Исследования по теории арбитража в стохастических моделях финансовых рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Рохлин, Дмитрий Борисович

• Рохлин, Дмитрий Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Рохлин, Дмитрий Борисович

Введение

§0.1. Краткий исторический обзор.

§0.2. Модель с дискретным временем и конечным горизонтом.

§0.3. Модель валютного рынка с операционными издержками.

§0.4. Границы цен платежных обязательств

§0.5. Модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом

§0.6. Модель большого рынка

§0.7. Структура и результаты работы.

Глава 1. Теорема Даланга-Мортона-Виллинджера

§1.1. Формулировка теоремы БМ\¥

§1.2. Вспомогательные результаты.

§1.3. Доказательство теоремы БМ\У

Глава 2. Нижние оценки плотностей мартингальных мер.

§2.1. Одношаговая модель

§2.2. Доказательство теоремы 2.1 при р € [1, оо).

§2.3. Доказательство теоремы 2.1 при р = оо.

§2.4. Л^-шаговая модель.

§2.5. Примеры

Глава 3. Критерии отсутствия арбитража при выпуклых ограничениях на портфели активов.

§3.1. Обозначения и вспомогательные результаты.

§3.2. Основные результаты.

§3.3. Ограничения, зависящие от капитала.

Глава 4. Критерии отсутствии арбитража в моделях с операционными издержками

§4.1. Носитель регулярного условного распределения многозначного отображения

§4.2. Основной результат

§4.3. Критерий безарбитражности рынка с операционными издержками

§4.4. Модель рынка с банковским счетом.

§4.5. О построении арбитражных стратегий.

Глава 5. Теорема о мартингальном выборе

Глава 6. Рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств

§6.1. Основные результаты -.

§6.2. Классификация начальных портфелей

§6.3. Субдифференциальное описание множеств Н+, Н

§6.4. Рекуррентные формулы для Н+, Н

§6.5. Примеры

Глава 7. Критерии безарбитражности в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом

§7.1. Теоремы о существовании эквивалентных супермартингальных плотностей и мер

§7.2. Примеры множеств, удовлетворяющих введенным аксиомам

§7.3. Доказательство теоремы 7.1 (о существовании ESD)

§7.4. Доказательство теоремы 7.2 (о существовании ESM)

§7.5. Дальнейшие свойства множеств W, замкнутых по Фату

§7.6. Модель рынка с конечным числом основных активов.

§7.7. О существовании эквивалентных мартингальных плотностей при наличии счетного числа основных активов: контрпример

Глава 8. Теорема Крепса-Яна.

§8.1. Теорема Крепса-Яна для слабо линделёфовых банаховых пространств

§8.2. Теорема Крепса-Яна для Ь°°.

§8.3. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств

Глава 9. Асимптотический арбитраж и эталонные портфели на больших финансовых рынках.

§9.1. Основные результаты.

§9.2. Модели рынков на конечных вероятностных пространствах

§9.3. Семимартингальные модели рынков.

§9.4. Диффузионные модели рынков

§9.5. Модель рынка с дискретным временем, бесконечным горизонтом и одной ^-нормальной акцией.

Глава 10. О существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов

§10.1. Основные результаты.

§10.2. Доказательства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследования по теории арбитража в стохастических моделях финансовых рынков»

Настоящая диссертация посвящена исследованию ряда общих стохастических моделей рынков ценных бумаг с точки зрения теории арбитража. Основное внимание уделяется моделям с дискретным временем. Исследованы модели с ограничениями на портфель, с операционными издержками, с бесконечным горизонтом, модели больших рынков. Получен ряд новых критериев безарбитражности, допускающих вычислительно осуществимую проверку. Исследованы некоторые математические задачи, тесно связанные с изучаемыми вопросами: задача о мартин-гальном выборе, теорема Крепса-Яна, вопрос о существовании эквивалентной су-пермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов.

Ниже, после краткого исторического экскурса, дается обзор ключевых результатов работы.

§0.1. Краткий исторический обзор

Лежащая в основе финансовой математики теория арбитража основана на следующем принципе: динамика цен рисковых активов не допускает арбитражных возможностей. Это означает, что любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор (участник торгов, спекулянт) не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Другими словами, не существует инвестиционной стратегии, не требующей начального капитала и приносящей неотрицательный доход, который положителен с положительной вероятностью.

Привлекательность принципа отсутствия арбитража обусловлена тем, что сделанные предположения минимальны и экономически убедительны. Он позволяет указать наиболее широкие классы случайных процессов, которые могут быть использованы для описания цен активов (при заданных правилах торговли), и определить интервалы безарбитражных цен платежных обязательств.

Принцип отсутствия арбитража упоминался еще основоположником финансовой математики Л.Башелье, который не использовал термина «арбитраж», но говорил об «операциях, в которых одна из договаривающихся сторон получает прибыль при любых ценах»1 и о том, что «подобная разница (цен) никогда не возникает на практике»2 [44]. В той же работе Башелье ввел процесс броуновского движения с целью описания цен первичных активов («ренты») и расчета цен платежных обязательств (форвардных контрактов и опционов): см. [138], [170]. При этом, фактически, использовалась идея о том, что цены активов являются мартингалами.

Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Блэ-ка, Шоулза и Мертона [48], [139]. С использованием принципа отсутствия арбитража и теории стохастического интегрирования Ито в них была однозначно определена цена Европейского опциона в модели, где динамика цен рискового актива описывается геометрическим броуновским движением. Ключевую роль при этом играла полнота рассматриваемой модели рынка: начальный капитал, необходимый для воспроизведения платежного обязательства, совпадает с ценой последнего.

В общем случае условие отсутствия арбитража приводит к существованию строго положительного функционала (ценообразующего правила), обладающего свойством согласованности: он приписывает существующие цены всем имеющимся на рынке активам и безарбитражные цены любым, новым активам. Результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного ценообразующего правила объединяются под названием «первая фундаментальная теорема расчета цен финансовых активов». Впервые результаты такого рода

Mes opérations où l'un des contractants gagnerait à tous les cours

2des écarts semblables ne se rencontrent jamais dans la pratique были сформулированы в работах [163], [83], [164]. Термин «первая фундаментальная теорема» введен в [75].

В динамических моделях рынков, где цены первичных активов описываются некоторым случайным процессом 5, в классических работах [92], [93] была подчеркнуто, что условие отсутствия арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры для процессов цен первичных активов. При этом согласованное ценообразующее правило определяется математическим ожиданием по эквивалентной вероятностной мере, относительно которой процесс Я является мартингалом. Таким образом, была установлена связь теории арбитража с теорией мартингалов.

