Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Яковлева, Юлия Олеговна

• Яковлева, Юлия Олеговна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Яковлева, Юлия Олеговна

Содержание

Введение

1. Задачи Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками

1.1. Обобщенный гипергеометрический ряд

1.2. Характеристики и характеристические направления для линейного дифференциального уравнения и для линейной системы дифференциальных уравнений

1.3. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка

1.3.1. Построение матрицы Римана

1.3.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка

1.3.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка

1.3.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка

1.3.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка

1.4. Задачи Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка

1.4.1. Построение матрицы Римана

1.4.2. Решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка

1.4.3. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения четвертого порядка

1.4.4. Решение задачи Гурса для системы уравнений гиперболического типа четвертого порядка

1.4.5. Решение задачи Гурса для гиперболического уравнения четвертого порядка

2, Краевые задачи для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками

2.1. Задача Коши для гиперболических уравнений третьего порядка. Аналог формулы Даламбера

2.2. Задача Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка

2.3. Характеристическая задача типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка

2.4. Характеристическая задача для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка»

Введение

Исследование краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к этому типу уравнений объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их важными практическими приложениями. В то время как эллиптическим дифференциальным уравнениям в физике соответствуют, вообще говоря, состояния равновесия, гиперболические уравнения, содержащие в качестве одной из независимых переменных время применяются прежде всего для описания колебательных и волновых процессов [42].

Гиперболические уравнения с двумя независимыми переменными третьего и более высокого порядка применяются в качестве математических моделей различных процессов: нестационарного прямолинейного течения несжимаемой жидкости второго порядка [78,94]; течения жидкости Навье-Стокса-Олдройта [61]; колебания упруговязкой нити [16,17]; колебания стержня при наличии релаксации и последействия простейшего типа [36]; явление флаттера свободнонесущего крыла [37,83] и других.

Известно [42], что одним из основных вкладов в начало современной теории гиперболических уравнений второго порядка в частных производных было положено Г. Риманом [99], получившим представление решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка

иху + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = ¡(х, у).

В его работе нет общего доказательства существования и способа построения решений, а рассмотрены некоторые примеры, допускающие явное решение. В предположении, что решение задачи Коши для уравнения второго порядка существует, Риман дает изящное явное интегральное представление решения в форме, аналогичной представлениям решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка с помощью функций Грина [95].

Метод, применяемый Г. Риманом, предполагал существование вспомогательной функции, теперь называемой функции Римана, обладающей известными свойствами [42]. Хорошо известно [19,41,49], что функция Римана играет фундаментальную роль в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа и с ее помощью удается, как правило, записать решение задач Коши и Гурса в явном виде. Кроме того, Риман обосновывал свой метод получения формулы представления решения с помощью аналогии между дифференциальным уравнением и конечной системой линейных уравнений.

Идея Римана настолько изящна, что многие математики пытались перенести идею этого метода на более широкий класс уравнений. В. Воль-терра [104], Ж. Адамар [1], С. Соболев [73,102] привели аналогичную форму представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух.

Для уравнения вида

(Я+ М)и = /(:&),

дп

где И — Бп = —--—, М — линейный однородный дифференциальна; 1...охп

ный оператор с переменными коэффициентами, содержащий производные, получаемые из Б отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования, в евклидовом пространстве точек х = (х\,...хп) метод Римана применялся разными исследователями. А. Старковым [76] рас-

смотрен частный случай Ми = с{х)и. В 1895 г. Л. Биапки [91] и О. Ни-колетти [98] предложили распространение на общий случай указанного уравнения метода решения задачи Кош и, разработанного Риманом. В дальнейшем результаты Л. Бианки были переоткрыты Е. Лаэ [97] для п = 3, а позже появились публикации М. К. Фаге [81], посвященные этому же уравнению. Дальнейшее распространение метода Римана на дифференциальные уравнения с числом независимых переменных больше двух показано в работах многих авторов, в том числе Л. Н. Ляхова [46], Ю. В. Засорина [33], С. С. Ахиева [6], И. Г. Мамедова [47] и других.

Обобщение метода Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными было выполнено Е. Хольмгреном [96]. Различным аспектам исследования метода Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка посвящены работы Т. В. Чек-марева [86] и Б. Н. Бурмистрова [12], где матрица Римана построена в замкнутом виде для одной системы частного вида.

В монографии А. В. Бицадзе [10] и в монографии И. Н. Векуа [13] приведено обобщение метода Римана на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменными и кратными характеристиками, при этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана редуцируется к решению системы интегральных уравнений второго рода, которая всегда имеет единственное решение. Решения краевых задач для систем гиперболических уравнений второго порядка методом Римана приведены в работах А. А. Андреева [3,5] и других [60,68].

П. Бургатти [92] и Ф. Реллих [100] привели формулу представления Римана для линейных уравнений порядка выше второго с числом независимых переменных равным двум.

Дальнейшему развитию метода Римана для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными выше второго порядка посвящены работы А. П. Солдатова [74, 75], М. X. Шханукова [88, 89],

О. М. Джохадзе [22] и Б. Мидорашвили [21], О. С. Зикирова [35]. Локальные и нелокальные задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах М. X. Шхапукова [88,89]. В одной из его работ [88] построен аналог функции Римана для уравнения

L(u) = uxxt + d(x, t)ut + rj(x, t)uxx + a(x, t)ux + b(x, t)u = -q(x, t)

с достаточно гладкими коэффициентами. В работе А. П. Солдатова и М. X. Шханукова [74] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского.

Все вышеупомянутые авторы развивали метод Римана, отправляясь от его классического варианта, включающего в себя два основных момента: 1) функцию Римана, определяемую как решение сопряженного уравнения и удовлетворяющую граничным условиям; 2) некоторое исходное дифференциальное тождество, связывающее искомое решение и функцию Римана. Последовательное интегрирование указанного тождества приводит к формуле решения рассматриваемой задачи, записываемой через функцию Римана.

