Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Касаткин, Алексей Александрович

• Касаткин, Алексей Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Касаткин, Алексей Александрович

Оглавление

Введение

1 Операторы дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований

§1 Основные сведения о производных дробного порядка

§2 Преобразования операторов дробного интегро-дифференцирования

при заменах переменных

§3 Операторы, допускаемые уравнениями с производными дробного

порядка

2 Симметрийные свойства дифференциальных уравнений с производными дробного порядка

§4 Уравнения вида D%y = f(x, у)

§4.1 Преобразования эквивалентности

§4.2 Результаты классификации

§4.3 Алгебраический подход к классификации

§4.4 Использование симметрий для построения решений

§5 Уравнения вида D%+ly = (р(х, у, Day)

§5.1 Преобразования эквивалентности

§5.2 Результаты классификации

§5.2.1 Случай <£> = f(x,y)

§5.2.2 Случай функции <р, зависящей от Day

§5.2.3 Случай ip = f{x)Day + д{х, у)

§6 Уравнения вида 0D%y(x) + 7 • xD?y(x) = f(x, у)

(L

3 Симметрийные свойства систем уравнений с производными дробного порядка

§7 Преобразования эквивалентности и вид допускаемых операторов 71 §8 Классификация систем уравнений с использованием алгебраического подхода

§8.1 Построение оптимальной системы подалгебр

§8.2 Результаты классификации

4 Схема построения решений уравнений с производными дробного порядка методом инвариантных подпространств

§9 Метод инвариантных подпространств

§10 Применение метода к уравнениям с дробной производной

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля»

Введение

В последние годы аппарат дробного интегро-дифференцирования всё более интенсивно используется при построении математических моделей различных процессов. Уравнения с производными дробного порядка используются для описания различных физических эффектов в реальных средах.

Например, существуют модели, описывающие процессы диффузии и распространения волн в средах с памятью или с фрактальной геометрией, модели деформации вязко-упругого материала и т. д. (см., например, работы [58], [49], [18], [24], [17]). Также уравнения с производными дробного порядка тесно связаны со стохастическими моделями [25], [26] (в том числе, с некоторыми моделями случайного блуждания в непрерывном времени [51]). Дробное интегро-дифференцирование используется также для решения прикладных задач автоматического управления [57].

Тем не менее, методы аналитического решения дифференциальных уравнений с производными дробного порядка всё ещё недостаточно разработаны.

Большинство существующих подходов позволяет получать аналитические решения лишь для определённого класса линейных уравнений и некоторых нелинейных уравнений с дробными производными. В простейших случаях решение удаётся построить методом последовательных приближений после сведения уравнения к эквивалентному интегральному уравнению Вольтерра (см., например, [23], [47]). Для поиска решений линейных уравнений часто используются интегральные преобразования Лапласа и Меллина (их применение описано, например, в книгах [52], [47] и многочисленных статьях), а также другие интегральные преобразования [22].

Для нелинейных уравнений с производными дробного порядка развиты некоторые методы построения приближенных аналитических решений. В некоторых случаях решение может быть построено в виде ряда, но, как правило,

коэффициенты таких рядов определяются рекуррентными соотношениями [57]. Для уравнений и систем с производными дробного порядка применяются многие современные методы построения приближений к решению, например, метод разложений Адомиана [45], [59], метод гомотопических возмущений [46], [53] и другие.

Одним из эффективных подходов к построению точных решений уравнений с производными целого порядка является использование методов группового анализа (см., например, [19], [9], [42], [21]). Однако до сих пор эти методы не нашли применения в теории дробных дифференциальных уравнений. Известны лишь отдельные работы, использующие элементы группового анализа для исследования таких уравнений.

Например, в работе [48] построена группа преобразований растяжения, оставляющая инвариантным линейное уравнение с частными производными дробного порядка, а также показана возможность использования этих преобразований для построения автомодельных решений.

Различные подходы к исследованию симметрий интегральных и интегро-дифференциальных уравнений других типов рассматривались, например, в ра-

Целью данной работы является распространение методов группового анализа дифференциальных уравнений на уравнения с производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля по одной независимой переменной, использование таких методов для исследования симметрийных свойств и для построения новых точных решений уравнений с производными дробного порядка.

В первой главе приведены необходимые определения, построена формула продолжения и предложен алгоритм поиска допускаемых операторов для уравнения с производными дробного порядка. В параграфе 1 приводятся необходимые определения и свойства производных Римана-Лиувилля.

Определение 1. Дробным интегралом и дробной производной Римана-Лиувилля порядка а > 0 называются операторы задаваемые выражениями

ботах [27], [31], [16], [44], [41], [50].

X

с

где п — 1 < а < п, п € N. Применяются также обозначения

cD~ay{x) =с 1«у{х), Day(x) = о Щу{х).

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля совпадает с п-кратным повторным интегралом, при переходе к пределу а —> п дробная производная cD^y{x) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Для широких классов функций /, g справедливо обобщённое правило Лейбница дифференцирования произведения:

00 / \

cDax (f(x)g(x)) = £ r)cD°-nf(x) D™g(x). (0.2)

п—0 W

В работе предполагается, что для рассматриваемых функций всегда существуют производные дробного порядка и выполняются условия их представимости в виде рядов по производным целого порядка.

