Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кечина, Ольга Михайловна

• Кечина, Ольга Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кечина, Ольга Михайловна

Введение.

Глава 1. Интегральный аналог задачи Гурса.

§ 1. Интегральная задача Гурса в характеристическом прямоугольнике.

1.1. Постановка задач. Теоремы существования и единственности решений.

1.2. Доказательство единственности решения вспомогательной задачи.

1.3. Доказательство существования решения вспомогательной задачи.

1.4. Вывод условий единственности решения.

§ 2. Интегральная задача Гурса с условиями, заданными в части области.

2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения.

2.2. Доказательство единственности решения задачи.

2.3. Доказательство существования решения задачи.

Глава 2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны с интегральными условиями.

§ 1. Смешанная задача с интегральными условиями второго рода

1.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода.

1.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения смешанной задачи с интегральными условиями второго рода

§ 2. Смешанная задача с интегральными условиями первого рода

2.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи.

2.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи.

§ 3. Смешанная задача в произвольной прямоугольной области с интегральными условиями первого рода.

3.1. Постановка задачи. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи.ТО

3.2. Доказательство единственности решения задачи.

3.3. Доказательство существования решения задачи.

§ 4. Смешанная задача с интегральным условием, заданным в части области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений в прямоугольных областях»

Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при исследовании классических задач математической физики и к настоящему времени хорошо изучены. Однако современные проблемы естествознания приводят к необходимости постановки и исследования качественно новых задач, ярким примером которых является класс нелокальных задач.

Нелокальными принято называть такие задачи, в которых задаются соотношения, связывающие значение искомого решения и, возможно, его производных, в граничных и внутренних точках области. По-видимому, термин "нелокальные условия" впервые введён A.A. Дезиным в работе [12].

В последние десятилетия нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных активно изучаются многими математиками. Исследование нелокальных задач вызвано как теоретическим интересом, так и практической необходимостью. Это связано с тем, что математическими моделями различных физических, химических, биологических, экологических процессов часто являются задачи, в которых вместо классических краевых условий задаётся определённая связь значений искомой функции (или её производных) на границе области и внутри неё. Задачи такого типа могут возникнуть при изучении явлений, связанных с физикой плазмы [73], распространением тепла [1], [80], процессом влагопереноса в капиллярно-пористых средах [53], вопросами демографии и математической биологии [56], некоторыми технологическими процессами [51].

Задачи с нелокальными условиями возникают при математическом моделировании различных физических процессов в тех случаях, когда граница протекания реального процесса, недоступна для непосредственных измерений, но можно получить информацию о его протекании во внутренних точках области, либо о соотношении значений искомого решения в различных точках границы. Изучая процессы охлаждения тел, В.А. Стеклов [79] построил математическую модель, которая представляет собой задачу интегрирования уравнения p{x)ut = ихх — д(х)и, а <х < Ь, 0 <t <Т при начальном условии и(х, 0) = т(х) и граничными условиями со смещением: oi\u{a, t) + а2их(а, t) + а^и(Ъ, t) + a^ux(b, t) = О, i) + ß2ux(a, t) + ¿) + /?4гг*(Ь, t) = 0. Частный случай этих условий

0, t) ~ u(l, ¿), ws(0, i) = ux(l, t) возникает при изучении колебаний кольца [81].

При исследовании задачи обтекания профиля крыла самолёта газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, Ф.И. Франкль [84] поставил и исследовал задачу для уравнения Трикоми

УUхх ~f~ ^уу = одно из граничных условий которой является нелокальным:

0,у) - и(0,-у).

Приведённые примеры показывают, что нелокальные условия возникают при математическом моделировании реальных физических процессов. Это направление исследований заинтересовало многих известных математиков и стало интенсивно развиваться в их научных работах. Большую роль в изучении нелокальных задач сыграли работы В.И. Жегалова [16] — [18], A.B. Вицадзе и A.A. Самарского [4], A.M. Нахушева [55], В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [20], [50], O.A. Репина [48],[72].

