О геометрической структуре некоторых классов симметричных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Страхов Степан Игоревич

• Страхов Степан Игоревич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Страхов Степан Игоревич

Введение

§0 Предварительные сведения

Глава I. Об одном свойстве рефлексивных подпространств симметричного пространства

§ 1.1. Понятие (Лд) - свойства для симметричных пространств

§ 1.2. Аналог критерия Данфорда - Петтиса и свойство (Лд)

§

(Лд)

Глава II. О дизъюнктно однородных симметричных пространствах и характеристике пх §

§ 11.2. Симметричные пространства с п - нормальной структурой .... 53 § 11.3. Связь характеристики пХ с метрикой сферического раствора

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О геометрической структуре некоторых классов симметричных пространств»

Введение

Симметричные функциональные пространства, а также свойства операторов, ограниченных в них, являются предметом интенсивных исследований в течение последних десятилетий. Им посвящено немало работ как отечественных, так и зарубежных математиков. Первые статьи по этой тематике восходят к 50 - 60-м гг. XX в. и принадлежат Г. Г. Лоренцу и Е. М. Семенову. Позже, как определенный итог проводившихся исследований, выходят ставшие классическими монографии С. Г. Крейна, Ю. И. Петунина и Е. М. Семенова [1], Й. Линденштраусса и Л. Цафрири [2], К. Беннета и Р. Шарпли [3].

Данная диссертационная работа посвящена изучению геометрической структуры симметричных пространств (кратко с.п.). В ней изучаются свойства двух в чём-то противоположных типов подпространств с.п.: сильно вложенных, т.е. таких, в которых сходимость по норме и по мере Лебега эквивалентны, и подпространств, содержащих последовательности почти дизъюнктных функций.

Начнём с примера: замкнутая линейная оболочка функций Радемахе-ра rk(t) = sign(sin2knt), k G N, t G [0,1] является в каждом из пространств Lp = Lp[0,1], р G [1, то) сильно вложенным подпространством. Это следует из неравенства Хинчина, которое утверждает, что в этих пространствах последовательность функций Радемахера эквивалентна каноническому базису /2. Поэтому, па подпространстве [r&], порожденном системой Радемахера, например, в пространстве L2, эквивалентны все Lp - нормы, 1 < p < то.

Одним из истоков интереса к сильно вложенным подпространствам явилось понятие Л(р) - множества, возникшее в классической работе У. Рудина [4] при изучении анализа Фурье на группе [0, 2п). А именно, пусть 0 < р < то. Мпожество E С Z называется Л(р)- множеством, если для некоторого 0 < q < р существует константа Cq такая, что

||/11 Lp < Cq ||/I\bq ,

для всех функций / го замкнутой линейной оболочки [e2nmx,n G E] множества {e2ninx, n G E}. Ясно, что в этом случае эта оболочка — сильно вложенное подпространство пространства Lp[0,1]. В связи с этим понятием, использовавшимся, прежде всего, в гармоническом анализе, возник-

ла так называемая Л(р) - проблема: любое ли Л(р) - множество является Л(д) - множеством при некотором q > p? Решению этой задачи, были посвящены знаменитые работы Ж. Бургейна [5], а также Г. Бачелиса и С. Эбенштейна [6].

Ещё одной причиной для изучения сильно вложенных подпространств явилась следующая проблема С. Банаха, поставленная им в классической книге "Теория линейных операций". Пусть 1 < p,q < ж. Существует ли последовательность {fk^ Lp, которая эквивалентна в Lp

каноническому базису lq? При решении этой задачи использовался ап-

Lp

вложенное подпространство.

В тему актуальности стоит сказать про ещё несколько работ, относящихся к тематике диссертации: статья C.B. Асташкина [7] об обобщении критерия Данфорда-Петтиса о слабой компактности; работа, связанная со сходимостью по мере, Д. X. Муштари [8]; классическая книга про пространства Орлича М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [9]; по пространствам Орлича - Лоренца большая статья А. Каминской и Я. Райнауда [10].

Геометрическая Lp

и хорошо известна существенная разница между случаями 1 < p < 2 и p > 2. Одной из первых работ, показавших это, стала статья М. И. Кадеца и А. Пелчинского [11]. Там была доказана следующая альтер-

Lp p > 2

морфно l2, либо содержит почти дизъюнктную последовательность. При 1 < p < 2 Lp

1 < q < 2 q

fq fq

гивает" в Lp при p G [1, q) подпространство, изоморфное lq.

Развивая эти исследования, Ж. Бретаньоль и Д. Дакунха - Кастель (см. [12] - [14]) с помощью вероятностных методов показали, что для

всякой в среднем равной нулю функции f G Lp последовательность её

Lp

пространства последовательностей Орлича If . Подобными вопросами в более широком контексте функциональных с.п. занимался М. Бравер-ман, опубликовавший монографию [15]. Позже С. В. Асташкин, Ф. А.

Сукочев и Д. В. Занин в [16] - [18], используя технику, основанную на идеях из теории интерполяции операторов, при определённых условиях на с.п. выявили точную связь между распределением функции ] и соответствующим ей подпространством /р.

