Модель упругопластического деформирования ГЦК-поликристаллов: теория и приложения к описанию формирования текстуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Швейкин, Алексей Игоревич

• Швейкин, Алексей Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Швейкин, Алексей Игоревич

Обозначения и сокращения

Введение

1. Большие пластические деформации поликристаллических материалов: изменение физико-механических свойств и методы описания эволюции структуры

2. Подходы и модели поликристаллических материалов, описывающие эволюцию структуры

2.1. Подход к построению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных

2.2. Обзор моделей поликристаллических материалов, описывающих эволюцию структуры

3. Конститутивная модель представительного объема ГЦК-поликристалла

3.1. Содержательная постановка

3.2. Структура двухуровневой модели деформирования поликристаллов 50 3.3 Описание внутризеренного деформирования

3.4. Описание зернограничного скольжения

3.5. Описание ротационной моды пластичности

3.6. Алгоритм реализации модели мезоуровня

4. Результаты моделирования некоторых технологических процессов

4.1. Деформирование монокристалла

4.2. Осадка, стесненная осадка

4.3. Равноканальное угловое прессование 122 Заключение 125 Литература

СОКРАЩЕНИЯ

ВДС - внутризеренное дислокационное скольжение (по системам скольжения) ЗГС - зернограничное скольжение

ИТН - изображающая точка нагружения в пространстве напряжений КСК - кристаллографическая система координат

J1CK - лабораторная система координат (единая для всех конфигураций декартова ортогональная система координат)

МДТТ - механика деформируемого твердого тела

МСС - механика сплошной среды

ОС - определяющие соотношения

ПКА - поликристаллический агрегат

ПО - представительный объем

СК - система координат

СС - система скольжения

ФРО - функция распределения ориентаций (КСК зерен в представительном объеме)

ФТТ - физика твердого тела

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

• У - обозначение объективной производной

•(' )Р ~~ индексы, обозначающие упругую и пластическую составляющую

Х]Х2Х3 - оси ЛСК t - время (или его аналог) Е — единичный тензор

Обозначения величин мезоуровня К — общее число СС кристалла Ка - число активных СС Kz - число активных СС ЗГС М- число соседних зерен s - длина дуги траектории деформации (пластической деформации) Тс - критическое напряжение по СС ЗГС у* - пластический сдвиг по СС к е - средняя деформация еи - интенсивность деформации а0 - начальное критическое моментное напряжение дс - текущее критическое моментное напряжение тк - касательное напряжение в СС к хкс - критическое напряжение в СС к хк0 - начальное (сдвиговое) напряжение течения в СС к о - среднее напряжение аи - интенсивность напряжений

0 — температура т - индикатор активации СС ЗГС т

Ьк - единичный вектор по направлению вектора Бюргерса СС к пк - нормаль СС к qm - нормаль к границе с соседним зерном т d - тензор деформации скорости е -девиатор тензора деформации М* - ориентационный тензор СС к рт - ориентационный тензор СС ЗГС т (с соседним зерном т ) О - тензор поворота, совмещающий JICK с КСК s - девиатор тензора напряжений Коши w - спин решетки (тензор, описывающий скорость поворота КСК) Z - тензор, описывающий форму и размеры зерна с - тензор деформации ц - тензор моментных напряжений о - тензор напряжений Коши с - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Обозначения величин макроуровня N- число зерен представительного объема D - тензор деформации скорости S - девиатор тензора напряжений Коши в - тензор деформации £ - тензор напряжений Коши

С - тензор (четвертого ранга) упругих свойств

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модель упругопластического деформирования ГЦК-поликристаллов: теория и приложения к описанию формирования текстуры»

Процессы неупругого деформирования и свойства поликристаллических материалов на макроуровне, как показывают многочисленные экспериментальные и теоретические исследования, существенным образом определяются состоянием мезо- и микроструктуры материала. Наряду с зарубежными исследователями (Тейлор, Шмид, Хилл, Бишоп, Линь, Хоникомб и др.), существенный вклад в развитие исследований микроструктуры и построение соответствующих математических моделей внесли отечественные ученые: Р.З.Валиев, Я.Д.Вишняков, В.А.Лихачев, В.В.Рыбин, Т.Д.Шермергор, уральская школа механиков, основанная С.Д.Волковым (Е.А.Митюшов, Ю.В.Соколкин и др.), томская школа В.Е.Панина (П.В.Макаров, С.Г.Псахье, И.Ю.Смолин и др.) и другие.

