Нелинейные транспортные задачи Канторовича тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Резбаев Айрат Владимирович

• Резбаев Айрат Владимирович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Резбаев Айрат Владимирович

Введение

1 Нелинейная транспортная задача Канторовича

1.1 Нелинейная задача Канторовича

1.2 Существование решения нелинейной задачи Канторовича

1.3 Задача Канторовича с условными мерами

2 Нелинейная задача Канторовича с ограничениями на плотность

2.1 Нелинейная задача Канторовича с ограничениями на плотность

2.2 Задача Канторовича с условными мерами и ограничениями на плотность

3 Транспортные задачи с фиксированным барицентром

4 Задача Канторовича с условными мерами. Продолжение

5 Контрпримеры

Заключение

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Центральными объектами диссертации являются появившиеся в последнее десятилетие несколько новых модификаций классической транспортной задачи Канторовича:

• нелинейная транспортная задача Канторовича и в частности транспортная задача Канторовича с условными мерами,

• нелинейная трасшюртная задача Канторовича с ограничениями на плотность,

• транспортная задача Канторовича с фиксированным барицентром.

Являясь, с одной стороны, обобщением классической транспортной задачи Канторовича, эти модификации наследуют и все ее теоретические и практические приложения, которыми она обладает, благодаря тому, что является местом встречи таких дисциплин как функциональный анализ, геометрическая теория меры (см. [13], [40], [45], [51], [58]), теория вероятностей, бесконечномерный анализ, теория оптимизации (см. [31], [32]), дифференциальные уравнения (см. [39], [46], [52]), механика жидкости (см. [20], [35]), экономика (см. [6], [18], [43]) и т.п. С другой стороны, в отличие от классической транспортной задачи, в постановку этих новых модифицированных задач изначально заложены дополнительные математические объекты (например, условные меры или барицентр), что добавляет им собственной специфики, благодаря которой они уже нашли многочисленные приложения: были получены более простые доказательства уже имевшихся результатов (теорема Бренье-Штрассена, задача Шредингера, см. [17]), некоторые результаты были усилены (полумар-тингальная транспортная задача, обратные трансферы, см. [17] и [33]), оказалось, что имеется глубокая связь задачи Канторовича с условными мерами и теорией аукционов [36].

Прежде чем переходить к вышеуказанным модификациям транспортной задачи, напомним современную постановку классической транспортной задачи Канторовича (изначальную постановку и некоторые экономические предпосылки задачи см., например, в оригинальных работах

Л.В. Канторовича и Л.В. Канторовича в соавторстве с Г.Ш. Рубинштейном [3], [4], [5], [6], [7], [8], интересующиеся жизнью и творчеством Л.В. Канторовича, смогут найти много интересного в работах [2] и [9], вышедших к 100-летию математика). Пусть даны вероятностные пространства (X, Вх, м) и (X, Ву, V) и неотрицательная Вх 0 Ву-измеримая функция Н, которая называется функцией стоимости. Об означим через П(м, V) множество всех вероятностных мер на пространстве (X х У, Вх 0 Ву), имеющих проекции м и V на сомножители (такие меры называются транспортными планами), т.е. мер а, для которых

а(Л х У)= м(А),А е Вх, а(Х х В) = V(В),В е Ву.

Меры м и V называются маргинальными распределениями. Задача Канторовича состоит в минимизации интеграла

J Н(х,у)а((х (у)

X хУ

по мерам а е П(м, V). Если существует мера, на которой достигается минимум, то говорят, что задача Канторовича имеет решение, а саму эту меру называют оптимальным планом. Известно, что задача Канторовича имеет решение при достаточно широких условиях. Например, решение существует, если вполне регулярные топологические простран-

ства, маргинальные распределения являются радоновскими мерами, а функция стоимости Н ограничена и полунепрерывна снизу (см. [ ]). В общем же случае имеется инфимум

)= т£ / Н(х,у)а((х(у).

аеЩц^) ]

хх у

Аналогично можно рассматривать транспортную задачу не с двумя, а с п маргинальными распределениями и функцией стоимости, заданной на произведении п соответствующих пространств.

В современном мире господства рыночной экономики мы гораздо чаще сталкиваемся с ситуацией, когда стоимость транспортировки (достав-

ки) перевозимых товаров не является фиксированной, а зависит от того, сколько этих товаров мы покупаем. Например, такая ситуация очень часто встречается в сетях общественного питания: "при покупке п-го количества бургеров доставка бесплатно" или "при покупке десяти бурге-ров цена одиннадцатого будет всего 1 рубль". Аналогично можно придумать пример, когда при увеличении количества вывозимых из магазина товаров, их стоимость увеличивается. Например, пусть у транспортной компании есть два вида автомобилей: легковые и грузовые, причем использование грузовых обходится дороже для компании. Теперь если с данного склада А к данному покупателю В везется количество товара большее чем вместимость легковой машины, значит товар везется на грузовой, и поэтому стоимость перевозки будет больше. Чтобы такие вполне жизненные ситуации стали охватываться проблематикой оптимальных транспортных задач, необходимо допускать возможность зависимости функции стоимости Н еще и от плана транспортировки, т.е. от того, сколько и куда везти. Другими словами, мы приходим к задаче минимизации нелинейного функционала

X хУ

Н задана на X х У х V (X х У), где V (X х У) -пространство вероятностных мер наХ х У. Трудно сказать, почему сам Леонид Витальевич не рассматривал задачи в такой постановке. Возможно, потому что в те суровые времена бургеры не продавались так массово, или же, что более вероятно, потому что экономика страны была плановой и основной лозунг советских экономических агентов был далек от современного "купить подешевле и затем перепродать подороже" или еще менее гуманного "деньги-товар-деньги". Поскольку теперь исследуемый функционал нелинеен по а, то задачи этого типа мы называем нелинейными задачами оптимальной транспортировки Канторовича или более коротко нелинейными задачами Канто-

ровича. Такую задачу можно записать так

Jh(a) = J h(x,y,a)a(dxdy) ^ min, а £ П(д, v).

