Локально равномерно выпуклые нормы на пространствах непрерывных функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кобылина, Мария Сергеевна

• Кобылина, Мария Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кобылина, Мария Сергеевна

Введение

Глава 1. Теорема Зизлера и ее приложения

Глава 2. Нелинейная техника перенормировки пространств непрерывных функций на компактах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локально равномерно выпуклые нормы на пространствах непрерывных функций»

Теория перенормировок является ветвью функционального анализа, которая исследует проблемы существования эквивалентных норм на банаховых пространствах с более хорошими геометрическими свойствами выпуклости и гладкости. Данная диссертация посвящена исследованию некоторых свойств первого типа, т.е. свойств выпуклости.

Нормы, обладающие достаточно хорошими свойствами выпуклости, были впервые описаны Кларксоном [14] в 1936 году. В частности, им было введено следующее понятие равномерно выпуклой нормы на банаховом пространстве: последовательности длин различных хорд единичной сферы стремятся к нулю при условии, что их средние точки приближаются к границе этой сферы. В качестве классических примеров равномерно выпуклых пространств могут быть рассмотрены пространства Ьр и 1р> при р> 1 [14].

Более слабый тип выпуклости, называемый локальной равномерной выпуклостью, был рассмотрен Ловаглиа [25]. Данный тип выпуклости геометрически отличается от равномерной выпуклости тем, что одна из концевых точек рассматриваемых выше хорд единичной сферы фиксирована [25]. Приведем более строгие определения различных типов выпуклости норм, исследованию которых посвящена данная работа.

Определение 0.1. [25] Нормированное линейное пространство X называется равномерно выпуклым, если для любого е > 0 существует д{е) > 0, для которого из условий ||х->>!>£• и ||х|| = ||>| = 1, х,уеХ, следует, что

Определение 0.2. [25]. Нормированное линейное пространство X называется локально равномерно выпуклым (или кратко ШЛ), если для любого £->0 и фиксированного элемента хеХ, ||*|| = 1, существует ¿(£,л:)>0 такое, что условия \\х->>||>б и \\у\\ = 1, у еX влекут <\-д(е,х). 3

Определение 0.3. [25]. Нормированное линейное пространство X называется строго выпуклым, если условие ||*+;у| = |х1 + 1М1 влечет линейную зависимость ненулевых элементов х и у из X.

Геометрически последнее свойство означает, что соответствующая единичная сфера нормированного пространства не содержит никаких нетривиальных отрезков.

Определение 0.4. [21]. Норма на банаховом пространстве X называется слабо локально равномерно выпуклой (или кратко Ц^ШЯ), если любая последовательность {х„ }"=0 с X слабо сходится к х0 при условии "Ь Хп

Нш||дгя II = lim иinn" " иkm X,

Определение 0.5. [11] Норма ||-|| банахова пространства X называется нормой Кадеца по отношению к тотальному1 множеству А из сопряженного пространства X', если для любой последовательности {хп с X следующие условия эквивалентны:

К1) если limx'(;t„)=/(jt0) для любого функционала х'еА, то

Ншт%||>||д:0||. и-»°о .

К2) если Нтх,(хя) = дг'(л:0) для любого функционала х* е А и Нт|д^ = Ы|,

7-»со и->оо" " " " то Пт[|л: - х01 = 0.

-> от" 11

Из приведенных определений следует, что равномерная выпуклость влечет локальную равномерную выпуклость, которая, в свою очередь, влечет строгую выпуклость норм банаховых пространств.

Множество А из сопряженного пространства X* называется тотальным, если справедлива импликация: если х' (х) = 0 для всех х* е А, то х = 0

Хорошо известно, что стандартная sup-норма на пространстве непрерывных функций с(к), исследованию которой посвящена наша работа, не обладает, вообще говоря, ни одним из перечисленных выше свойств выпуклости. Поэтому естественно желание заменить эту норму на, возможно, более «хорошую» эквивалентную норму. Напомним, что две нормы: || • || и ||| • ||| называются эквивалентными, если они порождают одну и ту же топологию на заданном линейном пространстве. Легко видеть, что эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда существует две положительные константы С, и С2 такие, что Cl ||jc| < \х\ < С2 ||х| для всех векторов х.