Мезо- и микроструктура материала, в свою очередь, существенным образом трансформируются в процессе деформирования. С одной стороны, макро-нагружения (макродеформации) являются источником, движущей силой изменения мезо- и микроструктуры; с другой стороны, эволюция мезо- и микроструктуры является фактором, определяющим поведение материала на макроуровне. Таким образом, управляя мезо- и микроструктурой, можно управлять свойствами материалов на макроуровне. Поэтому в настоящее время при разработке математических моделей технологических процессов, в нелинейной механике деформируемого твердого тела (МДТТ) одной из наиболее актуальных проблем является построение моделей, описывающих эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов.

Так, известно, что практически любая пластическая деформация, за исключением деформации по схеме всестороннего сжатия, сопровождается образованием кристаллографической текстуры того или иного типа и той или иной интенсивности. Под кристаллографической текстурой понимается неоднородное распределение функции распределения ориентаций (ФРО) [9] решеток зерен в представительном объеме, наличие выделенных (преимущественных) направлений в пространственной ориентировке кристаллических решеток отдельных составных частей (зерен, субзерен) поликристаллического тела. Вследствие образования текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Существуют примеры как положительного (например, пресс-эффект при прессовании), так и отрицательного (образование фестонов при листовой штамповке) влияния текстуры на механические характеристики. Таким образом, актуальность построения модели текстурообразования подтверждается достаточно острой необходимостью её применения для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов.

Имеются, по крайней мере, две возможности учета эволюции мезо- и микроструктуры: неявным или явным способом [35]. В первом случае в структуру определяющих соотношений (ОС) вводятся достаточно сложные операторы над историей макронагружения (макродеформации), без использования соответствующих параметров, описывающих собственно эволюцию мезо- и микроструктуры [13, 14]. Как правило, при этом трудно выявить и обосновать физический смысл и механизмы деформирования; описываемые различными операторами модели материала. В последние десятилетия все большее признание находит второй подход — явное введение в структуру определяющих соотношений параметров, описывающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, формулировка эволюционных (кинетических) уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [37]. Необходимо заметить, что при этом история воздействий не отбрасывается - она содержится во внутренних переменных.

В контексте данного подхода в настоящее время упругопластическое деформирование представительного объема поликристалла описывают с использованием прямых [1, 72 и др.] или статистических [123, 131, 54, 55 и др.] моделей.

Прямые модели, основанные, как правило, на использовании метода конечных элементов, позволяют более точно находить распределение напряжений и деформаций в области, учитывать ближнее и дальнее взаимодействие зерен. Однако применение данного подхода ввиду чрезвычайно больших вычислительных затрат чаще всего ограничено модельным двумерным случаем.

Статистические модели в вычислительном плане более эффективны и активно применяются для моделирования упругопластического деформирования реальных материалов. В рамках этих моделей поликристалл рассматривается как совокупность различно ориентированных зерен-монокристаллов, воздействие на каждое зерно реализуется с использованием гипотезы Фойгта (для большинства моделей) или Рейсса [35], отклик представительного объема определяется тем или иным осреднением откликов отдельных зерен. Следует отметить, что до настоящего времени в рамках этих моделей рассматривается лишь один механизм пластического деформирования - внутризеренное скольжение краевых дислокаций (ВДС). Плоскости залегания и ориентация векторов Бюргерса, вдоль которых осуществляется трансляционное движение (скольжение) краевых дислокаций известны, ими являются наиболее плотно упакованные плоскости и направления. Так, в ГЦК-металлах скольжение краевых дислокаций осуществляется в плоскостях системы {111} по направлениям <110>. В качестве критерия активности сдвига (скольжения дислокаций) по системе скольжения используется закон Шмида описываемое законом Шмида [35].

Большинство физических моделей основаны на теории Тейлора-Бишопа-Хилла [67, 123] описания ВДС, которой присущи некоторые существенные недостатки:

- вычислительные сложности, связанные с необходимостью решения оптимизационной задачи для определения приращений сдвигов согласно применяемому принципу минимума сдвигов,

- неединственность определения набора активных систем скольжения [131], которая не всегда разрешима использованием принципа минимума сдвигов,

- невозможность определения тензора напряжений по деформациям в силу наложения связи - несжимаемости (упругие деформации в модели не учитываются), невозможность определения остаточных напряжений.