Дальнейшее развитие теории арбитража было связано с различными обобщениями данных результатов, а также анализом новых моделей и условии безарбит-ражности. Состояние данной теории к концу прошлого века освещено в обзоре [106], где выделены динамические модели (1) с дискретным временем и конечным горизонтом, (11) с операционными издержками, (111) с непрерывным временем, (гу) больших рынков. В каждой из них вводятся и исследуются свои условия и критерии безарбитражности.

Укажем наиболее известные результаты. В модели с дискретным временем и конечным горизонтом теорема Даланга-Мортона-Виллинджера [64] устанавливает эквивалентность условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры для процесса цен первичных активов. В модели с операционными издержками [105] аналогом этого результата является утверждение об эквивалентности условия робастного отсутствия арбитража и существования строго согласованного процесса цен [171]. В обоих случаях условия безарбитражности носят алгебраический характер. При рассмотрении модели с непрерывным временем необходимо использовать топологические версии условия безарбитражности. В работах [68, 70] было установлено, что условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском, предполагающее расширение множества достижимых капиталов за счет замыкания по норме Ь°°, достаточно для существование эквивалентной локальной мартингальной (в общем случае, сг-мартингальной) меры. Наконец, в модели «большого рынка» [12, 108], представляющей собой последовательность обычных моделей рынков с конечным числом первичных активов, условия отсутствия асимптотического арбитража и наличия сильного асимптотического арбитража выражаются в терминах контигуалъности и асимптотической разделимости последовательностей эквивалентных (локальных) мар-тингальных мер.

В настоящее время теория арбитража остается активной областью исследований. В частности, большое внимание привлекают модели с операционными издержками (см. монографию [109]): условия безарбитражности в моделях с дискретным временем рассматривались в работах [28, 49, 73, 86, 98, 113, 114, 122, 150, 171, 183], в моделях с непрерывным временем — в [58, 87-90, 112] и др. После основополагающих работ [96, 162] и [12, 108, 128, 129] модели больших рынков исследовались в [46, 74, 78, 124-127, 148, 149, 151, 159].

В следующих разделах введения мы ограничимся рассмотрением лишь тех вопросов, которые имеют непосредственное отношение к тематике диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Рохлин, Дмитрий Борисович

§10.1. Основные результаты

Рассмотрим вероятностное пространство (Q, , Р), наделенное фильтрацией (c^i)teR+) = [0, оо) (т.е. неубывающим семейством <т-алгебр ^ С J^"), удовлетворяющей обычным условиям непрерывности справа и полноты [100]. Предполагается, что & = cr(Ut>o^t) и сг-алгебра J^o тривиальна с точностью до Р-нулевых множеств. Все рассматриваемые далее случайные процессы считаются согласованными с фильтрацией (^t)teR+- Пусть D — множество случайных процессов, траектории которых непрерывны справа и имеют конечные пределы слева Р-п.н.

Следуя [188], назовем семейство W С О неотрицательных случайных процессов разветвленно-выпуклым (fork-convex), если для любых элементов Хг G W, г = 1,2,3, где X2 > О, X3 > 0; любого s е R+ и любого hs G L%(&s), hs < 1 процесс принадлежит W. .Легко видеть, что если Xq = 1 для всех X € W, то разветв-ленно-выпуклое множество W является выпуклым. Если же 1 G W, то W инвариантно относительно остановки в фиксированные моменты времени, т.е. процесс Xf — Хтм принадлежит W вместе с X.

Как и в главах 7, 9, случайный процесс Z G В, удовлетворяющий условиям Zq — 1; Zt > 0, t > 0 и Zqq = linceo Zt > 0 п.н., назовем эквивалентной супермар-тингалъной плотностью для W, если процесс XZ является Р-супермартингалом для любого X G W.

Введем множество Н неотрицательных случайных величин, мажорируемых значениями элементов W в фиксированные моменты времени:

H={yeL°+:y< ХТ для некоторых X G W, Т > 0}. (10.2)

Основной результат данной главы состоит в следующем.

Теорема 10.1. Пусть W — разветвленно-выпуклое семейство случайных процессов, содержащее 1, и пусть Хо = 1 для всехХ G W. Тогда следующие условия эквивалентны: a) множество (10.2) ограничено по вероятности; b) существует эквивалентная супермартишальная плотность для W.

Данный результат имеет ясную интерпретацию в рамках математической теории арбитража. Именно, пусть имеется произвольное индексированное семейство S = (Sl)iej семимартингалов Sl G В. Через L(§) обозначим множество, элементами которого являются семейства Г = (Y)ieJ предсказуемых случайных процессов,

258 удовлетворяющих следующим условиям: (a) 7¿ = О для г £ J\/, где I — некоторое конечное множество (зависящее от Г), (Ь) определен векторный стохастический интеграл (Y)iei по (Sl)ie¡. Указанный интеграл обозначим через Г о §. Введем множество

W(S) = -рГ<ЕЮ):Х = 1+ Го§>0, Г £ L(ß)}. (Ю.З)

Данную конструкцию можно рассматривать как модель рынка с произвольным числом основных рисковых активов. Процесс Sг описывает цену г-го рискового актива, — количество указанного актива в портфеле инвестора, X — капитал допустимой инвестиционной стратегии. Следуя [118] (как и в главе 8), будем говорить, что в рассматриваемой модели рынка выполнено условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBR: No Unbounded Profit with Bounded Risk), если множество у £ L°+ : у < XT для некоторых X £ W(S), Т > 0} ограничено по вероятности.

Теорема 10.2. Для выполнения условия NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной плотности для W(§).

В случае конечного числа активов (т.е. конечного множества J) данный результат содержится в работе [118], где используется тонкая техника стохастического исчисления. Методы настоящей работы позволяют дать неожиданно короткое доказательство теоремы 10.2 (для произвольного J), основанное лишь на стандартных теоремах функционального анализа и теории мартингалов. Данный результат можно рассматривать также как критерий отсутствия асимптотического арбитража первого рода на большом финансовом рынке (см. [12], [108] и главу 9), заданном на фиксированном вероятностном пространстве (как в работе [74]).

Полезно сопоставить теорему 10.2 с более известной формой первой фундаментальной теоремы финансовой математики [68], [70]. Рассмотрим рынок с конечным числом активов (J конечно). Будем говорить, что выполнено условие отсутствия арбитража (NA: No Arbitrage), если из условий X G W(§), Х^ > 1 п.н. (при условии, что данный предел существует) вытекает, что Xqq ~ 1 п.н. Вероятностная мера Q называется эквивалентной супермартингальной мерой для W(S), если Q и Р обладают одинаковым запасом нулевых множеств и все процессы X G W(§) являются супермартингалами относительно Q.

Следующий результат [118], представляет собой удобную переформулировку первой фундаментальной теоремы [68], [70].

Теорема 10.3. В модели рынка с конечным числом активов для выполнения условий NA и NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной меры для W(§).

Подчеркнем, что предлагаемый подход не приводит к столь же короткому доказательству теоремы 10.3. Кроме того, данная теорема не допускает непосредственного обобщения на модели с бесконечным числом активов.

