Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хубиев, Казбек Узеирович

• Хубиев, Казбек Узеирович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хубиев, Казбек Узеирович

Введение

Глава I. Аналог задачи Трикоми

1.1. Задача для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики.

1.2. Задача для уравнения с нагрузкой общего вида

1.3. Задача для уравнения с переменными коэффициентами

Глава II. Задача Геллерстедта

2.1. Задача для уравнения с нагрузкой общего вида

2.2. Задача с разрывными условиями склеивания для уравнения с нагрузкой на линии изменения типа.

Глава III. Нелокальные краевые задачи

3.1. Задача со смещением для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики.

3.2. Задача со смещением для уравнения с нагрузкой общего вида

3.3. Задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения с нагрузкой на линии изменения типа.

3.4. Нелокальная краевая задача с интегральным условием для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа»

Изучение уравнений смешанного типа является одним из важнейших направлений теории уравнений с частными производными. Необходимость исследования краевых задач для уравнений смешанного типа продиктована многочисленными практическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментиой теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в прогнозировании уровня грунтовых вод, в математической биологии и других областях. Так же хорошо известно, что многие весьма важные задачи математической физики и биологии, в особенности, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования грунтовых вод, задачи тепло-массопереноса с конечной скоростью, движения мало сжимаемой жидкости, окруженной пористой средой, оптимального управления агроэкосисте-мой, приводят к краевым задачам для линейных нагруженных уравнений с частными производными. Этим обуславливается актуальность исследований краевых задач для нагруженных уравнений смешанного типа.

В 1902 году С.А. Чаплыгин в своей диссертации "О газовых струях" [76], при исследовании движения газа от дозвуковой к сверхзвуковой скорости получил уравнение смешанного типа, которое в дальнейшем было названо уравнением Чаплыгина.

Систематическая разработка теории краевых задач для уравнений смешанного типа началась в двадцатых годах прошлого столетия с основополагающих результатов Ф. Трикоми [72, 73] и С. Геллерстедта [77].

Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанноготипа стали работы Ф.И. Франкля [74, 75], М.А. Лаврентьева [35], A.B. Бицадзе [6, 7].

Фундаментальные результаты в теории уравнений смешанного типа получены в работах Алдашева С.А. [1], Бабенко К.И. [5], Бицадзе A.B. [8], Гвазава Д.К. [14], Джураева Т.Д. [17, 18], Елеева В.А. [19, 22], Зарубина А.Н. [23, 24],-Золиной J1.A. [25], Кальменова Т.Ш. [30], Каратопракли-ева Г.Д. [31], Моисеева Е.И. [36], Нахушева A.M. [38, 49], Пулькина С.П. [56], Пулькиной Л.С. [57], Репина O.A. [59], Сабитова К.Б. [61, 62], Са-лахитдинова М.С. [63], Смирнова М.М. [64], Солдатова А.П. [66, 67, 68],

Стручиной Г.М. [69] и других авторов.

В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд задач нового типа, вошедших в математическую литературу под названием краевых задач со смещением, которые, как оказалось, тесно связаны с нагруженными дифференциальными уравнениями [39, 40, 41, 47, 48, 52, 53].

Исторически сложилось так, что первые работы по нагруженным уравнениям были посвящены нагруженным интегральным уравнениям. Термин "нагруженное уравнение" впервые появился в работах Кнезера применительно к интегральным уравнениям. Принятое сейчас в научной литературе общее определение нагруженных уравнений было дано в 1976 г. A.M. Нахушевым в [41], и приводится в работах [44, 45, 46]. Общее определение нагруженных дифференциальных и интегральных уравнений приведено в [50].

Определение. Пусть Q- п -мерная область евклидова пространства Rn точек х = (xi,., хп). Заданное в области Q дифференциальное, интегральное или функциональное уравнение Lu = fix) называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения и = и(х) на принадлежащих замыканию Q многообразиях размерности меньше п.

Именно результаты A.M. Нахушева и его учеников дали начало интенсивному изучению краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического, параболического, гиперболо-параболичсского и эллиптико-пара-болического типов исследованы в работах Нахушева A.M. [43], [42], [41] -[48], Аттаева А.Х. [2, 3, 4], Бородина A.B. [11, 12, 13], Елеева В.А. [20, 21], Казиева В.М. [27, 28, 29], работах [10], [15], [32], [33], [54], [55], [58], [60] и др.

Так же обширная библиография по нагруженным уравнениям и исследованию эллиптических, параболических и гиперболических уравнений приводится в монографии Дженалиева М.Т. "К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений"[16].

Основной целью работы является исследование вопросов однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для линейных нагруженных дифференциальных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка.