В параграфе 2 рассматривается преобразование дробных производных и интегралов Римана-Лиувилля при замене переменных и строится формула продолжения инфинитезимального оператора.

Рассмотрим локальную группу Ли точеных преобразований вида

х = <р{х, у, а), <р\а=0 = х, у = ф(х,у,а), ф\а=0 = у. (0.3)

В общем случае, вид оператора дробного интегро-дифференцирования (0.1) существенно изменяется после замены переменных. Пример 1. Для проективного преобразования

х = х{\ — ах)~г, у = г/(1 — arc)-7, а = const, 1 — ах > О, дробная производная D®y(x) в новых переменных принимает вид

mm = (1 - «г'дг ((1_gU.) •

Используя традиционный инфинитезимальный подход С. Ли (см., например, [19], [42], [21]), для преобразований (0.3) можно записать инфинитезималь-

ный оператор

и продолжить его на производные целого и дробного порядка:

При этом

х = х + а£(х,у) + о(а), у = у + аг)(х, у) + о(а), у'(х) = у'(х) + а(,\{х, у, у') + о(а),... у(п)(х) = у(пХх) + а(;п + о(а), сЩу(х) = сБхУ{х) + аСа + о(а),....

Теорема 0.1. Коэффициент (а определяется формулой продолжения

Вывод данной формулы в работе производится с использованием разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка (соотношение (0.2) с / = 1,д = у) и формул продолжения для производных целого порядка. Все функции считаются разложимыми в степенной ряд в окрестности каждой точки интервала (с, (£).

В параграфе 3 вводится определение допускаемого уравнением оператора и предлагается конструктивный алгоритм поиска таких операторов. Рассмотрим уравнение с одной независимой переменной х и производными порядков щ, г = 1,..., га:

Определение 2. Будем говорить, что уравнение (0.5) допускает оператор X, если выполнено соотношение

где X - продолженный на необходимые производные оператор X, а [Р = 0] - уравнение вместе со всеми следствиями из него.

(0.4)

Р(х,у1СЩ*у,еЕ>;»у,...,е1У?*у) = 0.

(0.5)

Для интегро-дифференциальных уравнений не известно общего способа выбора независимых переменных и получения всех их необходимых связей как следствий из уравнения. Поэтому в работе предлагается конструктивный алгоритм построения симметрий из класса линейно-автономных операторов. Алгоритм построения допускаемых операторов.

1. Рассматриваются инфинитезимальные операторы X с коэффициентами вида

£ = £ (ж), г]{х, у) = р{х)у + я(х), (0.6)

где £(с) = 0 (условие сохранения нижнего предела в интеграле (0.1)).

2. Формула продолжения (0.4) представляется в виде

(0.7)

3. Коэффициенты допускаемых операторов ищутся из уравнения

(ХР) = 0.

При этом переменные х, у, Ва~пу, п е считаются независимыми.

Построенные по данному алгоритму операторы будем называть допускаемыми операторами линейно-автономного типа для уравнения с дробными производными (0.5).

Формула (0.7) получается из (0.4) для коэффициентов вида (0.6) с помощью правила Лейбница (0.2), при этом для всех функций у(х) из рассматриваемого класса должно выполняться соотношение сП%(£у)' = (£?/).

В работе также сформулированы аналогичные формулы и ограничения для операторов правосторонней дробной производной хЩу (с пределами интегрирования от ж до бГ).

Во второй главе содержатся результаты классификации некоторых классов уравнений с производными Римана-Лиувилля.

Параграф 4 посвящён классификации уравнений вида

D<Zy = f{x,y), 0<а<1, х>0. (0.8)

Построены преобразования эквивалентности линейно-автономного типа (сохра-

71 1

няющие вид уравнения с изменением /), которые могут быть записаны в виде

х = а\х{1 -а2х)~1, у = а3(1 - а2х)1~а {у + и(х)), / = аГаа3(1 - а2х)1+а(/ + Щи{х))

(здесь ах > 0, аз ф 0, у(х) - произвольная функция).

Показано, что допускаемые операторы линейно-автономного типа для уравнения (0.8) имеют вид X = С\Х\ + С2Х2 -I- С3Х3 + (д), где

д д $ д д

а коэффициенты С2, С3, д{х) определяются функцией /(х,у).

Теорема 0.2. Для произвольной функции /(х,у) уравнение (0.8) не допускает операторов линейно-автономного типа. Уравнение допускает операторы указанного типа только при следующих функциях /(х,у) (с точностью до преобразований эквивалентности (0.9)):

1. / = уФ(ж) : гх = уду, г9 = я{х)ду, где = дЩх).

1.1. Ф(ж) = кх~а : ^з = хдх.

1.2. Ф(ж) = ±х~2а : Яз = х2дх + {а - 1)худу.

1.3. Ф(я) = 0 : ^з = х2дх + (а - 1 )худу, = хдх.

2. / = х-1~аЩух1-а): гх = х2дх + (а- 1 )худу.