Изучение подпространств пространств Орлича, "натягиваемых" дизъюнктными функциями, составляет содержание работ Й. Линденштра-усса и Л. Цафрири [19] и И. Нильсена [20]. Стоит отметить, что в общих пространствах Орлича структура таких подпространств существенно сложнее, нежели в пространстве Ьр, 1 < р < то, где любая последовательность нормированных дизъюнктных функций порождает/р. Каждой функции Орлича ^ в работе [19] поставлено в соответствие некоторое специальное подмножество С|? пространства непрерывных функций С[0,1], с помощью которого эта структура может быть описана достаточно полно.

Первая глава диссертации посвящена изучению класса с.п. X, каждое рефлексивное подпространство которых сильно вложено в X (будем говорить, что в этом случае X имеет свойство (Ад)). В 2008-м г. Е. Ла-вернье [21] показал, что таковым является1 пространство Орлича Ьр при условии, что оно располагается достаточно "близко" к пространству Ьх, точнее, если функция ^Р, дополнительная к удовлетворяет условию:

т

11т = то, (1)

при некотором с > 1 (это семейство пространств Орлича принято обозначать через (Уз)). Доказательство последнего факта в [21] основано на применении полученного Ж. Алексопоулосом [22, следствие 2.9] обобщения классической теоремы Данфорда-Петтиса о равностепенной непрерывности норм функций относительно слабо компактных подмножеств пространства (см., например, [23, теорема 5.2.9]) па пространства семейства (Уз). В том же 2008-м г. с.п., обладающие подобным свойством, были охарактеризованы в работе [24] как пространства, в которых любая последовательность, сходящаяся к нулю слабо и по мере, сходится также по норме (такие пространства называют (Жш)-пространствами). В связи с этим возник естественный вопрос о том, для всех ли симмет-

1 Точнее, в [21] было доказано формально более слабое утверждение об эквивалентности Ьр- и Ьх-норм на любом рефлексивном подпространстве пространства Орлича Ьр из семейства (^3).

ричных (Wm)-npocTpaHGTB имеет место выше упомянутый результат Е. Лавернье? Положительный ответ на него дан в теореме 13 диссертации.

Одновременно будет показано, что сепарабельные пространства Мар-цинкевича хотя и обладают (Лд)-свойством (предложение 5), но при некоторых неограничительных условиях содержат рефлексивные подпространства, функции единичного шара которых имеют не равностепенно непрерывные нормы, т.е. на эти пространства теорема Данфорда -Петтиса не распространяется (см. теорему 14). При доказательстве этих результатов используется теорема 11 о характеризации с.п. со свойством (Лд) в терминах их почти дизъюнктных последовательностей.

Остальные результаты главы I посвящены, в основном, пространствам Орлича.

В теореме 16 получены необходимые и достаточные условия на функцию Орлича F ПРИ которых пространство Орлича Lp имеет (Лд) - свойство. При этом теорема Лавернье является составной частью этого критерия; приводится пример пространства Орлича, "близкого" к LTO, со свойством (Лд), но не удовлетворяющего условиям его теоремы. Заметим, что существуют также пространства Орлича "близкие" к другому концу шкалы с.п., Li, которые обладают аналогичным свойством и не охватываются результатами из работы [21]. В отличие от доказательства в [21], в диссертации рассуждения основаны на применении характеризации интересующего нас класса пространств в терминах их почти дизъюнктных последовательностей (теорема 11), а также индексов Орлича -Матушевской выпуклой функции и множеств CTO, введённых в работе

[19].

Вторая глава диссертации начинается с определения дизъюнктно однородных (disjointly homogeneous или кратко DH) с.п. В пространстве Lp, p G [1, то], всякая последовательность нормированных дизъюнктных функций эквивалентна каноническому базису lp (при p = то базису в c0). Тем самым Lp — простейший пример p — DH пространства. Пространства Лоренца Л^ф), 1 < p < то, также являются p — DH пространствами. Но не все пространства Орлича обладают подобным свойством. Например, если индексы Орлича - Матушевской и в "то ФункЦ ии F

L

сти {/n} и {gn}, эквивалентные каноническим базисам пространств

и соответственно, и по этому Lp не являет ся DH - пространством.

Характеризация p — DH пространств Орлича была найдена в работе [26] и уточнена в [45]. В диссертации аналогичные результаты были получены для более общего класса пространств Орлича - Лоренца ЛР,ф. Теорема 18 даёт необходимые и достаточные условия в терминах множеств Cp?, при которых пространство Орлича - Лоренца Лр,ф имеет p — DH -свойство. Из этой теоремы следует, что в вопросах дизъюнктной однородности пространств Орлича - Лоренца всё зависит лишь от функции Орлича F.

Как приложение понятия p — DH пространств, можно указать на то, что 1 — DH с.п. — это в точности те пространства, в которых выполняется аналог критерия Данфорда - Петтиса о слабой компактности (см. [25]). Упомянем также работы [26] и [27], в которых изучаются свойства компактных и строго сингулярных операторов в с.п. и их связь cp — DH пространствами.