Результаты работы получены с использованием метода интеграла энергии, методов теории интегральных уравнений, методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы заключается в доказательстве теорем существования и единственности решения аналога задачи Трикоми, задачи Гел-лерстедта, задачи со смещением, нелокальной краевой задачи типа задачи Бицадзе-Самарского и нелокальной краевой задачи с интегральным условием в гиперболической части для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теоремы существования и единственности решения аналога задачи Трикоми для различных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа.

2. Теоремы существования и единственности решения задачи Геллер-стедта с разрывными и неразрывными условиями склеивания.

3. Теоремы существования и единственности решения нелокальных краевых задач для нагруженных уравнений.

Работа является теоретической. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью уравнений смешанного типа и нелокальных краевых задач в математическом моделировании, газовой динамике и других областях.

Результаты работы докладывались на Международном Российско-Казахском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2004 г.), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик-Эльбрус, 2008 г.), на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (Нальчик, 2006 г.), на III Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования" (Воронеж, 2009 г.), на II—VI школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2004-2008 г.), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.), на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям БелГУ (руководитель - Солдатов А.П., февраль 2009 г.).

Основные результаты работы опубликованы в работах [781-[98]. Из нпх [86] и [96] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 9 пара*

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Хубиев, Казбек Узеирович

заключение

В диссертации, посвященной исследованию локальных и нелокальных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных смешанного гиперболо-параболического типа, получены следующие основные результаты:

1. Исследован аналог задачи Трикоми для уравнений с нагрузкой разного вида.

2. Исследована задача Геллерстедта для уравнения с нагрузкой общего вида.

3. Для уравнения с нагрузкой на линии вырождения типа исследована задача Геллерстедта с разрывными условиями склеивания.

4. Исследована задача со смещением для уравнений с нагрузкой разного вида.

5. Исследована задача типа задачи Бицадзе-Самарского для уравнения с нагрузкой на линии вырождения типа.

6. Для уравнения с нагрузкой, постоянной вдоль характеристики исследована нелокальная краевая задача с интегральным условием в гиперболической части.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постоянное внимание и поддержку в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хубиев, Казбек Узеирович, 2009 год

1. Алдашев, С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ С.А. Алдашев// Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. Киев. 1990. - 32 с.

2. Аттаев, А.Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений/ А.Х. Аттаев// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 1989. - 81 с.

3. Аттаев, А.Х. Задача Трикоми для модельного нагруженного уравнения смешанного типа/ А.Х. Аттаев// Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: Труды Международной конференции. Стерли-тамак, 24-28 июня 2008 г. Т. 2. - Уфа: Гилем, 2008. - С. 81-84.

4. Бабенко, К.И. К теории уравнений смешанного типа/ К.И. Бабенко// УМН. 1953. - Т. 8, вып. 2(54). - 160 с.

5. Бицадзе, A.B. О некоторых задачах смешанного типа/ A.B. Бицадзе// ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 4. - С. 561-564.

6. Бицадзе, A.B. К проблеме уравнений смешанного типа/ A.B. Бицадзе// Труды Мат. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. М. - 1953. - Т. 41. - С. 1-58.

7. Бицадзе, A.B. Уравнения смешанного типа/ A.B. Бицадзе// М.: Издательство АН СССР, 1959. - 172 с.

8. Бицадзе, A.B. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач/ A.B. Бицадзе, A.A. Самарский// ДАН СССР. 1969. -Т. 185, № 4. - С. 739-740.

9. Бозиев, O.JI. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа/ O.JI. Бозиев// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2000. - 94 с.

10. Бородин, A.B. Краевые задачи для нагруженных уравнений в частных производных/ A.B. Бородин// Матем. сб. Орджоникидзе: Изд-во СО-ГУ, 1976. - Вып. III. - С. 14-23.

11. Бородин, A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. I/ A.B. Бородин// Дифференц. уравнения. 1979. -Т. 15, № 1. - С. 18-26.

12. Бородин, A.B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных производных второго порядка. II/ A.B. Бородин// Дифференц. уравнения. 1980. -Т. 16, № 1. - С. 20-23.

13. Гвазава, Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений смешанного типа/ Д.К. Гвазава// Дис. . докт. физ.-мат. наук. Тбилиси, 1979. - 148 с.

14. Геккиева, С.Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени/ С.Х. Геккиева// Дис. . канд. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2003. - 73 с.

15. Дженалиев, М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений/М.Т. Дженалиев// Алматы. -1995. - 270 с.

16. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов/ Т.Д. Джураев// Ташкент: ФАН. - 1979. - 238 с.

