Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Скороход, Анна Владимировна

• Скороход, Анна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Скороход, Анна Владимировна

Введение.

Глава 1. Задача типа Геллерстедта с данными на характеристиках.

§ 1.1. Задача Гурса. Принцип локального экстремума.

§ 1.2. Постановка задачи У\.

Единственность решения.

§ 1.3. Существование решения задачи У\.

Глава 2. Задача типа Геллерстедта с данными на нехарактеристических линиях.

§ 2.1. Задача Дарбу. Принцип локального экстремума.

§ 2.2. Постановка задачи У^.

Единственность решения.

§ 2.3. Существования решения задачи У%.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи типа Геллерстедта для уравнений смешанного типа с нелокальным интегральным условием сопряжения»

Возникшая в двадцатые годы прошлого столетия теория уравнений смешанного типа получила значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментпой теории оболочек, в магнитной гидродинамике и во многих других областях.

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [69, 70] и С. Геллерстедта [79], где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Ими были изучены задачи для уравнения смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как "задача Трикоми"и "задала Геллерстедта".

Ф. И. Франкль [72, 73] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. А. В. Бицадзе [7] впервые сформулировал принцип экстремума для задачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для уравнений смешанного типа.

В дальнейшем созданием теории краевых задач для уравнений смешанного типа занимались ученые у нас в России и за рубежом. Полученные результаты приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6, 9], JI. Берса [5], М.М. Смирнова [63, 65] , Е.И. Моисеева [44], Т.Д. Джураева [22]. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа.

Задачей Геллерстедта для уравнений смешанного типа занимались Ф. И. Франкль [72, 73], М.А.Лаврентьев [41], A.B. Бицадзе [7],

B.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16], А.Н. Зарубин [25], В.И. Жегалов [26], A.M. Нахушев [47], Хе Кан Чер [75, 76], М.М. Смирнов [64],

C. Morawetz [84], Е.И. Моисеев [46], С.С. Исамухамедов [27], Т.Ш. Кальменов [28], Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков [22], К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова [57], Н.Б. Плещинский [48, 49], К.А. Губайдуллин [21], A.A. Косовец [29], A.A. Полосин [50] и другие.

С. Геллерстедт [80] для уравнения

Утихх + иуу = 0, (1) где т - натуральное нечетное число, в области D, ограниченной простой кривой Жордана Г, лежащей в полуплоскости у > 0 с концами в точках Ai(ai,0) и т4.2(а2,0), а при у <

О - характеристиками А\С\, С\Е, ЕС2, С2А2 уравнения (1), где Е(е, 0), öi < е < 02, исследовал краевые задачи с данными на ruAiCiUA2C2 (задача G\) и с данными на Y\JC\E{JEC2 (задача. G2 )• Существование упомянутых задач доказано методом интегральных уравнений в случае, когда Г совпадает с "нормальной"кривой Го: =^ > <2>

Для уравнения М.А. Лаврентьева sgn у -ихх + иуу = 0 задача G\ подробно изучена A.B. Бицадзе [7]. Причем в этой работе единственность решения задачи Геллерстедта доказана на основании принципа экстремума при произвольной кривой Г , но при некоторых ограничениях на поведение производных их и иу в малой окрестности точки Е.

В работах С. Morawetz [84] единственность решения задачи G2 для уравнения Чаплыгина

К(у)ихх + иуу = 0, где у К (у) > 0 при у > 0, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций и "аЬс"при некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек Е и и кривую Г. Например, кривая Г должна быть звездной относительно точки Е.

В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер [16] для уравнения sgny ■ \у\тихх + иуу — 0, т > 0, а\ = -1, а2 = 1 доказали единственность решения задачи G\ методом экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что

1У+(х) = 1У~(х), — 1 < х < 1, х е, где v+(x) = lim иу(х,у), v-{x)= lim uy(x,y), у—>0+0 у—»0—0 и при условии lim V-(x) — lim u-{x). x—>e—0 x—»e+0

A.H. Зарубин [25] исследовал краевую задачу типа Геллерстедта для уравнения смешанного типа с тремя линиями вырождения

У (у - 1 )UXX + XUyy = 0, методом интегральных тождеств им доказана единственность решения, а существование проведено методом интегральных уравнений.

Хе Кап Чер [75, 76] рассмотрел задачу G\ для уравнения уиуу + ихх + ßuy = 0, ^ < ß < 1, ai = -l,a2 = l. (3)

Доказательство единственности решения задачи G\ проведено на основе принципа экстремума при произвольной кривой Г, но при условии, что пределы lim is-(x), lim 1У(х) х—*е—0 х—>е+0 существуют, и v~{x) = — 1 < х < е, е < х < 1, где v-{x)= lim (-y)ßuy(x,y), v+(x)= lim yßuy(x,y).

7/—>0—0 y—>0+0

В случае, когда эллиптическая граница области оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками параболы х2 + 4у = 1, а в остальной части отклоняется от данной параболы наружу, показано существование решения задачи G\ методом интегральных уравнений.

С.С. Исамухамедов [27] изучил задачу G2 для уравнения (3) в случае, когда Г совпадаете "нормальной"кривой Г0. М.М. Смирнов [64] для уравнения sgny ■ \у\тихх + иуу = 0, т> 0, установил справедливость принципа экстремума, из которого следует единственность решения задач Gi и G2, когда Г - произвольная кривая и производные их и иу решения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы в окрестностях точек Ai, Е и А2. Следует отметить, что здесь при доказательстве принципа экстремума используются явные формулы решений задач Хольмгрена и Дарбу в областях эллиптичности и гиперболичности соответственно. Существование решения доказано для случая, когда Г совпадает с "нормальной"кривой Го

Отметим также работу A.A. Косовец [29], где доказана единственность решения задачи G2 для уравнения

K{y)vxx + vyy - (iv = /, ¡ле С, при произвольной кривой Г, но при условии, что К(у) Е C*[ymin, 0] П С^Утах], yK{y) > 0 при у ф 0 И lim К (у) = К+> 0, lim К {у) = К. < 0, \1тр\ < /сЯе/х, у-++о у-*-о где к удовлетворяет неравенству

0</c<z£1±^I±^!