XxY

Хотя задача и стала нелинейной, что, разумеется, не могло не сказаться на усложнении поиска оптимальной меры, но оказалось, что ее решение, то есть мера, на которой функционал достигает инфимума, существует при достаточно широких и совершенно типичных для транспортных задач предположениях: достаточно вполне регулярности пространств X и У, радоновости маргиналов д и V, и ограниченности и полунепрерывности снизу функции стоимости Н на пространстве X х У х V (X х У). Здесь дело заключается в том, что хотя функция больше и не является линейной, но все еще остается полунепрерывной снизу. Доказательство существования решения для этого типа задач приведено в пункте 2 главы

Оказалось, что глубокую связь (см. [17]) с практическими и теоретическими задачами имеют нелинейные транспортные задачи, в которых функция стоимости имеет вид

где ах - условные меры на У относительно проекции меры а (равной д) на X. Мы будем называть задачи этого типа задачами Канторовича с условными мерами. Напомним, что наличие фигурирующих в постановке задачи условных мер означает, что мера а имеет вид

функция х ^ ах(В) является д-измеримой для каждого борелевского множества В С X и для всякой ограниченной функции / на X х У, измеримой относительно Б^) 0 В (У), выполнено равенство

h(x, y, а) = h(x, ах),

a(dxdy) = ax(dy)ß(dx),

XxY

X Y

В действительности достаточно, чтобы это равенство выполнялось для функций вида 1а(х)1в(у), А Е В(Х),В Е Б(У). Строгости ради нужно отметить, что развитие теории нелинейных транспортных задач Канторовича началось именно с этой более частной ситуации, (см. [11], [ ], [ ]). Во всех этих работах пространства X и У были метрические, однако в теоретических задачах рамки метризуемых пространств часто оказываются слишком ограничительными, поэтому представляет интерес изучить вопросы существования решений в более общей ситуации, в частности в случае вполне регулярных пространств. Этому посвящен пункт 3 главы 1. Оказалось, что для существования решения задачи Канторовича с условными мерами важным достаточным условием является наличие у функции Н : X х Р(У) ^ К выпуклости по второму аргументу. В главе 4 будут рассмотрены два интересных с теоретической точки зрения случая, ко:да условие выпуклости можно несколько ослабить.

Для решения подавляющего большинства практических задач транспортировки, возникающих в реальной жизни, как правило, достаточно аппарата дискретных транспортных задач Канторовича (множества X

У

чем методики поиска оптимальной транспортировки для таких задач хорошо разработаны. Пусть X = {х1, х2,.., хп} — множество поставщиков, У = {у1, у2,.., ут} — множество покупателей и вз — количество товара, имеющееся у ^'-ого поставщика, а Гк — количество товара необходимое к-ому покупателю. Допустимыми планами в такой задаче будут произ-

т

вольные функции а : X х У ^ [0, такие что а(хз,Ук) = вз и

к=1

п

,ук) = Гк■ Находясь в рамках дискретного случая, мы автоматизм =1

чески получаем, что для всех допустимых транспортировок а существует мажоранта

а(х3,ук) < шт{вз,Гк}.

Достаточно просто также придумать ситуацию, когда все наши допустимые транспортные планы должны мажорироваться другой функцией (которая, разумеется, не превосходит шт^-,Гк})• Представим, что

у1

торому нужна одна единица товара, и два магазина, в которых есть нужный ему товар: один в Калининграде х1? другой - в Хабаровске х2, Если транспортная компания стремится не только максимизировать прибыль, но еще и ограничивает себя неэкономическими факторами, например, заботой об окружающей среде (вред окружающей среде от такого длинного перелета из Калининграда будет многократно больше, чем от перелета из Хабаровска), то в качестве мажоранты нужно брать функцию М (Х1,У1)=0,М (Х1,У2) =

Аналогично можно придумать ситуацию, в которой все наши допу-

а

данной функции и. Предположим, что, если мы именно от поставщика XI повезем именно к покупателю у1 не менее обговоренного количества товара, то получим от поставщика откат. Теперь понять, какой должна быть функция и, уже не составляет труда. Надо полагать, что этот случай на практике встречается чаще чем предыдущий.

Указанные примеры демонстрируют обоснованность рассмотрения 11013014) типа транспортных задачах Канторовича, который был введен в серии недавних статей Р. Маккэна и соавторов (см. [47], [48], [49], [50]). В этих работах минимизация функционала происходит не по всему множеству планов П(д, V), как это делается в классической задаче, а по его подмножеству Пф(д, V), состоящему лишь из тех мер, которые обладают плотностями относительно фиксированной меры Л на X х У (мера Лебега в этих статьях), причем эти плотности не должны превосходить заданную функцию Ф на X х У:

(а

— < Ф. (Л

В дальнейшем эти исследования были продолжены в работах (см. [21], [24], [26], [34], [37]), где уже рассматривались общие измеримые простран-

Л

была общей вероятностной мерой на X х У. Наиболее подходящей топологией на пространстве мер является слабая топология из пространства Ь1(Л). Оказалось, что в этой ситуации для существования минимума до-

статочно, чтобы Ф Е Ь1(Х) (топологические условия на Ф не накладываются) и множество Пф(ц, V) было не пусто. Видится вполне естественным и в этом типе задач предполагать, что функция стоимости зависит от плана перевозки. Этот тип задач будет рассмотрен нами в главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные транспортные задачи Канторовича»

Цель работы.

1) Найти достаточные условия существования решений нелинейных задач Канторовича и задач Канторовича с условными мерами в случае вполне регулярных пространств X и У.

2) Исследовать нелинейные задачи Канторовича с ограничениями на плотность, получить достаточные условия существования решения.

3) Исследовать транспортные задачи с фиксированным барицентром, получить достаточные условия существования решения.