Иной вариант метода Римана был предложен и развит В. И. Жега-ловым [27,28,30], Е. А. Уткиной [29,79,80], В. А. Севастьяновым [72], А. Н. Мироновым [50-52]. В исследованиях этих авторов функция Римана определяется как решение некоторого интегрального уравнения.

Результаты A.B. Бицадзе, И. Г. Петровского, А. П. Солдатова, М.Х. Шханукова, О. М. Джохадзе, В. И. Жегалова, А.Н. Миронова и A.A. Андреева являются основой исследования краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, представленного в настоящей диссертационной работе.

Известно [42,43], что в теории гиперболических уравнений важную

роль играет понятие характеристики. Краевые задачи для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего порядка с некратными характеристиками в некоторых случаях удается решить и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара). Н. И. Мусхелишвили в своей монографии [57] отметил, что общие решения, если их возможно найти, при целесообразном использовании оказываются часто чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Таким образом, если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то очень часто возможно получить решение поставленных краевых задач.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши в действительном пространстве для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами

^ Аа(х)Оаи = В(х),

|а|<ш

где Ваи - производные функции и{х), а = (ао, а ъ . •., ап) ~~ мульти-индекс, компонентами которого служат неотрицательные целые числа, порядок производной |а| = 0:0 + ^1 + •• • + Аа — квадратные матрицы порядка N и В - вектор-столбец, и с условиями на нехарактеристической свободной поверхности 5 была впервые доказана в 1901 г. Хольм-греном [9].

Гиперболические уравнения и системы уравнений гиперболического типа второго порядка изучены наиболее детально. Их изучение послужило началом построения общей теории уравнений с частными производными. В настоящей диссертационной работе приведен аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка, не содержащего производные порядка меньше третьего. Также получено явное решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа

третьего порядка.

В настоящее время большое внимание уделяется исследованию некорректных задач, в том числе некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными.

Исследованию корректности постановки начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными порядка выше второго посвящены работы А. В. Бицадзе [10], С. С. Харибегашвили [84], Е. В. Радкевича и П. А. Захарченко [34,67], А. А. Андреева [2] и многих других [66,69].

С точки зрения постановки граничных задач наиболее хорошо изучены дифференциальные уравнения с частными производными классических типов и непосредственные их обобщения. Тем не менее, характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками изучены недостаточно. Известно [42], что классическая задача Гурса для уравнения гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными с граничными условиями на двух характеристиках из различных семейств всегда является корректной по Адамару. Неожиданный эффект, обнаруженный А. В. Бицадзе, заключается в том, что этот факт может не иметь место для линейных гиперболичееких систем уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными даже в случае простых характеристических корней. В работе [10] приводятся примеры, показывающие, что для системы второго порядка с некратными характеристиками

д2щ ^ д2щ ^ 2<92и2 =0 д2и2 ( д2и2 ( ^ р

дх2 ду2 дхду ' дх2 ду2 дхду

задача Гурса является некорректной по Адамару [1].

Естественным образом возникает вопрос о корректности по Адамару характеристических задач для гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа от двух независимых переменных тре-

тьего порядка с некратными характеристиками. Исследование корректности по Адамару характеристических задач, решения, полученные в явном виде, приводятся в предлагаемой диссертационной работе.

Цель работы. Целями диссертационной работы являются:

- построение решений краевых задач для систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками с двумя независимыми переменными;

- построение решений краевых задач для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Методы исследования. В настоящей работе использованы аналитические методы теории дифференциальных уравнений с частными производными, аналитические и алгебраические методы матричного исчисления, аппарат специальных функций.

Научная новизна. Научная новизна данной работы заключается в том, что:

- в явном виде построены матрицы Римана задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками третьего и четвертого порядка частного вида с двумя независимыми переменными;

- получены в явном виде регулярные решения задач Коши и Гурса для систем уравнений гиперболического типа с кратными характеристиками третьего и четвертого порядка частного вида с двумя независимыми переменными;

- исследованы условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения с некратными характеристиками третьего порядка с двумя независимыми переменными;

- в явном виде найдены регулярные решения характеристической за-

дачи и задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа третьего порядка, не содержащей производных меньше третьего порядка, с некратными характеристиками с двумя независимыми переменными в случае коммутирующих матричных коэффициентов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертационной работе, могут быть использованы для дальнейших исследований краевых задач для систем уравнений гиперболического типа высокого порядка. Кроме научного интереса для широкого круга математиков и специалистов, работающих в области уравнений математической физики, полученные результаты могут быть полезными при решении прикладных задач, сводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

- восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2011г.) в СамГТУ, г. Самара;

- шестнадцатой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (2012г.) в СГУ, г. Саратов;

- двадцатой международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (2012г.) в ЮФУ, г. Ростов-на-Дону;

- втором международном Российско-Узбекском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (2012г.) в КБНЦ РАН, г. Нальчик;

- третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (2012г.), г. Самара;

- девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2013г.) в СамГТУ, г. Самара;

- международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (2013г.) в НИУ БелГУ, г. Белгород;

- научном семинаре «Неклассические задачи математической физики» кафедры уравнений математической физики Самарского государственного университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. JI. С. Пуль-кина) (2013г.);

- научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета (руководитель семинара — д.ф.-м.н. В. П. Радченко) (2012г., 2013г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в публикациях [105-118], из которых 6 — в журналах из перечня ВАК. Статьи [105, 107, 109,110, 112, 113, 115, 117] опубликованы в соавторстве с А. А. Андреевым и их результаты принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка, содержащего 118 наименований. Общий объем диссертации составляет 116 страниц.

Содержание работы

Во введении приведен краткий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, отображены ее содержание, постановка задач исследования, основные результаты и подход к исследованию, а также некоторая общая информация о работе.

В первой главе рассмотрены и решены методом Римана задачи Коши и Гурса для систем линейных уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка частного вида с кратными характеристиками. Построены матрицы Римана.