Оставшиеся два параграфа главы II посвящены следующей числовой характеристике подпространства H с.п. X:

Пх(H) = lim sup 1|Ж*Х[0;Т]||х, (2)

т^О хеН ||x||x

где x*(t) — невозрастаюгцая непрерывная слева перестановка функции x(t). В неявном виде эта характеристика появилась в уже упомянутой работе Кадеца - Пелчинского [11] для Li, а позже для произвольного с.п. в работе Е. В. Токарева [28]. Её свойства отражают структуру подпространств данного с.п. Один из критериев сильной вложенности под-H

лентна отсутствию в нём почти дизъюнктных последовательностей. В то H

Пх(H) = 1. Если для любого подпространства с.п. X верно также и обратное утверждение, то мы будем говорить, что X имеет п - нормальную

[]

нормой Люксембурга имеют п - нормальную структуру. С другой стороны, при некоторых условиях на индексы Бойда, в несепарабельном с.п.

п

X

П - нормальную структуру, если X удовлетворяет нижней p - оценке с

константой 1 для некоторого р < то.

Так как характеристика (2), вообще говоря, не инвариантна относительно эквивалентных перенормировок, возникает вопрос о том, когда П - нормальная структура пространства сохраняется при такой перенормировке. В частности, этим свойством обладают бинарные пространства, т.е. такие, в которых характеристика (2) принимает лишь два значения, О и 1. С. п., в которых верен аналог критерия Дин форда - Петтиса о слабой компактности, бинарны (см. теорему 23). Этот результат позволяет получить примеры бинарных пространств Орлича, отличных от пространств Ьр.

Материал последнего параграфа, в большей степени, связан с небинарными с.п. Как показано в диссертационной работе [31], пространства Ьр бинарны при 1 < р < 2, а при р > 2 характеристика пьр принимает бесконечно много значений. В то же время, при р > 2, как известно, геометрическая структура пространств Ьр проще, чем при р € [1, 2).

В [31] были также получены достаточно широкие условия, при которых с.п. не бинарно. В частности, это справедливо для пространств Орлича Ь р с верхним индексом Орлича - Матушевской в ТО > 2. По анало-Ьр

вТО < 2 пространства Ьр бинарны. Оказалось, что это не так. А именно, в теореме 26, используя идею из [31], найден класс пространств, содержащий небинарные пространства Орлича Ь р с в то < 2. В доказательстве этого результата используется конструкция подпространства, являющегося комбинацией сильно вложенного подпространства и замкнутой линейной оболочки некоторой последовательности дизъюнктных функций. Также применяются неравенства (40), связывающие пх с метрикой сферического раствора, определенной на семействе всех подпространств данного с.п.

Я хотел бы поблагодарить своего научного руководителя, д. ф,- м. н., профессора Асташкина Сергея Владимировича, за внимание к моей работе и его активную научную деятельность, которая служит для меня примером.

§0 Предварительные сведения

Всюду далее рассматривается класс симметричных функциональных пространств на отрезке [0,1]. Банахово пространство X измеримых на [0,1] функций называется симметричным (кратко с.п.) или перестановочно-инвариантным, если

1) оно идеально, т.е. из |x(t)| ^ |y(t)| для п.в. t Е [0,1] и y Е X следует: x е X и ||x||X ^ ||y||х

2) из равноизмеримости функций ж и у, т.е. равенства

^({t Е [0,1] : |y(t)| > u}) = ^({t Е [0,1] : |x(t)| > u}), u > 0, где д(б) — мера Лебега множества e С R, и у Е X вытекает: ж Е X и

||ж|х = ||у||х-

В частности, любая измеримая на [0,1] функция x(t) равноизмерима со своей невозрастаюгцей непрерывной слева перестановкой

x*(t) := inf{u > 0 : ^({s Е [0,1] : |x(s)| > u}) < t}, 0 < t < 1.

Важный и наиболее простой пример с.п. — пространства Лебега Lp, 1 < p < то, с обычной нормой:

( f1 V/p

||x|Lp = ( / |x(t)|pdt I для p< то

и

||x||lto = ess sup |x(t)| для p = то. 0<t<1

Их естественным обобщением являются пространства Орлича. Пусть F(t) — функция Орлича, т.е. возрастающая выпуклая функция на[0, то), F(0) = 0. Пространство Орлича LF состоит го всех измеримых на [0,1] функций x = x(t), таких, что F(|x|/u) Е L1 для некоторого u > 0. При

LF

Люксембурга:

||x||lf = inf {u > 0:/1 F ( J^) dt < 1} .