4) Построить контрпримеры к некоторым теоремам существования, при этом добиваясь как можно меньшей регулярности пространств X и У и маргиналов ц и V. В частности, привести примеры отсутствия решений в задаче Канторовича с условными мерами, а также в задаче Канторовича с ограничениями на плотность. Построить пример, показывающий, что условие полу непрерывности снизу целевого функционала в задаче Канторовича с условными мерами не является необходимым для существования решения этой задачи.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) В случае когда X и У — вполне регулярные топологические пространства, получены достаточные условия существования решения нелинейной задачи Канторовича и задачи Канторовича с условными мерами. В частности, оптимальный план в нелинейной задаче Канторовича су-

Н

жествах К х П(ц, V), где К- компакт в X х У.

2)

ной задачи Канторовича с ограничениями на плотность. 3)

Канторовича с фиксированным барицентром. Также дано некоторое описание решения в терминах циклической монотонности.

4) Для нелинейной задачи Канторовича с условными мерами и задачи Канторовича с ограничениями на плотность построены примеры, которые показывают, что даже в самых классических случаях отказаться от выпуклости функции стоимости Н : X х Р (У) ^ по второму аргументу нельзя. Также построен пример, показывающий, что в задаче Канторовича с условными мерами полунепрерывность снизу целевого функционала не является необходимым условием для существования решения этой задачи.

Положения, выносимые на защиту.

1.

Канторовича и задач Канторовича с условными мерами.

2. Достаточные условия существования решения нелинейных задач Канторовича с ограничениями на плотность.

3. Достаточные условия существования решения задач Канторовича с фиксированным барицентром. Описание решения в терминах циклической монотонности.

4.

мерами, задаче Канторовиче с ограничениями на плотность. Пример, показывающий, что условие полунепрерывности снизу целевого функционала в задаче Канторовича с условными мерами не является необходимым для существования решения этой задачи.

Методы исследования. В диссертации используются различные методы теории меры, функционального анализа, линейного программирования и бесконечномерного анализа, а также некоторые элементы выпуклого анализа. В частности, используются аппарат условных мер и различные приложения слабых топологий и слабых сходимостей мер.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации, в большинстве своем, носят теоретический характер, и потому могут быть использованы в качестве инструментария специалистами в таких областях как теория меры, бесконечномерный анализ, линейное программирование, теория оптимального управления и теория аукционов. Результаты и методы работы будут востребованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете имени М. В. Ломо-

носова, Математическом институте имени В. А. Стекдова РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики» и Национальном исследовательском университете «Московский физико-технический университет».

Соответствие паспорту научной специальности. В диссертации изучаются нелинейные функции на бесконечномерных пространствах с вероятностными мерами, сами вероятностные меры, а также интегрирование в бесконечномерных вероятностных пространствах. В этой связи диссертация соответствует паспорту специальности 1.1.4 "Теория вероятностей и математическая статистика".

Апробация результатов диссертационного исследования. Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях:

1. 6-я Санкт-Петербургская молодёжная конференция по теории вероятностей и математической физике

2. III Международная конференция «Математическая физика, динамические системы, бесконечномерный анализ», посвященная 100-летию B.C. Владимирова, 100-летию Л.Д. Кудрявцева и 85-летию О.Г. Смоля-нова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора (см. [21], [29], обе работы в соавторстве) в рецензируемых научных журналах из списка ВАК, входящих в базы данных SCOPUS и Web of Science.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 76 страниц.

Краткое содержание диссертации

1 Нелинейная транспортная задача Канторовича

Эта глава диссертации посвящена нелинейной транспортной задаче Канторовича и задаче Канторовича с условными мерами в частности. В первом параграфе дается постановка нелинейной транспортной задачи, во втором доказывается теорема, дающая достаточные условия существования решения такой задачи. Центральным объектом третьего параграфа является задача Канторовича с условными мерами, специфика которой заключается в особом виде зависимости функции стоимости от транспортного плана (через условные меры). Там же нами доказывается теорема существования для такой задачи. Обе теоремы доказываются для достаточно широкого класса функций стоимости и пространств X и Y. Случай польских пространств рассмотрен в работе [ ].

1.1 Нелинейная задача Канторовича

В самом общем виде нелинейная транспортная задача Канторовича ставится следующим образом. Даны два вероятностных пространства (X, A, ß) и (Y, B, v). Пусть n(ß, v) - множество всех вероятностных мер на X х Y, заданных на A0B и имеющих проекции ß и v на сомножители, т.е. для каждой меры а £ n(ß, v) выполнены соотношения

а (А х Y) = ß(A),A £ A, а(Х х B) = v(B),B £ B.

Множество n(ß, v) не пусто, поскольку всегда содержит меру ß 0 v. Пусть также задана неотрицательная функция h : X х Y х n(ß, v) ^ R, называемая функцией стоимости, которая при каждом фиксированном а £ n(ß, v) измерима относительно а-алгебр A0B и B(R). Тогда нелинейная транспортная задача Канторовича записывается в следующем виде

J h(x,y,а)а(dxdy) ^ min, а £ n(ß,v).

XY

Меры д и V называются маргиналами или маргинальными распределениями, а меры из П(д, V) - допустимыми планами. Если существует мера а0, на которой достигается минимум в нелинейной задаче Канторовича, то говорят, что эта задача имеет решение, а саму меру называют оптимальным, планом. В общем же случае имеется инфимум

Для вполне регулярного топологического пространства X через Рг (X) будем обозначать пространство радоновских вероятностных мер на X, т. е. таких борелевских мер д, что для всякого борелевского множества В и всякого £ > 0 найдется ком пакт К с В с д(В\К) < е. Через В(Х) будем обозначать а-алгебру борелевских множеств топологического пространства X, а через Ва(Х) его бэровскую а-алгебру, которая порождается всеми непрерывными функциями нaX. В случае вполне регулярного суслинского пространства имеет место равенство Ва(^) = В(^) (см. [ ], теорема 6.7.7). Пространство Рг(X) наделяется слабой топологией, которая на всем пространстве знакопеременных радоновских мер порождается семейством всех полунорм вида

где / — ограниченная непрерывная функция нaX.