Для системы

Uxxy + Пи = 0, (1)

где U (х, у) — т - мерная вектор-функция, Q — постоянная действительная (т х т) матрица, поставлены и решены следующие краевые задачи.

Задача Коши. Для системы (1) определить регулярное решение и (х, у) <Е С3(1 х М) в плоскости {(ж, у) : х € М, у G R}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = х:

ttí м лг \ ди(Х'У) I г>( ^ д2и{х,у) . ,

U {х, у) Iу=х = ———|у=х = В(х), дп2—\у=х = С(х), (2)

где А(х), В(х), С(х) G С2(М) — заданные вектор-функции, п = —• нормаль к нехарактеристической линии.

Задача Гурса. Определить регулярное решение U (х, у) G C3(D) системы (1) в области D = {(ж, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} независимых переменных, удовлетворяющее условиям на характеристиках:

U (х, у) |ж=0 = А(у), Ux (х, у) |1=0 = В (у), U (х-, у) |у=0 = С{х), (3)

где А(у), В (у), С(х) € Cl(I), I ~ (0,1) — заданные вектор-функции такие, что А{0) = С(0), С'{0) = В{0).

В разделе 1.1 приведены некоторые сведения об обобщенных гипергеометрических функциях. В разделе 1.2 настоящей диссертационной работы приведены элементы классификации гиперболических уравнений и систем уравнений гиперболического типа третьего и четвертого порядка, которые используются в дальнейших исследованиях.

В разделе 1.3 получены решения задач Коши и Гурса для системы (1) методом Римана; с использованием аппарата обобщенных гипергеометрических функций построена матрица Римана. Основные результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.1. Если вектор-функции А(х), В(х), С(х) £ C2(Rто в плоскости {(х, у) : х £ R, у G R} существует единственное регулярное решение U (х, у) Е С3(1 х М) задачи Коши (2) для системы уравнений (1).

В явном виде построено регулярное решение задачи Коши:

Уо

и (:г0, уо) = А(уо) - ± У (х - х0) (1, | тп) (А%т) - С(х))<кг-

.то

Уо

/((* - хо)2 + 1) 0^2 | т) (А(х) + + £(:*))<&-

Хо

Уо

Хо

Уо

60

Хо

где т = Ь-ъПв-Уо)

^ У"(ж - Х0)\х - Уо)П2оГ2 (з, 7--, тП) А(х)с1х,

Теорема 1.2. Если вектор-функции А(у), В (у), С(х) Е С'1(/); / = (0,1); то в области О — {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1} существует единственное регулярное решение II (ее, у) Е С3(-0) задачи Гурса (3) для системы уравнений (1).

Вектор-функция, являющаяся регулярным решением задачи Гурса, имеет вид:

и {хо, уо) = (1, | т0п) + |г0П0^2 (2, | Л(0)+

Уо

I (1, | пи) +|г!ад (Ч |

Уо

+

о

о

х0

Уо

+ У" ГС о (1, | Т!^ +

о

где То = 7/0, Т1 = (у - уо) , Т2 = -\{х - Хо)2 Уо-

Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа (1) вводится как решение некоторой специальной

задачи Гурса и имеет вид:

V(x0, у0;х, у) = (х - х0) 0F2 ^1,

3 (х - х0)2(у - у0)

а .

В разделе 1.4 получены регулярные решения задач Коши и Гурса методом Римана для системы

MU = Uxxyy + W = О,

(4)

где U (х, у) - m - мерная вектор-функция, Q — постоянная действительная (т х га) матрица; с использованием аппарата обобщенных гипергеометрических функций построена матрица Римана. Основные результаты сформулированы в виде теорем.

Теорема 1.3. Если А{х), В(х), С(х), D(x) G С3(М), то существует единственное регулярное решение U (х, у) G С'1 (К х Ж) задачи Коши для системы уравнений (4) в плоскости {(т, у) : х G M, у G К}; удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у — х:

dU(x,y).

U (х, у) |у=х = А{х),

дп

| у=х

= В X

д2и^У) I д'и(х,у) _

дп2 \у=х - \у=х—-и\Х),

где п = ~ ^^ — нормаль к нехарактеристической линии.

Вектор-функция, полученная в явном виде, является регулярным решением задачи Коши и имеет вид:

Уо

и (хо, Уо) = \] (Х- у0) 0*3 (l, \ \\ Tiî) (А"(х) - С(х))

dx+

х0

1

+ 8

Уо

3 3

1 + 8

Хо

Уо

(х - х0)(х - у0) оF3 тП^ (А"'(х) - В"{х) - С(х)) dx+

((ж - х0)(х - уо) + 1)о^з (l, | | тП\ (D(x) - 4А'(х) - 4В(х))

dx—

Xq

Уо

j ~ " уо)'п°Гз (2' ЬIтГ2) {А"{х) ~с(х))

dx—

1

9

Xq Уо

5 5

(х - х0)\х - уо)2П0Р3 2, -, -; тП (А'(х) + В(х))

2' 2

dx-

Xq

Уо

3600

(х - х0)\х - y0)4n\F3 (з, \ У тП) (А'(х) + В(х))

dx—

х0

1

2

У о

(х - х0)2(х - уо) 0F3 ( 2, т^ ) А(х

5 5

2' 2' •")

dx—

Xq

Уо

225

х - xQ)\x - y0)3n20F3 ^3, 7-, тП) A(x)

dx-

X0

Уо

529600

(x - Xo)%x - уо)5П3 0F3 (^4, |; rfi) A{x)

dx + A (i/o),

XQ

где T = --^—

Теорема 1.4. Если А(у), В (у), С(х), D(x) G Cl(ï), I = (0,1), то существует единственное регулярное решение

U (ж, у) е CA{D) задачи Гурса в области D = {(ж, у) : 0 < х < 1,0 < у < 1} для системы уравнений (4), удовлетворяющее условиям на характеристиках:

U (х, у) | х=о = А(у), Ux (х, у) |х=0 = В (у), U (z, у) |у=о = С{х), Uy (х, у) |у=о = D(x).