Среди нелокальных задач можно выделить класс задач с интегральными условиями. Нелокальные интегральные условия можно считать обобщением дискретных нелокальных условий или условий локального сдвига.

Отправной точкой исследования задач с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных являются статьи Кэннона Д.Р. и Камынина Л.И., опубликованные в начале 60-х годов двадцатого века.

В 1963 году J.R. Cannon [93] для уравнения теплопроводности иу — uxx в прямоугольной области D — {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < Т} исследовал задачу нахождения решения и(х, у), удовлетворяющего условиям т(ж),0 < я; < 1; u(l,y) = < у < Т и интегральному условию

Ни)

J u{x:y)dx = Е{у), о <у<Т, о где х(у), Е(у) € С^О, Т] — заданные функции.

В 1964 году Л.И. Камыниным [29] в области ST = { {x,t) : Xi(t) < х < X2(t), 0 < t < Г}, содержащей внутри себя кривую х = Хз(£), была рассмотрена краевая задача для линейного одномерного параболического уравнения второго порядка общего вида q2u Qh ди

Lu = а(х, t)— + b(x, t)— + c{x, t)u - — = f(x, t) с начальный! условием u(x, 0) = h(x), Xi(0) < x < X2(0), и нелокальными условиями t) д(х, t)u(x, t)dx = E(t), 0 < t < T, Xi (0 u(X'2{t),t)dx = (p(t), 0 <t<T.

В этой работе доказано существование единственного, непрерывного вплоть до границы решения краевой задачи с условиями указанного типа в предположении, что коэффициенты уравнения удовлетворяют условию Гёльдера с ненулевым показателем, а функция E(t) и кривые {х = X(t)), определяющие боковые границы области, где задано уравнение, и зоны, участвующей в условии, удовлетворяют лишь условию Гёльдера с показателем, большим |.

В дальнейшем задачи с интегральными условиями для параболических уравнений были исследованы в работах Н.И. Ионкина [23] — [25], JI.A. Муравья и А.В Филиновского [51], [52], А.И. Кожанова [44], JI.C. Пулькиной [66], A.B. Картынника [30], Н.И. Юрчука[1], [85], A. Bouziani [89], [90] и других авторов [74], [82].

Задачи с нелокальными интегральными условиями для уравнений эллиптического типа рассматривались A.JI. Скубачевским [75]-[77], А.К. Гущиным и В.П. Михайловым [10], [11], A.A. Амосовым [2].

В конце двадцатого века появились работы, посвященные разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений. Среди них можно выделить два класса задач: интегральный аналог задачи Гурса и смешанные задачи с интегральными условиями. При постановке интегральной задачи Гурса задаются значения интегралов от искомого решения вдоль характеристик уравнения.

Задачи в характеристическом прямоугольнике рассматривались в работах [57], [62]. Интегральные условия имели следующий вид: а Ь

J и{х, y)dx ~ ф{у), J и(х, y)dy = tp(x). о о

Исследования разрешимости такой задачи для уравнения

Lu == иху + (А(х, у)и)х + (В(я, у)и)у + С{х, у)и — f{x, у) привели к условиям единственности решения задачи [62]: Ау(х, у) > 0, Вх(х, у) > О, Сху(х, у) > О,

Ау{х,у)Вх(х,у) - С2(х, у) > О, последнее из которых является существенным ограничением на класс уравнений, для которых решение интегрального аналога задачи Гурса существует и единственно. Если А(х,у) — В(х,у) = 0, то видим, что теорема единственности не выполняется для телеграфного уравнения. Это подтверждается примером, приведённым в работе JI.C. Пулькиной [62], где изучена задача для гиперболического уравнения

Lu = wxy + (А(х, y)w)x + (В(х, y)w)y + С(х, y)w = F(x, у) в прямоугольнике D = {(х,у) : 0 < х < а, 0 < у < Ь} со следующими интегральными условиями: а Ь

J w(x,y)dx = ф{у), J w(x,y)dy — ip{x). о о

Доказаны теоремы существования и единственности обобщённого решения задачи из пространства Ь2.

