Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Акимов, Андрей Анатольевич

• Акимов, Андрей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Акимов, Андрей Анатольевич

Введение

Глава 1. Экстремальные свойства решений задачи Моравец

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Экстремальные свойства решений в области гиперболичности

§1.3. Экстремальные свойства решений в смешанной области

§1.4. Единственность решения задачи Моравец для уравнения Чаплыгина.

§1.5. Единственность решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина.

Глава 2. Существование решения задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми

§2.1. Постановка задачи Моравец для обобщенного уравнения

Трикоми.

§2.2. Краевые задачи в эллиптической и гиперболической областях

§2.3. Существование решения задачи Моравец в случае ортогонального подхода эллиптической границы к линии вырождения

§2.4. Существование решения задачи Моравец в случае произвольного подхода эллиптической границы к линии вырождения

Глава 3. Построение рещения задачи типа Моравец для уравнения смешанного типа методом спектрального анализа

§3.1. Задача на собственные значения.

§3.2. Построение решения задачи типа Моравец.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типа»

В 20 - х годах прошлого века первыми исследованиями в теории уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа явились работы Ф. Трикоми. Изучаемая им задача стала классической и теперь известна в литературе как «задача Трикоми».

Обнаруженные в конце 40-х годов 20-го столетия многочисленные приложения уравнений смешанного типа в газовой динамике, в безмоментной теории оболочек, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, аэродинамике дали новый толчок исследованиям в этой области. Пионерские работы в области трансзвуковых течений были проделаны Ф.И. Франклем и К. Гудерлеем. Фундаментальными работами стали также труды М.А. Лаврентьева, А.В. Бицадзе, К.И. Бабенко. В этих работах наряду с классическими в теории уравнений смешанного типа были поставлены и решены новые задачи.

В дальнейшем краевые задачи для уравнений смешанного типа изучались в работах многих отечественных и зарубежных ученых. Обзор основных результатов можно найти в монографиях А.В. Бицадзе [5] , JI. Берса [4], К. Гудерлея [9], Т.Д Джураева [И), Е.И. Моисеева [17], М.М. Смирнова [31], М.С. Салахитдинова [28].

Исследуя обтекание клина сверхзвуковым потоком газа, Ф.И. Франкль [35] показал, что если перед клином образуется зона дозвуковых скоростей, то возникает новая краевая проблема (задача jF),-b которой на плоскости годографа на части границы в гиперболической области известны значения решения и(х, у) уравнения Чаплыгина и на некоторой части эллиптической границы Г имеет место линейное соотношение

P{x,y)ux + Q(x,y)uy = О, где Р и Q - наперед заданные коэффициенты. К этим однородным граничным условиям для обеспечения единственности решения присоединяется дополнительно требование: z(x2,0) = d, где d - заданная константа. В работе [36] доказана теорема единственности при некотором ограничении, а именно 9q < 54°(где во - угол между стороной клина и направлением набегающего потока.)

Двумерное стационарное течение невязкого газа со сверхзвуковой подобластью, прилегающей к аэродинамическому профилю в околозвуковом приближении может быть описано потенциалом скорости <р(х,у), который удовлетворяет уравнению Кармана-Фальковича [4] у + 1)(1 - (Рх)<Рхх + <Руу = 0, (0-1) где 7 > 1 - постоянная адиабаты, х, у - декартовы координаты. Возмущение и(х,у) потенциала <р(х,у) удовлетворяет уравнению эллиптико -гиперболического типа

7 + 1)[(1 - их)их + иЦ2}х + иуу = 0, (0.2) которое следует из уравнения (0.1). Задача Франкля [37] для уравнения (0.2) на плоскости (х,у) состоит в нахождении гладкого решения этого уравнения при заданном возмущении скорости .«в-на бесконечности, условии симметрии и условии Неймана на части профиля. Единственность решения задачи Франкля была доказана Моравец [45] с использованием плоскости годографа. Позднее Кук доказала [39] аналогичную теорему непосредственно на плоскости (х, у).

Чтобы избежать формирования ударных волн около заданного профиля, вместо условия Неймана можно использовать краевое условие с наклонной производной, которое с физической точки зрения означает обтекание проницаемой (пористой или перфорированной) поверхности. Вместе с тем в практике аэродинамического проектирования широко используются алгоритмы с применением смешанного условия Неймана - Дирихле. Согласно ему, вдоль некоторого участка профиля задается непрерывное распределение модуля скорости, в то время как координаты этого участка должны быть найдены в процессе численного решения задачи [42], [47].

