Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кудаева, Залина Валерьевна

• Кудаева, Залина Валерьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудаева, Залина Валерьевна

Оглавление

Введение

Глава I. Краевые задачи для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения

1.1. Принцип экстремума и единственность решения задачи Дири-

хле для модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина

1.2. Теорема существования решения задачи Дирихле для модели

Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина

1.3. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболическая часть границы которой состоит из характеристик одного семейства

1.4. Аналог задачи Трикоми в смешанной области, гиперболиче-

ская часть границы которой состоит из характеристик разных семейств

1.5. Аналог задачи Геллерстедта для первого варианта модели Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина

1.6. Аналог задачи Трикоми для второго варианта модели Лавренть-

ева-Поритского уравнения Чаплыгина

Глава II. Краевые задачи для уравнений второго порядка смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка

2.1. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части

2.2. Принцип экстремума для класса линейных уравнений смешан-

ного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части

2.3. Краевая задача для класса линейных уравнений смешанного типа

2.4. Краевая задача для уравнения смешанного параболо-гипербо-

лического типа с гиперболическим вырождением порядка

2.5. Краевая задача для уравнения смешанного эллиптико-гипербо-

лического типа с гиперболическим вырождением порядка

Заключение

Список литературы

75

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейные краевые задачи для моделей Лаврентьева-поритского уравнения Чаплыгина и уравнений смешанного типа с вырождением порядка»

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения в частных производных смешанного типа являются объектом интенсивного исследования прежде всего благодаря своим приложениям к смешанным системам с распределенными параметрами, в особенности, к аэродинамике больших скоростей, близких к скорости звука [4], и к безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака [10], [42].

Основной краевой задачей для двумерных уравнений смешанного (эл-липтико-гиперболического) типа второго порядка с одной линией параболического вырождения является задача, названная задачей Трикоми по предложению Ф.И. Франкля [55]. Работа Ф. Трикоми [55] "О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа" (1923) явилась первым основопологающим исследованием в этой области.

Значительную роль в становлении современной теории уравнений смешанного типа и ее прикладных аспектов сыграли работы A.B. Бицадзе [8], [9], С.П. Пулькина [45], М.С. Салахитдинова [48], [49], [50], [51], Т.Д. Джу-раева [12], [13], М.М. Смирнова [53], Е.И. Моисеева [31], А.П. Солдатова [54], O.A. Репина [47], A.M. Нахушева [38], [39], [40], [41], Т.Ш. Кальмено-ва [17], А.Н. Зарубина [14], А.Г. Кузьмина [28], A.C. Радойкова [46], О.И. Маричева, A.A. Килбаса, O.A. Репина [30].

Диссертация посвящена сравнительно мало исследованному направлению теории уравнений смешанного типа - краевым задачам для моделей Лаврентьева-Бицадзе уравнения Чаплыгина в области, содержащей интервалы параллельных линий параболического вырождения, и уравнениям смешанного типа с гиперболическим вырождением порядка. Поясним важность и актуальность проведения теоретических разработок в этом на-

правлении.

Уравнение Чаплыгина плоских параллельных установившихся газовых течений записывается в виде

К(у)ихх 4- иуу = 0, (1)

где и = ф - функция тока; К и у = о - функции скорости течения, которые положительны при дозвуковой и отрицательны при сверхзвуковой скорости; х — в - угол наклона вектора скорости.

Уравнение (1) имеет эллиптический тип при дозвуковой скорости и гиперболический тип при сверхзвуковой скорости, звуковая линия у = О является линией его параболического вырождения.

Широко используемая аппроксимация уравнений газовой динамики, впервые предложенная Ф.И. Франклем, получается из уравнения годографа (1), если положить К (а) = (-у + 1 )а, где 7 = const > 1 представляет собой отношение удельных теплоёмкостей. Уравнение

(7 + 1)уихх + иУу = ® заменой переменной 77 = (7 + 1 сводится к уравнению

"П^хх ищ — 0.

