Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений в астрофизике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.03.02, кандидат физико-математических наук Журавлев, Вячеслав Вячеславович

• Журавлев, Вячеслав Вячеславович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Журавлев, Вячеслав Вячеславович

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Основное течение и вид возмущений

1.2 Граничное условие на свободной границе.

1.3 Способ решения граничной задачи

1.3.1 Случай несжимаемой жидкости.

1.3.2 Случай сжимаемой жидкости.

2 Рост возмущений в приближении идеальной несжимаемой жидкости

2.1 Введение

2.2 Уравнение для возмущений и граничные условия.

2.3 Проверка численного метода: осесимметричные возмущения

2.4 Неосесимметричные возмущения

2.4.1 Растущие моды.

2.4.2 Неустойчивость кеплеровского вращения с квазисинусоидальным отклонением.

2.4.3 Неустойчивость вращения по степенному закону.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая неустойчивость ламинарных аксиально-симметричных течений в астрофизике»

3.2 Уравнение для возмущений.53

3.3 Граничные условия и регулярность решения в граничных точках . 55

3.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения.59

3.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением.73

3.6 Заключение.81

4 Рост возмущений в течении с учетом стратификации 83

4.1 Введение .83

4.2 Уравнение для возмущений.84

4.3 Граничные условия, регулярность решения в граничных точках и профиль энтропии. 87

4.4 Неустойчивость течения со степенным законом вращения.92

4.4.1 Расчеты с учетом сжимаемости.92

4.4.2 Расчеты в приближении несжимаемой жидкости.100

4.5 Неустойчивость кеплеровского вращения с квази-синусоидальным отклонением.102

4.6 Заключение.104

Заключение 107

Введение

Вопрос о гидродинамической устойчивости различных астрофизических систем по сути является одной из наиболее часто встречающихся задач теоретической астрофизики. Главным критерием существования той или иной физической конфигурации является анализ ее устойчивости относительно бесконечно малых возмущений различного типа, т.е., в первую очередь, линейный анализ на устойчивость. Причем появление неустойчивости приводит к новой динамике вещества и формированию на нелинейной стадии физических систем нового вида. Здесь можно привести множество примеров, начиная со знаменитой гравитационной неустойчивости Джинса, ответственной в тех или иных модификациях за рост возмущений плотности в молодой Вселенной и в протозвездных облаках, и заканчивая конвективной неустойчивостью, определяющей физические процессы в атмосферах звезд. Большое приложение в астрофизике также нашла проблема неустойчивости сдвиговых течений, к примеру, вопрос о неустойчивостях в звездных и галактических джетах (Чоудхыори 1984, Биркиншоу 1996, Афанасьев и др., 2007), о неустойчивостях в различного рода пограничных слоях - в рамках магнитной гидродинамики на границе между магнитосферами планет и солнечным ветром (Шарма и Шривастава, 1992), на границах кометных хвостов (By и Ванг, 1991), наконец, о тепловых и динамических неустойчивостях в турбулентных аккреционных дисках и в галактических газовых дисках, где некоторые виды неустойчивостей ответственны за появление спирального узора (см. монографию Морозова и Хоперскова, 2005).

К задаче о гидродинамической устойчивости напрямую относится большая и давняя проблема переноса углового момента и/или возникновения турбулентности в кеплеровских аккреционных дисках (Балбус 1998). Эта проблема имеет непосредственное отношение к теме настоящей диссертации. Исторически переход от ламинарного к турбулентному движению исследовался в лабораторных условиях с конца 19 века. Первым, кто провел систематическое исследование в этом направлении, был Рейнольде, который в 1883 году ввел число .R, называемое теперь его именем и характеризующее соотношение сил инерции и вязких сил в жидкости. Он также ввел (рейнольдсовы) напряжения, характеризующие взаимодействие основного потока с наложенными возмущениями (Бэтчелор, 1973). Проведенные им эксперименты показали, что для ламинарного течения существует некоторое критическое значение R^, такое, что при R > R& течение в принципе может стать турбулентным. Это означает, что течение может оставаться и ламинарным, однако в этом случае малейшие возмущения потока вызовут быстрое развитие хаотического движения. Наоборот, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентность может оставаться при R < Re-. Данные результаты говорят о том, что переход к турбулентности - существенно нелинейный процесс, который зависит от значения амплитуд возмущений основного потока. По этой причине проблема генерации турбулентности, в том числе и в аккреционных дисках, должна решаться и решается методами нелинейной динамики. Однако значительные успехи были достигнуты и линейной теорией, т.е. рассмотрением устойчивости относительно бесконечно малых возмущений (см. книги Линь 1958, Чандрасекар, 1961, Бетчов и Криминале 1975, Дразин и Рейд, 1981, Джозеф, 1981, а также Прингл и Кинг, 2007). Часто линейная теория если и не предсказывает точных значений Rто позволяет легче понять физику развития неустойчивости. Авторы, исследующие проблему турбулентности в аккреционных дисках, часто ссылаются на классические примеры успешного решения задач об устойчивости относительно бесконечно малых возмущений для сдвиговых лабораторных течений. Это течение Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами, исследованное экспериментально и теоретически Тэйлором в 1923 году, плоскопараллельное течение Пуазейля, исследовавшееся аналитически