Методом Римана постоено регулярное решение задачи Гурса в явном виде:

U Оо, Уо) = А{уо) ~ ЗДоо^з ^1, r0nj В'(0)+

х0

+ J Уо (-0^3 (l, \ \\ Т^ + ^ад (Ч | | Г!^ D'(x)dx+

о

Хо

+1 (оF3 (l, | | Tlnj +|qt10F3 (2, | | C'(x)dx+

+§-51 (п»7?о*8 (з, 1 ¡; т,п)) С"(х)<&+

О

Уо

+1х0 | | т2<^) +2т2ЗД (Ч | | В'Шу+

о

Уо

о

1С/1 / 7 7 \

+ 225 У ~ Уо^2т2оРз ( 3' 2' 2' ТгП)

о

Уо

16 Г ( 9 9 \

+ 33075 У ^ ~ ( 4' 2' 2' Г2П)

о

где

ГО = 2/0» Т1 = Уб^ ~ 72 = ^ ~~ '

Матрица Римана задач Коши и Гурса для системы уравнений гиперболического типа (4) вводится как решение некоторой специальной задачи Гурса и имеет вид:

У(х0, уо]х, у) = (х- х0) (у - Уо) о^з ^ ——^^——.

Во второй главе рассмотрены характеристическая задача и задача Коши для системы уравнений гиперболического типа с некратными характеристиками третьего порядка вида

А иXXX

+ вихху 4- Сихуу -+- иууу — 0, (5)

где А, В, С — постоянные попарно коммутирующие матрицы второго порядка с различными собственными значениями, II (х, у) — двумерная вектор-функция.

Для разделения исследуемой системы на отдельные уравнения в формуле (5) выполнена замена и — ТУ (при с^ Т ф 0) и совершен переход

к системе вида

А.аУххх + ^вУхху + ксУхуу + Уууу = 0, (6)

где Т - матрица преобразования, одновременно приводящая матрицы А, В, С к диагональной форме Ад, Л сВ этом случае система (6) распадается на два отдельных уравнения вида

а1^ххх + ЬУхху + С1 У1хуу + У1ууу = О, «2 У2ХХХ + Ъ2у2сху + с2у2хуу + У2Ш = О, характеристическое уравнение каждого из которых имеет три различных

отличных от нуля корня А1 > > Аз и ¡лх > ¡л2 > соответственно.

Раздел 2.1 содержит необходимые предварительные построения, включая решение задачи Коши для гиперболического уравнения третьего порядка

«о иххх + <21 ихху + а2ихуу + а3иууу = 0, (7)

где ао, ох, а2, а3 — некоторые действительные ненулевые постоянные, и решение задачи Коши для гиперболического уравнения

ихху У'хуу ~ 0- (3)

Приведена известная теорема 2.1 Хольмгрена существования и единственности решения задачи Коши [9]. Построен аналог формулы Далам-бера для уравнений (7), (8). Результаты сформулированы в виде лемм.

Лемма 2.1. Обш,ее решение уравнения (8) из класса С3(МхМ) представляется в виде суммы и(х, у) = ¡{х — С{) +д{у — С2) + Н(х-\-у~ любых трех функций f,g и /г из класса С3(К) от аргументов х — С\, у — С2, х + у — Сз соответственно, где С2, — произвольные константы из М.

Лемма 2.2. Если а(х), /3(х), у(х) £ С3(М); то существует единственное регулярное решение задачи Коши и (х, у) Е С3(К. х Ж) для

уравнения (8) в плоскости {(х, у) : х € К, у € К}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у — х:

ди д2и

и (х, у) \у=х = а(х), ^¡\у=х = Р(х), Iу=х = 70),

где п — — нормаль к нехарактеристической линии.

Регулярное решение задачи Коши имеет вид

У %

X

г+у

+\ / Шу " - / 7(4) - <) Л.

О О

Лемма 2.3. Если а(х), ¡3(х), у(х) £ С3(М), то существует единственное регулярное решение задачи Коши и(х, у) £ С3(М х М) для уравнения (7) в плоскости {(я, у) : х £ М, у £ М}, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = 0:

и (х, у) |у=0 = а{х), ~|у=0 = Р(х), = 70)>

где п — нормаль к нехарактеристической линии. Функция

<х> у) = Е з"1^1^—у>л*)>

п (А* - Ат

т=1, т^к

Ф>У) = (А.-Л^к-Аз)^ * Л1) " (А1 — А2ХА2 — Аз^^' *

Р{х,у, Аз), (9)

(А1-Лз)(А2-Аз)

где

о

о

является регулярным решением задачи Коши. Формулу (9) будем называть аналогом формулы Даламбера.

В разделе 2.2 построено решение задачи Коши для системы уравнений гиперболического типа (5). Основные результаты изложены в теоремах.

Теорема 2.2. ЕслиЛ(х), В(х), С(х) е С3(М); то для системы уравнений (5) в плоскости {(я, у) : х е Е, у Е М} существует единственное регулярное решение задачи Коши II (х, у) 6 С3(1 х К), удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = 0:

и (х, 0) = А(х), ^ (я, 0) = В(х), 0 (я, 0) = С(х),

где п = (0,1) — нормаль к нехарактеристической линии.

Доказательство теоремы носит конструктивный характер. В явном виде получено решение задачи Коши и (х, у) = (и1(х,у),и2(х,у))Т, где

- «) + к

Х-\У

л) = а< - + ^^ /

о

(я - тУ - * ) М, г = 1, 2,

й|Л У \ А

о

а{х) = {а1{х))а2(х))т е С3(Е), /3(х) = ф\х), Р2(х))т е С3(1К), ф) = (71(я:), 72(ж))т <Е С3(М), ¿г, аь 6г, Ъ€ К, г,; = 1,2. Матрица

I _ 1_ _ 02162612_

\ (^2161626^2 ^12^1^2)^2 (0216162^12-«12^1^2)^12^1(52

зависит от матричных коэффициентов системы (5).