Существуют различные модели уравнения Чаплыгина (1). Модель Ф.И. Франкля по существу совпадает с уравнением Трикоми

уихх + иуу = 0; (2)

модель М.А. Лаврентьева хорошо известна как уравнение Лаврентьева-Бицадзе

sign?/ • ихх + иуу = 0 (3)

с коэффициентом

i 1, У> о, signy=< о, у = О,

k -1, У< 0.

Н. Poritsky [61] в качестве модели уравнения (1) предложил уравнение P{y)uxx + Щу = 0, Уо < у < Уп, (4)

где Р(у) = kj = const при yj-i < у < уj, j = 1,2, ...п. Постояные kj положительны в дозвуковой области и отрицательны в сверхзвуковой области.

Модель Поритского (4) получается из уравнения годографа (1) после замены функции К (у) ступенчатой функцией [4, с.37]. В случае модели Лаврентьева К (у) аппроксимируется ступенчатой функцией sign у.

S. Tomotika и К. Tamada (см. [4, с.40]) предложили в качестве уравнения годографа уравнение с коэффициентом

где а и ¡3 положительные постоянные. Эта модель уравнения Чаплыгина после введения новых независимых переменных

ту = еД £ = у/Щх

принимает вид

{1-т]2)и^ + г]2ищ + щ71 = ^. (5)

Уравнение (5) на евклидовой плоскости точек ( = (£,77) является уравнением в частных производных второго порядка с двумя параллельными линиями г) = — 1, г] — 1 изменения типа. Оно эллиптического типа в полосе —1 < 7] < 1 с параболическим вырождением на прямых г) — ±1,0 и гиперболического типа вне этой полосы.

Предложенное Карманом [4, с.32] приближенное уравнение для потенциала v = <р(х, у) можно записать следующим образом:

7 + 1 д , 2ч . .

=(6)

Уравнение (6) относится к эллиптическому или гиперболическому типу в зависимости от того, будет ли производная vx — dv/dx отрицательна или положительна. В частности, если известно, что

signva; = sign у (г/ - yi), yi = const > 0, (7)

то это уравнение будет нелинейным уравнением смешанного типа с двумя параллельными линиями у = 0, у — у\ параболического вырождения.

Пусть замыкание Q области задания Q, уравнения (б) принадлежит прямоугольнику Q = {(х,у) : а < х < Ь, 0 > ?/* < у < у\] и потенциальное течение газа таково, что

v(b,y) = и{а,у) + {Ь- а)ш(у)\ (8)

здесь

= ' 9vpy)dx

ОХ

w-bhij-

а

- заданная функция, непрерывная на сегменте [у*, у*] всюду за исключением, быть может, точек 0 и у\, где она может претерпевать разрывы первого рода.

В левой части уравнения (6) заменим один из сомножителей произведения ух • ух = (ух)2 его средним значением и (у). Тогда его приближение можно заменить линейным уравнением

7 1 д2у

В силу (7) sign а; (2/) = — sign.y(y — у\). В случае, когда

2

и(у) =--r^signy{y - yi)

7+1

из (9) получим уравнение

signy(j/-2/i) -Vxx + Vyy = о, (10)

которое имеет гиперболический тип при 0 < у < yi и эллиптический тип при у < 0 и у > у\.

Уравнение (9) при и (у) = —2 у (у — y\)/{i + l) совпадает с уравнением

У (у - yi)vxx + Vyy = 0, (11)

а при uj(y) = у(у\ — у)/{7 + 1) - с уравнением

у(у\ ~ y)vxx + Vyy = 0. (12)

Уравнение для функции тока и = ф(х, у) плоского установившегося адиабатического потока плазмы при отсутствии магнитного поля записывается в виде

д г 2у дил 1 - (1 + 2Р)у д2и _ ду L(1 - уУ ду\ + 2у{1 - уУ+1 дх2 _ '