Таким образом, отказ от условия NA ведет к более простым и общим результатам. Следует отметить, что допустимость и даже желательность такого подхода пропагандируется в работах [60], [118], [144] и обусловлена следующими причинами (здесь имеется ввиду, что множество J конечно). Во-первых, условие NUPBR (в отличие от NA) инвариантно относительно замены дисконтирующего актива (выбора единицы измерения). Во-вторых, именно условие NUPBR допускает «конструктивное» описание в терминах триплета предсказуемых характеристик семи-мартингала S. В-третьих, данное условие эквивалентно условию существования эталонного портфеля (numéraire portfolio), т.е. такого положительного процесса V G W(§), что X/V является Р-супермартингалом для любого X G W(§). В-четвертых, только условие NUPBR существенно при рассмотрении задач оптимального инвестирования и т.п.

§10.2. Доказательства

Прежде всего напомним теорему о седловой точке (см., напр., [189], теорема 2.10.2).

Лемма 10.1. Пусть А, В — выпуклые компактные подмножества локально выпуклых векторных пространств X, У соответственно, и пусть отображение Ф : А х В \—> М обладает следующими свойствами: г) при каждом Ъ £ В функция а ь-» Ф(а, Ь) вогнута и полунепрерывна сверху, и) при каэюдом а € А функция Ъ н-> Ф(а, Ъ) выпукла и полунепрерывна снизу.

Тогда Ф обладает седловой точкой, т. е. существует пара (а,Ь) £ Ах В такая.

Нам понадобится также лемма 7.12. Представляется полезным дать ее альтернативное, более непосредственное доказательство, основанное на леммах 7.5, 10.1 и не опирающееся на результаты [133].

Лемма 10.2. Пусть множество Р С Ь\ содержит 1 и является выпуклым, телесным, ограниченным и замкнутым в Ь°. Тогда существует единственный элемент « е 1; > 0 такой, что

Доказательство. Рассмотрим множество Рдг = {х А N : х £ F}. В силу телесности Р имеем Р^ С -Р. Из вогнутости функции а н а Л Я, а также выпуклости и телесности Р очевидным образом вытекает, что выпукло.

Покажем, что ^ замкнуто в Ь°. Пусть последовательность уп £ Рм сходится к у по вероятности. Переходя при необходимости к подпоследовательности, без ограничения общности можно считать, что уп = хп Л N —» у п.н., где хп £ Р. По что

Ф (а, Ъ) < Ф(а, 6) < Ф(а, 6), (а, Ь)£АхВ. и £ Р.

10.4) лемме 7.5 при каждом п существует последовательность неотрицательных чисел (Л"лишь конечное число элементов которой отлично от нуля, такая, что

00 оо j—n j—ti zn — X]xj —> х < оо п.н., Xj — 1

При этом х £ F в силу замкнутости F в L0. Ясно, что последовательность у„ = Y^jLn XjVj сходится к у п.н. Но

00 / оо \ yn = J2xUxjAN) ^ (Х^)ANj—n \j=n )

Следовательно, y<x/\Nny£F.

Далее, множество Fдг является компактным в *-слабой топологии o^L00,!/1) пространства L°°. Для обоснования данного утверждения достаточно установить, что Fn замкнуто в топологии Макки r(L°°,L1), и воспользоваться теоремами Макки-Аренса и Банаха-Алаоглу. Заметим, что топология нормы на пространстве L1 является топологией равномерной сходимости на шаре {ж £ Ь°° : ||ж||оо = ess sup < 1}, который, как подмножество L1, является а(Ьг, 1/°°)-компактным. Поэтому сужение топологии нормы L1 на L°° слабее топологии Макки r(L°°, L1). Выше установлено, что множество F/v с {х £ L°° : ||гг||оо < А^} замкнуто в L0. Следовательно, оно замкнуто в а значит и в топологии t(l°°, l1). Рассмотрим функцию Фдг : Fn х Fn ► К вида Е (хфн(у)), фм(а) = i/[i/iv,oo)(a) + + ~ а)) J[o,i/iv)(a).

Легко видеть, что функция фн [0, оо) —» [0, оо) является ограниченной, невоз-растающей, выпуклой и непрерывно дифференцируемой. Кроме того, функция N I—> фм{о) при каждом а является неубывающей на (0, оо) и фы{о) = 1/а при N > 1 /а.

Очевидно, что функция Фдг(-,у) линейна и а(Ь°°, ./^-непрерывна на Fn при всех 1/ е ijv, а функция •) выпукла при всех х £ Fn- Покажем, что Фдг (ж, •) полунепрерывна снизу в топологии L1), т.е. что множество An = {у Е Fn

Е(х1рн(у)) < с} замкнуто в a(L°°,L1) при всех с 6 М.

Пусть у принадлежит cr(L°°, 1/1)-замыканию Ддг. Поскольку топология а(L°°, Ll) сильнее топологии а(L1, L°°) на Ь°°, то у принадлежит cr(Ll, L°°)-замыканию An-Но топология нормы на L1 согласована с двойственностью (L1, L°°), и замыкание выпуклого множества An в указанной топологии совпадает с его cr(L1, L°°^замыканием. Пусть уп £ Fn ~ последовательность, сходящаяся к у в топологии нормы L1 (а значит и по вероятности). Тогда

Е{хфм{у)) = Hm Е{хфм(Уп)) < с, п—>00 но теореме о мажорируемой сходимости. Следовательно, у £ An

По лемме 10.1 функция Ф^у обладает седловой точкой (XN,yN) на Fn х Fn'n(x, 2/jv) < Фn{xn, vn) < $n{xn, у), (x, у) e FN x FN.

Поскольку фи {о) < 1/a, AT > 0, то полагая у = xn, получаем неравенство г) < Е(хмфя(хя)) <1, х £ Fn.

По лемме 7.5 существует последовательность vn = ^ ^jVj —> v < N оо. j>n

Здесь > 0, Ylj>N Aj7 = 1 и лишь конечное число элементов последовательности (А;^)?1дг отлично от нуля. Из выпуклости и замкнутости F в Ь° вытекает, что v £ F. Покажем, что v > 0 п.н.

В силу выпуклости функции а у-> фN (а) и монотонности функции N i—»■ фN{a) имеем фn(x,vn) < j2xfe(*(%•)) < eafe^ где х Е Р/у- Пусть а Е (0,1) и N > 1/а. Тогда

Р(^лг < а)

1 > Флг(1, > Е (Фн{ън)1{ь„<а}) > фн{а)Р{Ум < а) а

Далее, используя неравенство

0} < Нт '^{Д{ьт<а}

ЛГ—>оо m>N и лемму Фату, находим р(г> = 0) < Е(Ишш£//„„<„>) < Ишт£ Р(г;лт < а) < а.

