Максимизация капитала на арбитражных финансовых рынках с операционными издержками тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Гнеденко, Борис Дмитриевич

• Гнеденко, Борис Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гнеденко, Борис Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

§ 1.1. Модель.

§ 1.2. Достаточные условия равномерной интегрируемости семейства Jx~

§ 1.3. Строгие е -мартингалы.

ГЛАВА 2. РЕЗУЛЬТАТЫ.

§ 2.1. Критерии оптимальности.

§ 2.2. Детерминированный случай.

§ 2.3. Достаточное условие строгой £ -мартингальности.

ГЛАВА 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

§ 3.1. Доказательство теоремы 1.1.

§ 3.2. Доказательство теоремы 1.2.

§ 3.3. Доказательство теоремы 1.3.

§ 3.4. Доказательство теоремы 2.1.

§ 3.5. Доказательство теоремы 2.2.

§ 3.6. Доказательство теоремы 2.3.

§ 3.7. Доказательство теоремы 2.4.

§ 3.8. Доказательство теоремы 2.5.

§ 3.9. Доказательство теоремы 2.6.

§ 3.10. Доказательство теоремы 2.7.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Максимизация капитала на арбитражных финансовых рынках с операционными издержками»

1. Основная цель диссертации — это исследование следующей задачи стохастического оптимального управления:

Пусть на некотором отрезке [О,Г] (момент Т, вообще говоря, может быть случайным), задан прогрессивно измеримый интегрируемый (в каждый марковский момент г <Т) случайный процесс X и число Л > 0. Определим множество допустимых управлений U, как состоящее из кусочно-постоянных предсказуемых случайных процессов с конечным числом переключений, ограниченных по модулю единицей. Для и € С/ рассмотрим следующий процесс

Определим целевой функционал fx (и) как математическое ожидание случайной величины Jx,u(Т):

Задача состоит в описании множества управлений й, й е U, на которых достигается максимум функционала fx (и) на U.

JxA t): о о fx(u)±EJx,u(n

Насколько известно автору, задачи подобного рода до сих пор формулировались как задачи оптимального инвестирования при наличии операционных издержек в рамках стохастической финансовой математики, которая на данный момент является, пожалуй, одним из основных практических приложений стохастического анализа и стохастического оптимального управления. С. финансовой точки зрения поставленная задача получает следующую интерпретацию. Пусть процесс X описывает дисконтированную относительно процентной ставки динамику некоторого финансового актива. Инвестору позволяется иметь в портфеле как положительное, так и отрицательное количество актива X, однако в каждый момент времени это количество ограничено по модулю единицей. Изменять портфель, продавая или покупая актив X, позволяется только конечное число раз. Функционал fx (и) можно интерпретировать как ожидаемое значение капитала самофинансируемой стратегии и в момент Т в ситуации, когда плата за покупку/продажу одной единицы актива X составляет Параметр Л соответствует величине операционных издержек, которые на практике складываются из брокерских комиссий и Bid-Ask спрэда, т.е. разницы между текущими ценами покупки и продажи. Тогда рассматриваемая задача может быть сформулирована как задача поиска стратегий, максимизирующих ожидаемое значение капитала инвестора в момент Т.

2. Основополагающие работы, посвященные оптимальному инвестированию в непрерывном времени на рынках без операционных издержек (без трения), — это работы Р. Мертона [28; (1969)] и [29; (1971)]. Он рассматривал рынок с двумя активами Bt и St, где dBt = rBtdt, dSt = fiStdt + oStdWt.

Актив Bt можно интерпретировать как экспоненциально растущий банковский счет, a St как некоторый рискованный актив, развивающийся по закону геометрического броуновского движения. В этих работах, в частности, было показано, что для инвестора с логарифмической функцией полезности оптимальной будет стратегия, которая заключается в инвестировании в Bt и St и, — т фиксированных долей 7г% и тг§ от текущего капитала, где 7г| = , 7 тг% = 1 — Kg • Замечателен тот факт, что эти величины не зависят от горизонта

Т. Отсюда следует, что соотношение рискованного и безрискового капитала в оптимальном портфеле постоянно и равно --. Другими словами, если

1 —7Г$ текущая величина безрискового капитала в оптимальном портфеле равна х, то

7Г о 7Го величина рискованного капитала у равна —2—х. Прямая у = —-—х на

1 — 7Г$ 1 - 7Гs графике зависимости рискового капитала от величины банковского счета носит название линии Мертона. Обратимся теперь к рынкам с трением.