2.1. Ф(г) = ег : = хдх + (а - 1 )уду + аха~1ду.

2.2. Ф(г) = 2Л, Л ф 0,1 : — хдх - 1~^1~Ы)уду.

I — Л

3. / = х^Ф(у/хР): = хдх + /Зуду.

4. / = х-1-ае^1/х^(ух1~ае±1/х): Zl = ж2^ + {а - 1)худу ± уду. Здесь к,Х,/3 - произвольные постоянные.

Результат классификации, представленный в теореме 0.2, может быть получен как классическими методами группового анализа, так и методом предварительной групповой классификации, предложенным в работах И. Ш. Ахатова, Р. К. Газизова, Н. X. Ибрагимова. Последнее связано с тем, что в данном случае все рассматриваемые симметрии уравнения могут быть получены из алгебры Ь операторов, порождающих преобразования эквивалентности. Для таких

уравнений задача классификации может быть сведена к задаче построения оптимальной системы подалгебр алгебры L и поиска уравнений, допускающих операторы этих подалгебр.

В конце параграфа 4 рассмотрены примеры построения инвариантных решений уравнений вида (0.8).

Пример 2. Уравнение Day = х~1~ае~1/хФ(ух1~ае1/х) допускает оператор Z\ = х2дх + (ск — 1 )худу 4- уду. Соответствующее инвариантное решение имеет вид

у = /сха-1е~1/х,

где к является корнем алгебраического уравнения к = Ф(к).

Пример 3. Для уравнения Day — x~1~aeyxl " инвариантное решение относительно оператора Z2 = хдх + (а — 1 )уду + аха~1ду имеет вид

у = х"'1 (a In ж + In Г(с* + 1)).

С помощью проективного преобразования с оператором Z\ из данного решения можно получить семейство решений

у = xa~l{a\nx — aln(l + ах) + 1пГ(а + 1)), а = const.

Параграф 5 посвящён исследованию уравнений вида

Da+1y = <p(x,y,Day), 0<а<1,х>0. (0.10)

При выполнении условия <pz(x,y,z) = 0, т. е. для частного случая уравнений вида Da+1y = f(x,y), преобразования эквивалентности имеют вид (0.9), а результат классификации повторяет результат для уравнения (0.8) с заменой а на а + 1.

Показано, что для общего вида уравнений (0.10) преобразования эквивалентности имеют вид

х = а\х{1 - а2х)~1, у = а3( 1 - а2х)1~а {у + v(x)),

ф = aia-la3 [(1 - a2xf+ot (<р + Ва+1ф)) - (0.11)

-а2(а + 1)(1 - а2х)2+а (Day + Dav{x))] , аг > 0, а3 ^ 0.

Теорема 0.3. Если функция ip(x,y,z) в уравнении (0.10) не удовлетворяет соотношению ip(x,y,z) = ф\(х)г + ф2(х,у), то все допускаемые операторы линейно-автономного типа имеют вид

X = C'lA'i + С2Х2 + С3Х3 + (д), (0.12)

гдеХ1=х^, Х2 = х*§-х + (а-\)ху^ Х3 = у^, (я) =

а коэффициенты С\, С2, Сз, q(x) определяются функцией <p(x,y,z).

Теорема 0.4. Уравнение вида (0.10) с ipz ф 0 допускает хотя бы один оператор вида (0.12) только в следующих случаях (с точностью до преобразований эквивалентности (0.11));

1. <р = yF{х, z/y); Zi=X3.

1.1. F{x, z) = x-a~l^{xaz) : Z2 = Xi.

1.1.1. Ф(в) = -(a + 1 )s + As1+« : Z3 = X2.

1.1.2. 4f(s) = As + B : Zq={q).

1.1.3. Ф($) = —(a + l)s ; Z3 = X2,Zq = (q).

1.2. F(x, z) = -(a + l)x~lz + x-2a~4(x2az): Z2 = X2. 1.2.1. Ф(5) = ±s + A, Ф(в) = ±1: Zq = (q).

1.3. F{x, z) = Ф(х)2 + Ф(ж); Zq = (q).

2. <p=-(a + 1 )zx~l + x-a-3F(x1~ay, x1+az); Zx=X2.

2.1. F(y, z) = y^^Ф (zy^^j , /3 ф a - 1; Z2 = Хг + PX3.

2.2. F(y, z) = (ze~ay): Z2 = Xl + (a- 1)X3 + (re""1).

2.3. F(y, z) = y + ^{z- y): Z2 = {■xa~le~llx).

2.4. F(y,z) = V(z) : Z2 = (x<*~1).

3.cp = xP-a~lF(x-Py, xa~Pz): Zx = Xx + (3X3. 3.1. F(y, z) = (Л - а)цу + Ф(z - цу): Z2 = {.xx>.

4. cp = -(a + l)x~1z+

+x-a-ze^*F{yxl-ae±*,zxl+ae±*): Zx = X2 ± X3. 4.1. F(y,z) = 7a+1y + Ф(z - 7ay): Z2 = {xa-xe~i/x).