В частности, если F(t) = tp, 1 < p < то, получаем Lp-пространства. Иногда пространства Орлича рассматривают с нормой Орлича

1 1

||x||of = sup{ J |x(t)y(t)|dt : J F(|y(t)|)dt < 1}, 00

где := зирм>0(и£ — Г(и)) — сопряженная (нлп дополнительная)

функция к Г. Введенные нормы эквивалентны:

Помимо функциональных пространств нам понадобятся также соответствующие пространства последовательностей. Напомним определение пространств ¡р, где р € [1, то]. Последовательность вещественных чисел (а к)то=1 является элементом пространства ¡р тогда и только тогда, когда норма

то 1

||(ап)||/р = ( ^ |ап|р)Р, при p < то

П=1

или

||(ап)||/то = 8ир |ап|, пpиp = то

п=1,2...

конечна.

И снова, как и в случае функциональных пространств, естественным обобщением 1р пространств служат пространства Орлича последовательностей ¡р. Пусть Г (£) — функция Орлича. Последовательность вещественных чисел (ап)ТО=1 € ¡р тогда и только тогда, когда

тЦ и > 0 : ^ Г (1

I П=1 ^

|(а«,)||^ = и > 0^ — ^ < то.

Введённые пространства последовательностей обладают каноническим базисом (в несепарабельном случае — базисной последовательностью) Ыто=1, где

ег = (0,0,..., 0, •••),

г

который симметричен, т.е. эквивалентен любой своей перестановке. Се-парабельной частью пространства Орлича последовательностей ¡р называют подпространство [ег] и обозначают как Нр.

Как известно, пространство Ьр сепарабельно тогда и только тогда, когда р < то. Для более широкого класса пространств Орлича условие сепарабельности связано со следующим свойством.

Определение 1. Функция Орлича Г удовлетворяет Д2- у слови, ю (Г Е если существует константа К > 2 такая, что

Г(2г) < КГ(г), для всех г > 0. (3)

Говорят, что Г Е Д^шгае. Г Е Д0 если существует г0 > 0 такое, что неравенство (3) выполняется при, г > г0 (соотв. при, г < г0у).

Теорема 1. [32] Пусть Г — функция Орлича. Если, Г Е Д^0 (соотв. Г Е Д^, то пространство Орлича Ьр (соотв. /р^) сепарабельно и

(ьр, У • * = (Ьр, У • .

Кроме того, если дополнительная функция Г Е Д^шгае. Г Е Д^, то Ьр (соотв. /Ру) рефлексивно.

Пусть 1 < р < то. Тогда функция, дополнительная к функции гр, равна г9, где 1/р + 1/д = 1. Если р = 1, то дополнительная функция равна 0 при г Е [0,1] и то при г Е (1, то).

Функция Орлича, для которой существует г0 такое, что Г (г) = 0 при г Е (0, г0), называется вырожденной. В этом случае пространство Орлича /р последовательностей совпадает по состав у элементов с /то.

Приведём ещё два классических примера с.п. Пусть ф(г) — положительная непрерывная возрастающая вогнутая функция на [0,1], такая, что ф(0) = 0. Пространство Лоренца Лр(ф) состоит из всех измеримых на [0,1] функций х = ж(г), таких, что норма

||х|к(Ф) = (/ (х*(г)Г^Ф(г)) < то. 0

Пространство Марцинкевича М(ф) состоит из всех измеримых на [0,1] х(г)

s

(s) f

||x||m(^>) = sup - x*(t)dt.

0<s<1 S J 0

Обобщением пространств Орлича и Лоренца служат так называемые пространства Орлича - Лоренца. Пусть F(t) — функция Орлича, a ^(t) — положительная непрерывная возрастающая вогнутая функция на [0,1],

такая, что ф(0) = 0. Пространство Орлича-ЛоренцаАР,ф состоит из всех измеримых на [0,1] функций х = х(£) таких, что

||х||р,ф := и > 0 : ^ Г ^^ #(;£) — 11 < то.

Для каждого с.п. X на [0,1] справедливы непрерывные вложения: Ьто С X С Кроме того, удобно будет считать, что в с.п. выполнено условие нормировки: ||х[0,1]||х = 1. В этом случае константы предыдущего вложения равны 1, т.е. для любого х € X

||х|ы — ||х||х — ||х||ьто.

Всюду далее через Хе обозначается характеристическая функция множества е С К. Для каждого с.п. X определим его фундаментальную функцию

Фх(*) = ||Х(0,;)||х, 0 — I — 1.

Предложение 1. [33, теорема 6.5.3]. Пусть X — с. п. Следующие условия эквивалентны:

(a) X сепарабельно;

(b) Норма каждого элемента в X абсолют,но непрерывна, т.е. для каждого х € X Нш^0+ ||х*Х(0,г)|| = 0. В частности, в сепарабельных с.п. фх(0+) =0.

Пространство X0, равное замыканию Ьто в X, называют сепарабельной частью с.п. X. X0 само является с.п. и если X = Ьто, то оно сепарабельно.

Довольно часто будут встречаться последовательности дизъюнктных функций. Функции называются дизъюнктными, если их носители не пересекаются. Так как мы работаем с функциональными пространствами на [0,1], то всякая последовательность дизъюнктных функций сходится к нулю по мере. Более того, в с.п. всякая последовательность дизъюнктных функций {хг}то=1 будет базисной последовательностью, т.е. базисом

[хг]

свойства идеальности с.п. и следующего критерия базисности.