Глубокими достижениями в геометрии банаховых пространств явились следующие теоремы.

Теорема Кадеца 0.6 [11] Любое сепарабельное банахово пространство X допускает эквивалентную норму Кадеца по отношению к некоторому счетному тотальному подмножеству в сопряженном пространстве X'.

Теорема 0.7 [11] В любом сепарабелъном банаховом пространстве X существует локально равномерно выпуклая норма Кадеца эквивалентная первоначальной норме пространства.

Теорема 0.8 [11] Любое сепарабельное банахово пространство X допускает эквивалентную строго выпуклую норму ||| • ||| такую, что как только последовательность {хп]"п=0 из X слабо сходится к х0 и lim||xn||| = ||x0||j, то lim |jc„ -x0j =0.

Данные теоремы устанавливают факт существования эквивалентных строго выпуклых и локально равномерно выпуклых норм на всех пространствах непрерывных функций, определенных на метрических компактах.

Перечислим теперь некоторые классы неметризуемых компактов, на которых пространство непрерывных функций допускает интересующие нас перенормировки. Известно, что для компактов Корсона К пространство непрерывных функций с(к) допускает LUR норму. Более того, если пространство К является равномерным компактом Эберлейна, то пространство непрерывных функций с(к) на нем допускает эквивалентную равномерно дифференцируемую по Гато норму. Обратное утверждение также является верным. Доказательства этих фактов можно найти в [29].

Среди других классов компактов К, для которых пространство непрерывных функций С(к) допускает «хорошие нормы», в литературе большое внимание уделено классу разреженных компактов, из которых особое внимание заслуживают те компакты, которые построены с помощью деревьев2.

В статье [20] даны необходимые и достаточные условия существования LUR и строго выпуклых перенормировок, а также норм со свойством Кадеца на пространстве непрерывных функций вида С0(г)3, где Т — локально компактное дерево (с естественной топологией). Приведем их ниже.

Теорема 0.9 [20]. Пусть Т — дерево. Тогда следующие условия эквивалентны.

1) существует локально равномерно выпуклая перенормировка пространства с0(т);

2) существует слабая локально равномерно выпуклая перенормировка пространства С0(г);

3) существует возрастающая вещественнозначная функция р:Т -> R, которая не является постоянной на густо ветвящихся подмножествах из Т и которая не имеет плохих точек.

2Деревом называется' частично упорядоченное множество {Т,<), в котором для любого элемента t е Т множество {.$ € Т\ s -< /} является вполне упорядоченным

3С0(т) — пространство всех непрерывных функций /: Т R, для которых для любого числа s > 0 множество {f е T-\f{t)| > г} является компактом 6

Теорема 0.10 [20]. Для дерева Т следующие условия эквивалентны:

1) С0(г) допускает эквивалентную строго выпуклую^ норму;

2) на дереве Т существует возрастающая вещественнозначная функция р:Т -> Я, удовлеворяющая следующим двум условиям: a) функция р не является постоянной на густо ветвящихся подмножествах дерева Т; b) для любого элемента 5 дерева Т существует не более одной плохой точки и, большей я, для которой /?(.?) = р(и);

3) существует ограниченная линейная инъекция из С0(т) в некоторое пространство с0 (г).

Теорема. 0.11 [20] Пусть Т — дерево. Банахово пространство С0(г) допускает эквивалентную норму Кадеца тогда и только тогда, когда существует возрастающая функция р:Т -» Я, не имеющая плохих точек4. а >

Для рассматриваемых свойств оказалось актуальной так называемая «проблема трех пространств». Например, известно, что если У — подпространство банахова пространства X, для которого фактор-пространство Х/У допускает эквивалентную ШЯ норму, и само У допускает эквивалентную ШЯ норму, то пространство X допускает ШЯ норму [29]. С другой стороны, существуют примеры банаховых пространств X и их подпространств У такие, что У и Х/У допускают строго выпуклые перенормировки, а само X — нет [20].