Множество мер М с Рг(X) называется равномерно плотным, если для всякого £ > 0 найдется ком пакт К с В с д(В\К) < е для всех д е М.

1.2 Существование решения нелинейной задачи

Канторовича

Этот параграф посвящен доказательству теоремы о существовании решения нелинейной транспортной задачи Канторовича для достаточно широких классов вероятностных пространств и функций стоимостей. Доказательство этого утверждения опирается на следующую лемму.

ХхУ

Лемма 1. Пусть X — вполне регулярное пространство, П — равномерно плотное компактное подмножество V (X), функция

Н: X х П ^ [0, +ж)

полунепрерывна снизу на множествах вида К х П, где К — компакт в X. Тогда полунепрерывна снизу функция

^(а)= Н(а, П ^ [0, }х

Теорема существования. Пусть ^У - вполне регулярные пространства, д и V — радоновские меры на X и У соответственно и Н полунепрерывна снизу на множествах вида К х П(д, V), где К — компакт в X х У. Тогда существует оптимальный план.

Доказательство. Так как множество планов П(д, V) равномерно плотно и слабо компактно, то, согласно предыдущей лемме, функция ^полунепрерывна сн изу на П(д, V). Теперь существование оптимального плана следует из того факта, что полунепрерывная снизу на компакте функция достигает на этом компакте своего минимального значения.

Как можно заметить, достаточные условия для существования решения нелинейной задачи Канторовича аналогичны (с точностью до обла-

Н

задачи Канторовича.

1.3 Задача Канторовича с условными мерами

В третьем параграфе мы продолжаем рассматривать нелинейные транспортные задачи Канторовича, но все внимание будет сконцентрировано на случае функций стоймости специального вида

Н : X х У х V(X х У) ^ К, Н(х, у, а) = Н(х, ах).

Нелинейные транспортные задачи с функциями стоимости такого вида мы будем называть транспортными задачами Канторовича с

Н

от транспортных планов а через условные меры, что может нарушать ее непрерывность на множествах вида К х П(д, V), где К — компакт в X х У, то для доказательства существования решений таких задач нам придется накладывать на функцию Н более ограничительные условия.

Напомним, что наличие фигурирующих в постановке задачи услов-

а

функция х ^ ах(В) является д-измеримой для каждого борелевского множества В е X и для всякой ограниченной функции / на X х У, измеримой относительно В(^) 0 В(У), выполнено равенство

В действительности достаточно, чтобы это равенство выполнялось для функций вида 1а(х)1в (у) где А е B(X), В е В (У). Известно, что условные меры существуют при достаточно широких предположениях, например, в случае суслинских пространств, т.е. хаусдорфовых топологических пространств, которые являются образами полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях.

Поскольку мы будем рассматривать вполне регулярные топологические пространства X и У (в этом случае нет гарантий, что условные меры существуют), то всегда заранее нужно требовать, чтобы условные меры существовали, иначе сама постановка задачи будет лишена всякого смысла.

Доказательство основного результата опирается на следующие две леммы.

Лемма 2. (^ Пусть Е — вполне регулярное пространство, направленность мер Ра е Рг (Е) слабо сходится к мере Р е Рг (Е) и равномерно плотна, а функция Н: Е ^ [0,1] такова, что для каждого е > 0 найдется такой компакт К£ с Е, что Ра(Е\К£) < е для всех а и сужение Н на

а(йхйу) = ах(йу)д(йх),

ХУ

ХУ

К£ полунепрерывно снизу. Тогда

Н йР < Нш т£

[ Н<1РС

Е

а-

(И) Пусть У — вполне регулярное пространство, мера Q £ Рг (Рг {У)) сосредоточена на счетном объединении равномерно плотных множеств, ограниченная функция Н на Рг (У) выпукла и полунепрерывна снизу на равномерно плотных множествах. Тогда

Лемма 3. Пусть функция Н: X х Рг(У) ^ [0, измерима относительно В(Х) 0Ва(Рг(У)), полунепрерывна снизу на множествах вида К х Б, где К — компакт в X, а множество Б С Рг (У) равномерно плотно, и выпукла по второму аргументу. Тогда функция

полунепрерывна снизу на П(д, V).

Непосредственно из предыдущих двух лемм и слабой компактности множества планов П(д, V) вытекает следующий основной результат.

Теорема существования. Пусть ^У - вполне регулярные топологические пространства, д и V — радоиовские вероятностные меры наХ и У соответственно и пусть функция стоимости Н: X х Рг (У) ^ [0, измерима относительно Ва(Х) 0 Ва(Рг(У)), полунепрерывна снизу на всех множествах вида К х Б, гДе К — компакт в X, а Б С Рг (У) равномерно плотно, и выпукла по второму аргументу. Тогда

достигается, т. е. существует оптимальный план.

Замечание 2. (1) Полученные выше утверждения сохраняют силу и в ситуации, когда функции Н и Н принимают значения в [0, Для

этого надо применить доказанное для функций шт(Н, N) и шт(Н, N).

(&)= Н(х,ах) д(йх) }х

Н

множествах вида К х S с компактными сомножителями. Для широкого класса пространств полунепрерывность снизу на таких множествах влечет В (К) 0Ва(Б )-измеримость. Например, это в ерно, если У суслинское и на компактах в X борелевская и бэровская а-алгебры совпадают. В случае общих пространств (даже суслинских) условие полу непрерывности снизу на компактах слабее глобальной полунепрерывности снизу (в теореме условие еще чуть слабее, так как речь идет о равномерно плотных компактах). В суслинских пространствах компакты метризуемы, поэтому это условие можно проверять по счетным последовательностям.

