Линейная эквивалентность некоторых интегродифференциальных операторов высших порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Юрьевич

• Игнатьев, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Юрьевич

Оглавление.

Введение. 3 Глава 1. Решение интегральных уравнений с ядром, однородным степени -1

§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов

§2. Представления для решений интегральных уравнений с я.о.с. -1 17 Глава 2. Линейная эквивалентность интегро-дифференциальных и интегральных

операторов дробного порядка с особенностью

§ 1. Постановка задачи, формулировка основных результатов

§2. Существование и свойства собственных функций

§3. Интегральные представления для собственных функций

§4.Теоремы о линейной эквивалентности операторов

§5. Случай Я = 0. 73 Глава 3. Оператор преобразования типа Фаге для некоторых интегро-

дифференциальных операторов

§1. Постановка задачи, формулировка основных результатов

§2. Вспомогательные утверждения

§3. Доказательство основной теоремы

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Линейная эквивалентность некоторых интегродифференциальных операторов высших порядков»

ВВЕДЕНИЕ

Операторы преобразования играют важную роль в спектральной теории несамосопряженных операторов. Впервые введенный Ж.Дельсартом [1] при исследовании операторов обобщенного сдвига, аппарат операторов преобразования оказался естественным методом исследования многих вопросов спектральной теории. А.Я.Повзнер [2] построил операторы преобразования для уравнений Штурма-Лиувилля и применил их для вывода формул разложения по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля с убывающим потенциалом. В.А.Марченко привлек операторы преобразования для исследования обратных задач спектрального анализа [3] и асимптотического поведения спектральной функции сингулярного оператора Штурма-Лиувилля [4]. Б.М. Левитан [5] с помощью операторов преобразования доказал в общем виде теорему о равносходимости. Роль операторов преобразования в спектральной теории значительно возросла после того, как И.М.Гельфанд и Б.М.Левитан [6] нашли с их помощью исчерпывающее решение обратной задачи о восстановлении уравнения Штурма-Лиувилля по его спектральной функции.

В указанных работах, посвященных спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля:

Ь = -У" + Я(Х)У, (0.1)

под оператором преобразования понимался оператор вида Е + К, где К -

X

интегральный оператор Вольтерра = переводящий решение

о

задачи Коши для «простейшего» оператора Штурма - Лиувилля с нулевым потенциалом в решение задачи Коши с данным (произвольным) потенциалом д(х). Для дифференциальных операторов высших порядков

= (0-2)

¿=о

задача построения оператора преобразования оказалась значительно сложнее. Л.А.Сахновичем [7] существование треугольного оператора преобразования было установлено при жестком дополнительном требовании аналитичности коэффициентов дифференциального оператора в некотором круге на комплексной

плоскости, строго включающем отрезок, на котором рассматривается оператор. Построенный В.И.Мацаевым [8] пример показывает, что для операторов с неаналитическими коэффициентами оператор преобразования вольтерровского типа, вообще говоря, не существует. Для таких операторов в работах М.К.Фаге [9], А.Ф.Леонтьева [10], А.П.Хромова [11], установлено существование оператора преобразования вида Е + К, где К - некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по контуру правильного п - угольника на комплексной плоскости. Дальнейшее развитие исследований задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков связано с работами Хачатряна [12], [13], предложившего метод, позволяющий доказывать существование оператора преобразования вольтерровского типа при минимальных требованиях на область аналитичности коэффициентов. Естественным обобщением задачи построения оператора преобразования для дифференциальных операторов является задача о линейной эквивалентности интегральных операторов Вольтерра:

X

Mf(x) = J М(х, t) f(t)dt (0.3)

о

( заметим, что упомянутые выше результаты можно интерпретировать как теоремы о линейной эквивалентности вольтерровских операторов, ядра которых являются функциями Грина задачи Коши с нулевыми начальными данными для дифференциальных операторов вида (0.2)). Напомним, что линейные непрерывные операторы А и В в линейном топологическом пространстве Н называются линейно эквивалентными, если существует изоморфизм Т пространства Н, такой, что ТА = ВТ.