Теорема 2.3. .Если С (ж) е С3[0, /], то для системы

уравнений (5) при х € [0, /] существует единственное регулярное решение 11 (х, у) £ С3(£)) задачи Коши, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии у = 0:

и (х, 0) = ^ (аг, 0) = £(*), ^ (ж, 0) = С(х),

где п — (0,1) — нормаль к нехарактеристической линии, область Б = Вх П Дь

Е>1 = {и У) уУ < х < уУ + I, у'У < х < уу + ,

£>2 = 1 (х, у) : — у < х < — у + I, — у < х < — у + 11. I Мз Мз J

Регулярное решение приведенной задачи Коши имеет вид (10). Для системы уравнений гиперболического типа

и%ху рихуу = 0 (11)

21

с кратными характеристиками, которая после некоторых преобразований распадается на два отдельных уравнения с некратными характеристиками, рассмотрена краевая задача. Результат сформулирован в виде теоремы.

Теорема 2.4. Если аг(х), (Зг{у), 7г(х) £ С3(М), г = 1, 2, то для системы уравнений (11) в плоскости {(х, у) : х £ М, у £ М} существует единственное регулярное решение краевой задачи II (х, у) £ С3(К х М), удовлетворяющее условиям:

(¿1, V (х, х)) = а1 (ж), (/2, и (х, х)) = а2(х),

А ^ Л 1/ \ А ^ Л 2/ ч

V1' ¿Ц Х7 = 7 у2' ¿Ц / = 7

где {а,Ь) — скалярное произведение, п\ = ^^ > п2 =

¿1, ¿2 ~ векторы, зависящие от матричного коэффициента исходной

системы.

Регулярное решение краевой задачи построено в явном виде. В разделе 2.3 решены некоторые корректные характеристические задачи в плоскости {(х,у) : х £ К, у £ К} и в области, ограниченной характеристиками, для уравнения

ихху У'хуу — 0 (12)

и в плоскости {(х,у) : х £ М, у £ М} для уравнения

ао иххх + ахиХХу + а2ихуу + а^иууу = 0, (13)

где ао, ах, а2, аз - некоторые действительные постоянные, отличные от нуля. Исследованы условия корректности постановки характеристической задачи для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Приведен пример, демонстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса для гиперболического

уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Результаты сформулированы в леммах.

Пусть aod(x), ßod(x), 70d(x), aev(x), ßev(x), jev{x) — нечетные и четные части функций а(х), /3(х), j(x) G C3(R) соответственно.

Лемма 2.4. Если 70d{x) — <*od{%) ~ ßod{%), то характеристическая задача для уравнения (12) в плоскости {(ж, у) : х G К, у € R}

и (х, 0) = а(х), и (0, у) = ß(y), и (ж, -х) = j(x),

где a(x),ß(y), 7(2) G С3(К); корректна по Адамару.

Регулярное решение и (х, у) G С3(1х М) характеристической задачи задается формулой:

и(х, у) = а(х) + ß(y) - ^а(О) + ^ [aev(x + у) - aev{x) - aev{y)} +

1 1

+ 2 lßev(x + У) ~ ßev(x) ~ ßev(y)} ~ ~ [ъЛХ + У) ~ 7ev(x) - 7ev{y)} .

Ill

Лемма 2.5. Если 7ld{x) = a2d(x) — ß^d{x), то характеристическая задача для уравнения (12) в области D = {(х, у) : 0 < х < 1, 0 < у < 1}

и(х, 0) = а(х),п(0, у) = ß(y),u(x, 1 - х) = 7(2'),

где а(х), ß(y),ry(x) G С3[0, 1]; корректна по Адамару. Функция и{х,у) G C3(D) такая, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Яковлева, Юлия Олеговна, 2013 год

Список литературы

[1] Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. / Ж. Адамар — М.: Физ-матлит, 1994. — 544 с.

[2] Андреев, А. А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карлемановским сдвигом / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения и их приложения: тр. второго международного семинара. Самара: Самарский государственный университет, 1998. — С. 5-18.

[3] Андреев, А. А. О построении функции Римана / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения: тр. Пединститутов РСФСР. Рязань. - 1975. - Вып. 6. - С. 3-9.

[4] Андреев, А. А. О функции Римана / А. А. Андреев, В. Ф. Волкодавов, Г. Н. Шевченко // Дифференциальные уравнения: тр. Пединститутов РСФСР. Рязань. - 1974. - Вып. 4. - С. 25-31.

[5] Андреев, А. А. Об одном классе систем дифференциальных уравнений гиперболического типа / А. А. Андреев // Дифференциальные уравнения: тр. Пединститутов РСФСР. Рязань. — 1980. — Вып. 16. - С. 9-14.

[6] Ахиев, С. С. Фундаментальные решения некоторых локальных и

нелокальных краевых задач и их представления / С. С. Ахиев // ДАН СССР. - 1983. - Т. 271, № 2. - С. 265-269.

[7] Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. / Г. Бейтмен,

A. Эрдейи — В 3-х т. Т.1: Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. — М.: Наука, 1973. — 296 с. Т.2: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1974. - 296 с.

[8] Беллман, Р. Введение в теорию матриц. / Р. Беллман — М.: Наука, 1969. - 367 с.

[9] Берс, Л. Уравнения с частными производными. / Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер — М.: Мир, 1966. — 352 с.

[10] Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. / А. В. Бицадзе ~~ М.: Наука, 1981. — 448 с.

[11] Бон, Ю Ин. Дифференциальные уравнения смешанного типа третьего порядка / Ю Ин Бон // Вестник АН КНДР. — 1964. — № 5.

[12] Бурмистров, Б. Н. Решение задачи Коши методом Римана для системы уравнений первого порядка с вырождением на границе / Б. Н. Бурмистров // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Казанский государственный университет. — 1971. - № 8. -С. 41-54.

[13] Бекуа, И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. / И. Н. Веку а — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — 296 с.

[14] Владимиров, В. С. Уравнения математической физики. /

B. С. Владимиров — М.: Наука, 1971. — 512 с.

[15] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. / Ф. Р. Гантмахер — М.: Наука, 1988. - 549 с.