где: (3 = ^¿у > 0; 7 - показатель адиабаты; у = {г)/г)*)2, rj - модуль скорости, 77* = аоу/2]3 - максимальное значение модуля скорости, ао = const - скорость звука в покоящейся плазме; х = 9 - угол наклона вектора скорости к положительному направлению оси х евклидовой плоскости точек (х,у). (см. [57]). Этому уравнению можно придать следующую форму записи:

4уу*{у{1-у)иуу + [1-(1-Р)у]иу} + {у*-у)ихх = 0, у* = 1/(2/3+1). (13)

В полуплоскости у > 0 уравнение (13) является уравнением смешанного (эллиптико-гиперболического) типа с двумя параллельными линиями

у = у = 1 параболического вырождения. Оно имеет гиперболический тип в полосе у* < у < 1, эллиптический тип вне этой полосы и в точках остановок (х, 0), (77 = 0) вырождается параболически.

Как следует из (4), (5), (10), (11), (12) и (13), в качестве моделей этих уравнений в смешанных областях, содержащих интервалы двух непересекающихся линий изменения типа, могут выступать следующие уравнения:

sign у (у -1)-ихх + иуу = 0; (14)

signal - у) • ихх + иуу = 0; (15)

у(у - 1 )ихх + иуу = 0; (16)

у( 1 - у)ихх + иуу = 0. (17)

Уравнения (14) и (15) являются естественным аналогом уравнения Лаврентьева-Бицадзе (3) и их будем называть моделями Лаврентьева-По-ритского уравнения Чаплыгина первого и второго варианта, соответственно. Уравнения (16) и (17) в определенном смысле представляют собой аналог уравнения Трикоми (2).

В теории уравнений смешанного типа уравнением Чаплыгина называют уравнение вида (1) с непрерывно дифференцируемым коэффициентом К (у), удовлетворяющее условиям А'(0) = 0, К'(у) > 0. Уравнения (16) и (17) не удовлетворяют последнему условию, К'(у) меняют свой знак при переходе через линию у = 1/2. Тем не менее, в этой работе оператор К(у)д2/дх2 + д2/ду2 будем называть оператором Чаплыгина, если sign К (у) совпадает с sign у {у — 1) или sign г/(1 — у).

Первая краевая задача для уравнения (16) была поставлена и исследована A.M. Нахушевым [32] - [36].

Среди работ, посвященных краевым задачам для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения, отметим работы

A.Б. Базарбекова [3], L.M. Sibner [63], И.Н. Ланина [29], A.A. Полосина [43],

B.В. Азовского, В.А. Носова [1], А.Н. Зарубина [15], A.A. Андреева, И.Н., Саушкина [2], J.M. Rassias [62].

Главной целью научно-квалификационной работы является постановка и исследование линейных краевых задач для уравнений в частных производных смешанного типа с двумя параллельными линями параболического вырождения и уравнений с гиперболическим вырождением порядка в смешанной области.

Качественные характеристики смешанных краевых задач устанавливаются методами, в основе которых лежат: принципы экстремума Хопфа, Зарембо-Жиро, Бицадзе, Агмона-Ниренберга-Проттера; метод априорных оценок (метод abc), методы Ф. Трикоми и A.B. Бицадзе решения задачи Трикоми для уравнений (2), (3) и в том числе, метод редукции смешанной задачи к краевой задаче Римана-Гильберта для аналитических функций комплексного переменного в случае уравнений (16), (17).

В работе впервые установлен принцип экстремума и дано решение задачи Дирихле и аналогов задач Трикоми и Геллерстедта для уравнений смешанного типа с оператором Лаврентьева-Поритского в главной части; доказана теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для класса линейных уравнений в частных производных с оператором Чаплыгина в главной части в смешанной области, содержащей внутри себя интервалы линий параболического вырождения; доказаны теоремы единственности и существования решения основных краевых задач для уравнений смешанных параболо-гиперболического и эллиптико-гиперболического

типов с гиперболическим вырождением порядка.