Важно также отметить тот факт, что вопрос существования «хороших» перенормировок пространств непрерывных функций С(к) на компактах К тесно связан со следующим свойством Намиока компакта К.

4Точка I дерева Т называется плохой для возрастающей функции р:ТЯ, если во множестве всех последователей элемента / не существует конечного множества для которого м{р(и\и е \ /?(/)

Определение 0.12 [13] Говорят, что компактное пространство X имеет свойство Намиоки (иногда его называют также свойством ко-Намиоки, при этом термин «Намиоки» без приставки «ко-» относят только к первому сомножителю), если для любого пространства В со свойством Бэра и любой раздельно непрерывной функции f:BxX->R существует всюду плотное подмножество А а В типа Gs такое, что / совместно непрерывно в каждой точке множества АхX.

Известно, что если пространство непрерывных функций С(а:) допускает эквивалентную LUR норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости, то компакт К имеет свойство Намиоки [16]. В частности, любой компакт Корсона имеет свойство Намиоки [29]. Кроме того, любой разреженный компакт, для которого с(к) имеет эквивалентную LUR норму, имеет свойство Намиоки [16].

Следует отметить, что существуют пространства, не допускающие никаких эквавилентных перенормировок указанного выше типа. В 1972 Линденштраусом было доказано, что банахово пространство /ю = C(/W) не допускает эквивалентной локально равномерно выпуклой перенормировки [24]. Кроме того, банаховы пространства /м/с0 и /м(г), где г — несчетное множество, содержат копии lw и также не имеют эквивалентных LUR норм. В связи с этим возникает закономерный вопрос: только ли наличие подпространств типа препятствует существованию интересующих нас перенормировок банаховых пространств, в частности, например, свойства LURl В статье [21] Хэйдон построил пример замкнутой подрешетки X в пространстве /м, которая не содержит подпространств, изоморфных /ю и которая, тем не менее, не допускает ни LUR, ни более слабой WLUR перенормировки.

Другим, интересным для нас вопросом является вопрос о существовании «хороших» норм на пространствах вида С0(/,), где L — локально компактное разреженное дерево. Хэйдон [19] построил пример такого пространства, которое не допускает даже строго выпуклых перенормировок. Также отметим, 8 что в [20] рассмотрен пример пространства непрерывных функций, допускающего норму Кадеца, но не допускающий никакой строго выпуклой перенормировки.

Таким образом, вопрос существования эквивалентных норм с «хорошими свойствами» выпуклости на банаховых пространствах непрерывных функций на компактах остается актуальным и ему и посвящена данная диссертация.

Превосходной монографией в теории перенормировок, представляющей обзор результатов, полученных вплоть до 1993 года, являляется книга Девиля, Готфруа и Зизлера [16]. Ряд интересующих нас недавних достижений можно найти в статьях [20] и [29]. В [20] наиболее важными результатом является характеризация пространств непрерывных функций с(т) на дереве Т, которая позволила Хейдону построить большое число контрпримеров в теории перенормировок. Обзор [29] содержит весьма полный спектр фактов из теории перенормировок на несепарабельных банаховых пространствах.

В данной диссертационной работе мы в основном фокусируем свое внимание на локально равномерно выпуклых перенормировках. Фундаментальное значение для нас имеет следующая теорема.

Теорема 0.13 [26] Нормированное пространство X допускает эквивалентную норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости, тогда и только тогда, когда для любого е>0 пространство X можно представить в виде X = \^Хпе таким образом, чтобы для каждого х е Хпс существовало бы открытое в топологии поточечной сходимости полупространство Н ~{хе Х\ /{х)>с}, где / -линейный непрерывный функционал на X, которое содержит х и такое, что (Пат (н П Хп£ )<е.

Исторически данная теорема является первой характеризацией существования локально равномерно выпуклой перенормировки в банаховых пространствах. Общий случай данной теоремы был доказан в [27]. Кроме того,

Раха [27] дал изящное доказательство того факта, что строго выпуклое пространство, в котором топология нормы и слабая топология совпадают на единичной сфере, допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую перенормировку.