Линем (1944) и численно Томасом (1953) и пограничный слой Блазиуса, рассмотренный впервые Толлмином (1929). Но самые ранние результаты, до сих пор остающиеся одними из наиболее общих в теории гидродинамической устойчивости, были получены Лордом Рэлеем (1880, 1916). Рэлей занимался исследованиями устойчивости ламинарных, аксиально симметричных течений. В более поздней работе он открыл динамическую неустойчивость вращающейся идеальной жидкости, момент количества движения в которой падает с удалением от оси вращения. Эта неустойчивость имеет место при бесконечно малых возмущениях с сохранением момента количества движения, т.е. при аксиально симметричных возмущениях. Здесь можно говорить о локальном критерии Рэлея, который не зависит от граничных условий. В более ранней работе он изучал устойчивость аксиально симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений, при которых момент вращения в возмущенном течении не сохраняется. В этом случае для задачи с жесткими границами, коими являются стенки вращающихся цилиндров, он сформулировал необходимое условие неустойчивости исходного течения, которое заключается в знакопеременное™ производной от завихренности исходного течения. В задачах со свободными граничными условиями, имеющих непосредственное приложение в астрофизических условиях, такое необходимое условие отсутствует.

В астрофизике в большинстве случаев мы имеем дело с кеплеровыми дисками, т.е. с дисками, угловая скорость вращения в которых падает с расстоянием как а г-3/2, и, соответственно, удельный момент количества движения растет ос г1!2. Таким образом, кеплеровы диски устойчивы по локальному критерию Рэлея, что, прежде всего, гарантирует их существование. С учетом релятивистских эффектов вблизи черных дыр и компактных нейтронных звезд существует радиус последней устойчивой круговой орбиты такой, что на более близких расстояниях удельный момент количества движения растет с уменьшением радиальной координаты. Внутри радиуса последней устойчивой орбиты частицы падают по спирали на тяготеющий центр с сохранением момента количества движения. В лабораторных экспериментах наличие жестких стенок в течениях с падающим наружу моментом количества движения приводит (с учетом конечной вязкости) к возникновению нового, стационарного течения, которое представляет собой тороидальные вихри Тэйлора (1923). В общем случае наличие жестких границ в лабораторных экспериментах и отсутствие таковых в большинстве астрофизических задач приводит к принципиально разным результатам в задачах устойчивости аксиально симметричных течений. Поэтому не всегда имеет смысл обобщать результаты, полученные в лаборатории (см. напр. Джи и др. 2006), на задачи астрофизики.

Наиболее адекватным в данной ситуации явилось изучение устойчивости аксиально симметричных течений относительно неосесимметричных возмущений. Пионерские работы в этом направлении были прежде всего выполнены Папалойзу и Принглом (1984, 1985, 1987), которые показали, что тороидальное течение идеальной жидкости со свободными границами в ньютоновском гравитационном потенциале неустойчиво относительно возмущений указанного типа. Этот результат послужил стимулом к дальнейшему исследованию обнаруженной неустойчивости. В большинстве работ авторы ограничивались решением линейной задачи без учета вязкости. В различных приближениях либо рассматривалось поведение так называемых нормальных мод возмущений, которые в силу стационарности основного потока имеют экспоненциальную зависимость от времени, либо решалась задача с произвольными начальными возмущениями.

Так, например, Блаес и Глатзел (1986) рассмотрели простейшую модель цилиндрического (т.е. с пренебрежением зависимостью от вертикальной координаты) изомоментного течения несжимаемой жидкости со свободными границами и получили инкременты для нормальных мод, сравнимые по величине с кеплеровской частотой. В работе Голдрайха и др. (1986) было показано, что длинноволновые нормальные моды в тонком торе со свободными границами и степенным профилем вращения О, ос r~q растут как в случае сжимаемой, так и в случае несжимаемой жидкости, причем задача эквивалентна узкому цилиндрическому течению с заменой трехмерного индекса политропы п на двумерный N = п + 1/2. Кроме того, оказалось, что тонкий сжимаемый тор становится устойчивым при q < \/3. Приближение цилиндрического течения несжимаемой жидкости использовалось Ярошинским (1988) и Секийей и Мийамой (1988). Последние получили аналитическое выражение для инкремента возмущений в случае узкого зазора. Наконец, Глатзел (1987а), также пренебрегая вертикальной структурой потока, изучил неустойчивость относительно нормальных мод течения сжимаемой жидкости произвольной протяженности в радиальном направлении. Здесь стоит упомянуть и работу Ханавы (1987b), в которой было рассмотрено такое же течение, но с жесткими границами и квазикеплеровским законом вращения. После указанных исследований стало понятно, что поток жидкости, вращающийся вокруг тяготеющего центра и обладающий свободными границами, способен вызвать рост поверхностных волн, для которых не важна сжимаемость, и звуковых колебаний, взаимодействующих с помощью резонансного механизма на радиусе коротации, где фазовая скорость моды возмущения равна скорости вращения основного потока (см. по этому поводу, напр., Голдрайх и Нараян (1985), Нараян и др. (1987), Глатзел (1987b), Глатзел (1988), Друри (1985), Като (1987)). Численный расчет нормальных мод в тороидальном течении произвольного размера с положительным градиентом углового момента был проведен Коджимой (1989) и подтвердил предыдущие результаты, одновременно показав, что учет вертикальных движений в возмущенном течении незначительно влияет на поведение инкрементов. Это, в свою очередь, оправдало упрощенный двумерный подход к решению задачи на собственные значения в случаях, когда угловая скорость вращения основного потока зависит только от г (см. обсуждение в статье Коджимы). Задача с произвольными начальными возмущениями рассматривалась, например, Франком и Робертсоном (1988). Наконец, исследование неосесимметричных мод на нелинейной стадии было выполнено Зуреком и Бенцом (1986), которые показали, что в результате роста возмущений изначально изомоментное течение после перераспределения углового момента переходит в течение с усредненным законом вращения ос г-175, а также Хаули (1987, 1990), обнаружившим что тонкий тор в результате нелинейной эволюции нормальных мод превращается в конфигурацию, состоящую из нескольких слабо связанных уплотнений ("планет"), число которых равно азимутальному числу m начального возмущения. В более поздней работе Хаули (1991) рассмотрел трехмерные неосесимметричные возмущения в протяженном толстом торе и получил, что в этом случае образуется сильная спиральная волна давления, возбуждающая аккрецию. В ряде других работ обсуждалось влияние аккреции (что для идеальной жидкости возможно, когда внутренняя граница диска находится на уровне последней устойчивой орбиты в метрике Шварцшильда) на рост неосесимметричных возмущений (см. Блаес 1987, Гэт 1992). В них обсуждалось, что в данном случае возможна самоподдержка аккреции: неосесимметричные моды порождают аккрецию, которая в свою очередь сдерживает их рост, что приводит к некоей стационарной картине радиального движения вещества.

