Линейные нестационарные системы определенного класса и их приложения в механике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Соболевский, Петр Михайлович

• Соболевский, Петр Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболевский, Петр Михайлович

Содержание.

Введение.

Глава 1. Линейные нестационарные системы дифференциальных уравнений

1.1. Интегрируемые в замкнутой форме системы.

1.1.1. Интегрируемость в замкнутой форме.

1.1.2. Системы специального класса, тип 1 (основной).

1.1.3. Системы специального класса, тип 2.

1.1.4. Системы специального класса, тип 3.

1.1.5. Системы специального класса, тип 4.

1.1.6. Системы коммутативного класса.

1.1.7. Системы, одновременно относящиеся к специальному и коммутативному классам.

1.1.8. Приводимость и интегрируемость в замкнутой форме.

1.2. Системы с периодическими коэффициентами.

1.2.1. Основные свойства систем с периодическими коэффициентами.

1.2.2. Конструктивная приводимость систем специального и функционально-коммутативного классов.

1.2.3. Области устойчивости в пространстве параметров системы.

1.3. Метод исследования устойчивости ЛНС.

Глава 2. Нестационарные механические системы (системы 2-го порядка).

2.1. Системы специального класса 2-го порядка.

2.1.1. Приводимость систем специального класса 2-го порядка.

2.1.2. Устойчивость систем специального класса 2-го порядка.

2.1.3. Почти приводимые системы специального класса 2-го порядка.

2.2. Системы коммутативного класса 2-го порядка.

Глава 3. Механические задачи.

3.1. Задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала).

3.2. Задача об устойчивости стационарного движения космического аппарата с двойным вращением.

3.2.1. Расчет поправок к характеристическим показателям.

3.3. Задача о гироскопической следящей системе.

3.4. Задача о пространственном гирогоризонткомпасе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные нестационарные системы определенного класса и их приложения в механике»

Многие задачи механики приводят к необходимости исследования линеаризованных моделей нестационарных нелинейных систем. Для успешного решения этих задач необходимы эффективные, удобные в применении методы исследования процессов, протекающих в линейных нестационарных системах (далее - ЛНС).

В диссертационной работе объектом исследования являются динамические системы, поведение которых описывается ЛНС вида: = ¡>^>0; (0.1) а также многомерные ЛНС второго порядка: + = ¿>¿„>0, (0.2)

В (0.1), (0.2) х(/) = (х,(/),.,х„(0)Г — действительный вектор состояний системы; А(£), N¿(7) - квадратные матрицы с действительными непрерывными элементами на интервале времени I = [?0,со), обладающие определенными свойствами.

Целью работы является разработка новых методов исследования ЛНС, позволяющих продвинуться в решении этого вопроса; а также применение этих методов к решению механических задач.

В случае, если матрицы А(/), N¿(0 постоянны, системы (0.1) и (0.2) являются стационарными, что дает возможность полного их исследования.

Разработанная теория стационарных линейных систем, изложена в обширной литературе (см., например, [3, 7, 16, 17, 36, 37, 50, 53, 55, 56, 68, 80, 85]), и удобна в применении. Обзор журнальных публикаций по различным аспектам исследования стационарных линейных систем и соответствующую библиографию можно найти в [18, 19, 70, 71, 102].

Если рассматривается нестационарный линейный объект, то зависимость коэффициентов системы от времени обуславливает принципиальные трудности при поиске решения ЛНС и исследовании его устойчивости. В общем случае такая задача на текущий момент не решена.

Для построения стационарных моделей нестационарных систем используются различные приближенные приемы приведения, к которым относятся методы осреднения, методы «замораживания», метод гармонической стационаризации и т.д. [9, 14, 22, 55, 56, 59, 65, 93, 94]. Эти приемы отличаются по степени строгости и областям применимости.

Разрабатываемым в диссертационной работе направлением в анализе ЛНС является выделение таких их классов, которые, во-первых, допускают более глубокое исследование, во-вторых, имеют практическое значение, то есть встречаются в механических задачах, моделирующих реальные динамические объекты. Существенное развитие это направление получило в работах В.М. Морозова и В.И. Каленовой [59, 96], в том числе распространяющих идею приводимости на нестационарные системы с управлением и наблюдением.