[16] Герасимов, А. Н. Проблема упругого последействия и внутреннее трение / А. Н. Герасимов // Прикладная математика и механика.

- 1937. - Т. 1, № 4. - С. 493-536.

[17] Герасимов, А. Н. Основания теории деформации упруговязких тел / А. Н. Герасимов // Прикладная математика и механика. — 1938.

- Т. 2, № 3. - С. 379-388.

[18] Гиндикин, С. Г. Задача Коши для сильно однородных дифференциальных операторов / С. Г. Гиндикин // Труды московского математического общества. — 1967. — № 16. — С. 181-208.

[19] Годунов, С. К. Уравнения математической физики. / С. К. Годунов

- М.: Наука, 1979. - 392 с.

[20] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. / Л. Гординг — М.: Издательство иностранной литературы, 1961. — 122 с.

[21] Джохадзе, О. Пространственные гиперболические уравнения высокого порядка с доминированными младшими членами / О. Джохадзе, Б. Мидорашвили // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2006. - № 6(529). - С. 25-34.

[22] Джохадзе, О. М. Функция Римана для гиперболических уравнений и систем высокого порядка с доминированными младшими членами / О. М. Джохадзе // Дифференциальные уравнения. — 2003.

- Т. 39, № 10. - С. 1366-1378.

[23] Джураев, Т. Д. О канонических видах уравнений с частными производными третьего порядка / Т. Д. Джураев, Я. Попелек // Труды Московского математического общества. — 1988. — С. 237-238.

[24] Джураев, Т. Д. О классификации и приведении к каноническому виду уравнений с частными производными третьего порядка / Т. Д. Джураев, Я. Попелек // Дифференциальные уравнения. — 1991. - Т. 27, № 10. - С. 1734-1745.

[25] Джураев, Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. / Т. Д. Джураев — Ташкент: Фан, 1979. - 120 с.

[26] Егоров, Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. / Ю. В. Егоров - М.: Наука, 1984. - 362 с.

[27] Жегалов, В. И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов — Казань: Казанское математическое общество, 2001. — 226 с.

[28] Жегалов, В. И. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1999. — № 5. — С. 73-76.

[29] Жегалов, В. И. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными / В. И. Жегалов, Е. А. Уткина // Дифференциальные уравнения. — 2002. — Т. 38, № 1. - С. 93-97.

[30] Жегалов, В. И. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных / В. И. Жегалов, А. Н. Миронов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2002. - № 5. - С. 23-30.

[31] Зайцев, В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин — М.: Физматлит, 2003. — 416 с.

[32] Зарубин, А. Н. Задача Коши для дифференциально-разностных уравнений аномальной диффузии / А. Н. Зарубин, Е. А. Зарубин // Математическое моделирование и краевые задачи. — 2005. — № 3. - С. 103-105.

[33] Засорин, Ю. В. Неклассическая краевая задача для пространственного вязкого трансзвукового уравнения / Ю. В. Засорин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1995. - Т. 35, № 9. - С. 1401-1419.

[34] Захарченко, П. А. О корректности смешанной задачи для гиперболических операторов с переменной кратностью характеристик / П. А. Захарченко, Е. В. Радкевич // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12, № 6. - С. 85-98.

[35] Зикиров, О. С. Локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений третьего порядка / О. С. Зикиров // Современная математика и ее приложения. — 2011. —Т. 68. — С. 101120.

[36] Ишлинский, А. Ю. Продольные колебания при наличии линейного закона последействия и релаксации / А. Ю. Ишлинский // Прикладная математика и механика. — 1940. — Т. 4, № 1. — С. 79-92.

[37] Келдыш, М. В. Избранные труды. Механика./ М. В. Келдыш — М.: Наука, 1985. - 568 с.

[38] Корзюк, В. И. Граничные задачи для уравнений четвертого порядка гиперболического и смешанного типов/ В. И. Корзюк, О. А. Ко-

нопелъко, Е. С. Чеб // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2010. — Т. 36. — С. 87-111.

[39] Корзюк, В. И. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами в случае двух независимых переменных/ В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Дифференциальные уравнения. - 2012. - Т. 48, № 5. - С. 700-709.

[40] Корзюк, В. И. Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик/ В. И. Корзюк, Е. С. Чеб, Ле Тхи Тху // Национальная академия наук Беларуси. Труды Института математики. - 2010. - Т. 18, № 2. - С. 36-54.

[41] Кошляков, Н. С. Уравнения в частных производных математической физики. / Н. С. Кошляков, Э. Б. Елинер, М. М. Смирнов — М.: Высшая школа, 1970. — 712 с.

[42] Курант, Р. Уравнения с частными производными./ Р. Курант — М.: Мир, 1964. - 831 с.

[43] Курант, Р. Методы математической физики. Том 2./ Р. Курант, Д. Гильберт - М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1964. - 620 с.

[44] Ланкастер, П. Теория матриц. / 77. Ланкастер — М.: Наука, 1978. - 280 с.

[45] Лере, Ж. Задача Коши. / Ж. Лере, Л. Гординг, Т. Котаке — М.: Мир, 1967. - 152 с.

[46] Ляхов, Л. Н. Фундаментальные решения сингулярных дифференциальных уравнений с В в - оператором Бесселя / Л. Н. Ляхов / / Труды МИАН. - 2012. - № 278. - С. 148-160.

[47] Мамедов, И. Г. Об одной задаче Гурса в пространстве Соболева/ И. Г. Мамедов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2011. - № 2. - С. 54-64.

[48] Масленникова, В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. / В. Н. Масленникова — М.: Изд-во РУДН, 1997. - 447 с.

[49] Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными. / С. Мизохата — М.: Мир, 1977. - 504 с.

[50] Миронов, А. Н. О методе Римана решения задачи Коши / А. Н. Миронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2005. - № 2(513). - С. 34-44.

[51] Миронов, А. Н. О построении функций Римана для двух уравнений со старшими частными производными / А. Н. Миронов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 49-59.

