu-rity Niobium single crystals// Phil. Mag. - 1969. - Vol. 27. - Pp.719-751.

93.Eiken J., Bottger B., Steinbach I. Multiphase-field approach for multicompo-nent alloys with extrapolation scheme for numerical application// Physical Review-2006.-Vol.73.-Pp. 1-9.

94.Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems// Proc Royal Soc. London. Ser. A. - 1957, No. 241(1226). -Pp.376-396.

95.Eshelby J.D. The elastic fields outside an ellipsoidal inclusion// Proc Royal Soc. London. - 1959-No. 252(1271).-Pp.561 -569.

96.Evangelista E., Mengucci P., Bowles J., McQueen H.J. Grain and subgrain structures developed by hot working in as-cast 434 stainless steel// High Temp. Mater. Process. - 1993. -Vol. 12. - P. 57-66.

97.Faccoli M., Roberti R. Study of hot deformation behaviour of 2205 duplex stainless steel through hot tension tests// J. Mater. Sci. - 2013. - Vol. 48, No. 15.-P. 5196-5203.

98.Farnousha H., Momenia A., Dehghania K., Mohandesia J.A., Keshmiri H. Hot deformation characteristics of 2205 duplex stainless steel based on the behavior of constituent phases// Mater. Design. - 2010. - Vol. 31, no. 1. - P. 220-226.

99.Fleck N.A. and Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity// Adv. Appl. Mech. -1997. - Vol. 33. -P.295-361.

100. Forest S. Strain gradient crystal plasticity: thermomechanical formulations and applications// Journal of the Mechanical Behaviour of Materials. - 2002. -Vol. 13.-P. 219-232.

101. Franciosi P., Berveiller M., Zaoui A. Latent hardening in copper and aluminum single-crystals// Acta Metall. - 1980. -Vol. 28, Is.3. - Pp.273-283.

102. Fundenberger J J., Philippe M. J., Wagner F., Esling C. Modelling and prediction of mechanical properties for materials with hexagonal symmetry (zinc, titanium and zirconium alloys)// Acta Materialia. - 1997. - Vol. 45 (10). -Pp.4041-4055.

103. Gardey B., Bouvier S., Bacroix B. Correlation between the macroscopic behavior and the microstructural evolutions during large plastic deformation of a dual-phase steel// Met. Mater. Trans. A. -2005. - Vol. 36. - Pp.2937-2945.

104. Garofalo F. An empirical relation defining the stress dependence of minimum creep rate in metals// Trans. Met. Soc. AIME. - 1963. - Vol. 227. - P. 351-359.

105. Gaskell J., Dunne F., Farrugia D. and Lin J. A multiscale crystal plasticity analysis of deformation in a two-phase steel// Journal of Multiscale Modelling. -2008.-Vol. 1, No. l.-Pp. 1-19.

106. Germain P. La m'ethode des puissances virtuelles en m'ecanique des milieux continus, premFere partie: th'eorie du second gradient// J. de M'ecanique. -1973.-Vol. 12. -P.235-274.

107. Goldberg D. Genetic algorithm in search optimization and machinelearning// 1st ed., Addison Wesley, Reading, MA. - 1989. - P. 432.

108. Graff S., Brocks W. and Steglich D. Yielding of magnesium: From single crystal to poly crystalline aggregates// International Journal of Plasticity. -2007. -Vol. 23, Iss. 12.-Pp. 1957-1978.

109. Grujicic M., Batchu S. A crystal plasticity materials constitutive model for polysynthetically-twinned y-TiAl+a2-Ti3Al single crystals// Journal of materials science. - 2001. - Vol. 36. - Pp. 2851 - 2863.

110. Giivenc O., Henke T., Laschet G., Bottger B., Apel M., Bambach M., Hirt G. Modeling of static recrystallization kinetics by coupling crystal plasticity FEM and multiphase field calculations// Computer methods in materials science. - 2013. -Vol. 13, No. 2. - Pp.368-374.

111. Habraken A.M. Modelling the plastic anisotropy of metals// Arch. Comput. Meth. Engng. - 2004. - Vol. 11, No. 1. - Pp. 3-96.

112. Hama T. and Takuda H. Crystal-plasticity finite-element analysis of inelastic behavior during unloading in a magnesium alloy sheet// Int. J. Plast. - 2011. -Vol. 27.-Pp. 1072-1092.

