Непрерывные селекции паравыпуклозначных отображений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Семенов, Павел Владимирович

• Семенов, Павел Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Семенов, Павел Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА I. Основные понятия.

$ 1. Функции невыпуклости замкнутых подмножеств нормированных

пространств и их свойства

$ 2. С-суммируемые функции и мажорирование функций невыпуклости. Функциональная паравыпуклость

ГЛАВА II . Селекционные теоремы.

$ 1. Общая процедура улучшения е-селекций : построение последовательности бп-непрерывных еп-селекций

$ 2. Глобальные и локальные теоремы для бесконечномерных областей определения. Равностепенная локальная паравыпуклость.

Объединение селекционные теоремы

$ 3. Теория селекций в пространствах с аксиоматически заданной

выпуклостью

$ 4. Селекции не полунепрерывных снизу отображений

ГЛАВА III СВОЙСТВА КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО ПАРАВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ.

$ 1. Трансверсальные возмущения выпуклых множеств. Выпуклые

сечения графиков непрерывных функций

$ 2. Внутренние возмущения выпуклых множеств.Звездноподобные мно-

жества гильбертовых пространств

$ 3. Аппроксимативная устойчивость функционально паравыпуклых

множеств. Свойства их е-окрестностей

$ 4. Разные результаты. Паравыпуклость множества ретракций на

паравыпуклые множества

ГЛАВА IV. ПРИЛОЖЕНИЯ .

$ 1.Теоремы о неподвижных точках невыпуклозначных отображений.165 $ 2. Непрерывные графические аппроксимации полунепрерывных сверху

отображений

$ 3. Множества неподвижных точек невыпуклозначных сжатий

$ 4. Теоремы о пересечении и теоремы о минимаксе

$ 5. Селекционные гипертопологии

$ 6. Дифференциальные включения и непрерывные селекции отображений в пространства суммируемых функций

$7. Выпуклости в бесконечно делимых банаховых пространствах.Решение проблемы Гэгана - Веста (Бессаги - Добровольского)

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Непрерывные селекции паравыпуклозначных отображений»

ВВЕДЕНИЕ

В ряде классических задач бесконечномерного анализа и топологии довольно типична ситуация, когда чисто топологическая по своей постановке проблема не имеет чисто топологического решения и положительный ответ требует рассмотрения качественно новых математических структур. При этом конечномерный аналог проблемы, как правило, имеет чисто топологическое решение.

Например, классическая теорема Куратовского-Дугунджи,[Бор71], дает топологическое (внутреннее) описание абсолютных экстензоров в классе (л+1)-мерных метрических пространств как пространств, которые л-связны и локально л-связны. В то же время,класс абсолютных экстензоров для произвольных метрических пространств не имеет никакого внутреннего топологического описания. По теореме Дугунджи, каждое локально выпуклое топологическое векторное пространство есть АЕ, но такое достаточное условие экстензорности существенно использует выпуклость. т.е. не топологическое условие. Пример Борсука,[Бор71]доказывает,что и одновременное использование всех "конечномерных" решений не дает решения в бесконечномерном случае : существует метрический компакт, который л-связен и локально л-связен при всех натуральных п и который при этом не является абсолютным экстензором.

/

Похожая ситуация сложилась и в теории непрерывных селекции многозначных отображений, которая в качестве частного случая содержит и теорию продолжений однозначных непрерывных отображений Классическую конечномерную селекционную теорему Майкла,[М56 ], можно переформулировать так.

ТЕОРЕМА 0.1 Для каждого полно метризуемого пространства У и

каждого семейства Ь = {1} его непустых замкнутых подмножеств, которое насыщено , т.е. ( I е I , у € I ) =ф( {у} е I ), эквивалентны два следующих условия :

а) любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X размерности * п + 1 в Ь имеет непрерывную однозначную селекцию

б) все элементы семейства Ь п-связны и любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X размерности ^ п + 1 Ь имеет локальные непрерывные однозначные селекции;

Условие (б) в этой теореме допускает описание , не выходящее за рамки пространства У :

б' ) все элементъ! семейства Ь п-связны , а само семейство I равностепенно локально п-связно.

В то же время, результат Пиксли, [Р174], допускает следующую интерпретацию, аналогичную по форме, но противоположную по содержанию предыдущей теореме.