Термин «приводимость» был введен впервые А.М.Ляпуновым в связи с задачей об устойчивости линейных однородных систем с периодическими коэффициентами [47]. Свойство приводимости нестационарных линейных систем позволяет применять для их исследования простые и хорошо разработанные методы систем с постоянными параметрами, в том числе классические частотные и временные методы теории устойчивости.

С проблемой приводимости тесно связана задача нахождения решения линейной нестационарной системы в замкнутой форме [2, 10, 20, 26, 27, 44, 58, 59, 93, 98, 107, 108, 109, 111, 112, 113]. Эта задача давно привлекала внимание исследователей и до сих пор является актуальной, очень трудной и далеко еще не решенной.

Методы анализа ЛНС можно условно разделить на две группы: временные методы (методы пространства состояний) и методы функциональных преобразований. К первой группе относятся первый и второй методы Ляпунова, качественные и асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений. Этим методам посвящена обширная литература, например [1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17, 20, 22, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 39, 40, 43, 45, 47, 50, 52, 53, 57, 67, 72, 73, 75, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 88]. В настоящей работе исследование устойчивости ЛНС проводится методами первой группы.

Работа состоит из 3-х глав. В первой из них излагаются теоретические результаты, связанные с вопросами интегрируемости, приводимости и устойчивости JIHC (0.1) определенных видов. Во второй Главе такие же вопросы рассмотрены применительно к некоторым типам ЛНС 2-го порядка (0.2). На примерах механических задач, рассмотренных в 3-й Главе, демонстрируется эффективность применения изложенных в первых двух главах теоретических результатов. Среди представленных задач как новые, так и ранее известные задачи в расширенной постановке. Для задачи о колебаниях опоры вала (раздел 1 Главы 3), для которой ранее была приближенными методами построена зона неустойчивости [83], получены необходимые и достаточные условия устойчивости. При этом новый подход к исследованию позволил показать, что точная область неустойчивости не совпадает с полученной ранее [83]; численное моделирование подтвердило корректность полученных в работе результатов.

Ниже предлагается подробное описание диссертационной работы.

В разделе 1.1 Главы 1 описаны основные классы систем, интегрируемых в замкнутой форме. Определяются основные виды исследуемых в диссертационной работе ЛНС (0.1) x(t) = A(t)x(t): специальный и коммутативный (а также функционально-коммутативный) классы. Системы специального класса обладают свойством: DA(i) - A(i)D, D = const (0.3)

Матрица коэффициентов системы коммутативного класса перестановочна со своим интегралом:

A(0B(0 = В(/)А(0, ^ = А(0 (0.4)

Для функционально-коммутативных матриц дополнительно требуется В(/0) = 0.

Эти классы характерны тем, что допускают решение в замкнутой форме, то есть его можно представить в виде элементарных функций и/или квадратур от коэффициентов.

Проблеме интегрирования JIHC посвящено большое количество работ. Случай интегрируемости систем с матрицей, коммутирующей со своим интегралом впервые рассмотрел И.А. Лаппо-Данилевский [44]. Критерий принадлежности матриц к функционально-коммутативным матрицам установлен В.В. Морозовым [58], исследование структуры таких матриц проведено Ю.С. Богдановым и Г.Н. Чеботаревым [10]. Интегрируемые в замкнутой форме системы специального класса впервые были рассмотрены WuM.-Y. [106, 107, 108, 109, 110, 111].

В связи с интегрируемостью такие виды систем имеют существенное значение для приложений, а также могут быть использованы в качестве базовых моделей при построении приближенных решений ЛНС более сложного вида. В работе (см. п.п. 1.1.3-1.1.5) приведены обобщения специального класса; рассмотрены примеры и механические задачи (п. 1.2.3).

