Теоремы равносходимости для интегральных операторов с инволюцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кувардина, Лариса Петровна

• Кувардина, Лариса Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кувардина, Лариса Петровна

Введение

Глава 1. Обращение интегральных операторов с инволюцией

1.1. Теоремы об обращении

1.2. Случай вольтеррова оператора с инволюцией

Глава 2. Равносходимость для интегральных операторов с дробно-линейной инволюцией

2.1. Резольвента "простейшего" оператора

2.2. Оценки резольвенты "простейшего" оператора

2.3. Формула для резольвенты интегрального оператора с дробно-линейной инволюцией

2.4. Равносходимость спектральных разложений исходного и простейшего операторов

Глава 3. Равносходимость для интегральных операторов с произвольной инволюцией

3.1. Интегро -дифференциальная система для резольвенты

3.2. Исследование решений упрощенной системы

3.3. Исследование преобразованной интегро-дифференциальной системы

3.4. Основная теорема 99 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Теоремы равносходимости для интегральных операторов с инволюцией»

Многие вопросы современной математики, механики, физики приводят к спектральному анализу несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов. Исследования в этой области включают в себя задачи определения собственных значений, собственных и присоединенных функций (с.п.ф.), обращения операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, разложения произвольной функции в ряд по с.п.ф., вопросы полноты и базисности системы с.п.ф., равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, суммируемости разложений по с.п.ф. и так далее. Такого рода задачи возникают, например, при использовании метода Фурье для решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Следует отметить, что в последнее время интерес к спектральной теории возрастает, о чем свидетельствуют многочисленные публикации.

Данная работа посвящена изучению интегральных операторов с инволюцией. Основной результат - теорема равносходимости разложений по с.п.ф. интегральных операторов и в тригонометрический ряд Фурье. Предварительно получены формулы точного обращения для более широкого класса интегральных операторов с инволюцией.

Впервые теорема равносходимости спектральных разложений по с.п.ф. и разложений в обычные тригонометрические ряды Фурье была установлена в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаара [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Позже Я.Д. Тамаркин [4] и М. Стоун [5] распространили этот результат на дифференциальный оператор произвольного порядка п-2 к—О с произвольными краевыми условиями им = + Wfc)(i)] = о> fc=0

С[0,1],

1) з = 1,. . . ,71,

2) удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj(y), после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя. Приведем один из результатов Я.Д. Та-маркина

Теорема 0.1. Для оператора (1) с регулярными краевыми условиями (2) существует такая последовательность номеров {ki}, что для всякой f(x) е L[О,1] и любого 5 е (0,1/2) lim ||<Sfy(/) — <?i(f)\\c[s,i-d] = 0, (3) г—*оо где Sk(f) и &k{f) ~ частичные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).

Аналогичный результат был получен М. Стоуном [5] при рк(х)еЬ[ 0,1].

Одним из основных требований теоремы равносходимости является труднопроверяемое условие регулярности краевых условий. Существует другой подход к вопросу равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций. Этот метод разработан в многочисленных работах В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]); часто такой подход к решению задачи позволяет получить результаты окончательного характера. А.М.Седлецким были получены, например [10], теоремы равносходимости для дифференциальных операторов с «размазанными» граничными условиями.

Теорема 0.1 дает равносходимость спектральных разложений для интегрального оператора 1

Af = J A(x,t)f(t) dt, (4) о если А(х, t) является функцией Грина некоторого дифференциального оператора. В общем случае для интегральных операторов вопрос о равносходимости впервые исследовался А.П. Хромовым [11], [12]. При этом были введены следующие требования на ядро оператора: gs+j а) производные Axstj(x,t) = ^s^.A(x,t) (s,j = 0,. ,п) непрерывны при t < х и t > х ; б) Psj{t) = &Axstj{x,t)\x=t = Axsv(x,t)- Axstj(x,t)\x=t-0 e еС^-^ОД] у = 0,.,«-l; s = 0,. ,n); в) A~l существует; г) AAxs(x,t)\t=x = Axs(x,t)\t=x-Q - Axs(x,t)\t=x+o = Ss,n-1 (s = 0,. ,n, 5ij - символ Кронекера).