ТЕОРЕМА 0.2. Не существует класса топологических пространств К такого, что для каждого полно метризуемого пространства У и каждого насыщенного семейства Ь = {Ь} его непустых замкнутых подмножеств эквивалентны два следующих условия :

а) любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X в Ь имеет непрерывную однозначную селекцию;

б) все элементъ1 семейства Ь лежат в К и любое полунепрерывное снизу отображение Р любого паракомпакта X в I имеет локальные непрерывные однозначные селекции;

Как и в случае экстензоров,для произвольных паракомпактов разрешимость (в данном случае - селекционной )проблемы обеспечивается при добавлении не топологического условия выпуклости и ответ

дается выпуклозначной селекционной теоремой Майкла,[М56 ].

£

ТЕОРЕМА 0.3. Всякое полунепрерывное снизу отображение Р параком-пакта X в банахово пространство В имеет непрерывную однозначную селекцию, если все значения ?(х), х е X, непусты, замкнуть1 и выпуклы.

Третий похожий пример некоторой противоположности решений конечномерных и бесконечномерных задач дает теория графических е-аппроксимаций полунепрерывных сверху многозначных отображений. Напомним, что (графической) е-аппроксимацией многозначного отображения Р:Х —> У метрических пространств (Х,р),(У,ё) называется однозначное непрерывное отображение : X -» У такое,

что его график Г(/ ) лежит в е-окрестности графика Г(Р) относительно шах-метрики в декартовом произведении X х У.Использование графических аппроксимаций является одним из стандартных подходов к нахождению неподвижных точек многозначных отображений; оно восходит к фон Нейману [Иеи49] и Какутани [К41]. Для л-мерных областей определения известны чисто топологические условия,гарантирующие аппроксимируемость (т.е существование е-аппроксимаций для любых е > 0)полунепрерывного сверху компактнозначного отображения. Это [/У1-условия для значений Р(х) отображения Р. Здесь имеется цепочка разного рода вариантов ответа, но наиболее общий результат лишь недавно получен Щепиным и Бродским [ЩБр96]. ТЕОРЕМА 0.4. Всякое полунепрерывное сверху компактнозначное отоб-ражение Р метрического (п+1)-мерного пространства X в метрическое пространство У аппроксимируемо, если только все значения Р(х), х е X, являются ЦУ" -компактами.

Для произвольных метрических X чисто топологические условия на Р , гарантирующие аппроксимируемость Р неизвестны. Как и в случае селекций полунепрерывных снизу отображений, решение

известно при добавлении не топологического условия - выпуклости. А именно, теорема Челлины [С69] утверждает

ТЕОРЕМА 0.5 Всякое полунепрерывное сверху выпуклозначное отображение метрического пространства в нормированное пространство аппроксимируемо .

Направление исследований, представленное в настоящей диссертации, в первую очередь, связано с анализом того, насколько существенно условие выпуклости в классических решениях указанных бесконечномерных задач. В грубых терминах, основной вопрос здесь может быть сформулирован так.

Существует ли чисто топологический аналог выпуклости ? Ответ ровно на этот вопрос известен - нет, не существует. И в качестве обоснования можно, например, привести теорему 0.2. Более (вынужденно) мягкий вариант первоначального вопроса звучит так.

Насколько можно отказаться от выпуклости в указанных бесконечномерных теоремах ??

Для конкретизации последнего вопроса необходимо формализовать понятие "отказ от выпуклости", т.е уточнить, что имеется ввиду, когда говорят об "уклонении от выпуклости." Тем самым, мы естественно приходим к проблеме введения некоторой характеристики невыпуклости подмножеств банаховых пространств. При этом объект,характеризующий невыпуклость множеств, должен удовлетворять, как минимум, двум требованиям. Во-первых, вырожденность или тривиальность такого объекта должна быть эквивалентна выпуклости множества. Во-вторых, желательно, чтобы классические (бесконечномерные) проблемы (см.выше) были бы разрешимы при некотором контроле за нетривиальностью этого объекта. Так как в топологических терминах ввести такой объект все равно невозможно, то естественно попытаться опи-

сать его в метрических терминах. Переход к метрическим объектам оправдан к тому же и тем фактом, что, например, доказательства селекционных теорем реально проводятся именно в метрических терминах : искомая селекция стоится как тот или иной равномерный предел последовательности е-селекций.