Da+lw / Daw \

5.<p =-y + F[x,z--у : Zi = {w{x)).

w \ w J

Здесь /3,А,В - произвольные постоянные, 7 > 0, A > — 1,

¡1 = Г(А + 1)/Г(А — a + 1), функции q{x) - решения соответствующего

линейного уравнения.

Для уравнений вида Оа+1у = ф\(х)Оау + ф2(х,у) могут существовать дополнительные симметрии линейно-автономного типа, не являющиеся комбинациями Х\, Х2, Хз, (д).

Примером является оператор

д ху д А = х——Ь

дх к — хду' допускаемый уравнением

к — х

В параграфе 6 рассматривается классификация уравнений вида

0D«y(x)+'y-xD?y(x) = f(x,y), 0<а<1, я>0, 7^0. (0.13)

Поиск преобразований эквивалентности и симметрий линейно-автономного типа проводится так же, как для уравнения Day = f(x,y), но дополнительное условие £(1) = 0 сужает группу эквивалентности и алгебру допускаемых операторов.

Теорема 0.5. Для произвольной функции f(x,y) уравнение (0.13) не допускает операторов линейно-автономного типа. Симметрии такого типа появляются только в следующих неэквивалентных случаях:

1- /(я, у) = У^{х) • z\ = уду> zq = q(x)dy,

1.1. Щх) = kx~a( 1 - х)~а: Z2 = (х2 - х)дх + (а - 1 )худу 2. f{x, у) = - х)Р~Щу{ 1 - х)1~а~^хр) :

Здесь к - произвольная постоянная, a q(x) - произвольное решение уравнения 0DZq(x)+7-xD?q(x) = qV(x).

В третьей главе рассмотрены симметрии систем вида

Dau(t) = /(£, и, v), Dav(t) = g(t, и, v). (0.14)

В параграфе 7 построены преобразования эквивалентности и получено соотношение, определяющее форму допускаемых операторов. Преобразования

эквивалентности системы (0.14) порождаются операторами

Е2 = ^ + (а - 1)Ьи1 + (а - 1)^1 - (а + 1)*/| - (а + <9 г, 0 0

= + /V, = +

аг> од оу од

Е«и = +Е<? = +

где qu(t),qv(t) - произвольные функции.

Теорема 0.6. Операторы линейно-автономного типа, допускаемые системой (0.14), имеют вид

Х = С1Х1 + ... + С6Х6 + (</«(*))„ + {4>(Ь))У ,

Х2 = + {а~ х)ыТи + (а " 1)1уЪ~у>

Хз = Х4 = у^~, Х5 = и-^~, Х6 = (0.16)

ои ои ОУ ОУ

<?"№>„ = (?"(<)>„ = 9"(<)|;,

где коэффициенты С\,.. определяются функциями / ид.

Сравнение (0.15) и (0.16) показывает, что полная классификация систем может быть построена с помощью метода предварительной групповой классификации. В параграфе 8 вычислена оптимальная система одномерных подалгебр ©1 (Ь) (20 случаев) и полная оптимальная система для конечномерной части Ь§ (дополнительные 66 случаев). Для каждой из найденных подалгебр выписан вид допускающей её системы (0.14). Например, подалгебра с базисом {Х1, Х2, Х^} допускается системами вида

Ваи = Гауа/{1~а\С2и + Сху), Вау = Гауа/{1~а)С2у.

Четвёртая глава посвящена методу инвариантных подпространств. Ба-

зовые понятия метода и утверждения из литературы [32], [8], [60] приведены в параграфе 9. В параграфе 10 иллюстрируется схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений с дробной производной эволюционного типа

Dfu = F[u1, F[u) = F(u, ux, uxx,..., dkxu). (0.17)

Теорема 0.7. Пусть линейно независимые функции {fi(x)} задают инвариантное подпространство Wn = (fi(x),...fn(x)) для оператора F[u], то есть для F[u] при и G Wn справедливо равенство

F[C\fi(x) + ... + Cnfn(x)} = Fi(Ci,..., Сп)Мх) + ... + Fn(Cu ..., Cn)fn(x). Тогда функция

и(х, t) = «i(i)/i(a:) + ... + un{t)fn{x)

является решением уравнения (0.17) только в том случае, когда коэффициенты Ui{t) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с производной дробного порядка:

D?m(t) = F1(u1,...,un),..., D?un(t) = Fn{uu ...,un). (0.18)

Получаемые нелинейные системы (0.18) можно исследовать методами, рассмотренными в предыдущей главе. Пример 4. Рассмотрим уравнение

D^u = иихх + (их)2, u = u(t,x), 0 < а < 1. (0.19)

Нетрудно убедиться, что оператор F[y(x)] = уу" + (у')2 имеет двумерные инвариантные подпространства

(l,rc2) и (л/х,х2). Если рассматривается первое из них, то решение строится в виде

и(х, t) = ui(t) + u2{t)x2,

при этом и2(Ь) должны удовлетворять системе

= 2щи2, 0?и2 = 6и1 (0.20)

Данная система допускает два независимых оператора

7 *д 8 У 9

= I—--ОЛ12——, ¿2 = Щ-

дЬ ди2 дщ

Использование симметрий позволяет построить семейство решений системы (0.20), и далее - исходного уравнения (0.19):

«(*,*) = + * = (0.21)

Здесь с - произвольная постоянная.