17. Джураев, Т.Д. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболи-ческого типа/ Т.Д. Джураев, A.C. Сопуев, М. Мамажанов// Ташкент: ФАН. - 1986. - 220 с.

18. Елеев, В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений/ В.А. Елеев// Дифференц. уравнения.- 1979. Т. 15, № 1. - С. 41-53.

19. Елеев, В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка/ В.А. Елеев// Дифференц. уравнения. 1994. - Т. 30, - № 2. - С. 230-237.

20. Елеев, В.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа/ В.А. Елеев// Украинский мат. журнал. 1995. - Т. 47, №12. - С. 1639-1652.

21. Елеев, В.А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа/ В.А. Елеев// Дис. . докт. физ.-мат. наук. Киев.- 1995. 266 с.

22. Зарубин, А.Н. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом/ А.Н. Зарубин// Дифференц. уравнения. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 350-356.

23. Зарубин, А.Н. Уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом/ А.Н. Зарубин// Учебное пособие. Орел: ОГУ, 1997. - 225 с.

24. Золина, Л. А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа/ JI.A. Золина// ЖВМ и МФ. 1966. - Т. 6, № 6.- С. 991-1001.

25. Ильин, A.M. Линейные уравнения второго порядка параболического типа/ A.M. Ильин, A.C. Калашников, O.A. Олейник// УМН. 1962.- Т. 17, вып. 3. С. 3-141.

26. Казиев, В.М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-диф-ференциального уравнения второго порядка/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 181-184.

27. Казиев, В.М. Задача Трикоми для нагруженного уравнения Лаврен-тьева-Бицадзе/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 1. - С. 173-175.

28. Казиев В.М. Задача Гурса для одного нагруженного интегро-диф-ференциального уравнения/ В.М. Казиев// Дифференц. уравнения. -1981. Т. 17, № 2. - С. 313-319.

29. Кальменов, Т.Ш. О регулярности краевых задач и спектре для уравнений гиперболического и смешанного типов/ Т.Ш. Кальменов// Ав-тореф. дис. . докт. физ.-мат. наук. М. - 1982. - 27 с.

30. Каратопраклиев, Г.Д. Об одном обобщении задачи Трикоми/ Г.Д. Ка-ратопраклиев// ДАН СССР. 1964. - Т. 158, № 2. - С. 271-274.

31. Кожанов, А.И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче/А.И. Кожанов// Мат. заметки. 2004. - Т. 76, № 6. - С. 840-853.

32. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные зада-чи/А.И. Кожанов// ЖВМ и МФ. 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

33. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин// М.: Наука. - 1976. - 544 с.

34. Лаврентьев, М.А. К проблеме уравнений смешанного типа/ М.А. Лаврентьев, A.B. Бицадзе// ДАН СССР. 1950. - Т. 70, № 3. - С. 373-376.

35. Моисеев, Е.И. Уравнение смешанного типа со спектральным параметром/ Е.И. Моисеев// М.: Изд-во МГУ. - 1988. - 150 с.

36. Напсо, А.Ф. Об одной нелокальной задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа/ А.Ф. Напсо// Дифференц. уравнения. 1978. - Т. 14, № 1. - С. 186-187.

37. Нахушев, A.M. Об одной краевой задача для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа/ A.M. Нахушев, Х.Г. Бжихатлов// ДАН СССР. 1968. - Т. 183, № 2. - С. 261-264.

38. Нахушев, A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1969. -Т. 187, № 4. - С. 736-739.

39. Нахушев, A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Дифферент уравнения. 1969. - Т. 5. № 1. - С. 44-59.

40. Нахушев, A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12, № 1. - С. 103-108.

41. Нахушев, A.M. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности/ A.M. Нахушев, А.А. Керефов, Х.Ж. Дикинов// Дифференц. уравнения. 1976. - Т. 12, № 1. - С. 177-179.

42. Нахушев, A.M. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод/ A.M. Нахушев, В.Н. Борисов// Дифференц. уравнения. 1977. - Т. 13, № 1. - С. 105-110.

43. Нахушев, A.M. К теории нагруженных уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// Short communication (Abstracts). Section 11 Partial Differential Equations. Warszawa. - 1982. - P. 52.

44. Нахушев, A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения. Труды всесоюзного симпозиума. Тбилиси, 21-23 апреля 1982 г. С. 183-188.

45. Нахушев, A.M. Нагруженные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19, № 1. - С. 86-94.

46. Нахушев, A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21, № 1. С. 92-101.

47. Нахушев, A.M. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения/ A.M. Нахушев// Дифференциальные уравнения в частных производных и их приложения. Труды всесоюзного симпозиума. Тбилиси, 1986.

