Модели оптимального распределения капитала страховой компании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Журов, Александр Николаевич

• Журов, Александр Николаевич
• кандидат экономических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Журов, Александр Николаевич

1 Оптимальные стратегии в области инвестирования и потребления страховой компании в условиях стохастической неопределенности

1.1 Уравнения динамики оптимального потребления страховой компании.

1.1.1 Постановка задачи оптимального управления капиталом страховой компании.

1.1.2 Вывод динамики оптимального потребления в случае степенной функции полезности.

1.1.3 Уравнение динамики оптимального потребления в случае произвольной функции полезности.

1.2 Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий при наличии скачкообразной компоненты в динамике цены рискового актива.

1.2.1 Постановка задачи.

1.2.2 Вывод уравнения динамики оптимального управляющего параметра

1.2.3 Точная формула оптимального управления в случае логарифмической функции полезности капитала

1.2.4 Доказательство существования оптимального управления в случае степенной функции полезности

1.2.5 Монотонность оптимального управления по параметрам модели.

1.3 Выводы.

1.4 Математические основы модели.

1.4.1 Основные понятия теории случайных процессов

1.4.2 Процессы со сносом и диффузией.

1.4.3 Процессы со сносом и скачками.

1.4.4 Процессы со сносом, диффузией и скачками.

1.4.5 Стохастическое оптимальное управление.

1.4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Формула Дынкина.

2 Сравнение критериев оптимальной деятельности страховых компаний

2.1 Влияние ограничений контролирующих органов на инвестиционные стратегии страховых компаний.

2.1.1 Задача оптимального управления, учитывающая актуальные ограничения на инвестиционные стратегии страховых компаний.

2.1.2 Решение задачи оптимального инвестирования с ограничениями на управляющий параметр.

2.2 Сравнение критериев оптимальной деятельности страховой компании.

2.2.1 Краткая постановка задачи.

2.2.2 Строгая постановка задачи.

2.2.3 Алгоритм решения задачи сравнения критериев оптимального функционирования страховой компании

2.2.4 Полученные результаты в случае высокого коэффициента относительного неприятия риска.

2.2.5 Полученные результаты в случае низкого коэффициента относительного неприятия риска.

2.3 Выводы.

3 Анализ латентных зависимостей убыточностей по различным линиям страхования

3.1 Модель диверсификации рисков страховой компании

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Исходные данные и методика решения задачи

3.1.3 Подгонка частных распределений.

3.1.4 Оценка параметров эллиптических копул

3.1.5 Оценка параметров семейств архимедовых копул

3.1.6 Полученные результаты.

3.2 Новая линия бизнеса и расчет необходимого капитала . 80 3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Полученные результаты.

3.2.3 Выводы.

3.3 Теоретические основы моделей главы 3.

3.3.1 Аппарат копула-функций.

3.3.2 Эллиптические копулы.

3.3.3 Комонотонные копулы. Границы Фреше.

3.3.4 Архимедовы копула-функции

3.3.5 Методы оценки копул.

3.3.6 Различные меры риска.

3.3.7 Формы зависимости.

3.3.8 Генерация случайных векторов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модели оптимального распределения капитала страховой компании»

В последнее время в страховой сфере наблюдается тенденция к более формализованному подходу управления капиталом. С одной стороны, страховая компания должна быть устойчивой в том смысле, что при наступлении страховых случаев клиенты должны незамедлительно получать возмещения. С другой стороны, страховая компания заинтересована в получении максимальной прибыли от своей деятельности. Поэтому временно свободные средства - часть страховых резервов и собственного капитала - компания имеет право (с определенными ограничениями) инвестировать на финансовый рынок, как в условно безрисковые, так и рисковые активы. Это приводит к тому, что страховые организации становятся активными участниками рынка ценных бумаг.

Инвестирование капитала в финансовый рынок представляет собой один из самых рискованных видов деятельности страховой организации. Если условно безрисковые активы (государственные ценные бумаги, банковские счета) характеризуются минимальным риском, то рисковые активы (акции, корпоративные облигации, производные финансовые инструменты) сосредотачивают в себе опасность резкого уменьшения стоимости. Поэтому выбор оптимальной инвестиционной стратегии, удовлетворяющей, с одной стороны, целям страховой компании, с другой стороны, - ограничениям, накладываемым контролирующими органами, является актуальным.