При описании текстурообразования большая часть исследователей, также следуя пионерской работе Тейлора [123], определяет тензор спина решетки как несимметричную часть тензора скоростей пластических сдвигов. Согласно этой модели зерно представляется заключенным в жесткую оболочку.

В ряде работ используется другой подход ([85] и др.): для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

Видно, что в обоих подходах никак не учитывается взаимодействие соседних зерен за счет несовместности движения дислокаций в них. Попытки рассмотрения как элемента выборки совокупностей двух или нескольких зерен предпринимались P.Van Houtte, однако и в этих моделях явного учета несовместности движения дислокаций в соседних зернах нет; предлагаемые модели ориентированы на описание частного случая деформирования - процесса прокатки.

В то же время из физического анализа, основанного на экспериментальных данных [31], следует, что существенную роль в поворотах решетки играет несовместность скольжения дислокаций в соседних зернах. Действительно, в реальном поликристалле происходят весьма сложные процессы: при больших деформациях появляются субзерна, фрагменты, которые начинают разворачиваться, начиная от границ с соседними зернами - работает так называемая ротационная мода пластичности [31].

Таким образом, актуальным является построение статистических моделей, детально учитывающих физику процессов неупругого деформирования, в частности - описывающих взаимодействие зерен и другие (помимо ВДС) моды деформации.

Целью работы являлась разработка и реализация математической модели представительного объема однофазного поликристаллического ГЦК-металла, позволяющей описывать упругопластическое изотермическое деформирование, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориен-таций решеток зерен, упрочнение по системам скольжения.

В качестве платформы модели мезоуровня использована физическая теория Линя [19], основанная также на гипотезе Фойгта, но, в отличие от моделей типа Тейлора-Бишопа-Хилла, учитывающая упругие деформации зерна, дающая возможность определения последовательности вовлечения в пластическое деформирование активных СС, что позволяет в значительной мере «смягчить» проблему неединственности определения набора активных СС.

При анализе модели Линя предложено решение проблемы вырождения разрешающих уравнений: когда изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) располагается на ребре или в вершине многогранника текучести, то сдвиги по активным СС принимаются равными, что соответствует физическим посылкам и опытным данным. Также предложено решение проблемы неединственности выбора активных СС при одновременной их активации (например, в случае, когда изображающая точка нагружения выходит на многогранник текучести в вершине): активными принимаются все СС, на которых выполнен критерий Шмида. Кроме того, учтена анизотропия материала зерен, осуществлен переход к геометрически нелинейным ОС для зерен, квазитвердое движение [28] связывается с поворотом решетки. Предложена модель ВДС для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения <

В работе предлагается способ учета зернограничного скольжения (ЗГС), который играет существенную роль при развитых деформациях. Для этого в предлагаемой модели элементом выборки принимается не просто зерно, как в существующих статистических моделях, а зерно с приписанным набором границ с соседними зернами, что позволяет выделить плоскость сдвига ЗГС, направления сдвига ЗГС определяется как направление максимальных касательных напряжений по границе.

Основное внимание в работе было уделено описанию поворотов решетки зерен при деформировании. Поворот решетки зерна представляется суммой двух составляющих:

- Поворота решетки, вызванного макродеформациями. В этом случае решетка зерна связывается с материальными отрезками, поворот описывается ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

- Поворота только решетки зерен, вызванного несовместностью движения дислокаций в соседних зернах. При описании этой составляющей для каждого зерна вводится еще одна (неявная) внутренняя переменная - действующее на зерно моментное напряжение, для которого предложено эволюционное уравнение на основе анализа несовместности движения дислокаций (сдвигов) по системам скольжения в соседних зернах, затем спин решетки связывается с мо-ментными напряжениями.

Для предложенной модели разработан алгоритм, для численной реализации разработана программа.

Полученные результаты моделирования для монокристалла с использованием различных моделей поворота решетки удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

Результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ори-ентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке и стесненной осадке, соответствуют опытным данным, при рассмотрении процесса равноканального углового прессования тенденции текстурообразова-ния также находятся в соответствии с экспериментальными результатами.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка сокращений и обозначений, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 54 рисунка, библиографический список -138 наименований, изложена на 139 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Швейкин, Алексей Игоревич

Основные результаты и выводы диссертационной работы можно сформулировать следующим образом.

