Пространства непрерывных отображений в множественно-открытых топологиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Осипов, Александр Владимирович

• Осипов, Александр Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Осипов, Александр Владимирович

Введение

1 Множественно-открытые топологии на пространствах непрерывных отображений

1.1 Секвеициальгю-компактпо-открытая топология па множестве С(Х. К)

1.2 Совпадение А-открытой и А-топо.логии на, множестве С{Х, D(t))

1.3 О совпадении множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве непрерывных отображений.

1.4 Тополого-алгебра.ические свойства, функциональных пространств

2 С-компактно-открытая топология на множестве С(Х, R)

2.1 Различные способы определения С-комнактио-открытой топологии

2.2 Взаимоопошепия множественно-открытых топологий.

2.3 Метризуемость и свойства тина счётпоети пространства, Сгс.(Х. К)

2.4 Полнота, равномерного пространства, С,.С.(Х. К)

2.5 Сопряженное пространство к пространству Сгс(Х. К).

3 Слабо множественно-открытая топология на пространстве непрерывных отображений

3.1 Слабо множественно-открытая топология на множестве С(Х. R)

3.2 О совпадении слабо множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости па множестве непрерывных отображений

3.3 Кардипалыкииачпые характеристики функциональных пространств

4 К теории 5(п)-пеуплотняемых пространств

4.1 Характсризация ¿>(и)-за.мкнутых и 6*(п)-неуплотнясмых пространств

4.2 О мультипликативности CFCV-iipocrpaircTB.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространства непрерывных отображений в множественно-открытых топологиях»

Множество С(Х) всех непрерывных всщсствсннозпачпых функций па тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии — путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций С'(Х). отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве С(Х) топологии можно вводить различными неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях.

Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца XIX века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике, были статьи Асколи |25]. Арцела |24| и Ада-мара [51].

В 1906 году на пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство V Фреше [44| впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.

Топология равномерной сходимости наС(Х) задается базой в каждой точке / Є С(Х). Эта база состоит из всех множеств вида д Є С{X): sup |д(х) - f(x) | < с}, где є > 0. хеХ

Естественным обобщением этой топологии является топология равномерной сходимости на элементах семейства Л (А-топология), где А — фиксированное семейство непустых подмножеств пространства X. Базу А-топологии в точке / Є С(Х) образуют все множества вида д е С(Х): sup \д(х) - f(x)| < е}: где F Е А и е > 0. xeF

Если в качестве семейства Л взять все конечные подмножества пространства X, то получившаяся топология называется топологией поточечной сходимости на пространстве СР(Х); если взять все компактные подмножества X — топологией равномерной сходимости на компактах, или компактно-открытой на пространстве Сс(Х).

В 1945 году Фокс [43] определил компактно-открытую топологию Сс{Х), предбазу которой образуют все множества вида Е С(Х): f(F) С U}. где F — компактное подмножество пространства X, a U — открытое подмножество числовой прямой. Заметим, чго топология поточечной сходимости может быть определена похожим образом: заменой в определении предбазы компактных подмножеств конечными.

В следующем, 1946 году Арене [2U| ввел понятие допустимой топологии на C(X1Y) (т.е. топологии, для которой непрерывно отображение вычисления), а в 1951 году Арене и Дугунджи [21] определили собственные топологии. В дальнейшем компактно - открытая топология изучалась Джексоном [55]. Моригой |70|, Келли [57| и другими.

На пространствах непрерывных отображений рассматривались и другие типы топологий. В 1969 году Крикоряп |58] впервые рассмотрел топкую топологию, которая является обобщением топологии, порожденной suprcmum metric. В дальнейшем эта топология исследовалась Эклундом [41], МакКоем [62] и другими топологами.

В конце 60-х годов активно изучалась топология графиков — здесь окрестности функций из С(Х, У) определяются окрестностью их графиков в X х Y. Отождествляя функции с их графиками, МакКой |62| рассматривал пространство С(Х,У) как подпространство пространства замкнутых подмножеств произведения X х У. наделенное топологией Вьеторисса.

И вес же наиболее известные топологии па пространстве отображений С(Х,У) — это топология поточечной сходимости и компактно-открытая, одно из достоинств которых состоит в том. что они линейны. Существует несколько естественных обобщений этих топологий: множественно-открытая топология, слабо множественно-открытая топология и топология равномерной сходимости на элементах семейства подмножеств пространства X. Некоторые свойства этих топологий и их взаимотношения описаны в монографиях Маккой и Нтанту |65| и A.B. Архангельского [4]. Множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости посвящены кандидатские диссертации М.О. Асанова [5|. С.Э. Но-хрипа [12| п М.И. А.пьпсрипа [2) в которых установлено несколько утверждений. связанных с кардинальпозпачпыми инвариантами пространства функций.

Множественно-открытая топология является обобщением компактно-открытой топологии и топологии поточечной сходимости. Множественно-открытая топология на семействе А — непустых подмножеств пространства X (А-открытая топология) была впервые введена Р. Аренсом и Ж. Дугунджи [21]. Прсдбазу А-открытой топологии образуют все множества вида {/ € С(Х): f(F) С [/}. где F £ А. а U — открытое подмножество числовой прямой.

Топология равномерной сходимости па семействе ограниченных подмножеств (ограниченно-открытая топология) была опрслслсг-ia в 1970 году Бухгалтером [34]. Прсдбазу такой топологии образуют все .множества вида {/ €Е С(Х): f(F) С [/}, где F — ограниченное подмножество пространства X, а U — открытое подмножество числовой прямой. Слабо множественно-открытая (слабо А-открытая) топология на семействе произвольных подмножеств А является естественным обобщением ограниченно-открытой топологии. Прсдбазу слабо А-открытой топологии образуют все множества вида е С(Х) \ /(Р) С и), где Р £ А. а С/ - открытое подмножество числовой прямой.

В 2000 году Анна Де Консилио и Сом Наимналлн [36] исследуют топологии на функциональных множествах С(Х, У). Эти топологии определяются с помощью близостей на множестве У и являются естественными обобщениями множественно-открытых топологий. Для произвольной близости 5 на пространстве У и сети Л пространства X предбазиспые множества имеют вид:

1, В] = {,/' 6 С'(Х.У) : /(Л)6{Х \ В)}, где А е X, В С У. Такие топологии имеют название — проксимальные множественно-открытые топологии.

Основными объектами исследования диссертационной работы являются пространства С\(Х) и С\*{Х) — всех непрерывных веществен-нозначных функций в А-открытой и слабо А-открытой топологиях.

Почти все вопросы, исследуемые в диссертации, имеют следующий общий вид: какими свойствами должны обладать пространство X и семейство А. чтобы пространства С\(Х) и С\*(Х) обладали теми или иными "хорошими" свойствами. И наоборот, пусть Сд(Х) (или — в каком-либо смысле "хорошее" пространство. Что можно в этом случае сказать об топологических свойствах пространства X и семействе А ?

Рассматривая эти вопросы, видим, что пространства X и С\(Х) не равноправны: на X есть только топологическая структура, в то время как С\{Х) несет топологию и две естественные алгебраические операции — сложения и умножения.

Это позволяет рассматривать С\(Х) (или С\*(Х)) в зависимости от семейства А как топологическое пространство, как топологическое кольцо, топологическую группу или как линейное топологическое пространство, что открывает возможность исследовать свойства пространства X и семейства А в соответствии с тем, определяются ли они алгебраической структурой кольца С(X), зависят ли от свойств С\{Х) как линейного топологического пространства или могут быть полностью охарактеризованы чисто топологическими свойствами пространства С\(Х).

Краткое содержание работы

В первом параграфе первой главы определяется секвенциально компактно-открытая топология на множестве С(Х).

Секвенциальная компактность и счетная компактность равносильны в классе секвенциальных ^-пространств и. в частности, ^-пространств с первой аксиомой счстности.

Напомним, что множество А называется ограниченным (С- компактным) подмножеством в X, если для любой ,/' (Е С'(А') образ /(А) ограничен (компактен) в числовой прямой К.