Имеющими существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа результатами работы являются:

1. Теоремы (1.1.1, 1.1.2, 1.2.1, 1.3.1, 1.3.2, 1.4.1, 1.6.1) единственности и существования решения задачи Дирихле, аналогов задачи Трикоми и задачи Геллерстедта для моделей Лаврентьева-Поритского уравнения Чаплыгина в смешанных областях, содержащих интервалы параллельных линий параболического вырождения.

2. Теорема 2.1.1 об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с первым вариантом оператора Лаврентьева-Поритского в главной части.

3. Теорема 2.2.1 о принципе экстремума для класса линейных уравнений смешанного типа с дифференциальным выражением Лаврентьева-Поритского в главной части.

4. Теорема 2.3.1 об априорной оценке решения аналога краевой задачи Трикоми для класса линейных уравнений смешанного типа с оператором Чаплыгина в главной части.

5. Теорема 2.4.1 о единственности и теорема 2.4.3 о существовании решения основной краевой задачи 2.4.2 для широкого класса уравнений смешанного параболо-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

6. Теорема 2.5.1 о единственности и теорема 2.5.2 о существовании решения основной краевой задачи 2.5.1 для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа с гиперболическим вырождением порядка.

Эти основные научные результаты научно-квалификационной работы

имеют теоретическую ценность. Практическая ценность состоит в том, что результаты работы могут быть использованы в математической биологии, при математическом моделировании задач газовой динамики и процессов, протекающих в режимах с обострением, а также при разработке корректных математических моделей гидравлического удара в трубопроводных системах.

Научно-квалификационная работа выполнена по основному направлению научной деятельности Федерального государственного бюджетного учреждения науки Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН «Нелокальные дифференциальные уравнения и математическая физика фракталов».

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кудаева, Залина Валерьевна

Заключение

Диссертация является научно-квалификационной работой, в которой содержится решение следующей системы задач, имеющей существенное значение в области дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа:

1. Задача Дирихле (задача 1.1.1) и аналоги задачи Трикоми (задачи 1.3.1, 1.4.1) и задачи Гелерстедта (задача 1.5.1) для уравнения

Ь+и = 8щпу(у - 1) • ихх + иуу = О в ограниченной смешанной области, содержащей интервалы линий у = О, у = 1 параболического вырождения;

2. Аналог задачи Трикоми (задача 1.6.1) для уравнения

Ь~и = - у) • ихх + иуу = О в ограниченной смешанной области, содержащей интервалы линий у = О, у — 1 параболического вырождения;

3. Аналог задачи Трикоми (задача 2.1.1) для уравнения

Ь^и + (хих + Я иу)р 4- ти — /(ж, у) в ограниченной смешанной области, эллиптическая часть которой представляет собой объединение двух односвязных областей, расположенных в полуплоскостях у < 0 и у > 1;

4. Аналог задачи Трикоми (задача 2.3.1) для класса уравнений смешанного типа вида

К(у)ихх + иуу + а(х, у)их + Ъ(х, у)иу + с(х, у)и = О, где sign К (у) = sign — г/), и принцип экстремума для линейного уравнения с дифференциальным оператором Лаврентьева-Поритского L" в главной части;

5. Краевая задача (задача 2.4.2) для линейного уравнения смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе;

6. Краевая задача (задача 2.5.1) для линейного уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа второго порядка с гиперболическим вырождением порядка в двумерной полосе.