В работах Л.А.Сахновича [14], [15], И.И.Кальмушевского [16] были получены достаточные условия линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования J:

X

Jf(x) = \f(t)dt, (0.4)

о

а также достаточные условия линейной эквивалентности операторов с ядром, зависящим только от разности аргументов, степеням оператора интегрирования J", п е N. Для вольтерровских операторов с ядром общего вида О.В.Сединым был

получен следующий результат о линейной эквивалентности оператору J" ,п> 3 (точную формулировку теоремы О.В.Седина см. [17]): вольтерровский оператор М, представимый в виде

M = J"+MX, (0.5)

А/, = Jn+XN, (0.6)

X

Nf(x) = \Ñ(x-t,t)f(t)dt, (0.7)

о

где N(x,t) как функция второго аргумента - аналитическая в четырехугольнике с вершинами в точках ОД - х, (1 - x)(l - ехр(/ 2я/и)) ,(1 - x)(l - ехр(-г'2л/и)) , линейно эквивалентен в пространствах L [0,1], С[0Д] оператору J". В [18] М.М.Маламудом получены аналогичные теоремы (при более жестких требованиях аналитичности на N(x,i)) о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору дробного интегрирования Римана-Лиувилля:

Отметим, что как показано в [19], условие (0.6) является существенным: для

операторов М вида (0.5), где М, = J"+EN,s е(0Д), не существует, вообще говоря,

*

оператора Е + К, Kf(x) = J К(х, t)f(t)dt, такого, что (Е + К)Г = М(Е + К).

о

Наряду с дифференциальными операторами вида (0.2) и интегральными вольтерровскими операторами, начиная с 70-х годов, рассматриваются операторы с особенностями, в частности, дифференциальные и интегро-дифференциальные операторы, обобщающие оператор Эйлера. Изучение линейной эквивалентности таких операторов с самого начала велось в пространствах аналитических функций комплексного переменного. Важнейшими из таких пространств являются пространство A(D) функций, аналитических в звездной относительно 0 области D, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах, лежащих в D, и его (замкнутые) подпространства An(D),nzN, состоящие из функций вида

z"f(zXf gA(D). Для таких пространств в работах В.В.Рындиной [20], [21] (см. также [22] и указанную там литературу) получен следующий результат: оператор

при выполнении некоторых условий на коэффициенты и область D линейно

эквивалентен в A(D) соответствующему оператору Эйлера:

^ = (0.9)

у=1

Оператор преобразования (в случае (z) = const) имеет вид Е + К, где К -некоторый интегральный оператор, включающий в себя интегрирование по замкнутому контуру специального вида (такой оператор преобразования можно считать аналогом оператора преобразования в форме Фаге для дифференциальных операторов вида (0.2)) . М.С.Еремин [23], [24] распространил этот результат на интегро-дифференциальные операторы вида

Ly = + ]p(zj)y{t)dt, (0.10)

7=1 0

где функция P(z,t) - аналитическая по совокупности переменных в DxD; кроме того, ему удалось при тех же ограничениях на коэффициенты (z) и область D (в случае qn_x (г) = const) построить оператор преобразования вида Е + К, где К -интегральный оператор Вольтерра.

Операторы вида (0.8), (0.10) тесно связаны с вольтерровскими операторами с

особенностью вида

1

Mf{z) = \M{zJ)f{zt)dt, (0.11)

о

являющимися естественным обобщением вольтерровских операторов с ядром, однородным степени -1:

Mf(z) = \\м{А/т = |м(г)/(гг)Л . (0.12)

о ^ о

Теории вольтерровских операторов с я.о.с. -1 и их приложениям к дифференциальным уравнениям в частных производных с сингулярными коэффициентами посвящены работы Л.Г.Михайлова [25], [26]. Кроме того, известно (см., например, [27]), что любой вольтерровкий оператор Н, являющийся п-й степенью оператора обобщенного интегрирования Гельфонда-Леонтьева (см.,

например, [28]), допускает представление вида Н = •/"(£+ К), где К - оператор с я.о.с. -1. Операторы с я.о.с. -1 существенно отличаются по своим свойствам от классических операторов Вольтерра вида (0.3). Так, оператор вида (0.12) является диагональным, т.е., обладает свойством Мгк'х = Хкгк'1, к & N, в отличие от операторов вида (0.3), например, от оператора интегрирования I и его степеней, повышающих степень одночлена. Наличие в структуре оператора вида (0.11)

слагаемого

1

о

являющегося оператором вида (0.12), приводит к существенным различиям в свойствах таких операторов и классических операторов Вольтерра вида (0.3). В частности, операторы вида (0.11) (также, как и операторы с я.о.с. -1) не обладают свойством тривиальности спектра.

Настоящая работа посвящена изучению линейной эквивалентности некоторых интегро-дифференциальных и интегральных операторов в пространствах А(О), Ап(П).