В упомянутых до сих пор работах поток жидкости считался истинно баротропным, т.е. подразумевалось, что как невозмущенном, так и возмущенном течении выполняется одна и та же связь между давлением и плотностью р(р). Однако в реальных условиях возможно существенное влияние стратификации среды, когда в результате нагрева или охлаждения вещества может появиться крупномасштабный градиент энтропии.

Говоря об опубликованных в астрофизической литературе исследованиях по неустойчивости стратифицированного течения относительно неосесимметричных возмущений, стоит упомянуть, например, работу Франка и Робертсона (1988), где рассматривалась неустойчивость торов в задаче со случайными начальными возмущениями, и работу Коджимы и др. (1989), в которой изучались как тороидальные, так и цилиндрические течения. Заметим, что в обоих случаях были получены схожие результаты, а трехмерные растущие моды возмущений в тороидальном потоке оказались слабо зависящими от вертикальной координаты. Сами авторы, как и в работе Коджимы (1989), объяснили это тем, что когда угловая скорость вращения зависит только от радиального направления, напряжения Рейнольдса, ответственные за передачу энергии от основного потока к возмущениям, не содержат вертикальной компоненты возмущения скорости. Далее, Глатзел (1990) рассмотрел неустойчивость цилиндрического и плоско-параллельного течений в приближении малой величины сдвигового слоя. Для того, чтобы исключить растущие звуковые и поверхностные гравитационные моды, он считал жидкость несжимаемой, а границы жесткими, задавая при этом профиль переменной плотности. Полученная неустойчивость трактовалась им как результат усиления внутренних гравитационных мод, всегда существующих в неоднородном потоке. Несколько позже Гош и Абрамович (1991) рассмотрели цилиндрическое течение, состоящее из двух жидкостей разной плотности, расположенных так, чтобы основной поток был устойчив по Рэлею-Тейлору. Помимо модифицированной ветви растущей поверхностной гравитационной моды, появляющейся из-за наличия свободных границ (Блаес и Глатзел, 1986), была обнаружена ветвь неустойчивости, связанная именно с разрывами плотности в невозмущенной конфигурации. Эта неустойчивость вызвана растущей внутренней гравитационной модой, которая, однако, аналогична растущей поверхностной моде, т.к. поверхность раздела двух жидкостей отличается от свободной поверхности лишь конечным отношением плотностей. Говоря о более поздних публикациях, нельзя не упомянуть о результатах Лавлейса и др. (1999) и Ли и др. (2000). В этих работах в двумерном приближении была рассмотрена устойчивость тонких кеплеровских дисков с локальным максимумом энтропии. В частности, для локальных растущих неосесимметричных возмущений было получено дисперсионное соотношение, схожее с дисперсионным соотношением для волн Россби. Кроме того, Клар и Боденхаймер (2003) исследовали неустойчивость кеплеровских дисков с энтропией, падающей на периферию.

В задачах об устойчивости стратифицированных течений фундаментальную роль играет критерий Ричардсона. Изначально он был получен для плоско-параллельных течений (см., напр. Ховард, 1961). В этом случае для устойчивости потока относительно бесконечно малых возмущений достаточно, чтобы везде в потоке число Ричардсона Ri было больше 1/4. Обобщение же критерия Ричардсона на случай аксиально-симметричного бароклинного течения, когда угловая скорость вращения зависит как от радиальной, так и от вертикальной координаты, было получено Фуджимото (1987) в приближении несжимаемой жидкости и Ханавой (1987а) с учетом сжимаемости.