При а = 1/3 система допускает дополнительный оператор

2 д . , ... д , д

г, = Г— + (а - — + (а - 1 )Ы2-

дЬ дщ ди2'

который позволяет расширить семейство решений (0.21):

и = с±\ 1 + + /сГ1/3( 1 + аЬ)~1/3х2, а,с = сопвг.

При решении поставленных задач использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аппарат дробного интегро-дифференциро-вания, метод инвариантных подпространств для эволюционных уравнений.

Результаты работы носят теоретический характер и могут быть применены для исследования различных уравнений с производными дробного порядка и построения классов точных решений таких уравнений.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Развит инфинитезимальный подход к исследованию симметрийных свойств уравнений с производными дробного порядка: построена формула продолжения инфинитезимального оператора группы преобразований на дробные производные и интегралы типа Римана-Лиувилля, а также предложен конструктивный алгоритм построения допускаемых операторов линейно-автономного типа для уравнений с такими производными.

2. Проведена классификация по допускаемым группам точечных преобразований, порождаемых линейно-автономными операторами, трёх классов уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка типа Римана-Лиувилля. На основе полученных симметрий построены классы точных решений рассмотренных нелинейных уравнений.

3. Исследованы симметрийные свойства систем двух уравнений с двумя неизвестными функциями одной переменной, содержащих производные дробного порядка; построена оптимальная система одномерных подалгебр бесконечномерной алгебры Ли операторов, порождающих группу эквивалентности рассмотренной системы уравнений, и полная оптимальная система для её конечномерной части размерности 6; найдены классы систем, допускающих данные подалгебры.

4. Предложена схема применения метода инвариантных подпространств для построения частных решений уравнений эволюционного типа с дробной производной по времени.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

• Уфимская международная математическая конференция «Теория функций, дифференциальные уравнения, вычислительная математика» памяти А.Ф. Леонтьева, г. Уфа, 2007;

• International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research», г. Карлскрона (Швеция), 2007;

• Всероссийская молодёжная научная конференция «Мавлютовские чтения», г. Уфа, 2007;

• 5-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи», г. Самара, 2008;

• 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity, г. Порто (Португалия), 2008;

• International Workshop on New Trends in Science and Technology, г. Анкара (Турция), 3rd IFAC Workshop on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2008), г. Анкара (Турция), 2008;

• Международная конференция «Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений (MOGRAN-13)», г. Уфа,

2009;

• XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), г. Кисловодск, 2010;

• 5th IFAC Symposium on Fractional Differentiation and its Applications (FDA 2012), г. Нанкин (Китай), 2012;

• 5-я Российская конференция с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященная 20-летию со дня основания Института механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН, г. Уфа, 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-15)», г. Кемер (Турция), 2012;

• Международная конференция «Современный групповой анализ (MOGRAN-16)», г. Уфа, 2013;

• Семинар по интегрируемым системам, Институт математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, г. Уфа, 2013.

Основные результаты работы опубликованы в журналах из списка ВАК Минобрнауки РФ [3], [39], [14], [7], [35], в сборниках материалов конференций в виде статей [38], [34], [6], [37] (позже издано в книге [40]), а также в сборниках тезисов [2], [4] [12], [36], [5], [13], [33], [15].

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора. Постановка задач и методика исследования предложены научным руководителем, все вычисления и классификации выполнены лично соискателем. В совместно опубликованных работах соискателю принадлежат все результаты исследования точечных симметрий уравнений и систем уравнений с одной независимой переменной и производными дробного порядка, а также инвариантные решения и схема применения метода инвариантных подпространств для уравнений эволюционного типа с производной дробного порядка по времени. Формула продолжения, доказанная ранее в работах [3], [7] с помощью замены переменной в интеграле, в данной работе построена с помощью разложения производной дробного порядка в ряд по производным целого порядка.

Глава 1

Операторы дробного интегро- дифференцирования Римана-Лиувилля. Группы преобразований

§1 Основные сведения о производных дробного порядка

В данном параграфе приведены основные определения и свойства операторов дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля из книг [23], [47], [54], а также используемые в работе обозначения.

Определение 3. Дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка а > 0 называется интегральный оператор С1Х, задаваемый выражением:

X

(1.1)

с

Здесь Г (г) — гамма-функция Эйлера:

Г(х+1) =хГ(х), Г(1) = 1, Г(п + 1) = п\.

(1.2)

Дробный интеграл от любой функции у € 1а (с, З) всегда определён, оператор

с1£ является линейным и непрерывным в пространстве Ьр(с,с1) при р > 1. В общем случае, интеграл в выражении (1.1) понимается в смысле Лебега.

При целом а = п интеграл Римана-Лиувилля с1£у совпадает с п-кратным повторным интегралом согласно известной формуле [23]

/X ГХ1 ГХп-1 ^ гх

йх 1 J dX2... J у(хп)(1хп = _ J (х - Ь)П~1у(Ь)(И.