1. Для построения модели выбран и формализован подход к построению определяющих соотношений, основанный на учете предыстории за счет введения внутренних переменных и эволюционных уравнений для них.

2. Разработана структура двухуровневой модели деформирования поликристаллов, предложен алгоритм решения краевых задач с её помощью, описана возможность использования при реализации параллельных вычислений.

3. Проведен анализ известных физических моделей пластичности поликристаллов, на основе которого в качестве базовой для модели зерна выбрана модель Линя. Последняя модифицирована для учета геометрической нелинейности, предложено решение проблемы неединственности определения активных систем скольжения в специальных случаях нагружения; предложена модель для мягкого нагружения с последовательной активацией систем скольжения. Разработаны алгоритмы для случая произвольного нагружения, различных видов законов упрочнения и поворотов решетки, реализована соответствующая программа.

4. Предложена модификация модели Линя за счет учета механизма зернограничного скольжения, разработана программа реализации алгоритма.

5. Предложена модель описания эволюции ориентаций решеток зерен, учитывающая взаимодействия соседних зерен за счет несовместности скольжения дислокаций в них, отмечаются ее возможности для описания фрагментации зерен. Разработан алгоритм для случая произвольного нагружения, реализована соответствующая программа. В качестве моделируемого материала выбрана чистая медь, проведена идентификация параметров модели.

6. Полученные результаты моделирования для монокристалла, в том числе с учетом поворота решетки, удовлетворительно согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

7. Результаты моделирования (в т.ч. эволюция функции распределения ориентаций решетки) для поликристалла при нагружениях, соответствующих осадке, стесненной осадке, равноканального углового прессования соответствуют опытным данным. Для каждого из этих процессов характерно образование ярко выраженной текстуры.

В соответствии с поставленной целью выполнены все этапы построения математической модели.

Заключение

Вследствие образования текстуры - неоднородного распределения ориентаций решеток зерен в представительном объеме - поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств на макроуровне. Целью диссертационной работы была разработка и реализация математической модели представительного объема однофазного поликристаллического ГЦК-металла, позволяющей описывать упругопластическое изотермическое деформирование, в том числе - эволюцию характеристик мезоструктуры: распределения ориентаций решеток зерен, упрочнение по системам скольжения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Швейкин, Алексей Игоревич, 2009 год

1.Н., Трусов П.В. Прямое моделирование упругопластического поведения поликристаллов на мезоуровне //Физическая мезомеханика. -2002. - T.5. - №3. - С.37-51.

2. Ашихмин В.Н., Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель текстурообразования в стационарных процессах ОМД// Зимняя школа по механике сплошных сред (шестнадцатая). Пермь. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.-с. 37.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. -Л.: Машиностроение. Ленинград, отд-е. 1980. - 247 с.

4. Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации (600 стр.); 4.2. Конечные деформации (432 стр.). М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит. 1984.

5. Вайнштейн А.А., Митюшов Е.А., Гальперина Б.А. Влияние рассеивания ориентировок зерен на упругие свойства аксиальных текстур с ГЦК и ОЦК решетками// ФММ.-1980.-Т.50, в.6.- С. 1339-1343.

6. Васин Р.А., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности: В 2-х ч. Уфа: Гилем. 1998. - Ч. 1. - 280 с.

7. Вассерман Г. Гревен И. Текстуры металлических материалов. М.: Металлургия, 1969. - 654 с.

8. Введение в математическое моделирование: Учеб. пособие/ Под. ред. П.В.Тру сова. М.: Логос, 2004. - 440 с.

9. Вишняков Я.Д. Теория образования текстур в металлах и сплавах/ Я.Д.Вишняков, А.А.Бабарэко, С.А.Владимиров, И.В.Эгиз М: Наука, 1979. -344 с.1

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир. 1975. -542 с.

11. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986.-318 с.

12. Зубчанинов В.Г.Механика сплошных деформируемых сред. Тверь: Изд-во ТГТУ, Чу До, 2000. - 703 стр.

13. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. -М.: Изд-во АН СССР. 1963. - 272 с.

14. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упруго-пластические деформации. -М.: Логос. 2004.-388 с.

15. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001, 2003. - 704 с.

16. Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. М.: Металлургия, 1987. - 214 с.

17. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. -М.: Наука, 1977. 400 с.

18. Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах, М: Металлургия, 1965. - 292 с.