Упомянем здесь о еще одном критерии устойчивости, относящемся к вращательным течениям со стратификацией. Речь идет о критерии Хейланда (см., напр., Тассуль, 1982) , который говорит об устойчивости относительно малых возмущений с осевой симметрией. Для двумерных течений без вертикальной структуры он является обобщением критерия Рэлея и отражает факт совместного стабилизирующего действия момента вращения, растущего на периферию и растущей против направления эффективной силы тяжести энтропии.

Отдельным важным вопросом является причина возникновения неустойчивости относительно обсуждаемых неосесимметричных мод возмущений. Наглядная физическая интерпретация механизмов усиления малых колебаний позволяет получить общую картину роста возмущений, а также, может помочь в поиске новых типов неустойчивостей (Степанянц и Фабрикант, 1996). В основе передачи энергии от основного течения к возмущениям (или, наоборот, что соответствует затухающим колебаниям) лежат два механизма. Прежде всего это аналог механизма затухания Ландау (см. Ландау и Лифшиц, 2003), широко известного в физике плазмы. В его основе лежит резонансное взаимодействие какой-либо глобальной моды возмущения с исходным течением в т.н. критическом слое, где фазовая скорость волны возмущения равна скорости потока. Данный механизм действует в течениях разной геометрии (напр., и в плоско-параллельных, и во вращательных движениях). Необходимым условием для него является отличная от нуля производная завихренности основного потока в критическом слое (который для вращательных течений также называется радиусом коротации), что позволяет моде возмущения забирать или отдавать энергию основному потоку. Завихренность непостоянна вдоль течения, когда существует радиальный градиент удельного углового момента.

Однако, хорошо известно, что, к примеру изомоментное течение жидкости со свободными границами неустойчиво относительно поверхностных гравитационных мод (см. ссылки, данные выше). В этом случае первый механизм не может работать, т.к. завихренность основного течения просто равна нулю. Глатзел (1987b) со ссылкой на оригинальную работу Кейрнса (1979) выделил в отдельный способ возникновения неустойчивости резонансное взаимодействие мод с энергией разного знака. Поток энергии от моды, обладающей отрицательной энергией, к моде с положительной энергией вызывает рост амплитуд у обеих мод. С помощью данного механизма удалось обьяснить полученные в численном расчете зоны неустойчивости изомоментного течения как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. Оказалось, что на графике зависимости фазовой скорости мод от радиальной протяженности течения ветви первоначально нейтральных колебаний при совпадении фазовых скоростей превращаются в затухающее и растущее возмущение. Это имеет место и для поверхностных гравитационных мод, которые остаются в пределе бесконечно большой скорости звука, и для звуковых мод. В трактовке Глатзела все моды делятся на два сорта, принадлежат двум разным границам и имеют либо положительную, либо отрицательную энергию. Когда при некоторой ширине зазора фазовые скорости разных ветвей, а значит, и коротационные области, почти совпадают, происходит так называемое спаривание мод и возникает неустойчивость резонансного характера.

Обсуждаемый механизм был наиболее подробно рассмотрен в работе Глатзела (1988), посвященной неустойчивости сдвигового слоя сжимаемой жидкости с постоянной завихренностью, находящегося между двумя полубесконечными потоками, обладающими различными постоянными скоростями. В пределе бесконечно узкой толщины сдвига получаем течение с разрывом скорости, которое абсолютно неустойчиво по Кельвину. Глатзел рассмотрел влияние сжимаемости и перепада плотностей на краях сдвигового слоя на общую картину неустойчивости. По величине перепада плотности были рассмотрены три варианта: плотность вне слоя сдвига очень велика, что соответствовало жестким граничным условиям, плотность вне слоя сдвига равна нулю, что соответствовало свободным граничным условиям, и, наконец, отношение плотностей порядка единицы. Последний случай разрешает распространение звуковых волн и, соответственно, уход или приход энергии с бесконечности. Автор показал, что в этом случае звуковые моды, отвечающие вдалеке от сдвигового слоя убегающим на бесконечность волнам, имеют положительную энергию и, поскольку, теряют ее на излучение, то затухают. С другой стороны, моды типа Кельвина-Гельмгольца, остающиеся в пределе несжимаемой жидкости, оказываются растущими, т.к. имеют отрицательную энергию. Автор также проводит сравнение рассмотренного плоскопараллельного течения с аксиально-симметричным изомоментным потоком. Действительно, карты фазовых скоростей звуковых и КГ- мод в первом случае качественно совпадают с аналогичными зависимостями для звуковых и поверхностных гравитационных мод во втором случае.

В случае, когда задача усложняется наличием градиента энтропии или магнитного поля (см. Гош и Абрамович 1991, Глатзел 1990, 1991, Коджима и др. 1989, Огилви и Прингл, 1996, Рюдигер и Зан, 2001), появляются новые виды колебаний с энергией разного знака, которые могут также порождать новые зоны неустойчивостей. При появлении градиента углового момента начинает работать механизм резонансного взаимодействия с потоком, и моды колебаний, даже вдалеке от областей спаривания, становятся затухающими или растущими. Таким образом, в общем случае картина неустойчивости определяется совместным действием обоих механизмов. Кроме того, нарастание колебаний с отрицательной энергией вне зон спаривания могут обеспечивать и другие механизмы, отбирающие у них энергию. Это может быть, к примеру, вязкая диссипация или излучательная неустойчивость (Степанянц и Фабрикант, 1996).