Определение 4. Дробная производная Римана-Лиувилля порядка а > 0 определяется выражением

со°у{х). лгыгад) = Iх ИМ*' (1.3)

где п — 1 < а < п, п 6 N. Применяются также обозначения

сО~ау{х) =с 1%у(х).

Если нижний предел интегрирования не указан, он полагается равным нулю, индекс «х» для случая одной независимой переменной также часто опускают:

Г>°у(х) = о Щу(х).

При переходе к пределу а —> п, п € М, дробная производная сОху(х) переходит в производную целого порядка у^п\х).

Из определения (1.3) можно показать, что дробная производная или интеграл степенной функции определяется выражением

= г,Г(:Т1} а е К, 7 > -1, ® > о. (1.4)

1 (7 + 1 — а)

В частности, отсюда следует, что дробная производная единицы не равна нулю, а роль констант играют ха~к (при 7 = а — к знаменатель обращается в бесконечность)

Щ1= * а П%ха~к = 0, к<а + 1,кеЕ.

х Г(1 —а)

г1ГаУ[п\х) = сЩу{х) - £ + 0), ' (1.7)

Т{к - а + 1)

Также справедливы следующие формулы [54]:

Щ (ха~1е-1/х^ = ^х-^е'^, 7 > 0, (1.5)

^(^"Чпх) (1.6)

Правила композиции операторов. Для достаточно широких классов функций при а > 0, /3 > 0 и целом т > 0 справедливы соотношения [23]

с1^у(х) = ¿Гру(х), сВахС1«у{х) = у(х), В™сВ«у{х) = с0^ту(х).

Комбинация с1хс0ху(х) в общем случае не совпадает с у (теорема 2.4, [23]). Если существуют пределы у(х) и её производных до порядка п — 1 в точке с, обозначаемые у(к\с + 0), то дробный интеграл от производной целого порядка с1х~ау(п\х) удовлетворяет соотношению

71-1 _ (х - сУ к=0 ^

где п — 1 < а < п (данный оператор называется также регуляризованной дробной производной или производной Капуто, [47]). Дифференцированием соотношений типа (1.7) может быть получена известная формула

сЩМх) = сО«+1у(х) - \{с + 0), а > 0. (1.8)

Дробные производные и интегралы с отрезком интегрирования [с, х] называют левосторонними. Аналогично определяются правосторонние операторы Римана-Лиувилля для фиксированного правого конца отрезка (I. Правосторонний дробный интеграл определяется равенством

<1

X

а оператор дробной производной ХП% - соотношением

При целом а = п правосторонняя дробная производная в пределе совпадает с (-1 )пуМ(х).

Правосторонние и левосторонние операторы переходят друг в друга при преобразовании отражения отрезка [с, .

Обобщённое правило Лейбница. Для дробной производной или дробного интеграла от произведения функций справедлива формула

("ХвГ7М Впхд(х), (1.9)

71=0 ^П '

где биномиальные коэффициенты определяются через гамма-функцию:

(Р\ Г(р +1)

\д) Г(д + 1)Г(р -д+1)

и являются обобщением числа сочетаний

Тождество (1.9) справедливо как при аналитических /, д в окрестности с (см. [23], §15), так и при более слабых ограничениях на функции. В частности, из работ [55], [56] следует, что достаточно аналитичности /, д функций на открытом интервале (с, 6) и ограничения порядка особенности функций в нуле:

!(г)<ММ**9(г)<ЩАч> Р + Ч>-1.

В частном случае д(х) = Ах + В имеем

((Ах + Ь)!(х)) = еЩ/(х) (Ах + В) + аА */(*) (1.10)

(данное тождество можно доказать и непосредственно из определения дробной производной).

Дробную производную от аналитической функции в интервале (с, й) можно представить в виде ряда по целым производным (лемма 15.3, [23]):

сВ«у(х) = £ В1у(х\ X е (с, Л). (1.11)

^ \п) Г(п - <* + 1)

Для правосторонней дробной производной обобщённое правило Лейбница

СЩ (!(х)д(х)) = V

имеет вид

00 / \

ХЩ и(х)д(х)) = £ Г {-1)\БГпт Впхд(х). (1.12)

п=0 V1'

Производная сложной функции. Значительная часть трудностей при работе с производными дробного порядка возникает из-за отсутствия компактной формулы дифференцирования сложной функции. Действительно, для производной целого порядка п справедливы выражения [54]

тп к

к\ 1

В™д(у(х)) = Е Е ( г ) й Н^Г п* Ш)

к=о г=о то к

\к—г

лкд(у)

¿ук '

лгл*.»(*)) = £ (£) ЕЕ ОЙ[-»(®)Гя? [(»(х))^]

т=О ч""/ к=0 г=0 7 " " у

Подстановка Вх/(х, у(х)) в представление (1.11) позволяет записать производную сложной функции в следующем виде (см. также [3]):

оо п тп к

</(*))] = ЕЕ ЕЕ

'а\ (п\ /АЛ 1

' ^ \п) \т) \г) к\ Г(п + 1 — а)

п—О т=О к=0 г=О \ / V / \ / V 1 '

X'

[-у{х)]г X

хВ

ТП X

X))