В работе C.S. Morawetz [46] была доказана единственность решения задачи типа Франкля для уравнения Чаплыгина ,

К{у)ихх + иуу = 0, (0.3) где уК(у) > 0 при у > 0, К(0) = 0, К'(у) > 0, К(у) - достаточно гладкая функция, доказывается методом вспомогательных функций на плоскости годографа, суть которого заключается в следующем: каждому решению уравнения ставится в соответствии функция

У)= J {Ки2х - u2)dy - 2uxuydx, (0.4)

0,0) и при условиях 7г/2 > а > 0 в точке А = (-1,0), 2ir > а > 37г/2 в точке В = (1,0), 0 < а < 27г на Г, где а - угол между положительным направлением оси Ох и направлением касательной к границе эллиптической области Г, и некоторых ограничениях на рост градиента решения в окрестности точек А, Е и В с использованием метода «аЬс» доказывается, что = 0 в области D, откуда вытекает единственность решения задачи Моравец. Геометрическое условие, наложенное на кривую Г, является существенным; Моравец [46] построила пример, в котором вышеуказанные условия в точках А и В нарушаются, а задача с нулевыми данными обладает нетривиальным решением.

Позднее М.М. Смирнов [30] доказал существование и единственность решения задачи Неймана-Трикоми для обобщенного уравнения Трикоми

Lu = sgny• | у \т uxx + uyy = 0, т = const > 0, (0.5) в предположении, что кривая Г оканчивается двумя сколь угодно малой длины дужками нормальной кривой.

В работе Б.В. Мелентьева [16] доказывается теорема единственности для уравнения yuxx + иуу = 0 с краевыми условиями: значения решения на одной характеристике и на части контура в эллиптической полуплоскости нулевые; на остальной части контура в эллиптической полуплоскости выполняется равенство aux + buy + cu = 0; здесь a,b,c- заданные функции, при условии acos(nx) + bcos(ny)c < 0. Теорема существования решения задачи Франкля им была получена, когда кривая Г имеет специальный вид.

К.Б. Сабитов [24] для задачи Трикоми с помощью альтернирующего метода типа Шварца, основанного на принципе экстремума для уравнений смешанного типа, доказал существование обобщенного решения без ограничения на подход кривой Г к линии изменения типа. В другой совместной работе К.Б. Сабитова и Н.Ю. Капустина [25] доказана единственность решения задачи Франкля для уравнения Чаплыгина. Там же установлена структура строения линий уровня в эллиптической области.

Для уравнения uxx + sgny-Uyy + A(x,y)ux + B(x,y)uy + C{x,y)u = Q

JI.E. Вострова [6] доказала единственность и существование решения краевой задачи, в которой на Г задана а на отрезке характеристике х — у = О - значение искомой функции.

Ю.М. Крикунов [12] рассмотрел задачу с производными в краевом условии на Г для этого же уравнения.

А.Г.Кузьмин [13] доказал единственность решения задачи Моравец для уравнения к(х,у)их]х + иуу = 0.

Спектральные задачи с условием Неймана на части эллиптической границы области D изучены в работах [26] и [27] для уравнений смешанного типа : ихх + sgny - иуу + \и = 0, ихх + УЩу + cxUy + \и = 0, 0 < а < 1.

В этих работах были найдены собственные значения и построена система соответствующих собственных функций спектральной задачи Трикоми -Неймана и показаны их применения при построение краевых задач в виде суммы ряда по собственным функциям.

Как видно из анализа, первые исследования в теории уравнений смешанного типа проводились для модельных уравнений Лаврентьева-Бицадзе, Трикоми и обобщенного уравнения Трикоми. Изучение этих задач имело важное прикладное значение. В последствии, различные обобщения стали носить чисто теоретический характер. Такие обобщения шли в следующих направлениях: во-первых, усложнение уравнений за счет добавления новых слагаемых, повышения порядка вырождения, образования нелинейности, во-вторых, увеличение количества рассматриваемых уравнений (изучение систем), в-третьих, изменение геометрии области, в-четвертых, замена классических краевых условий новыми, в частности, нелокальными, в-пятых, изучение спектральных задач и т.д. Однако, до сих пор, несмотря на большое количество работ в этой области, остаются нерешенными в полной мере классические задачи. И особенно ценным в таких условиях является результат, где получены известные факты, но при существенно более слабых ограничениях на коэффициенты, геометрию области, граничные функции.