Наряду с инвестиционной деятельностью, страховая компания заинтересована в мотивации своих сотрудников к более эффективному труду, в обновлении основных средств и других расходов, прямо не связанных со страховой деятельностью. Для этого часть средств выделяется на потребление, пример которого - выплата бонусов сотрудникам страховой компании. Задача заключается в выборе оптимальных по определенному критерию стратегии инвестирования и потребления.

Поскольку страховая компания использует часть средств страхователей для инвестирования в рисковые активы, ее торговая стратегия должна удовлетворять ограничениям, которые накладывают контролирующие органы. Данные ограничения представляют собой максимальные доли страховых резервов (премий и убытков), инвестируемых в определенный вид активов. Эти ограничения, как и список ценных бумаг, в которые разрешено инвестировать резервы, периодически меняются и имеют главной целью уберечь страховую компанию от неблагоприятной конъюнктуры на финансовом рынке, обеспечив тем самым ее платежеспособность.

Несомненно актуальным является вопрос согласованности интересов лиц, имеющих отношение к страховой компании. Владельцы и управляющие страховой компании ставят перед собой цель улучшения финансовых показателей деятельности организации. Прежде всего, это максимизация прибыли, что эквивалентно максимизации собственного капитала страховой компании. Страхователи и контролирующие органы, представляющие их интересы, заинтересованы в платежеспособности и устойчивом функционировании страховой компании. Математически это означает стремление минимизировать вероятность разорения страховой компании на заданном интервале времени. Сравнение оптимальных стратегий двух задач на предмет согласованности является актуальной и интересной задачей.

В своей деятельности страховая компания имеет дело со стохастической неопределенностью, выражающейся в количестве и размере возмещений по страховым случаям. В этом смысле прогноз страховых выплат как в целом по компании, так и отдельно по страховым группам представляет из себя одну из главных задач страховой компании. Основным показателем, прогноз которого необходимо рассчитать является коэффициент актуарной убыточности, представляющий из себя суммарные убытки, нормированные на заработанную премию. Типичным допущением при расчете убыточности в целом по компании является комоно-тонность (максимальная положительная зависимость) актуарных убы-точностей по различным группам страхования. В диссертации рассматриваются случаи, при которых зависимость между случайными величинами задается эллиптическими и архимедовыми функциями связки, или копула-функциями. Копула-функции позволяют учесть как линейные, так и нелинейные зависимости актуарных убыточностей и построить адекватную модель диверсификации страховых рисков. В качестве применения модели диверсификации рисков в академических исследованиях рассматривается задача выбора критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний. В последнее время аппарат копула-функций становится все более востребованным, поэтому задачи, рассматриваемые в диссертации, являются актуальными.

Статьи [Gerber, 1969], [Buhlmann, 1970] положили начало исследованиям стратегий страховых компаний, инвестирующих свой капитал в финансовые инструменты. В этих моделях предполагается, что цена рискового актива изменяется в соответствии с геометрическим броуновским движением. Количество убытков на заданном интервале времени задается пуассоновским, а суммарный убыток - сложным пуассоновским процессами. Винеровский и пуассоновский процесс предполагаются независимыми друг от друга и от размера одной (произвольной) страховой выплаты. В статье [Yang, 2005] при некоторых условиях получена формула оптимального размера капитала, инвестируемого в рисковый актив.

В статьях [Merton, 1969], [Samuelson, 1969] впервые исследован вопрос, как влияет потребление рыночных агентов на их инвестиционные стратегии. В [Merton, 1969] найдены явный функциональный вид оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, для степенной функции полезности капитала, и неявный функциональный вид оптимального потребления в случае степенной функции полезности потребления. В [Stamos, 2008] сформулирована задача выбора оптимальных стратегий потребления и инвестиций для страховой компании.

Точный вид оптимального потребления для широкого класса задач страхования до сих пор неизвестен. Основная трудность связана с решением уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB) - вообще говоря, нелинейного дифференциального уравнения с частными производными.

