Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Клименко, Алексей Владимирович

• Клименко, Алексей Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Клименко, Алексей Владимирович

Введение

1. Вводные определения и замечания. Марковские разбиения

1.1. Гиперболические автоморфизмы тора.

1.2. Псевдоаносовские диффеоморфизмы поверхностей

1.3. Марковские разбиения.

2. Предмарковские разбиения.

Конечность числа классов эквивалентности

2.1. Предмарковские разбиения

2.2. Порождение марковских разбиений предмарковскими

2.3. Эквивалентность разбиений.

2.4. Конечность числа классов предмарковских разбиений

2.5. Лемма о пересечении длинных отрезков устойчивого и неустойчивого слоёв.

2.6. Марковские разбиения в смысле Боуэна: отсутствие конечности

3. Простейшие предмарковские разбиения тора

3.1. Соотношение между узкой и широкой эквивалентностью разбиений в случае тора.

3.2. Цепные дроби и наилучшие приближения числа рациональными дробями

3.3. Квазимарковские разбиения. Их структура.

3.4. Построение квазимарковских разбиений

3.5. Получение предмарковских разбиений из квазимарковского

3.6. (+ем)-разбиения.

3.7. Следствия и примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Марковские разбиения для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей»

Актуальность темы. Работа относится к теории гиперболических динамических систем. В ней изучаются множества марковских и сходных с ними предмарковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, в частности, для гиперболического автоморфизма тора. Такие разбиения (наборы подмножеств фазового пространства с определёнными структурой и поведением под действием отображения, определения см. ниже) позволяют строить удобные символические модели для указанных отображений, что может применяться при изучении свойств последних.

Диффеоморфизм двумерного тора, задаваемый формулой х ь-> Ах (mod Z2), (*) где A Е GLiffi) — гиперболическая матрица, (его называют гиперболическим автоморфизмом тора) и в частности, такой диффеоморфизм с А = ( ? }), послужил при построении гиперболической динамики в 1960-х гг. важным примером динамической системы, в которой всё фазовое пространство является гиперболическим множеством (системы Аносова). Построение марковского разбиения для гиперболического автоморфизма тора было осуществлено Р. Адлером и Б. Вейссом, [2].

В дальнейшем обобщения конструкции марковских разбиений происходили в двух направлениях. Один путь, принадлежащий Р. Боуэну (см. [3]), состоял в рассмотрении динамики на произвольном локально максимальном гиперболическом множестве. (Первые шаги в этом направлении, практически одновременно с работой Адлера и Вейсса, были сделаны Я. Г. Синаем: он начал, частично совместно с Б. М. Гуревичем, построение марковских разбиений для гиперболических автоморфизмов n-мерного тора.) В этих условиях Боуэном было установлено существование марковского разбиения, однако платой за столь общие условия стала неконтролируемо сложная геометрия множеств, составляющих разбиение.

Позже выяснилось, что существенную роль в наличии простой геометрии элементов разбиения играет двумерность фазового пространства. Так, уже для аналогичного (*) автоморфизма трёхмерного тора элементы марковского разбиения не могут иметь кусочно гладкую границу (см. [4]).

Поэтому возник также другой путь:) при сохранении дву-мерности фазового пространства ослабить требования к отображению. Таким расширением класса отображений являются псевдоаносовские диффеоморфизмы двумерных компактных ориентируемых поверхностей. Они возникают естественным образом как представители некоторой части классов эквивалентности при принадлежащей Я. Нильсену и У. Тёрсто-ну классификации гомеоморфизмов поверхностей с точностью до изотопии. j

Определение псевдоаносовского диффеоморфизма основывается на аналогии со следующими свойствами гиперболического автоморфизма тора. Для последнего существуют два одномерных трансверсальных слоения, инвариантных под действием диффеоморфизма — разбиения на прямые, параллельные устойчивому или неустойчивому направлению. На слоях этих слоений есть меры (совпадающие со стандартной одномерной мерой Лебега), которые голономно инвариантны: если отрезок перенести с одного слоя устойчивого (неустойчивого) слоения на другой вдоль слоев неустойчивого (устойчивого) слоения, то меры этих отрезков будут равны. Наконец, образы этих мер под действием автоморфизма есть исходные меры, умноженные на Л и 1/А соответственно.

В случае псевдоаносовского диффеоморфизма (для простоты рассмотрим случай поверхности без края) инвариантные слоения могут иметь особые точки вида ^стандартной особенности с п ^ 3 сепаратрисами» (например, при п — 4 слоение в окрестности такой точки гомеоморфно слоению на компоненты связности гипербол ху = с и координатные полуоси). Устойчивое и неустойчивое слоения трансверсальны всюду, кроме особых точек, на них заданы трансверсальные меры, которые голономно инвариантны, а их образы есть они сами, умноженные на А и 1/А соответственно.

Для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей без края марковские разбиения были построены А. Фати и М. Шубом, [5]. Эти же авторы (а впоследствии и другие) использовали марковские разбиения для анализа динамики псевдоаносовских диффеоморфизмов.