Основая цель настоящей диссертации состоит в реализации этой программы. Метрически инвариантным объектом, описывающим невыпуклость замкнутого подмножества Р банахова пространства в этой

работе является числовая функция ар : (О,со) -» [0,2], которая

называется функцией невыпуклости множества Р , определение 1.1.1 Для гильбертова пространства функции невыпуклости его подмножеств всегда принимают значения в [0,1]. Тождество оср = 0 эквивалентно выпуклости замкнутого множества. Чем дальше от нуля уходит функций невыпуклости ар , тем "невыпуклее" становится само множество Р. Границы такого возможного ухода выяснены достаточно четко: Рубиконом здесь является единица. Кратко говоря, в настоящем исследовании показано, что ограничения типа оср( • ) < 1 являются вполне работающим метрическим эквивалентом выпуклости множества Р. По крайней мере, в большом числе реальных ситуаций (и, в частности, в описанных выше проблемах экстензорности, селекционности и аппроксимационности) оказывается возможным заменять тождество ар = 0 ,т.е. выпуклость множества Р, на неравенство типа ар < 1. Аналогичная возможность имеется и в минимаксных теоремах, в теоремах о неподвижной точке, теоремах о топологической структуре множества неподвижных точек многозначных сжатий , в селекционных теоремах для отображений с разложимыми значениями, существенно используемых для решения дифференциальных включений с полунепрерывной снизу правой частью и т.п.

Перейдем к краткому содержанию диссертации, разделенной на четыре главы, в которых, соответственно, введены основные понятия (глава I), доказаны основные теоремы (глава II), приведены основные примеры(глава III) и изложены различные приложения(глава IV).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Семенов, Павел Владимирович, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

Борисович В.Г.,Гельман Б.Д.,Мышкис А.Д.,Обуховский В.В.

[БГМ082] Многозначные отображения. Итоги науки и техники.Математи ческий анализ. 19 (1982),Москва 127- 231.

[БГМ086] Введение в теорию многозначных отображений. Издательство ВГУ, Воронеж, 1986.

[ БГМ087] О новых результатах в теории многозначных отображений .I Итоги науки и техники.Математ. анализ. 25 (1987),Москва 123- 197. Борсук К

[Бор71 ] Теория ретрактов. М."Мир".(1971) Гаркави А.Л.

[Гар62] Наилучшие возможные сети и наилучшее возможное разбиение множеств в линейном нормированном пространстве.Изв.АНСССР,сер.мат 26 (1962), 87-106. Гончаров В.ВДолстоногов А,А.

[ГТ91] Совместные непрерывные селекторы многозначных отображений невыпуклыми значениями и их приложения Мат.сб.182:7( 1991),946-969 Митягин Б.С.

[Мит70] Гомотопическая структура линейной групы банахова пространства. УМН. 25 : 5 .(1970). 63 - 106. Пономарев В.И.

[Пон59] Новое пространство замкнутых множеств и многозначные отоб ражения бикомпактов. Матем.сб.,48:2( 1959),191-212. Реповш Д,Семенов П.В

[РС94] Теория Э.Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложени Успехи матем.наук, 54:6(1994), 49-80.

Рохлин В.А.

[Р49]0б основных понятиях теории меры. Мат.сб.,25:2(1949),107-150 Семенов П.В.

[С87] Селекционные покрытия топологических пространств.Докл.Болг акад.наук 42:5(1987),9-11

[С91] Выпуклые, сечения графиков непрерывных функций. Мат. з аметки. 50:5 (1991) , 74 - 81 .

[ С93 функционально паравыпуклые множества.Мат.зам.54:6(1993),74-84. [С95] Паравыпуклость графиков липшицевых функций. Труды семинара им.И.Г.Петровского, 18(1995),236-252

[С96] О паравыпуклости звездноподобных множеств.Сиб.Мат.Ж, 37:3(1996),399-405.

[С96'] Структура множества неподвижных точек паравыпуклозначных сжатий. Труды МИРАН, 212(1996),186-190.

[С96''] Локальная паравыпуклость и локальная селекционная теорема Межд. конф. по топологии и прил.поев.100-летию со дня рожд. П.С.Александрова(1996), 205-206.

[ С98] Теоремы о неподвижной точке при контролируемом отказе от

9

выпуклости значений многозначного отображения. Матем. сб. , 18/.3 ( 1998 ),

Толстоногое.А.А

[Т79] О дифференциальных включениях в банаховых пространствах и непрерывных селекторах ДАН СССР 244:5(1979), 1080-1082. [Т86] Дифференциальные включения в банаховом пространстве. "Наука", Новосибирск, 1986. В.В.Федорчук.

[Ф84] О геометрических свойствах ковариантных функторов УМН 39:5 (1984), 167 - 208 .