к—г

дп-т+к/(х,у)

(1.13)

дхп~тдук

Формулу (1.13) можно переписать, выделив из нее слагаемые, не зависящие от производных у и зависящие от них линейно — они получаются, соответственно, при к = 0 и к — 1:

тл = д*и)+дахш!у) - +м,

(1.14)

где дх(/) — оператор частной дробной производной по первому аргументу, а функция

оо п т к— 1

х=ЕЕЕЕ

сЛ / га \ /7Л 1

х

п—а

—Ц ' \п/ \т) \г) к\ Г(га + 1 — а)

—2 т=2 к=2 г=О 4 7 4 7 4 у 4 '

[~У(х)]г х

х В

т

Ш)

к—г

д

Iп—т+к

дхп~тдук

(1.15)

нелинейно зависит от производных функции у и их произведений (все линейные относительно производных слагаемые сокращаются при суммировании по г). Заметим также, что [1 = 0 при выполнении соотношения /уу = 0.

§2 Преобразования операторов дробного

интегро-дифференцирования при заменах переменных

Рассмотрим выражение для дробной производной Римана-Лиувилля порядка a G (0,1)

™ , ч 1 d Г y(t) ,

cD?y(x) = —-г— / , \ dt

хУ\ ) Г(1-a) dxjc (:х - t)a

и точечную невырожденную замену переменных

х = ф(х, у(х)), у(х) = ф(х, у{х)).

Обозначим ф[х] = ф(х,у(х)), ф[х] = ф(х,у(х)). Вычисление cD%y(x) с заменой переменной интегрирования t = фЩ даёт

jrm = 1 ± Г dt=—1____ Г dt

с хУ{ } г(1 - a) dx Jc (х - t)° Г(1 - а) ф'[х] dx ]ф-.[с] (ф[х] - фЩ)°

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Касаткин, Алексей Александрович, 2013 год

Литература

[1] Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. X. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. ВИНИТИ РАН, 1989. Т. 34. С. 3-83. Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения».

[2] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукашук С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Материалы Уфимской международной математической конференции памяти А.Ф. Леонтьева / ИМВЦ УНЦ РАН. Т. 1. Уфа: 2007. С. 57-58.

[3] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукашук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9. С. 125-135.

[4] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукашук С. Ю. Симметрийный подход к дифференциальным уравнениям дробного порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды пятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Самара: 2008. С. 59-61.

[5] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрии дифференциальных уравнений с дробными производными // Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений: Тезисы докладов Международной конференции МОСЫАМ-13 / УГАТУ. Уфа: 2009. С. 12.

[6] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Симметрийные свойства дифференциальных уравнений переноса дробного порядка // Труды Института механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН, Материалы V Российской конференции с международным участием «Мно-

гофазные системы: теория и приложения». Уфа: Нефтегазовое дело, 2012. Т. 9. С. 59-64.

[7] Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, К2 4. С. 54-68.

[8] Галактионов В. А., Посашков С. А. Точные решения и инвариантные пространства для нелинейных уравнений градиентной диффузии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1994. Т. 34, № 3. С. 373-383.

[9] Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

[10] Ибрагимов Н. X. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования: классич. и новые методы, нелинейн. мат. модели, симметрия и принципы инвариантности : [учебник : пер. с англ.]. Изд-во Нижегор. госуниверситета, 2007.

[11] Ибрагимов Н. X., Руденко О. В. Принцип априорного использования сим-метрий в теории нелинейных волн // Акуст. журн. 2004. Т. 50, № 4. С. 406419.

[12] Касаткин А. А. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка по допускаемым группам точечных преобразований // Мавлютовские чтения - Всероссийская молодёжная научная конференция. Материалы конференции / УГАТУ. Т. 5. Уфа: 2007. С. 56-57.

[13] Касаткин А. А. Применение метода инвариантных подпространств к уравнениям с дробными производными // Обозрение прикладной и промышленной математики. XI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сесия). Т. 17. 2010. С. 729-730.

[14] Касаткин А. А. Симметрийные свойства систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка // Уфимский математический журнал. 2012. Т. 4, № 1. С. 71-81.

[15] Касаткин А. А. О групповой классификации одного класса уравнений с производными дробного порядка // Международная конференция МСЮ11А]Ч-16 «Современный групповой анализ»: тезисы докладов / УГА-ТУ. Уфа: 2013. С. 13.

[16] Ковалев В. Ф., Кривенко С. В., Пустовалов В. В. Групповой анализ кинетического уравнения Власова // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 10. С. 1804-1817.

[17] Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.

[18] Нигматуллин Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика. 1992. Т. 90, № 3. С. 354-368.

[19] Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. 399 с.

[20] Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333. С. 702-704.

[21] Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Москва: Мир, 1989. 639 с.

[22] Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 299 с.

[23] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

[24] Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегро-дифференцированием дробного порядка. Москва-Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2011.

[25] Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. Т. 173, № 8. С. 847-876.

[26] Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.

[27] Фущич В. И. Об одном способе исследования групповых свойств интегро-дифференциальных уравнений // Украинский математический журнал. 1981. Т. 33, № 6. С. 632-635.