Мы возвращаемся к задачам Канторовича с условными мерами в главе 4, где за счет специального вида функций стоимости мы сможем несколько ослабить условие выпуклости.

2 Нелинейная задача Канторовича с ограничениями на плотность

В этой главе речь идет об еще одной новой модификации транспортной задачи Канторовича. Если в предыдущей главе новизна задачи заключалась в изменении вида функции стоимости (появилась зависимость от транспортных планов), то на этот раз изменение коснется как самой функции стоимости, так и области задания целевого функционала. Основными результатами этой главы являются две теоремы существования, относящиеся к нелинейным задачам Канторовича с ограничениями на плотность и к задачам Канторовича с условными мерами и ограничениями на плотность. Обе теоремы дают достаточные условия существования решений таких задач. Впервые задачи с ограничениями на плотность были рассмотрены в работах [47], [48], [49], [50].

2.1 Нелинейная задача Канторовича с ограничениями на плотность

Пусть заданы два абстрактных вероятностных пространства (X, А, д) и (У, В^) и некоторая вероятностиая мера Л на измеримом пространстве (X х У, А 0 В). Пусть также Ф : X х У ^ К —

неотрицательная A 0 B-измеримая функция, интегрируемая относительно А. Множество Пф(ß,v) состоит из всех вероятностных мер а на (X х Y, A 0 В) с проекция ми ß и v на множители, причем а абсо-

А

Ридони Никодими имеем

da

Qa = -7v < Ф А-а.е. dA

Предположим, что ) не пусто. Это предположение выполня-

ется, если, например, А = ß 0 v и Ф > 1 (в данном случае А Е Пф(ß, v)).

Множество мер Пф (ß, v) можно отождествить с множеством их плотностей по А и рассматривать как подмножество L1(A).

Пусть V\ — множество всех плотностей вероятности в L1 (А). Снабдим пространство L1^) топологией, порожденной стандартной L^nopMoft. Пусть B(V\) — борелевская а-алгебра относительно этой топологии. Предположим также, что задана A0 B 0 В(Рл)-измеримая функция

h: X х Y хРл ^ [0, +ж).

Определение. Задачу

Jh(p) := J h(x,y,p)p(x,y) А((1х(1у) ^ min, p Е n<^>(ß,v)

X xY

будем называть нелинейной транспортной задачей Канторовича с ограничениями на плотность. Если существует p Е n<^(ß,v), на

которой минимум достигается, то будем говорить, что задача имеет решение.

Теорема 3. Пусть для А-п.в. (х,у) Е X х Y функция p ^ h(x,y,p) полунепрерывна снизу на Пф(ß,v) по L^nopMe и функция Jh выпукла. Тогда нелинейная транспортная задача Канторовича с ограничениями на плотность

J h(x,y,p)p(x,y) А((х(у) ^ min, p Е n^>(ß,v)

XY

имеет решение.

Заметим, что условие непрерывности h по p относительно нормы значительно слабее, чем условие непрерывности относительно слабой топологии.

Условие выпуклости Jh имеет очевидный недостаток: оно не следует hp

2.2 Задача Канторовича с условными мерами и ограничениями на плотность

Обратимся теперь к случаю, когда выпуклость Jh следует из выпук-hp стоимости имеет вид

h: X х Y xV\ ^ [0, +гс>), h(x, y,p) = h(x,px),

где px — условные меры p относительно меры д. Нелинейные транспортные задачи с ограничениями на плотность и с функциями стоимости такого вида мы будем называть транспортными задачами Канторовича с условными мерами и ограничениями на плотность.

Разумеется, для определения таких функций необходимо предположить, что каждая Mepap £ Пф(д, v) имеет условные меры на Y относительно своей проекции на X. Это выполняется автоматически для всех борелевских мер на суслинских пространствах (см. [22, Chapter 10]).

Если Л = д 0 v и мы отождествим меры в Пф(д, v) с их плотностями по Л, то условные меры для таких мер p • Л, где p — Bx 0 By-измеримая версия плотности, определяется по формуле

px = p(x, •) • v.

Поскольку мы имеем дело с условными мерами на By, имеет смысл снабдить пространство M(Y) всех ограниченных мер на By а-алгеброй E(M(Y)), порожденной всеми функциями v ^ v(B), B £ By. Можно показать, что эта а-алгебра счетно порождена, если Y суслинское.

h

носительно а-алгебры Вх 0 Е(М(У)). Тогда функция

х ^ Н(х,рх)

является Вх-измеримой при условии, что отображение х ^ рх является (Вх,Е(М(У)))- измеримым, поскольку отображение х ^ (х,рх) измеримо относительно пары а-алгебр Вх и Вх 0 Е(М(У)). Транспортные задачи этого типа можно записать в виде

Из-за особой формы функции Н ее выпуклость влечет выпуклость Зи- Следовательно, следующая теорема охватывает некоторые случаи, не охватываемые предыдущей теоремой, хотя предположения остаются теми же (конечно, функционал Зи не тот и содержит условные меры).

Теорема 4. Предположим, что для д-почти каждого х функция р ^ Н(х,р) полунепрерывна снизу относительно нормы полной вариации па М(У). Если, кроме того, функция

Н

то она достигает своего минимума на Пф(д, V), т.е. задача Канторовича с условными мерами и ограничением на плотности имеет решение.

3 Задача Канторовича с фиксированным барицентром

Эта глава посвящена рассмотрению еще одного нового вида транспортных задач Канторовича. Специфика этой задачи, заключается в том, что теперь маргинальное распределение V начинает играть несколько иную роль. Если в классической задаче Канторовича сама логика постановки требовала оба маргинальных распределения рассматривать как соответствующие проекции допустимых транспортных планов, то в задаче Канторовича с фиксированным барицентром мера д по-прежнему

Н(х,рх) д(3х) ^ шт, р £ ПФ(д^), р(ЗхЗу) = рх(3у)д(3х).