Впервые влияние операционных издержек изучалось в работе М. Дэвиса и А. Нормана [7; (1990)], которые применили для этих целей методы стохастического оптимального управления. Этот подход позволяет получать оптимальные управления посредством поиска слабых решений в уравнениях Гамильтона - Якоби - Беллмана (HJB) (см. монографии Н.В. Крылова [37; (1977)], а также У. Флеминга и Г. Сонера [13; (1993)]). В том же русле находятся работы С. Шрива и Г. Сонера [33; (1994)], Ж-П. Шанселье, Б. Оксендала и А. Сулема [3; (2002)] и Оксендала и Сулема [31; (2002)]. В последних двух работах решение описывается в терминах квазивариационных неравенств, являющихся обобщением уравнений HJB. Получающиеся уравнения или неравенства далее решаются численными методами. В случае пропорциональных издержек в работах М. Дэвиса и А. Нормана [9; (1990)] и С.

Шрива и Г. Сонера [33; (1994)] показано, что при выполнении некоторых условий можно указать две проходящие через начало координат прямые Г^ и Г2 такие, что оптимальным будет не совершать сделок, когда вектор (ттв,тг3) лежит внутри конуса NT, ограниченном линиями 1\ и Г2. Если же (7гв,7г5) достигает границы конуса, то она становится отражающим барьером для тг3, не позволяющим координатам портфеля выйти за пределы NT. В зависимости от параметров модели линия Мертона может оказаться как внутри, так и снаружи конуса NT.

Если же операционные издержки фиксированы, т.е. не зависят от размера сделки, то также, как и в случае пропорциональных издержек, внутри конуса NT сделки не совершаются, однако при достижении границ конуса величина 7г3 изменяется так, чтобы вектор (7ГВ,7Г3) достиг некоторой целевой границы внутри конуса NT. В работе В. И. Закамулина [34; (2002)] показано, что с ростом капитала инвестора эта граница быстро сходится к линии Мертона. Для сравнения в модели с двумя активами Bt и St, где dBt = rBtdt, dSt = fiStdt + aStdWt, S решение й нашей задачи для процесса Xt = не зависит от Л и имеет простой вид: fi ^

1, V~Y>r а2 й = • и и равно любому числу из [—1,1], если /j, — — = r. а2 2

Однако если предположить, что величины fi, а или г изменяются во времени, то оптимальное управление, вообще говоря, будет не столь тривиальным.

Возвращаясь к обсуждению подхода, основанного на методах стохастического оптимального управления, заметим, что он имеет существенный недостаток: уравнения HJB и его обобщения справедливы только для марковских процессов. Такое ограничение преодолевается, если, пользуясь выпуклостью и существованием мартингальной меры, перейти к решению двойственной задачи, которая, как правило, оказывается значительно проще. Впервые такой метод был использован в работах И. Карацаса, Ж.П. Лехозского, С. Сети и С. Шрива [22; (1987)], а также И. Карацаса, Ж.П. Лехозского и С. Шрива [21; (1987)] для процессов Ито в задаче без издержек. Первыми, кто осознал возможность приложения дуальных методов к задаче с издержками, были Я. Свитаник и И. Карацас [7; (1996)], которые также рассматривали случай процессов Ито. В своей работе они показали, что задача оптимального инвестирования с операционными издержками сводится к задаче без операционных издержек в случае неполного рынка (т.е. такого рынка, на котором существуют нереплицируемые функции выплат). В статье Дж. Деелстры, Г. Фама и Н. Тузи [10; (2001)] рассматривается более общая семимартингальная модель. В статье И. Карацаса и X. Ванга [24; (2000)] наряду с дуальным подходом применяется теория оптимальной остановки. Также см. статьи Джоини и Каллала [16]-[18], Я. Свитаника и X. Ванга [8; (1999)] и диссертацию К. Камизоно [20; (2001)]. Видимо, наиболее полная модель для многомерного процесса цен представлена в работе Ю.М. Кабанова [19; (1999)]. В статье Я. Свитаника и И. Карацаса [5; (1992)] рассмотрена модель с выпуклыми ограничениями на структуру портфеля. Выясняется, что такие ограничения можно учесть, предварительно решив вспомогательную конечномерную задачу на минимум, в которой фигурирует опорная функция допустимого множества портфелей. В статье тех же авторов [6; (1995)] исследуются ограничения на величину падения капитала от своего исторического максимума. Вообще говоря, дуальный подход в случае неполных рынков, какими являются рынки с трением, основан на возможности так называемого опционального представления случайного процесса, которое тесно связано с его супермартингальными свойствами по отношению к некоторому множеству мартингальных мер. Исчерпывающий результат в этой области можно найти в статье Д.О. Крамкова [26; (1996)].

