Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Демина, Татьяна Ивановна

• Демина, Татьяна Ивановна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Демина, Татьяна Ивановна

Введение

1 Краевые задачи для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольных областях

§ 1. Постановка смешанных задач. Теоремы существования II единственности решений.

§ 2. Доказательство единственности решения смешанных задач

§ 3. Доказательство существования решения задачи 1.1.

§ 4. Доказательство существования решения задачи 1.2.

§ 5. Задача Неймана.

2 Краевые задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа в цилиндрических областях

§ 1. Единственность решения смешанной задачи.

§ 2. Смешанная задача в прямоугольном параллелепипеде

3 Краевые задачи для гиперболических уравнений в многомерных областях

§ 1. Постановка краевых задач.

§ 2. Единственность решения смешанных задач в цилиндрической области.

§ 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения в прямоугольной области

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений смешанного и гиперболического типа в прямоугольных и цилиндрических областях»

Изучение уравнений смешанного типа в силу ее прикладной важности является одной из центральных проблем теории уравнений с частными производными.

Большое внимание привлекают вопросы корректности краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа. Интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и их многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии н других областях. Поэтому разработка методов решений краевых задач для уравнений смешанного типа является одной из важных проблем современной теории дифференциальных уравнений.

Теория уравнений смешанного типа берет свое начало от фундаментальных исследований Франческо Трикоми, опубликованных в двадцатых годах прошлого столетия.

Впервые задача нахождения решения уравнения смешанного типа в смешанной области была поставлена и исследована для уравнения уихх + иуу = 0, (0.1) которое сейчас называют уравнением Трикоми. Ф.Трнкоми изучил краевую задачу (задачу Трикоми) в области, гиперболическая часть которой огранпчена отрезком действительной оси [0, 1] на линии перехода и двумя пересекающимися характеристиками, исходящими из точек (0, 0) н (1,0).

Исследования были продолжены в 30-е годы М. Чибрарио и С. Гел-лерстедтом. Обобщения результатов Ф. Трпкоми для уравнения

У2т+Хихх + Пуу = 0 принадлежат С. Геллерстедту.

С.А. Чаплыгин показал, что построение теории газовых струй тесно связано с изучением уравнения

Ку)пхх + иуу = 0, которое в настоящее время носит его имя. Коэффициент к является известной функцией переменного у, которая предполагается положительной при у > 0 и отрицательной при у < 0. Случай к(у) > 0 соответствует дозвуковому течению, а случай к (у) < 0 - сверхзвуковому течению газа.

При изучении околозвукового течения газа приходится иметь дело с уравнением Чаплыгнна в смешанных областях.

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля, в которых было показано, что задача истечения сверхзвуковой струн из сосуда с плоскими стенками сводится к задаче Трнкоми для уравнения Чаплыгина. М.А. Лаврентьев предложил более простую модель уравнений смешанного типа ихх + sign у ■ иуу = 0, (0.2) впоследствии названное уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бнцадзс [5] осуществил подробное исследование этого уравнения.

И.Н. Векуа указал на важность изучения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в связи с задачами теории бесконечно малых изгибаний поверхностей и безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Возникла проблема нахождения областей, для которых задача Дирихле окажется корректно поставленной, что явилось объектом дискуссии многнх авторов.

В работах H.H. Вахания [9] и I.R. Cannon [6G] доказана корректность задачи Дирихле для уравнения (0.2) в прямоугольных областях, обладающих специальными свойствами.

A.M. Нахушевым [37] установлено, что задачи Дирихле для уравнения (0.2) в области Q = Qj U / U ih, где f^ - ограниченная односвязная область верхней полуплоскости у > Ос кусочно-гладкой границей, содержащей интервал 1: 0 < х < 1 прямой i/ = 0, а 0,2 = 1x1 - квадрат О < х < 1, -1 < у < 0, всегда разрешима и притом единственным образом.

В работе [57] А.П. Солдатовым дается прямое доказательство существования и единственности решения задачи Дирихле для уравнения (0.2) в канонической смешанной области, ограниченной дугами окружности и гиперболы, а также общей смешанной задачи (по терминологии A.B. Бнцадзс) и задачи к ней сопряженной. Эти результаты были ранее анонсированы в работах [55], [50].

Единственность решения задачи Дирихле для гиперболического уравнення

- с{х)и - иуу = 0 в цилиндрической области доказана D.R. Dunninger и Е.С. Zacliiiianoglov [G7], а для уравнений в частных производных смешанного типа A.M. На-хушевым [37].

Особую роль в теории задач Дирихле для уравнения струны сыграла работа Ф.Джона (1941 г.), в которой детально анализируется связь специальных, сохраняющих ориентацию, топологических отображений границы области на себя с разрешимостью и единственностью решения задачи Дирихле для уравнення иху = 0.

СЛ. Соболев в работе [54] рассмотрел систему уравнений, эквивалентную уравнению колебания струны, и установил условия существования единственного решения задачи с данными на всей границе. H.H. Бахания [И] выписал решение предложенной задачи, определив свойства граничных функций.