ТУ—»00 N—>00

В силу произвольности а Е (0,1) это означает, что Р(г? — 0) = 0.

Таким образом, Е (хфн(ьн)) < 1, х Е Рдт иум~^у,0<у<оо и.н. Учитывая, что —> 1Д> и.н., по лемме Фату заключаем, что Е(х/у) < 1, х Е Рм для любого М > 0. Для произвольного и Е Р имеем иЛМ Е Рм, п неравенство (10.4) вытекает из теоремы о монотонной сходимости при М | оо.

Установим единственность V. Если ги Е Р — положительный элемент, удовлетворяющий условию Е(п/гу) < 1, и Е Р и Р(г; ф т) > 0, то применяя неравенство Иенсена в строгой форме, получаем противоречие: го 1

1 > Е- > -=¡-7-^. □ v Е {у/т)

Отметим, что теорема о минимаксе для функций, заданных на подмножествах получена в работе [146]. Однако, лемма 10.2 не является прямым следствием результатов [146].

Доказательство теоремы 10.1. (а) =Ф- (Ь). При любом £ > 0 множество

Щ = {уе Р) \ у <Хг для некоторого 1бШ}с Я выпукло, телесно, ограничено по вероятности и содержит 1. Ясно, что замыкание с10(Я;) множества Щ в Ь° удовлетворяет условиям леммы 10.2. Следовательно, существует согласованный с фильтрацией случайный процесс У, 0 < Уь £ с\0(Н[) такой, что

Е(Х*Л4) <1, хеш. (10.5)

Пусть последовательность ук £ Ни сходится к Уи в Ь°. Не ограничивая общности, можно считать, что имеет место и сходимость с вероятностью 1. Рассмотрим последовательность Хк £ Щ: ук < Хк. Применив дважды лемму 7.5, построим последовательность Ук £ Ук £ соиу(Хта;т > к) такую, что Ук п.н., к оо при I 6 {б,^}, 0 < в < и. Покажем, что = Ц, при £ € {в/о,}. Подчеркнем, что здесь не утверждается существование предельного процесса ЦТ при г ¿{в, и}.

Ясно, что \¥и > Нш^-усо ук = Уи. Из неравенства (10.5) и леммы Фату следует, что Ши = Уи п.н.

Далее, построим последовательность Ук £ Щ, Ук —> У8 п.н., к —> оо и последовательность У^бШ вида v? = + где ак £ (0,1). При ак —> 1 имеем п.н.

Ук акУк +1-ак Ук У^

К ~ К акУк + 1 - IV,

Согласно лемме Фату и неравенству (10.5)

Е^г<ПтЫЕ(^-) <1. и/5 оо V К /

С другой стороны, по тем же соображениям,

V/. Ук

Е-у- < Итт£ Е-у- < 1.

У8 к—* оо У3

Отсюда следует, что У8/УУ3 = 1 п.н. Действительно, если случайная величина К/Ж, не равна константе п.н., то, воспользовавшись неравенством Иенсена в строгой форме, получаем противоречие:

Итак, У* —> п.н., к —> оо при £ 6 {5, •и}. Покажем, что для любого X £ Щ процесс Х/У является супермартингалом (идея следующего рассуждения заимствована из работы [47]). Пусть это неверно. Тогда существует ХбШи неотрицательные числа б < и такие, что вероятность события > tb положительна.

Не ограничивая общности, можно считать, что Xs > 0 на А. Действительно, пусть Хн = 0 на множестве В £ Положим

Xt = W*) + + 1в') где ак £ (0,1), ак —> 1. Поскольку Хк £ W, то множество Н содержит последовательность

9к 1 - gfc + акХи

Из ограниченности Н в Ь° вытекает, что Хи = 0 п.н. на В. Введем последовательность процессов Uk £ W по формуле

-1?/м w+1? (^ЙЙЕр+WO. где ак £ (0,1). Полагая t = и и переходя к пределу при ак —> 1, находим

Uu = lim Uk = ТАХи^- + Уи1Ао п.н.

А—+оо Л.Ц

Наконец, используя неравенство (10.5), получаем противоречие: l>liminfE^ > еГ/З^ + ^Л к-+оо Vu \ Vu Xs i

-Е № (t ) + P(Ac) > P{A) + P(Ac) = 1.

Супермартингал 1/V может не быть элементом Р. Поэтому рассмотрим его регуляризацию: liminf i s|í, seQ V3 где Q — множество рациональных чисел. Теорема Дуба о регуляризации [117] (теорема 6.27) показывает, что Zt = lim^, 1/Vg п.н., Z принадлежит В и является супермартингалом (точнее, траектории Z совпадают с траекториями такого процесса с вероятностью 1).

Процесс Z является супермартингальной плотностью для W. Действительно, пусть и < у и ип ]. и, vn I у, ип, vn £ Q. Тогда

E(XvZv\&a) < liminf Е(Xv/VVn\) < Xs/Vsy s < v; n—>oo

E{XVZV\&U) = lim E{XvZv\^Un) < lim XUn/VUn = XUZU. tl—ioo n—*oo

Остается проверить, что Z^ > 0 п.н. Согласно предложению 2.3(а) работы [120] равенство Zt = 1 fVt п.н. имеет место при всех t £ Ж.+\Х, где К — некоторое счетное множество. Множество

1 /Zt : t £ R+\K} С {Vt : t > 0} С |J el0(Ht) С cl0(#) t>o ограничено в L°. Отсюда следует, что Z^ > 0 п.н.

Ь) (а). Пусть Z — эквивалентная супермартингальная плотность для W. Пусть у £ Н и Хт = Х^ > у, X £ W. Тогда

Р(УЗ» > Л) < Р(Х^ >А)< Е^оо) < j.

Следовательно, множество Z^H ограничено в Ь°. Но оператор умножения на Z^1 непрерывен в L0. Поэтому Н также ограничено в L0. □

Доказательство теоремы 10.2. Достаточно проверить, что множество (1.3) удовлетворяет условиям теоремы 10.1. Покажем, что W(§) является разветвленно-выпуклым (ясно, что остальные условия теоремы 10.1 выполнены). Пусть Хг £

W(S), г = 1,2,3, X2 > О, X3 > 0 и К8 £ Ка < 1. Из определения множества Ш(§) следует, что процессы Хг допускают представление Хг = 1 + вг о Б, г = 1,2,3, где в1 о Б — стохастические интегралы по фиксированному семимартин-галу 5 с конечным числом компонент. Покажем, что аналогичное представление имеет место и для процесса вида (1.1). Положим

Тогда

Хг = 1 + (во 5)« = 1 + (^ о ¿V + £ка((02 о <?), - (02 о ¡5)ш) в

V1 V1

-i 0 , ,„„0 , ^О X -Л.,

МмМ + + (1 - п

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Рохлин, Дмитрий Борисович, 2010 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.— Москва: Наука, 1979.

2. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. — Москва: Высшая школа, 1979.

3. Богачев В.И. Основы теории меры. Том 1. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — Москва: Наука, 1968.

5. Гапеев П. В. Расчет верхних и нижних цен опционов европейского тииа // УМН. 1997. - Т. 52, № 4. - С. 199-200. '

6. Гущин A.A., Мордецкий Э. Границы цен опционов для семимартингальпых моделей рынка // Тр. МИ АН. — 2002. Vol. 237. — Р. 80-122.

7. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. I. Общая теория.— Москва: Издательство иностранной литературы, 1962.

8. Дистель Дою. Геометрия банаховых пространств: Избранные главы. — Киев: Вища школа, 1980.

9. Дынкин Е.Б., Евстигнеев И. В. Регулярные условные математические ожидания соответствий // Теория вероятн. и ее примен. — 1976. — Vol. 21, по. 2. — Р. 334-347.

10. Евстигнеев И.В. Теоремы измеримого выбора и вероятностные модели управления в общих топологических пространствах // Матем. сборник. — 1986. — Т. 131, № 1. — С. 27-39.

11. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. — Москва: Наука, 1967.

12. Кабанов Ю.М., Крамков Д. О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теор. вероятн. и ее примен. — 1994. — Т. 39, № 1.- С. 222-229.

13. Кабанов Ю.М., Крамков Д. О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мар-типгальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски // Теор. вероятн. и ее примен. — 1994. — Т. 39, № 3. — С. 635-640.

14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1984.

15. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Часть I. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002.

16. Левин В. Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применения в математике и экономике. — Москва: Наука, 1985.

17. Лозановский Г. Я. О некоторых банаховых структурах // Сиб. мат,, журн. 1969. - Т. 10, № 3. — С. 584-599. '

18. Магарил-Илъяев Г.Г., Тихомиров В.М. Выпуклый анализ и его приложения. — Москва: Эдиториал УРСС, 2000.

19. Мельников A.B., Феоктистов K.M. Вопросы безарбитражности и полноты дискретных рынков и расчеты платежных обязательств // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2001. — Т. 8, № 1. — С. 28-40.

20. Рокафеллар Р. Т. Выпуклый анализ. — Москва: Мир, 1973.

21. Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия асимптотического бесплатного ленча на конечномерном рынке при выпуклых ограничениях на портфель и выпуклых операционных издержках // Сиб. журн. индустр. мат. — 2002. — Т. 5, № 1.-С. 133-144.

22. Рохлин Д. Б. Расширенная версия первой фундаментальной теоремы финансовой математики при конических ограничениях на портфель // Обозр. при-кл. и промышл. матели — 2002. — Т. 9, № 1. — С. 131-132.

23. Рохлин Д. Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного вероятностного пространства // Обозр. пршл. и промышл. матем.— 2004.— Т. 11, № 4. С. 913-914.

24. Рохлин Д. Б. Критерий отсутствия арбитража в дискретной модели рынка ценных бумаг при выпуклых ограничениях на портфель // Сиб. журн. индустр. мат. 2004. — Т. 7, № 1. — С. 95-108.

25. Рохлин Д. Б. Расширенная версия теоремы Даланга-Мортона-Виллиндже-ра при выпуклых ограничениях на портфель // Теория вероятн. и ее при-мен. — 2004. Т. 49, № 3. — С. 503-521.

26. Рохлин Д. Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. — 2005. — Т. 50, № 3. — С. 480-500.

27. Рохлин Д. Б. Теорема о С-мартингальном выборе // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2006. — Т. 13, № 4. — С. 713-714.

28. Рохлин Д. Б. Конструктивный критерий отсутствия арбитража при наличии операционных издержек в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. — 2007. — Т. 52, № 1. — С. 41-59.

29. Рохлин Д. Б. О критериях безарбитражности больших финансовых рынков // Обозр. прикл. и промышл. матем. — 2007. — Т. 14, № 1. — С. 143-144.

30. Рохлин Д. Б. Теорема о мартингальном выборе для случайной последовательности с относительно открытыми выпуклыми значениями // Мат. заметки. 2007. - Т. 81, № 4. - С. 614-620.

31. Рохлин Д. Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятн. и ее примен. — 2008. — Т. 53, № 4. — С. 704-731.

32. Рохлин Д. Б. Нижние оценки плотностей мартингальных мер в теореме Да-ланга-Мортона-Виллинджера // Теория вероятн. и ее примен. — 2009. — Т. 54, № З.-С. 492-514.

33. Рохлин Д. Б. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств // Сиб. мат. журн. 2009. — Т. 50, № 1. — С. 199-204.

34. Рохлин Д. Б. О существовании эквивалентных супермартингальных плотностей для разветвеленно-выпуклого семейства случайных процессов // Мат. заметки. — на рецензии.

35. Черный А. С. Нахождение справедливых цен на основе когерентных мер риска // Теория вероятн. и ее примен. — 2007. — Т. 52, № 3. — С. 506-540.

36. Шатаев О. В. О справедливой цене опциона европейского типа // УМН.— 1998. Т. 53, № 6. - С. 269-270.

37. Шефер X. Топологические векторные пространства. — Москва: Мир, 1971.

38. Ширяев А.Н. Вероятность. — Москва: Наука, 1989.

39. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. — Москва: Фазис, 1998.

40. Aliprantis C.D., Border K.C. Infinite dimensional analysis. A hitchhicker's guide. — 3d edition. — Berlin: Springer, 2006.

41. Ansel J.P., Strieker Ch. Couverture des actifs contingents et prix maximum // Annales l'Institut H. Poinearé. 1994. - Vol. 30, no. 2. — P. 303-315.

42. Arkin V.I., Evstigneev I. V. Stochastic models of control and economic dynamics. — London: Academic Press, 1987.

43. Auslender A., Teboulle M. Asymptotic cones and functions in optimization and variational inequalities. — New York: Springer, 2003.

44. Bachelier L. Théorie de la spéculation // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1900. — Vol. 17. P. 21-86.

45. Banach spaces and topology (i) / Cascales D., Namioka I., Orihuela J., Raja M. // Encyclopedia of general topology / Ed. by K. Hart, J.-I. Nagata, J. Vaugh-an. — New York: Elsevier, 2003. P. 449-453.

46. Baran M. Asymptotic pricing in large financial markets // Math. Methods Oper. Res. 2007. - Vol. 66, no. 1. - P. 1-20.

47. Becherer D. The numéraire portfolio for unbounded semimartingales // Finance Stoch. 2001. - Vol. 5, no. 3. — P. 327-341.

48. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Polit. Econ. 1973. - Vol. 81, no. 3. — P. 637-654.

49. Bouchard B. No-arbitrage in discrete-time markets with proportional transaction costs and general information structure // Finance Stoch. — 2006.— Vol. 10, no. 2. P. 276-297.