Существенно упрощает задачу гипотеза о принадлежности функции Беллмана - решения уравнения HJB - заданным классам функций. Например, в [Yang, 2005] использование экспоненциальной функции Беллмана специального типа позволяет свести уравнение с частными производными к обыкновенному дифференциальному уравнению и получить точную формулу оптимального размера капитала, инвестируемого в рисковый актив. Статья [Sennewald, 2006] представляет собой обзор технических методов, с помощью которых представляется возможным найти уравнение динамики оптимального потребления.

Статистический анализ финансового рынка показывает, что доходности рисковых активов имеют ненормальное распределение и характеризуются отрицательной асимметрией, положительным коэффициентом эксцесса и тяжелыми хвостами. Существует ряд работ, связанных с решением классической задачи выбора инвестиционных стратегий, в которых динамика цены рискового актива задается процессами, отличными от диффузионных. Например, в [Oksendal, 2005] цена рискового актива следует процессу Леви. В работах [Merton, 1992], [Sennewald, 2006] процесс цены рискового актива включает скачкообразную компоненту, задающуюся процессом Пуассона. В первой работе получена неявная формула оптимальной инвестиционной стратегии, во второй работе поставлена задача оптимизации без вывода точной формулы оптимального управления, в третьей - в случайном процессе динамики цены рискового актива исключена диффузионная компонента.

Модели диверсификации рисков страховых компаний и модели стохастического резервирования становятся все более популярными в академических и прикладных трудах по актуарным расчетам. Теоретической основой, применяемой для построения данных моделей, является аппарат копула-функций. Математические основы копула-функций заложены в статье [Sklar, 1959]. Монография [Nelsen, 1999] представляет из себя теоретический обзор аппарата копула-функций. В статье [Valdez, 2006] рассматривается модель, в которой сравниваются показатели Value-at-Risk актуарных убыточностей страховой компании в двух случаях: комо-нотонной (максимальной положительной) зависимости убыточностей по различным видам страхования и зависимости, задаваемой эллиптическими копулами. Таким образом, в статье анализируются только линейные типы зависимости. В указанной статье частные распределения убыточностей 5 различных страховых групп австралийского страхового рынка моделировались с помощью гамма и логнормального распределений. Основным результатом статьи является расчет показателей diversification benefit (DB) и capital savings (CS) - относительной и абсолютной выгод от диверсификации страхового портфеля соответственно. с. В статье [Kong, 2005] предлагается метод расчета диверсифицированного Value-at-Risk убыточностей по различным линиям страхования. В методе допускается, что диверсификация одинаково влияет на риски по линиям бизнеса. В статье [Isaacs, 2003] для моделирования взаимосвязей убыточностей различных страховых групп используется копула Гумбеля - пример архимедовых копул, позволяющей учесть нелинейные зависимости убыточностей.

В [\Уи, 2006] рассматрена задача выбора критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний. Модель позволяет определить, в каких случаях многопродуктовой компании следует открыть новую линию страхования. В указанной статье зависимость убыточностей по различным видам страхования моделируется с помощью архимедовой копулы Гумбеля.

Основной целью кандидатской диссертации является построение оптимальных стратегий инвестирования, потребления и диверсификации рисков страховых компаний в условиях стохастической неопределенности. Поставленную цель позволяет достичь решение следующих задач:

1. Вывод динамики оптимального потребления для различных функций полезности потребления.

2. Получение точной формулы оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив, в обобщенной модели Мертона.

3. Анализ влияния ограничений, накладываемых контролирующими органами, на формирование инвестиционных портфелей страховых компаний.

4. Сравнение согласованности критериев различных групп лиц - владельцев страховой компании и страхователей. Целью первых является максимизация ожидаемого капитала в определенный момент времени, вторых - минимизация вероятности разорения.

5. Построение модели диверсификации рисков страховой компании, учитывающей взаимосвязи между убыточностями по различным типам страхования и разработка методики оценки финансового результата при открытии новой страховой группы с учетом: 1) маргинальных функций распределения убыточностейи 2) диверсификации убыточностей по различным видам страхования. Для решения указанных задач проведены следующие расчеты: a) Статистический анализ коэффициентов актуарных убыточностей по различным линиям бизнеса с целью определения параметров зависимости указанных показателей. b) Расчет показателя УаЯ убыточностей - минимальной величины, которая не превысит с заданной вероятностью убыточность по страховой компании (рынку) в целом и переход к убыточностям по различным линиям страхования. с) Построение системы критериев, на основе которых принимается решение об открытии новой страховой группы. Показывается взаимосвязь критериев и рассчитывается финансовый результат при различных входных параметрах модели.