Наиболее типичной техникой перенормировки является так называемая техника переноса, заключающаяся в перемещении хороших свойств выпуклости с одйих нормированных пространств на другие. Простейшей иллюстрацией данного приема является следующий результат.

Теорема 0.14 [26] Пусть У — строго выпуклое пространство, Т — линейный ограниченный взаимно однозначный оператор из X в У, тогда норма, определенная правилом |х| ^ЦхЦ^ + ||7х||г для всех х из X, является строго выпуклой.

К сожалению, невозможно подобным образом получать локально равномерно выпуклые перенормировки. Для того чтобы заменить строгую выпуклость локальной равномерной выпуклостью в теореме 0.14. нам будут необходимы следующие понятия и определения.

Определение 0.15 [26] Пусть Ф отображает метрическое пространство (х,с() в метрическое пространство (У, р). Отображение Ф называют ко-анепрерывным, если для любого е>0 мы можем представить пространство X в

00 виде Х = \^Хпе и найти 8п(х)>0 для каждого хеХпс такое, что с1{х,у)<£ как только уеХпе и /?(Фх,Фу)<<5и(;с).

Теперь мы можем переформулировать теорему 0.14. следующим образом.

Теорема 0.16 [26] Пусть У — локально равномерно выпуклое банахово пространство и Т — линейный ограниченный ко-а-непрерывный оператор из банахова пространства X в У. Тогда пространство X допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую перенормировку.

10

Применениям линейной техники переноса посвящена первая глава данной диссертации. В ней рассмотрены пространства непрерывных функций на некоторых неметризуемых компактах. Для того чтобы наделить их «хорошей» нормой обычно строят операторы из них в пространство с0 (Г). Мы в главе 1 используем известную и наиболее общую на сегоднящний день теорему Зизлера [28]. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Пусть Jf = [o,l]x[o,l] - компактное пространство с топологией лексикографического порядка. Тогда на пространстве С(х) существует эквивалентная sup - норме локально равномерно выпуклая норма.

Эта теорема была сформулирована и доказана нами в статье [31]. Спустя полтора года после ее выхода мы обнаружили, что эта теорема содержится также в статье [21], где она была доказана для лексикографических произведений не только отрезков вещественной оси. Однако заметим, что в статье [21] теорема Зизлера не применяется. Мы не претендуем на приоритет в получении данного результата, а размещаем его доказательство здесь всвязи с некоторым родством с нашей следующей теоремой (заметим, что лексикографический квадрат является линейно упорядоченным компактом, правда несепарабельным).

Теорема 1.5 .Пусть X - линейно упорядоченный сепарабельный компакт со стандартной интервальной топологией. Тогда пространство С(Х) с нормой ||/|| = тах|/(х)| допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.

Всвязи с последней теоремой важно отметить, что существуют примеры линейно упорядоченных несепарабельных компактов X, для которых пространство С(Х) не имеет эквивалентной локально равномерно выпуклой нормы — здесь подходит отрезок Суслинского неметризуемого континуума (см. [16]).

Следующая теорема является попыткой некоторого обобщения теоремы 1.5 на пространства Т, топология в которых задана с помощью некоторого отношения порядка, причем упорядоченное множество Т является псевдодеревом (см. детали в определении 1.8 главы 1).

Теорема 1.14. Пусть Т - псевдодерево, каждая точка ветвления которого имеет лишь конечное число ветвей. Пусть для каждого t е Т множество Ft ={seKT; s<t} является сепарабельным линейно упорядоченным компактом, и C(Ft) допускает LVR норму. Тогда С0(КТ) допускает эквивалентную локально равномерно выпуклую норму.