х

рассматривается как проекция, а мера v теперь выполняет роль лишь барицентра (среднего) мер из множества Р(Р(Y)), то есть мы не знаем в точности второе маргинальное распределение, а знаем лишь его среднее (барицентр).

Напомним, что для всякой вероятностной радоновской меры Q на пространстве мер P (Y) со слабой топологией барицентр определяется формулой

ßq := / PQ(dp),

JP (Y)

где этот векторный интеграл со значениями в пространстве мер понимается как равенство

£q(A)=/ p(A) Q(dp)

P(Y)

для всех борелевских множеств A С Y. Хорошо известно, что функция p ^ p(A) измерима то Борелю на P (Y), а мер а ßq являет ся т-аддитивиой (см. [22, Предложение 8.9.8 и следствие 8.9.9]).

Если P — радоновская мера на X х P(Y), д — ее проекция на X и существуют условные меры Px на P (Y) относительио д, то барицентр проекции Pp меры P на P (Y) задается выражением

ßpP (B )=/ i p(B) Px(dp) ß(dx). JX JP(Y)

Пусть Пв (д) — всех вероятностных радоновских мерп на

X х P(Y) такое, что проекция пх меры п на X равна д, а барицентр проекции пр меры п на P (Y) есть заданная мера ß Е P(Y):

Пв(д) := {п Е P(X х P(Y)): пх = д, ßnv = ß}.

Определение. Для заданной неотрицательной измеримой относительно B(X) 0 B(P(Y)) и B(R) функции h : X х P(Y) ^ R задачу

/ h(x,p) п(dxdp) ^ min, п Е Пв(д)

JX хР (Y)

будем называть задачей Канторовича с фиксированным барицен-

тром.

Напомним, что множество Г С X х Z называется h-циклически монотонным для функции h на X х Z, если для всех n выполняется

n n

h(xi, Zi) < ^ h(xi+i,Zi)

i=i i=i

для всех пар (x1, z1),..., (xn, zn) E ^^e xn+1 := x1.

h

функция на произведении X х P(Y). Для всex ß E P (X) и ß E P (Y) задача Канторовича

Jh(n) = h(x,p) n(dxdp) ^ min, n E (ß) (1)

JX xP (Y)

с фиксированным барицентром имеет решение. Более того, это верно для h со значениям и в [0, есл и Jh не тождестве нно

(ii) Каждая оптимальная мера P для этой задачи оптимальна и для классической линейной задачи с той же функцией стоимости и маргиналами ß и Pp, где Pp — проекция P на P (Y).

X Y P

h

Результаты этой 1У1авы будут использованы в главе 4 для доказательства теорем существования для задач Канторовича с условными мерами при менее ограничительных предположениях чем в главе 1, но за счет

h

4 Задача Канторовича с условными мерами. Продолжение

В этой главе мы продолжаем изучение задачи Канторовича с условными мерами, начатое нами в первой главе. В пункте 3 главы 1 мы видели, что важным достаточным условием существования решения таких задач является наличие выпуклости по второму аргументу функции сто-h

выпуклости задача может не иметь решения. В этой главе мы показыва-

ем, что для функций стоимости некоторого специального вида условие выпуклости можно несколько ослабить (или вовсе отказаться от него), сохранив при этом разрешимость задачи. Основными результатами этой главы являются две теоремы существования для задач Канторовича с условными мерами.

Поскольку на суслинских пространствах все борелевские меры радо-новы, то вместо обозначения Рг (Т) будем использовать более короткое

Первый результат посвящен случаю, когда функции стоимости распадается на произведение двух функций одного переменного.

Теорема 5. Пусть X и У — пространства Суслина. Предположим, что функция Н имеет вид

где /: X ^ М. и д: V(У) ^ К — ограниченные непрерывные функции, а множества {р Е V(У): д(р) < с} выпуклы для всех с Е К. Тогда для каждой безатомической меры д Е V (X) и каждой меры V Е V (У)

достигается, т.е. существует оптимальный план.

Следующая теорема показывает, что, в случае когда функция стоимости не зависит от х, от требования выпуклости в теореме существования можно полностью отказаться.

Теорема 6. Пусть X и У — пространства Суслина, а Н - ограниченная непрерывная функция на V(У) со слабой топологией. Тогда для произвольных мер д Е V(X) и V Е V(У), где д не имеет атомов, задача

V (Т).

Н(х,а) = / (х)д(ах),

Н(ах) д(йх) ^ шт, а Е П(д, V)

имеет решение.

5 Контрпримеры

В этой главе мы приводим различные контрпримеры к некоторым доказанным в предыдущих главах утверждениям. В частности, пример 1 показывает, что утверждение теоремы 2 про существование решения в задаче Канторовича с условными мерами теряет свою силу, если в нем отказаться от условия выпуклости функции h по второму аргументу. Аналогично, пример 2 демонстрирует, что даже от ослабленного условия выпуклости в теореме 6, которого удалось добиться за счет упроще-

h

имела решение. Пример 3 касается задачи Канторовича с условными мерами и с ограничениями на плотность. Из него следует, что в теореме 4 условие выпуклости также является существенным и в общем случае не может быть отброшено без потери существования решения такой задачи. В примере 4 показано, во-первых, что поскольку зависимость функции стоимости h от плана а через условные меры, как в задаче Канторовича с условными мерами, носит более сложную природу (чем, скажем, в просто нелинейной задаче Канторовича), то в таких задачах, вообще

h

Jh- Во-вторых, что условие полунепрерывности снизу функции Jh не является необходимым для существования решения задачи Канторовича с условными мерами.

Отметим, что в работе [11] уже были построены примеры (примеры 3.2 и 3.3), которые также демонстрируют, что нелинейная задача Канторовича с условными мерами может не иметь решений. Однако в обоих этих примерах маргинальные распределения не являются абсолютно непрерывными. В наших же примерах оба маргинала совпадают с мерой Лебега на единичном интервале.