В работе [12] было показано, что условия а) и б) ослабить нельзя, условие в), то есть, условие существования обратного оператора необходимо для равносходимости, а условие г) задает, в определенном смысле, канонический вид интегральных операторов, для разложений по с.п.ф. которого имеет место равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье.

В связи с отсутствием конструктивного перехода для интегральных операторов к такому каноническому виду встал вопрос о поиске других классов интегральных операторов, для которых имеет место указанная равносходимость. Так А.П. Хромовым впервые [13] были рассмотрены интегральные операторы, ядра которых имеют скачки на линиях t = х и t = 1 — х, а именно, х

Af(x) = си I Ai (х, ()/(/,) dt + ом J A2(x,t)f(t)dt+

5)

1-Х

О 1-х a3 J A3( 1 - x: t)f(t) dt + aA J A4( 1 - x, t)f{t) dt.

В работе [13] были получены формулы обращения для операторов (5). Теорема равносходимости изначально [14] была получена для оператора

1-х

Af(x) — J A(l-x,t)f(t)dt, (6) о ядро которого A(x,t) удовлетворяет условию Axs(x,x) = Sq,s (s — 0,1). Причем были даны два доказательства теоремы равносходимости. Одно свелось к проверке выполнимости условий теоремы равносходимости из [12] для оператора А2. При втором варианте доказательства теоремы, как отмечено в работе, значительно снижены требования на гладкость ядра оператора, требуется всего лишь непрерывность функций A(x,t), Ax(x,t), At(x,t), Axt(x,t) при 0 < t < х < 1. Второе доказательство проведено по схеме рассуждений статьи [12] и основывалось на изучении резольвенты Фредгольма R\ = {Е — \А)~1А «протейшего» оператора вида (6), когда

A(x,t) = 1. Заметим, что такой выбор оператора, использование инволюции р(х) = 1 — ж, позволили свести интегральное уравнение для резольвенты Фредгольма «простейшего» оператора к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, хотя обычно к конечной системе не сводится. Что в свою очередь позволило выявить структуру резольвенты, получить оценки резольвенты при больших значениях спектрального параметра. Более того, выбор пределов интегрирования в операторе позволил освободиться от требования трудно проверяемого условия регулярности по Биркгофу граничных условий обратного оператора, что существенно упрощает формулировки результатов. Отметим, что в доказательствах используется метод Коши-Пуанкаре [15] интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.

Дальнейшее обобщение результата шло за счет увеличения числа интегральных слагаемых оператора, изменений ограничений на ядро оператора и конечномерных возмущений оператора. Отмечу основные из этих работ. Сначало была доказана теорема равносходимости для операторов вида

1—Ж X

Af(x)= J A(l-x,t)f(t)dt + a J A(x,t)f(t)dt. (7) о 0 при тех же ограничениях на ядро оператора. Затем в совместной работе В.В.Корнева и А.П.Хромова [16] были изменены ограничения на ядро оператора, требовался скачок не самого ядра, а некоторой его производной, а именно, ядро А(х, t) п раз непрерывно дифференцируемо по х, один раз по t при 0 < t < а; < 1 и Аха(х, t)\t=x = ^s.n-i? s = 0,., п. Отметим, что такое изменение оператора существенно изменило схему доказательства. Кроме того, полученная теорема равносходимости отличается от обычной формулировки, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.

В работе Е.В.Назаровой [17] была получена теорема равносходимости для оператора (5), то есть для случая четырех интегральных слагаемых. В этой задаче остается требование регулярности краевых условий, проверить его не удалось. Конечномерные возмущения интегральных операторов (6), при некоторых ограничениях на A(x,t) и а были рассмотрены А.П.Хромовым [18], В.А.Халовой [19].