Выносимые на защиту научные результаты были предметом обсуждения на заседаниях научно-исследовательского семинара по проблемам современного анализа, информатики и физики и прошли апробацию на следующих научных мероприятиях - III Международная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". (Нальчик, 2006 г.), Международный Российско-Азербайджанский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.), Международный Российско-Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". (Нальчик-Эльбрус, 2009 г.), Седьмая Всероссийская конференция "Математическое моделирование и краевые задачи". (Самара, 2010 г.), Международный Российско-Болгарский симпозиум "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики".(Нальчик-Хабез, 2010 г.), I Всеросийская конференция молодых ученых " Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". (КБР пос. Терскол, 2010 г.), II Международный Российско - Казахский симпозиум

Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". (Нальчик, 2011 г.), Международная конференция молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". (Нальчик, 2011 г.).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудаева, Залина Валерьевна, 2011 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азовский В.В., Носов В.А. Решение обобщенной задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа в бесконечной области // Волжский математический сборник. Куйбышев: Куйб. пед. ин-т. Вып. 15, 1973. С. 3-9.

2. Андреев A.A., Саушкин И.Н. Об аналоге задачи Трикоми для одного модельного уравнения с инволютивным отклонением в бесконечной области // Вестн. СамГТУ. Сер. Физ-мат наук. 2005. Выпуск 34. С. 10 -16.

3. Базарбеков A.B. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1974. Т. X, № 1. С. 18 - 23.

4. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. - М.: ИЛ., 1961. - 208 с.

5. Бицадзе A.B. О некоторых задачах смешанного типа// ДАН СССР. 1950. Т. 70, № 4. С. 561 - 564.

6. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа// Труды Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. - М. 1953. Т. 41, С. 1 - 58.

7. Бицадзе A.B. Об одном элементарном способе решения некоторых граничных задач теории голоморфных функций и связанных с ними особых интегральных уравнений // Успехи математических наук. 1957. Т. XII, Вып. 5(77), С. 185 - 190.

8. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. - М.: Из-во АН ССР, 1959. - 164 с.

9. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981. - 448 с.

10. Векуа И.Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

11. Губайдулш К.А. Решение некоторых краевых задач для уравнений смешанного и смешанно-составного типа // Волжский математический сборник, 1971. Вып. 8. С. 85-94.

12. Джураее Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. - Ташкент: ФАН, 1979. - 238 с.

13. Джураее Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. - Ташкент: ФАН, 1986. - 220 с.

14. Зарубин А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Учебное пособие. - Орел: ОГУ, 1997. - 225 с.

15. Зарубин А.Н. Краевая задача для дифференциально-разностного уравнения смешанного типа с параллельными линиями вырождения // Материалы II Международного Российско - Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и IX Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик, 2011. С. 63 - 67.

16. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН, 1962. Т. XVII, Вып. 23 (105). С. 3-146.

17. Кальменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: "Гылым", 1993.-327 с.

18. Кудаева З.В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. Т.9, № 2. С. 39 - 43.

19. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения // Материалы Международного Российско - Азербайджанского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и VI Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Эльбрус, 2008. С. 217 - 219.

20. Кудаева З.В. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Материалы Международного Российско - Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и VII Школы молодых ученых " Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик - Эльбрус, 2009. С. 287 - 288.

21. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами на двух параллельных линиях параболического вырождения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. № 2. С. 19 - 22.

22. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с параллельными линиями параболического вырождения // Материалы VIII Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик -

Хабез, 2010. С. 54 - 56.

23. Кудаева З.В. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Материалы I Всеро-сийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик - Терскол, 2010. С. 99 - 101.

24. Кудаева З.В. Краевая задача для уравнения смешанного типа с вырождением порядка // Труды седьмой Всеросийской научной конференции с международным участием. Самара. 2010. Часть 3. С. 143 - 146.

25. Кудаева З.В. Краевая задача для одного уравнения смешанного типа с вырождением порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН.2010. № 3 (35). С. 127- 134.

26. Кудаева З.В. Краевая задача для линейного уравнения смешанного типа второго порядка с двумя параллельными линиями вырождения // Материалы Международного II Российско - Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "и IX Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик, 2011. С. 63 - 67.

27. Кудаева З.В. О принципе экстремума для одного класса линейных уравнений смешанного типа с двумя параллельными линиями параболического вырождения //Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2011. Т. 13, № 1. С. 74 - 76.

28. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Изд-во Ленинградского университета, 1990. -

208 с.

29. Ланин И.Н. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа второго порядка с несколькими параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1977. Т. XIII, № 1. С. 168-169.

30. Марине в О. И., Килбас А. А., Репин О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами. - Самара.: Изд-во Самарского госсударственного экономического университета, 2008. - 276 с.

31. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром - М.: Изд-во МГУ, 1988. - 150 с.

32. Нахушев A.M. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН СССР. 1966. Т. 170, № 1. С. 38 - 40.

33. Нахушев A.M. Об одной задаче смешанного типа для уравнения у{у - 1 )uxx + иуу = 0 // ДАН СССР. 1966. Т. 166, № 3. С. 536 - 539.

34. Нахушев A.M. Краевые задачи для уравнения смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения // Тез. Междунар. конгр. математиков. М., 1966. С. 62.

35. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения // Сиб. мат. журн. 1967. Т.8, № 1. С. 19 - 48.

36. Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя линиями параболического вырождения // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З, № 1. С. 45 - 58.

37. Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183, № 2. С. 261-264.

38. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. - Нальчик: Эльбрус. - 1992. - 155 с.

39. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

40. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

41. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. - М.: Наука, 2006. - 287 с.

42. Нахушев, A.M. Вклад академика H.H. Векуа в развитие теории уравнений смешанного типа // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2007, Т. 3, № 2, С. 9 - 16.

43. Полосин A.A. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа с двумя параллельными линиями вырождения // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 1. С. 168-171.

44. Пулькин С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе // ДАН СССР. 1958. Т. 118, № 1. С. 148-153.

45. Пулькин С.П. Избранные труды. - Самара: Из-во "Универс групп", 2007. - 203 с.

46. PadojKoe Асен С. Контурни проблеми за равенки од мешан тип. - Штип, 2000. - 173 с.

47. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. - Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1992. - 161 с.

48. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. - Ташкент: ФАН, 1974.- 156 с.

49. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. - Ташкент: ФАН, 1997.

- 165 с.

50. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. - Ташкент: Universitet, 2005. - 224 с.

51. Салахитдинов М.С. Уринов А.К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. - Ташкент: Mumtoz So'z, 2010. - 356 с.

52. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. - М: Наука, 1966. - 448 с.

53. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. - М.: Наука. -1970. - 296 с.

54. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991. 207 с.

55. Трикоми Ф. О линейных уравнениях второго порядка смешанного типа.

- M.-JL: Гостехиздат. 1947. - 192 с.

56. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М., 1957.

- 444 с.

57. Фалъкович C.B. Уравнения типа Чаплыгина в магнитной газодинамике // Известия Высших учебных заведений, Математика, 1969. С. 88 - 97.

58. Agmon S., Nirenberg L.; Protter, M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equations and applications to equations of mixed elliptic -hyperbolic type // Commun. Pure and Appl. Math. 1953. Vol. 6, № 4. P. 455 - 470.

59. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte // Uppsala. 1935. P. 391.

60. Protter M.H. Uniqueness theorems for the Tricomi problem // Rational Mech. and Analysis. 1953. Part 1,2. P. 107-114.

61. Poritsky H. Polygonal Approximation Method in the Hodograph Plane// Proceeding of symposia in Applied Mathematics. 1949. 1, P. 94-116.

62. Rassias J. M Extended Bitsadze-Lavrent'ev problem with elliptic arcs in euclidean plane // Comptes rendys de l'Academie Bulgare des Sci. 1985. Vol. 38, № 1. P. 31-34.

63. Sibner L.M. A boundary problem for an equation of mixed type having two transitions //J. differential Equation 4. 1968. P. 634 - 645.

64. Zaremba S.Sun on problème mixte rebatif a l'équation de Laplace // Успехи математических наук. 1946. I. 3-4.