Наконец, упомянем о еще одном механизме, усиливающем возмущения, - механизме сверхотражения. С данным явлением приходится сталкиваться в задачах, где рассматривается распространение волн в сдвиговых потоках. Сверхотражение от областей со сдвиговым течением может происходить с волнами самой различной природы, например, со звуковыми волнами на сверхзвуковом разрыве скорости (Майлс, 1957, Рибнер, 1957) либо при взаимодействии со струей с переменной завихренностью (Андронов и Фабрикант, 1980), или с внутренними гравитационными волнами в аналогичной ситуации (Маккензи, 1972, Линдзен и Баркер, 1985, Троицкая и Фабрикант, 1987). В приложении к астрофизическим дискам в двумерном подходе в некоторых работах в WKB-приближении изучалось сверхотражение от запрещенной для распространения коротковолновых мод области течения вблизи радиуса коротации (см. Марк 1976, Голдрайх и Нараян 1985, Нараян и др. 1987). Сверхотражение естественным образом обьясняется либо резонансным взаимодействием с потоком, либо в рамках концепции волн с отрицательной энергией. Так, в последних упомянутых работах было показано, что при определенных условиях с разных сторон от точки коротации коротковолновые моды могут иметь положительную и отрицательную энергию. Тогда волна, например, с положительной энергией, распространяющаяся по радиальной координате, достигает запрещенной области и делится на отраженную и прошедшую волну. Поскольку прошедшая волна обладает отрицательной энергией, то в отраженной волне амплитуда увеличивается по сравнению с амплитудой первоначально падавшей волны. Коэффициент усиления пропорционален вероятности туннелирования через запрещенную область. Если со стороны падающей волны наложить граничное условие полного отражения (например, равенство нулю радиальной компоненты возмущения скорости, т.е. жесткую границу или равенство нулю возмущения давления, т.е. свободную границу), то в получившемся резонаторе WKB-моды будут расти. Однако данный механизм работает только для звуковых колебаний, поскольку в выражение для вероятности подбарьерного перехода входит скорость звука, и когда последняя стремится к бесконечности, что соответствует пределу несжимаемой жидкости, подбарьерный переход невозможен. Заметим, кроме того, что если скорость звука стремится к нулю, то достигается тот же результат, т.е. сверхотражение (как, впрочем, и распространение самих звуковых волн) становится невозможным.

Важно подчеркнуть, что во всех перечисленных работах изучалась устойчивость аксиально симметричных потоков со степенным профилем угловой скорости вращения ос r~q (1.5 < q < 2). Такой закон приводит к некеплеровскому вращению на границах течения. Однако в принципе возможны профили угловой скорости вращения с нулевым градиентом давления на границах. Настоящая диссертация посвящена исследованию неустойчивости аксиально-симметричного течения идеальной жидкости относительно двумерных неосесимметричных бесконечно малых возмущений в плоскости, перпендикулярной оси вращения основного потока. Новым шагом в изучении роста неосесимметричных мод стало то, что наряду со стандартным предположением о том, что угловая скорость падает с г степенным образом, был рассмотрен второй закон вращения, задаваемый кеплеровской частотой с квази-синусоидальным отклонением. Для него, в отличии от первого закона Щг), на границах течения скорость вращения равна кеплеровской. В первой главе настоящей диссертации будет произведена постановка задачи: подробно описано основное течение, неустойчивость которого предстоит исследовать, вид возмущений, которые будут наложены, а также способ решения итоговой граничной задачи. Вторая, третья и четвертая главы диссертации соответствуют различным гидродинамическим приближениям. В первой главе жидкость считается несжимаемой. Это простейшее приближение позволяет исследовать наиболее общие динамические свойства основного течения и получить предельные по отношению последующим приближениям решения задачи на устойчивость. Кроме обычных свободных граничных условий, здесь будут рассмотрены также жесткие граничные условия, которые не запрещают существование неустойчивости для второго закона вращения (по необходимому условию Рэлея). Во второй главе учтена сжимаемость жидкости. Заметим, что в рассматриваемой задаче, вообще говоря, нельзя пренебрегать изменением плотности в возмущенном течении, т.к. в случае двух свободных границ скорость сдвигового течения всегда оказывается сравнимой со скоростью звука. Наконец, в третьей главе учтен возможный ненулевой радиальный градиент энтропии. Результаты третьей главы как для степенного закона вращения, так и для кеплеровского закона с квази-синусоидальным отклонением, целиком получены впервые.

Заключение диссертации по теме «Астрофизика, радиоастрономия», Журавлев, Вячеслав Вячеславович

Заключение

В настоящей диссертационной работе была рассмотрена динамическая неустойчивость ламинарного аксиально-симметричного течения конечной протяженности в радиальном направлении. Предполагалось, что поток жидкости находится во внешнем гравитационном потенциале, и главное внимание было уделено случаю с двумя свободными границами. Две упомянутых особенности характерны именно для астрофизической задачи, и, как было выяснено, играют немаловажную роль в картине неустойчивости наряду с главным физическим фактором, приводящим к росту неосесимметричных возмущений -сдвиговости течения. Граничная задача на поиск растущих нормальных мод решалась в нескольких приближениях: от наиболее простого приближения однородной несжимаемой жидкости до приближения стратифицированного потока с учетом сжимаемости. При этом, среда считалась идеальной, т.е. не учитывалась диссипация энергии и какая-либо теплопередача. Последнее отражено и в названии настоящей работы: исследовалась именно динамическая неустойчивость течения.