19. Линь Т.Г. Физическая теория пластичности// Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып.7.- М.: Мир. 1976. -С.7-68.

20. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно аналитическая теория прочности. - СПб.: Наука. 1993. - 471 стр.

21. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне// Изв. РАН. МТТ.-1999.- №5.-С. 109-130.

22. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне// Физическая мезомеханика. -2003. Т.6. - №4. - С.111-124.

23. Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования// Физическая мезомеханика. 2005.- Т.8.-№6 С.39-56.

24. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2-х т./В.Е.Панин, В.Е.Егорушкин, П.В.Макаров и др. Новосибирск: Наука. Сибирская издат. фирма РАН. 1995. Т.1. 298 стр. Т.2. 320 стр.

25. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. 352 с.

26. Поздеев А.А., Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложения. М.: Наука. 1982. 112 с.

27. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука. 1986. - 232 с.

28. Полухин П.И. Сопротивление пластической деформации металлов и сплавов / П.И. Полухин, Г.Я. Гун, А.М.Галкин. М.: Металлургия, 1983 -352 с.

29. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.лит., 1988. - 712 стр.

30. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. -М.: Металлургия. 1986. -224 стр.

31. Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие. М.: Наука, 1989. -432 с.

32. Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Статистические модели деформирования и разрушения композитов // Механика композиционных материалов. -1984 №5. - С.844-849.

33. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир. 1975. - 592 стр.

34. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория определяющих соотношений. Ч.Н. Теория пластичности. Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та.2008. 243 с.

35. Трусов П.В. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры/ П.В.Трусов, В.Н.Ашихмин, П.С.Волегов, А.И.Швейкин// Физическая мезомеханика. 2009. - Т. 12 - №3. - С.61-71.

36. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Часть 1. Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред.- 2008 Т.1, № 3 — С. 15-24.

37. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристалллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций 2009. - Т. 15 - №3. -С.327-344.

38. Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов Всероссийской конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Пермь: НИСО УрО РАН, 2008.- С.101.

39. Трусов П.В., Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Тезисы докладов 16-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С.94 -95.

40. Трусов П.В., Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение». -Екатеринбург: НИСО УрО РАН, 2008. С. 159.

41. Хоникомб Р. Пластическая деформация металлов. М.: Мир.-1972.

42. Шарифуллина Э.Р., Швейкин А.И. Исследование поверхности текучести ГЦК-монокристалла// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. - С. 109-110.

43. Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. 2007. - № 8 (6). - Пермь: Изд-во ПГТУ, 2007. - С.42-53.

44. Швейкин А.И. Модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов 17-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2008. - С.80-81.

45. Швейкин А.И. Модель упругопластического деформирования ГЦК-металлов// Тезисы докладов 18-ой Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках». Пермь: Изд-во ПГТУ, 2009. - С. 110-111.

46. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука. - 1977.-400с.

47. Anand L. Single-crystal elasto-viscoplasticity: application to texture evolution in polycrystalline metals at large strains // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. -193(2004). -Pp. 5359-5383.

48. Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate-independent crystal plasticity// J. of the Mechanics and Physics of Solids. -1996 Vol.44. - No.4-Pp.525-558.

49. Arruffat-Massion R. Experiments and modelling of ECAE textures of f.c.c. polycrystals/ R. Arruffat-Massion, S. Suwas, L.S. Toth, W. Skrotzki, J.J. Fundenberger, A. Eberhardt // ICOTOM 14 Leuven. Belgium. -2005. - Pp. 839844.

50. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals// Advances in Applied Mechanics. 1983. - Vol.23. - Pp. 1-115.

51. Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals// Acta Metall. 1985. - Vol.33.- No.6 - Pp.923-953.

52. Ashby M.F. The deformation of plastically non-homogeneous materials// Phil. Mag. 1970. - Vol.21. - Pp.399^124.

53. Balasubramanian S., Anand L. Elasto-viscoplastic constitutive equations for poly crystalline fee materials at low homologous temperatures// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp. 101-126.

54. Barlat F. Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample/ F.Barlat, Duarte J.M. Ferreira, Gracio J.J., A.B. Lopes, E.F.Rauch//Int. J. Plasticity.- 2003. Vol.19-Pp. 1215-1244.

55. Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal// Acta Mechanica.- 1995.-Vol.113.-No.1-4.-Pp. 185-203.