В данной диссертационной работе вместо условий a b

J u(x, y)dx = ф(у), J и(х, y)dy = tp(x) рассмотрены условия: а j К(х, у)и(х, у)сЬ = ^(у), 0 < у < 6, о ь

J К(х, у)и(х. = ^(ж), О < X < а, о и показано, что выбором функций К(х,у) можно обеспечить однозначную разрешимость интегрального аналога задачи Гурса и для тех случаев, когда условие Ау(х,у)Вх(х,у) — С2(гс,т/) > 0 не выполняется.

Следующая проблема состоит в нахождении условий на входные данные в случае, когда нелокальные условия заданы только в части области, где ищется решение задачи. Задача с интегральными условиями, заданными в части области была рассмотрена З.А. Нахушевой в работе [57].

Для простейшего гиперболического уравнения

11>ху ~ О в прямоугольной области И — {(ж, у) : 0 < ж < а, 0 < у < Ь} была рассмотрена задача Гурса с интегральными условиями а р

J и(х, у) Ах = ф{у), 0 <у <Ь, J и(х, у)(1у = (р(х), 0 < х < а, о о где (р(х) и ф(у) — заданные непрерывные функции, а, (3 — заданные числа, причём 0<а<а,0</?<6и получена формула единственного решения.

Обоснование разрешимости задачи в [57] опирается на возможность найти общее решение уравнения.

В предлагаемой диссертационной работе рассматривается задача с неполными данными для уравнения

Ьи = иху + (Л(х, у)и)х + (В(х, у)и)у + С(х, у)и — /(ж, у), с произвольными гладкими коэффициентами.

Исследование смешанных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического типа проводится в работах А.И. Кожанова [46], Л.С. Пулькиной [63]—[65], [70], Д.Г. Гордезиани и

Г.А. Авалишвили [7], A. Bouziani [90], [91], С.А. Бейлина [3], [87], [88] и других авторов [26], [86].

В работе [7] рассматривается нелокальная задача для уравнения колебания струны с классическими начальными условиями и(х, 0) — <р(х), щ(х, 0) = ф{х), 0 < х < I, и интегральными нелокальными граничными условиями

Ш Tfe(i)

0, t) =

Ш m (t)

2W 42 w t(0,t)=p(t) J u(x,t)dx +f(t), u(l,t)=q(t) J u(x,t)dx + g(t), где < < 7/2(0 ~ подвижные точки струны

0, /], (р, -ф, р, д, /, д — данные достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям согласования, и(х, — искомая функция, дважды непрерывно дифференцируемая на [0, /] х [0, Т]. Доказана теорема существования единственного решения поставленной задачи. В этой же работе доказаны существование и единственность решения интегральной нелокальной задачи для телеграфного уравнения с однородными начальными условиями и нелокальными граничными условиями.

Отметим, что в работе [7] нелокальные условия являются условиями второго рода, и интегралы, присутствующие в нелокальных условиях, суть интегралы с переменными пределами, что при реализации метода вспомогательных задач приводит к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода.

В диссертационной работе рассматриваются условия, содержащие интегралы с постоянными пределами, что существенно влияет на выбор метода доказательства как единственности, так и существования решения. Также в работе рассматриваются задачи с интегральными условиями первого рода, и с условиями, заданными в части области.

Нелокальные задачи с интегральными условиями для вырождающихся гиперболических уравнений исследовались

Л.С. Пулькиной и её учениками [61], [5], [15]. В последнее время появились работы, в которых изучаются нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных уравнений в частных производных с п пространственными переменными — статьи А.И. Кожанова, Л.С. Пулькиной [46], [67], С.А. Бейлина [88], В.Б. Дмитриева [14], Б. МеэЬиЬ и А. Вогшаш [95].

Исследования нелокальных задач показали их тесную связь с нагруженными уравнениями [53] - [55] и обратными задачами [27], [28], [58] - [60], [45], [19], [68].

Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений более высоких порядков рассмотрены в работах [13], [31], [92], [94].

Актуальность темы данной диссертационной работы обусловлена как теоретической, так и практической значимостью рассматриваемых задач.

Представленная диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости нелокальных задач с интегральными условиями для уравнений гиперболического тина и детализации метода вспомогательных задач в различных частных случаях.

Объектом исследования в данной работе являются нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений с условиями, содержащими интегральный оператор от искомого решения.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является постановка и исследование качественно новых нелокальных задач с интегральными условиями для гиперболических уравнений второго порядка в прямоугольных областях, а также разработка эффективных методов доказательства разрешимости различных видов нелокальных краевых задач.

Методы исследования. В работе используется аппарат теории дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, аппарат интегральных уравнений, методы априорных оценок.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:

1. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике;

2. доказано существование единственного классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике в случае, когда интегральные условия заданы в части области;

3. предложен эффективный метод, с помощью которого доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями второго рода для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т<1;

4. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода i

J Ki(x, t)u(x, t)dx = Si(t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны при условии, что стороны области связаны соотношением Т < I;

5. разработан метод, применяя который удалось снять ограничения на область и доказать однозначную разрешимость смешанной задачи с нелокальными интегральными условиями первого рода I

J Ki{x)u(x, t)dx = Si(t), (г = 1,2) о для уравнения колебаний струны;

6. доказана однозначная разрешимость смешанной задачи с интегральным условием, заданным в части области.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки общей теории краевых задач с нелокальными интегральными условиями.

Структура и объём диссертации- Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 95 наименований, включая работы автора. Объём диссертации составляет 101 страницу.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кечина, Ольга Михайловна

Заключение

В данной диссертационной работе исследованы нелокальные задачи с интегральными условиями для некоторых гиперболических уравнений в прямоугольных областях.

1. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике.

2. Доказана теорема существования и единственности классического решения интегральной задачи Гурса для гиперболического уравнения с интегральными условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника.

3. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями второго рода.

4. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными условиями первого рода (2 случая).

5. Доказана теорема существования единственного классического решения смешанной задачи для уравнения колебаний струны с интегральными ус л овиями, заданными в части области.

Автор выражает глубокую признательность и искреннюю благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Людмиле Степановне Пулъкиной за предложенную тему, помощь, ценные замечания и поддержку при выполнениии данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кечина, Ольга Михайловна, 2010 год

1. Алексеева, С. М. Метод квазиобращения для задачи управления начальным условием для уравнения теплопроводности с интегральным краевым условием/ С.М. Алексеева, Н.И. Юрчук // Дифференциальные уравнения.- 1998. Т. 34. - № 4. - С. 495 - 502.

2. Амосов, А. А. О положительном решении эллиптического уравнения с нелинейным интегральным краевым условием типа излучения/ A.A. Амосов// Математические заметки. 1977. - Т. 22. -№1. -С. 117-128.

3. Бейлин, С. А. Смешанная задача с интегральным условием для волнового уравнения/ С.А. Бейлин//Неклассические уравнения математической физики. Сборник научных работ. Новосибирск. -2005. С. 37 - 43.

4. Бицадзе, А. В. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ A.B. Бицадзе,

5. A.A. Самарский//Доклады Академии наук СССР. 1969. -Т. 185. - № 4. - С. 739 - 740.

6. Волынская, М. Г. Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения/ М.Г. Волынская / / Вестник Самарского государственного университета. 2008. - № 2 (61). - С. 43 - 51.

7. Владимиров, В. С. Уравнения математической физики/

8. B.C. Владимиров //М.: Наука. 1976. - 528 с.

9. Гордезиани, Д. Г. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний струны/ Д.Г. Гордезиани, Г.А. Авалишвили / / Математическое моделирование. 2000.- Т. 12. № 1. - С. 94 - 103.