Практически во всех указанных работах авторы не избавляются от ограничений геометрического характера на область, в которой исследуется задача: ортогональность подхода эллиптической границы области к оси Ох; малость длины линии вырождения, ограничение на форму эллиптической границы. При доказательстве теорем единственности и существования решения задачи типа Неймана накладываются жесткие ограничения относительно коэффициентов уравнения.

Г."

Объектом диссертационной работы является уравнение

Lu = К(у)ихх + иуу + Аих + Виу + Си = F(x, у), (0.6) где уК(у) > 0 при уф 0, в области D, ограниченной простой кривой Г, лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках Л(0,0) и В(1,0), I > 0, и характеристиками 71 и 72 уравнения (0.6) при у < 0: у у ъ : £ = z + J y/-K(t)dt = 0, 72 :r] = x- J y/-K(t)dt = о о где К(у) 6 С[ус, 0] П С2[ус, 0), ус - ордината точки С пересечения характеристик 7i и 72.

Пусть D+ = D C] {у > 0}, D- = D.П'{у < 0}. Для уравнения (0.6) в области D поставим задачу типа Неймана.

Задача Моравец. Найти функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) е C{D) П C\D U Г) П C\D U £>+);

0.7)

Lu(x, у) = F{x, у), (х, у) е D+ U ZL;

0.8) ifi^-— Uy = Lp(s), 0 < 5 < Z; dy ds

0.9) где (риф — заданные достаточно гладкие функции.

Целью данной работы является:

1) исследование экстремальных свойств решений задачи Моравец в областях эллиптичности, гиперболичности и, в целом, в смешанной области D в классе регулярных решений уравнения (0.6);

2) доказательство единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.6), в частности для уравнения Чаплыгина, без каких - либо геометрических ограничений на кривую Г;

3) доказательство единственности регулярного решения обобщенной задачи Моравец для уравнения (0.3) при более слабых ограничениях геометрического характера на кривую Г;

4) доказательство существования и единственности регулярного решения задачи Моравец для уравнения (0.5) при ортогональном подходе эллиптической границы Г области к линии вырождения;

5) доказательство существование обобщенного решения задачи Моравец для уравнения (0.5) при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания,

6) исследование спектральной задачи, соответствующей задачи Моравец, и построение решения задачи Моравец в виде суммы ряда по собственным функциям.

В главе 1 установлены экстремальные свойства решения уравнения (0.6) при некоторых ограничениях на коэффициенты и на основании этих свойств получена теорема единственности решения задачи Моравец, в частности, для уравнения Чаплыгина. Методом "аЬс"получены другие достаточные условия единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.3). Комбинируя метод вспомогательных функций и метод "аЬс"доказана теорема единственности решения обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина без каких-либо ограничений геометрического характера на эллиптическую границу области.

В §§1.1 и 1.2 приведена постановка задачи Моравец и для уравнения (0.6) в области гиперболичности исследованы экстремальные свойства решения. Перейдем в характеристические координаты (£, 77). Тогда уравнение (0.6) примет вид

Lqu ее Щг, + а(£, г})щ + ь(£, 7])uv + с(£, г))и = /(£, 77), (0.11) где (А + ВУ^К - К'/2л/=К) С а~ Ш ' '

4 К ' /4К ' а область D отображается в область А , ограниченной отрезками

ЛоВ0(7] = 0>ДА(т? = 0 и ЛоСЬК = пУсть а = /3 = expfbd функции а(£,77), af(£,77), £>(£,77), 0(^,77) непрерывны в А, кроме, быть может, отрезка AqBq и при (£, 77) £ A U BqCq удовлетворяют одному из следующих условий: г а(0,1?) > О, h = + аЬ - с > 0, € f(3{t,r1)c{t,ri)dt> 0, 0 < £ < 77 < /, ^ о

J (В2)

К,»?) - / >0, о < £ < 7] < I о

Определение 0.1. Регулярным в А решением уравнения (0.11) назовем функцию u(£,rf), удовлетворяющую условиям: 1) е С(К) П С1 (A), u(t] в (7(A), Lqu ее 0 б А;

2) производная ип непрерывна в А , кроме, быть может, отрезка AqBq. Теорема 0.1. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.11) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (В{); 2) /(£, г]) < 0(> 0) б А; 3) «(£, т/) - регулярное в А решение уравнения (0.11), удовлетворяющее условию щ = 0 на характеристике AqCo. Тогда если maxw(£, 77) > О I minи(£,г]) < 0 ), то этот максимум (минимум) дости-А V А / гается на отрезке AqBq.