Пространство X называют субметризуемым, если существует уплотнение /: X —> У, где У метризуемое пространство.

В теореме 1.1.1. доказывается, что семейство всех С'-компактных подмножеств субметризуемого пространства X совпадает с семейством мет-ризуемых компактных подмножеств пространства X. а также совпадает с семейством замкнутых ограпичепых подмножеств пространства X.

Пусть ЗС(Х) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X. Предбазу секвенциально компактно-открытой (йс-топологии) топологии образуют все множества вида {/ £ С(Х) : /(-Р) С £/}, где Р 6 ЗС(Х), а и открытое подмножество числовой прямой. Топологическое пространство С(Х) с зс-топологией будем обозначать С'8С(Х).

Для любого / Е С(Х), А Е ЗС(Х) и £ > 0 обозначим (/,А,е) = {д е С{Х) : вир |/(.т) — д(х)\ < с}. Тогда для любого / 6 С'(А') семейхеА ство {(/, А,е)\ А Е вС^Х), г > 0} образует базу в точке /. Семейство {(/, А, е): / €Е С(Х), А 6 ЗС'(Х), е > 0} образует базу топологии равномерной сходимости на семействе 5С'(Х). Множество С{Х) с топологиой равномерной сходимости па семейство БС{X) будем обозначать как С8СЛ1{Х).

Теорема 1.1.4. Для произвольного тихоновского прост,ранет,ва, X выполняется С8С(Х) — С8С-и(Х).

Следующая теорема 1.1.9. характеризует пространство X при котором 5 с-то 11 о лог и я совпадает с топологией равномерной сходимости Си(Х).

Теорема 1.1.9. Сьс(Х) = С'и(Х) тогда и только тогда, когда в тихоновском, пространстве X есть всюду плотное секвенциально компактное п одмножество.

Отметим, что для пространства X, обладающего всюду плотным секвенциально компактным подмножеством, сепарабельность, счегность числа Сусли на и линделёфовость пространства Сзс(Х) эквивалентны.

Теорема 1.1.13. Пусть X содержит плотное секвенциально компакт,но подмножество. Тогда следующие условия ,эквивалентны:

1) С'зс(Х) им,ест, счетное число Су слина;

2) С8С(Х) се:па,рабел,ьно;

3) Свс(Х) линделефово;

4) X мет,ризуемый компакт,.

Второй параграф первой главы посвящен исследованию вопроса о совпадении А-открытой и А-топологии на множестве С(Х. 0(т)). где £)(т) — дискрет мощности т.

Если У -— метрическое пространство с метрикой а А — семейство подмножеств X. то на множестве С(Х, У) определены А-топология и А-открытая топология.

Базу А-топологии в точке / Є С'(Х, У) образуют все множества вида < /, ^ є > - {д Є С{Х, У) : вирріЦх), д{х)) < е}, где Є А, £ > 0.

ТЕР

Предбазу А-открытой топологии образуют все множества вида

Г, и) = {/ 6 С(Х, У) : ¡(И) С [/}, где Г 6 А. а и — открытое подмножество У.

Множество С(Х,У) с А-открытой и А-топологисй будем обозначать через С\(Х. У) и С\и(Х, У) соответственно.

Определение 1.2.3. Пусть АС X и У — произвольное пространство. Множество Л будем называть У-компактньш, если для любого непрерывного отображения /' б С(Х, У) множество f(A) компактно в У.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении этих топологий в случае, когда У — дискретное метрическое пространство (р(уь уч) — 1 при любых У[ Ф у-2 из У).

Теорема 1.2.5. Пусть У — дискретное метрическое пространство. Тогда С\(Х, У) = С\М{Х, У) в том, и только том случае, когда выполнены одновременно два условия:

1) А состоит из У-компактных множеств;

2) для любого элемента Р £ А и любого открыто-замкнутого в X множества и. пересекающего V. существует, . Т7^ конеч,ное п число элементов семейст.ва А таких, чт.о и С и и для любого 1 от,крыт,о-замкнутого V С и т.акого, что К П Р / 0 следует,, что /=1

Для нульмерного пространства X и дискретного двоеточия I) = {0, 1} получаем следующее следствие.

Следствие 1.2.8. Пусть прост,ранет,во X нульмерно, а А зам,кнут,о относительно конечных объединений. Тогда, С\М(Х. О) = С\(Х, О) в том а только том, случае, когда, для любого открыто-замкнутого и С X найдётся Р е А, замыкание которого совпадает, с пересечением, У А и множества II.

В третем параграфе рассматривается множество С(Х, У) — непрерывных отображений из топологического пространства X в мстризус-мое векторное пространство (У,р), наделённое множественно-открытой (А-открытой) топологией или топологией равномерной сходимости на семействе А (А-топология).

Маккой и Нтанту |65| получили следующий результат.

Предложение 1.3.1. Если А состоит из компактных множеств, то С\,Ь{Х.У) ^ С\(Х, У). Если дополнительно А наследственно замкнуто (т.е. вместе с %;аждым своим элементом, содержит все его замкнутые подмножества), то эти топологии совпадают.

В случае У = М предложение 1.3.1. было усиленно Нохрипым |1'2].

Предложение 1.3.2. С\у(Х) ^ С\(Х) тогда и т.олько тюгда, когда А состоит, из С-компактных множеств.

Предложение 1.3.2. показывает, что С'-компактность элементов семейства А является существенным свойством при рассмотрении вопросов о совпадении А-открытой и А-топологии на пространствах функций.

Отметим некоторые свойства С-компактных подмножеств.

В случае А = X свойство множества А быть С-компактным совпадает с псевдокомпактностью пространства X. Очевидно, что любое пссвдокомпактиое подмножество является С-компактным и любое С-компактнос множество является ограниченным.

Отмстим, что существует пример 1.3.3. (Ф — пространство Исбелла-Мрувка-Фролика). в котором понятия псевдокомпактность. С- компактность и ограниченность отличаются даже для замкнутых подмножеств.

Утверждение 1.3.7. Пересечение С-ком,па,ктп,ого множества и •нуль-множества является С-компактным. множеством,.

Утверждение 1.3.8. Если А С X — С-компактное множество, то А таклее -компактное множество (т.е. для любой непрерывной функции, действующей из X в образ А является компактным подмножест,волі

Теорема 1.3.9. Мнооісест,во А являет,ся С-компактным подмножеством X тогда и только тогда, когда из любого счет,його функционально - открытого покрытия множества, А можно выделить конечное подпокрытие.

Пусть дано семейство Л не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А(С') = {Л Є А : для гпобого С'-компактного подмножества В пространства X такого, что В С; А, множество [В, II] открыто в С\(Х,У) для .любого открытого множества II пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и /і, А-открытая топология может совпадать с /./-открытой топологией т.е. С\(Х,У) = С'^Х, У). Обозначим для фиксированного семейства А через А,„ = \J\jJ, : С^(Х.У) — С\(Х,У)}. Семейство Хт является единственным максимальным семейством, порождающим А-открытую топологию.

Следующая теорема отвечает на вопрос о совпадении множественно-открытой топологии и топологии равномерной сходимости на множестве С(Х.У), где У — метризуемое топологическое векторное пространство.

Теорема 1.3.10. Пусть А іг-сегпь пространства X и У метризуемое топологическое векторное прост ранет,во. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) СХ{Х,У) = СХМ{Х,У);

2) А-открытая топология на С(Х.У) инвариантна относительно сдвигов;

3) С\(Х,У) — паратопологическая группа;

4) С\(Х,У) — топологическая группа;

5) Сх(Х.У) — типологическое вект.орное пространство;

6) А состоит из С-компакт,пых подмиоэюеетв и, А = А(С'); п —

7) Л,77 состоит, из С-компактных подмножеств и замкнуто относительно С-компактных подмножеств пространства X.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С\(Х, У) — топологическая алгебра.

Заметим, что теорема 1.3.10. выявляет свойства необходимые и достаточные для семейства А при которых пространство С\(Х,У) является топологической группой, топологическим векторным пространством и топологической алгеброй.

Отметим, что для доказательства теоремы 1.3.10. применялись некоторые утверждения, которые имеют самостоятельный интерес.