50. Brannath W. No arbitrage and martingale measures in option pricing: Ph.D. thesis / Wien Univers. — 1997.

51. Brannath W., Schachermayer W. A bipolar theorem for Z/j.(f2, P) // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1999. — Vol. 1709. - P. 349-354. - Séminaire de Probabilités XXXIII.

52. Carassus L., Pham H., Touzi N. No arbitrage in discrete time under portfolio constraints // Math. Finance.— 2001. — Vol. 11, no. 3. — P. 315-329.

53. Carr P., Geman H.7 Madan D.P. Pricing and hedging in incomplete markets // J. Finance Econ. 2001. - Vol. 62. - P. 131-167.

54. Cassese G. Yan theorem in L°° with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2007. — Vol. 23, no. 4. — P 551-562.

55. Castaing C., Valadier M. Convex analysis and measurable multifonctions. — Berlin: Springer, 1977. — Vol. 580 of Lecture Notes in Math.

56. Cherny A.S. Pricing and hedging European options with discrete-time coherent risk // Finance Stoch. 2007. — Vol. 11, no. 4. - P. 537-569.

57. Cherny A. General arbitrage pricing model. II: Transaction costs. // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2007.— Vol. 1899.— P. 447-461.— DonatiMartin C. (ed.) et al., 40th seminar on probability, Séminaire de Probabilités XL.

58. Christensen M.M. A thesis on the growth optimal portfolio and the theory ofarbitrage pricing and portfolio selection: Ph.D. thesis / University of Southern Denmark. 2005.

59. Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stock. Anal. Appl. 2007. — Vol. 25, no. 1,- P. 255-280.

60. Corson H.H. The weak topology of a Banach space // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. - Vol. 101, no. 1. - P. 1-15.

61. Cover T.M., Thomas J. A. Elements of information theory. — New York: Wiley, 2006.

62. Cvitanic J., Schachermayer W., Wang H. Utility maximization in incomplete markets with random endowment // Finance Stoch.— 2001.— Vol. 5, no. 2. -P. 259-272.

63. Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. — 1990. Vol. 29, no. 2. - P. 185-201.

64. Dantzig G.B., Thapa M.N. Linear programming. II: Theory and extensions. — New York: Springer, 2003.

65. Delbaen F. Representing martingale measures when asset prices are continuous and bounded // Math. Finance. — 1992, — Vol. 2, no. 2, — P. 107-130.

66. Delbaen F. The Dalang-Morton-Willinger theorem. — Unpublished note.

67. Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math. Annalen. — 1994. — Vol. 300, no. 1, — P. 463-520.

68. Delbaen F., Schachermayer W. The no-arbitrage property under a change of numéraire // Stoch. Stoch. Rep. — 1995. — Vol. 53, no. 3-4, — P. 213-226.

69. Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. — 1998.— Vol. 312, no. 2.— P. 215-250.

70. Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage.— Berlin: Springer, 2006.

71. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a multivalued mapping // Ann. Math. Statist. — 1967. —■ Vol. 38, no. 2,- P. 325-339.

72. Dempster M.A.H, Evstigneev I.V., Taksar M.I. Asset pricing and hedging in financial markets with transaction costs: an approach based on the von Neumann-Gale model // Ann. Finance. — 2006. — Vol. 2, no. 4. — P. 327-355.

73. De Donno M., Guasoni P., Pratelli M. Super-replication and utility maximization in large financial markets // Stochastic Process. Appl— 2005.— Vol. 115, no. 12.-P. 2006-2022.

74. Dybvig P.H., Ross S.A. Arbitrage // The New Palgrave: a Dictionary of Economics / Ed. by Eatwell J., Milgate M., Neuman P. — London: Macmillan, 1987. — P. 100-106.

75. Evstigneev I. V., Schiirger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. — 2004. Vol. 14, no. 2. - P. 201-221.

76. Follmer H., Kramkov D: Optional decomposition under constraints // Probab. Theory Relat. Fields. — 1997. Vol. 109, no. 1. - P. 1-25.

77. Follmer H., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage and large deviations // Math. Financ. Econ. — 2008. — Vol. 1, no. 3-4.—P. 213-249.

78. Föllmer H., Schied A. Stochastic finance. An introduction in discrete time. — 2d edition. — Berlin: de Gruyter, 2004.

79. Fonseca I., Leoni G. Modern methods in the calculus of variations. LP spaces. — New York: Springer, 2007.

80. Fremlin D.H. Measure theory. Volume 4: Topological measure spaces. — Colchester: Torres Fremlin, 2003.

81. Functional analysis and infinite-dimensional geometry / Fabian M., Habala P., Hâjek P. et al. — New York: Springer, 2001.

82. Garman M.B. An algebra for evaluating hedge portfolios //J. Fin. Econom.— 1976. — Vol. 3. P. 403-427.

83. Göll T., Kallsen J. Optimal portfolios for logarithmic utility // Stochastic Process. Appl. — 2000. Vol. 89, no. 1. — P. 31-48.

84. Göll T., Kallsen J. A complete explicit solution to the log-optimal portfolio problem // Ann. Appl. Prohah. — 2003. — Vol. 13, no. 2.— P. 774-799.

85. Grigoriev P.G. On low dimensional case in the fundamental asset pricing theorem with transaction costs // Statist. Decisions. — 2005.— Vol. 23, no. 1.— P. 33-48.

86. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Math. Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 3. — P. 569-582.

87. Guasoni P., Rásonyi M., Schachermayer W. Consistent price systems and face-lifting pricing under transaction costs // Ann. Appl. Probab. — 2008. — Vol. 18, no. 2. P. 491-520.

88. Guasoni P., Rásonyi M., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for continuous processes under small transaction costs // Ann. Finance. — 2009 (to appear).

89. Raímos P.R., Savage L.J. Application of the Radon-Nikodym theorem to the theory of sufficient statistics // Ann. Math. Stat. — 1949.— Vol. 20, no. 2.— P. 225-241.

90. Harrison, J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets // J. Econ. Theory.— 1979, — Vol. 20. — P. 381-408.

91. Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading // Stochastic Process. Appl — 1981.— Vol. 11, no. 3.— P. 215-260.

92. He S. W., Wang J.G., Yan J.A. Semimartingale theory and stochastic calculus. — Beijing: Science Press, 1992.

93. Himmelberg C.J. Measurable relations // Fundamenta Math.— 1975.— Vol. 87. P. 53-72.

94. Huberman G. A simple approach to Arbitrage Pricing Theory // J. Econom. Theory. — 1982. — Vol. 28, no. 1. —- P. 183-191.

95. Hu S., Papageorgiou N.S. Handbook of multivalued analysis. Volume 1: Theory. — Dordrecht: Kluwer Academic, 1997.

96. Jacka S., Berkaoui A., Warren J. No arbitrage and closure results for trading cones with transaction costs // Finance Stoch. — 2008. — Vol. 12, no. 4. —• P. 583-600.