Надо сказать, что и тот, и другой подход (детерминированный, связанный с решением дифференциальных уравнений и мартингальный, позволяющий переходить к решению двойственной задачи) берут свое начало с работ по хеджированию опционов. Так, впервые дифференциальное уравнение, описывающее динамику капитала, появилось в знаменитой работе Ф. Блэка и М. Шоулза [2; (1973)], а мартингальный метод для решения задачи хеджирования на полном рынке первыми применили Дж. М. Харрисон и С. Плиска [15; (1981)]. Как видно из приведенных ссылок, оба подхода по сей день имеют своих сторонников и развиваются параллельно.

3. Поставленная задача имеет ряд отличительных особенностей, которые не позволяют причислить ее к классическим задачам оптимального инвестирования.

Во-первых, мы не постулируем отсутствие арбитража в исследуемой задаче, т.е. мы допускаем существование стратегий, приносящих безрисковую прибыль. В рамках классической теории допущение арбитража в модели является абсолютно неприемлемым, поскольку делает бессмысленным любое инвестирование, когда сколь угодно большую прибыль можно получить без всякого риска. В рамках же нашей модели вполне можно говорить о безрисковом инвестировании, поскольку в силу условия | и | < 1 и некоторых предположений, налагаемых на процесс X, прибыль от безрисковых стратегий всегда ограничена. Можно сказать, что в ситуации, когда в модели существуют арбитражные возможности, задача состоит в оптимальном их использовании. Данная постановка вопроса вполне согласуется с практикой, поскольку для определенного круга игроков арбитражные возможности время от времени возникают даже на наиболее эффективных рынках, однако они не могут извлечь из них бесконечно большую прибыль, так как сталкиваются с ограниченностью собственного капитала или ограниченной ликвидностью рынка. Такой подход, в частности, делает осмысленной детерминированную постановку задачи, в рамках которой любая стратегия, приносящая прибыль, является арбитражной.

Вторым существенным отличием является определение множества допустимых процессов X. В настоящей работе на процесс X не налагается никаких других условий кроме прогрессивной измеримости и интегрируемости. Разумеется, столь слабые ограничения на X делают применение уравнений HJB или мартингальных методов в решении поставленной задачи невозможным. Однако, как выясняется, для описания множества оптимальных управлений оказывается эффективным применение более прямых и элементарных техник. Далее, такой широкий класс допустимых процессов значительно сужает множество управлений, для которых определен интеграл

J* udX. Однако из самой постановки задачи вытекает, что управление и должно иметь конечную вариацию, иначе целевой функционал fx (и) будет равен минус бесконечности, либо сведется к неопределенности (+оо) —(+оо). В этой связи следует отметить статью П. Гуазони [14; (2002)]. В этой работе П. Гуазони изучает вопросы существования решений задач оптимального управления в очень общей модели, не предполагающей семимартингальности или марковости процесса цен. В качестве допустимых процессов автор рассматривает согласованные процессы, непрерывные справа и имеющие пределы слева. По такому процессу можно интегрировать любой непрерывный слева процесс локально ограниченной вариации (см. [11], 8.1.). Мы бы тоже могли рассматривать в качестве допустимых управлений непрерывные слева процессы локально ограниченной вариации, ограниченные в L°°. Однако существо проблемы позволяет, не проигрывая в общности результатов, существенно облегчить задачу, ограничившись кусочно-постоянными управлениями.