Предложение 2. Последовательность ненулевых элементов {хг}°=1 в банаховом пространстве X является базисной, если и только если су-

ществует, константа К > 0 такая, что

п

х < К|| Е)

к=1 к=1

для всякой последовательности вещественных скаляров (ак)^=1 и для любых натуральных чисел т и п таких, что т < п.

Условие базисиости требуется в следующей теореме, известной как "принцип малых возмущений". Она будет часто применяться для последовательностей дизъюнктных функций.

Теорема 2. [23, теорема 1.3.9] Пусть X — банахово пространство, {хп}^=1 С X — базисная последовательность с базисной константой К. Если последователь ноешь {уп}^=1 С X такова, что

то и ц

2К ^ ||Жп. - Уп||х =: 7 < 1, (4)

II Хп || X

п=1

то последовательности {хп}^=^ {уп}ТО=1. эквивалентны. Кроме того, справедливы следующие утверждения:

(V {уп}ТО=1_ _ базисная последовательность с базисной константойК(1+ 7 )/(1 --=)•

(И) Если {хп}^=1 — базис в X, то и {уп}^=1 — базис в этом пространстве.

Определение 2. Пусть X и У — линейно нормированное пространство. Говорят, что последовательности {хп}^=1 С X и {уп}^=1 С У эквивалентны,, если существует такая константа С > 0, что для всех ап Е М, п = 1, 2,... 7 вы,полнено

ТО

С ЙпУ

У

то

< \ \ ^ ^ апХп

00

х

< с\\ йпУ

У

п=1 п=1 п=1

Эквивалентность последовательностей равносильна тому, что отображение

то то

Г ^ апжп^ : ^ ^ апуп

п=1 п=1

является изоморфизмом подпространства [ж^] на подпространство [у^].

Как уже говорилось, сепарабельность с.п. эквивалентна абсолютной непрерывности нормы. Для некоторых множеств абсолютная непрерывность нормы может иметь равномерный характер:

Определение 3. Говорят, что функции множества K с X имеют равностепенно непрерывные нормы, если

lim sup ||xxellx = 0.

eC[0,1], хек

Введённое понятие более известно в случае X = L1, и тогда говорят о

K

теорема Данфорда - Петтиса даёт описание относительно слабо компактных множеств в L1 :

K

cm,во пространства L1. Следующие условия эквивалентны:

K

K

мы в L1?-K

каноническому базису l1.

Для n € N функции Радемахера задаются как

rn(t) = signsin(2nnt), 0 < t < 1.

Очевидно, что |rn(t)| < 1, n =1, 2,..., t € [0,1] и, следовательно, каждое X

Lp, гдер € [1, то), последовательность функций Радемахера эквивалентна каноническому базису пространства l2, или точнее,

1 то 1

2 НЫУ/а < У ^ anTnllP < (22 + 1) 1 |(an)|l2 .

n=1

Можно предположить, что критерием такой эквивалентности служит се-

X

это не так. Для его формулировки необходимо ввести специальное с.п. G, которое является замыканием LTO в пространстве Орлича Ln2, где N2 = eu - 1.

Теорема 4. Последовательность функций Радемахера {rn}TO=1 эквивалентна в с.п. X каноническому базису пространства l2 тогда и только тогда, когда G с X.

Пространство О можно задать следующим эквивалентным образом: измеримая функция ж(£) принадлежит О, если и только если

г ж*(*) п 11т ---= 0.

1п1/2(б/^)

Пусть X — с.п. Ассоциированное к X пространство X' состоит из всех функций х, для которых норма

1

||х||Х' = яиР { J х(£)у(£)^£ : ||у||Х < 1} < то. 0

Ассоциированное пространство к с.п. также симметрично. Оно изометрически вложено в сопряженное пространствоX*, при этом X' = X* тогда и только тогда, когда X сепарабельно.

Пусть / Е X, д Е X'. Тогда из определения ассоциированного пространства вытекает обобщённое неравенство Гёльдера:

1

I |/(*)д(*)|^ < ||/||х||д|х'. 0

Напомним теоремы о структуре подпространств в некоторых с.п. Доказательства этих результатов можно найти, например, в [23] (см. теоремы 6.4.8 и 6.4.18):

Теорема 5. Пусть д Е [1, то].

(г) Если 1 < р < 2, то прост,ранство ¡я изоморфно вкладывается в Ьр тогда и только тогда, когда р < д < 2.

(И) Если 2 < р < ж, то пространство ¡я изоморфно вкладывается в Ьр если и только если д = р или, д = 2.

Теорема 6. Пусть 1 < р < то и С Ьр — последовательность

нормированных дизъюнктных функций. Тогда, — базисная по-

следовательность в Ър, изометрически эквивалентная каноническому базису /р.