10. Гординг, JI. Задача Коши для гиперболических уравнений/ JI. Гординг//М.: Издательство иностранной литературы. 1961.- 122 с.

11. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.С. Градштейн, И.М. Рыжик//М.: Физматгиз-1963. 1100 с.

12. Гущин, А. К. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка/ А.К. Гущин, В.П. Михайлов //Математический сборник. -1994. Т. 185. - № 1.- С. 121 160.

13. Гущин, А.К. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения/ А.К. Гущин,

14. B.П. Михайлов //Математический сборник. 1995. - Т. 186. - № 2.- С. 37 58.

15. Дезин, А. А. Простейшие разрешимые расширения для псевдопараболических и ультрагиперболического операторов/ A.A. Дезин//Доклады Академии наук СССР. 1963. - Т. 148. -№ 5. - С. 1013 - 1016.

16. Доюураев, Т.Д. Нелокальная задача с интегральными условиями для уравнения в частных производных третьего порядка/ Т.Д. Джураев, О.С. Зикиров// Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения 2007". - С. 132 - 133.

17. Дмитриев, В. В. Нелокальная задача с интегральными условиями для волнового уравнения/ В.Б. Дмитриев//Вестник Самарского государственного университета. 2006. - № 2 (42).1. C. 15 27.

18. Евдокимова, H. Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ H.H. Евдокимова, J1.C. Пулькина//Вестник Самарского государственного университета. 1999. - № 2 (12). - С. 67 - 70.

19. Жег алое, В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии/В.И. Жегалов//Учёные записки Казанского государственного университета. 1962. - Т. 122, № 3. С. 3 - 16.

20. Жегалов, В. И. Задача Франкля со смещением / В.И. Жегалов//Известия высших учебных заведений. 1979. -№ 9. С. 11 - 20.

21. Жегалов, В. И. Задача Гурса со смещением / В.И. Жегалов // Тр. сем. по краев, задачам. 1985. - № 22. С. 79 - 87.

22. Иванчов, Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоёмкости/ Н.И. Иванчов //Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. -№3. -С. 612-621.

23. Ильин, В. А. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках/ В.А. Ильин, Е.И. Моисеев//Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. - № 8. - С. 139 - 156.

24. Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны/ В.А. Ильин, Е.И. Моисеев / / Доклады Российской Академии Наук. 2000. - Т. 400. - № 1. - С. 16 - 20.

25. Ильин, В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса/ В.А. Ильин, В.В. Тихомиров //Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 5. - С. 692 - 704.

26. Ионкин, Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н.И. Ионкин // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13. - № 2. - С. 294 - 304.

27. Ионкин, Н. И. Об устойчивости одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием/ Н.И. Ионкин //Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. -№ 4. - С. 1279 - 1284.

28. Ионкин, Н. И. Двумерное уравнение теплопроводности с нелокальными краевыми условиями/ Н.И. Ионкин, В.А. Морозова//Дифференциальные уравнения. 2000. -Т. 36. - № 7. - С. 884 - 888.

29. Кальменов, Т. Ш. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения/ Т.Ш. Кальменов, М.А. Садыбеков // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. - № 1. - С. 60-65.

30. Камынин, В. Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения/ B.JI. Камынин//Математические заметки. -2005. Т. 77. - № 4. - С. 522 - 534.

31. Камынин, В. Л. Об одной обратной задаче для параболического уравнения высокого порядка/ В.Л. Камынин, Э. Франчини // Математические заметки. 1998. - Т. 64. - № 5. -С. 680 - 691.

32. Камынин, Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями/ Л.Й. Камынин, //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. - Т. 4. - № 6. - С. 1006 - 1024.

33. Картпынник, А. В. Трёхточечная смешанная задача с интегральным условием по пространственной переменной для параболических уравнений второго порядка/ A.B. Картынник // Дифференциальные уравнения. 1990. -Т. 26. - Ш 9. - С. 1568 - 1575.