К таким утверждениям относятся лемма 1.3.12., теорема 1.3.13. и теорема 1.3.14.

Лемма 1.3.12. Пуст.ь семейство А состоит, из С-компакт,пых множеств и С\(Х,У) = С^(Х.У) для некоторого семейства Тогда ¡л состоит из С-компактных множеств.

Теорема 1.3.13. Пуст.ь А семейст.во подмиоо1сест,в такое, что С\(Х, У) = С\,и(Х,У). Тогда, семейство Хт замкнут,о от,носит,ельно С-компакт,пых подмножеств т,.е., для любого С-компактного подмножества В С /1. где А £ Хт следует, что В £ Ат.

Теорема 1.3.14. Предположим, что семейство А состоит, из С-компакт.иых подм,ножест,в X таких, чт.о /1 Р| Г 6 А для А €Е А и любого иуль-м,иожест,ва Г с условием, что Л(~)1п1Р ф 0. Тогда. Сх{Х,У) = Сх,и{Х,У).

Если У = К, то теорема 1.3.10. имеет следующий вид.

Следствие 1.3.19. Пусть А — тт-сеть пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) С'А(X) = С\„(Х);

2) А-открытая топология инвариантна относительна сдвигов;

3) С\(Х) — паратопологическая группа;

4) С\(X) — топологическая группа;

5) С\(X) — топологическое векторное пространство;

0) Л состоит из С-компактных подмножеств и А = Л (С);

7) Хт состоит из С-компактных подмножеств и замкнут,о от,носит,ел,ьио С-компактных подмножеств прост,раист,ва X;

8) С\(Х) т,опологи,ч,еская алгебра.

По теореме 1.1.1. следует, что для субметризуемых пространств X из того, что множественно-открытая топология на С(Х) (или па С(Х.У) для У — метризусмого ТВП) является инвариантной относительно сдвигов следует, что Л состоит из метризуемых компактных подмножеств и семейство Л замкнуто относительно замкнутых подмножеств.

Так как любое замкнутое ограниченное подмножество Р-пространства является конечным, то при инвариантности относительно сдвигов множественно - открытой топологии на множестве С(Х, У), где X — Р-пространство, следует, что Л состоит из конечных подмножеств. Если при этом [)Х = Х, то Сх{Х, У) = СР{Х, У).

В четвёртом параграфе первой главы изучаются свойства пространства С\(Х) в предположении, что С\(Х) — топологическая группа.

Пусть С — топологическая группа (относительно сложения) и г — бесконечный кардинал. Тогда С вполне т-ограничена. если для каждой окрестности 11 группового нулевого элемента в С существует подмножество £> из С такое, что ^ х и С7 = \s-\-u: в Е 5 и и Е II}. Заметим, что С вполне т-ограничена тогда и только тогда, когда С изоморфна подгруппе группы с числом Суслипа, не превосходящим т. Отметим, что СР(Х) обладает счетным числом Суслипа и, значит, является вполне ^о-ограничснным.

Пусть У1у\(X) = 8ир{'ш(.4</А ): А Е А}, где /1ъА — замыкание в Хьюит-товском пополнении иХ множества .4. Следующий результат является критерием вполне т-ограиичеппоети для топологической группы (по сложению) С \(Х).

Теорема 1.4.1. Пространство С\{Х) вполне т-ограничено т,огда и только тогда, когда и)и\(Х) ^ т.

Через 1(С\(Х)) и с(С\(Х)) обозначим число Линделёфа и число Сус-лина пространства С\(Х) соответственно.

Теорема 1.4.3. Пусть X — произвольное пространство. Тогда

1. Если 1{С\(Х)) < г, то ъиьХ(Х) «С г и гих{Х) < т.

2. Если с{С\{Х)) < т. то шоХ{Х) ^ г и тх{Х) ^ т.

Для г = ^о получаем критерий без привлечения пополнения по Хью-и гту иХ.

Теорема 1.4.4. Топологическая группа С\(Х) вполне ^-ограничена тогда и т,олько тогда, когда А — сем,ей,ст,во ,м,ет,ризуем,ых компактных подмножеств пространства X.

Следствие 1.4.5. Прост,ранет,во С\(Х) т,оп,ологи,чески изом.орфн,о подгруппе топологической группы, со счетным числом Суслипа, т.огда и только тогда, когда А — сем,ейст,во метризуемых компактных под-миожеапв в пространстве X.

Следствие 1.4.6. Если С\{Х) липделёфовая топологическая группа, т,о А — семейство метризуемых ком,пакт,ных подмножеств пространства X.

Вторая глава полностью посвящена б'-компактно-открытой топологии на пространстве С\Х). Важность этой топологии была замечена в теореме 1.3.10. Действительно, С-компактно-открытая топология па множестве С(X) является максимальной среди всех мпожествсппо-открытых топологий при которых С(Х) является топологической группой, топологическим кольцом, топологической алгеброй или локально выпуклым топологическим векторным пространством.

Обозначим черта ЯС(Х) — множество всех С-компактпых подмножеств пространства X. Если семейство Л = ЯС(X), то множество С(Х). наделённое С-компактно-открытой топологией, будем обозначать через СгсХ^)- Заметим, что по теореме 1.3.10., Сгс(Х) = С'гсь(X).

Топологию равномерной сходимости па семействе Л можно определит], и другим путем. Для любого А Е Л определим полунорму ра на С'(Х): рА(/) = тр{\/{х)\:хеЛ}.

Для любых Л £ Л и £ > 0 положим

УА.е = {./' € С(Х):рА(./') < г} и Ф = /1 € А.е > 0}.

Очевидно, что для каждой точки / £ С'(Х) семейство / + Ф = {/ + V: V е Ф) является базой в точке /. Так как топология определяется семейством полунорм, она локально выпукла.

Таким образом, СГГ(Х) является локально выпуклым пространством.

Во втором параграфе второй главы строятся примеры пространств функций для которых Л-открытые топологии различаются.

Далее используются следующие обозначения подсемейств ограниченных подмножеств пространства X.

Я(Х) — семейство всех конечных подмножеств X.

МК(Х) — семейство всех мстризусмых компактных подмножеств X.

К(Х) — семейство всех компактных подмножеств X.

БС(Х) — семейство всех секвенциально компакных подмножеств X.

СС(Х) — семейство всех счетно-компактных подмножеств X.

РБ(Х) — семейство всех псевдокомпактных подмножеств X.

ЯС(Х) — семейство всех С-компактных подмножеств X.

В(X) — семейство всех ограниченных подмножеств X.

Заметим, что Р{Х) С МК{Х) С К(Х) С СС(Х) С РБ(Х) С ЯС{Х) С В{Х) и Я{Х) С МК{Х) С вС{Х) С СС{X).

Соответствующие топологические пространства Сд(АА) будем обозначать:

СР(Х) при Л = Р(Х) (топология поточечной сходимости);

Стк(Х) при Л = МК(Х) (топология равномерной сходимости на мст-ризуемо компактных подмножествах);

Сс(Х) при Л = К(Х) (компактно-открытая топология);

С8С(Х) при Л = БС{Х) (секвенциально-компактно-открытая топология или зс-топология);

Ссс(X) при Л = СС(Х) (счетно-компактно-открытая топология);

Срз(Х) при Л = Р5(Х) (псевдокомпактно-открытая топология);

Сгс(Х) при Л = ЯС'(Х) (С-комиактно-открытая топология).

Топологическое пространство С(Х) с ограниченно-открытой топологией па семействе всех ограниченных подмножеств пространства. X будем обозначать через Сь(Х). Напомним, что предбазу ограниченно -открытой топологии (в отличии от А-открытой топологии) образуют все множества вида {/ Е С(Х):/(Г) С 17}, где Р — ограниченное подмножество пространства X, а 17 — открытое подмножество числовой прямой.