Диссертация имеет следующую структуру: в главе 1 приведены три аналитические результата - динамика оптимального потребления при степенной функции полезности, динамика оптимального потребления для произвольной функции полезности, точная формула оптимального инвестиционного в обобщенной модели Мертона. В главе 2 рассматривается влияние ограничений контролирующих органов на оптимальные инвестиционные стратегии и задача согласованности критериев страхователей и владельцев страховой компании. В главе 3 рассматривается модель диверсификации рисков страховой компании с учетом латентных взаимосвязей между актуарными убыточностями по различным видам страхования. Результаты исследования обсуждаются в заключении. Список источников содержит проанализированные материалы исследователей данной тематики.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Журов, Александр Николаевич

Выводы:

1. В диссертации получена зависимость оптимального потребления страховой компании от параметров модели в случае степенной функции полезности. В существующих работах такая зависимость получена только для ограниченного класса функций Беллмана, тогда как в диссертации результаты установлены для широкого класса задач. Результаты показывают, уменьшатся или увеличатся дополнительные расходы страховой компании при изменении параметров модели.

2. Установленная при степенной функции полезности динамика оптимального потребления обобщена на случай произвольной функции полезности потребления, удовлетворяющей естественным ограничениям.

3. Доказана точцая формула оптимальной инвестиционного параметра в обобщенной задаче Мертона при логарифмической функции полезности капитала. Указанная формула получена с помощью формулы Ито и использования свойств стохастических интегралов Ито и Пуассона без решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана. Установлено, что в случае степенной функции полезности оптимальная инвестиционная стратегия существует на положительной полуоси. Доказана монотонность оптимального инвестиционного управления по параметрам модели. В случае степенной функции полезности приведен численный расчет оптимального управления.

4. Показана согласованность оптимальных стратегий владельцев страховой компании и страхователей для широкого класса параметров модели. Исключением является случай низкого неприятия риска страховой компанией. Установлено, что при относительно высоких значениях доходности рискового актива формирование более рискованного инвестиционного портфеля приводит к увеличению капитала страховой компании при ограниченной вероятности разорения.

5. Построена модель диверсификации страховых рисков, которая позволяет достаточно точно оценить финансовый результат страховой компании и размер необходимых страховых резервов. Установлено, что принятие решения о присоединении новой страховой группы существенным образом зависит от степени зависимости убыточно-стей по линиям бизнеса, присутствующим в страховом портфеле с убыточностью по новой страховой линии.

Заключение

В главе 1 диссертации рассматривается страховая компания, которая занимается основной деятельностью - сбором премий и выплатами возмещений по страховым случаям,- и инвестициями на финансовый рынок и потреблением. Предполагается, что процесс суммарных убытков является сложным пуассоновским. Финансовый рынок задается безрисковым и рисковым активами, эволюция цен которых удовлетворяет динамике банковского счета и геометрическому броуновскому движению соответственно. Управляющими переменными являются доля капитала, инвестируемую в рисковый актив, и величина потребления. В модели исследуется зависимость оптимального потребления страховой компании от параметров модели.

Классический подход к решению описанной задачи заключается в решении соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана - в общем случае нелинейного дифференциального уравнения с частными производными. Отсутствие точной формулы оптимального потребления объясняется трудностями в получении решения указанного уравнения. В диссертации используется методика, позволяющая найти динамику оптимального потребления и получить монотонность на коротком интервале по параметрам модели. Найдено уравнение динамики оптимального потребления для произвольной функции полезности, удовлетворяющей естественным ограничениям. Исследован случай степенной функции полезности, для которого уравнение динамики оптимального потребления имеет достаточно простой вид.