Особенностью работы явилось то, что впервые была изучена неустойчивость течения жидкости с кеплеровским вращением на границах, т.е. с равной нулю на границах эффективной силой тяжести ре//, а значит, и градиентом давления (в случае несжимаемой жидкости), градиентом энтальпии (в случае гомэнтропного течения) и градиентом давления, деленном па плотность (в случае негомэнтропного течения). Конкретный профиль угловой скорости вращения ft, отражающий указанную возможную ситуацию в реальном газовом потоке, задавался законом (1.3). В главе 2 без учета сжимаемости было показано, что когда вращение основного потока происходит по указанному закону, всегда существует минимальное ненулевое значение амплитуды отклонения угловой скорости от кеплеровской внутри потока К = Ккр > 0, после которой происходит стабилизация течения, в то время как в случае вращения по степенному закону (1.4), т.е. с некеплеровской угловой скоростью на границах, неустойчивость появляется при любом сколь угодно малом отклонении угловой скорости от кеплеровского значения в самом потоке. Из этого был сделан вывод, что равная нулю на свободной границе эффективная сила тяжести geff способна стабилизировать течения с профилем близким к кеплеровскому.

Более того, с учетом сжимаемости данный вывод остается справедливым, поскольку возможная звуковая неустойчивость, обнаруженная в многочисленных работах для степенного профиля вращения, отсутствует, когда geff = 0 на свободных границах. Данный факт является вторым новым результатом, полученным в диссертационной работе.

В приближении истинно баротропного (гомэнтропного) течения с учетом сжимаемости также подробно проанализирована общая картина неустойчивости для степенного закона Q. Показано, что поведение растущих мод естественно обьясняется совместным влиянием резонансного взаимодействия с основным потоком каждой нормальной моды и попарного резонансного взаимодействия звуковых и поверхностных гравитационных мод друг с другом. В частности, когда вращение близко к кеплеровскому (т.е. q близко к 3/2), при определенных значениях параметров граничной задачи за счет резонансного взаимодействия звуковых возмущений возникает значительное увеличение инкрементов, имеющее вид резких пиков.

Отдельный вопрос представляло само решение граничной задачи с учетом сжимаемости, когда на свободной границе коэффициенты соответствующего дифференциального уравнения имеют полюса. При этом возникала проблема эквивалентности граничного условия и условия регулярности решения в граничных точках rj и гг. Оказалось, что в случае некеплеровского вращения в г\ и г2 два этих условия всегда удовлетворяются одновременно, если только возможная переменная по г энтропия и ее производные конечны в граничных точках. Последнее не выполняется на свободной границе, если, например, в основном течении псевдобаротропность задается политропным законом р ос рт с Г ф 7, где 7 - показатель адиабаты в среде.

Наконец, рост нормальных мод возмущений был исследован в наиболее общем для изоэнтропийного течения приближении, когда во внимание принимается и сжимаемость жидкости, и градиент энтропии по направлению эффективной силы тяжести. Впервые показано существенно различное поведение звуковых и поверхностных гравитационных мод под действием стратификации основного потока. В частности, для степенного закона вращения, как при падающей, как и при возрастающей энтропии против направления gувеличивается максимальное значение радиальной протяженности потока w и уменьшается минимальное значение q, при которых исчезают растущие поверхностные гравитационные моды. В то же время, различные ветви звуковой неустойчивости ведут себя по-разному. Инкременты некоторых из них монотонно растут по мере уменьшения степени стабилизации по критерию Хейланда (4.16). Инкременты же другой части звуковых мод зануляются как при положительном, так и при отрицательном градиенте энтропии. Наконец, наиболее сложное поведение проявляют инкременты, соответствующие резонансному взаимодействию звуковых возмущений.

Вместе с тем, численный расчет показывает, что достаточно сильный рост энтропии против направления geff приводит к стабилизации течения относительно всех ветвей звуковой неустойчивости. Последнее означает, что при тех значениях параметров задачи, когда отсутствуют растущие поверхностные гравитационные моды, течение вообще будет устойчиво относительно малых возмущений. Такое утверждение подкрепляется тем, что в потоке со свободными границами, устойчивом по критерию Хейланда, не было обнаружено растущих внутренних гравитационных мод. Оказалось, что усиление этого вида возмущений существенно зависит от типа граничных условий. Именно, рост внутренних гравитационных мод в устойчивом относительно осесимметричных возмущений потоке был обнаружен только в жесткими границам, причем поиск производился как в сжимаемой, так и несжимаемой жидкости.