В-третьих, инвестор в рассматриваемой задаче безразличен к уровню риска, с которым сопряжено применение той или иной стратегии. Другими словами, все стратегии, имеющие одинаковое ожидаемое значение капитала в момент Т, являются равно приемлемыми. Это не совпадает с обычным предположением финансовой теории, гласящим, что всякий инвестор обладает антипатией к риску, т.е. имеет вогнутую функцию полезности, которую и старается максимизировать. В нашем же случае функция полезности инвестора U(x) равна х, что и означает безразличное восприятие инвестором риска.

Еще одним, правда не столь существенным отличием является предположение о независимости операционных издержек от цены, в то время как принято рассматривать издержки, прямо пропорциональные цене актива. Однако в силу замечания 2.1 для строго положительных процессов X наша модель может быть расширена и на этот случай.

Далее, ограничение | и | < 1 вполне естественно для задачи оптимального управления, но выглядит экзотичным в рамках классической теории. Объясним, зачем вообще налагать ограничение на управления. Дело в том, что если рассматривать произвольно «далекие от нуля» управления «, то в силу очевидного свойства fx(&u) = a fx (и) для любого числа а > О функционал fx, вообще говоря, не будет ограниченным сверху. Следовательно, в пространстве кусочно-постоянных управлений необходимо задать некоторую норму ||*|| и перейти к рассмотрению подмножества управлений, равномерно ограниченных по норме ||*||. В работе рассматривается норма в пространстве

IMloo ~ eSSSUP SUP \щ{и)\> wen te[o,T(w)] откуда и вытекает ограничение | и | < 1. Напротив, в классической постановке задач оптимального инвестирования принято либо вовсе не налагать ограничений на управления (это становится возможным в силу вогнутости функций полезности), либо вместо ограничения на число единиц актива в портфеле рассматривать ограничение на объем вложенных в него денежных средств (т.е. на процесс utXt). Однако в такой постановке оптимальные управления кардинально меняют свои свойства, что связано с необходимостью осуществления коррекций управления, когда в результате изменения X процесс utXt выходит за допустимую границу. Однако, в ситуациях, когда амплитуда изменений процесса X на [0,Т] существенно меньше X, два рассмотренных ограничения обретают близкий финансовый смысл.

И, наконец, последней особенностью нашей задачи является отсутствие граничных условий, что приводит к отсутствию издержек в моменты 0 и Г. Такой выбор не является принципиальным, однако существенно упрощает все формулы. На этом мы закончим обсуждение постановки задачи и перейдем к описанию результатов работы.

4. Работа устроена следующим образом. В первой главе собраны основные определения и некоторые вспомогательные результаты.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Гнеденко, Борис Дмитриевич

Заключение

Финансовая математика имеет богатую историю результатов, в которых изучается модель финансового рынка, на котором присутствуют операционные издержки. Множество работ по данной тематике можно разделить на две категории. Первая часть посвящена изучению необходимых и достаточных условий, при которых на финансовом рынке с издержками отсутствуют арбитражные возможности, т.е. возможности извлечения прибыли без риска для инвестора. Во второй части работ в предположении отсутствия арбитражных возможностей решаются различные прикладные задачи, в том числе задача оптимального инвестирования.

В этом контексте настоящую диссертацию можно рассматривать с двух позиций. С одной стороны, формулируемая постановка задачи является вырожденным частным случаем задачи оптимального инвестирования, в котором рассматривается нейтральный к риску инвестор с ограничением на максимальное число единиц рискового актива в портфеле. С другой стороны, полученные результаты распространяются на случай финансовых рынков с арбитражем.

Стохастический анализ, являясь основным аппаратом финансовой математики, не позволяет оперировать с арбитражными финансовыми рынками. Поэтому указанная возможность плодотворного рассмотрения «арбитражных» постановок задачи вытекает из того, что при доказательствах основных результатов работы удается ограничиться применением элементарных вероятностных техник. Такая возможность появляется именно вследствие вырожденного характера решаемой задачи, в то время как стандартная постановка задачи оптимального инвестирования предполагает наличие у инвестора строго вогнутой функции полезности, что свидетельствует о его антипатии к риску.

В работе получены следующие результаты:

Показано, что достаточным условием корректности поставленной задачи является возможность равномерного приближения с точностью ^ процесса цены семимартингалом из класса TL].

Доказано, что для любого допустимого управления и найдется управление й, принимающее значения исключительно на границе допустимой области (т.е. ±1), для которого fx (й) > fx (и).