Работы [13], [14] явились первыми в исследовании спектральных свойств интегральных операторов вида (5). В настоящий момент есть целый ряд публикаций и по другим задачам спектрального анализа операторов (5), при некоторых ограничениях на Ai(x,t) и щ. Отмечу только некоторые из них. Так в целом ряде совместных работ А.П.Гуревича,

A.П.Хромова, напрмер [20], [21], исследуется суммируемость по Риссу спектральных разложений по с.п.ф. интегрального оператора (7). В работе

B.П.Курдюмова, А.П.Хромова [22] установлена базисность Рисса системы с.п.ф. оператора. В.В.Корневым, А.П.Хромовым [23] были найдены условия при которых разложения по с.п.ф. оператора (7) абсолютно сходятся, этот результат является обобщением теоремы Зигмунда об абсолютной сходимости тригонометрических рядов.

Одно из направлений дальнейшего исследования, которое сейчас активно развивается, это изучение интегрального оператора (4), ядро которого терпит разрывы первого рода на ломаных линиях определенного вида. Эти ломанные могут быть образованны из сторон и диагоналей квадратов, получаемых разбиением единичного квадрата на п2 равных квадратов. Основополагающей является работа [24], в ней изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по с.п.ф. оператора. Следует отметить, что полученная теорема равносходимости отличается от обычной тем, что равносходимость имеет место не на интервале [£, 1 — <5], а на объединении п непересекающихся интервалов кон-, кретного вида.

Во всех указанных работах используется метод контурного интегрирования резольвенты оператора. Исследования начинаются с изучения резольвенты Фредгольма конкретного оператора этого класса, так называемого «простейшего» оператора. Отправным моментом в этих исследованиях является возможность построения для резольвенты простейшего оператора конечномерной краевой задачи, хотя обычно, при произвольном выборе интегрального оператора конечную дифференциальную систему получить невозможно. Затем находится решение краевой задачи, на основании чего получают различные оценки резольвенты «простейшего» оператора, хотя выписать в явном виде саму резольвенту, как правило, не удается. На следующем этапе исследования получают формулу для резольвенты Фредгольма произвольного оператора класса через резольвенту «простейшего» оператора. И далее, в зависимости от цели исследования, изучаются различные операторы, вспомогательные краевые задачи и так далее.

Как видим, для класса интегральных операторов вида (5) удалось получить очень интересные и разнообразные результаты. Поэтому, было бы интересно получить схожие результаты для других классов операторов, возможно, обобщить этот класс интегральных операторов.

В диссертационной работе рассматриваются операторы, обобщающие операторы вида (5), а именно, X

А}(х) = оц J A,(x,t)f(t)dt + №2 J A2(x,t)f(t)dt I

8)

P(x) 1

0 p(x) аз J A3(p(x),t)f{t)dt + a4 J AA(jp{x),t)f{t)dt, где p(x) - инволюция. Как уже отмечалось, существование обратного оператора является необходимым условием для равносходимости. Поэтому изучение оператора (8) естественно начать с обращения. В первой главе диссертации получены формулы точного обращения операторов вида (8). Эта глава является обобщением работы [13] на случай произвольной инволюции.

Во второй главе работы устанавливается равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора р(х)

Af(x) = J A(p(x),t)f(t) dt, (9) о

1-х при р(х) =-а > — 1 и «простейшего» оператора А0, это оператор

CLX 1 вида (9), ядро которого Ao(x,t) = 1. Определен явный вид резольвенты Фредгольма оператора А0. На основании этого получен ряд оценок резольвенты оператора А0 в различных пространствах. Выведено уравнение, связывающее резольвенты- операторов А и А0, показано существование и единственность решения этого уравнения. И методом Коши-Пуанкаре доказывается равносходимость разложений по с.п.ф. операторов А и А0.