6

ренца Лр(ф); точнее, из каждой дизъюнктной последовательности можно выделить подпоследовательность, эквивалентную в Лр(ф) каноническому базису /р. Пространства Марцинкевича в некотором смысле близ-

ки к Ьто. Структура их подпространств, натягиваемых на дизъюнктные функции, определяется следующим утверждением:

Теорема 7. Пусть ф(£) — положительная непрерывная возрастающая вогнутая функция на [0,1], такая, что ф(0) = 0. Если — после-

довательность нормированных дизъюнктных функций в пространстве Марцинкевича М(ф)7 то из неё можно выделить подпоследовательность, которая эквивалентна, каноническому базису пространства со.

Напомним, что банахово пространство X называется рефлексивным, если каноническое отображение J : X ^ X** является изоморфизмом. Довольно часто мы будем пользоваться следующим критерием рефлексивности:

Теорема 8. [34, теорема 3.111] Банахово пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар слабо компактен в X.

Из этого критерия легко видеть, что свойство рефлексивности сохраняется при изоморфизме банаховых пространств.

Примером изоморфизма служит эквивалентная перенормировка нормированного пространства. Далее рассматриваются лишь такие эквивалентные перенормировки, при которых исходное с.п. остаётся симметричным.

Последовательность {жп}ТО=1 из с.п. X называют квазинормированной, если существует С > 0 такое, что С-1 < ||жп||х < С для всех п = 1,2,....

Глава I. Об одном свойстве рефлексивных подпространств симметричного пространства

§1.1. Понятие (Ад) - свойства для симметричных пространств

Будем говорить, что замкнутое подпространство H с.п. X на [0,1] сильно вложено в X, если в H сходимость по норме эквивалентна сходимости по мере. Модельный пример подобной ситуации — подпространство [rk], порожденное функциями Радемахера rk(t) = sign sin(2knt), k = 1, 2,..., в Lp[0,1], 1 < p < oo. Действительно, ввиду классического неравенства Хинчина (см., например, [35, глава 5, теорема 8.4]) последовательность {rk |0=1 эквивалент на в Lp[0,1] для каждого 0 < p < o каноническому базису в ¿2- Следовательно, на [rk] все Lp - нормы, 0 < p < o, эквивалентны. Согласно [23, предложение 6.4.5] для сильной вложенности в Lp необходимо и достаточно, чтобы существовало q < p, такое, что Lq - и Lp - нормы эквивалент ны на H. Таким образ ом, [rk ] — сильно вложенное подпространство в Lp, при 1 < p < o.

Впервые близкое понятие было введено У. Рудиным при изучении анализа Фурье в Lp-npocTpaHCTBax на группе [0, 2п) [4]. При этом подпространство, сильно вложенное в Lp[0,1], 1 < p < o, обычно называют A(p)-npocTpancTBOM [36, глава III, определение 6]. Использовавшееся сначала в гармоническом анализе (упомянем здесь лишь знаменитые теоремы Ж. Бургейна [5] и Бачелиса-Эбенштейна [6], посвященные решению так называемой "Л^-проблемы") это понятие затем оказалось также полезным при изучении геометрии банаховых пространств (см., например, главу 6 книги [23], а также [37]).

X

с.п. и {еп}00=1 _ последовательность попарно дизъюнктных подмножеств отрезка [0,1] ненулевой меры. Тогда, в силу вложения Lo С X, характеристические функции Xen(t), t Е [0,1], принадлежат пространству X для всех n Е N. Так как д(еп) ^ 0, то последовательность {xen/||xen||X}0=1 сходится к нулю по мере, но норма каждой функции равна 1. Следовательно, замкнутая линейная оболочка последовательности функций {xen/llxenllx}0°=1 _ не сильно вложенное подпространство.

Далее будет полезно следующее обобщение понятия дизъюнктности.

Определение 4. Пусть X — с.п. Последовательность {un}OOL1 С X7

||ип||х = 1 называется почти дизъюнктной, если ||ип — ||х ^ 0 при, п ^ то для некоторой дизъюнктной последовательности {^П}ТО°=1 С X.

Приведём ещё несколько простых замечаний о сильно вложенных подпространствах.

Замечание 1. Если подпространство Н сильно вложено, то на нём сходимость по X и Ь - норме эквивалентны. Действительно, так кaкX С Ь1? то сходимость по норме пространства X влечёт сходимость в Ь1. Обратно, если последовательность {хп} С Н сходится в - норме к нулю, то для произвольного £ > 0 1

ЦжПк = J |Жп(£)|^ > J |Жп(£)|^ > £д{г : |Хп(г)| > £},

о м{ г: |хп(*)|>£ }

откуда, хп ^ 0 по мере. Так как подпространство сильно вложено, то эта последовательность сходится и вX- норме. Случай, когда последовательность {хп} С Н сходится в Ь^ норме к некоторой функции, отличной от нуля, легко сводится по линейности к рассмотренному случаю.