А. Ю. Жиров использовал для классификации псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей (см. [7], [8]) введённые им ленточные разбиения — предмарковские (он называет их просто марковскими) разбиения с некоторыми дополнительными свойствами.

Актуальность темы вытекает из вышесказанного — значимости марковских разбиений как инструмента в исследовании различных вопросов теории псевдоаиосовских диффеоморфизмов поверхностей.

Цель работы. Целью работы является изучение всего семейства марковских (и сходных с ними предмарковских) разбиений для данного псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности, в частности, установление конечности числа предмарковских разбиений ограниченной сложности (определение см. ниже, для марковских разбиений это означает, что число элементов ограничено сверху) и получение явных формул для их количества в простейших случаях.

Методы исследования. В работе, помимо выработанных в гиперболической теории динамических систем методов, также применяются методы элементарной геометрии и топологии на поверхностях и теоретико-числовые методы, связанные с теорией цепных дробей.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. В диссертации получены следующие два основных результата:

• Доказано, что для любого псевдоаносовского диффеоморфизма поверхности множество классов эквивалентности (относительно действия степеней диффеоморфизма) предмарковских разбиений с ограниченной сложностью конечно.

• В случае гиперболического автоморфизма тора описана структура множества простейших предмарковских разбиений — разбиений на два параллелограмма с условием, что оба отрезка границы содержат неподвижные точки. В частности, получены явные выражения для числа классов эквивалентности таких разбиений относительно действия степеней автоморфизма.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к гиперболической теории динамических систем. Результат о структуре множества простейших предмарковских разбиений указывает динамический инвариант гиперболического автоморфизма тора, который может препятствовать топологической сопряжённости двух таких автоморфизмов даже с одинаковой жордановой формой матрицы (см. [14]).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• на семинаре кафедры теории динамических систем механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора В. М. Закалюкина в 2006 г.;

• на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. п., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2007 г.;

• на семинаре по теории динамических систем под руководством академика РАН Д. В. Аносова, д. ф.-м. н., профессора А. М. Стёпина (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) в 2008 г.;

• на конференции «Ламинации и групповые действия в динамике» (г. Москва, 19—23 февраля 2007 г.)

• на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвящённой 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (г. Москва, 17—22 июня 2008 г.)

• на семинаре по теории динамических систем в Университете Экс—Марсель I (г. Марсель, Франция) в июне 2008 г.

• на конференции <Dynamique dans l'espace de Teichmtiller» (г. Роскофф, Франция) в июне 2008 г.

• на школе <School and Workshop on Dynamical Systems» (г. Триест, Италия) в июле 2008 г.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [15] и [16].

Структура работы. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 16 наименований. Общий объем диссертации — 95 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Клименко, Алексей Владимирович, 2009 год

1. А.Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем. — М.: Факториал, 1999.

2. R.L. Adler, В. Weiss. Entropy, a complete metric invariant for automorphisms of the torus, Proc. of Nat. Acad. Sci., 57:6 (1967), 1573-1576.

3. R. Bowen. Markov partitions for Axiom A diffeomorphisms, Amer. J. Math., 92 (1970), 725-747.

4. R. Bowen. Markov partitions are not smooth, Proc. Amer. Math. Soc., 17:1 (1978), 130-132.

5. Fathi A., Laudenbach F., Poenaru V. Travaux de Thurston sur les surfaces (Seminaire Orsay). Paris, Soc. Math. France, 1979 (Asterisque 66-67).

6. Э. Кэссон, С. Блейлер. Теория автоморфизмов поверхностей по Нильсену и Тёрстону. — М.: Фазис, 1998 (сер. Библиотека студента-математика, вып. 5).

7. Zhirov A. Yu. Complete combinatorial invariants for conju-gacy of hyperbolic attractors of diffeomorphisms of surfaces, J. Dyn. Control Syst., 6:3 (2000), 397-430.-fff

8. Жиров А. Ю. Комбинаторика одномерных гиперболических аттракторов диффеоморфизмов поверхностей, Труды МИАН, 244 (2004), 143-215.

9. Е. Rykken. Markov partitions for hyperbolic toral automorphisms of T2, Rocky Mountain J. Math. 28:3 (1998), 1103-1124.

10. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. M.: УРСС, 2004.

11. О. Perron. Die Lehre von den Kettenbruchen. Bd. I: Elemen-tare Kettenbruche. — Stuttgart, Teubner, 1954.

12. P. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1998.

13. Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965.

14. D.V. Anosov, A.V. Klimenko, G. Kolutsky. On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions (preprint no. MPIM2008-54). — Bonn, Max-Planck-Institut fur Mathematik, 2008.

15. А. В. Клименко. О количестве классов марковских разбиений для гиперболического автоморфизма двумерного тора, Матем. сб., 200:8 (2009), 147-160.

16. А. В. Клименко. Конечность числа классов марковских разбиений для псевдоаносовских диффеоморфизмов поверхностей, Матем. заметки, 86:2 (2009), 314—317.