Далее доказаны различные критерии оптимальности допустимых управлений, лежащих на границе. Все эти критерии выражают общую идею — управление является оптимальным тогда и только тогда, когда приращения капитала в случайные моменты времени удовлетворяют некоторому условию.

Приводится наиболее общий критерий оптимальности для произвольных допустимых процессов X. Также доказан более изящный критерий для случая, когда допустимый процесс X и фильтрация стохастического базиса непрерывны справа.

В работе введено понятие процессов, названных автором строгими А-мартингалами и субмартингалами. При сделанных выше предположениях о непрерывности справа показано, что из строгой Х-субмартингальности капитала JХ и следует, что управление uEUi является 2Х-оптимальным.

Свойство строгой А-субмартингальности капитала является "глобальным" в том смысле, что налагает условие на приращения капитала на произвольных интервалах времени. В работе содержится более пригодный для проверки критерий, в котором рассматриваются только те приращения, на которых заданное управление постоянно. Тем самым удается перейти от рассмотрения приращения капитала стратегии к приращениям самого процесса X.

Подробно разобран один частный случай. Когда момент Т < оо фиксирован, Л^О, а процесс X представляется в виде Xt = Mt +g(t), где Mt — непрерывный справа мартингал, a g(t) — непрерывная детерминированная функция, оптимальное управление удается построить явным образом, причем оно, в свою очередь, также оказывается детерминированным. Грубо говоря, точки, в которых происходят переключения построенного оптимального управления, представляют собой локальные экстремумы функции g, удаленные друг от друга по оси ординат не менее чем на А.

На конечном отрезке времени [О,Г] для непрерывного справа мартингала X справедлива теорема Дуба об остановке, гласящая что Е(ХТ — Ха\Та) = О для любых моментов остановки а < т <Т. Доказанная в работе теорема о связи е-мартингалов и строгих £-мартингалов может рассматриваться как соответствующее обобщение теоремы Дуба. Утверждается, что на ограниченном отрезке времени [0,Т] для непрерывного справа е -мартингала X и любых моментов остановки о < т <Т справедливо неравенство \Е(ХТ — Ха\Та )| < 2е. Построен пример, показывающий, что уменьшить множитель, равный 2, нельзя. Также построен пример, из которого следует, что утверждение о том, что непрерывный справа е -субмартингал является строгим 2е -субмартингалом, вообще говоря, не верно.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гнеденко, Борис Дмитриевич, 2006 год

1. Bichteler К. Stochastic integration and IF -theory of semimartingales. The Annals of Probability, v. 9, № 2, 1981, p. 303 315.

2. Black F., Sholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. The Journal of Political Economy, v. 81, № 3, 1973, p. 637 654.

3. Cherny A. S. Some particular problems of martingale theory. Preprint, Moscow State University. 2004. http://mech.math.msu.su/~chernv/pmt.pdf

4. Cvitanic J., Karatzas I. Convex duality in constrained portfolio optimization. The Annals of Applied Probability, v. 2, 1992, p. 767 818.

5. Cvitanic J., Karatzas I. On portfolio optimization under drawdown constraints. IMA Volumes in Math, and its Appl., v. 65, 1995, p. 35 46.

6. Cvitanic J., Karatzas I. Hedging and Portfolio Optimization under Transaction Costs: a Martingale Approach. Mathematical Finance, v. 6, 1996, p. 133 166.

7. Cvitanic J., Wang H. On optimal terminal wealth under transaction costs. J. of Mathematical Economics, v. 35, 2001, p. 223-232.

8. Davis M. H. A., Norman A. R. Portfolio Selection with Transaction Costs. Math. Oper. Res., v. 15, № 4, 1990, p. 676 713.

9. Deelstra G., Pham H. and Touzi N. Dual formulation of the utility maximization under transaction costs. Ann. Appl. Probab. v. 11, 2001, p. 13531383.

10. Dellacherie C., Meyer P.A. Probabilities and Potential. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1978.

11. Dufour F., Miller В. M. Generalized Solutions in Nonlinear Stochastic Control Problems. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 40, № 6, 2002, p. 1724-1745.

12. Fleming W. H., Soner H. M. Controlled Markov processes and viscosity solutions. Springer Verlag, New York, 1993.

13. Guasoni P. Optimal Investment with Transaction Costs and without Semimartingales. The Annals of Applied Probability, v. 12, 2002, p. 12271246.