Обсуждается (п 1.1.7) вопрос принадлежности системы одновременно к специальному и коммутативному классам, приведены примеры таких систем размерности больше 2-х. Для одного известного типа коммутативных матриц доказана его принадлежность к специальному классу.

В разделе 1.2 Главы 1 исследуются JIHC с периодическими коэффициентами специального и функционально-коммутативного классов. Факт принципиальной приводимости для систем с периодическими коэффициентами общего вида установлен A.M. Ляпуновым [47]. Основы общей теории приводимых систем изложены в работах Н.П. Еругина [26]. Разнообразные вопросы исследования систем с периодическими коэффициентами изложены в монографии В.А. Якубовича и Е.М. Старжинского [82].

Показано (п. 1.2.2), что замены координат, приводящие JIHC специального и функционально-коммутативного классов к стационарным системам, являются преобразованиями Ляпунова. Это дает возможность делать заключения об устойчивости этих ЛНС, основываясь на выводах для стационарных систем. Сформулированы и доказаны (п. 1.2.3) принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров таких ЛНС число областей устойчивости и неустойчивости конечно; рассмотрены методические примеры. dx

Традиционно при исследовании устойчивости ЛНС = A (t)x матрица коэффициентов представляется в виде двух слагаемых:

А(/) = А0+А1(0,||А1(/)|<^, (0.5) одно из которых постоянное, а другое - малое. Из свойств устойчивости dx невозмущенной системы = А0х при выполнении определенных условии можно сделать выводы об устойчивости исходной ЛНС, воспользовавшись рядом теорем об устойчивости линейных систем с постоянной и почти постоянной матрицей см. [2, 8, 23, 59, 79, 93, 94]. В разделе 1.3 Главы 1 предлагается модификация этого метода, состоящая в следующем: предположим, что матрица A(J) допускает представление

А(0 = Ао(0 + А,(0, (0.6) dx ~ причем ЛНС = А0(7)х является интегрируемой в замкнутой форме, а матрица А,(7) по-прежнему мала. В таком случае при помощи известного преобразования х = L(/)y можно перейти к другой

При этом если матрицы L(/) и 171 (7) ограничены (что верно для систем с периодическими коэффициентами), то и матрица Bt(i) мала. Матрицу A(t) при этом можно считать «почти приводимой» [13]. При исследовании устойчивости ЛНС с матрицей А(/), допускающей указанную декомпозицию, применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным. Это демонстрируется на примерах и при решении механических задач в Главе 3.

В Главе 2 рассматриваются нестационарные системы второго порядка (0.2): N1(i)x + N2(/)x + N3(/)x = 0. Исследованию таких систем посвящен ряд современных работ [84, 90, 99, 100, 101, 103, 104]. В виде (0.2) можно представить уравнения движения голономной механической системы, линеаризованные в окрестности некоторого программного движения. Дополнительно предполагается принадлежность матриц коэффициентов к б/N. специальному классу: —L = [D,Ni], D = const, / = 1,2,3. Показано, что в dt этом случае JIHC при помощи замены х = ехр(Ш)у преобразуется к стационарной системе

My+Gy+Ky=0 (0.7)

Этот класс JIHC (0.2) имеет прикладное значение (см. задачи о колебаниях опоры вала и о гироскопической следящей системе в Главе 3).

В п. 2.1.1 определены условия, при которых замена x = exp(D/)y будет преобразованием Ляпунова. В этом случае исследование устойчивости JIHC (0.2) можно проводить на основании характеристического уравнения стационарной системы (0.7) или при помощи теорем Кельвина-Четаева и их обобщений [38, 46, 49, 54, 80, 89]. Эти теоремы позволяют исследовать влияние сил различной структуры (гироскопических, диссипативных, консервативных, циркуляционных) на устойчивость положения равновесия системы (0.7).

В п. 2.1.2 рассматривается случай Г^ (/) = Е, ]Ч2 (/) = ГЧ20 = , [Б, N30] = 0 и N3(0 = N3(0 для которого определены достаточные условия устойчивости. Также в п. 2.1.2 показано, что для линейных нестационарных систем утверждения теорем Кельвина-Четаева, установленные для стационарных систем, в общем случае места не имеют.