2 л/2 с0 где с0 = inf (1/\К(у)\), С! = sup (1/\К{у)\). V£D(K) yeD(I<)

Методом разделения переменных Е.И. Моисеев [46], построил решение задач G\ и Gi с нулевыми краевыми условиями на характеристиках для уравнения sgny ■ ихх + иуу = 0 (4) в виде суммы биортогональных рядов в случае, когда область эллиптичности является полукругом. Доказана равномерная сходимость полученных рядов и возможность почленного дифференцирования их.

A.A. Полосин [5U] для уравнения (4) в области Q, ограниченной при у > 0 дугой Г окружности ж2 + у2 = 1, а при у < 0 - отрезками характеристик, выходящих из точек А(—1,0), М(-±,0), 0(0,0), 7V(i, 0) и 5(1,0), исследовал задачу: найти регулярное решение уравнения (4), удовлетворяющее граничным условиям: u\L — 0, г = М, где Li = {(х,у)\х + у = -1, -1 < ж < , Ь2 {{х:у)\х-у = 0, -1<х<0}, L3 = {{х,у)\х + у = 0, 0 < х < ,

U = {(х,у)\х ~ У = 1, ! < а; < 1} ; п|г = /(Ö), 0 < в < тг, / 6

Са[0,7г], /(0) = /(7г) = 0. Решение этой задачи строится с помощью метода разделения переменных и сведения к задаче Римана-Гильберта для круга. Единственность решения задачи доказана на основе принципа экстремума A.B. Бицадзс. R.J. Michael [83] для уравнения

К{у)ихх + иуу + г(х, у)и = /(ж, у), где у К (у) > 0 при уф 0, исследовал задачу с условиями Дирихле на Г, AiCi, ЕС2 и задачу с условиями на Г, А2С2, ЕС\ в случае, когда кривая Г совпадает с параболой. Для этих задач даются условия, при которых квазирегулярное решение из класса C2(D) П C(D) единственно. Устанавливается существование слабого решения в пространстве .

В работе Т.Д. Джураева, Ю.П. Апакова [22] показано существование и единственность решения задачи Геллерстедта. для параболо-гиперболического уравнения

О = / vv ~ ~ У > °>

1 Vyy - (-ij)m(vxx + vzz), у < 0, т > О, в бесконечной цилиндрической области.

А.Н. Кучкаровой [38] для общего уравнения смешанного типа

Ьи ее К{у)ихх + иуу + А(х, у)их + В(х, у)иу + С(х, у)и = F{x, у), где у К (у) > 0 при уф О, К (у), А(х,у), В(х,у), С(х,у), F(x,y) -заданные достаточно гладкие функции, исследованы задачи G\ и С2 • Установлен принцип экстремума и на его основании получены теоремы единственности решения задач.

К.Б. Сабитов, А.Н.Кучкарова [57] изучили спектральные свойства решения задачи G\ и показали применения этих свойств при построении решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Бицадзе методом биортоганальных рядов.

В последние годы жизни В.Ф. Волкодавовым рассмотрены краевые задачи для уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа, для которых линия изменения типа есть их характеристика. В постановках этих задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка и интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в данном направлении были опубликованы в работе Волкодавова. В.Ф., Наумова О.Ю. [17], где рассмотрена краевая задача для уравнения

Q = / иXX + Uyy, У > О, иху = 0, у < 0, в области ограниченной гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А(0,0) и 5(1,0) оси у = 0, и отрезками прямых АС(х + у = 0) и СВ(х = 0) в полуплоскости у < 0, с условиями: и{х,у) € С(О), V(u) = 0 на П+ Uf2, w|r = ^(s), se[0,Z], и\св = д(у), ye [-1,0],

Н+(х) = 6(х)Я(ж), ж €(0,1), где ^(й), д(у), Ъ{х) - заданные функции, й - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В{ 1,0), I - длина кривой Г, х я+(,) = /(*-СХ(г, о)Л,о<р<1,1е[о,1], а;

Н-{х) = lim (x-t)~xu(x, -t)dt, 0 < Л < 1, y->-0J

-у Пп(у > 0), П- = а П (т/ < 0).

Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.О. Плотниковой [51] для уравнения смешанного типа

Q Г Uxx + Uyy - Xu, у > 0, иху + А и, X = const, у < 0.

H.A. Куликовой в работе [37] изучены краевые задачи, условие сопряжения которых содержат производные дробного порядка, для уравнений а

Lu = uxv Н--ич — 0, a G М, а ^ 0, х + у в ограниченной области и

S (и) = иху Н---— (их + Чу) = 0, 0 < 2q < 1, х у в неограниченной области.