Следующая диаграмма иллюстрирует различные взаимоотношения между А-открытыми топологиями и ограниченно-открытой топологией. х СР(Х) < Сгпк(Х) < Сс(Х) и Сяс{Х) < Ссс(Х) < Сра{Х) < Сгс(Х) < С'ь(Х) < С,,(Х)

Пр.2.2.1 СР(Х) < Стк(Х) = Сс(Х) < С,с(Х) = Ссс(Х) = Сра{Х) = Сгс(Х) = СЬ(Х) = Си(Х)

Пр.2.2.2 ср(У) = С,„к(У) = С,с(У) < Сс(У) = Ссс(У) = СР!1(У) = Сгс(У) = СЬ(У) = Сп{У)

Пр.2.2.3 Ср(г) < с„1к{г) < сс(г) <> с\с(г) < ссс{г) = срД£) = сгс{г) = сь(г) = си{г)

Пр.2.2.4 СР{Х) < Сшк{Х) < Сс{Х) = С,с{Х) = Ссс{Х) = СР,{Х) = Сгс(Х) = СЬ{Х) = Си(Х)

Пр.2.2.6 СР(Х) = Сгпк(Х) = С\с(Х) = Сс{Х) < Ссс(Х) = Срй{Х) = Сгс{Х) = СЬ(Х) = Си(Х)

Г1р.2.2.7 СР(Х) < Стк(Х) = С\с(Х) = Сс(Х) = Ссс(X) < Сре(Х) = Сгс(Х) = СЬ(Х) = Си{Х)

Пр.2.2.8 Ср(А') < Стк(Х) < СЖ(Х) < Сс(Х) < Ссс(Х) < Срз{Х) = Сгс(Х) = Сь(X) = Си{X)

Г1р.2.2.9 СР(С) < Стк(С) < Сс{С) < Сяс(С) < Ссс(С) < Сря(<2) = Сгс(С) = С'ь(С) = СЦС)

Пр.2.2.12 ср{г) < стк{%) < Сс(2:) < С\с(г) < ссс(2:) < ср.ъ(2) < сгс{г) < сь(г) < с ¿г)

X - субметризуемое Стк{Х) = Сс(Х) = С\Г(Х) = Ссг(Х) = Сря(Х) = Сгг{X) = СЬ{Х)

Третий параграф второй главы посвящен метризуемости и свойствам типа счетности пространства Сгс(Х).

Определение 2.3.10. Пространство X называется а-С- компактным,, если в X существует, последовательность {Ап} С-компактных подмножеств таких, что X = (J^ Ап. Пространство X называется почти а-С-компактным. если в X существует плотное а-С-компакт.ное подмножество.

Каждое компактное (псевдокомпактное) подмножество в субметризу-емом пространстве является ¿¡^-множеством. Пространство X называется Ео-пространством. если каждая его точка является С^-множеством. Субметризуемые пространства являются /^-пространствами.

Следствие 2.3.14. Для любого пространства, X следующие ут,верен сдепия эквивалент,иы,.

1. С'гс(Х) субметризуемо.

2. С'гс(Х) есть Ец-прост,ранет,во.

3. X 'почти о-С-компакт)т.

Пространство X (точечно) счетного типа, если любое компактное множество (любая точка) содержится в компактном множестве счетного типа.

Пространство X называют ^-пространством. если для каждой точки х € X существует последовательность {Un\ п Е N} окрестностей точки х такая, что если хп G Un для каждого п. то последовательность {хп\'п, €Е N} имеет предельную точку.

Более сильным свойством, чем быть (/-пространством, является свойство быть М-нространством. Пространство X называют A4- пространством, если X может быть отображено па метрическое пространство квази-совершенным отображением (т.е. непрерывным замкнутым отображением, в котором полный прообраз любой точки счетно компактен).

Пространство X назовем хсми-С-компакгпым, если существует последовательность С-компактных подмножеств {Ап:п € N} в X такая, что для любого С'-компактпого подмножества Л существует щ £ N такое, что А С ЛПп.

Следующее утверждение характеризует метризуемость пространства Сгс(Х) через топологические свойства пространства X.

Следствие 2.3.18. Для любого пространства X следующие утверждения эквивалентны,.

1. Crc(X) мстризуемо.

2. СГ( (А') с первой аксиомой счетпости.

3. Crr{X) счетного типа.

4. Сгс(Х) точечно счетного типа.

5. Crc(X) имеет плотное подмножество точечно счетного типа.

6. Crc(X) М-прост,ранет,во.

7. Crc{X) q-npocm,ранет,во.

8. X хем,и-С-компактно.

Следующая теорема характеризует свойство сепарабельности пространства Сгс(Х).

Теорема 2.3.19. Пуст.ъ X -— сеть из С-компактных подмножеств пространства X. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Сд(Л') сепарабсл,ьио.

2. Crc(X) сепарабелъпо.

3. Сс(Х) сепарабелъпо.

4. СР(Х) сепарабелъпо.

5. X уплотняется на сеплрабелъное метризуемое пространство.

6. X суб,м,етризуем,о и плот ноет,ь d( X) не превосходит 2Ш°.

В четвертом параграфе второй главы исследуются свойства типа полноты пространства Сгс(Х).

Топология равномерной сходимости на С'-компактных подмножествах пространства X индуцирована равномерностью равномерной сходимости па этих подмножествах. Напомним, что равномерное пространство Е полно в том и только том случае, если каждый фильтр Коши в Е сходится к точке пространства Е.

Для хара.ктеризапии полноты равномерного пространства Сгс(X) необходимо определить гс-нспрерывные функции и гсу-пространства.

Определение 2.4.1. Функцию / : X и К будем называть г с- непрерывной, если для каждого С-компактпого подмножества А С X. существует непрерывная функция д : X М гакая. что д|4 = Пространство X будем называть гс/-пространством, если каждая гс-непрерывная функция на X является непрерывной.

Теорема 2.4.2. Равномерное пространство Сгс(Х) является полным тогда и только тогда, когда X является гс/-пространством.

Так как Сгс(Х) — локально выпуклое пространство, Сгс(Х) является бэровским пространством тогда и только тогда, когда СГГ(Х) второй категории. Так как локально выпуклое бэровское пространство является бочечным, мы найдем необходимое условие для того, чтобы Сгс(Х) было бочечным. Напомним, что локально выпуклое пространство X называется бочечным, если каждая бочка (замкнутое выпуклое уравновешенное поглощающее множество) в X является окрестностью Од-.

Теорема 2.4.3. Пуст,ь пространство С'гс(Х) б оченно. Тогда каждое ограниченное подмножество прост,ранет,в а X содержится в С-компактном, подмножестве X.

Получаем следующую характеристику метризуемости полной метрикой пространства Сгс(Х).

Теорема 2.4.5. Для любого пространства X эквивалент,ны следующие утверждения.

1. СГГ(Х) — м,етризуем,о полной метрикой.

2. СГ({X) — полню по Чеху.

3. С'гс(Х) — локально полно по Чеху.

4. Сгс(X) — открытый перерывный образ паракомпактного полного по Чеху пространства.

5. С'гс(X) — открытый непрерывный образ полного по Чеху пространства.

6. X хеми-С-компактное гс^-пространство.

Пятый параграф второй главы исследует свойства локально-выпуклого пространства Сгс(Х) с точки зрения теории меры.

Функциональное пространство С(Х), также как С*(Х), является векторной решеткой — частично упорядоченным вещественным векторным пространством с отношением порядка: / < д, если }\х) < д(х) для всех х Є X. Обозначим /+(.г) = тах{/(.г), 0} и /~(х) = тах-{ — /(.г). 0} для всех х Є X. Линейный функционал А на С(Х) (или С*(X)) называется положительным, если А(/) > 0 для каждого / Є С(Х) (или для каждого / Є С*(Х)) такого, что /' > 0. Будем обозначать положительный линейный функционал как А > 0 и множество положительных функционалов Л+(Х) = {А Є Ау(Х) : А > 0), где і = к,рв,гс, оо, будем называть положительным конусом А-¡(X).

Пусть А — линейный функционал на С(X) (или на С*(АЛ)) и А — подмножество пространства X, тогда зиррХ=А значит, что А имеет носитель А, то есть для любого / Є С(Х) (/ Є С*{X)) с условием = 0 выполняется, что А(/) = 0. Заметим, что в силу линейности А, равенство зиррХ- ,4 эквивалентно, что для любых /, д Є С(Х) (или /. д Є С*(Х)) с условием /|.4 = д\д выполняется, что А(/) = А(д).