В п. 2.1.3 рассмотрены «почти приводимые» системы 2-го порядка (0.2) + ГЧ2(/)х + = 0, в которых

N,(0 = N,40+ (0.8) где £ — мало, - ограничены, а система

N¡40* + N2 (Ох + N5 (0х = 0 приводима к системе (0.7). Для таких «почти приводимых» систем сформулированы и доказаны утверждения в духе известных теорем [8], определяющих достаточные условия устойчивости для ЛНС с почти 1 постоянной матрицей — = (А0 + А,(0)х. А именно, ЛНС (0.2) будет устойчива, если устойчива стационарная система (0.7) и сходятся интегралы со

К((г,£)||£/г <оо. ЛНС (0.2) будет асимптотически устойчива, если о асимптотически устойчива стационарная система (0.7) и КД/,^) —> 0 при / —> СО .

В 3-ей Главе рассматриваются механические задачи, математическими моделями которых являются линейные нестационарные однородные системы, интегрируемые в замкнутой форме или близкие к интегрируемым. При решении этих задач применяется методика исследования ЛНС, изложенная в двух первых главах.

В разделе 3.1 рассматривается задача о колебаниях электроверетена (о колебаниях опоры вала). Электроверетено представляет собой неуравновешенный вал, вращающийся на 2-х подшипниках внутри корпуса опоры. Опора стоит на 3-х упругих амортизаторах, закрепленных на неподвижном основании. При вращении вала с большой угловой скоростью корпус опоры колеблется и принимает наклонное положение. При некоторых частотах вращения имеет место неустойчивость колебаний корпуса.

Этот объект моделируется нестационарной линейной системой относительно углов отклонения от вертикали оси симметрии корпуса опоры. ЛНС представляет собой систему с периодическими коэффициентами 2-го порядка вида (0.2). Задача ранее исследовалась в работах [76, 83] на основе теории параметрического резонанса. В предположении малости некоторых параметров были построены области устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров задачи.

В то же время исходная ЛНС принадлежит к специальному классу (0.3) и для нее установлено преобразование Ляпунова, приводящее систему к стационарной, в связи с этим исследование ее устойчивости существенно упрощается.

Во втором разделе 3-ей Главы исследуется устойчивость стационарного движения космического аппарата с двойным вращением. Задачи такого типа актуальны в настоящее время, так как стабилизация вращением характерна для многих типов сложных космических систем. При этом, как правило, считают, что влияние внешних сил пренебрежимо мало. Библиографии работ в этом направлении можно найти в [4, 64, 91, 92].

Космический аппарат с двойным вращением представляет собой свободную систему, состоящую из двух несимметричных тел, вращающихся вокруг общей оси с постоянной относительной скоростью. Составлены уравнения движения относительно компонент угловой скорости одного из тел, считающегося основным. Эти уравнения допускают частное решение, представляющее собой вращение обоих тел вокруг общей оси с разными угловыми скоростями. В линеаризованных в окрестности этого решения уравнениях возмущенного движения выделяется система уравнений относительно возмущений по компонентам угловой скорости, перпендикулярным оси совместного вращения. Эта система представляет собой «почти приводимую» ЛНС с периодическими коэффициентами. Малым параметром б будет мера несимметричности одного из тел, характеризуемая приведенной разностью моментов инерции относительно осей, перпендикулярных оси вращения. Невозмущенная (£• = ()) система принадлежит к специальному классу (0.3), следовательно, интегрируема и допускает строгое исследование ее устойчивости. При е > 0 в окрестности некоторых значений частоты относительного вращения двух тел возможен параметрический резонанс. В этом случае найдены поправки к характеристическим показателям ЛНС (п. 3.2.1) с точностью до членов первого порядка малости по £ и определены области неустойчивости в пространстве параметров системы. Полученные результаты соответствуют ранее известным результатам, полученным при помощи численного моделирования для некоторых фиксированных значений параметров задачи [92].