113. Hama T., Hosokawa N. and Takuda H. Accurate parameter identification for crystal plasticity finite-element analysis in a magnesium alloy sheet// AIP Conf. Proc. - 2013. - Vol. 1567. - Pp. 692-697. (http://dx.doi.org/!0.1063/ 1.4850066).

114. Hartig Ch., Mecking H. Finite element modelling of two phase Fe-Cu poly-crystals// Computational Materials Science. - 2005. - Vol. 32. - Pp. 370-377.

115. Hasija V., Ghosh S., Mills M.J., and Joseph D.S. Deformation and creep modeling in polycrystalline Ti-6A1 alloys// Acta Mater. - 2003. - Vol. 51. -Pp. 4533-4549.DOI: 10.1016/S 1359-6454(03)00289-1.

116. Herrera C., Ponge D., Raabe D. Characterization of the microstructure, crys-tallographic texture and segregation of an as-cast duplex stainless steel slab// Steel Research International. - 2008. - Vol. 79, No. 6. - P. 482-488.

117. Hoffmann T., Kalisch J., Bertram A., Shim S., Tischler J. Z., Bei H., Larson B. C. Experimental identification and validation of models in micro and macro plasticity// Technischemechanic. - 2010. - Vol. 30 (1-3). - Pp. 136 - 145.

118. Hu L., Rollet A.D., Iadicola M., Foecke T., Banovic S. Constitutive relations for AA 5754 based on crystal plasticity// Metal. Materials Trans. A. - 2012. -Vol.43A. - Pp.854-869.

119. Inal K., Neale K.W. High performance computational modelling of microstructural phenomena in polycrystalline metals// Mechanics & Construction. -2006. - V. 140, N. 5. - P. 583-593.

120. Iza-Mendia A., Piñol-Juez A., Urcola J.J., Gutiérrez I. Microstructural and mechanical behavior of a duplex stainless steel under hot working conditions. Metall. Mater. Trans. A.. - 1998. - Vol. 29, No. 12. - Pp. 2975-2986.

121. Jain M. and Christmana T. Processing of submicron grain 304 stainless steel// J. Mater. Res. - 1996. - Vol. 11, No. 11. - Pp.2677-2680.

122. Kitagawa H., Tomita Y. Note on incremental stress-strain relations of elas-to-plastic materials referred to a convected coordinate systems// J. Appl. Math. Mech. - 1972. - Vol. 52 (3). - P. 183-186.

123. Keshmi H., Momeni A., Dehghani K., Ebrahimi G.R., Heidari G. Effect of aging time and temperature on mechanical properties and microstructural evolution of 2205 ferritic-austenitic stainless steel// Journal of Materials Science and Technology. - 2009. - Vol 25. - Pp. 597-602.

124. Kuhlmann D., Masing G., Raffelsieper J. Zur Theorie der Erholung// Zeitschrift fiir Metallkunde. - 1949. - Vol. 40. - P. 241-246.

125. Kroner E. Initial studies of a plasticity theory based upon statistical mechanics// Inelastic Behaviour of Solids - 1969. - P. 137-147.

126. Kuc D., Niewielski G. Technological plasticity and structure in stainless steels during hot-working// Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering . - 2009. - Vol. 32, Is. 2. - Pp. 154-161.

127. Lasko G., Saraev D., Schmauder S., Kizler P. Atomic-scale simulations of the interaction between a moving dislocation and a bcc/fcc phase boundary// Computational Materials Science. - 2005. - Vol. 32. - Pp. 418^125.

128. Lebensohn R.A. N-site modeling of a 3D viscoplastic poly-crystal using Fast Fourier Transform// Acta Mater. - 2001. - Vol.49. - Pp.2723-2737.

129. Lebensohn R.A., Ponte Castañeda P., Brenner R., Castelnau O. Full-field vs. homogenization methods to predict microstructure-property relations for poly-crystalline materials// In: Computational Methods for Microstructure-Property Relationships (eds. S. Ghosh and D. Dimiduk): Springer Science+Business Media, LLC.-2011.-Pp. 393^41 (DOI 10.1007/978-1-4419-0643-4 11).