Теорема 0.2. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.11) обладают отмеченной выше гладкостью и удовлетворяют условию (Bi); 2) /(£,77) = О б А; 3) и(£,г]) - регулярное в А решение уравнения (0.11), удовлетворяющее условию ип = 0 на характеристике AqCq. Тогда если max I u(£,rj) |> д

О, то этот максимум достигается на отрезке AqBq.

В §1.3 в эллиптической области доказаны утверждения о знаке производной решения по нормали в точке и вблизи точки изолированного максимума решения уравнения (0.6) на линии вырождения.

В этом же параграфе установлены экстремальные свойства решений уравнения (0.6) в классе регулярных решений в смешанной области.

Определение 0.2. Регулярным в области D решением уравнения (0.6) назовем функцию, удовлетворяющую условиям (0.7) и (0.8), и дополнительно потребуем, что производная щ была непрерывной в замкнутой области D-, кроме, быть может отрезка АВ.

Теорема 0.3. Пусть: 1) коэффициенты уравнения (0.6) в области D+ ограничены и С(х,у) < 0; 2) коэффициенты уравнения (0.6) в области D- в характеристических координатах (£,77) удовлетворяют условиям теоремы 0.1; 3) F(x,y) > 0(< 0) на D+ U 4) и(х,у) - регулярное в D решение уравнения (0.6), удовлетворяющее условию (0.10), где функция

Ф{Х)У) = 0 на характеристике 71; 5) maхи(х,у) > 0 (minw(a;,y) <01. d \ d )

Тогда твхи(х,у) I minи(х,у) I достигается на кривой Г. D \ D /

Из принципа максимума следует единственность решения Моравец без каких-либо ограничений геометрического характера на Г. В §1.4 на примере уравнения Чаплыгина

Lu = К(у)ихх + иуу = 0 (0.12) показано применение теории, изложенной выше.

Теорема 0.4. Если ЪК>2 > 4КК" или 5К'2 < 4КК" и 2-^М(^)! > 0, то теорема 0.3 справедлива в случае уравнения (0.12).

Из этой теоремы, в частности, следует единственность решения задачи (0.7) - (0.10).

Здесь же приводится доказательство теоремы единственности решения задачи Моравец для уравнения (0.12) методом "аЬс"[40].

Определение 0.3. Под регулярным в D решением уравнения (0.12) будем понимать функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.7), (0.8) и к интегралам j J uLudxdy, J J uxLudxdy, J J uyLudxdy d d d можно применить формулу Грина.

Пусть т=а (§)'+!•

Теорема 0.5. Пусть 1) К (у) € С%, 0), К( 0) = 0, К'(у) > 0 при у <0 и F(0) > 0; 2) и(х,у) - регулярное в D решение уравнения Чаплыгина, удовлетворяющее условию 5[и(х,у)] = 0 на Г и 71. Тогда и{х,у) = const в D.

Отметим, что условия данной теоремы выполнены всюду для обобщенного уравнения Трикоми: sgny■ | у \т ихх + иуу = 0, т = const > 0. Отметим также, что аналог данной теоремы для задачи Трикоми был доказан в работе [44].

В §1.5 приводится постановка обобщенной задачи Моравец для уравнения Чаплыгина. Данная задача отличается от задачи (0.7) - (0.10) тем, что в гиперболической области граничное условие задается на кусочно - гладкой кривой, выходящей из начала координат и удовлетворяющей условию у dx + aJ—K(y)dy > 0. Пусть t(y) = f y/K(t)dt, a zq - предельное значение о функции = arccos{х/л/х2 + i2(у)) в точке А вдоль кривой Г, изменяющееся ОТ 0 ДО 7Г.

Определение 0.4. Регулярным решением в области D уравнения (0.12) будем называть функцию и(х,у), если она удовлетворяет условиям (0.6) и (0.7) и, кроме того, в точках В и С частные производные их и иу могут иметь особенность порядка меньше 1/2, а в окрестности точки А выполняется соотношение

К(у)и1 + ч1 = 0(у/Щг»), (0.13) где r = y/x2 + t2(y), <(3<^, v>0-l. (0.14)

7Г 7Г

Теорема 0.6. Пусть и(х,у) - регулярное решение однородной обобщенной задачи Моравец с нулевыми граничными условиями. Если кривая Г в некоторой окрестности точки А удовлетворяет условию dx/ds > —С\/К(у), где С - некоторая положительная постоянная, то и(х,у) = const.