В третьем разделе Главы 3 рассмотрена двухканальная гироскопическая следящая система с модуляцией и одним безынерционным каналом переменного тока. Уравнения движения такой системы, полученные в работе [11, 12], при отсутствии случайных воздействий представляют собой ЛНС 2-го порядка специального класса (0.3) вида (0.2) ^(^х + 1Ч2(Х)х + К3(/)х = 0. Для этих уравнений установлено преобразование Ляпунова, приводящее их к стационарной системе; исследована устойчивость этой системы.

В четвертом разделе Главы 3 рассматривается задача о пространственном гирогоризонткомпасе, уравнения малых колебаний которого в рамках прецессионной теории гироскопов представляют собой ЛНС размерности 4. Эти уравнения были получены в работе А.Ю. Ишлинского [33] и решены при помощи метода «комплексной компрессии», а их приводимость была исследована в работе

В.Н. Котлякова [41]. Такая ЛНС является функционально-коммутативной системой (0.4), которая преобразуется к постоянной и может быть таким образом проинтегрирована. Рассмотрено влияние на ЛНС диссипативных сил, которые всегда присутствуют в реальной системе. В этом случае система не является функционально-коммутативной, но может быть рассмотрена как «почти приводимая». Устойчивость этой ЛНС исследована методами, изложенными во 2-й Главе, а также при помощи функции Ляпунова, построенной для нестационарной системы.

В настоящей работе приняты следующие сокращения и обозначения: ЛНС - линейные нестационарные системы; ■ — окончание формулировки, доказательства.

Скалярные величины обозначаются строчными или прописными буквами курсивом, например: х(/), р, со, . ; векторные величины -строчными буквами полужирным шрифтом: х(7), а, е,, . ; матрицы -прописными буквами полужирным шрифтом: А, В0, М(7), . ; множества-прописными буквами полужирным курсивом: I, Я3, Ак, . ; квадратными скобками обозначается коммутатор матриц: [Р,0] = Р() - С>Р.

Теоретические результаты, полученные в настоящей работе, сформулированы в виде Утверждений.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Соболевский, Петр Михайлович

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1. Сформулированы и доказаны принципиальные утверждения о том, что в пространстве параметров ЛНС с периодическими коэффициентами, специального и коммутативного классов число областей устойчивости и неустойчивости конечно.

2. Предложен подход к исследованию устойчивости ЛНС, допускающих декомпозицию исходной матрицы коэффициентов системы на интегрируемую в замкнутой форме и малую части. Применение предлагаемого метода оказывается более эффективным, так как информация о динамическом объекте, содержащаяся в коэффициентах матрицы, используется более полно, и полученное заключение об устойчивости является более точным.

3. Рассмотрен класс систем второго порядка, приводимых к стационарным системам при помощи конструктивного преобразования. Для таких систем исследование устойчивости проводится на основании анализа характеристического уравнения стационарной системы или на основании теорем Кельвина-Четаева и их обобщений. Для систем, близких к приводимым, сформулированы и доказаны утверждения аналогичные известным теоремам для систем с почти постоянной матрицей коэффициентов.

4. В рассмотренных механических задачах применение предложенных методов позволило получить новые результаты.

1) В задаче о колебаниях опоры вала получены точные области устойчивости и неустойчивости;

2) В задаче о движении космического аппарата с двойным вращением получены аналитические выражения для границ областей устойчивости и неустойчивости;

3) В задаче о движении гирогоризонткомпаса исследовано влияние диссипативных сил и получены достаточные условия устойчивости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболевский, Петр Михайлович, 2008 год

1. Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем. Уч. пособие. М.: Физматлит. 1994. -544с.

2. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. Уч. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та. 1992.-240с.

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука. 1976. -424с.

4. Асланов B.C., Дорошин A.B. Стабилизация спускаемого аппарата частичной закруткой при осуществлении неуправляемого спуска // Космические исследования. 2002. Е40. №2. С. 193-200.

5. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1989. -447с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967. -223с.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. 1970. -240с.

8. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ. 1954. -280с.

9. Беркович Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Куйбышев. 1978. -92с.