56. Beausir B. Analysis of texture evolution in magnesium during equal channel angular extrusion / B.Beausir, S.Suwas, L.S.Toth, K.W.Neale, J.J.Fundenberger //Acta Materialia 56 (2008) - Pp.200-214.

57. Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Materials Science and Engineering A345 (2003) -Pp.122-138.

58. Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects//Int. J. Plasticity. 2008. - Vol.24. -Pp. 867-895

59. Bilby В.A., Gardner L.R.T., Stroh A.N. Continuous distributions of dislocations and the theory of plasticity// In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech. Bruxelles, 1956. -Universiter de Bruxelles. 1957. - Vol. 8. - Pp.35-44.

60. Bishop, J., Hill, R., A theoretical derivation of the plastic properties of a polycrystalline center-faced metal. Philisophical Magazine.- 1951.-Vol. 42.- Pp. 414-427.

61. Bunge H.J. Texture analysis in material science. London: Butterworths. -1982.

62. Busso E.P., Cailletaud G. On the selection of active slip systems in crystal plasticity// Int. J. of Plasticity. 2005. -Vol. 21.-Pp. 2212-2231.

63. Cailletaud G., Diard O., Feyel F., Forest S. Computational crystal plasticity: from single crystal to homogenized polycrystal // Technische Mechanik. 2003. -Band 23. Heft 2-4. - Pp. 130-145. !

64. Clayton J.D., McDowell D.L. A multiscale multiplicative decomposition for elastoplasticity of polycrystals// Int. J. Plasticity- 2003. Vol.19 - Pp. 14011444. 1

65. Evers L.P., Parks D.M., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. Crystal plasticity model with enhanced hardening by geometrically necessary dislocation accumulation// J. Mech. and Phys. Solids. 2002. - Vol.50. - Pp.2403-2424.

66. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity// Adv. Appl. Mech. -1997. Vol.33. - Pp. 295-362.

67. Gurtin, M.E. On the plasticity of single crystals: free energy, microscopic forces, plastic strain gradients// J. Mech. Phys. Solids. 2000. - Vol. 48. - Pp. 989-1036.

68. Gurtin, M.E. A gradient theory of single-crystal viscoplasticity that accounts for geometrically necessary dislocations// J. Mech. Phys. Solids. 2002. - Vol. 50.-Pp. 5-32.

69. Gurtin, M.E. On a framework for small-deformation viscoplasticity: free energy, microscopic forces, strain gradients// Int. J. Plasticity. 2003. - Vol. 19 -Pp. 47-90.

70. Gurtin, M.E. A gradient theory of small-deformation isotropic plasticity that accounts for the Burgers vector and for dissipation due to plastic spin// J. Mech. Phys. Solids. 2004. - Vol. 52 - Pp. 2545-2568.

71. Gurtin, M.E. The Burgers vector and the flow of screw and edge dislocations in fmite-deformation single crystal plasticity// J. Mech. Phys. Solids. 2006. -Vol. 54.-Pp. 1882-1898.

72. Gurtin M.E., Anand L. A theory of strain-gradient plasticity for isotropic, plastically irrotational materials. Part I: Small deformations// J. Mech. Phys. Solids. 2005. - Vol. 53. - Pp. 1624-1649.

73. Gurtin M.E., Anand, L. A theory of strain-gradient plasticity for isotropic; plastically irrotational materials. Part II: Finite deformations// Int. J. Plasticity. -2005. Vol 21. - Pp. 2297-2318.

74. Habraken A.M. Modelling the Plastic Anisotropy of Metals//Arch. Comput.' Meth. Engng. 2004. -Vol. 11. - No. 1. - Pp. 3-96.

75. Hill R. Generalized constitutive relations for incremental deformation of metal crystals for multislip// J. Mech. Phys. Solids. 1966. - Vol. 14. - Pp.95-102.

76. Hill R, Rice J R. Constitutive analysis of elastic-plastic crystals at arbitrary strain//J. Mech. Phys. Solids. 1972. -Vol. 20.-Pp. 401-413.

77. Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. //Handbook of Materials Modeling: Springer, 2005. Printed in the Netherlands. Pp. 1133-1149.

78. Huang X. Grain orientation effect on microstructure in tensile strained cooper. //Scripta Materialia.-1998.-Vol. 38.-No. 11.- pp. 1697-1703.

79. Hutchinson, J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials// Proc.R. Soc. Lond. 1976. - 348 (A). - Pp. 101-127.