Как мы отметили выше, обычным приемом построения новых норм на заданном банаховом пространстве является задание линейного взаимно однозначного оператора в пространство с0(г) в. качестве первого шага. Возникает естественный вопрос: насколько общим является этот прием? На проблему существования линейного ограниченного оператора из строго выпуклого банахова пространства X в с0(г) впервые обратил внимание Линденштраус [24]. Позднее в его совместной работе с Дашиелем [15] было построено строго выпуклое банахово пространство, не имеющее линейного ограниченного взаимно однозначного оператора в с0(г) для любого множества Г. Первый пример локально равномерно выпуклого банахова пространства, не имеющего линейного ограниченного оператора в с0(г) для любого множества Г, был обнаружен Девилем [17].

В связи с этим, линейная техника перенормировки банаховых пространств во многих случаях является сдерживающим фактором доказательства существования на них «хороших» эквивалентных норм. Нетрудно заметить, что для того, чтобы получить линейность оператора

Т: X -» Y, необходимо перенести слои из пространства Y в X. Другой подход в теории перенормировок описан в теореме 0.18.

Определение 0.17. [25] Пусть А — подмножество линейного топологического пространства X и пусть Ф отображает А в метрическое пространство (F, р). Отображение Ф называют послойно непрерывным в точке хе А, если для любого е>0 существует открытое полупространство Н в X, содержащее точку х, для которого ose(ф|тд)= diamФ(нГ\А)<е.

Говорят, что Ф является а - послойно непрерывным, если для каждого е>0 множество А можно представить в виде А = (JАпе таким образом, чтобы neN для любого х е Апе существовало бы открытое полупространство Я в X, содержащее точку х, для которого ose (ф| )= diam ф(# П Ап е) < е. I ¡11 \ля е / ♦

Описанные отображения могут быть далеко нелинейными. Примером такого отображения может служить отображение осцилляции Q: С{к) с0 (г) пространства неперывных функций с(к) на компакте в с0(г), для каждой функции fеС(к) определенное по правилу: П/= sup|/(x)-/(y)|. Теперь х.уеК сформулируем теорему, с помощью которой мы получаем наши основные результаты во второй главе диссертации.

Теорема 0.18 [25] Нормированное пространство Х = С(К) допускает эквивалентную, полунепрерывную в топологии поточечной сходимости, локально равномерно выпуклую норму тогда и только тогда, когда существует метрическое пространство (У,р) и отображение Ф:Х , являющееся <т - послойно непрерывным в топологии поточечной сходимости, а также ко-а-непрерывным в топологии нормы.

Данная теорема является ключевой теоремой в теории нелинейной техники перенормировки банаховых пространств. Благодаря ней в статье [26]

13 была решена проблема локально равномерно выпуклой перенормировки пространства непрерывных функций на компакте Хелли [10], которая была сформулирована Кадецом еще в середине семидесятых годов. Доказано, что пространство непрерывных функций на компакте Хелли допускает локально равномерно выпуклую норму, которая является полунепрерывной снизу в топологии поточечной сходимости.

В данной работе применению нелинейной техники перенормировки посвящена вторая глава. В ней усилены некоторые результаты главы 1. Кроме, того, рассмотрена так называемая конструкция Федорчука, которая описывает большое число неметризуемых компактов. В частности, нами доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.6. Пусть К -линейно упорядоченный сепарабельный компакт. Тогда пространство С(К) допускает эквивалентную полунепрерывную снизу относительно топологии поточечной сходимости ШК -норму.

Теорема 2.8. Пусть в(х,Ух,Их) - компакт Федорчука, где для каждого хеХ компакт Ух является компактом, гомеоморфно вкладываемым в отрезок [0,1] вещественной прямой Я. Тогда на пространстве непрерывных функций С(в(Х,У,кх)) существует эквивалентная локально равномерно выпуклая полунепрерывная снизу в топологии поточечной сходимости норма.

Следствие 2.9 . Пусть К - линейно упорядоченный сепарабельный компакт или компакт Федорчука из теоремы 2.8. Тогда К имеет свойство Намиоки.