[28] Чиркунов Ю. А. Групповой анализ линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Новосибирский гос. университет экономики и управления, 2008. 368 с.

[29] Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: НГТУ, 2012.

[30] Bihlo A., Dos Santos Cardoso-Bihlo Е., Popovych R. О. Complete group classification of a class of nonlinear wave equations // Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 53. 123515.

[31] Chetverikov V. N., Kudryavtsev A. G. A method for computing symmetries and conservation laws of integra-differential equations // Acta Applicandae Mathematica. 1995. Vol. 41, no. 1-3. P. 45-56.

[32] Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Chapman & Hall/CRC applied mathematics and nonlinear science series. Chapman & Hall/CRC, 2007.

[33] Gazizov R. K., Kasatkin A. A. Constructing solutions of evolutionary fractional differential equations using invariant subspaces and symmetries // Abstracts of International conference MOGRAN-15. Kemer, Turkey: 2012. P. 12.

[34] Gazizov R. K., Kasatkin A. A. Construction Of Exact Solutions For Fractional Order Differential Equations By Invariant Subspace Method // Proc. 5th Symposium on Fractional Differentiation and its Applications / Hohai University. Nanjing, China: 2012.

[35] Gazizov R. K., Kasatkin A. A. Construction of exact solutions for fractional order differential equations by the invariant subspace method // Computers and Mathematics with Applications. 2013. Vol. 66. P. 576-584.

[36] Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. Symmetry analysis of differential equations with fractional order derivatives // Abstracts of International conference MOGRAN-11 «Lie Group Analysis in Education and Research» / BTH. Karlscrona, Sweden: 2007.

[37] Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. Group-invariant solutions of fractional differential equations // Proc. of the 2nd Conference of Nonlinear Science and Complexity. Portugal, Porto, 2008. 12 p.

[38] Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. Symmetries and group-invariant solutions of nonlinear fractional differential equations // Proc. of the 3rd IFAC workshop on fractional differentiation and its applications (FDA'08). Ankara, Turkey: 2008.

[39] Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta. 2009. Vol. T136. 014016.

[40] Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Y. Group-Invariant Solutions of Fractional Differential Equations // Nonlinear Science and Complexity. Springer Netherlands, 2011. P. 51-59.

[41] Grigoriev Y. N., Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Meleshko S. V. Symmetries of integro-differential equations: with applications in mechanics and plasma physics. Springer, 2010. Vol. 806 of Lecture notes in physics.

[42] Ibragimov N. Elementary Lie group analysis and ordinary differential equations. Mathematical methods in practice. Wiley, 1999. 347 p.

[43] Ibragimov N., Torrisi M., Valenti A. Preliminary group classification of equations vtt=f(x,vx)vxx+g(x,vx) // Journal of Mathematical Physics. 1991. Vol. 32. P. 2988-2995.

[44] Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Pustovalov V. V. Symmetries of integro-differential equations: a survey of methods illustrated by the Benney equations // Nonlinear Dynamics. 2002. Vol. 28. P. 135-153.

[45] Jafari H., Daftardar-Gejji V. Solving a system of nonlinear fractional differential equations using Adomian decomposition // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2006. Vol. 196. P. 644-651.

[46] Jafari H., Momani S. Solving fractional diffusion and wave equations by modified homotopy perturbation method // Physics Letters A. 2007. Vol. 370. P. 388-396.

[47] Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory And Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies. Elsevier Science & Tech, 2006.

[48] Luchko Y., Gorenflo R. Scale-invariant solutions of a partial differential equation of fractional order // Fractional Calculus and Applied Analysis. 1998. Vol. 1. P. 63-78.

[49] Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equation // Radiophys. and Quant. Electr. 1995. Vol. 38. P. 13-24.

[50] Meleshko S. V. Methods for constructing exact solutions of partial differential equations. Mathematical and analytical techniques with applications to engineering. Boston, MA: Springer US, 2005. P. 352.

[51] Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physical Reports. 2000. Vol. 339. P. 1-77.

[52] Miller K. S., Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[53] Momani S., Odibat Z. Homotopy perturbation method for nonlinear partial differential equations of fractional order // Physics Letters A. 2007. Vol. 365. P. 345-350.

[54] Oldham K. B., Spanier J. The Fractional Calculus. New York: Academic Press, 1974.

[55] Osier T. J. Leibniz rule for fractional derivatives generalized and an application to infinite series // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1970. Vol. 18. P. 658-674.

It*

[56] Osier T. J. A correction to Leibniz rule for fractional derivatives // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1973. Vol. 4. P. 456-459.

[57] Podlubny I. Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications. San Diego - New York - London: Academic Press, 1999. 368 p.

[58] Schiessel H., Metzler R., Blumen A., Nonnenmacher T. Generalized viscoelas-tic models: their fractional equations with solutions // Journal of physics A: Mathematical and General. 1995. Vol. 28. 6567.

[59] Shawagfeh N. T. Analytical approximate solutions for nonlinear fractional differential equations // Applied Mathematics and Computation. 2002. Vol. 131.

P. 517-529.

[60] Svirshchevskii S. R. Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations // Physics Letters A. 1995. Vol. 199. P. 344-348.