Теорема 2.5.1. Для каждого X Є А,Т(.Х) существует С-компактное подмнооїсество А про стран ств а X такое, что зиррХ=А. Верно и обратное, если X полоэ/сительный линейный функционал на С(Х) с носителем, па некотором С-компактном подмножестве, тогда X Є л+да.

Напомним, что линейный функционал Л па пространстве С(Х) (или С*(А')) называется ограничены,м,, если для каждого д Є С(Х) (или С*(Х)) д > 0 существует М > 0 такое, что |А(/)| < М выполняется для всех / Є С(Х) (/ Є С*{Х)) при условии |/| < д. Ясно, что каждый положительный линейный функционал на С(Х) или на С*(Х) является ограниченным. Множество всех ограниченых линейных функционалов на С(Х) (па С*(Х)) обозначим как С(Х)~ (С'*(Х)~) и будем называть порядково ограниченным сопряженным к С(Х) (С*(Х)).

Теорема 2.5.3. Для любого пространства X,

1. АГС(Х) С С(Х)~,

2. Л00(Х) = С*(Х)~.

Далее определим естественную норму на, пространстве АГС.(Х) которая согласуется с решетчетой структурой, то есть ЛГГ(АЛ) будет рассматриваться как нормированная векторная решетка.

Напомним, что Ах(Х) — пространство всех непрерывных линейных функционалов па банаховом пространстве С^.(Х). Положим на пространстве Л00(Л') норму ||А||* = вир{|Л(/)| : / Є С'*(Х) и Ц/Ц^ < 1}. Заметим, что тогда (Л00(ЛГ), ||.||*) — банахова решетка.

Теорема 2.5.7. Для пространства, X следующие утверждения эквивалентны.

1. X — псевдокомпакт,.

2. сгсро = с;с(х) = с~х{х).

3. АГС(Х) = А00(Х).

4. (ЛГС(Х), ||.||*) ба,пахова решетка.

•5. (Л+(Х). (Ц) полное метрическое прост,ранет,во.

Теорема 2.5.8. Для пространства X следующие утверждения эквивалентны.

1. Каждое замкнутое С-компактное подмиооїсество пространства

X являет,ся компактным.

2. СГ{Х) = СГГ(Х).

3. АС(Х) = АГГ{Х).

AJlгeбpy порожденную замкнутыми подмножествами пространства. X будем обозначать как Во*(Х), а порожденную <7-алгебру как Во(Х). Бо-релевским множеством называем элемент а-алгебры Во(Х).

Пусть М(X) — линейное пространство всех замкнуто регулярных а-аддитивпых борелевских мер определенных па Во(Х), М,.(Х) = {/і Є М(Х) : //, — компактно регулярна } и МГГ(Х) = {//, є М(X) : ц, имеет носитель на замкнутом С-компактном подмножестве пространства X}. Через 7\/+(X). М,+ (Х) и М+.(Х) обозначим подмножества положительных мер в пространствах М(Х), МС(Х) и МГС(Х) соответственно. Для /і Є М(Х) определим норму ||/7,¡1 = |/х|(Х). Пусть /л и ^ Є М(Х), определим /і < и. если /¿(у1) < и (Л) МЛ є Во(Х). Относите.ііьно этого порядка, пространство М(Х). обладающее полно вариационной нормой ||/х(|, нормированная решетка.

Следующий результат доказывается в работе Куиду |59|.

Теорема 2.5.10. Пусть X нормальное счетно комплктное пространство. тогда, отображение Р : (М(Х), ||.||) н-» (Л0С(Х), ||.||*); определенное как Р(/і)(/) = [х фдфі,, являет,ся изометрическим, решет,четы,м, изоморфизмом, М{Х) на, Ах,(Х). При этом изоморфизме, М+(Х) отождествляется с Л^(А').

Так как любое С-компактное подмножество нормального пространства является счётно компактным, то получаем следующую теорему.

Теорема 2.5.11. Пусть X — нормальное пространство, тогда отображение Р : (МГС(Х). ||.||) ь-» (Л„.(Х). ||.||*), определенное как -^(/А)(/) = /\- являет,ся изометрическим решетчетым изоморфизмом, МГГ(Х) на АГГ(Х). При этом изоморфизме, М*(Х) отооїсдествляется с Л+(Х).

Пусть МУ{Х) = е Мс(уХ) : существует С-ком пакт мое подмножество А пространства X такое, что |д|(г;Х \ с1УхА) = 0} и МУ(Х) = {¡л е Ми(Х) : д > 0}. Заметим, что МУ(Х) — линейное подпространство Мс(иХ). Следующий результат отождествляет пространство А4У(Х) с п ростран ст вом Лгс (X).

Теорема 2.5.13. Для любого пространства X, отображение Г : (МУ(Х),\\.\\) (ЛГС(Х), ||.|| + ) определенное как (/') = /А-является изометрическим решет,четым изоморфизмом МУ(Х) на АГС(Х). При этом изоморфизме, МУ(Х) от,ождест,вляет,ся с

Исследуем некоторые условия эквивалентные сепарабельности пространства ЛГГ(А^). Напомним, что норма ||.|| на пространстве МГС(Х) индуцирует метрику (I, где 4(11,, и) = ||//,— и\\ для //,. и Е МГС(Х). В частности (М+(Х), в) — метрическое пространство.

Теорема 2.5.14. Для пространства X. следующие условия эквивалентны.

1. — сепарибельпо.

2. (ЛГС(АА), ||.||*) — сепарабельно.

3. X счет,по.

4. (М^'Г(Х),Н) сепарабел/ьпо.

•5. (МГС(Х), ||.||) сепарабельно.

В третьей главе на множестве С(Х) рассматривается слабо множественно -открытая топология, изучаются ее топологические свойства и взаимоотношения с другими топологиями на множестве С(X).

В первом параграфе определяется слабо множественно-открытая топология на множестве С(Х) и изучаются её основные свойства.

Пусть Л — семейство подмножеств X, тогда слабо множественно-открытая топология определяется предбазой вида: [А, 17] = {/ е С(Х) :

Т) С и], где И 6 Л, а V — открытое подмножество числовой прямой. Соответствующее топологическое пространство будем обозначать сах).

Второй параграф третьей главы посвящен теореме о совпадении слабо множественно - открытой топологии и топологии равномерной сходимости; теорема является критерием для пространства С\>-(Х,У) быть паратопологической группой, топологической группой, топологическим векторным пространством.

Пусть дано семейство А — не пустых подмножеств пространства X, тогда обозначим через А (В) — {/4 Е А : для любого ограниченного подмножества В пространства X такого, что В С А, множество [В, и] открыто в Сх*(Х, У) для любого открытого множества и пространства У}.

Очевидно, что для разных семейств А и ¡1. слабо А-открытая топология может совпадать со слабо /¿-открытой топологией т.е., С\*(Х, У) = С/Г(Х,У). Обозначим для фиксированного семейства А через Хт = (Л/7, : С1х*{Х.У) = С\*(Х,У)}. Семейство Хт является единственным максимальным семейством, порождающим слабо А-открытую топологию.

Теорема 3.2.1. Пусть А — п-сет/ь тихоновского пространства X и У — мстризуемое топологическое векторное пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны,:

1) Сх.(Х,У) = СХи(Х,У);

2) слабо Х-от,крыт,а,я, топология на С(Х,У) инва,риан,т,на, относительно сдвигов;

3) С\*(Х,У) парат,опологическая группа;

4) С х- {X .У) — т,опологическая группа;

•5) С\*(Х.У) — топологическое векторное пространство;

6) А состоит из ограниченных подмпоо/сеств и X = А (В)

7) Хт состоит из ограниченных, подмножеств и замкнуто относителъно подмножеств.

Более того, если У является топологической алгеброй, то

8) С\*(Х,У) — топологическая алгебра.

В третьем параграфе третьей главы исследуются кард и нал ь-нозначные характеристики пространства С\*(Х).