Здесь же построен пример ненулевого решения обобщенной задачи Моравец с однородными граничными условиями в случае, когда условие dx/ds > —Су/К(у) не выполняется.

Глава 2 посвящена доказательству существования и единственности регулярного в D решения задачи Моравец для уравнения (??). Единственность регулярного решения задачи Моравец следует из доказанных в главе 1 теорем единственности.

Для доказательства разрешимости задачи Моравец для уравнения (0.5) рассмотрены вспомогательные задачи Дирихле - Неймана в области D+ и типа Дарбу в D-, считая известными функции v(x) — и т(х) = it(x,0). Далее, склеивая на отрезке АВ решения этих задач по функции и по производной по нормали, доказательство существования сводится к сингулярному интегральному уравнению относительно v{x). Проводя регуляризацию, получаем интегральное уравнение Фредгольма 2 рода, разрешимость которого следует из единственности решения задачи Моравец.

В §§2.1 и 2.2 приведены постановка задачи Моравец для уравнения (0.5) и теоремы существования регулярного решения задачи типа Дарбу в области D и задачи Дирихле - Неймана в области D+.

Задача типа Дарбу. Найти в области D функцию и(х, у), удовлетворяющую условиям: и(х,у) €C(D-)nC\D-UAB)nC2(D-)i Lu(x,y) = 0, (х,у) е D-,

71 ф(х), 0 < х < i; иу(х, 0) = v(x), х е (0,1). li

Задача DN. Найти в области D+ функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям: и в C(D+) П C2(D+y, Lu = 0, (я, у) е D+;

У«] = 0 <s<l\ и(х, 0) = т(х), 0 < х < 1. г

В §2.3 используя явный вид решений задач Дирихле - Неймана и Дарбу, вопрос существования решения задачи Моравец сводится к разрешимости сингулярного интегрального уравнения ■ 1 и(х) — А / о

1-Х,

1-2 0 1 — х £ + х — 2£х = 1 f(x) + \ I M(x,Ov(№.

0.15)

Проводя регуляризацию сингулярного уравнения (0.15) получим 1 j - [ K(x,t)v(t)dt = F{x), 2тг I

0.16) где правая часть F(x) зависит от граничных данных, а ядро K(x,t) определяется через функцию Римана - Адамара и фундаментальное решения уравнения (0.5) в эллиптической области.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 0.7. Если ф{х) = V"1+£l(l - ху-1+£^0{х) {ег > 0, е2 > 0), ф0{х) в С3[ 0,1], fa) = (1 - S)f-1+^Sf-i+^0(s) (5г .> 0,82 > 0), p(s) E C[0,1], то функция F(x) имеет представление F(x) = (1 — 4€»/0(a.)(ei > o,£2 > 0), где f0(x) E C[0,1] П C2(0,1).

Теорема 0.8. Функция K(x,t) имеет следущее представление K(x,t) = x~e(l — x)Q5~l3KQ(x,t)(s > 0), где Ko(x,t) является непрерывной функцией при 0 < t,x < 1.

На основании этих утверждений уравнение (0.16) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода, однозначная разрешимость которого следует из доказанной теоремы единственности решения задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми.

В §2.4 доказано существование обобщенного решения задачи Моравец при произвольном подходе эллиптической части границы области к линии изменения типа, за исключением случая касания.

В дальнейшем предположим Г - кривая из класса Ляпунова, х = x(s),y = y(s) - параметрические уравнения Г, s - длина дуги, отсчитываемая от точки В; I - длина кривой Г; Го - нормальная кривая, заданная уравнением (х- 1/2)2+4(п+2)~2г/п+2 = 1/4, у > 0; Dq - область, ограниченная кривыми Г0, АС и СВ\ Д)+ = DoП (у > 0), Do- = D0n (у < 0); 4>(x{s),y(s)) = <p(s),Q<s<l.

Следуя [24] функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.7) - (0.10), назовем регулярным решением задачи Моравец для уравнения (0.5). Равномерный в D предел последовательности регулярных решений задачи (0.7) -(0.10) для уравнения (0.5) назовем обобщенным решением задачи Моравец

Справедлива следующая

Теорема 0.9. Пусть в области D при условии, когда кривая Т оканчивается в точках А и В сколь угодно малыми дугами "нормальной "кривой и граничных функциях <p(s) и ф(х) существует регулярное решение задачи Моравец для уравнения (0.5). Тогда существует единственное обобщенное решение и(х,у) задачи Моравец, являющееся регулярным в области D+, с граничными данными 5s[u] = ip(s) на Г и ф{х) на АС при произвольном подходе кривой Г к оси у = 0, за исключением случая касания.