10. Богданов Ю.С., Чеботарев Т.Н. О матрицах, коммутирующих со своей производной // Изв. Вузов. Математика. 1959. №4 (11). С.27-37.

11. Бондарос Ю.Г., Зайнулина Л.П. Задача линейной фильтрации для двухканального объекта// Техническая кибернетика. 1974. №4. С.180-187.

12. Бондарос Ю.Г. Двухканальные системы. М.: Машиностроение. 1985. -151 с.

13. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука. 1966. -576с

14. Вавилова Н.Б., Каленова В.И., Морозов В.М. О преобразовании линейных наблюдаемых систем и управляемых систем к стационарным системам // ПММ. 1985. Т.49. Вып.4. С. 548-555.

15. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка. 1981. -412с.

16. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука. 1984.-320с.

17. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука. 1979.-336с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.Н., Асмыкович И.К. Математические проблемы управления линейными конечномерными системами. Минск. Препринт Ин-та математики АН БССР. 1983. -36с.

19. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Марченко В.Н., Асмыкович И.К. Теория управления движением. Ч. 1. Линейные конечномерные системы. Минск. Препринт Ин-та математики АН БССР. 1983. -130с.

20. Гайшун И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем. М.: Едиториал УРСС. 2004. 408с.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988. -552с.

22. Д'Анжело Г. Линейные системы с переменными параметрами. М.: Машиностроение. 1974. -288с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967. -472с.

24. Динамика нестационарных линейных систем. / Под ред. Михайлова Ф.А. М.: Наука. 1967. -472с.

25. Дубошин Г.Н. Основы теории устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ. 1952.-319с.

26. Еругин Н.П. Приводимые системы // Тр. Ин-та им. Стеклова. Т. 13. М.: Изд-во АН СССР. 1946.-96с.

27. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами. Минск: Изд-во АН БССР. 1963. -272с.

28. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука. 1968. Т.1.С.67-80.

29. Зубов В.И. Методы А.М.Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ. 1957.-240с.

30. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа. 1973. -272с.

31. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений// Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Математический анализ. Т. 12. М.: 1974. С.71-146.

32. Ишлинский А.Ю. К теории гирогоризонткомпаса // ПММ. 1956. Т.20. Вып. 4. С. 487-499.

33. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука. 1976. 672с.

34. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. Об устойчивости механических систем определенного класса// ПММ. 2008. Т.72. Вып.2. С. 251-259.

35. Каленова В.И., Морозов В.М., Соболевский П.М. К вопросу об исследовании линейных нестационарных систем// Вестник Моск. ун-та. 2009. №1.

36. Калман P.E. Об общей теории систем управления. // Тр. Конгресса ИФАК. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР.1961. С.521-547.

37. Калман P.E., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир. 1971. -400с.

38. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Общая механика. 1983. Т.6. -130с.

39. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Об устойчивости стационарных вращений симметричного твердого тела в переменном магнитном поле. ПММ. 1987. т. 51. Вып. З.С. 375-381.

40. Коняев Ю.А., Мартыненко Ю.Г. Исследование устойчивости неавтономных систем дифференциальных уравнений квазиполиномиального типа. Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34. №10. С.1427-1429.

41. Кошляков В.Н. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса. // ПММ. 1961. Т.21. Вып. 5.

42. Кошляков В.Н. Теория гироскопических компасов. М.: Наука. 1972. -344с.

43. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз. 1959. -211с.

44. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матрицы к теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ.1957.

45. Ла-Салль Ж. Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. 1964. -168с.

46. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 2. С. 246-253.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950.-472с.

48. Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогоризонткомпаса и двухгироскопной вертикали // ПММ. 1962. Т.26. Вып.2. С.372-396.

49. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение: Пер. с нем. М.: Мир, 1974.-528с.

50. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука.-522с.

51. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука. 1979. -400с.

52. Мартынюк А.А. Устойчивость движения сложных систем. Киев: Наукова думка. 1975.-352с.

53. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1976. -320с.