97. Jacod J., Shiryaev A.N. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case // Finance Stoch.— 1998,— Vol. 2, no. 3.— P. 259-273.

98. Jacod J., Shiryaev A.N. Limit theorems for stochastic processes.— Berlin: Springer, 2003.

99. Jaschke S., Kuchler U. Coherent risk measures and good-deal bounds // Finance Stoch. 2001. - Vol. 5, no. 2. - P. 181-200.

100. Jouini E., Kallal H. Martingales and arbitrage in securities markets with transaction costs // J. Econom. Theory. — 1995. — Vol. 66, no. 1. P. 178-197.

101. Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework //J. Math. Econom,.— 2005.— Vol. 41, no. 6. P. 722-734.

102. Kabanov Yu.M. On the FTAP of Kreps-Delbaen-Schachermayer // Statistics and control of stochastic processes. The Liptser Festschrift. — Singapore: World Scientific, 1997.— Papers from the Steklov-seminar held in Moscow, Russia, 1995-1996.

103. Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch. — 1999. — Vol. 3, no. 2. — P. 237-248.

104. Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitanic J., Musiela M. — Cambridge: Cambridge University Press, 2001. — P. 3-42.

105. Kabanov Yu.M. In discrete time a local martingale is a martingale under an equivalent probability measure // Finance Stock. — 2008.— Vol. 12, no. 3,— P. 293-297.

106. Kabanov Yu.M., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stock. 1998. - Vol. 2, no. 2. - P. 143-172.

107. Kabanov Yu.M., Safarian M. Markets with transaction costs. — Berlin: Springer, 2008.

108. Kabanov Yu.M., Strieker Ch. On equivalent martingale measures with bounded densities // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2001.— Vol. 1755.— P. 139-148. Séminaire de Probabilités XXXV.

109. Kabanov Yu.M., Strieker Ch. A teachers' note on no-arbitrage criteria, // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2001. — Vol. 1755. — P. 149-152. — Séminaire de Probabilités XXXV.

110. Kabanov Yu., Strieker Ch. On martingale selectors of cone-valued processes // Lecture Notes in Math. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934,— P. 439-442,— Séminaire de Probabilités XLI.

111. Kabanov Y., Râsonyi M., Strieker C. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance Stoch. — 2002. — Vol. 6, no. 3. P. 371-382.

112. Kabanov Y., Râsonyi M., Strieker C. On the closedness of sums of convex cones in L° and the robust no-arbitrage property // Finance Stoch. — 2003. — Vol. 7, no. 3.-P. 403-411.

113. Kabanov Y., Strieker Ch. Remarks on the true no-arbitrage property // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2005. — Vol. 1857. — P. 186-194. — Séminaire de Probabilités XXXVIII.

114. Kabanov Y., Strieker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs // J. Math. Econom. — 2001. — Vol. 35, no. 2. — P. 185-196.

115. Kallenberg 0. Foundations of modern probability. — New York: Springer, 1997.

116. Karatzas I., Kardaras C. The numéraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch. 2007. — Vol. 11, no. 4,- P. 447-493.

117. Karatzas I., Shreve S. Methods of mathematical finance. — New York: Springer, 1998.

118. Karatzas I., Zitkovic G. Optimal consumption from investment and random endowment in incomplete semimartingale markets // Ann. Appl. Probab. — 2003. — Vol. 31, no. 4. P. 1821-1858.

119. Kascheev D.E. On the option pricing for a generalization of the binomial model // J. Math. Sci. (N. Y.). 2000. - Vol. 99, no. 3,- P. 1267-1272.

120. Kaval K., Molchanov I. Link-save trading //J. Math. Econ. — 2006. — Vol. 42, no. 6. P. 710-728.

121. Kelly J.R. A new interpretation of information rate // Bell. Syst. Techn. J.— 1956. Vol. 35. - P. 917-926.

122. Klein I. A fundamental theorem of asset pricing for large financial markets // Math. Finance. 2000. — Vol. 10, no. 4. — P. 443-458.

123. Klein I. Free lunch for large financial markets with continuous price processes // Ann. Appl. Probab. — 2003. — Vol. 13, no. 4. P. 1494-1503.

124. Klein I. Market free lunch and large financial markets // Ann. Appl. Probab.— 2006. — Vol. 16, no. 4. P. 2055-2077.

125. Klein I. No asymptotic free lunch reviewed in the light of Orlicz spaces // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934. — P. 443-454. Séminaire de probabilités XLI.

126. Klein I., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets // Probab. Theory AppL— 1996. Vol. 41. - P. 927-934.

127. Klein L, Schachermayer W. A quantitative and a dual version of the Halmos-Sav-age theorem with applications to mathematical finance // Ann. Probab. — 1996. Vol. 24, no. 2. - P. 867-881.

128. Klôppel S. Dynamic valuations in incomplete markets: Ph.D. thesis / Swiss Federal Institute of Technology, Ziirich. — 2006.

129. Kocinski M. Hedging of the European option in discrete time under proportional transaction costs // Math. Methods Oper. Res. — 2004,— Vol. 59, no. 2.— P. 315-328.

130. Kom R. Value preserving strategies and a general framework for local approaches to optimal portfolios // Math. Finance. — 2000. Vol. 10, no. 2. - P. 227-241.

131. Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasicity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. — 1999. — Vol. 9, no. 3. — P. 904-950.

132. Kreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // J. Math. Econom. — 1981. — Vol. 8.- P. 15-35.

133. Leitner J. Optimal portfolios with expected loss constraints and shortfall risk optimal martingale measures // Statist. Decisions.— 2005.— Vol. 23, no. 1.— P. 49-66.

134. Leitner J. Optimal portfolios with lower partial moment constraints and LPM-risk-optimal martingale measures // Math. Finance. — 2008. — Vol. 18, no. 2. P. 317-331.

135. Long J.B. The numéraire portfolio // J. Financial Economics.— 1990.— Vol. 26. P. 29-69.

136. Louis Bachelier on the centenary of "théorie de la spéculation" / Courtault J.-M., Kabanov Yu., Bru B. et al. // Math. Finance. — 2000. — Vol. 10, no. 3. — P. 341-353.

137. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sci.— 1973. Vol. 4, no. 1. — P. 141-183.

138. Napp C. The Dalang-Morton-Willinger theorem under cone constraints // J. of Math. Econ. — 2003. — Vol. 39, no. 1-2. — P. 111-126.

139. Niculescu C.P., Persson L.-E. Convex functions and their applications. A contemporary approach. — New York: Springer, 2006.

140. Pham H. Dynamic ZZ-hedging in discrete time under cone constraints // SIAM J. on Control and Optimiz. — 2000. — Vol. 38, no. 3. — P. 665-682.