Следует отметить, что вторая глава является обобщением работы [14]. Но в работе [14] с.п.ф. «простейшего» оператора являлась обыкновенная тригонометрическая система функций. Из чего сразу следовала равносходимость с тригонометрическим рядом Фурье.

Равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора Aq: а следовательно, разложений по с.п.ф. оператора А вида* (9), с тригонометрическим рядом Фурье была получена в [32]. В диссертационной' работе эта часть не излагается, так как она была получена методом, используемым в третьей главе диссертации. В конце второй главы только формулируется теорема равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье.

Основной результат работы излагается в третьей главе . Доказана равносходимость разложений функции по с.п.ф. оператора (9) в случае произвольной инволюции р(х) е С3 [0,1] с тригонометрическим рядом Фурье.

Понятно, что во второй главе рассмотрена часть операторов, изучаемых в третьей главе. Однако, существенно отличаются не только методы исследования, но и условия при которых получены теоремы равносходимости. А именно, во второй главе теорема равносходимости получена для интегрального оператора со следующими ограничениями на ядро оператора: требуется непрерывность ядра A(x,t) и его производных Ах(х, £),

Axt(x,t), кроме того, А{х,х) = 1, Ax(x,t) = 0. В более общем случае, t=x рассмотренном в третьей главе, усилены требования на гладкость: требуется еще непрерывность Ax2t(x,t), Axt2(x,t), но условие Ax(x,t) = 0 удалось снять. 1~х

Отметим основные отличия методов. Во второй главе, хотя и строится двумерная краевая задача, но почти весь материал излагается для одномерного случая. В третьей главе исследование ведется в двумерном случае. Если в третьей главе изучается резольвента Фредгольма исходного оператора и для нее строится краевая задача, исследуемая в дальнейшем, то во второй главе фактически изучается резольвента Фредгольма простейшего оператора, для нее строится краевая задача, проводится по этапное доказательство. В начале доказывается равносходимость операторов с простейшим, а уже потом получена равносходимость разложений по с.п.ф. простейшего оператора с разложением по тригонометрической системе. Поскольку последнее утверждение доказывается для оператора у которого ядро является константой, то есть, Ао(х, t) = 1, то хотя и использован метод главы 3 , но дополнительных ограничений на ядро оператора в этой части доказательства не появляется, то есть нет тех ограничений, на ядро которые возникают если применить этот метод к самому оператору, а не его простейшему.

С другой стороны, применение метода L-диагонализации, в третьей 0. Таким образом, во втоt=x главе позволяет снять требование Ax(x,t) рой главе требуется выполнение условий ж) = 1и Ax(x,t) = 0, а в t=x общем случае, рассмотренном в третьей главе, только условие А(х, х) = 1.

Поясним формальное строение работы. Работа содержит 113 страниц, состоит из введения, трех глав (десяти параграфов) и списка литературы.

Параграфы имеют двойную нумерацию. Охарактеризуем основное содержание каждого из параграфов.

В параграфе 1.1 получены (теорема 1.1) обратные операторы для интегральных операторов (8), в предположении их существования:

A^yix) = {Е + S/30)~1Q~1(D + (30Е)у(х), 1

3/(0) = J (a2A2(0, t) + а3А3(1, tj) (Е + S^Q'^D + P0E)y(t) dt, о ct 1 / \ где Q-1/0e) = ^((«i ~ а2)f(x) - (скз - a4)p'(x)f(p(x))j,

30 - комплексное число, Sp0 - интегральный оператор. В теоремах 1.2-1.4 рассмотрены частные случаи оператора (8), где доказано существование оператора А~1. В теореме 1.4 получен обратный оператор для оператора (9), этот результат используется во второй главе. Следствие из теоремы 1.4 дает другой вид обратного оператора, используемый в третьей главе.

В параграфе 1.2 рассмотрены интегральные вольтерровы операторы с инволюцией. Для этих операторов в теореме 1.5 получены обратные операторы и доказано их существование.