48. Нахушев, A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка / A.M. Нахушев// Нальчик: Эльбрус. - 1992. - 155 с.

49. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев// М.: Высш. шк. - 1995. - 301 с.

50. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение/ A.M. Нахушев// М.: Физматлит. - 2003. - 272 с.

51. Нахушев, A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением/ A.M. Нахушев// Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН. - 2005. - 63 с.

52. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// М.: Наука. - 2006. - 287 с.

53. Международной конференции. Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН,2001. С. 77-78.

54. Пулъкин, С. П. Задача Трикоми для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ С.П. Пулькин// ДАН СССР. 1958. - Т. 118, № 1. - С. 38-41.

55. Пулъкина, Л. С. Смешанная задача с интегральным условием для гиперболического уравнения/Л. С. Пулькина// Матем. заметки.- 2003. Т. 74, вып. 3. - С. 435-445.

56. Пулъкина, Л. С. Нелокальная задача для нагруженного гиперболического уравнения/ Л.С. Пулькина// Тр. МИАН. 2002. - Т. 236. -С. 298-303.

57. Репин, O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов/ O.A. Репин// Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. - 1992. - 161 с.

58. Сабитов, К.Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа/ К.Б. Сабитов// Дифференц. уравнения. 1988. - Т. 24, К2 11. -С. 1967-1676.

59. Сабитов, К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа/К.Б. Сабитов// Дис. . докт. физ.-мат. наук. М. - 1991. - 313 с.

60. Салахитдинов, М.С. Уравнения смешанно-составного типа/ М.С. Са-лахитдинов// Ташкент: ФАН. - 1974. - 156 с.

61. Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа/ М.М. Смирнов// М.: Наука. - 1970. - 296 с.

62. Соболев, С.Л. Уравнения математической физики/ С.Л. Соболев// -М.: Наука. 1966. - 444 с.

63. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. I. Теоремы единственности/ А.П. Солдатов// Докл. РАН. -1993. Т.332. 6. - С. 696-698.

64. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. II. Теоремы существования/ А.П. Солдатов// Докл. РАН.- 1993. Т. 333. 1. - С. 16-18.

65. Солдатов, А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева-Бицадзе/ А.П. Солдатов// Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. 11.- С. 2001-2009.

66. Стручина, Г. M. Задача о сопряжении двух уравнений/ Г.М. Стручи-на// Инженерно-физический журнал. 1961. Т. 4. -N5 11. - С. 99-104.

67. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский// М.: Наука. - 1977. - 735 с.

68. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения/ А.Н. Тихонов, A.B. Васильева, А.Г. Свешников// М.: Наука. - 1980. Выпуск 7. -232 с.

69. Трикоми, Ф. О линейных уравнениях смешанного типа/ Ф. Трикоми//- M.-J1.: Гостехиздат. 1947. - 192 с.

70. Трикоми, Ф. Лекции по уравнениям в частных производных/ Ф. Трикоми// М. - 1957. - 444 с.

71. Франкль, Ф.И. Обобщение задачи Трикоми и применение к решению прямой теории сопла Лаваля/ Ф.И. Франкль// Уч. зап. Кабардино-Балкарского гос. ун-та. 3. Нальчик. - 1959. - С. 79-93.

72. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике/ Ф.И. Франкль//- М.: Наука. 1973. -712 с.

73. Чаплыгин, С.А. О газовых струях/ С.А. Чаплыгин// Собрание сочинений. Т.2. -М.-Л.: АН СССР. - 1933.

74. Gellerstedt, S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte/ S. Gellerstedt//- Uppsala. 1935. - P. 3-91.

75. Хубиев, К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Всероссийской научной конференции. Т.З. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 231-232.

76. Хубиев, К.У. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 7, т. - С. 74-77.

77. Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения смешанного типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Меоюдународной академии наук. 2006.- Т. 8, Ш2. С. 69-72.

78. Хубиев, К.У. Аналог задачи Трикоми для нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа с переменными коэффициентами/ К.У. Хубиев// Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2007. - Т. 2(15). - С. 155-157.

79. Хубиев, К. У. Задача Геллерстедта для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Вестник Адыгейского государственного университета. 2007. - Т. 4(28). - С. 25-29.

80. Хубиев, К.У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, №2. - С. 71-74.

81. Хубиев, К. У. Об одной нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// В сб.: Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию.- Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. С. 331-335.

82. Хубиев, К. У. Внутреннекраевая задача для нагруженного уравнения смешанного типа/ К.У. Хубиев// Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2008. № 6. - С. 23-25.

83. Хубиев, К. У. Аналог задачи Трикоми и задача со смещением для модельного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа/ К.У. Хубиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, №2. - С. 68-72.