В главах 1, 2 изучается вопрос о линейной эквивалентности следующих интегро-дифференциальных операторов, вообще говоря, нецелого порядка а >2 с особенностью:

Ь = Га(Е + Н)+Га+1+аО, сг > 0, (0.13)

I

= (0.14)

0

1

&{2) = \д{г,т)/(гт)*т, (0.15)

где I - оператор Чезаро: 1/(г) = -1}{1)сИ - |/(гт)с1т, 1а еЯ - оператор дробного

г о о

интегродифференцирования, который определим следующим образом:

I 1

Г/(г) = -—¡1па'1(\/т)/(2т)с/т,а> 0; (0.16)

Гх/(2) = Г = 1[а]1а~[а],а< 0, ([...] - целая часть числа), (0.17)

Н(т) - функция, удовлетворяющая некоторым условиям аналитичности и оценкам вида

(Э(г,т) - функция, аналитическая по г в области I) и суммируемая с некоторой степенью р>1 по г на отрезке [0,1] (точные условия на Н(т), 0(г, г), а также на область Б см. главу 2, теоремы 2, 3).

Операторы вида (0.13)-(0.15) непосредственно связаны с интегральными операторами вида (0.11): при выполнении некоторых естественных условий (см. §4 главы 2) оператор, обратный к оператору 1]~пМ\]п, где и - оператор умножения на независимую переменную, М - оператор вида (0.11), является при п>п0 оператором вида (0.13)-(0.15).

При получении результатов глав 1, 2 используется метод, введенный Л.А.Сахновичем при исследовании вопроса о линейной эквивалентности вольтерровских операторов оператору интегрирования I, и получивший дальнейшее развитие в работах А.П.Хромова, И.Г.Хачатряна, О.В.Седина. Значительные технические трудности возникают в связи с наличием в (0.13) слагаемого ГаН, максимально приближающегося по свойствам к главной части Га. Асимптотические представления, аналогичные полученным в работах А.П.Хромова [29], Л.Б.Мацнева [30] представлениям для резольвенты вольтерровского оператора, недостаточны для построения оператора преобразования. Эти обстоятельства приводят к необходимости получения явного интегрального представления некоторого специального вида для резольвенты оператора (Е + Н). Решению этой задачи посвящена глава 1; результаты этой главы затем используются в главе 2, но могут представлять и самостоятельный интерес. В главе 2 получены основные результаты настоящей работы: теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.13) - (0.15). В качестве одного из возможных приложений этих результатов получена теорема о поведении рядов по системе собственных функций оператора вида (0.13)-(0.15). Также в главе 2 (см. §4) получены теоремы о линейной эквивалентности интегральных операторов вида (0.11). Отметим, что используемый метод доказательства позволяет получать теоремы о линейной эквивалентности операторов вида (0.11) и в пространствах

е е (0,1) при г —> 1;

(0.18)

функций вещественного переменного: см. §4, где рассмотрен случай пространств С[0,а]. Кроме того, в главе 2 рассмотрены (§5) операторы вида

(где С? - оператор вида (0.15)), являющиеся непосредственным обобщением операторов вида (0.8), (0.10).

Заметим, что в теоремах главы 2 сохраняется преемственность с результатами работ [20] - [24], в частности, по требованиям на область Б: при целых а требования на Б лишь незначительно сильнее, чем в [20], [24], а для операторов вида (0.19) совпадают с ними. Возникающие технические сложности связаны с более сложным видом резольвенты «простейшего» оператора; с отсутствием, в отличие от вольтерровского случая, для ряда, представляющего ядро оператора преобразования, мажоранты вида - удается получить лишь мажоранту вида

С". Определенные трудности возникают также в связи с тем, что на ядро 0(г, т) оператора 0 накладываются минимальные требования относительно его поведения по второму аргументу, т. е. по переменной интегрирования в (0.15), что требует отличной от применявшейся ранее техники получения оценок. Глава 3 посвящена построению оператора преобразования в форме Фаге для интегро-дифференциальных операторов иного вида, нежели главах 1, 2. Прежде, чем приступить к описанию изучаемых в главе операторов, напомним (см., например, монографию [31] и приведенную в ней литературу), что любой линейный непрерывный оператор Ь, действующий в пространстве А(П), допускает интегральное представление вида:

где Г = Г(г) - некоторый, зависящий от точки г, замкнутый контур, лежащий в области Б, Ь(г,д) - функция, голоморфная по совокупности переменных в

Мы ограничимся рассмотрением областей Б, удовлетворяющих следующему условию Ьт. г €£>=>гПт с£>, где Пи- правильный ш-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т> 2 - целое число. Пусть область Б удовлетворяет

(0.19)

(0.20)

ВхС\В.