В главе 3 найдены собственные значения и построены соответствующие собственные функции задачи М\, соответствующей спектральной задачи Моравец для обобщенного уравнения Трикоми.

Рассмотрим уравнение

Lu = sgny• | у \т ихх + иуу + Xsgny• | у \т и = 0, (0.17) где т > 0, Л G С в области D, ограниченной кривой = 1), лежащей в полуплоскости у > Ос концами в точках К(—1,0) и £(1,0), отрезком АК оси ОХ, где А = (0,0), и характеристиками 71 и 72 уравнения (0.17) при у < 0:

2 , . тп+2 2 . . т+2

71 1 ? = Х " ' = °' = ^ + ' =1.

Задача Мд. Найти значения Л и соответствующие им функции и(х,у), удовлетворяющие условиям: и{х,у) eC(D)nC1(D)f)C2{D-UD+y, (0.18)

Lu{x,y) = 0, (z,z/)eZ?+U£>; (0.19) и(ж,0) = 0, -1 < х < 0; (0.20)

4М1т1 = -("УГ«- «у = 0, 0 < х < (0.21)

18

Sx[u]\v = ymux^-uy = 0, -1<х<1, (0.22) где D+ = D П {у > 0}, D- = D П {у < 0}.

Теорема 0.10. Собственные значения Хп>т задачи (0.18) - (0.22) находятся как корни уравнения y/XJ^y/X) — /3Jj(y/А) = 0 , Re(7 — /3) > 0, а соответствующая система собственных функций определяется по формулам

У) "

Г(3/2 - /3)Г(1/2 + 7п) 7n \VAn'm )

X (cos2 f)I^f(i/2 + 7n, 1/2 - 7n, 3/2 - /3; cos2, y) G £>+, 7n, 1/2 + 7n, 1 + 27n; ^, (*, !/)GD, где д ж + H)2^ 1 9 „ m

0 =-; =-, 7 = 7n = 7-77+n> П = 1,2,., /3 = ———

2 ^--M-n)* 4 (m+ '

J7n(-) - функция Бесселя первого рода порядка уп, F(-) - гипергеометрическая функция Гаусса, Г(-) - гамма функция.

В §3.2 результаты предыдущего параграфа применены для построения решения следующей задачи для уравнения (0.17) при Л = 0.

Задача типа Моравец. Найти в области D функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.18) - (0.21) и

Sx[u] где/(у) - заданная достаточно гладкая функция. На основании равенства

• х . fi(®,0) = 1J (х- t)-^uy{t,0)dt, I = -2k2 cosnfi. (0.24) о Уто«.^-«, = /И, 0 < ^ < тг, (0.23) привнесенного из гиперболической части области задача (0.18) - (0.21), (0.23) сведена к следующей нелокальной задаче для уравнения (0.17) при Л = 0: найти в области D+ функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям (0.18) - (0.20), (0.23) и (0.24).

Доказано следующее утверждение.

Теорема 0.11. Если /(</?) G Cl[0,тг], /(0) = /'(О) = /(тг) = /'(тг) =

0 ив малой окрестности точек <р = 0 и <р = 7Г дважды непрерывно дифференцируема, то существует единственное решение задачи (0.18) -(0.21), (0.23) и оно определяется формулами

ОО 00 и(х,у) = £un(r,v>) = sin^^-V-f^-cos^), (х,у) е В+,

7п п=1 п=1

1 + 2/3 Ъ™ Г(7„-«Г(1-/3-7„)

77 + ^(1/2-/3)

2(1 + 2 Р)

•x

Х2.Ы7» № г(7п Лг(1 р 7л) +

4 ^ЩГд

00

X Y, /п^"1 costt7„F (1 - /3,1 - /3 - 7п, 2 - 2/3; 1 - £/77), (я, у) £

71=1 simr/? fhnie)Sined9 [, f,{v)d"0.

Jn (7J J {cosv-cosey-P

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [49] - [52]. В [49], [53], [55] постановка задач и идея доказательства принадлежат научному руководителю профессору К.Б. Сабитову.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Акимов, Андрей Анатольевич, 2006 год

1. Александров А. Д. Исследование о принципе максимума / А. Д. Александров // Известия вузов. Математика. - 1958. - № 5. - С. 126 - 127.