В этом параграфе семейство Л — наследственно замкнутая, ограниченная тг-сеть пространства X замкнутая относительно конечных объединений. Такое семейство Л будем называть насыщенным, а если |J А = X. то борнологией. Борнологию будем называть ограниченной (компактной). если все её элементы ограниченный (компактные) подмножества пространства X.

Напомним, что A-покрытием пространства X называется семейство подмножеств пространства X такое, что каждый элемент А содержится в некотором элементе этого семейства. Число A-Apenca пространства X определяется как Ха(Х) = и> + min{|£| : £ С А и £ — А-покрытие X}. Когда А состоит из компактных подмножеств пространства X. тогда A-покрытие называется ^-покрытием, и X называется хемикомпактом, если Aa(A") = и>. Если А является множеством всех конечных подмножеств пространства X, тогда A-покрытие называется w-покрытием, и в этом случаи Аа(Х') = \Х\.

Если х 6 А", семейство а непустых открытых подмножеств пространства X называется локальной 7г-базой в точке х, если для каждой окрестности U точки х, существует V Е а, которое содержтся в U. Определим 7Г-характер пространства X как 7гх(Х") = tu + sup{nx(X, л;) : х Е А"}, где тгх(Х,х) — тгп{\а\ : а — локальная 7г-база, в точке .г-}.

Следующая теорема даст характеризацию характера пространства С\*(Х). Так как для любой топологической группы, характер и тт-характер совпадаю']1, теорема характеризует 7г-характср пространства. Су(Х).

Теорема 3.3.8. Пусть А — насыщенное семейство пространства X. Тогда х(Сл-РО) = ъ(Сх-(Х)) = \а(Х).

В работе Н.В. Величко |83| ставится следующий вопрос (Вопрос 1). Существует ли внутренний (без привлечения ьХ) критерий для веса Сх,(Х) ?

Семейство 5 подмножеств пространства X называется /А-сетью, если для любого множества А е А и любой функциональной окрестности V множества А, существует множество В е 5 такое, что А с В с V. Тогда /А-сстсвой вес пространствах определяется как /Хпги(Х) = тлп{\6\ : 6 — /А-ссть на X}.

Определим fХги(Х) = тгп{\6\ : 5 С А — /А-сеть пространства X}.

Теорема 3.3.10. Пусть X - насыщенное семейство пространства

X.

Тогда /Агч(Х) = тах{/Хпт(Х). Ха(Х)}.

Следующая теорема даст внутреннюю характеристику веса пространства С\*(Х).

Теорема 3.3.11. Пусть X - насыщенн.ое семейство пространства

X.

Тогда ш(Сх-{X)) = тг'ш(С\,{Х)) = /А-ш(Х).

Отмстим несколько замечаний о числе Линделёфа. В Ср-тсории, существует формула Асанова 1{СР(Х)) > £*(Х). где Р(Х) = зир{Ь(Хп) : п е м} является супертеснотой пространства X.

Пусть А ограниченная борнология пространства X. Существует естественное уплотнение С'д«(X) на пространство Ср(Х). Число Линделёфа не возрастает при непрерывных отображениях: таким образом, получаем формулу 1(С\-(Х)) > 1(СР{Х)) > 1*{Х).

Н.В. Величко [83] была доказана следующая теорема.

Теорема 3.3.12. Пусть X ограниченная борнология пространства

1.1(С\(Х))>Г(Х).

2. Вес любого А Е X и. более того, вес АьХ не превосходит 1(С\*(Х)).

В частности, мы имеем следующие следствия этой теоремы.

Следствие 3.3.13. Если С\*(Х) липделёфовое пространство, тогда X имеет, сметную супертесноту и каждое А Е А, также как и замыкание в уХ. имеет счетную базу.

Следствие 3.3.14. Если Су(Х) линделёфово пространство и имеет счётный псевдохарактер, тогда X сепарабельпое пространство со счётной супертеснотой и счётным. Х-весом.

В самом деле, А-вес и супертеснота пространства X счетны так как С\*(Х) линделёфово пространство, и объединение некоторого счетного множества элементов А (каждое из которых сепарабельно) является плотным в X так как С\*(Х) имеет счётный пссвдохарактср.

В работе Н.В. Величко |83] ставится следующий вопрос (Вопрос 4).

Будут ли элементы семейства А компактными множествами в случаи уплотнения линделёфова пространства С\*(Х) на Ср(X)?

Следующая теорема отвечает' положительно на данный вопрос в случаи, если А — С-компактная борнология пространства X.

Теорема 3.3.15. Пусть X — С-компактная борнология пространства X и С'х'(Х) является лииделёфовым. Тогда X состоит из мет/ри-зуемых компактных подмножеств пространства X.

Теорема 3.3.19. Пусть X ограниченная борнология, прост,ранет,ва X и С\*{Х) имеет, счет,ный характер. Тогда С\*(Х) является лииделёфовым тогда и только тогда, когда, X являет,ся хемикомпактным Н[)-пространст.вом.

В общем случаи ответ на вопрос Н.В. Величко отрицательный. Е.А.Рсзпичснко был построен замечательный пример компакта Талагра-на X [15]. В этом компакте существует точка Ь Є X такая, что Л' — стоун-чеховская компактификация пространства У = Х\{Ь}. При этом У— псевдокомпакгное и не замкнутое в X.

Рассмотрим пространство У и семейство всех сепарабельных подмножеств У как семейство А. Получаем, что пространство С\*{У) является линделёфовым (по теореме С.П. Гулько [8|). но семейство А не является компактным.

Последняя четвертая глава относится к теории ¿'(незамкнутых и 5 (11) ■- н еу п л от н я е м ы х пространств.

Пусть V некоторое топологическое свойство, тогда "Р-просгранство называют "Р-псуплотпяемым, если оно пс имеет строго слабее топологию со свойством V. Далее через МІІ и МЯ будем обозначать урысоновскос неуплотпяемое и регулярно неуплотняемое пространства соответственно.

Определение 4.1.20. Множество А 0(п)-сходится к множеству В. если для любого 5'(п — 1)-покрыгия 7 = {иа} множества В существует конечное семейство \иаі}^=1 С 7 такое, что \А \ иа)\ < \А\.

Теорема 4.1.21. Для п Є N. Б (і і)-пространство X является 5"(?/-)-неуплотпяемым пространством. т,огда и тол/ько тогда, когда любое бесконечное .множество А С X 0(п)-сходится к м.ножест,ву В ево-их т.очек полного 0(п)-накопления, и если существует, точка х т,акая, что А не 0(іі)-сходится к X \ {.7;}. тогда, х точка, полного накопления для м,нож:ества А.

В работе Фредлера. Джироу, Петтей и Портера |45| ставится вопрос о характеристике Ми пространств. А именно, найти свойство <2 из которого не следует [/-замкнутості) при этом выполняется, что пространство [/-замкнуто и обладает свойством О, тогда и только тогда, когда оно Ми.

Следующая теорема отвечает на вопрос Фредлера, Джироу, Петтей и Портера.

Теорема 4.1.23. Урысоновское прост,ранет,во X М11 тогда и только тогда, когда X — и-зам,кнут,о, и если существует точка х такая, что бесконечное множество А не в(2)-сходится к множеству X \ {х}, тогда х — точка полного накопления для множества А.

Определение 4.1.28. Б(п)-прост,ранет,во X 8(п)РРС (Б(п)СЕС), если каждая непрерывная функция / на Б (и)-пространство У с условием. что f~l{y) конечно (компактно) для, любого у £ У являет, ся замкнут, ой фунтщей.

Теорема 4.1.29. Для п Е М, 8(п)-пространство X — 8(п)РРС (8(п)СРС ) тогда и только тогда, когда, X — ¿"(п)-замкнут,о. и если существует, конечное (компактное) множество С такое, что бесконечное множество А не в(п)-сходит,ся к множеству В \ С, т,огда, С являет,ся множеством полного накопления для множества А.

В работе Фредлера. Джироу. Петтей и Портера |45| ставится вопрос о характеристике МВ, пространств. А именно, найти свойство V из которого не следует Я-замкнутость и для которого выполняется: Я-замкнутое пространство имеет свойство V тогда и только тогда., когда пространство МВ,.