14. Harrison J. M., Pliska S. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading. Stochastic Processes and Their Applications, v. 11, 1981, p. 215-260.

15. Jouini E., Kallal H. Martingales and Arbitrage in Securities Markets with Transaction Costs. Journal of Economic Theory, v. 66, № 1, 1995, p. 178-197.

16. Jouini E., Callal H. Price functionals with bid-ask spreads: an axiomatic approach. Journal of Mathematical Economics, v. 34, 2000, p. 547 558.

17. Jouini E., Callal H. Efficient trading strategies in the presence of market frictions. Review of Financial Studies, v. 14, 2001, p. 343 369.

18. Kabanov Yu. M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets. Finance and Stochastics, v. 3, 1999, p. 237-248.

19. Kamizono K. Hedging and Optimization under Transaction Costs. Ph.D. thesis, Columbia University. 2001.

20. Karatzas I., Lehoczky J.P. and Shreve S.E. Optimal Portfolio and Consumption Decisions for a "small investor" on a finite horizon. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 25, № 6, 1987, p. 1557 1586.

21. Karatzas I., Lehoczky J.P., Sethy S.E. and Shreve S.E. Explicit solution of a general consumption/investment problem. Math. Oper. Res., v. 11, 1986, p. 261-294.

22. Karatzas I., Lehoczky J.P., Shreve S.E. and Hu G.L. Martingale and duality methods for utility maximization in an incomplete market. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 29, 1991, p. 702 730.

23. Karatzas I., Wang H. Utility Maximization with Discretionary Stopping. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 39, 2000, p. 306-329

24. N. El Karoui. Les aspects probabilistes du controle stochastique. Lecture Notes in Mathematics, v. 876, 1981, p. 73-238.

25. Kramkov D. O. Optional Decomposition of supermartingales and hedging contingent claims in incomplete security markets. Probability Theory and Related Fields, v. 105, № 4, 1996, p. 459 479.

26. Liu H., Loewenstein M. Optimal Portfolio Selection with Transaction Costs and Finite Horizons. The Review of Financial Studies, v. 15, № 3, 2002, p. 805 -835.

27. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous time case. Review of Economic Statistics, v. 51, 1969, p. 247-257.

28. Merton R.C. Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous Time Model. Journal of Economic Theory, v. 3, 1971, 373 413.

29. Meyer P.-A. Un cours sur les integrals stochastiques. Lecture Notes in Mathematics, v. 511, 1976, p. 245-400.

30. Qksendal В., Sulem A. Optimal Consumption and Portfolio with Both Fixed and Proportional Transaction Costs. SIAM Journal on Control and Optimization, v. 40, № 6, 2002, p. 1765 -1790.

31. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion. Springer, 1999.

32. Shreve S., Sorter H. M. Optimal Investment and Consumption with Transaction Costs. The Annals of Applied Probability, v. 4, 1994, p. 609 692.

33. Zakamouline V. I. Optimal Portfolio Selection with Both Fixed and Proportional Transaction Costs for a CRRA Investor with Finite Horizon. Working paper, 2002, http://www.nhh.no/for/dp/2002/0102.pdf

34. Жакод Ж., Ширяев A. H. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

35. Колмогоров А. П., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

36. Крылов Н.В. Управляемые процессы диффузионного типа. М.: Наука, 1977.

37. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

38. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н, Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

39. Пастухов С. В. О некоторых вероятностно-статистических методах в техническом анализе. Теор. вер. и ее прим., т. 49, № 2, 2004, с. 297-316.

40. Севастьянов Е.А. Кусочно-монотонная аппроксимация и Ф-вариации. Analysis Mathematica, v. 1,1975, p. 141 164.

41. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, М.: т. им. Жданова, 1949.

42. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

43. Гнеденко БД. Стохастическая задача максимизации линейного функционала с платой за принятие решений. УМН, 2003, т. 58, вып. 4(352), С. 139-140.

44. Гнеденко БД. Об одном расширении понятия мартингала. Теор. вер. и ее прим., 2005, т. 50, № 4, С. 763-767.

45. Гнеденко Б.Д. Оптимальное управление капиталом на арбитражных финансовых рынках с операционными издержками. Обзор прикл. и пром. мат. (в печати).