130. Leffers Т., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater Sei. - 2008. - doi:10.1016/j.pmatsci.2008.09.002 (Prog. Mater Sei. - 2009. - Vol.54. - Pp.351-396).

131. Lemaitre J., Chaboche J.L. Mecanique des materiaux solides. - 1992., seconde ed. Dunod.

132. Masima M. und Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen// Z. Physik. - 1928. - B.50. - S. 161-186.

133. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex TÍ-6A1-4V// Int. J. Plasticity - 2007. - Vol. 23 - P.1457-1485.

134. Medina Perilla J.A., Sevillano Gil J. Two-dimensional sections of the yield locus of a Ti6%A14%V alloy with a strong transverse-type crystallographic a-texture// Materials Science and Engineering. A. - 1995.-Vol.201 (1-2). -Pp. 103-110.

135. Mindlin R.D. and Eshel N.N. On first strain gradient theories in linear elasticity// Int. J. Solids Structures. - 1968. - Vol. 4. - P.109-124.

136. Mitchell T.E., Foxall R.A. and Hirsch P.B. Work hardening in niobium single crystals// Phil. Mag. - 1963. - Vol. 8. -Pp.1895-1919.

137. More J. J., Sorensen D. C., Hillstrom K. E., Garbow B. S. The minpack project. In: W. J. Cowell, ed., Sources and Development of Mathematical Software: Prentice-Hall. - 1984. - Pp. 88-111.

138. Myagchilov S., Dawson P.R., Evolution of texture in aggregates of crystals exhibiting both slip and twinning// Modeling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 1999. - V. 7, N. 6. - P. 975-1004.

139. Prakash A., Lebensohn R.A. Simulation of micromechanical behavior of polycrystals: finite elements versus fast Fourier transforms// Modelling Simul. Mater. Sei. Eng. - 2009. - Vol.17. - 064010 (16pp) (doi: 10.1088/0965 -0393/17/6/0640100.

140. Perdahcioglu E. S., Geijselaers H. J. M. Constitutive modeling of two phase materials using the mean field method for homogenization// International Journal of Material Forming. - 2011. - Vol. 4 (2). - Pp. 93-102.

141. Perdahcioglu E. S., Geijselaers H. J. M. A constitutive model for multiphase steels// AIP Conference Proceedings. - 2011. -Vol. 1315, Issue 1. - Pp. 3-9.

142. Perdahcioglu E.S. Constitutive modeling of metastable austenitic stainless steel. - PhD Thesis. Enschede, The Netherlands. - 2008. - 145 pp.

143. Puchi-Cabrera E.S., Staia M.H., Guerin J.D., Lesage J., Dubar M., Chicot D. An experimental analysis and modeling of the work-softening transient due to dynamic recrystallization// International Journal of Plasticity - 2014. - Vol. 54. -P. 113-131.

144. Rittel D., Bhattacharyya A., Poon B., Zhao J., Ravichandran G. Thermo mechanical characterization of pure polycrystalline tantalum// Mater. Sei. Eng. -2007. - V. 447, N. 1. - P. 65-70.

145. Sachs G. Zur Ableitung einer Fliessbedingung// Z. Verein Deut. Ing. - 1928. -B.72. - S734-736.

146. Savage M.F., Tatalovich J., Zupan M., Hemker K.J., Mills M.J. Deformation mechanisms and microtensile behavior of single colony Ti-6242Si// Mater. Sci. Eng. A. - 2001. - Vol. 319-321. - P. 398^103.

147. Sellars C.M., Tegart W.J. La relation entre la résistance et la structure dans la deformation à chaud// Memories Scientifiques Rev. Métallurg. — 1966. - Vol. 63.-P.731-746.

148. Sellars C.M. Modelling microstructural development during hot rolling// Mats. Sci. Tech. - 1990. - Vol. 6. - Pp. 1072-1081.

149. Shanthraj P., Zikry M.A. Dislocation density evolution and interactions in crystalline materials// Acta Mater - 2011. - Vol. 59, Is. 20. - Pp.7695-7702.

150. Staroselsky A., Anand L. Inelastic deformation of polycrystalline face cubic materials by slip and twinning // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46, N. 4. -P. 671-696.