2. Бабенко К. И. О задаче Трикоми / К. И. Бабенко // Доклады АН СССР.- 1986. -Т. 291.-№1.- С. 14-19.

3. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи.- М.: Наука, 1973. 296 с.

4. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики / Л. Берс. М.: Наука, 1961. - 208 с.

5. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных /А. В. Бицадзе. М.: Наука, 1981. - 448 с.

6. Вострова JI. Е. Смешанная краевая задача для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе / JI. Е. Вострова // Ученые записки Куйбышевского государственного педагогического института. 1959. - вып. 29. -С. 45 - 66.

7. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений / В.Н. Врагов // Дифференциальные уравнения. -1972. Т.7. - №1. - С. 7 - 16.

8. Врагов В.Н. К вопросу о единственности решения обобщенной задачи Трикоми / В.Н. Врагов // Доклады АН СССР. 1976. - Т. 226. - № 4. -С. 761- 764.

9. Гудерлей Г. Теория околозвуковых течений / Г. Гудерлей. М.: Наука, I960. - 421 с.

10. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. -М.: Наука, 1977. 640 с.И. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа/ Т.Д. Джураев. Ташкент: Фан, 1979. - 238 с.

11. Крикунов Е. М. Задача Трикоми с производными в краевом условии / Е. М. Крикунов // Ученые записки Казанского университета. 1964. -Т123. -ДО 9. -С. 106-113.

12. Кузьмин А. Г. Модифицированная задача Франкля Моравец о трансзвуковом обтекании аэродинамического профиля / А. Г. Кузьмин // Дифференциальные уравнения. - 2004. - Т.40. - № 10. - С. 1379 - 1384.

13. Курант Р. Методы математической физики : в 2 т. / Р. Курант , Д. Гильберт . М.: Гостехиздат, 1951.

14. Кучкарова А. Н. О полноте системы собственных функций задачи Гел-лерстедта для уравнения смешанного типа / А. Н. Кучкарова // Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды Международной конференции. Самара, 2002. - С. 208 - 211.

15. Мелентьев Б. В. О теоремах единственности решения некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа / Б. В. Мелентьев // Доклады АН СССР. 1962. - Т. 143. - № 1. - С. 38 - 41.

16. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И. Моисеев. М.: Издательство МГУ, 1988. - 150 с.

17. Моисеев Е.И. О базисности одной системы синусов / Е.И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 1. - С. 177 - 179.

18. Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного / М. Морс. М.: ИЛ, 1951. - 248 с.

19. Пулькин С. П. К вопросу о решении задачи Трикоми для уравнения типа Чаплыгина / С. П. Пулькин // Известия вузов. Математика. -1958. № 2. - С. 219 - 226.

20. Брычков Ю.А. Интегралы и ряды / Ю.А., Брычков О. И. Маричев , А. П. Прудников. М.: Наука, 1981. - 752 с.

21. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1988. Т.24. - J№ 11.- С. 1967 1976.

22. Сабитов К. Б. Принцип максимума для систем уравнений смешанного типа второго порядка / К. Б. Сабитов // Доклады АН СССР. 1989. -№ 4. - Т.305. - С. 783 - 786.

23. Сабитов К. Б. К вопросу о существовании решения задачи Трикоми / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т.28. - № 12.- С. 2092 2101.

24. Сабитов К. Б., О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа / К. Б. Сабитов, Н.Ю. Капустин // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т.27. - № 1. - С. 60 - 67.

25. Сабитов К. Б. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнения смешанного типа и их применения / К. Б. Сабитов, С. Л. Хасанова // Известия вузов. Мате: матика. 2003. - № 6. - С. 64 - 76. . ;

26. Сабитов К. Б. Построение собственных функций задачи Трикоми Неймана для уравнения смешанного типа с характеристическим вырождением и их применение / К. Б. Сабитов, С. Л. Бибакова // Математические заметки. 2003. - Т. 74. - №1. - С. 76 - 87.

27. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа / М.С. Са-лахитдинов. Ташкент: Фан, 1974. - 156 с.

28. Самко С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

29. Смирнов М. М. Смешанная краевая задача для уравнения утихх+иуу = 0 / М. М. Смирнов // Сибирский математический журнал. 1963. - Т. IV. - № 5. - С. 1150 - 1161.

30. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа / М. М. Смирнов. М.: Наука, 1985. - 304 с.

31. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1966. - 292 с.

32. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. М.: Наука, 1970. - 304 с.