10.М. Березанскнй [3], [4] рассматривал решения из пространства Lj задачи Дирихле для уравнення струны. Ему удалось построить примеры областей, для которых обобщенные решения задачи устойчивы относительно малых возмущений границы.

Н.И. Поливанов [42] для широкого класса вырождающихся гиперболических уравнений установил оценку решения и доказал существование сильного решения задачи Дарбу для любой правой части.

- 7В работах [G2], [G3] найдены условия существования, единственности и непрерывной зависимости от правых частей уравнений и граничных условий решений задач с данными на всей границе области для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического и составного типов.

Также следует отметить ряд работ [9], [10], [40], [58], [59], посвященных поиску смешанных областей, для которых задача Дирихле является корректно поставленной. Наиболее полная библиография по этой проблеме представлена в монографии М.М. Хачева [64].

М.В. Швецкпм [G5] решены краевые задачи типа Трнкоми, Дирихле и Неймана для модельного уравнения смешанного типа ихх + sign у \у\тиуу = 0 с характеристическим вырождением внутри прямоугольной области при определенных значениях параметра т.

К.Б. Сабитовым [48] поставлены смешанные краевые задачи и доказаны теоремы существования и единственности решений для уравнений смешанного типа с сильно характеристическим вырождением типа на границе области. В работах [49], [50] доказана единственность решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения утихх - иуу + Ь2и = 0, т > 0, Ь > 0 в прямоугольной области.

В монографии Е.И. Моисеева [3G] изучается задача Трнкоми для уравнения эллиптико-гиперболичсского типа со спектральным параметром. Уравнение смешанного типа берется с произвольным степенным вырождением на линии изменения типа, устанавливаются области на комплексной плоскости, в которых нет точек спектра.

Фундаментальные результаты теории уравнений смешанного типа получены в работах A.B. Бицадзс [5] - [8], К.И. Бабенко [2], С.П. Пуль-кнна [43], [44], М.М. Смирнова [53], С.А. Алдашева [1], Д.К. Гвазава [12], Т.Д. Джураева [27], Т.Ш. Кальменова [31], Г.Д. Каратопраклнева [32], [33], A.M. Нахушева [38], Л.С. Пулькннон [45], [4G], O.A. Репина [47], AI.С. Салахнтдинова [51], А.П. Солдатова [57], М.М. Хачева [04].

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Демина, Татьяна Ивановна

Заключение

В данной диссертационной работе исследованы краевые задачи для гнперболо-эллиптических и гиперболических уравнений в прямоугольных н цилиндрических областях.

1. Доказаны теоремы существования и единственности решений двух смешанных задач и задачи Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области.

2. Доказана единственность решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в цилиндрической области.

3. Доказана теорема существования и единственности решения смешанной задачи для уравнения гиперболо-эллиптического типа в прямоугольном параллепипеде.

4. Доказана единственность решения краевых задач для уравнения гиперболического типа в цилиндрической области.

5. Доказаны теоремы существования и единственности решений трех смешанных задач для телеграфного уравнения в прямоугольной области.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Демина, Татьяна Ивановна, 2006 год

1. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических уравнении и уравнении смешанного типа: Автореф. дне. . докт. фнз.-мат. наук. Киев, 1990. - 32 с.

2. Бабенко К. И. К теории уравнении смешанного типа: Автореф. дне. . докт. физ.-мат. наук. М., 1952

3. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев, 1965. - 789 с.

4. Б ереванский Ю.М. Существование слабых решении некоторых краевых задач для уравнении смешанного типа // Укр. матем. журнал. -1963. T.XV. - №41. - С. 347 - 364

5. Бицадзе A.D. Некорректность задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанных областях // Докл. АН СССР. 1958. Т.122. - N22. - С.167 - 170

6. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М., 1959. - 164 с.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнении второго порядка. М., 1966. - 204 с.

8. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнении в частных производных. М., 1981. 448 с.

9. Бахания H.H. О задаче Дирихле для уравнения колебания струны // Сообщ. АН Груз.ССР. 1958. - T.XXI. - №2. - С.131 - 138-9610. Бахания Н.Н. Об одной особой задаче для уравнения смешанного типа / Тр. Выч. центра АН Груз. ССР. Тбилиси, 1963. - С.69 - 80

10. Бахания Н.Н. Об одной краевой задаче с заданием на всей границе для гиперболической системы, эквивалентной уравнению колебания струны // Докл. АН СССР. 1963. - Т.116. - №6. - С.906 - 909

11. Гвазава Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений смешанного типа: Дне. . докт. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1979. - 148 с.