В завершении хотелось бы отметить, что проведенное исследование позволило взглянуть на газовые течения, имеющие место в астрофизике, в чисто гидродинамическом аспекте, а именно, уделить внимание их динамической неустойчивости. Последняя, несомненно, должна играть не последнюю, в основном еще невыясненную, роль в радиальном переносе углового момента в аккрецирующей среде. Столь разнообразное поведение малых возмущений в аксиально-симметричных течениях обязано своим существованием главной особенности - сдвиговости потока. И хотя в реальной астрофизической ситуации, безусловно, необходим учет переноса энергии излучением, взаимодействия вещества с магнитными полями и других усложняющих теоретический анализ факторов, именно градиент угловой скорости вращения - то основное свойство, которое обьединяет аксиально-симметричные астрофизические течения, будь то протопланетный газовый диск около маломассивной звезды, или аккрецирующий поток в окрестности галактической черной дыры.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Журавлев, Вячеслав Вячеславович, 2007 год

1. Андронов А.А., Фабрикант A.JL, В сб.: Нелинейные волны под ред. Гапонова А.В., М.: Наука, стр. 68 (1979).

2. Андронов А.А., Фабрикант A.JL, Акустический журнал, т.26 стр. 817 (1980).

3. Афанасьев и др. (Афанасьев B.JL, Додонов С.Н., Храпов С.С., Мусцевой В.В., Моисеев А.В.), Астрофиз. бюллетень, т.62, с.5 (2007).

4. Абрамович и др. (Abramowicz М.А., Blaes О.М., Ghosh P.), ApJ, v.323, p.629 (1987).

5. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F.), v.376, p.214 (1991).

6. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F.), v.376, p.223 (1991).

7. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F., Stone J.M.), Ap.J., v.464, p.364 (1996).

8. Балбус и Хаули (Balbus S.A., Hawley J.F., Stone J.M.), Ap.J., v.467, p.76 (1996).

9. Биркиншоу (Birkinshaw M.), Astrophysics ans Space Science, v.242, p.17, (1997).

10. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.212, p.37 (1985).

11. И. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.216, p.553 (1985).

12. Блаес и Глатзел (Blaes О. M., Glatzel W.), MNRAS, v.220, p.253 (1986).

13. Блаес (Blaes O.M.), MNRAS, v.227, p.975 (1987).

14. Блаес и Хаули (Blaes О.М., Hawley J.F.), Ap.J., v.326, p.227 (1988).

15. Блэидфорд др. (Blandford R.D., Jaroszynski M., Kumar S.), MNRAS, v.215, p.667 (1985).

16. Дж. Бэтчелор, Введение в динамику жидкости, М. Мир, (1973).

17. Бэтчов Р., Криминале В., Вопросы гидродинамической устойчивости, М. Мир (1971).

18. By и Ванг (Wu D., Wang D.), MNRAS, v.250, p.760 (1991).

19. Д. Джозеф, Устойчивость движений жидкости, М. Мир (1981).

20. Джонсон и Гамми (Johnson В.М., Gammie C.F.), Ap.J., v.626, p.978 (2005).

21. Дрэзин и Рейд (Drazin P.G., Reid W.H.), Hydrodynamic Stability, Cambridge University Press (1981).

22. Друри (Drury L.O'C.), MNRAS, v.193, p.337 (1980).

23. Друри (Drury L.O'C.), MNRAS, v.217, p.821 (1985).

24. Тэт и JIueuo (Gat О., Livio M.), Ap.J., v.396, p.542 (1992).

25. Гош и Абрамович (Ghosh P., Abramowicz M.A.), Ap.J., v.366, p.221 (1991).

26. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.225, p.227 (1987a).

27. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.228, p.77 (1987b).

28. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.231, p.795 (1988).

29. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.242, p.338 (1990).

30. Глатзел (Glatzel W.), MNRAS, v.303., p.107 (1999).

31. Голдрайх и Нараян (Goldreigh P., Narayan R.), MNRAS, v.213, p.7 (1985).

32. Голдрайх и др. (Goldreigh P., Goodman J., Narayan R.), MNRAS, v.221, p.339 (1986).

33. Горькавый H.H. и Фридман A.M., Физика планетных колец, М. Наука, 1994, 352 стр.

34. Гош и Абрамович (Ghosh P., Abramowicz М. A.), ApJ, v.366, р.221 (1991).

35. Гудман и Нараян (Goodman J., Narayan R.), MNRAS, v.231, p.97 (1988).

36. Голдрайх и Тремэйн (Goldreich P., Tremane S.), Ap.J., v.222, p.850 (1978).

37. Гудман и др. (Goodman J., Narayan R., Goldreich P.), MNRAS, v.225, p.695 (1987).

38. Джи и dp. (Ji H., Burin M., Schartman E., Goodman J.), Nature, v.444, p.343 (2006).

39. Зурек и Беиц (Zurek W.H., Benz W.), ApJ, v.308, p.123 (1986).

40. Като (Kato S.), Publ. Astron. Soc. Japan, v.39, p.645 (1987).

41. Кейрнс (Cairns R.A.), J. Fluid Mech., v.92, p 1, (1979).

42. Клар и Боденхеймер (Klahr H.H., Bodenheimer P.), Ap.J., v.582, p.869 (2003).

43. Клар (Klahr H.), Ap.J., v.606, p.1070 (2004).

44. Коджима (Kojima Y.), MNRAS, v.236, p.589 (1989).

45. Коджима и др. (Kojima Y., Miyama S.M., Kubotani H.), MNRAS, v.238., p.753 (1989).

46. Кочин H.E., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М. Наука (1965).

47. Лавлейс и др. (Lovelace R.V.E., Li Н., Golgate S.A., Nelson A.F.), Ap.J., v.513, p.805 (1999).

48. Ландау JI.Д. и Лифшиц Е.М., Гидродинамика, М. Наука (2003).