Е.А. Баровой в работе [3] рассматриваются краевые задачи с производными дробного порядка в условиях сопряжения для двух классов уравнений смешанного типа

Ьи = | ■ "УУ

Uxx + иуу = 0, У> 0, uxy + q[lna(x)]'uy = 0, у< 0, qeR, q ^ 0; а (х) G С1 [0, 1]; а (х) > 0, х € [0, 1], и V ихх + иуу + -их = 0, 0 < р < 1, у > 0, Ьи= { р 1Х иХу + - —■— (их + иу) = 0, у < 0. 2 х + у

С аналогичными условиями сопряжения изучены краевые задачи О.В. Фадеевой [72] для уравнения смешанного типа с двумя линиями сингулярности ихх + иуу + + ^иу -О, 0 < 2р < 1, у > О,

Ь<^> - \ Пху ^ 2Р 2 (у их — х иу) = О, 0 < 2д < 1, у < 0. У

В работе Егоровой И.П. [23] рассмотрены нелокальные задачи с подобными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа второго рода ихх + утиуу = 0, 0 < т < 1, у > 0, х + у иху - -—7 (и* + = 9 = 2/ <

Целью данной работы является постановка и обоснование теорем существования и единственности задач типа Геллерстедта с нелокальными интегральными условиями сопряжения для уравнения смешанного типа

Ь (и) : <

Утихх + иуу = 0, у > 0, иху---— ('их - иу) = 0, у < 0, X < 0, х — у д у иХу Н--;-(их + Чу) = 0, у < 0, X > 0, х + у

5) где т т > 0, а = —т——тт"• ' 1 2 (гп + 2)

Уравнение (5) при у > 0 совпадает с обобщенным уравнением Трикоми, а при у < 0 то же самое уравнение записано в характеристических координатах, что позволяет при минимальных условиях на граничные функции доказать существование классического (а не обобщенного, как было в работах К.И. Бабенко и других) решения в области гиперболичности.

В постановке предложенных задач условия сопряжения на линии изменения типа содержат производные и интегралы дробного порядка. Введение этих новых условий сопряжения вызвано тем, что линия изменения типа у = 0 является характеристикой уравнения (5). В силу этого известное условие сопряжения иу(х, 0 + 0) = иу (х, 0 — 0) не подходит.

Перейдем к изложению основного содержания диссетации, которая состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению вопросов существования и единственности решения задачи типа Геллерстедта с данными на характеристиках для уравнения (5) в области В, ограниченной при у > 0 кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > 0, с концами в точках А (—1, 0) и В (1, 0), и при у < 0 отрезками прямых ж = — 1, у = х, у = —х, х = 1.

Пусть В+ = В П {у > 0}, В1 = В П {х < 0, у < 0}, В2 = В П {х > 0, у < 0}, £> = В1 и В2\ х = х (б) , у = г/(в), 0 ^ б ^ I - параметрические уравнения кривой Г, где я - длина дуги кривой Г, отсчитываемая от точки В против часовой стрелки, I -длина кривой Г.

В § 1.1 для уравнения (5) в области В\ и В2 в явном виде построены решения задач Гурса.

В § 1.2 и § 1.3 доказаны единственность и существование решения задачи типа Геллерстедта в следующей постановке.

Задача типа Геллерстедта (Задача У\). Найти в области В функцию и (х, у), удовлетворяющую следующим условиям: и (ж, у) Е С (В) П С2 (В+) П С1 (£>), иху е С ; (6)

Ьи = 0, (ж, у) е В+иВ-] (7) и(х. У) 1г = ^(й) , 0 ^ 5 ^ (8) у)=ФЛу),уе[-1, 0]; (9) и(1,у)=ф2(у),уе[-1,0}-, (10)

11) где иу (х, +0) = — г>1 (ж), же (—1, 0), иу (ж, +0) = у2 (ж), же (0, 1), о сзI С

VI (ж) = — / (г - ж)~А (£, 0) ей + ах 7 X 0 У (¿-ж)~Ли2(ж, 0 < Л < 1, ж Е (-1, 0) , (12) х при этом -(¿1 (ж, у)- решение задачи Гурса для уравнения (5) в области В1 с данными: щ (ж, 0) = т\ (ж), —1 ^ ж < 0, п(-1) - 0, у) = 0, -1 ^ у < 0;гг2(ж, у) решение задачи Гурса для уравнения (5) в области В1 с данными: и2 (ж, 0) = 0, -1 ^ ж < 0, и2 (-1, у) = ф1{у),-1^у^ 0, ф1 (0) = 0, X с1 С у2 (ж) = — / (ж - ¿Гг щ и, 0) М + ах 7 о J (ж -t) ru2{x, -t)dt, 0 < r < 1, ж E (0, 1), (13) 0 a u\ (ж, у)- решение задачи Гурса для уравнения (5) в области D2 с граничными условиями: щ(х, 0) = т2 (ж) , 0 ^ х ^ 1, т2 (1) = 0, щ (1, у) = 0, — 1 ^ у ^ 0; U2 (ж, у) - решение задачи Гурса для уравнения (5) в области D2 с граничными условиями: и2 (х, 0) = 0, 0 ^ ж < 1, U2 (1, у) = ф2(у), -1 ^ у < 0, ф2(0) = 0, причем 4>i (У) > Ф2 {у), (s) - заданные достаточно гладкие функции, (0) —

Исходя из представлений функций (ж) и (х) доказан следующий принцип локального экстремума.

Лемма 1. Пусть и(х,у) Е С ^Dявляется решением уравнения (5) в области D\ и it(—1, у) = 0. Тогда если Т\(х) = и (ж, 0), Ti (x) Е С[-1, 0] П С1 (—1, 0), т[(х) Е Li[-1,0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего полоэ/сительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (—1,0), то vl (£) < 0 vl (О > о).

Лемма 2. Пусть и (х, у) £ С является решениелг уравнения (5) в области D2 и и{ 1, у) = 0. Тогда если т2 (х) = и (ж, 0), г2 (ж) Е С [0, 1] П С1 (0, 1) , 7*2(ж) Е Li[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (0, 1), то v2 (£) > 0

К (О < 0).