Напомним, что норма Канторовича Рубинштейна радоновских мер на ограниченном метрическом пространстве X, определяется формулой

\\а\\kr = sup / f da, feLip1; If <lJX

где Lip1 — класс вcex 1-липшицевых функций на X. Эта норма порож-

дает слабую топологию на подмножестве неотрицательных мер (см. [22, Theorem 8.3.2]).

Пример 1. Пусть X = Y = [0,1] и пусть д = v = Л — мера Лебега на отрезке [0,1]. Существует ограниченная непрерывная функция h на произведении X х P(Y), являющаяся липшицевой, когда P(Y) рассматривается с нормой Канторовича Рубинштейна, такая, что нелинейная задача

/ h(x,ax)^(dx) ^ inf, а Е n(p,v), a(dxdy) = ax(dy)^(dx)

Jx

не имеет решения.

Наш следующий пример аналогичен, но функция стоимости распадается на произведение функций одной переменной.

Пример 2. Пусть X = Y = [0,1] и пусть д = v = Л — мера Лебега на [0,1]. Существуют ограниченные непрерывные функции f: X ^ R и д: P(Y) ^ R, где P(Y) рассматривается со слабой топологией, для которых в нелинейной задаче Канторовича с условными мерами нет минимума

J (а) = f (х)д(аx) M(dx) ^ inf, а Е П(д, v).

JX

Этот пример демонстрирует, что в теореме 1 нельзя отказаться от условия выпуклости множеств {р Е P (Y): д(р) < с} для всex с Е R.

Пример 3. Пусть X = Y = [0,1] и пусть д = v = Л — стандартная мера Лебега на [0,1]. Мы рассматриваем задачу Канторовича с условными мерами и с ограничением на плотности

Jh(o) = / h(x,g(x, •)) dx ^ inf, J о

g(x,y) < 4 Vx,y, / g(x,y) dy = 1 Vx, / g(x,y) dx = 1 Vy

оо

Существует ограниченная непрерывная функция h: X xL1[0,1] ^ R, где

пространство L1[0,1] снабжено слабой топологией, что данная задача не

имеет решения.

Пример 4. Пусть X = Y = [-1/2,1/2] и пусть д = v = Л — мера

Лебега на [-1/2,1/2]. Пусть

/ Г1/2 \к

Н(р) = ^у ^ ф(у) р((у^ ,

где ф непостоянная непрерывная функция, к £ N к > 2. Можно считать, что интеграл от ф равен нулю, например, подходит ф(у) = у. Тогда Н ограничена и непрерывна на V (У), функционал

Г1/2

Зн(с) = Н(ах) (1х, а(1х1у) = &х(1у) (1х

о -1/2

не является полунепрерывным снизу на П(р,, V), но достигает минимума.

1 Нелинейная транспортная задача Канторовича

1.1 Нелинейная задача Канторовича

В последние несколько лет появилось несколько интересных модификаций классической задачи Канторовича.

Хорошо известно, что в классической задаче Канторовича миними-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Резбаев Айрат Владимирович, 2024 год

Список литературы

[1] Богачев В. И. О секвенциальных свойствах пространств мер, Математические заметки, 110(3),2021, С. 459-464.

[2] Вершик A.M., Кутателадзе С.С., Новиков С.П. Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения). Успехи мат. наук. 2012. Т. 67. N 3. С. 185-191.

[3] Канторович Л.В. Математические методы организации и планирования производства. Изд-во ЛГУ. 1939.

[4] Канторович Л.В. О перемещении масс. Докл. АН СССР. 1942. Т. 37. С. 227-229.

[5] Канторович Л.В. Об одной проблеме Монжа. Успехи матем. наук. 1948. Т. 3. №2. С. 225-226.

[6] Канторович Л. В. Математико-экономические работы. Избранные труды, Наука, Новосибирск. 2011. С. 760.

[7] Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном пространстве вполне аддитивных функций множества. Вестн. ЛГУ. 1958. Т. 7. № 2.С. 52-59.

[8] Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах. Докл. АН СССР. 1957. Т. 115. № 6. С. 1058-1061.

[9] Тихомиров В.М. Леонид Витальевич Канторович (к 100-летию со дня рождения). Истор.-матем. исслед. (2). 2014. В. 15. С. 16-24.

[10] В. Acciaio, М. Beiglbock, G. Pammer, Weak transport for non-convex costs and model-independence in a fixed-income market, Math. Finance 31:4 (2021), 1423-1453.

[11] J.-J. Alibert, G. Bouchitte, T. Champion, A new class of costs for optimal transport planning, European J. Appl. Math. 30:6 (2019), 12291263.

[12] L. Ambrosio, A. Pratelli Existence and stability results in theLi theory of optimal transportation, Optimal transportation and applications (Martina Franca,2001), Lecture Notes in Math. Springer. Berlin. 2003. P. 123-160.

[13] L.Ambrosio, B.Kirchheim, Currents in metric spaces. Acta Mathematica,in press.

[14] L. Ambrosio, E. Brué, D. Semola, Lectures on optimal transport, Springer, Cham, 2021.

[15] L. Ambrosio, N. Gigli, A user's guide to optimal transport, Lecture Notes in Math. 2062 (2013), 1-155.

[16] J. Backhoff-Veraguas, M. Beiglbôck, G. Pammer, Existence, duality, and cyclical monotonicity for weak transport costs, Calc. Var. Partial Differ. Equ. 58:203 (2019), 1-28.

[17] J. Backhoff-Veraguas, G. Pammer, Applications of weak transport theory, Bernoulli 28:1 (2022), 370-394.

[18] J. Backhoff-Veraguas, D. Bartl, M. Beiglbôck, M. Eder, Adapted Wasserstein distances and stability in mathematical finance. Finance Stoch. 24:3 (2020). P. 601-632.

[19] M. Beiglbôck , M. Goldstern, G. Maresch , W. Schachermayer, Optimal and better transport plans, J. Funct. Anal. 256:6 (2009), 1907-1927.