54. Меркин Д.Р. Гироскопические системы. М.: Наука. 1974. -344с.

55. Методы классической и современной теории автоматического управления. В трех томах. Под ред. Н.Д.Егупова. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2000.

56. Методы классической и современной теории автоматического управления. В пяти томах. Под ред. Н.Д.Егупова. Изд. второе, переработанное и дополненное. М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2004.

57. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука. 1986. -320с.

58. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Уч. Зап. КГУ. 1952. Т.112. Кн.9. С. 17-20.

59. Морозов B.M., Каленова В.И. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах. Изд-во Моск. Ун-та. 1988. -144с.

60. Морозов В.М., Каленова В.И. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. №1. С.8-14.

61. В.М.Морозов, В.И. Каленова. О некоторых линейных нестационарных системах в задачах общей механики. В сб. «Проблемы современной механики». М.: Изд-во Моск. ун-та, Изд-во «Омега-JI». 2008. С.332-346.

62. Морозов В.М., Соболевский П.М. К задаче об устойчивости стационарного движения спутника с двойным вращением// Труды Пятого международного аэрокосмического конгресса IAC-2006. М.: МАТИ. 2006.

63. Морозов В.М., Каленова В.И., Соболевский П.М. Об устойчивости нестационарных механических систем специального класса// Труды IX Междунар. Четаевской конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением». Иркутск. 2007. Т.2. С. 101-107.

64. Новое в зарубежной науке.Ч. 1. Задачи стабилизации составных спутников; Под ред. В.В.Белецкого. — М.:Мир, 1975.

65. Островский М.Я., Чечурин СЛ. Стационарные модели систем автоматического управления с периодическими параметрами. Л.: Энергоатомиздат. Ленигр. отд. 1989. -208с.

66. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1970. -391с.

67. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971.-288с.

68. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука. 1978. -552с.

69. Рубановский В.Н. Устойчивость нулевого решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Итоги науки. Общая механика. М.: ВИНИТИ. 1971. Т.1. С.85-157.

70. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения//Механика в СССР за 50 лет. T.l. М.: Наука. 1968. С.7-56.

71. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №5. С.739-776.

72. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных М.: Наука. 1987.

73. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. -302с.

74. Сейранян А. П., Кириллов О.Н. О влиянии малых диссипативных и гироскопических сил на устойчивость неконсервативных систем// Доклады Российской академии наук. 2003. Т. 393, N 4. С. 483-488

75. Солодов A.B., Петров Ф.С. Линейные автоматические системы с переменными параметрами. М.: Наука. 1971. -620с.

76. Старжинский В.М., Квартин JI.M. Параметрические колебания корпуса опоры и вала// Изв. ВУЗов Машиностроение. 1983. №1. С.37-40.

77. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука. 1977. -272с.

78. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. 1966. -230с.

79. Чезари JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964. -477с.

80. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. 1962. -535с.

81. Чечурин C.JI. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. JL: Изд-во ЛГУ. 1983. -220с.

82. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М.: Наука. 1972. -718с.

83. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

84. Ahmadian М. On the Stability Multiple Parameter Time-Varying Dynamic Systems// Int. J. Non-Linear Mechanics. 1986. V.21. №6. P.483-488.

85. Casti J.L. Dynamical systems and their applications. Linear theory. London AP. 1977. 240p.

86. Coppel W.A. Stability and asymptotic behavior of differential equations. Boston, 1965. 166p.

87. Hahn W. Theorie und Anwendungen der directen Methoden von Liapunov. Berlin: Springer. 1959. -142p.

88. Harris C J., Miles J.F. Stability of Linear Systems. AP London. 1980. -236p.

89. Huseyin K. Hagedorn P. Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems// ZAMP. 1983. Bd. 34. H.6. S. 807-815.

90. Hsu P., Wu J. Stability of Second-Order Multidimensional Linear Time-Varying Systems// Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1991. Vol. 14. №5. P. 1040-1045.

91. Likins P.W. Attitude Stability Criteria for Dual Spin Spacecraft// Journal Spacecraft. 1967. Vol. 4. № 12. 1985. P. 1638-1643.