На основании лемм 1 и 2 установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области D.

Лемма 3. Пусть функция и(х, у) удовлетворяет условиям (6), (7), (11) и и(—1,у) = и(1,у) = 0. Тогда если тахи(х,у) =

D4 и (Q) > 0 (тт-и (ж, у) = u{Q) < 0), то максимум (минимум) u(Q) D+ достигается на кривой Г.

Отметим, что при доказательстве данной леммы основная трудность заключалась в том, что надо было показать, что максимум решения и(ж, у) по замкнутой области D не может достигаться в угловой точке О границы области D. Этот факт удалось установить на основании метода, предложенного в работах [55, 61].

Теорема 1. Если существует решение задачи (6) - (10), то оно единственно.

Справедливость теоремы следует из леммы 3.

Доказательство существования решения задачи У\ для уравнения (5) для простоты вычислений проводится для случая, когда кривая Г совпадает с "нормальной"кривой Г0 (2). В области Б+ в качестве искомого решения берется решение задачи Хольмгрена с граничными условиями: и|г = ц> (а;), —1 ^ х ^ 1; иу(х, 0 + 0) = у{х) , —1 < х < 1, считая известной функцию ь>(х). В областях и за искомое решение возьмем решение задачи Гурса, предполагая известными функции 7-1(2;) = и (х, 0), — 1 < х < 0 и Т2{х) — и{х, 0), 0 < х < 1. Теперь на основании формул решения задач Гурса в областях и вычислим о ^ / П (*)(*-я)"* +Ф1(а;), (14) х X

Л /* где о о

ФДх) = кг I {з - х)1~ч~х (1 + з)4 х х xF^l-q,q^2-q-X■ (з) ¿з, (16)

Г (1 — А) Г (2 — 2д — А) ~ , . „ . ч Ч . , ч ** = - ГЦ2-Я-Х) ' ф1 {8) = (5) + ТТ^1 (в)' о

Ф2(®) = к2 I (з + х)1-1~г (1 + зУ ф2 (з) х х

1з, (17)

Г (1 — г) Г (2 — 2д — г) ~ . . ,, . , я . , . к2 = ~ Г2(2дг)-^ ^ (3) = $ (5) + ^ (*) ■

Исходя из формулы решения задачи N при у —> 0 + 0, получим функциональное соотношение между функциями т(х) = и(х, 0 + 0) и у(х) = иу(х, 0 + 0): т (ж) = -Ь ! и (£) -1 ж - - (1 - гху2Л (И + Ф (х), -1 < X ^ 1,

18) где

Ф (¡с) = 2к1Ч (1 - д)-2" (1 - х2) I

-1

2Ч г>2 кл =

1+ж2-2ж£)1+,г

Г2(<?)

ОЙ,

47Г \т + 2/ Г (2д)

Учитывая условия сопряжения (11), в равенстве (18) вместо % (ж, 0 + 0) = 1у(х) подставим значения функций г»1(ж) и определенных соответственно формулами (14) и (15). Тогда равенство (18) принимает вид о о т(х)=к11 ! т[ (5) (в - ¿ГА (¿3 х - ¿Г2" - (1 - 1х)

-2(7 И

-1 г 1 г

Ь II т2 (*) (* - 5)"Г ^ [к - ^Г29 - (1 - ^)

-2д

СЙ+

0 о

Ф(ж), -1 < X < 1,

19) х - ¿Г29 - (1 - гх)

-2«

СЙ0

Ф (х) = -Ач, А:1 I ЩЬ)

-1 1 х - ¿Г29 - (1 - ¿ж)~291 ей + Ф (я).

-/со А;2 J Ф2(*) [к - ¿Г29 - (1 - ¿ж)-29] <Й + Ф (ж). (20) о

Дифференцируя последнее равенство, доказательство существования решения задачи ~У\ сводим к вопросу разрешимости интегрального уравнения относительно функции т' (х) : 1 т' (ж) + кг ¡г' (5) К (х, ¿0 ¿в = Ф' (ж), же (-1,0) и (0,1), (21) где

1^(3), 0<5<1, а ядро К (х, в) задается формулой (1.133).

Теорема 2. Ядро К (х, 5) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(ж, б) : —1 < < 1} , за исключением линий х = в, х — —1, 5 - I. х — 1, 5 = 1, и справедлива оценка

Cl (|а;-.!|А+2<г + (1+ж)Л+2'7 + (1+s)A+2? + \x-s\24(\+sy

IК(х, 5)1 <<

I |ж6.|г+29 + ^ху+2Ч + (la)r+2, + l^-spq^.^r J ,

X < 0; х > 0, где С{ здесь и далее - положительные постоянные.

Из теоремы 2 следует, что если А + 2q < 1, г + 2q < 1, то ядро К (х, s) на особых линиях имеет особенность порядка меньше единицы. Поэтому уравнение (21) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

Лемма 4. Если функции ф{х) = (1 — x2y~2qTp{x), tp(x) £ С [—1, 1], ^х (у) е С [-1, 0] п С1 (-1, 0), ^1(2/)gLiK0], ф2(у)е С [0, 1]ПС! (0, 1) , ф'2 (у) е Li[0,1], ipi (-1) = ф2 (1) = 0, то функция ф (х) е C[—i, 1] п С1 ((-1, о) и (о, 1)), ф' (х) е Lx[-1,1].

Следствие 1. Если X — г и существуют конечные пределы lim ф\(х), lim ф2{х), и они равны между собой, то х—»0+0 х—>0+0

Ф (х) 6 ^(-1,1), Ф'(х) GLi[-1,1].