Так как сходимость в X- и Ь1 - норме эквивалентны на Н, то линейный оператор

I :(Н, Н-Н^) ^ (Н, || • |х) непрерывен и, следовательно, ограничен. Тогда, в силу вложения X С

Ь1 С

||ж||Ь1 < ||х||х < СЦжЦ^. Таким образом, сильно вложенное подпространство изоморфно некото-

Ь1 .

При изучении сильно вложенных подпространств весьма полезны следующие множества, введённые М. И. Кадецом и А. Пелчинским в работе 111:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Страхов Степан Игоревич, 2023 год

Литература

[1] С. Г. Крейн, Ю. И. Петунии, Е. M Семенов, Интерполяция линейных операторов, М. Наука, 1978.

[2] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces, II. Function Spaces, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1979.

[3] C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, Boston, 1988.

[4] W. Rudin, Trigonometric series with gaps, J. Math. Mech., 9, 203-227 (1960).

[5] J. Bourgain, Bounded orthogonal systems and the A(p)-set problem, Acta Math., 162, 227-245 (1989).

[6] G. F. Bachelis, S. E. Ebenstein, On Л(р) sets, Pacific J. Math., 54 (1), 35-38 (1974).

[7] S.V. Astashkin, Rearrangement invariant spaces satisfying Bunford-Pettis criterion of weak compactness, Contemp. Math., 733, 45-59 (2019).

[8] Д. X. Муштари, О сходимости почти наверное в линейных пространствах случайных величин, Теория вероятн. и ее примен., 15:2, 351-357 (1970).

[9] М. А. Красносельский, Я. Б. Рутицкий, Выпуклые функции и пространства Орлича, Современные проблемы математики, М.: Физ-матгиз, 1958.

[10] A. Kaminska, Y. Raynaud, Isomorphic copies in the lattice E and its symmetrization E* with applications to Orlicz-Borentz spaces, Journal of Functional Analysis, 257 (1), 271-331 (2009).

11] M. I. Kadec, A. Pelczyrïski, Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp, Studia Math., 21, 161-176 (1962).

12] J. Bretagnolle, D. Dacunha-Castelle, Mesures aléatoires et espaces dOrlicz, (French) C. R.Acad. Sci. Paris Ser., A-B 264, A877-A880 (1967).

13] J. Bretagnolle, D. Dacunha-Castelle, Application de letude de certaines formes linéaires aléatoires au plongement despaces de Banach dans des espaces Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 2 (5), 437-480 (1969).

14] D. Dacunha-Castelle, Variables aléatoires échangeables et espaces dOrlicz, Seminaire Maurey-Schwartz 1974-1975: Espaces Lp, applications radonifiantes et geometrie des espaces de Banach. Exp. Nos. X et XI, 21 pp. Centre Math., Ecole Polytech., Paris, 1975.

15] M. Sh. Braverman, Independent Random Variables and Rearrangement Invariant Spaces, Cambridge University Press, 1994.

16] S. V. Astashkin, F. A. Sukochev, Orlicz sequence spaces spanned by identically distributed independent random variables in Lp spaces, J. Math. Anal. Appl., 413 (1), 1-19 (2014).

[17] S. V. Astashkin, F. A. Sukochev, D. V. Zanin, On uniqueness of distribution of a random variable whose independent copies span a subspace in Lp, Stud. Math., 230 (1), 41-57 (2015).

18] S. V. Astashkin, F. A. Sukochev, D. V. Zanin, The distribution of a random variable whose independent copies span is unique, Revista Matematica Complutense (2021).

19] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, On Orlicz sequence spaces. Ill, Israel Journal of Mathematics, 14, 368-389 (1973).

20] N. J. Nielsen, On the Orlicz function spaces on LM(0, »), Israel Journal of Mathematics, 20, 237-259 (1975).

21] E. Lavergne, Reflexive subspaces of some Orlicz spaces, Colloquium Math., 113 (2), 333-340 (2008).

22] J. Alexopoulos, De la Vallee Poussin's theorem and weakly compact sets in Orlicz spaces, Quaest. Math., 17 (2), 231-248 (1994).

[23] F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach Space Theory, Graduate Texts in Mathematics 233, New York, Springer-Verlag, 2006.

[24] S. V. Astashkin, N. J. Kalton, F.A. Sukochev, Cesaro mean convergence of martingale differences in rearrangement invariant spaces, Positivity, 12, 387-406 (2008).

[25] K. Lesnik, L. Maligranda, J. Tomaszewski, Weakly compact sets and weakly compact pointwise multipliers in Banach function lattices, Mathematische Nachrichten, 295 (3), 574-592 (2022).

[26] J. Flores, F. L. Hernandez, E. M. Semenov, P. Tradacete, Strictly singular and power-compact operators on Banach lattices, Israel Journal of Mathematics, 188, 323-352 (2012).

[27] S.V. Astashkin, Compact and strictly singular operators in rearrangement invariant spaces and Rademacher functions, Positivity, 25, 159-175 (2021).

[28] E. В. Токарев, О подпространствах некоторых симметричных пространств, Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Сб. научн. тр. Харьков, 24, 156-161 (1975).