12. Демина Т. И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научно-практической конференции "VI неделя науки МГТИ". Майкоп, 2001. - С.18 - 19

13. Демина Т.И. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа / Материалы международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения". Самара, 2002. - С. 108

14. Демина Т.Н. Задача Неймана для уравнения смешанного типа / Доклады пятой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука XXI веку". Майкоп, 2004. С.36 - 37

15. Демина Т.Н. Задача Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Материалы международного Российско-Казахского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы аналнза и информатики". Нальчик, 2004. - С.55 - 56

16. Демина Т. И. Критерий единственности решения смешанных задач для гиперболического уравнения в цилиндрической области // Известия Кабардино-Балкарского Научного центра РАН. 2004. - №2 (12). - С.112 - 115

17. Демина Т. И. Критерий единственности решения смешанной задачи для уравнения гнисрболо-эллиптнческого типа в цилиндрической области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. Т.7. - №2. - С.18 - 20

18. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области / Материалы III Школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи современного анализа и информатики". Нальчик, 2005. - С.24 - 20

19. Демина Т.И. Смешанная задача для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в прямоугольной области // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной Академии наук. 2005. - Т.8. №1. - С.30 -37

20. Демина Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бнцадзс в прямоугольной области / Наука 2005. Ежегодный сборник научных статей молодых ученых и аспирантов АГУ. Майкоп, 2005. С.10 - 10

21. Демина Т. И. Об одной смешанной задаче для уравнения Лаврентьева-Бицадзе / Доклады шестой всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых "Наука XXI веку". Майкоп, 200G. - С.98 - 105

22. Зарубин А.Н. Аналог задачи Трнкомн для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 199G. Т.32. .№3. - С.350 - 35G

23. Калъменов Т.Ш. О регулярности краевых задач и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М., 1982. - 27 с.

24. Каратопраклиев Г. Д. Об одной краевой задаче для уравнений смешанного типа в многомерных областях // Докл. АН СССР. 19G9. -Т.188. №6. - С.1223 - 122G

25. Каратопраклиев Г.Д. О единственности решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа и гиперболических уравнений в пространстве // Дифференц. уравнения. 1982. - Т.18. т. С.59 - G3

26. Ладыженская O.A. Смешанная задача для гиперболических уравнений. М., 1953. - 280 с.

27. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. AI., 1973. 408 с.3G. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М., 1988. - 150 с.

28. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Дпфференц. уравнения. 1970. Т.О. - №1. - С. 190 - 191

29. Нахушев A.M. Об одном классе лннейных краевых задач для гиперболического н смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик, 1992. 155 с.

30. Нахушев A.M. Уравнения математической биологин. М., 1995. -301 с.

31. Нгуен Тьи Тхань. Краевые задачи Дирихле и типа Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бпцадзе и его аналога в областях прямоугольного вида или с бесконечным множеством особых точек: Авто-реф. дне. . канд. физ.-мат. наук. Минск, 1983

32. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях в частных производных. -М. Л., 1950. - 400 с.

33. Поливанов H.H. Многомерный аналог задачи Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений // Дпфференц. уравнения. -1978. Т.14. - Ш. - С.80 - 932

34. Пулькин С. П. Задача Трикомн для общего уравнения Лаврентьева-Бнцадзе // Докл. АН СССР. 1958. - Т.118. - №1. - С.38 - 41

35. Пулькин С.П., Ежов A.M. Оценка решения задачи Трикомн для одного класса уравнении смешанного типа // Докл. АН СССР. 1970. -Т.193. т. - С.978 - 980

36. Репин O.A. Задача Трикомн для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой полуполоса // Днфференц. уравнения. - 199G. - Т.32. - №3. - С.350 - 35G

37. Сабитов К. Б. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с вырождением второго рода на границе области: Автореф. дне. . канд. физ.-мат. наук. Куйбышев, 1980. - 14 с.

38. Сабитов К.Б. Критерий единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося гиперболического уравнения / Материалы международной конференции "Тихонов и современная математика". М., 2006. - С.223 - 224

39. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент, 1974. 154 с.

40. Смирнов Б.И. Курс высшей математики. Т.2. М., 1961. - 628 с.

41. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1970. 296 с.

42. Соболев С.Л. Пример корректной краевой задачи для уравнения колебания струны с данными на всей границе // Докл. АН СССР. -1956. Т.109. - №4. - С.707 - 709

43. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности // Докл. РАН. 1993. Т.332. -№6. - С.696 - 698

44. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бнцадзе. II. Теоремы существования // Докл. РАН. 1993. - Т.333. -№1. - С.16 - 18

45. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврснтьева-Бнцадзе. // Дифференц. уравнения. 1994. - Т.ЗО. - №11. - С.2001 -2009

46. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения // Дифференц. уравнения. 1981. - Т.17. - №1. - С.150 -15G

47. Сохадзе Р. И. Первая краевая задача для уравнений смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1985. -14 с.

48. GO. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 19GG. - 724 с.

49. G1. Толстое Г.П. Ряды Фурье. М., 1980. -- 384 с.

50. G2. Фиголъ В. В. Об устойчивости задачи Дирихле для гиперболических уравнений /Общая теория граничных задач. Сб. научн. трудов. -Киев, 1983. С.298

51. Фиголъ В.В. Краевые задачи с данными на всей границе для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Донецк, 1985. 15 с.

52. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа. Нальчик, 1998. - 1G8 с.

53. Dunninger D.R., Zachmanoglov E.C. The condition for uniqueness of the Dirichlet problem for hiperbolic equations in cilindrical domains // J. Math. Mccli. 1969. V.18. - №8. - P.763 - 766