34. Керефов, А. А. Нелокальные задачи для одного уравнения третьего порядка/ A.A. Керефов, Е.В. Плотникова // Владикавказский математический журнал. -2005. Т. 7. - № 1. - С. 51 - 60.

35. Кечина, О. М. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с условиями, заданными внутри характеристического прямоугольника/ О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. — 2009. — № 6 (72). С. 50 -56.

36. Кожанов, А. И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений/ А.И. Кожанов//Вестник Самарского государственного технического университета. 2004. - № 30. - С. 63 - 69.

37. Кооюанов, А. И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности./ А.И. Кожанов//Сибирский математический журнал. 2005. - Т. 46. - № 5. - С. 1053 - 1071.

38. Кооюанов, А. И. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений/ А.И. Кожанов, Л.С. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42.- № 9. С. 1166 - 1179.

39. Котляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики/ Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов //М.: Физматгиз 1962. - 767 с.

40. Лернер, М. Е. Существенно нелокальная краевая задача для уравнения с частными производными/ М.Е. Лернер, O.A. Ренин // Математические заметки. 2000. - Т. 67. - № 3.- С. 478 480.

41. Михлин, С. Г, Лекции по линейным интегральным уравнениям / С.Г. Михлин //М. Физматгиз. - 1959. - 232 с.

42. Моисеев, Е. И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 1094 - 1100.

43. Муравей, Л. А. Об одной нелокальной краевой задаче для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский // Математические заметки. 1993. - Т. 54. - № 4. - С. 98 - 116.

44. Муравей, Л. А. Об одной задаче с нелокальным граничным условием для параболического уравнения/ Л. А. Муравей, A.B. Филиновский//Математический сборник. 1991. - Т. 182.- № 10. С. 1479 - 1512.

45. Нахушев, А. М. Краевые задачи для нагруженных иптегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги/ A.M. Нахушев//Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15. - № 1. - С. 96 - 105.

46. Нахушев, А. М. Нагруженные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19.- № 1. С. 86 - 94.

47. Нахушев, А. М. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ A.M. Нахушев // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21. - № 1. - С. 92 - 101.

48. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев //М.: Высшая школа 1995. - 301 с.

49. Нахушева, 3. А. Об одной нелокальной задаче для уравнений в частных производных/ З.А. Нахушева//Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. - № 1. - С. 171 - 174.

50. Прилепко, А. И. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением/ А.И. Прилепко, А.Б. Костин // Математический сборник. 1992. - Т. 183. - № 4. - С. 49 - 68.

51. Прилепко, А. И. Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением/ А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2003. - Т. 43. - № 9. - С. 1392 - 1401.

52. Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, //Математические заметки. 1992. - Т. 51. - № 3. - С. 91 - 96.

53. Пулькина, Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36 - № 2 (8). - С. 279 - 280.

54. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с нелокальным условием для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. 2002. - С. 176 - 184.

55. Пулькина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - № 3. - С. 435 - 445.

56. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина, // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т. 40. - № 7. - С. 887 -892.

57. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача для уравнения теплопроводности/ JI.C. Пулькина, //Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск - 2005. - С. 231 - 239.

58. Пулькина, Л. С. Об одной нелокальной задаче для гиперболического уравнения/ JT.C. Пулькина, // Современная математика и её приложения. Институт кибернетики АН Грузии- 2005. Т. 33. С. 88 - 96.

59. Пулькина, Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами/ JI.C. Пулькина // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды 3-й Всероссийской научной конференции. Ч.З Самара: СамГТУ. - 2006. - С. 190- 192.

60. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с двумя интегральными условиями для гиперболического уравнения на плоскости/ JI.C. Пулькина, / / Неклассические задачи математической физики. ИМ СО АН. Новосибирск - 2007. - С. 232 - 236.

61. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения в характеристическом прямоугольнике/ JI.C. Пулькина, О.М. Кечина//Вестник Самарского государственного университета. 2009. - № 2 (68). - С. 80 - 88.