[52] Миронов, А. Н. О функции Римана для одного уравнения в п-мерном пространстве / А. Н. Миронов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2010. — № 3. — С. 23-27.

[53] Миронова, Л. Б. Метод Римана для одной системы уравнений с двукратными частными производными / Л. Б. Миронова //В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международным участием. — Ч.З. Самара: СамГТУ, 2004. - С. 158-161.

[54] Миронова, Л. Б. К задаче Коши для одной системы уравнений с кратными характеристиками / Л. Б. Миронова // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского.Актуальные проблемы математики и

механики: Материалы международной научной конф. — Т. 25. Казань, 2004. - С. 186-187.

[55] Михайлов, В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. / В. П. Михайлов — М.: Наука, 1976. — 392 с.

[56] Михайлов, В. О сведении линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами к системе уравнений первого порядка / В. Михайлов // Успехи математических наук. — 1957. — Т. 12, № 6(78). - С. 157-160.

[57] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. / Н. И. Мусхелишвили // М: Изд. АН СССР. — 1954.

[58] Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии. / А. М. На-хушев — М.: Высшая школа, 1995. — 302 с.

[59] Олейник, О. А. Лекции об уравнениях с частными производными. / О. А. Олейник — М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2005. - 260 с.

[60] Олейник, О. А. О единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстро растущих функций / О. А. Олейник // УМН. - 1974. - Т. 29, № 5. - С. 229-230.

[61] Осколков, А. П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жидкостей / А. П. Осколков // Труды математического института АН СССР. — 1975. — 127. — С. 32-57.

[62] Петровский, И. Г. Избранные труды. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. / И. Г. Петровский — М.: Наука, 1987. - 424 с.

[63] Петровский, И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. / И. Г. Петровский - М.: Наука, 1986. - 500 с.

[64] Петровский, И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. / И. Г. Петровский — М.: Физматгиз, 1961. — 400 с.

[65] Прядиев, В. Л. Формула решения для некоторых классов начально-краевых задач для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными / В. Л. Прядиев, А. В. Прядиев // Автоматика и телемеханика. - 2007. - № 2. - С. 138-151

[66] Пташиик, Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. / Б. И. Пташник — Киев: Наук, думка, 1984. — 264 с.

[67] Радкевич, Е. В. О корректности задачи Коши и смешанной задачи для некоторого класса гиперболических систем и уравнений с постоянными коэффициентами и переменной кратностью характеристик / Е. В. Радкевич // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2006. — Т. 16. — С. 110-135.

[68] Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем с двумя независимыми переменными: Науч. издание. / Р. К. Романовский - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1995. — 88 с.

[69] Сабитов, К. Б. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений / К. Б. Сабитов, Р. Р. Ильясов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2001. — № 5(468). - С. 59-63.

[70] Сабитов, К. Б. Задачи Коши-Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения / К. Б. Сабитов, Г. Г. Шарафутдинова //

Известия высших учебных заведений. Математика. — 2003. — № 5. - С. 21-29.

[71] Салахитдинов, М. С. Канонический вид дифференциальных уравнений третьего порядка смешанно-составного типа / М. С. Салахитдинов // В сб. «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными». — Ташкент: Фан, 1970. — С. 3032.

[72] Севастьянов, В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка / В. А. Севастьянов // Известия высших учебных заведений. Математика. — 1997. - № 5. -С. 69-73.

[73] Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев II Известия АН СССР. Серия математическая. — 1954. - № 18. - С. 3-50.

[74] Солдатов, А. П. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского A.A. для псевдопараболических уравнений высокого порядка I А. П. Солдатов, М. X. Шхануков // ДАН СССР. — 1987. - Т. 297, № 3. - С. 547-552.

[75] Солдатов, А. П. Эллиптические системы второго порядка в полуплоскости / А. П. Солдатов // Известия РАН. — 2006. — Т. 70, № 6. - С. 161-192.

[76] Старков, А. Общий интеграл уравнения с частными производными

dnz

-ß^ = • • • j ö)z + • • • > / А. Старков //Записки

математического отделения Новороссийского общества естествоиспытателей, Одесса. - 1879. — Т. 2. - С. 1-8.

[77] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики. / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский — М.: Наука, 1977. — 735 с.

[78] Трусделл, К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. / К. Трусделл — М.: Мир, 1975. — 592 с.

[79] Уткина, Е. А. Задача Гурса для одного Л/-мерного уравнения / Е. А. Уткина // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Специальный выпуск. — 2004. — С. 64-67.

[80] Уткина, Е. А. Задача с условиями на всей границе нехарактеристической области для одного уравнения четвертого порядка / Е. Л. Уткина // Доклады РАН. - 2011. - Т. 439, № 5. - С. 597599.

[81] Фаге, М. К. Задача Коши для уравнения Бианки / М. К. Фаге // Математический сборник. - 1958. - Т. 45(87), № 3. - С. 281-322.

[82] Фихтенголъц, Т. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Пред. и прим. А.А. Флоринского. - 8-е изд.. Т 1./ Г. М. Фихтенголъц - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 680 с.

[83] Фэн, Я. Ц. Введение в теорию аэроупругости. / Я. Ц. Фын — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. - 524 с.

[84] Харибегашвили, С. С. О разрешимости одной характеристической задачи для вырождающихся систем второго порядка / С. С. Харибегашвили // Дифференциальные уравнения и их приложения. — 1989. - Т. 25, № 1. - С. 154-162.

[85] Хромов, А. П. Смешанная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида / А. П. Хро-

мое // Известия Саратовского университета. Новая серия. Математика. Механика. Информатика. — 2010. — С. 17-22.

[86] Чекмарев, Т. В. Решение гиперболической системы двух дифференциальных уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями/ Т. В. Чекмарев // Известия высших учебных заведений. Математика. - 1959. — № 6. — С. 220-228.

[87] Шубин, М. А. Лекции об уравнениях математической физики. / М. А. Шубин - М.: МЦНМО, 2003. - 303 с.