условию Ьт. г е £> => гПт с£), где Пт- правильный т-угольник, одна из вершин которого находится в точке 1, т > 2 - целое число. Пусть область Б удовлетворяет условию Ьт при некотором фиксированном т> 2, рассмотрим в пространстве А(Б) оператор вида:

Ьу = /"> + 0у, Оу(г) = 10(1,д)у(д)йд, (0.21)

1т гЬ)

где Т(г) - (любой) простой замкнутый контур, обходящий ш-угольник гПш в положительном направлении, 0(г,д) - функция, голоморфная по совокупности

переменных в области О = {г еВ,д еС \(гПи)|, и удовлетворяющая

для любого компакта К с В и любого К > 0 неравенству

ггП^сЛ (0-22)

где 1/ е [ОД) может, вообще говоря, зависеть от компакта К.

Основным результатом главы 3 является теорема о линейной эквивалентности в

аГ

А(В) оператора Ь оператору ь0 = ——.

аг

Условие аналитичности функции 0(г,д) в указанной области О эквивалентно следующему свойству оператора Ь: для любой удовлетворяющей условию Ьт подобласти Б' области Б оператор Ь может быть продолжен до непрерывного в пространстве А(В'). Оценки (0.22) выражают условие подчиненности оператора О

сГ

главной части - оператору -—, ядро которого в представлении (0.20) имеет вид

аг

(т +1)!

--Среди операторов, представимых в виде (0.21)-(0.22), помимо

- г)

дифференциальных операторов ш-го порядка, укажем интегро-дифференциальные операторы вида

I

Ьу = + , (0.23)

о

где функция N(1,1)- аналитическая по г в области Р, непрерывная по X на [ОД) и

удовлетворяющая на любом компакте К с И неравенству

\Щ2,()\<С(\-(У'\ е>0. (0.24)

Договоримся о нумерации теорем, лемм и формул на протяжении работы. Основные теоремы вынесены в первые параграфы каждой главы, для них используется сквозная нумерация. Остальные утверждения нумеруются двумя числами, первое обозначает номер главы, второе - номер теоремы (леммы). Формулы нумеруются двумя числами, первое из которых, - номер параграфа, второе - номер формулы. Ссылки на формулу внутри главы оформляются двумя числами, между главами -тремя, первое из которых, - номер главы.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность О.В.Седину и В.А.Юрко за постановку задачи и руководство работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Игнатьев, Михаил Юрьевич, 1998 год

Литература.

1. Delsartes J. Sur certaines transformations fonctionelles relativ aux equations lineares aux erivees partieless du second odre. - С. r. Acad. sei. Ser. A. - 1938. -T. 36, №1, P. 178-182.

2. Повзнер А.Я. О дифференциальных уравнениях типа Ш-Л на полуоси. - Мат. сборник, 1948, 23, вып.65, с.3-52.

3. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений второго порядка. - ДАН СССР, 1950, 72, №3, с.457-460.

4. Марченко В.А. О формулах обращения, порождаемых линейным дифференциальным оператором второго порядка. - ДАН СССР, 1950, 74, №4, с.657-660.

5. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряженного дифференциального уравнения второго порядка и о разложении по собственным функциям. I. Изв. АН СССР, Сер. мат. , 1953, 17, вып.4, с.ЗЗ 1-364; 1955, 19, вып.1, с.ЗЗ - 58.

6. Гельфанд И.М., Левитан Б.М.. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. - Известия АН СССР, сер. матем., т. 15 (1951), №4, С.309 - 360.

7. Сахнович Л.А.. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п>2 с аналитическими коэффициентами. - Матем. сб., 1958, т.46 (88), N1, с.61 - 76.

8. Мацаев В.И. О существовании оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков. - Докл. АН СССР. - 1960, т. 130, N3, С.499- 502.

9. Фаге М.К. Интегральные представления операторно - аналитических функций одной независимой переменной. - Тр. Моск. матем. о-ва, 1959, т.8, с.З -48.

Ю.Леонтьев А.Ф. Оценка решений одного дифференциального уравнения при больших по модулю значениях параметра и ее применения к некоторым вопросам теории функций. - Сиб. мат. журн., - 1960, т.1, N3, с.456 - 487.