62. Репин, O.A. Краевая задача для уравнения влагопереноса/ O.A. Репин, // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. -№ 1. - С. 169 - 171.

63. Самарский, А. А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений/ A.A. Самарский//Дифференциальные уравнения. 1980. -Т. 16. - № 11. - С. 1221 - 1228.

64. Сапаговас, М. П. О некоторых краевых задачах с нелокальным условием/ М.П. Сапаговас, Р.Ю. Чегис // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 7. - С. 1268 - 1274.

65. Скубачевский, А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач/ А.Л. Скубачевский // Математический сборник. 1982. ~ Т. 117(159). ~№4,-С. 548 - 558.

66. Скубачевский, А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром/ А.Л. Скубачевский//Математический сборник. -1983. Т. 121(163). - № 2(6). - С. 201 - 210.

67. Скубачевский, А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями Бицадзе-Самарского/

68. A.Л. Скубачевский // Дифференциальные уравнения. 1985.- Т. 21. № 4. - С. 701 - 706.

69. Соболев, С. Л. Уравнения математической физики/ С.Л. Соболев//М.: Наука 1966. - 444 с.

70. Стеклов, В. А. Основные задачи математической физики/

71. B.А. Стеклов.- М. Наука, 1983. 432 с.

72. Тихонов, В. И. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений/ В.И. Тихонов//Известия РАН. Серия математическая- 2003. Т. 67. - № 2. - С. 133 - 166.

73. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский //М.: Наука 1972. - 736 с.

74. Фардигола, Л. В. Интегральная краевая задача в слое/ Л.В. Фардигола //Математические заметки. 1993. - Т. 53. -№ 6. - С. 122 - 129.

75. Фихтенголъц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т./ Г.М. Фихтенгольц. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1966.

76. Франклъ, Ф. И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения./ Ф.И. Франкль // ПММ. 1956. - Т. 20. -№ 2. - С. 196 - 202. - М.: Наука, 1973.

77. Юрчук, Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для некоторых параболических уравнений/ Н.И. Юрчук//Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. - № 12. - С. 2117 - 2126.

78. Al-kadhi, М. A. A class of hyperbolic equations with nonlocal conditions/ M.A. Al-kadhi //Int. Journal of Math. Analysis. 2008 - Vol. 2 - № 10. - pp. 491 - 498.

79. Beilin, S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations 2001(2001).- № 76. - pp. 1 - 8.

80. Beilin, S. A. On a mixed nonlocal problem for a wave equations/ S.A. Beilin // Electronic Journal of Differential Equations -2006(2006).- № 103. pp. 1 - 10.

81. Bouziani, A. On the solvability of nonlocal pluriparabolic problems./ A. Bouziani//Electronic Journal of Differential Equations -2001(2001).- № 21. pp. 1 - 16.

82. Bouziani, A. On the solvability of a nonlocal problem arising in dynamics of moisture t ransfer/ A. Bouziani // Georgian Mathematical Journal 2003.- № 4. - pp. 607 - 622.

83. Bouziani, A. Probleme mixte avec conditions integrates pour une classe d' equations hyperboliques/ A. Bouziani, N. Benouar//Bull. Belg. Math. Soc. 1996.- № 3. - pp. 137 - 145.

84. Bouzit, A. A Class of Third Order Parabolic Equations with Integral Conditions/ A. Bouzit, N. Teyar//Int. Journal of Math. Analysis -2009.- Vol. 3 № 18. - pp. 871 - 877.

85. Cannon, J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy/ J.R Cannon // Quart. Appl. Math. 1963 - Vol. 21 - № 2. - pp. 155 - 160.

86. Denche, M. High-order mixed-type differential equations with weighted integral boundary conditions./ M. Denche, A. Marhoune // Electronic Journal of Differential Equations -2000(2000).- № 60. pp. 1 - 10.

87. Mesloub, S. Mixed problem with integral conditions for a certain class of hyperbolic equations/ S. Mesloub, A. Bouziani // Journal of Applied Mathematics 2001- № 1:3.