[88] Шхануков, M. X. Об одном методе решения краевых задачах для уравнений третьего порядка/ M. X. Шхануков // ДАН. — 1982. — Т. 265, К0- 6. - С. 1327-1330.

[89] Шхануков, M. X. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений / M. X. Шхануков // Дифференциальные уравнения. — 1983. — Т. 19, № 1. - С. 145-151.

[90] Bateman, H. Logarithmic solutions of Bianchi's equation / H. Bateman // Proc. N.A.S. - 1933. - Vol. 19. - pp. 852-854.

[91] Bianchi, L. Sulla estensione del método di Riemarm alle equazioni lineari alle derívate parziali d'ordinc superiore / L. Bianchi // Atti R. Accad. Lincei. Rend. Cl. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — Vol. IV, 1 sem. - pp. 89-99, 133-142.

[92] Burgatti, P. SulF estensione del método d'integrazione di Riemann all'equazioni lineari d'ordine n con due variabili independenti / P. Burgatti ¡I Rend, reale accad. lincei. Ser 5a. — 1906. — Vol. 15, № 2. - pp. 602-609.

[93] Cascante, T. Aproximaciones sucesivas de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales de 3-er orden / T. Cascante // Collectanea Mathematica - 1961. - Vol. XIII. - pp. 89-167.

[94] Coleman, B. D. Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation Ut = uxx — uxtx on a strip / B. B. Coleman, F. J. Daffin, V. J. Mizel // Arch. Rational Mech. Anal.. - 1965. - № 19. - pp. 100116.

[95] Green, G. An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism / G. Green // Nottingham. — 1828.

[96] Holmgren, E. Sur les systèmes lineaires aux derivees partielles du premier order a charasteristiques reeldes et distinctes / G. Holmgren // Arkiv for Math, Astr. och Fysik, Bd. 6 - 1909. - № 2. - pp. 1-10.

[97] Lahaye, E. La metode de Riemann appliquée à la résolution d'une catégorie d'équations linearés de troisième ordre / E. Lahaye // Bull, cl. sei. Acad. Roy. de Belg. - 1946. - Vol. 31. - pp. 479-494.

[98] Niccoletti, 0. Sull' estensione del metodo di Riemann alle equazioni lineari a derivate parziali d'ordine superiore / 0. Niccoletti // Atti R. Accad. Lincei. Rend. CI. Sc. fis., mat. e natur. — 1895. — 1 sem. — pp. 330-337.

[99] Rieman, G. Uber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlichen Schwingungsweite / G. Rieman // Gottingen. — 1860.

[100] Reilich, F. Verallgemeinerung der Riemannschen Integrations -methode auf Differentialgleichungen n - ter Ordung in zwei Veränderlichen/ F. Reilich // Math. Ann. - 1930,- 103. - pp. 249278.

[101] Seyed Mohammadali AH. Effective solution of Riemann problem for fifth order improperly elliptic equation on a rectangle / Seyed Mohammadali Ali // Americam journal of computational mathematics. - 2012. - Vol. 2. - pp. 282-286.

[102] Soboleff, S. Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaites hyperboliques / S. Soboleff // Матем. сборник.

- 1936. - 1 (43). - pp. 39-72.

[103] Tamo tu, Kinoshita. Gevrey Wellposedness of the Cauchy Problem for the Hyperbolic Equations of Third Order with Coefficients Depending Only on Time / Kinoshita Tamotu // Pabl.RIMS. - 1998. - № 34. -pp. 249 270.

[104] Volterra, V. Sur les vibrations des corps élastiques isotropes / V. Volterra // Acta Math. - 1894. - № 18. - pp. 161-232.

[105] Яковлева, Ю. О. Задача Гурса для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. пауки. - 2011. - № 3(24). - С. 35-41.

[106] Яковлева, Ю. О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2012. — № 1(26).

- С. 247-250.

[107] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача на плоскости для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // В сб.: Современные про-

блемы теории функций и их приложения. Материалы 16-й Саратовской зимней школы. Саратов: Научная книга, 2012. — С. 7-8.

[108] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева //В сб.: Математика. Экономика. Образование. Материалы XX Международной конференции. Ростов н/Дону, 2012. С. 89-90.

[109] Яковлева, Ю. О. Об одной характеристической задаче для системы гиперболических уравнений третьего порядка/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики. Материалы второго международного Российско-Узбекского симпозиума. Нальчик: Эльбрус, 2012. — С. 48.

[110] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболических уравнений третьего порядка на плоскости/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев //В сб.: Материалы третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара: СамГТУ, 2012. - С. 36.

[111] Яковлева, Ю. О. Одна характеристическая задача для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка общего вида с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2012. - № 3(28). - С. 180-183.

[112] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев

// Известия Саратовского университета. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2013. — № 1, 4.2. — С. 3-6.

[113] Яковлева, Ю. О. Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. — 2013. — № 1(30). — С. 99-106.

[114] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с двумя независимыми переменными/ Ю. О. Яковлева //В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международным участием. — Ч.З. Самара: СамГТУ, 2013. - С. 96-99.

[115] Яковлева, Ю. О. Решение задачи Коши для одной системы гиперболических дифференциальных уравнений четвертого порядка с двумя независимыми переменными методом Римана / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев //В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Тр. девятой Всероссийской научной конф. с международным участием. — Ч.З. Самара: СамГТУ, 2013. — С. 7-10.

[116] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка с некратными характеристиками / Ю. О. Яковлева // В сб. материалов международной конференции: Дифференциальные уравнения и их приложения. - Белгород: БелГУ, 2013. - С. 220.

[117] Яковлева, Ю. О. Краевые задачи для систем гиперболических дифференциальных уравнений порядка выше второго / Ю. О. Яковлева, А. А. Андреев // В сб. материалов международной конферен-

ции: Дифференциальные уравнения и их приложения. — Белгород:

БелГУ, 2013. - С. 15.

[118] Яковлева, Ю. О. Задача Коши для гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками/ Ю. О. Яковлева // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. - 2013. - № 11(154). - С. 109-117.