49. Линден-Белл и Острайкер (Linden-Bell D., Ostriker J.P.), MNRAS, v.136, р.293 (1967).

50. Ли и др. (Li Н., Finn J.M., Lovelace R.V.E., Colgate S.A.), Ap.J., v.523, p.1033 (2000).

51. Ли и др. (Li L.-X., Goodman J., Narayan R.), Ap.J., v.593, p.980 (2003).

52. Линь (Lin C.C.), Q. Appl. Math., v.3, p.117 (1945).

53. Линь Ц.-Ц., Теория гидродинамической устойчивости, М. Ин. лит., (1958).

54. Марк (Mark J.W.-K.), Ap.J., v.205, р.363 (1976).

55. Нараян и др. (Narayan R., Goldreigh P., Goodman J.), MNRAS, v.228, p.l (1987).

56. Огилви и Прингл (Ogilvie G.I., Pringle J.E.), MNRAS, v.279, p.152 (1996).

57. Папалойзу и Линь (Papaloizou J.C.B., Lin D.N.C.), Annu. Rev. As-tron. Astrophys., v.33, p.505 (1995).

58. Прингл (Pringle J.E.), MNRAS, v.177, p.65 (1976).

59. Прингл и Кинг (J. Pringle, A. King), Astrophysical Flows, Cambridge University Press (2007).

60. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.208, p.721 (1984).

61. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.213, p.799 (1985).

62. Папалойзу и Прингл (Papaloizou J.C.B., Pringle J.E.), MNRAS, v.225, p.267 (1987).

63. Петкевич В.В., Основы механики сплошных сред, М. Эдиториал УРСС (2001).

64. Рэлей (Lord Rayleigh ), Proc. London Math. Soc., v. 11, p.57 (1880).

65. Рэлей (Lord Rayleigh ), Proc. R. Soc. A, v.93, p. 143 (1916).

66. Рюдигер и Зан (Rudiger G., Zhang Y.), Astron. Astrophys., v.378., p.302 (2001).

67. Савопъе и Хемскерк (Savonije G.J., Heemskerk M.H.M.), Astron. Astrophys., v.240, p-191 (1990).

68. Секийа и Мийама (Sekiya M., Miyama S.), MNRAS, v.234, p.107 (1988).

69. Степанянц Ю.А., Фабрикант A.JI., Распространение волн в сдвиговых потоках, М. Физматлит, 1996, 240 стр.

70. Сюняев и Шакура (Syunyaev R.A., Shakura N.I.), Sov., Astron., Lett., v.l, no.4 (1975).

71. Тассуль Ж.-Л., Теория вращающихся звезд, М. Мир (1982).

72. Тимофеев А.В., УФН, т.102, с.185 (1970).

73. Тимофеев А.В., Физика Плазмы, т.5, с.705 (1979).

74. Томас (Thomas L.H.), Phys. Rev.,v.91, no.4 (1953).

75. Толлмин (Tollmien W.) Vortrage aus dem Gebiete der Aerodynamik und verwandte Gebiete, Aachen, S.18 (1929).

76. Троицкая Ю.И., Фабрикант А.Л., Препринт/ИПФ АН СССР, н.171, с.24 (1987).

77. Троицкая Ю.И., Фабрикант А.Л., Изв. вузов: Радиофизика, т.32, н.Ю, с.1221 (1989).

78. Тэйлор (Taylor G.I.), Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, v.223, p.289 (1923).

79. Франк и Робертсон (Frank J., Robertson J.A.), MNRAS, v.232, p.l (1988)

80. Фуджимото (Fujimoto M.Y.), Astron. Astrophys., v.176, p.53 (1987).

81. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys, v.179, p.383 (1987a).

82. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys., v.185, p.160 (1987b).

83. Ханава (Hanawa Т.), Astron. Astrophys., v.206, p.79 (1988).

84. Хаули (Hawley, J.F.), MNRAS, v.225, p.677 (1987).

85. Хаули (Hawley J.F.), Ap.J., v.356, p.580 (1990).

86. Хаули (Hawley J.F.), Ap.J., v.381, p.496 (1991).

87. Ховард (Howard L.N.), J. Fluid Mech., v.10, p.496 (1961).

88. Хаули и др. (Hawley J.F., Gammie C.F., Balbus S.A.), ASP Conference Series, v.54 (1994).

89. Франк и Робертсон (Frank J., Robertson J.A.), MNRAS, v.232, p.l (1988).

90. Чандрасекар (Chandrasekhar S.), Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford Univ. Press (1961).

91. Чурилов C.M. и Шухман И.Г., Астрономический циркуляр, н.1157, с.1 (1981).

92. Чоудхъюри и Лавлейс (Choudhury S.R., Lovelace R.V.E.), Ap.J., v.283, p.331 (1984).

93. Шакура и Сюняев (Shakura N.I., Sunyaev R.A.), MNRAS., v.175, p.613 (1976).

94. Шарма и Шривастава (Sharma А.С., Srivastava K.M.), Astrophysics and Space Science, v.197., p.43 (1992).

95. Ярошинский (Jaroszynski M.), MNRAS, v.220, p.869 (1986).

96. Ярошинский (Jaroszynski M.), Acta Astronomica, v.38, p.289 (1988).