80. Kalidindi S.R., Anand L. Macroscopic shape change and evolution of crystallographic texture in pre-textured FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. -1994. Vol.42. - No.3. - Pp.459-490.

81. Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. 1992. -Vol.40. -No.3. -Pp.537-569.

82. Kocks U.F. The relation between polycrystal deformation and single crystal deformation// Metal. Trans. -1970. -Vol.1. -No.5. Pp.1121-1143.

83. Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold// Int. J. of Plasticity. 2002. - Vol.18. - Pp.715-741.

84. Kratochvil J., Tokuda M. Plastic response of polycrystalline metals subjected to complex deformation history// Trans. ASME. J. Engng. Mater. Technol. 1984. - Vol.106.-Pp.299-303.

85. Kroner E. Allgemeine kontinuumstheorie der versetzungen und eigenspannungen// Arch. Rational Mech. Anal. 1960. - B.4.- S.273-334.

86. Lee E.H., Liu D.T. Elastic-plastic theory with application to plane-wave analysis// J. Appl. Phys. 1967. - Vol. 38. - Pp. 19-27.

87. Lee E.H. Elasto-plastic deformation at finite strains.//Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1969.-Vol. 36-No. 1 - Pp. 1-6.

88. Leffers Т., Ray R.K. The brass-type texture and its deviation from the copper-type texture// Prog. Mater. Sci. 2008. - Vol. 17. - Pp.98-143.

89. Li S. Orientation stability in equal channel angular extrusion. Part I: Face-centered cubic and body-centered cubic materials// Acta Materialia. 56 (2008) -Pp. 1018-1030

90. Lin Т.Н. Analysis of elastic and plastic strains of a face centered cubic crystal//J. Mech. Phys. Solids. - 1957. - Vol.5. - No. 1. - Pp. 143-149. :

91. Ma A., Roters F., Raabe D. A dislocation density based constitutive model for crystal plasticity FEM including geometrically necessary dislocations// Acta Materialia. 2006. - Vol. 54 -Pp. 2169-2179.

92. Ma A., Roters F., Raabe D. On the consideration of interactions between dislocations and grain boundaries in crystal plasticity finite element modeling

93. Theory, experiments, and simulations// Acta Materialia. 2006. - Vol. 54 -Pp. 2181-2194.

94. Ma A., Roters F., Raabe D. A dislocation density based constitutive law for BCC materials in crystal plasticity FEM// Computational Materials Science. -2007.-Vol. 39. Pp. 91-95

95. Ma A., Roters F.A. A constitutive model for fee single crystals based on dislocation densities and its application to uniaxial compression of aluminium single crystals//Acta Materialia. 2004. - Vol. 52 - Pp. 3603-3612.

96. Masima M. und Sachs G.O. Mechanische Eigenschaften von Messingkristallen. HZ. Physik. 1928. -B.50. - S.161-186.

97. Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti-6A1-4V// Int. J. Plasticity. 2007. - Vol. 23. - Pp. 1457-1485.

98. McDowell D.L. Viscoplasticity of heterogeneous metallic materials//Mater. Sci. Eng. R. 2008. - Vol.62. - Pp. 67-123.

99. McDowell D.L. Simple experimentally motivated cyclic plasticity model// J. Eng. Mech.- 1987.-Vol. 113.-No.3.-Pp.378-397.

100. Miehe C. Multisurface thermoplasticity for single crystals at large strains in terms of Eulerian vector updates// Int. J. Solids and Struct. 1996. - Vol. 33. -No.20-22. - Pp.3103-3130.

101. Miehe C., Rosato D. Fast texture updates in fee polycrystal plasticity based on a linear active-set-estimate of the lattice spin// J. Mech. Phys -2007. Vol. 55. -Pp. 2687-2716.

102. Miyamoto, H., Sumikawa, M., Miyoshi, T. Interpretation of mechanical behavior of pure aluminum in terms of microstructures //In: The 1971 Conference on Mechanical Behavior of Materials. -1972. -Pp. 140-151.

103. Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations// Int. J. Mech. Sci.- 1993. Vol.35(12).-Pp.1053-1063.

104. Nicola L., Van der Giessen E., Gurtin M. E. Effect of defect energy on strain-gradient predictions of confined single-crystal plasticity// J. Mech. Physics Solids'. 2005. - Vol. 53 - Pp. 1280-1294.

105. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals// Acta Metall. -1953.-Vol.1.-Pp. 153-162.

106. Orowan E. Problems of plastic gliding// Proc. Phys. Soc. 1940. - Vol.62. -Pp. 8-22.

107. Ortiz M., Repetto E.A. Nonconvex energy minimization and dislocation structures in ductile single crystals// Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1999. - Vol. 49. - Pp.397^162.

108. Pan, J., Rice, J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices// Int. J. Solids Struc. 1983. - Vol. 19. - Pp. 973-987.

109. Raabe D., Roters F. Using texture components in crystal plasticity finite element simulations// Int. J. Plasticity. 2004. - Vol.20. - Pp. 339-361.

110. Shu J. Y., Fleck N. A. Strain gradient crystal plasticity: size-dependent deformation of bicrystals// J. Mech. and Phys. Solids. 1999. - Vol. 47. - Pp; 297-324.

111. Svendsen B. Continuum thermodynamic models for crystal plasticity including the effects of geometrically-necessary dislocations//!. Mech. Phys. Solids. 2002. -Vol.50.-Pp.1297- 1329.

112. Taylor, G.I. Plastic strain in metals. Journal of the Inst. Metals. 1938. 6 Vol.2! Pp.307-324.

113. Tinga Т., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. A strain-gradient crystal plasticity framework for single crystal nickel-based superalloys// Report National Aerospace Laboratory NLR-TP-2005-628. Amsterdam. - 2005. - 35 p.

114. Tokuda M., Kratochvil J. Prediction of subsequent yield surface by a simple mechanical model of polycrystal// Arch. Mech. 1984. - Vol.36. - No.5-6. -Pp.661-672.

115. Tokuda M.5 Kratochvil J., Ohashi Y. On mechanism of induced plastic anisotropy of polycrystalline metals// Bull. JSME. 1982. - Vol.25. - No.208. -Pp.1491-1497.

116. Tokuda M., Ohno N., Kratochvil J. Unified constitutive equations for inelastic behaviours of polycrystalline metals based on a semi-micro approach// Proc. Int. Conf. On Creep. Tokyo. -1986. - Pp.411-416.

117. Tokuda M., Kratochvil J., Ohno N. Inelastic behaviour of polycrystalline metals under complex loading condition// Int. J. of Plasticity. -1985. Vol.1. -Pp.141-150.

118. Toth L.S., Gilormini P., Jonas J.J. Effect of rate sensitivity on the stability of torsion textures // Acta metal. 1988. Vol. 36. P. 3077.

119. Van Houtte P. Calculation of the yield locus of textured polycrystals using the Taylor and the relaxed Taylor theory// Textures and Microstructures. 1987. -Vol.7.-Pp. 29-72.

120. Van Houtte P., Li S., Seefeldt M., Delannay L. Deformation texture prediction: from the Taylor model to the advanced Lamel model// Int. J. Plasticity. 2005. -V.21. - Pp. 589-624.

121. Van Houtte P., Mols K., Van Bael A., Aernoudt E. Application of yield loci calculated from texture data// Textures and Microstructures. 1989. - Vol.11. -Pp. 23-39.

122. Van Houtte P., Peeters B. Effect of deformation-induced intragranular microstructure on plastic anisotropy and deformation textures // Mater. Sci! Forum. 2002. - Pp. 408-412, 985-990.

123. Viatkina E. M., Brekelmans W. A. M., Geers M. G. D. Numerical analysis of strain path dependency in FCC metals// Comput Mech. 2008. - Vol.41. - Pp. 391^05.

124. Wagner F., Canova G., Van Houtte P., Molinari A. Comparison of simulated and experimental deformation textures for BCC metals// Textures and Microstructures.- 1991.-Vol.14-18.-Pp. 1135-1140.

125. Wang G. Orientation Evolution During Equal Angular Channel Extrusion of Copper Single Crystal/ G.Wang, S.D. Wu, Q.W. Jiang, Y.D. Wang, Y.P. Zong, C. Esling, L. Zu//ICOTOM 14. Leuven. Belgium. - 2005. - Pp. 815-820.

126. Weng G.J. The yield surface of single crystals at arbitrary strain// Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3-4. - Pp.231-245.

127. Weng G.J. Dislocation theories of work hardening and yield surfaces of single crystals// Acta Mechanica. 1980. - Vol.37. - No.3-4. - Pp.217-230.