П.Хромов А.П. Операторы преобразования для дифференциальных уравнений произвольных порядков. - Исслед. по дифф. уравн. и теории функций. Саратов, 1971. Вып.З. С. 10-24.

12.Хачатрян ИГ. Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков. - Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1978, т. 13, N3, с.215 -238.

13.Хачатрян И.Г. О существовании оператора преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков, сохраняющих асимптотику решений. - Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1979, т. 14, N6, с.424 - 445.

14.Сахнович Л.А. О приведении вольтерровских операторов к простейшему виду и обратных задачах. - Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, т.21, N2, с.235 -262.

15.Сахнович Л.А. Спектральный анализ операторов вида

X

К/(х) = |А:(х- 0/(0^ • - Изв АН СССР. Сер. матем., 1958, т.22, N2, с.299 -

о

308.

16.Кальмушевский И.И. О линейной эквивалентности вольтерровых операторов. - Успехи матем. наук, 1965, т.20, вып.6 (126).

17.Седин О.В. О подобии вольтеррова оператора п - ой степени оператора интегрирования. - Линейные операторы в функциональных пространствах. Грозный, 1989.

18.Маламуд М.М. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков. - Тр. Моск. матем. о-ва, 1994, т.55, с.73 - 148.

19.Маламуд М.М., Цекановский Э.Р. Критерии линейной эквивалентности вольтерровых операторов в шкале Ьр[0,1] (1 < р < <»). - Изв. АН СССР. Сер.

матем., 1977, т.41, N4.

20.Рындина В.В. Об эквивалентности дифференциального оператора п-го порядка с регулярной особой точкой и оператора Эйлера в пространстве А(О). - Сиб. мат. журн. - 1979, - т.20, N3, с.674 - 678.

21.Рындина В.В. Критерий эквивалентности дифференциального оператора 11-го порядка с регулярной особой точкой и соответствующего ему оператора Эйлера. - Сиб. мат. журн. - 1982, - т.23, N4, с.205 - 208.

22.Фаге М.К., Нагнибида Н.И. Проблема эквивалентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов. - Новосибирск: Наука, 1987.

23.Еремин М.С. Об эквивалентности в Ак интегро-дифференциального оператора одного вида и оператора Эйлера. - Мат. заметки. - 1981, т.30, N2, с.719 - 738.

24.Еремин М.С. Оператор преобразования в звездообразной области решений некоторых интегро-дифференциальных уравнений высших порядков. Деп. в ВИНИТИ, N2381 - В90.

25.Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. - Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963.

26.Михайлов Л.Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1. -Душанбе: 1966.

27.Седин О.В. Разложения по собственным и присоединенным функциям конечномерных возмущений вольтерровых операторов. - Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. - Саратов, 1984.

28.Самко С.Г., Килбас А. А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск. Наука и техника, 1987.

29.Хромов А.П. Об одном применении оператора дробного дифференцирования. - Диф. уравнения и вычисл. матем. Вып. 6. 4.1. -Саратов, 1976, с.3-22.

30.Мацнев Л.Б. О порождающих функциях одного класса вольтерровых операторов. - Вычисл. методы и программир. - Саратов, 1983, №3. С. 71-85.

31 .Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах. - Ростов-н/Д, 1983.

32.Евграфов М.А. Аналитические функции. М. Наука, 1991.

33.Диткин В. А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М. Наука, 1974.

34.Харди Г. Расходящиеся ряды. М., 1951.

35. Игнатьев М.Ю. Подобие вольтерровых операторов в пространствах аналитических функций. В сб.: Совр. проблемы теории функций и их приложения: Труды 8-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 1996. С. 54.

36. Игнатьев М.Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. В сб.: Совр. проблемы теории функций и их приложения: Труды 9-й Саратовской зимней школы. - Саратов, 1997. С.70.

37. Игнатьев М.Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. В сб.: Математика, механика и их приложения. Саратов, изд.-во Сарат. ун.-та, 1998. С.22 - 23.

38. Игнатьев М.Ю. Эквивалентность некоторых интегро-дифференциальных операторов в пространствах аналитических функций. - Деп. в ВИНИТИ, №2765 - В98, 20 с.

39. Игнатьев М.Ю. Эквивалентность интегро-дифференциальных операторов дробного порядка с особенностью в пространствах аналитических функций. -Деп. в ВИНИТИ, №2766 - В98, 60 с.