Однозначная разрешимость интегрального уравнения (21) в классе функций С ((—1,0) U (0,1)) П Li [— 1, 1] следует из теоремы единственности решения задачи Vi и альтернативы Фредгольма.

Теорема 3. Если функции <р(х), ф\(у), ф2{у) удовлетворяют условиям леммы ^ и г + 2g < 1, А + 2g < 1, то существует единственное решение задачи Vi.

Вторая глава посвящена изучению задачи типа Геллерстедта с данными на нехарактеристических линиях для уравнения (5) в той же области D (см. стр. 10). Единственность решения доказана исходя из принципа экстремума, а доказательство существования редуцируется к однозначной разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Задача Уг. Найти в области И функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и (ж, у) ее (В) П С2 (Я+) П С1 (£>) , иху Е С (£>); (22)

Ьи = 0, (х, у) Е и (23) м(яг>г/)|г = ^(в),0<в</; (24) и (х, х) = ф\ (ж), х Е [-1, 0] ; (25) и(х, -х) =ф2(х), х Е [0, 1]; (26)

27) где иу(х,+0) = у1(х), х Е (-1, 0); иу(х, +0) = -у2(ж), х Е (0, 1), X

I/ Р

У1 {х) = — / {х-¿гАщ (¿, о)<и + ах ] -1 о J(г-х)~хи2(х, г)ей, о < л < 1, х е (-1, о), X при этом щ (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области с данными: щ (ж, 0) = т\ (ж), — 1 ^ ж ^ 0, т\ (0) = 0,^1 (ж, ж) = 0, —1 ^ ж ^ 0; и2 (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области с данными: и2 (ж, 0) = 0, —1 ^ ж ^ 0, и2 (ж, ж) = ф^х), фг (0) = 0, 1 с1 С

VI (ж) = — / - ж)~г щ (¿, 0) ей + ах J J (х- г)~т 42 (ж, -£) ей, 0 < г < 1, ж Е (0, 1), о а (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области В2 с граничными условиями: щ (ж, 0) = т2 (ж) ,0 ^ ж ^ 1, т2 (0) = 0, г¿l (ж, —ж) = 0, —1 ^ ж ^ 0; и2 (ж, у) - решение задачи Дарбу для уравнения (5) в области И2 с граничными условиями: и2 (ж, 0) = 0, 0 ^ ж ^ 1, и2 (ж, —ж) = ф2 (ж), — 1 ^ ж ^ 0, ф2 (0) = 0, причем ф\ (ж), ф2 (ж), ф (5) - заданные достаточно гладкие функции.

Предварительно в областях 1)1, £)2 методом Римана-Адамара строится в явном виде решение задачи Дарбу. На основании формул решения задачи Дарбу в областях и В2 вычислены г>1, и2 : X А I (ж - ¿ГА Т! (¿) ей + ФхОг), (28)

-1 1 л /" у- ^ = ^ / ^ ~ Г2 (£) ^ + (29) х где Ф1(ж) имеет вид о

Фг(х) = к1 I ~ (5) (30) X

Г (1 — д) Г (2 — 2д — Л) ^ ~ Г (2 — д — А) Г (2 — 2д) " X

Щх) = к2 I (х-з)~гф2(з) £¿5, (31) о Г (1 — д) Г (2 — 2д — г) - Г (2 — д — г) Г (2 — 2д) " 2?)'

На основании (28) - (31) установлена справедливость следующих утверждений.

Лемма 5. Пусть и(х,у) € С ^Г) является решениел1 уравнения (5) в области и и(х, х) = 0. Тогда если и(х, 0) = Т\ (ж) из С[-1, 0] П С2 (-1, 0), т[{х) € £[-1,0], достигает на сегменте [—1, 0] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ е (—1,0), то г>1 (£) > 0 {у1 (0 < 0).

Лемма 6. Пусть и (х, у) £ С является решением уравнения (5) в области В2 и и(х, ~х) = 0. Тогда если и(х, 0) = т2 (х) из класса С [0, 1] П С2 (0, 1) , т2 (х) Е Ь[0,1], достигает на сегменте [0, 1] наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения в точке £ Е (0, 1), то г>2 (£) < 0 (и2 (£) > 0).

На основании лемм 5 и 6 установлен принцип экстремума для уравнения (5) в смешанной области И.

Лемма 7. (Принцип экстремума). Пусть функция и(х,у) удовлетворяет условиям (22), (23), (27) и и(х, х) = и (ж, —х) = 0. Тогда если max и (ж, у) = и (Q) > 0 (mintt (ж, у) = u(Q) < 0), то

D+ п+ максимум (минимум) u(Q) достигается на кривой Г.

Доказательство существования решения задачи V2 эквивалентно редуцируется к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма II рода 1 т' (ж) + k3 J г' (s) Я (ж, s) ds = F' (х), -1 < X < 1, (32) где функции Н(х, s) и F(x) задаются соответственно формулами (2.62) - (2.68) и (2.90 ) - (2.91 ) из главы 2.

Теорема 5. Ядро H(x,s) бесконечно дифференцируемо в квадрате {(ж, s) : —1 < ж, s < 1} за исключением линий ж = s, s = 0, ж = 0. При этом справедлива оценка

Н (ж s) | < { СЗ (|a;-slA+29 + + Мг(-*)2«) (1а;5)г+2Ч + Isl^a;2«) '

Лемма 8. Если функции ip(ж) = (1 — ж2)12<?^(ж), ^(ж) £ С [-1, 1], ^ (у) £ С [-1, 0] П С1 (-1, 0), Vi (3/) е 0], Ф2 (у) £

С [0, 1] П С1 (0, 1), -ф'2 {у) £ Li[0,1], <01 (0) = ф2 (0) = 0, то функция F (ж) £ С[-1,1] П С2 (-1,1), F' (ж) £ Li[-1,1].