Вторая модель первой главы диссертации связана с классической задачей - выбором оптимальных инвестиционных стратегий, максимизирующих ожидаемую полезность капитала фирмы. Как и в первой модели, финансовый рынок задается безрисковым и рисковым активом. Динамика цены рискового актива содержит скачкообразную компоненту, что соответствует задачам страховой сферы. Скачкообразная компонента в динамике цены рискового актива задается процессом Пуассона с постоянной интенсивностью. Размер одного скачка является неслучайной постоянной во времени величиной. Целью инвестора является максимизация ожидаемой полезности капитала в определенный момент времени в будущем. Таким образом, в диссертации рассматривается обобщенная модель Мертона. Предполагается, что инвестор формирует свои предпочтения в соответствии со степенной и (в предельном случае) логарифмической функциями полезности, удовлетворяющими естественным ограничениям. Управляющей переменной в модели является доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В диссертации получена явная формула оптимального управления в случае логарифмической функции полезности капитала. Для степенной функции полезности в случае положительного размера одного скачка доказано существование оптимального управления. Приводится монотонность оптимального управления по параметрам модели в случае логарифмической и - при положительной величине одного скачка - степенной функций полезности.

В первой модели второй главы второй главы рассматривается влияние ограничений контролирующих органов на долю резервов, инвестируемых в рисковый актив. Во модели показано, каким образом ограничения контролирующих органов влияют на оптимальные инвестиционные стратегии. Найдена точная формула оптимальной инвестиционной стратегии в задаче с ограничением на управлящую переменную в случае степенной функции Беллмана.

Во 2-й модели второй главы диссертации наряду с интересами владельцев и управляющих страховой компании учтены интересы страхователей. Предполагается, что страховая компания инвестирует полностью свой капитал в безрисковый и рисковый активы. Управляющим параметром является доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. Осуществлено сравнение оптимальных инвестиционных стратегий двух различных критериев: 1) максимизация ожидаемой полезности капитала и 2) минимизация вероятности разорения, соответствующих интересам владельцев страховой компании и страхователей соответственно. Сравнение инвестиционных стратегий проведено с использованием метода Монте-Карло реализации случайных величин. Предполагается, что оптимальное управление постоянно на заданном интервале времени. Без указанного предположения вычислительных мощностей оказывается недостаточно. В исследовании показано, что для широкого диапазона значений параметров два критерия сгласуются друг с другом. Исключением является случай относительно низкого неприятия риска страховой компанией. Данное свойство целевой функции характерно для страховых компаний, приемлющих высокорискованные стратегии.

В третьей главе рассматривается страховая компания, принимающая на себя риски по пяти страховым линиям. Осуществлен статистический анализ коэффициентов актуарной убыточности пяти линий бизнеса. На основании теста Колмогорова выбраны маргинальные распределения и оценена матрица ранговых коэффициентов корреляции убыточностей по различным страховым группам, которая была преобразована с учетом экспертного мнения автора. В 3-й главе сравниваются два принципиально разных случая: 1) комонотонной зависимости убыточностей и 2) зависимости, задаваемой различными копула-функциями - функциями связи случайных величин. С помощью трех эллиптических - Гаусса, Стьюден-та, Коши - и трех архимедовых - Франка, Гумбеля, Клейтона - копул моделируются убыточности по пяти видам страхования и рассчитывается величина максимальной убыточности по страховой компании с учетом диверсификации, которая не будет превышена с заданной вероятностью. Рассчитаны показатели относительной и абсолютной диверсификации страховых рисков. На основании рассчитанных показателей и допущения о том, что диверсификация одинаково влияет на риски по всем линиям бизнеса, осуществлен переход от суммарной убыточности страховой компании к убыточностям по страховым группам. Показано, что выбор копула-функции, задающей тип зависимости случайных величин, оказывает существенное влияние на оценку совокупного риска страховой компании. Показано, что при увеличении коэффициента асимметрии и коэффициента зависимости верхних хвостов величина совокупного риска возрастает.