92. Lukich M.S., Mingori D.L. Attitude Stability of Dual-Spin Spacecraft with Unsymmetrical Bodies // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1985. Vol. 8. № l.P. 110-117.t

93. Lukes D.L. Differential Equations: Classical to Controlled Mathematics in Science and Engineering. V.162. AP New York. 1982.

94. Markus L. Continuous matrices and the stability of differential systems // Math. Zeitschrift. 1955. V. 62. Z. 310-319.

95. Martin J.F.P. Some results on matrices which commute with their derivatives// SIAM J. Appl. Math. V. 15. 1967. P.l 171-1183.

96. Morozov V.M., Kalenova V.l. Reducibility of linear time-varying control systems // Dynamic Systems and Appl. V.5. № 3. 1996. P.433-452.

97. Morozov V.M., Kalenova V.I., Sobolevskiy P.M. Stability of a special class of linear time-varying mechanical systems// Book of abstracts. «Sixth Intern. Symposium on Classical and Celestial Mechanics». Moscow-Velikie Luki. 2007. P. 99-100.

98. Morozov V.M., Kalenova V.I. Reducibility of Linear Time-Varying Control systems and its applications // Proc. of 34-th IEEE Conf. on Decision and Control. USA. 1995. P.2511-2514.

99. Muller P.C. Comment on "Stability of Multidimensional Linear Time-Varying Systems"// J.Guidance, Control and Dynamics. 1987. V.10. №1. P.127.

100. Okano R., Kida T., Nagashio T. Asymptotic Stability of Second-Order Linear Time-Varying Systems// J.Guidance, Control and Dynamics. 2006. V.29. №6. P. 1472-1476.

101. Pradeep S., Shrivastava S.K. Asymptotic Behaviour and Boundedness of Linear Systems with Time Varying Coefficients// Acta Astonautica.1989. V.19. №10. P.787-795.

102. Pradeep S., Shrivastava S.K. Stability of Dynamical Systems: an Overview// J.Guidance, Control and Dynamics. 1990. V.13. №3. P.385-393.

103. Shrivastava S.K., Pradeep S. Stability of Multidimensional Time Varying Linear Systems// J.Guidance, Control and Dynamics. 1985. V.8. №5. P.579-583.

104. Tadi M. On the Stability of Second Order Linear Time-Varying Systems// Trans. ASME J. of Vibration and Acoustics. 2006. V.128. P.408-410.116c

105. Wazewski T. Sur la limitation des integrals des systèmes d'equations différentielles lineares ordinires// Stud. Math. 1948. V. 10. P.48-59.

106. Wu M.-Y. A Note on Stability of Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1974. V. AC-19. № 2. P. 164-167.

107. Wu M.-Y. Some New Results in Linear Time-Varying Systems// IEEE Trans. On Automat. Control. 1975. V. AC-20. № 1. P. 159-161.

108. Wu M.-Y. Transformation of linear time-varying systems into a linear timeinvariant system// Int. J. Control. 1978. V. 27. № 4. P.589-602.

109. Wu M.-Y. A successive decomposition method for the solution of time-varying systems// Int. J. Control. 1981. V. 33. № 1. P. 181-186.

110. Wu M.-Y. On stability of linear time-varying systems// Int. J. of Systems Science 1984. V. 15. № 2. P. 137-150.

111. Wu M.-Y., Sherif A. On the commutative class of linear time-varying systems // Int. J. Control. 1976. V. 23. № 3. P. 433-444.

112. Zhu J., Johnson C.D. New results in reduction of linear time-varying dynamical systems //SIAM J. on Control and Optimization. 1989. V.27. № 3. P.474-484.

113. Zhu J., Morales C.H. On Linear Ordinary Differential Equations with Functionally Commutative Coefficient Matrices// Lin. Algebra and its Appl. 1992. V.170. P.81-195.

114. Zhu J. A note on Extension of the Eigenvalue Concept // IEEE Control System Magazine. V.13. № 6. 1993. P. 68-70.