Во второй главе рассматривается интегральный оператор А вида (9) с дробно-линейной инволюцией. В параграфе 2.1 строится краевая задача z'(x) = A B(x)z{x) + B(x)F{x), Qo^(0) + Q\z(l) = О, где В(х), Qo, Qi -матрицы размерности 2x2, F(x) = (f(x), f(p(x)))T. Первая компонента z±(x) решения этой задачи является резольвентой Фред-гольма R\f(х) простейшего оператора Aq. Задача решена путем сведения дифференциальной системы к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами для функции Zi(x) (теорема 2.2). Найден (теорема 2.3) явный вид резольвенты Фредгольма R®f(x) = zi(х).

В параграфе 2.2 леммы 2.1-2.5 дают оценки резольвенты Rд в различных пространствах, а именно, при больших значениях |А[ справедливы

11^/11^ = 0(1) или,,

ЦЯа/IUi = о(Ф(м,о)) 11/Ц^, PaxIUoo = ° (х) ' где м = -^г + ^ШЩ, а+ 1

- 1 а ) ' £ \ \aer-f- 1

Ф (/1, е) — ae(Re fi — 1, s) + ae(Re ц + 1, e), x(x) ~ характеристическая функция отрезка [rjo,r)i] С (0,1). Все оценки получены в области подробно описанной в параграфе 2.2.

В параграфе 2.3 изучается резольвента Фредгольма R\ интегрального оператора А вида (9). Для резольвенты R\ выведено (лемма 2.6) уравнение у(х) = R°J(x) + R°xN2Sy(x), у(х) = Rxf{x),

10) где Sf(x) = f(p(x)), N2 - интегральный оператор. На основе предварительных оценок теорема 2.4 дает решение уравнения (10), тем самым определяет резольвенту R\ произвольного оператора через резольвенту R^ простейшего оператора, а именно,

Rxf(x) = (Е - RlNzSy'Rlfix).

В параграфе 2.4 разность резольвент R\, Rx определяется через Rx. На основании этого, зная оценки Rx, полученные в параграфе 2.2, оценивается разность резольвент и контурные интегралы от этих разностей (теоремы 2.5, 2.6), то есть,

IIЛ*/ - ^А/Цсми, = (Да/ - R°J) d\ = O(l) ||/|

J С[е,р(е)}

J (RxX~R°xX) d\

A| =r

1 '

1 '

C[e,p(e)] О

In г

Доказана равносходимость разложений по с.п.ф. операторов А и А0:

Теорема 2.7. Для любой функции f(x) G Х[0,1], и любого £ Е (0, ~1); при больших г, таких, что соответствующие ц находятся в области S5, справедливо lim

1—>00

J (.Rxf-R0xf) dX

А|=г 0.

Сформулирована теорема равносходимости разложений по с.п.ф. оператора Aq и в тригонометрический ряд Фурье (теорема 2.8).

В третьей главе рассматривается интегральный оператор А вида (9) с произвольной инволюцией р(х) Е С3 [0,1]. В параграфе 3.1 строится интегро-дифференциальная задача для нахождения резольвенты оператора А, а именно,

Q(x)z'(x) + P(x)z(x) + Nz{х) - Xz(x) = F(x), Moz(0) + Miz{ 1) = 0, где Q(x), P(x), Mo, Mi - матрицы размерности 2x2, N - интегральный оператор, F(x) = (/(ж), f(p(x)))T. Первая компонента z^x) решения этой задачи является резольвентой Фредгольма R\f(x) оператора А (теорема 3.1). Затем задача приведена к виду более удобному для изучения (теорема 3.2), а именно, после диагонализации матрицы Q{x) и преобразования, заменяющего матрицу Р(х) на матрицу Р(х, А), элементы которой имеют оценку получена задача v'(x) + Р(х, X)v(x) + N\v(x) - AV{x)v{x) = Ф(х, A), (11)

U{v) = Moxv( 0) + Mlxv( 1) = 0, (12) где T>(x) - диагональная матрица, N\ — интегральный оператор, вектор Ф(ж, А) зависит от функций f(x), р(х).