В качестве применения данной модели в 3-й главе рассматривается задача определения критериев, на основании которых принимается решение об объединении страховых компаний с различными линиями страхования. Проанализировано влияние шести различных копула-функций: трех эллиптических - Гаусса, Стьюдента, Коши - и трех архимедовых -Франка, Гумбеля, Клейтона - на формирование решения о присоединении новой страховой линии. В модели рассматриваются два критерия: 1) величина выгоды (убытка) от диверсификации рисков новой страховой линией и 2) изменение прибыли после присоединения новой страховой линии. Расчеты осуществлены для двух случаев: относительно низкого и высокого коэффициента корреляции актуарной убыточности новой страховой группы с убыточностями существущих в страховом портфеле линий страхования. В диссертации показано, что при увеличении коэффициента верхней хвостовой зависимости эффект диверсификации рисков страховой компании 6-й группой нивелируется. Аналитически доказано, что при некоторых условиях два указанных критерия согласуются друг с другом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Журов, Александр Николаевич, 2012 год

1. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960.

2. Иваницкий А.Ю. Теория риска в страховании. М.: Факториал Пресс, 2007.

3. В.Б. Колмановский. Задачи управления при неполной информации // Соросовский образовательный журнал. 1999. N.4. С.122-127.

4. Мак Т. Математика рискового страхования. М.: ОЛИМП-БИЗНЕС, 2005.

5. Мельников А.В., Молибога М.М. Расчет схем гибкого страхования // Экономический журнал ВШЭ. 2003. N. 2.

6. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. М.: Мир, 2003.

7. Azcue P., Muler N. Optimal investment strategy to minimize the ruin probability of an insurance company under borrowing constraints // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V.44. P.26-34.

8. Bateup R., Reed I. Research and Data Analysis Relevant to the Development of Standarts and Guidelines on Liability Valuation for General Insurance // The Institute of Actuaries Australia and APRA, Tillinghast Towers-Perrin. 2001.

9. Browne S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: exponential utility and maximazing the probability of ruin // Mathematics of Operations Research. 1995. N.20. P.937-958.

10. Buhlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin: SpringerVerlag, 1970.

11. Caoa Y., Wan N. Optimal proportional reinsurance and investment based on Hamilton-Jacobi-Bellman equation // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P.157-162.

12. Chang F.-R. Stochastic Optimization in Continuous Time. Cambridge: Cambridge University Press, 2004.

13. Collings S., White G. APRA Risk Margin Analysis // Institute of Actuarials of Australia XIII the General Insurance Seminar, Trowbridge Consulting. 2001.

14. Cont R., Tankov P. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman k Hall/CRC Press, 2003.

15. Donnelly C., Embrechts P. The devil is in the tails: actuarial mathematics and the subprime mortgage crisis. // ASTIN Bulletin V. 40 N.l, P. 1-33.

16. Embrechts P., Straumann D. Correlations and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfails // Risk Management: Value at Risk and Beyond. 1999. Cambridge: Cambridge University Press.

17. Embrechts P. Copulas: A personal view // Journal of Risk and Insurance. 2009. V.76. P.639-650.

18. Embrechts P., Puccetti, G. Bounds for functions of dependent risks // Finance and Stochastics. 2006. N.10. P. 341-352

19. Embrechts P, Hofert M. Practices and issues in operational risk modeling under Basel II // Lithuanian Mathematical Journal. 2011. N. 50(2). P.180-193.

20. Embrechts P., Puccetti G. Bounds for the sum of dependent risks having overlapping marginals // Journal of Multivariate Analysis. 2009. N. 101. P. 177-190.

21. Elliott R., Chenc Z., Duan Q. Insurance claims modulated by a hidden Brownian marked point process // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P. 163-172.

22. Emms P., Haberman S.,Savoulli I. Optimal strategies for pricing general insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 2007. N.40. P.15-34.

23. Frees E.W., Valdez E.A. Understanding Relationships Using Copulas // North American Actuarial Journal. 1998. V. 2 Number 1. P. 1-25.

24. Galiani S. Copula Functions and their Application in Pricing and Risk Managing Multiname Credit Derivative Products. London: University of London, 2003.

25. Gerber H. Entscheidigungskriterien furden zusammengesetzten Poisson Pozess / / Mitteilungen der Vereinigung Schweizer Versicherungsmathematire. 1969. N. 19, P. 185-228.

26. Gerstner T., Griebel M., Holtz M. Efficient deterministic numerical simulation of stochastic asset-liability management models in life insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V. 44 P.