[29] С. Я. Новиков, Об одной характеристике подпространств симметричного пространства, Иссл. по теор. функц. мног. вещ. перем.: Сб. научн. тр., Ярославль, изд-во Ярославского госуниверситета, 140 148 (1980).

[30] С. В. Асташкин, Е. М. Семенов, Об одном свойстве симметричных пространств, второе ассоциированное пространство к которым несепарабелъно, Матем. заметки, 107(1), 11-22 (2020).

[31] С. Я. Новиков, Геометрические свойства симметричных пространств, Дис. канд. физ.-матем. наук, Воронеж, 1980.

[32] L. Maligranda, Orlicz spaces and interpolation, Seminars in Mathematics, University of Campinas, 1989.

[33] В.- Z. A. Rubshtein, G. Ya. Grabarnik, M. A. Muratov, Y. S. Pashkova Foundations of Symmetric Spaces of Measurable Functions, Springer, 2016.

[34] F. Marian, P. Habala, P. Hajek, V. Montesinos, V. Zizler Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, Springer, New York, 2011.

[35] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т.1. Мир, М., 1965.

[36] R. Blei, Analysis in Integer and Fractional Dimensions, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2001.

[37] S. V. Astashkin, A(p)-spaces, J. Funct. Anal., 266, 5174-5198 (2014).

[38] E. A. Sanchez, P. Tradacete, Positively norming sets in Banach function spaces, Q. J. Math., 65, 1049-1068 (2014).

[39] У. Рудин, Функциональным анализ, M.: Мир, 1975.

[40] Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, М., 1977.

[41] J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, Classical Banach Spaces, I. Sequence Spaces, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1977.

[42] A. Kaminska, Y. Raynaud, Isomorphic lp-subspaces in Orlicz-Lorentz sequence spaces, Proc. American Math. Soc., 134 (8), 2317-2327 (2006).

[43] J. Flores, P. Tradacete and V. G. Troitsky, Disjointly homogeneous Banach lattices and compact products of operators, J. Math. Anal. Appl., 354, 657-663 (2009).

[44] J. Flores, F.L. Hernandez, E. Spinu, P. Tradacete, V. G. Troitsky, Disjointly homogeneous Banach lattices: Duality and complementation, J. Funct. Anal, 266 (9), 5858-5885 (2014).

[45] S. V. Astashkin, Disjointly homogeneous Orlicz spaces revisited, Annali di Matematica Рига ed Applicata (1923 -), 200, 2689-2713 (2021).

[46] С. В. Асташкин, С. И. Страхов, О дизъюнктно однородных пространствах Орлича-Лоренца, Матем. заметки, 108 (5), 643-656 (2020).

[47] С. Я. Новиков, Е. М. Семенов, Е. В. Токарев, Структура подпространств пространств Лр(ф), Докл. Акад. наук СССР, 247 (3), 552554 (1979).

[48] С. Нао, A. Kaminska, N. Tomczak-Jaegermann, Orlicz spaces with convexity or concavity constant one, J. Math. Anal. Appl., 320 (1), 303321 (2006).

[49] P. Harjulehto, P. Hasto, Orlicz spaces and Generalized Orlicz spaces, Lecture Notes in Mathematics, 2236, 2019.

[50] Y. Cui, H. Hudzik, M. Wisla, Monotonicity properties and dominated best approximation problems in Orlicz spaces equipped with the p-Amemiya norm, J. Math. Anal. Appl., 432 (2), 1095-1105 (2015).

[51] H. Hudzik, A. Kaminska, M. Mastylo, Monotonicity and Rotundity Properties in Banach Lattices, The Rocky Mountain Journal of Mathematics, 30 (3), 933-950 (2000).

[52] H. Hudzik, L. Maligranda, Amemiya norm equals Orlicz norm in genera\ Indag. Math. (N.S.), 11 (4), 573-585 (2000).

[53] W. Orlicz, A note on modular spaces, Bull. Pol. Acad. Sci. Math., 9, 157-162 (1961) .

[54] M. Fabian, L. Zajicek, V. Zizler, On residuality of the set of rotund norms on Banach spaces, Math. Ann., 258, 349-351 (1982).

[55] E. Berkson, Some metrics on the subspaces of a Banach space, Pacific Journal of Mathematics, 13 (1), 7-22 (1963).

[56] И. Ц. Гохберг, M. Г. Крейн, Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов, УМН, 12:2 (74), 43-118 (1957).

[57] S. V. Astashkin, On symmetric spaces containing isomorphic copies of Orlicz sequence spaces, Comment. Math., 56 (1), 29-44 (2016).

[58] M. И. Островский, О свойствах раствора и связанных с ним характеристик близости банаховых пространств, Теория функций, функциональный анализ и их приложения (Харьков), 42, 97-107 (1984).

[59] R. Nakamoto, The spherical gap of operators, Linear Algebra Appl., 251, 89-95 (1997).

] M. I. Ostrovskii, Topologies on the set of all subspaces of a Banach space and related questions of Banach space geometry.; Quaestiones Mathematicae, 17 (3), 259-319 (1994).