В силу единственности решения задачи V2 и альтернативы Фредгольма интегральное уравнение (32) разрешимо в классе функций С1 (—1,1) П Ь\[— 1,1] и притом единственным образом.

Теорема 6. Если функции </?(ж), фх(х), ф2(х) удовлетворяют условиям леммы 8, г + 2q < 1, А + 2q < 1, то существует единственное решение задачи (22) - (27) .

Таким образом, на защиту выносятся следующие результаты:

1. Постановка и обоснование корректности краевых задач для смешанного эллиптико-гиперболического уравнения с разрывными коэффициентами на переходной линии.

2. Экстремальные свойства решений уравнений гиперболического и смешанного эллиптико - гиперболического типов и применение ж < 0; ж > 0. этих свойств при изучении задач типа Геллерстедта с неклассическими условиями сопряжения.

3. Теоремы единственности и существования решения краевых задач типа Геллерстедта с нелокальным интегральным условием сопряжения на линии изменения типа и их доказательства.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в работах [85] - [93]. Результаты диссертационной работы докладывались автором и обсуждались:

• на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д. ф.-м. н., проф. В.Ф. Волкодавова (г. Самара, СамГПУ, 2004 - 2005 гг.);

• на научных семинарах по теории дифференциальных уравнений под руководством д. ф.-м. н., проф. К.Б. Сабитова (г. Самара, СамГПУ, г. Стерлитамак, СФ АН РБ, 2006 - 2010 гг.);

• на научном семинаре кафедры уравнений математической физики под руководством д. ф.-м. н., проф. JI.C. Пулькиной (г. Самара, СамГУ, ноябрь 2010 г.);

• на научном семинаре под руководством д. ф.-м. н., проф. Солдатова, А.П. и Мейрманова A.M. (г. Белгород, НИУ БелГУ, март 2011 г.).

• на первой международной паучно-практической конференции, посвященной памяти профессора Б.М. Бредихина "Математическое образование: прошлое, настоящее, будущее" ( 1-2 ноября 2006г., г. Самара, СамГПУ);

• на всероссийской конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(29 января - 2 февраля 2007г., г. Самара, СамГУ);

• на международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилеям академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (г. Стерлитамак, 24 - 28 июня 2008г., СФ АН РБ);

• на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летшо ректора МГУ академика В.А. Садовничего ( 30 марта - 02 апреля 2009г., Москва, МГУ);

• на второй всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти заслуженного деятеля науки РФ, профессора В.Ф. Волкодавова "Интегративный характер современного математического образования"( 26 - 28 октября 2009 г., г. Самара, ПГСГА);

• на второй международной конференции "Математическая физика и ее приложения"(29 августа - 4 сентября 2010г., г.Самара, МИАН, СамГУ).

В заключение автор выражает глубокую благодарность научным руководителям: доктору физико-математических наук, профессору

Волкодавову В.Ф. за предложенную тему, доктору физико-математических наук, профессору, члену-корреспонденту АН РБ Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания, постоянную помощь и поддержку при выполнении данной диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Скороход, Анна Владимировна, 2010 год

1. Бабенко, К. И. К теории уравнений смешанного типа / К.И. Бабенко // Успехи математических наук. 1953. Т. 8. № 2 (54).- С. 160.

2. Бабенко, К. И. О ириципе максимума для уравнения Эйлера-Дарбу / К.И. Бабенко //ДАН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777 -782.

3. Барова, Е. А. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со специальными условиями сопряжения / Е.А. Барова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КРУ, 2007. - 16 с.

4. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи // Т. 1. М.: Наука, 1965. 296 с.

5. Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Вере, Ф. Джон, М. Шехтер // М.: Мир, 1966. 351 с.

6. Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / A.B. Бицадзе // М.: Наука, 1966. 204 с.

7. Бицадзе, А. В. Уравнения смешанного типа / A.B. Бицадзе // М.: Изд во АН СССР, 1959. - 164 с.

8. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах для уравнений смешанного типа / A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1953. - Т. 122. - № 2. - С. 167- 170.

9. Бицадзе, A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе // М.: Наука 1981. - 448с.

10. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида / Неклассические уравнения математической физики // В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд во Института математики СО РАН, 2002. -С.41 - 49.

11. Волкодавов, В. Ф. Метод Римана-Адамара для уравнения Эйлера Дарбу и его применение / В.Ф. Волкодавов, В.Е. Жуков. -Самара.: СГПУ. - 2002. - 32с.

12. Волкодавов, В. Ф. Таблицы некоторых функций Римана, интегралов и рядов / В.Ф. Волкодавов и др.]. Куйбышев.: КГПИ. - 1982. - 52с.

13. Волкодавов, В. Ф. Принцип локального экстремума и его применение к решению краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными. Дисс. . доктора физ.-мат. наук. - Куйбышев, 1968. - 187с.

14. Волкодавов, В. Ф. Характеристический принцип локального экстремума для одного уравнения гиперболического типа и его применение/ В.Ф. Волкодавов, Ю.А. Илюшина// Изв. ВУЗов. Математика. 2002. - № 4. - С. 13 - 17.

15. Волкодавов, В. Ф. Задача Д2 для уравнения гиперболического типа с сопряжением пределов производных дробного порядка/ В.Ф. Волкодавов, H.A. Куликова //Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - № 12. - С. 1704 - 1707.

16. Волкодавов, В. Ф. К вопросу о единственности решения задачи Геллерстедта/ В.Ф. Волкодавов, М.Е. Лернер //Дифференциальные уравнения. Труды Пед. Инст. РСФСР, вып. 6. Рязань,1975. - С. 55 - 56.