Следующая теорема отвечает на этот вопрос.

Теорема 4.1.34. Регулярное пространство X — М В пространство тогда и только тогда, когда, X — В-зам,киут,о, и если существует точка х Е В такая, чт,о бесконечное мноэюеетво А не в (со)- сходится к X \ {х-}, тогда х точка полного накопления множества А.

Второй параграф четвертой главы посвящен решению проблемы Портера и Дикмапа о произведении С^С-простраиств.

В 1984 году Р.Ф. Дикманом и Д.Р. Портером [39] был предложен слсдующий вопрос: будет, ли произведение С ГС-пространств являться СРС - пространством?

Введем новый класс пространств, который будет некоторым расширением класса неуплотняемых пространств.

Определение 4.2.5. Отображение / : X —> У будем называть Ст-отображением, если полный прообраз любой точки компактное подмножество мощности меньше т.

При т = 2 получаем уплотнение, при г — ю — конечно-кратное отображение и при т таком, что |Х| < т, получаем компактное отображение.

Определение 4.2.6. Пространство X будем называть Ст-фупкциопадьпо-компактпым (СТРС) пространством, если всякое Ст- отображение /' : А' —> У является замкнутым отображением.

При т = 2 получаем неуплотняемое пространство, при т = и — РРС-пространство и при т таком, что |Х| < т. получаем СТО'- пространство.

Определение 4.2.7. Пространство X будем называть Ст- полурегулярным, если для любого компактного подмножества К С X такого, что \К\ < г и любой окрестности О (К) найдется канонически открытая окрестность У{К) множества А такая, что К С У(К) С О (К).

При т = 2 получаем полурегулярность пространства X.

Теорема 4.2.8. Следующие условия эквивалентны:

1. X СТРС пространство;

2. X Н-замкнутое и СТ-полурегулярное пространство.

Следующая теорема отвечает положительно на вопрос Портера и Дикмана.

Теорема 4.2.9. Для т,ого: чтобы тихоновское произведение X =

РЗ Хп было СТ РС- пространством. "необходимо и достаточно, чтобы, аеА каждое Ха было СТРС- пространством.

Основные определения

Если X и У — два топологических пространства, то запись X ^ У (X > У, X = У) означает, что X и У совпадают как множества и топология на X сильнее или равна (строго сильнее, равна) топологии на У. Символы Е и N обозначают ¡множества вещественных и натуральных чисел соответственно; через обозначается счётная степень пространства М. Функцию, тождественно равную нулю, будем обозначать через /о. Нульмножеством называется множество, имеющее вид /1(0) для некоторой функции / е С(Х). Ко-пуль множеством (или функционально открытым) называется дополнение до нуль-множества. Покрытие называется функционально открытым, если оно состоит из функционально открытых множеств. Если X — топологическое пространство, а С С С(Х), то подмножество А С X называют С-ограниченным при условии, что /(А) — ограниченное подмножество из К для любой функции / 6 С. Если множество А является С-ограниченным при С = С(X), то А называют ограниченным на X. Пространство X называют /¿-пространством (иногда гиперизокомпакным или пространством Нахбина-Широта), если каждое замкнутое ограниченное множество является компактом. Замыкание множества А будем обозначать через А, символом 0 обозначаем пустое множество. Если А С X и / 6 С{Х). то через обозначаем сужение функции / на множество А. Как обычно, /(Л) и /-1(Л) — это соответственно образ и полный прообраз множества А при отображении /. Остальные обозначения можно найти в [17].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Осипов, Александр Владимирович, 2012 год

1. Александров П.С., Урысон П.С. — Мемуар о компактных топологических пространствах,- М.: Наука, 1971.-144 с.

2. Альперип М.И. — Вложение пространств функций. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Екатеринбург, 1994г.

3. Архангельский А. В. — Топологические пространства функций. — М.: Мир, 1986.

4. Архангельский A.B. — Пространства отображений и кольца непреывных функций. — Итоги науки и техники, фундаментальные направления, т.51, с.81—172.

5. Асаиов М. О. — Пространство непрерывных отображений. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.н., Свердловск, 1980.

6. Величко, Н.В. — Н-замкнугые топологические прострасгва. — Матсм.сб,- 1966,- Т.70 С. 98-112.

7. Грызлов, A.A. — Н-замкнуллде пространства и свойства тина компактности. Дне. . канд.физ.-мат.наук Свердловск: 1973.-70 с.

8. Гулько С.П. — О свойствах некоторых функциональных пространств. — Док. РАН, (1978), с. 1420-1424.9| Киртадзе, Г. — О различных вилах полноты люпологических пространств. Матсм.сб. 1960. - Т.50. - С.67-90.

9. Куратовский К. — Топология. — М.:Мир., Том 1, (19G6), с.594.

10. Нохрин С.Э. — Некоторые свойства множественно-открытых топологий — Современная математика и её приложения. 2004. Т. 10. С.1-30.

11. Нохрин С.Э. — Пространство непрерывных функций в множественно-открытых топологиях. — Диссертация на соискание ученой степени к.ф-м.п., Екатеринбург, 1997.

12. Нохрин С.Э., Осипов A.B. — К вопросу о совпадении множественно-открытой и равномерной топологий — Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2009. Т. 15, № 2. С. 177-184.

13. Осипов A.B. — Слабо множественно-открытая топология. — Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, .N'a 2. С. 177-184.

14. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. — Positive operators — Academic Press, Orlando -1985.

15. Arcns R. — A topology of spaces of transformations. — Annals of Math., 1946, v.47. p.480 495.

16. Arhangel'skii A.V. Tkachenko M. — Topological group and related structures. — Ser.: Atlantis Stud. Math. Vol. 1. Paris: Atlantis Press, 2008. 800 p.

17. Arzela G . — Funzioni di lmee. — Atti della Reale Accademia dei Lincei, R.endiconti v.5. 1989, p.342 348.25| Ascoli G . — Le curve lirnite di una varieta, data di curve. — Mem. Accad. Lincei, 1883, v.(3)18, p.521 586.

18. Aull C.E. — Sequences in topological spaces — Prace Mat. 1968. Vol. 11. 329-336.

19. Aull C.E. On C- and C'*-embeddirigs - Indag. Math. 1975. Vol. 37. P. 26-33.

20. Aull C.E. — Absolute C-embedding in functionally normal spaces and related spaces — Topology. Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. Vol. 23. Amsterdam: New York: North-Holland, 1980. P. 129136.

21. Boni M P, Soigcnhoy RH— Minimal icgulai ьрасеь — Pioc Amoi Math Soc 14 (1963) 454-458

22. Blai R L Douwcn E К van — Neaily lealoompact ьрасеь — Topology Appl 1992 Vol 47, no 3 P 209-221

23. Buhagiai D Yoshioka I — Sieves and с oinpleteiiess piopeitieb Quebtiorib Anbwcib Gen Topology 2000 no 18 P 143-162

24. Conciho A D , Namipally S — Pioxmial Set-Open Topologicb — Bollettino U M I (8) 1-B, (2000) pp 173-191

25. Chevallcy С , Funk О — Biconipactncbb of Caitobian pioductb — Bull Amer Math Soc v 47 (1941) pp 612-614

26. Davib S W — A nibhionmg-type weak covenng piopertv — Pacific J Math ] 979 Vol 80 no 2 P 359-370

27. Dickman R F Poitei J R — Between minimal Haubdoifî and compact Haubdorff ьрасеь — Topology Procecdmgb 1984, Vol 9 pp 243-268

28. Dikl an] an D — 5'(г?)-6'-с1оьсс1 ьрассь — Topology and its application 28 1988 - P 59-74

29. Eclund AD— The fine topology and othei topologies on C( X Y) — DibbCitation Vngmia Pohtehmc Institute and State Univcibity Blackbbuig Vngmia 1978

30. Ebt W T van FieudcnthalH — Tiemiung duic h btetigc Funktionen m topologibfhcn R Räumen — Nedcil Akad Wctciibch Pioc Sei Indag Math 13 (1951), 359-368