[Ф86] Тривиальные расслоения пространств вероятностных мер.

Матем.сб.129:4(1986), 474 - 493. М.М.Чобан.

[ 470] Многозначные отображения и борелевские множества.1,11. Труды ММО,22(1970), 229-250 ; 23(1970), 277-301.

[478] Общие теоремы о сечениях и их приложения. Сердика Бълг.мат. спис.4(1978), 74-90. Щепин Е.В, Бродский Н.Б

[ЩБ96] Селекции фильтрованных многозначных отображений. Труды МИРАН, 212(1996),218-239. Энгелькинг Р.

[Э86] Общая топология. М."Мир".(1986) Antosiewicz Н.А., Cellina А.

[АС75] Continuous select ions and differential relat ions. J.Differental Equations 19 (1975), 386-398. Aronszain N, Panitchpakdi

[AP56] Extensions of uniformly cont inuous transformat ions and hyperconvex metric spaces. Pacific J.Math.,6( 1956),405-439. Aubin J.-P., Cellina A

[AuC84] Differential inclusions, Grundlehren der Math.Wiss 264, Springer-Verlag,Ber1 in (1984). Bardaro C., Ceppitelli R.

[BarC88] Some futher generalisat ions of Knaster-Kuratowski- Mazur-kewicz theorem and minimax inequalit ies. J.of Math.Anal.Appl. 137( 1988), 484-490. Beer G.

[Be85] On a theorem of Deutsch and Kenderov.J.of Appr.Theory 45( 1985 ), 90-98. Bielawski R

[Bie87] Simplicial convexity and its applications. J.of Math.AnaL

Appl. 127 (1987),155-171 De Biasi F., Myjak J

[BMy85] Cont inuous select ions for weakly Hausdorff lower semicon-tinuous mult¡functions. Proc AMS,93(1985), 369-372. Bohnenblust H, Karl in S

[BK50] .On a theorem of Ville. Contribution to the theory of game Ann. Math.Studies (1950), 155-160. Bressan A

[Bre80] Differential relations with lower semicont inuous right side J.Differental Equations 37 (1980), 386-398 Bressan A , Colombo G

[BC88] Extensions and select ions of maps with decomposable values Studia Math. 40( 1988 ),69-86 Browder F

[FBr68] The fixed point theory of multivalued mappings in topological vector spaces. Math.Annalen,177(1968), 283-301 Brown A.

[Br89] Set-valued mapings, cont inuous select ions and metric projections. J.Appr.Theory 57(1989),48-68. Cellina A

[Ce69] A theorem on the approximat ion of compact multivalued mappings. Accad.Naz.Lincei Atti 8(1969), 149-153 Curtis D.

[Cu85] Applicfion of a selection theorem to hyperspace contract i-bility, Can.J.Math. 37(1985),747-759. Daffer P, Kaneko H.

[DK95] Fixed points of generalized contractive multivalued mappings. Journal of Math.Anal.Appl. 192( 1995 ),655-666. Deutsch F.

[Deu83] A survey on metric select ioiJS.Contemp .Math. 18( 1983 )49-71. Deutsch F., Kenderov P

[DK83] Cont inuous select ions and approximative select ions for set-valued mappings and appl ications to metric project ions.SIAM.J.MatL Anal, 14(1983), 185-194. Ding X-P.

[Din92] Cont inuous selection theorem, coincidence theorem and intersect ion theorems concerning sets with H-convex sections. J.Austral.Math.Soc.52(1992),11-25 Dugundij J., Granas A.

[DG82] Fixed point theory I. PWN, Warzsawa, 1982 Friszkowski A.

[Fr83] Cont inuous select ions for a class of non-convex multivalued maps. Studia Math. 76(1983),163-174. Geoghegan R.

[Geo79] Open prodlems in infinite dimensional topology. Topology Proceedings. 4 .(1979). 287 - 330. Gliksberg I.

[G52] A further generalizat ion of the Kakutani fixed point theorem. Proc.AMS, 3 (1952), 170-174. Gorniewcz L,Granas A,Kryszewsky I.

[GGK91] On the homotopy method in thefixed point index theory of multivalued mappings of compact absolute neighborhood retracts. J.of Math.Anal.Appl.161(1991),457-473. Gutev V

[Gut86] Cont inuous select ions and finite dimensional sets in collect ionwise normal space .C.R.Bulg.acad.sci39:5(1986),9 - 12. [Gut 93] Selection theorems under an assumpt ion weaker than lower semicontnuity. Topology and Appl. 50:1( 1993),129 - 138.