17. Волкодавов, В. Ф. Для уравнения смешанного типа задача Т с сопряжением специального вида// Неклассические уравнения математической физики./ В.Ф. Волкодавов, О.Ю. Наумов. -Новосибирск: Изд-во Института математики, 2002. С. 41 - 49.

18. Врагов, В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений / В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8. - № 1. - С. 7 - 16.

19. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / ФД. Гахов. М.: Наука, 1977. -640 с.

20. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

21. Губайдулин, К. А. О единственности решения задач Геллерстедта для уравнения смешанного типа// Материалы 27-й межвузовской научной конференции математических кафедр пед.институтов Уральской зоны . Ижевск, 1969. - С.50 - 54.

22. Джураев, Т.Д. Задача Геллерстедта для параболо-гиперболического уравнения в трехмерном пространстве/ Т.Д. Джураев, Ю.П. Апаков// Дифференциальные уравнения. 1990.- Т. 26. № 3. - С. 438 - 448.

23. Егорова, И. П. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа второго рода / И.П. Егорова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КГУ, 2010. - 16 с.

24. Ежов, A.M. Оценка решения задачи Трикоми для одного класса уравнений смешанного типа / A.M. Ежов, С.П. Пулькин // ДАН СССР, 1970. Т. 193. - №5. - С.978 - 980.

25. Зарубин, А. Н. Об одной задаче для уравнения смешанного типа, с тремя линиями параболического вырождения / / Дифференциальные уравнения. Труды пединститутов РСФСР. -1976. № 8. - С. 40 - 49.

26. Жегалов, В. И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллерстедта / В.И. Жегалов // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений матем. физики. Новосибирск: 1981. -С. 58 - 61.

27. Исамухамедов, С.С. Краевые задачи Геллерстедта для одного уравнени смешанного типа второго рода / С.С. Исамухамедов j / / Дифференц. уравнения с частными производными и их применения. Ташкент: Фан, 1977. - С. 33 - 40.

28. Калъменов, Т. Ш. О спектре задачи Геллерстедта / Т.Ш. Кальменов // Теоретические и прикладные задачи математики и механики. Институт матем. и мех. АН Казах.ССР 1977. - С. 167- 169.

29. Косовец, A.A. Единственность решения задачи Трикоми для уравнения Чаплыгина с комплексным спектральным параметром: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М.,: Изд-во МГУ, 1991. -20 с.

30. Кожанов, А. И. Краевые задачи и свойства решений уравнений третьего порядка / А.И. Кожанов / / Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - № 25. - С. 2143 - 2153.

31. Кожанов, А. И. Об одной регуляризации уравнений переменного типа / А.И. Кожанов, H.A. Ларькин, H.H. Яненко // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 52. - № 3. - С. 525 - 527.

32. Коржавина М. В. Решение некоторых краевых задал для уравнения S в неограниченных областях. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Куйбышев: КГПИ, 1978. - 122 с.

33. Котляков, Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: ГИФ-МЛ, 1962. - 768 с.

34. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

35. Крикунов, Ю. М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе //Изв. вузов. Математика. 1974. - № 2(141). - С. 76 -81

36. Крикунов, Ю. М. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа / Ю. М. Крикунов. Казань: Изд - во Казанского государственного университета, 1968. - 148 с.

37. Куликова, Н. А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического типа с вырождением в одной точке.- Автореф. дисс. . канд. физ.-мат наук: 01.01.02/ H.A. Куликова.- Стерлитамак: СГПА, 2006. 14 с.

38. Кучкарова (Байназарова), А. Н. "Экстремальные и спектральные свойства решений задач Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения"/ А.Н. Кучкарова //Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук. Казань: КГУ, 2002. - 16 с.

39. Кучкарова (Байназарова), А.Н. К вопросу о единственности решения задали Геллерстедта. для уравнений смешанного типа / / Ред. Сиб. математический журнал. СО РАН -Новосибирск, 2001, 21с. Деп. в ВИНИТИ 29.08.2001 № 1915.

40. Лаврентьев, М. А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе // ДАН СССР. 1950. - Т. 70, №3. - С. 373 - 376.

41. Люк, Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / Ю. Люк // М.: Издательство "Мир", 1980. - 608 с.

42. Михлин, П. М. Лекции по линейным интегральным уравнениям./ Н.М. Михлин. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

43. Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. — М.: МГУ, 1988. — 150 с.

44. Моисеев, Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. -т. - С. 93 - 1003.

45. Моисеев, Е. И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа / Е.И. Моисеев / / Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28. - №1. - С. 110 - 121.

46. Нахушев, A.M. Об одном трехмерном аналоге задачи Геллерстедта// Дифференциальные уравнения.- 2068.- Т.4. № 1. - С. 52 - 62.

47. Плещинский, Н. Б. Об эквивалентности задачи типа Геллерстедта задаче Римана для системы функций/ Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ 1977. - Вып. 14. -С. 194 - 205.

48. Плещинский, Н. Б. Применение метода интегральных уравнений к решению задачи типа Геллерстедта /Н.Б. Плещинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: КГУ 1982. - Вып. 18. -С. 144 - 145.

49. Полосин, A.A. О разложении решения обобщенной задачи Геллерстедта в биортогональный ряд / A.A. Полосин // Дифференциальные уравнения. 1996. - Т.32. - № 1. - С. 435 -437.

50. Плотникова, Ю.А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов со специальными условиями сопряжения. Автореферат. . канд. физ.-мат. наук — Стерлитамак: СГПА, 2005 14 с.