Теорема 2.8. получена совместно с С.П. Гулько и является обобщением его результата [1], в котором для компактов Федорчука было установлено свойство Намиоки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кобылина, Мария Сергеевна, 2007 год

1. Гулько С.П. Компакты Федорчука и свойство Намиоки //Вестник МГУ, серия «математика». - 1994, -№ 6.

2. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств // Избранные главы -Киев: Вища школа. 1980.

3. Иванов А.В. О бикомпактах Федорчука // В кн. «Отображения и функторы» М.: Изд-во МГУ - 1984. - С.31-40.

4. Иванов А.В. Контрпримеры в теории компактных пространств П Методическое пособие Петрозаводский университет. - 1999// http://elibrary.karelia.ru/index2.shtml

5. Кадец М.И. О пространствах изоморфных локально равномерно выпуклым пространствам II Известия ВУЗов 1959. - Т. 6.

6. Келли Дж. Общая топология. М.: Наука, 1981. - 432 с.

7. Сипачева О.В. Линделефовы подпространства функциональных пространств над линейно упорядоченными сепарабельными компактами //В сб. «Общая топология. Пространства и отображения» -М., изд-во МГУ-1989.-С. 143-148.

8. Сипачева О.В. Непрерывные отображения и кардинальные варианты в ср -теории II Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.мат. наук Москва, Московский университета имени Ломоносова, ММФ - 1990.

9. Bouziad A. The class of co-Namioka spaces is stable under product II Proc. Amer. Math. Soc. 1996 - Vol.124 - P. 983-986.

10. Clarcson J.A. Uniformly convex spaces II Trans. Amer. Math. Soc. 1936. -Vol. 40-P. 396-414.

11. Dashiell F.K., Lindenstrauss J. Some examples concerning strictly convex norms on C(K) spaces II Israel J. math 1973. - Vol. 16 - P. 329-342.

12. Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renorming in Banach spaces. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics // Math. 64, Longman scientific and technical, Longman house, Burnt mill, Harrow. -1993.

13. Deville R. Problemes de renormages II J. Funct. Anal. 1986 - Vol. 68 - P. 117-129.

14. Godefroy G. Renorming of banach spaces. Handbook of the geometry of banach spacer//In book "Handbook of the Geometry of Banach Spaces" Johnson W, Lindenstrauss, eds. Elsevier, Amstardam - 2001 - Vol. 1. - P. 781-835.

15. Haydon R.G. A counterexample to Several question about scattered compact spaces II Bull. London. Math. Soc. 1990 - Vol. 22. - P. 261-268.

16. Haydon R.G. Trees in renorming theory II Proc. London Math. Soc 1999. -Vol. 78-P. 541-584.

17. Haydon R.G., Zizler V. A new spaces with no locally uniformly rotund renorming II Can. Math. Bull. 1989 - Vol. 32. - P. 122-128.

18. Lindenstrauss J. Weakly compact sets their topological properties and the banach spaces they generate II Annals of math. Studies - 1972. - Vol. 69 - P. 235-273.

19. LovagIia A.R. Locally uniformly convex Banach spaces II Trans. Amer. Math. Soc. 1955 - Vol. 78. - P. 255-238.

20. MoIto A., Orihuela J., Troyanski S., Valdivia M. A non linear transfer technique for renorming II Pre-Publicationes del Departamento de Matematicas, Universidad de Murcia 20 2003.

21. Raja M. On locally uniformly rotund norms II Mathematica 1999 - Vol. 46. P. 343-358.

22. Zizler V. Locally uniformly rotund renorming and decomposition of Banach spaces II Bull. Austr. Math. Soc. 1984 - Vol. 29. - P. 259-265.

23. Zizler V. Non-separable banach spaces/In book "Handbook of the Geometry of Banach spaces" Elsevier, Amsterdam 2003 - Vol 2. - P. 1743-1816.

24. Кобылина М.С. Локально равномерно выпуклая норма на пространстве вида С{к), где К линейно упорядоченный сепарабельный компакт II Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 64-65.

25. Кобылина М.С. ШК нормы на пространствах непрерывных функций на псевдодеревьях II Вестник Томского государственного университета -2007.-№297.-С. 146-150.