[Gut96] A fixed-point theorem for UV" usco maps. Proc. AMS 124 ( 1996),945-952. Horvath C.

[H91] Contractibility and generalized convexity. J.of Math.Anal. Appl., 156(1991), 341-357. James R.

[J50] Bases and reflexivity of Banach spaces. Annals of Math .52 (1950) 518 - 527 . Kakutani S.

[K41] A generalizat ion of Brouwer's fixed point theorem. Duke Math.J. 8 (1941), 457-459. Kenderov P.S.

[Ken75] Semi-continuity of set-valued monotonne mappings. Fund.Math. 88 (1975) , 61 - 69 . Kindler J

[Kin93] Topological intersect ion theorems.Proc.AMS.

117(1993),1003-1011.

Kuratowski K.,Ryl1-Nardzewski C.

[KR65] A general theorem on selectors. Bui 1.Acad.Polon. sci. 13( 1965), 397 - 403 . Lassonde M.

[L83] On the use of KKM mult ifunct ions in fixed point theory and related topics. J.Math.Anal.Appl. 97(1983), 151-201.

Magerl G.

[Mag78] Metr izabi1ity of compact sets and cont inuous select ions Proc.AMS 72(1978),607-612.

[Mag78'] A unified approach to measurable and continuous selections Trans.AMS 72(1978),443-452. Michael E.

[M56] Continuous select ions. I,II,III Ann.of Math. 63( 1956), pp 361-382,64(1956),pp 562-580 ,65(1957),pp 375-390. [M59] A theorem on semicont inuous set-valued functions. Duke Math.J.26(1959),647-652.

[M59'] Convex structures and continuous selections Can.J.Math 11(1959),556-575.

[M59n] Paraconvex sets. Scand.Math. 7(1959),372-376.

[M80] Cont inuous select ions and finite-dimensional sets.

Pacific J.Math.87(1980) 189-197.

[M81] Cont inuous select ions and countable sets .

Fund.Math. 61(1981),1-10.

[M90] Some problems. In "Open problems in Topology".J van Mill, G.M.Reed (editors), North-Holland, 1990, 273-278. [M92] Selecton theorems with and without dimensional restrictions .Int.Conf.in memory of F.Hausdorff. Math. Research,67, Berlin. (1992),218-222 E.Michael,G.Pixley

[MP80] A unified theorem on cont inuous select ions Pacific J.Math. 87(1980),187-188 van Mill J., van de Vel M

[MV 77] Convexity preserving mappings in subbase theory Nederl.Acad.Wetench.A81(1978) 76-90

[MV78] Path connectedness, contractibility and LC properties of superextensions. Bui 1.Polon.Acad.Sci., 26:3(1978), 261-269. [MV 81] Subbases,convex sets and hyperspases Pacific J.Math 92(1981) 385 - 402 . Nadler S.

[Nad69] Multivalued contract ion mappings.Pacific.J.of Math. 30(1969),475-488.

Neumann J.fon

[Neu49] On rings of operators. Reduction theory. Ann. of Math. 50(1949),401-485. Pasicki L

[Pa88] On continuous select ions. Opuscala Math.3(1988), 65-71. Park S.

[Par93] On minimax inequalit ies on spaces having certain contrac-tible subsets. Bui 1.Austral.Math.Soc.47(1993),25-40. Pixley C.

[Pi 74 ] An example concerning continuous select ions on infinite

dimensional spaces. Proc.AMS 43(1974),237-244.

Problems

[Pr69] Problems on inf inite-dimens ional topology. Louisiana State University, Baton Rouge, 1969. Przeslawski K, Rybinski L

[PrRy90] Michael selecton theorem under weak lower semicont inuity assumptions. Proc.AMS.109(1990), 537-542.

[PrRy92] Concepts of lower semicont inui ty and cont inuous selections for convex-valued mul t ifunctions. J.Appr.Theory,68(1992 ),262-282.

J.Saint Raymond

[R94 ]. Multivalued contractions. Set-Val.Anal,2(1994 ), 559-571. S.Reich.

[Re83] Some problems and results in fixed point theory. Contemp.Math. 21 (1983), 179-187. Repovs D, Semenov P.

[RS95] On paraconvexity of graphs of cont inuous funct ions. Set-Valued Anal. 3:2(1995), 23-32

[RS95'] On functions of nonconvexity for graphs of continuous

functions. J.of Math.Anal.Appl, 196 (1995), 1021-1029. [RS96] A selection theorem for mappings with nonconvex nonde-composable values in Ip-spaces. Topol.Methods in Nonlinear Analysis, 8:2(1996),407-412. Ricceri B.