141. Pham //., Touzi N. The fundamental theorem of asset pricing with cone constraints // J. of Math. Econ. — 1999. Vol. 31, no. 2. - P. 265-279.

142. Platen E., Heath D. A benchmark approach to quantitative finance. — Berlin: Springer, 2006.

143. Platen H. A benchmark approach to finance // Math. Finance. — 2006. — Vol. 16, no. 1. — P. 131-151.

144. Pratelli M. A minimax theorem without compactness hypothesis // Mediterr. J. Math. 2005. — Vol. 2, no. 1. — P. 103-112.

145. Frotter P.E. Stochastic integration and differential equations. — 2d edition.— Berlin: Springer, 2004.

146. Râsonyi M. Equivalent martingale measures for large financial markets in discrete time // Math. Met. Oper. Res. — 2003. — Vol. 58, no. 3. — P. 401-415.

147. Râsonyi M. Arbitrage pricing theory and risk-neutral measures // Decis. Econ. Finance. 2004. - Vol. 27, no. 2. — P. 109-123.

148. Râsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. — Berlin: Springer, 2008. — Vol. 1934. — P. 455-462. — Séminaire de probabilités XLI.

149. Râsonyi M. A note on arbitrage in term structure // Decis. Econ. Finance.— 2008. Vol. 31, no. 1. - P. 73-79.

150. Râsonyi M., Stettner L. On utility maximization in discrete-time financial market models // Ann. Appl. Probab. — 2005. Vol. 15, no. 2,- P. 1367-1359.

151. Ritchken P.H., Kuo S. Option bounds with finite revision opportunities // J. Finance. — 1988. — Vol. 43, no. 2. — P. 301-308.

152. Rockafellar R. T. Duality and stability in extremum problems involving convex functions // Pacific J. Math. — 1967. — Vol. 21, no. 1. — P. 167-187.

153. Rockafellar R.T., Wets R.J.-B. Variational analysis. — Berlin: Springer, 1998.

154. Rogers L. C. G. Equivalent martingale measures and no-arbitrage // Stoch. Stoch. Rep. — 1994. — Vol. 51, no. 1-2. — P. 41-51.

155. Rokhlin D.B. The Kreps-Yan theorem for L°° // Int. J. Math. Math. Sci. — 2005. — Vol. 2005, no. 17. P. 2749-2756.

156. Rokhlin D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time // Electron. Commun. Probab. — 2007. Vol. 12. — P. 1-8.

157. Rokhlin D.B. Asymptotic arbitrage and numéraire portfolios in large financial markets // Finance Stoch. — 2008. — Vol. 12, no. 2, — P. 173-194.

158. Rokhlin D.B. A proof of the Dalang-Morton-Willinger theorem.— ArX-iv:0804.3308vl math.PR],

159. Rokhlin D., Schachermayer W. A note on lower bounds of martingale measure densities // Illinois J. Math. 2006. - Vol. 50, no. 4. - P. 815-824.

160. Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing //J. Econom. Theory. — 1976. — Vol. 13, no. 3. P. 341-360.

161. Ross S.A. Return, risk, and arbitrage // Risk and Return in Finance / Ed. by Friend I., Bicksler J. Cambridge: Ballinger, 1976.- P. 189-218.

162. Ross S.A. A simple approach to the valuation of risky streams // J. Business. — 1978. Vol. 51, no. 3. - P. 453-475.

163. Roux A., Tokarz K., Zastawniak T. Options under proportional transaction costs: An algorithmic approach to pricing and hedging // Acta Appl. Math. — 2008. Vol. 103, no. 2. - P. 201-219.

164. Riischendorf L. On upper and lower prices in discrete time models // Proc. Steklov. Inst. Math. 2002. — Vol. 237. - P. 134-139.

165. Schachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time // Insurance Math. Econom. — 1992.— Vol. 11, no. 4. — P. 249-257.

166. Schachermayer W. Martingale measures for discrete time processes with infinite horizon // Math. Finance. — 1994. — Vol. 4, no. 1. — P. 25-56.290

167. Schachermayer W. No arbitrage: on the work of David Kreps // Positivity. —2002. Vol. 6, no. 3. - P. 359-368.

168. Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. — 2004. — Vol. 14, no. l.-P. 19-48.

169. Schiirger K. On the existence of equivalent r-measures in finite discrete time / / Stoch. Proc. and Appl. — 1996. Vol. 61, no. 1. — P. 109-128.

170. Schweizer M. Martingale densities for general asset prices //J. of Math. Econ. — 1992,- Vol. 21, no. 4,- P. 363-378.

171. Soner H.M., Shreve S.E., Cvitanic J. There is no nontrivial hedging portfolio for option pricing with transaction costs // Ann. Appl. Probab. — 1995. — Vol. 5, no. 2. — P. 327-355.

172. Srivastava S.M. A course on Borel sets. — New York: Springer, 1998.

173. Staum J. Fundamental theorems of asset pricing for good deal bounds // Math. Finance. — 2004. — Vol. 14, no. 2. — P. 141-161.

174. Stiemke E. Ûber positive Lôsungen homogener linearer Gleichungen // Math. Annalen. — 1915. Vol. 76. - P. 340-342.

175. Strieker G. Arbitrage et lois de martingale // Ann. Inst. H. Poincaré. — 1990. — Vol. 26, no. 3. P. 451-460.

176. Takesaki M. Theory of Operator Algebras I. — Berlin: Springer, 1979.

177. Taqqu M.S., Willinger W. The analysis of finite security markets using martingales // Adv. Appl. Probab. 1987. — Vol. 19, no. 1,- P. 1-25.

178. Tokarz K., Zastawniak T. Dynamic programming algorithms for the ask and bid prices of American options under small proportional transaction costs. — Preprint, http://ssrn.coin/abstract=581543.

179. Vallière D., Kabanov Yu., Strieker C. No-arbitrage criteria for financial markets with transaction costs and incomplete information // Finance Stoch. — 2007. — Vol. 11, no. 2,- P. 237-251.

180. Vàth M. Ideal spaces. — Berlin: Springer, 1997. — Vol. 1664 of Lecture Notes in Math.

181. Wagner D.H. Integral of a convex-hull-valued function // J. Math. Anal. Appl. — 1975. — Vol. 50. P. 548-559.

182. Wagner D.H. Survey of measurable selection theorems // SIAM J. Control Op-tim. 1977. - Vol. 15. - P. 859-903.

183. Yan J.A. Caractérisation d'une classe d'ensembles convexes de L1 ou H1 // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1980. - Vol. 784. — P. 220-222. — Séminaire de Probabilités XIV.

184. Zitkovic G. A filtered version of the bipolar theorem of Brannath and Schaeher-mayer // J. Theoret. Probab. — 2002. — Vol. 15, no. 1. P. 41-61.292

185. Zähnescu C. Convex analysis in general vector spaces. — Singapore: World Scientific, 2002.j+jLf -ffd293•J-'/