33. Солдатов А. П. Об одной задаче теории функций / Солдатов А. П. // Дифференциальные уравнения. 1973. - Т. 9. - № 2. - С. 325 - 332.

34. Франкль Ф.И. К теории сопел Лаваля / Ф.И. Франкль // Известия АН СССР. Сер. матем. 1945. - №9. - С. 387 - 422.

35. Франкль Ф.И. К вопросу о единственности обтекания клином сверхзвуковым потоком / Ф.И. Франкль // ПММ. 1946. - вып. 3. 10С. 421 -424.

36. Франкль Ф. И. О плоскопараллельных воздушных течениях через каналы при околозвуковых скоростях / Ф. И. Франкль // Математический сборник. 1933. - Т. 40. - № 1. - С. 59 - 72.

37. Agmon S. A maximum principle for a class of hyperbolic equationsd and applcations to equations of mixed elliptic hyperbolic type / S. Agmon, L. Nirenberg, M. N. Protter // Comm. Appl. Math. - 1953. - Vol. 6. -№4.-P. 455 - 470.

38. Cook L .P. Uniqueness of transonic flows / L .P. Cook // Indiana University Math. J. 1978. - V.27. - №1. - P. 51 - 71.

39. Fridrich K. 0. Symmetric positive linear differential equations / K. 0. Fridrich // Communs Pure and Appl. Math. 1958. - Vol. 11. - № 3. - P. 333 - 418.

40. Germain P. Sur le probleme de Tricomi / P. Germain , R. Barder //. Rend. Circolio maten Palermo. 1953. - Vol. 2. - № 2. - P. 53 - 69.

41. Giles M. B. Fluid Dynamics computation / M. B. Giles , M. Drela // AIAA J. 1987. - Vol. 25. - № 9. - P. 1199 - 1206.

42. Hopf E. A. A remark on linear elliptic differential equations of second order / E. A. Hopf // Proc.Amer. Math. Soc. 1952. - Vol. 3. - P. 791 - 793.

43. Protter M. H. Uniqueness theorems for the Tricomi problem //J. Rational Mech. and Analysis. Part I.- 1953. - Vol 2. - № 1. P.107 - 114; Part II -1955. - Vol 4.- № 5. - P. 721 - 733.

44. Morawetz C. S. A uniqueness theorem for Francl's problem / C. S. Morawetz ' // Commun. Pure and Appl. Math. 1954. - № 7. - P. 697 - 700.

45. Morawetz С. S. Note on a maximum principle and a uniqueness theorem for an elliptic-hyperbolic equation / C. S. Morawetz // Proc. Roy. Soc. 1956. -Vol. 236. № 1024. - P. 141 - 144.

46. Obayashi S. Flux vector splitting for the inviscid gas dynamics with applications to finite-difference methods / Obayashi S. // AIAA Paper.- 1995. № 95 - P. 33 -42.

47. Акимов А. А. Обобщенная задача Трикоми Для уравнения Лаврентьева- Бицадзе с двумя линиями сопряжения / А. А. Акимов // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 90- летию со дня рождения С.П. Пулькина. Самара, 1997. - С. 8 - 9.

48. Сабитов К. Б. К теории аналога задачи Неймана для уравнения смешанного типа / К. Б. Сабитов , А. А. Акимов // Известия ВУЗов. Математика. 2001. - № 10. - С. 73-80.

49. Сабитов К. Б. К вопросу о единственности решения обобщенной задачи Моравец / К. Б. Сабитов , А. А. Акимов // Тезисы докладов международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». Новосибирск. - 2005. - С. 71 - 72.

50. Акимов А. А. Об одной теореме единственности решения обобщенной задачи Моравец / А. А. Акимов // Тезисы докладов Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XVI.» - Воронеж. - 2005. - С. 13.

51. Акимов А. А. Задача Моравец для обобщенного уравнения Трико-ми Электронный ресурс . / А. А. Акимов. Сибирские электронные математические известия. - 2006. - Т. 3. - С. 71 - 82. - http: //semr.math.nsc.ru.

52. Акимов А. А. К вопросу разрешимости задачи Моравец для уравнения смешанного типа / А. А. Акимов // Труды Стерлитамакского филиала АН РБ. Уфа. - 2006. - С. 15 - 21.

53. Акимов А. А. Построение решения задачи типа Моравец для уравнения смешанного типа методом спектрального анализа / А. А. Акимов // Труды Стерлитамакского филиала АН РБ. Уфа. - 2006. - С. 22 - 32.