151. Siddiq A., Schmauder S. Crystal plasticity parameter identification procedure for single crystalline material during deformation// J. Comput. Appl. Mech. - 2006. - Vol. 7. - Pp. 1-15.

152. Steinbach I., Pezzolla F. A generalized field method for multiphase transformations using interface fields// Physica D. - 1999. - Vol. 134 (4). -P. 385393.

153. Rajabi D., Abedi A., Ebrahimi Gh. Study on static recrystallization process in duplex stainless steel 2205// International Journal of ISSI. - 2011. - Vol.8, No.2. -Pp.20-23.

154. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D., Bieler T., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications// Acta Materialia. - 2010. - Vol. 58. - Pp. 1152-1211.

155. Takaki T., Yoshimoto C., Yamanaka A., Tomita Y. Multiscale modeling of hot-working with dynamic recrystallization by coupling microstructure evolu-

tion and macroscopic mechanical behavior// Int. J. Plasticity. - 2014. - Vol. 52. -P. 105-116.

156. Tanaka E., Murakami S., Ooka M. Effect of strain paths shapes on nonproportional cyclic plasticity// J. Mech. Phys. Solids. -1985. - Vol.33, No.6. -Pp.559-575.

157. Tarigopula V., Hopperstad O.S., Langseth M., Clausen A.H. Elastic-plastic behaviour of dual-phase, high-strength steel under strain-path changes// European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2008. - Vol.27. - Pp.764-782.

158. Taylor G.I. Plastic strain in metals// J. Inst. Metals. - 1938. - Vol.62. -Pp.307-324.

159. Taylor G.I., Elam C.F. The distortion of an aluminium crystal during a tensile test// Proc. Roy. Soc. (London). - 1923. - Ser. A 102. - Pp.643-647.

160. Taylor G.I., Elam C.F. The plastic extension and fracture of aluminium crystals// Proc. Roy. Soc. (London). - 1925. - Ser. A 108. -Pp.28-51.

161. Tinga T., Geers M.G.D., Brekelmans W.A.M. Micromechanical model of a single crystal nickel-based superalloy// 25th international congress of the aeronautical sciences: Germany, Hamburg. - 2006. - Pp. 1 -9.

162. Trusov P.V., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive elasto-viscoplastic model of FCC-crystals: Theory and application algorithms. - Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publ., 2011. - 147 p.

163. Turteltaub S., Suiker A.S.J. Grain size effects in multiphase steels assisted by transformation-induced plasticity// Int. J. Solids and Structures - 2006. -Vol. 43.-P. 7322-733.

164. Van Houtte P. Simulation of the rolling and shear texture of brass by the Taylor theory adapted for mechanical twinning// Acta Metall. - 1978. - Vol. 26.-Pp. 591-604.

165. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. -2005. - V.21. - Pp. 589-624.

166. Wu Q., Shanthraj P., Zikry M.A. Modeling the heterogeneous effects of retained austenite on the behavior of martensitic high strength steels// Int. J. Fracture -2013. - Vol. 184, Issue 1-2. -Pp. 241-252.

167. Yalcinkaya T., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. BCC crystal plasticity for multi-stage loading processes. Internal Poster. - 2006. -www.mate.tue.nl/mate/pdfs/7222.pdf.

168. Yoshida K., Brenner R., Bacroix B., Bouvier S. Micromechanical modeling of the work-hardening behavior of single- and dual-phase steels under two-stage loading paths// Materials Science and Engineering A. - 2011. - Vol 528. -Pp. 1037-1046.

169. Zambaldi C., Raabe D. Crystal plasticity modelling and experiments for deriving microstructure-property relationships in y-TiAl based alloys// Journal of Physics: Conference Series- 2010. - Vol.240. - Pp. 1-4. (doi:10.1088/1742-6596/240/1/012140)

170. Zieli'nski W., 'Swicatnicki W., Barstch M., Messerschmidt U. Non-uniform distribution of plastic strain in duplex steel during TEM in situ deformation// Materials Chemistry and Physics. - 2003. - Vol. 81. - Pp. 476-479.

171. Zikry Hut M.A., Kao M. Inelastic microstructural failure mechanisms in crystalline materials with high angle grain boundaries// J. Mech. Phys. Solids -1996. - Vol. 44 (11) - Pp. 1765-1798.