31. Fox RH— On topologieb foi function bpaccb — Bull Aniei Math Soc 1945 Vol 51 P 429-432

32. Fiechct M — Sui quelques pomtb du calcul functionnel — Rend del Cue Mat di Paleimo 1906 p 1 74

33. Fnedlci L M , Gnou M Pcttey D H and Poitci I R — A buivey of R- U- and G'W-clobcd bpaceb — Topology pioceedmgb (1992) Vol 17 71-96

34. Fnedlci LM Poitci JR — Compactlv functionally compact bpaces -Houbton Journal of mathematics v 22 JV° 4, (1996) pp 775-78547| Fiolik Z — Generalizations of compact and Lmdelof spaceb — Czech Math J 1959 Vol 9 no 2 P 172-217

35. Fiolik Z — Gcneiah/atioiib of the GVpiopcity of complete nietnc bpaceb Czech Math J 1960 no 10 P 359-379

36. Gillman L Jeiibon M — Rmgb of contmuoub functioiib — The Umveibity Senes m Highei Mathematics Pimceton New Teibey D Van Nobtiand Co Inc 1960 300 p

37. GiuenhageG —Gcneiahzed nietnc bpaceb —Handbook of bct-theoietic topology Edb K Kunen J E Vaughan Noith-Holland 1984 P 423 501

38. Hadamaid J — Sui ceitanicb applications possibles dc la theone deb enbcmbles — Vcihandle Eabtem lutein Math Kongiobb B G Teubnei Leipzig 189852| Hoiilieh H — TVAbgeschlossonhoit unci TrMinnnahtat Math Z 88 -1965 P 285-294

39. Heindnde/ S Sanclns M Tkacenko VI — Bounded sets in spaces and topological gioups — Topology and itb Applicationb 2000 Vol 101 P 21-43

40. Ibmail M Nyikob P On spaces in which tountably compact betb aic clobcd and hcicditaiy propei tics — Topology Appl 1980 Vol 11 no 3 P 281-292

41. Jackson I R — Spaces of mappmgb on topological pioductb with appliances to homotopy th( oiy —Pioc Auk i Math Soc 1952, v 3, p 327 — 333

42. Jiang S — Some piopeities of S(ri) — 0—i losed spac cs — Topology and its Applications 96- 1999- P 23-29

43. Kelley J L — Geneial topology — Van Nostiand New Yoik 195558| Kukoiian N — A note conceiinng the hue topology on function spaces- Composito Math 1969 v 21 p 343 348

44. Kundu S — Spaces of continuous lincai functional something old and something new — Topology Pioccedmgs (1989), № 14(1) P 113-129

45. Kundu S Gaig P — Count ability piopeities of the psouciocompact-open topology on C(X) A comparative study — Rend Istit Mat Umv Tnestc Vol 39 2007 P 421-444

46. Kundu S Ralia A B — The bounded-open topologj and its lelativesRend Istit Mat Um\ Tneste 1995 Vol 27 no 1-2 P 61-77 (1996)

47. McCoy R A — The topology on function spaces Intern J Math and Math Sci 1986 \9 p 417-424

48. McCoy R.A. — Countability properties of function spaces. — Rocky Mountain J. Math. 1980. Vol. 10, no. 4. P. 717-730.

49. Michael E. — Partition-complete spaces are preserved by tri-quotient, maps. Topology Appl. 1992 no. 44. P. 235-240.

50. Michael E. tVspaces. — -T- Math. Mech. 1966. Vol. 15. P. 983-1002.

51. Morita K. — Products of normal spaces with metric spaces. — Math. Ann. 1964. Vol. 154. P. 365-382.

52. Morita K. — Note of mapping spaces. — Proc. Japon Acad., 1956, v.32, p.671 675.

53. Noble, N. — The densite character of function spaces. Proc. Amor. Math. Soc. 42:1, 1974, p.228-233.

54. Osipov, A.V. — An example of the nonfeebly compact product of U-6-closcd spaces. Proc. Steklov Inst. Math. 2001. suppl.2 P. S186-S188.

55. Osipov, A.V. — Different kinds of closedness in S(?i)-spaces. Proc. Steklov Inst. Math. 2003. suppl.l.- P. S155-S160.

56. Oxtoby J.C. — Cartesian products of Baire spaces. — Fund. Math. 1961. no. 49. P. 157-166.

57. Porter J.R. — Almost 77-closed. — Topology Proceedings, (2011), Vol 38, 301-308.

58. Porter J.R., Votaw C. — 5'(o;)-Spaces and Regular Hausdorff Extensions- Pacific J. Math., (1973), Vol. 45, 327-345.

59. Taylor A.E., Lay D.C. — Introduction to functional analysis. — 2nd ed. New York: John Wiley & Sons, 1980. 244 p.

60. Todd A.R. — Pseudocompact sets, absolutely Warner bounded sets and continuous function spaces. — Arch. Math. (Basel) 1991. Vol. 56, no. 5. P. 474-481.

61. Osipov А.V., "Weakly //-closed spaces". Proc. Steklov Inst. Math., 2004, suppl. 1., pp. 15-17.

62. Osipov A.V., "Nearly //-closed spaces". Journal of Mathematical Sciences, 2008. T. 155, № 4, pp. 624-631.

63. Осипов А.В., Нохрип С.Э. "К вопросу о совпадении множественно-открытой и равномерной топологий". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2009, Т. 15, № 2, с. 177-184.

64. Осипов А.В., "Слабо мпожссгвсппо-открытая топология". Тр. Инта математики и механики УрО РАН. 2010, Т. 16, № 2, с. 167-176.

65. Osipov А.V., "The Set-Open topology". Topology Proceedings, 2011. № 37, P. 181-204.

66. Осипов А.В., "Свойства С'-компактно-открытой топологии на пространстве функций". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 2011, Т. 17, № 4, с. 258-277.

67. Осипов А.В., Косолобов А.В., "О секвенциально-компактно-открытой топологии". Вести. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Ком пьют, науки, 2011, № 3, с. 75-84.

68. Osipov А. V. "Topological-algebraic properties of function spaccs with set-open topologies". Topology arrd its Applications. 2012, № 159, issue 3, P. 800-805.

69. Осипов А.В., "Алгебраические структуры на пространстве непрерывных отображений". Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012, Т. 17, № 1., с. 47-53.

70. Осипов А.В., "О свойствах типа полноты С-компактно-открытой топологии наС(Х)". Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012, Т. 18, № 2., с. 191-199.

71. Осипов А.В., "Сопряженное пространство к Сгс(Х)". Вести. Уд-муртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки, 2012, № 1, с. 41-49.

72. Осипов А.В., "Р-замкнутые и Р-неуплотняемые прстранства, часть 2". ТюмГУ, Сборник научных трудов. Математический и прикладной анализ, 2008, с.114-136.

73. Осипов А.В., "Множественно-открытая топология". Труды 39-той Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". Екатеринбург. 2008. с.43-47.

74. Осипов А.В., Нохрин С.Э. "М-компактные множества и их свойетва". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.54-59.

75. Осипов А.В., Нохрин С.Э., "Совпадение А-открытой и А топологий". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". 2009, стр.бЗ-GG.

76. Осипов А.В., "Мультипликативность компактно функционально-компактных пространств". Труды 40-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики 2009, стр.59-63.

77. Osipov А.V., "Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Brno. Czech Republic. 2009,p.15.

78. Осипов А.В., "Слабо-мпожествеппо-открытая топология". Труды 41-ой Всероссийской молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики Екатеринбург, 2010, с. 58-69.

79. Osipov А.V., "Weakly Set-open topology". Abstracts of International conference on topology and its applications, Nafpaktos, Greece, 2010, p.75.

80. Осипов А.В., "Регулярность мпожественно-отркрытой топологии". Тезисы всероссийской конференции "Современные проблемы математики 42-я Всероссийская молодежная школа-конференция, 2011, с.271-272.

81. Osipov А.V., "Group of isometrics and groups of homcomorphisms" Тезисы Международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-лстию со дня рождения А.И. Старостина, с.186-189.