51. Пулькин, С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта / С.П. Пулькин // Известия вузов. Математика. -1960. №6(19). - С.38 - 41.

52. Пулькин, С. П. Некоторые краевые задачи для уравнений ихх ± иуу + ^их = 0 / С.П. Пулькин // Ученые записки КГПИ. -Куйбышев. 1958. - Выпуск21. - С. 3 - 41.

53. Пулькина, Л. С. Нелокальная задача с интегральным условием для гиперболических уравнений / J1.C. Пулькина // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40. - №12. С. 887 -892.

54. Сабитов, К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К.Б. Сабитов. //Диффиальные уравнения. -1988. Т.24, №11. - С. 1967 -1976.

55. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения / К.Б. Сабитов, A.A. Карамова, Г.Г. Шарафутдинова// Изв.вузов. Математика. 1999. - № 11. - С. 70-80.

56. Сабитов, К. Б. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнений смешанного типа и их применения / К.Б. Сабитов, А.Н. Кучкарова. //Сибирск.матем.журн. 2001-Т.42 - № 5.- С. 1147 - 1161.

57. Сабитов, К. Б. Уравнения математической физики / К.Б. Сабитов. М.: Высшая школа, 2003. - 255 с.

58. Сабитов, К. Б. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения / К.Б. Сабитов, Г.Г. Шарафутдинова // Изв.вузов. Математика. 2003. - № 5. - С. 21 - 29.

59. Сабитов, К. Б. Функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения / К.Б. Сабитов М.: Высшая школа, 2005. - 671 с.

60. Сабитов, К. Б. К теории уравнений смешанного типа с двумя линиями изменения типа / К.Б.Сабитов, Г.Г. Биккулова, A.A. Гималтдинова // Уфа: Гилем . - 2006. - 150 с.

61. Сабитова, Ю. К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Известия вузов.Математика. 2009. - № 12. - С. 49 - 58.

62. Смирнов, М. М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов // М.: Наука, 1970. 296 с.

63. Смирнов, М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 295 с.

64. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов //- М.: Высшая школа, 1985. 304 с.

65. Солдатов, А. П. О единственности решения одной задачи A.B. Бицадзе / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения. -1972 Т.8 - № 1 - С. 143 - 146.

66. Солдатов, А. П. Решение одной краевой задачи теории функции со смещением / А. П. Солдатов // Дифференциальные уравнения.- 1974. Т. 10 - № 1 - С. 143 - 152.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1962. - 724 с.

68. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1947.- 192 с.

69. Трикоми, Ф. Дифференциальные уравнения / Ф. Трикоми // М.: ИЛ, 1962. 351 с.

70. Фадеева, О. В. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов с нелокальными условиями сопряжения. Автореф. дисс. . канд. физ. мат. наук / О.В. Фадеева. -Стерлитамак. 2007. - 16 с.

71. Франклъ, Ф. И. О задачах С. А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений / Ф.И. Франкль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. - Т. 9. №2. - С. 121-142.

72. Франклъ, Ф. И. Избранные труды по газовой динамике / Ф.И. Франкль // М.: Наука, 1973. 711 с.

73. Хайруллин, Р. С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода / Р.С. Хайруллин // Сибирский математический журнал. 1994. - Т. 35. - №4. - С. 927 -936.

74. Хе, Кан Чер. О единственности решения задачи Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Хе Кан Чер. // Сибирск.матем.журн. 1977. - Т. 18.- № 6,- С. 1426 - 1429.

75. Хе, Кан Чер. О задаче Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа / Хе Кан Чер.// Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. - Т. 26.- С. 134 - 141.

76. Чаплыгин, С. А. О газовых струях / С.А. Чаплыгин // М.-Л.: ГИТА, 1949. 144 с.

77. Agmon, S. A maximum principia, for a class of hyperbolic equationsd and applications to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M.N. Protter // Communs Pure and Apple. Math. - 1953. VolVI. - №4. - P. 455 - 470.

78. Gellerstedt, S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derives particielles du second ordre de type mixt.e / S. Gellerstedt // These, Uppsala, 1935. 92 c.

79. Gellerstedt, S. Sur une equation lineaire aux derives particielles de type mixte / S. Gellerstedt // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25A.29. P. 1-23.

80. Cannon, J.R. Dirichlet problem for an equation of mixed type with a discontinius coefficient / J.R. Cannon // Ann. math, pura ed appl. -1963. V. 62. - P. 371 - 377.

81. Hopf, E.A. A remark on linear elliptic differenial equations of second order/ E.A. Hopf // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. - V. 3. - P. 791 - 793.

82. Michael, J. The will-posed Tricomi problem of two kings/ J. Michael // R/J. Math, and Phys. Sci. 1993. - V. 27. - N 6. - P. 383 - 393.

83. Morawetz, С. S. Note on maximum principle and a uniqueness theorem for on elliptic-hyperbolic equation / С.S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. - V. 236. - N 1024. - P. 141 - 144.Работы автора по теме диссертации

84. Скороход, A.B. Задача Гурса для уравнения Эйлера-Дарбу и принцип локального экстремума / A.B. Скороход // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-й научной конференции СГПУ. Самара. 2004. - С. 41 - 46.

85. Скороход, A.B. Единственность решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа/ A.B. Скороход // Конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения"( Самара, 29 января 2 февраля 2007 г.) - Самара: Изд-во "Юниверс групп",2007. С.126 - 128.

86. Скороход, A.B. О существовании и единственности задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа со специальными условиями сопряжения/ A.B. Скороход // Вестник Самарск.ГУ. Естественно-научная серия. №2 (61). - 2008. - С. 60 - 68.