[Ric87] Une propriété topologique de 1'ensemble des points fixes d'une contract ion multivoque a valeutrs convexes. Atti Acad. Naz.Lincei Cl.Sci.Fi s.Mat.Natur.,81( 1987),283-286 Rybinski L

[Ryb90]. An applicat ion of the continuous selection theorem to the study of the fixed points of multivalued mappings. J.of Math. Anal* and Appl. 153(1990),391-396. Schauder J

[Sch30] Der Fixpunktsatz in Funkt ionalraumen. Studia Math. 2 (1930), 171-180, Seraenov P.V

[S96] Continuous select ions of star-like mappings. Annals of New York Acad.of Science, 778(1996), 184-187 [S96'J A counterexample to a Geoghegan-West problem. Proc.AMS, 124:3(1996),939-943. S ion M

[Si 58] On general minimax theorem.Pacific J.Math. 8(1958 ),171-176 Sine R.

[Sin89] Hyper convexity and approximate fixed points. Non-Linear Anal. 13:7(1989), 863-869. Talman A

[Tal77] Fixed points for condensing mul t ifunctions in metric spaceswith convex structure. Kodai Math.Sem.Rep,29(1977),62-70

Tarafdar E.

[Tar92] Fixed point theorems in H-spaces and equiLibrium points in abstract economics. J .Austral.Math.Soc.53( 1992), 252-260. M.van de Vel

[V82] Finite dimensional convex structures I : general results, Topology and Appl. 14(1982),201-225

[V93] A selection theorem for topological convex structures Transactions of AMS 336 (1993), 463 - 497 . West J

[We90] Open problems in infinite-dimensional topology.In "Open problems in Topology".J van Mi 11, G.M.Reed (editors), North-Holland, 1990, Wong R.

[Wo67] On homeomorphisms of certain infinite dimensional spaces. Trans.AMS. 128 .(1967).148 - 154 .

Список опубликованных работ по теме диссертации.

[1] О полунепрерывных снизу селекциях многозначных отображений. V Тираспольский симп. по общ.топ. и прил.,Кишинев,1985, 218

[2] О группе изоморфизмов банахова пространства в топологии поточечной сходимости.Тезисы Бакинской Межд.топ.конф,1987,274

[ 3] Селекционные покрытия топологических пространств. Докл.Болг.акад.наук 42:5(1987),9-11

[4] Выпуклые, сечения графиков непрерывных функций. Мат.заметки. 50:5 (1991) , 74 - 81 .

[5] Select ions of graphvalued maps. Serdica Mat, 18:1(1992),3-9.

[ 6] Функционально паравыпуклые множества. Мат.заметки. 54:6(1993) , 74 - 81 .

[7]* Теория Э.Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения Успехи матем.наук, 54:6(1994), 49-80.

[8] Select ions of nonconvex, non lowersemicontinuous mappings. Тезисы Киевской Межд.топ.конф. , Киев, 1995, 37

[9]* On paraconvexity of graphs of continuous functions. Set-Valued Anal. 3:2(1995), 23-32

[10]* On functions of nonconvexity for graphs of continuous funct J.of Math.Anal.Appl, 196 (1995), 1021-1029.

[11]* A selection theorem for mappings with nonconvex nondecompos values in L^-spaces. Topol.Methods in Nonlinear Analysis, 8:2(1996),407-412.

[12] Паравыпуклость графиков липшицевых функций.

Труды семинара им.И.Г.Петровского, 18(1995),236-252

[13] О пара выпуклости звездноподобных множеств. Сиб.Мат.Ж,37:3( 1996 ),399-405.

[14] Структура множества неподвижных точек паравыпуклозначных сж Труды МИРАН, 212(1996),186-190.

[15] Local paraconvexity and local selection theorem. Межд.конф. по топологии и прил.поев.100-летию со дня рожд.П.С.Алек-сандрова(1996 ), 205-206.

[16] Continuous select ions of star-like mappings.

Annals of New York Acad.of Science, 778(1996), 184-187

[17] A counterexample to a Geoghegan-West problem. Proc.AMS, 124:3(1996),939-943.

[18] Теоремы о неподвижной точке при контролируемом отказе от выпуклости значений многозначного отображения. Мат.сб.18$:3 (1998).

совместно с Д.Реповшем