27. Hanson F.B. Applied Stochastic Process and Control for jump -diffusions: Modelling, Analysis and Computation. Chicago, University of Illinois, 2007.

28. Hea L., Liang Z. Optimal financing and dividend control of the insurance company with fixed and proportional transaction costs // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. V. 44. P. 88-94.

29. Hipp C. Stochastic control with applications in insurance.

30. Huang C., Litzenberger R. Foundation for Financial Economics. NJ: Prentice-Hall, 1987.

31. Hubalek F., Schachermayer W. Optimizing expected utility of dividend payments for a Brownian risk process and a peculiar nonlinear ODE // Insurance: Mathematics and Economics. 2004. V.34. P.193 225.

32. Hull J.C. Risk Management and Financial Institutions. NJ: Pearson, Prentice Hall, 2007.

33. Isaacs D. Capital Adequacy and Dependence. Institute of Actuaries of Australia, XIV General Insurance Seminar. Pages 229IJ249, 2003.

34. Kong L., Collins E., Robertson-Dunn S. Assessing & Monitoring Insurance Liability Uncertainty. Institute of Actuaries of Australia. XVth General Insurance Seminar. 2005.

35. I.Kojadinovic, J.Yan. Modelling Multivariate Distributions with Continuous Margins Using the copula R Package // Journal of Statistical Software. 2010. V. 34. Issue 9.

36. Liu C., Yang H. Optimal investment for an insurer to minimize its probability of ruin // North American Actuarial Journal. 2004 N. 8. P. 11-31.

37. Merton R. C. Lifetime Portfolio Selection under Uncertainy: The Continuos-Time Case // The review of Economics and Statistics. 1969. N. 51, P. 247-257.

38. Merton R.C. Continuous-Time Finance. Cambridge: Blackwell Publishing, 2003.

39. T. Mikosch. Copulas: tales and facts // Extremes Journal. 2006. N.9. P.3-20.

40. Nelsen R. An Introduction to Copulas. New York, NY: Springer, 1999.

41. Roger P. Stochastic Processes fo Finance. Strasbourg: Ventus Publishing ApS, 2010.

42. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. 1965. N.6. P. 13-31.

43. Sennewald K., Walde K. Ito's Lemma and the Bellman Equation for Poisson Processes: An Applied View // Journal of Economics. 2006. N. 89. P. 1-36.

44. Sklar A. Fonctions de repartition a n dimensions et leurs marges // Pub. Inst. Statist. Univ. Paris. 1959. N.8. P. 229-231. N.l. P.137-140.

45. Stamos M. Optimal consumption and portfolio choice for pooled annuity funds // Insurance: Mathematics and Economics. 2007. N. 43. P. 56-68.

46. Sy W. On the Coherence of VAR Risk Measures for Levy Stable Distributions // Australian Prudential Regulation Authority. 2006.

47. Taksar M. Diffusion optimization models in insurance and finance. 2010.

48. Valdez E.A., Tang A. Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas. International congress of Actuaries, 2006. URL: http: //www.ica2006.com/Papiers/282/282.pdf.

49. Vanduffel S. Comonotonicity: Prom Risk Measurement to Risk Management. PhD thesis. Vrije Universiteit Brussel, 2005.

50. Vyncke D. Comonotonicity // Encyclopedia of Actuarial Science. Wiley, Vol. I , P. 302-305.

51. Wang S. Discussion of Paper Already Published YUnderstanding Relationships Using CopulasY // North American Actuarial Journal. 1999. V.3.

52. Wu F., Valdez E., M. Sherris. Simulating Exchangeable Multivariate Archimedean Copulas and its Applications. 2006. Institute of Actuaries of Australia.

53. Yang H., Zhang L. Optimal investment for insurer with jump-diffusion risk process // Insurance: Mathematics and Economics. 2005. N. 37. P.615-634.

54. Yuan H., Hu Y. Optimal consumption and portfolio policies with the consumption habit constraints and the terminal wealth downside constraints // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P.405-409.

55. Zhang X., Siu T.K. Optimal investment and reinsurance of an insurer with model uncertainty // Insurance: Mathematics and Economics. 2009. N.45. P. 81-88.