[20] JD. Benamou, Y. Brenier, A computational fluid mechanics solution to the Monge-Kantorovich mass transfer problem. Numerische Math., 84 (2000). P. 375-393.

[21] V. I. Bogachev, S. N. Popova, A. V. Rezbaev, On nonlinear Kantorovich problems with density constraints. Moscow Math. J. 2023, 23(3).

[22] V.I. Bogachev, Measure theory, v. 1, 2, Springer, Berlin, 2007.

[23] V.I. Bogachev, Weak convergence of measures, Amer. Math. Soc., Rhode Island, Providence, 2018.

[24] V.I. Bogachev, Kantorovich problems with a parameter and density constraints, Siber. Math. J. 63:1 (2022), 34-47.

[25] V.I. Bogachev, The Kantorovich problem of optimal transportation of measures: new directions of research, Uspehi Matem. Nauk 77:5 (2022), 3-52 (in Russian).

[26] V.I.Bogachev, A.N. Doledenok, I.I. Malofeev, The Kantorovich problem with a parameter and density constraints, Matem. Zametki 110:6 (2021), 922-926 (in Russian); English transl.: Math. Notes. 110:6, (2021), 142145.

[27] V.I. Bogachev, A.N. Kalinin, S.N. Popova, On the equality of values in the Monge and Kantorovich problems, Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 457 (2017), 53-73 (Russian); translation in J. Math. Sci. (N.Y.), 238:4 (2019), 377-389.

[28] V.I. Bogachev, A.V. Kolesnikov, The Monge-Kantorovich problem: achievements, connections, and prospects, Uspekhi Matem. Nauk 67:5 (2012), 3-110 (in Russian); English transl.: Russian Math. Surveys. (2012), 67:5, 785-890.

[29] V.I. Bogachev, A.V. Rezbaev, Existence of solutions to the nonlinear Kantorovich problem of optimal transportation, Math. Notes. 112:3 (2022), 369-377.

[30] V.I. Bogachev, O.G. Smolyanov, Topological vector spaces and their applications, Springer, Cham, 2017.

[31] G.Bouchitt'e, G.Buttazzo, P.Seppecher, Shape optimization via Monge-Kantorovich equation. C.R. Acad. Sci. Paris, 324-1 (1997), 1185-1191.

[32] G.Bouchitt'e, G.Buttazzo, Characterization of optimal shapes and masses through Monge-Kantorovich equation. Preprint, 2000.

[33] M. Bowles and N. Ghoussoub, Mather measures and ergodic properties of kantorovich operators associated to general mass transfers. 2019.

[34] W. Boyer, B. Brown, A. Loving, S. Tammen, Optimal transportation with constant constraint. Involve, 12:1 (2019), P. 1-12.

[35] Y. Brenier, A homogenized model for vortex sheets. Arch. Rational Mech. & Anal., 138 (1977). P. 319-353.

[36] C. Daskalakis, A. Deckelbaum, and C. Tzamos, Strong Duality for a Multiple-Good Monopolist. Econometrica, 85(3):735-767, 2017.

[37] A.N. Doledenok, On a Kantorovich problem with a density constraint, Math. Notes 104:1 (2018), 39-47.

[38] P. Engelking, General Topology Warszawa Polish Scientific Publishers 1977 P. 626.

[39] L.C.Evans, Partial Differential Equations and Monge-Kantorovich Mass Transfer. Current Developments in Mathematics, forthcoming.

[40] H.Federer, Geometric measure theory. Springer, 1969.

[41] D.H. Fremlin, R. A. Johnson, E. Wajch, Countable network weight and multiplication of Borel sets Proceedings of the American Mathematical Society 124 9 1996. P. 2897-2903.

[42] D. H. Fremlin, Measure theory. Vol.4. Topological measure spaces. Part I, II Colchester 2006 P. 528, 439.

[43] A. Galichon, Optimal transport methods in economics, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2016, xii+170 pp.

[44] N. Gozlan, C. Roberto, P.-M. Samson, P. Tetali, Kantorovich duality for general transport costs and applications, J. Funct. Anal. 273:11 (2017), 3327-3405.

[45] R.Jerrard, H.M.Soner, Functions of bounded n-variation. Preprint, 1999.

[46] R.Jordan, D.Kinderlehrer, F.Otto, The variational formulation of the Fokker-Planck equation. SIAM J. Math. Anal, 29 (1998), 1-17.

[47] J. Korman, R. J. McCann, Insights into capacity constrained optimal transport, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110 (2013), 10064-10067.

[48] J. Korman, R.J. McCann, Optimal transportation with capacity constraints, Trans. Amer. Math. Soc. 367:3 (2015), 1501-1521.

[49] J.Korman, R.J. McCann, C. Seis, Dual potentials for capacity constrained optimal transport, Calc. Var. Part. Dif. Equ. 54 (2015), 573584.

[50] J.Korman, R.J. McCann, C. Seis, An elementary approach to linear programming duality with application to capacity constrained transport, Convex Anal. 22 (2015), 797-808.

[51] F.Morgan, Geometric measure theory - A beginner's guide. Second edition,Academic Press, 1995.

[52] F.Otto, The geometry of dissipative evolution equations: the porous medium equation.

[53] A. Pratelli, On the equality between Monge's infimum and Kantorovich's minimum in optimal mass transportation, Ann. Inst. H. Poincaré (B) Probab. Statist. 43:1 (2007), 1-13.

[54] F. Santambrogio, Optimal transport for applied mathematicians, Birk-hâuser/Springer, Cham, 2015.

[55] A.M. Vershik, Long history of the Monge-Kantorovich transportation problem. Math. Intelligencer. 2013. V. 35, N 4. P. 1-9.

[56] C. Villani, Optimal transport, old and new, Springer, New York, 2009.

[57] C. Villani, Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc. Providence, Rhode Island. 2003.

[58] B.White, Rectifiability of flat chains. Annals of Mathematics, forthcoming.