В параграфе 3.2 изучается упрощенная для (11), (12) задача w'(x) = XD{x)w(x) + Fix), (13)

U(w) = МодЦО) + Mlxw(l) = 0. (14)

В лемме 3.3 найдено решение этой задачи, обозначенное w(x, А) = Ri\F(x). В леммах 3.4 - 3.11 получены оценки вспомогательных функций, входящих в решение, на основании которых теорема 3.3 дает следующие оценки

II#ia-F||Lto = 0(l)||F||Ll, Pia-FIIl. = 0(*(Rep))\\F\\L„,

WRixFWb^OWRepmFWb, при больших значениях |A|, в области S§, подробно описанной в параграфе, при Rep <0, где р = А г, Ее(у) = ~(еу-1), при у < 0, нормы || • \\Loo и || • \\Ll в У пространстве вектор-функций размерности два Loo и L\, соответственно.

В параграфе 3.3 найдено (лемма 3.13) решение задачи (11), (12) через решение упрощенной задачи (13), (14), то есть, v(x) = LxRlx®(x: A), La = (е + R1XNX + RlxP{x, Л)) 0,

С[е, 1-е]

Значительная часть параграфа посвящена целому ряду промежуточных оценок, связанных с LxRi^(x, Л). Это леммы 3.14-3.17.

В параграфе 3.4 вводится двумерная краевая задача v' = Л T>(x)v + F(x), U0(v) = v(0) - v(l) = 0, распадающаяся на задачи, собственными функциями которых является тригонометрическая система. Приводится (лемма 3.18) решение этой задачи v(x,X) = R2XF(x), его оценки (теорема 3.5). В ряде утверждений сравниваются решения краевых задач R\XF(x) и R2XF(x).

Центральной теоремой работы является

Теорема 3.9. Для любой функции f{x) Е L[0,1] и е £ (0, |); справедливо lim Sr(f,x)-crr(g,s)

Г-Л ОО s—ip-1^) vOO i где ip(s) определяется из уравнения f q\{r)dr = s, ft = Jq\{t)dt, о о

Qiix) = V~P'(X)> 9(s) = f(<p(s))t

Sr(f,x) - частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора А для характеристических чисел, попадающих в круг |А| < г; s) ~ частичная сумма ряда Фурье функции g{s) по системе~ {exp 2kp~17ris}'^) для тех к, для которых |2&7г| < (Зг.

Основные результаты диссертации опубликованы в [25] - [37] и докладывались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова); на 10-13 Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2000, 2002, 2004, 2006), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2002), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу (Ростов - на - Дону, 2000), на международной научной конференции «Информационные технологии в естественных науках, экономике и образовании» (Саратов -Энгельс, 2002), на 15-17 Крымских Осенних Математических школах-Симпозиумах (Севастополь 2004-2006).

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и внимание к работе. 13

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кувардина, Лариса Петровна, 2009 год

1. Hobson E.W. On a general convergence theorem, and the theory of the representation of a function by a series of normal functions Текст] / E.W. Hobson // Proc. London Math. Soc. 2. 1908. - Vol. 8. - P. 349395.

2. Haar A.T. Theorie des ortogonalen Funktionen systeme Текст] /A.T. Haar // Math. Ann. 1910. - Vol. 69. - P. 331-371; - 1911. - Vol. 71. - P. 38-53.

3. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Текст] / Я.Д. Тамаркин. -Петроград, 1917. 308 с.

4. Stone М.Н. A comparison of the series of Fourier and Birkhoff / M.H. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. - Vol.28, № 4. - P. 695761.

5. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы Текст] / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969. - 528 с.

6. Ильин В.А. О равномерной равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям несамосопряженного дифференциального оператора и в тригонометрический ряд Фурье Текст] /B.А. Ильин // Доклады АН СССР. 1975. - Т. 223, № 3. - С. 548-551.

7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.

8. Текст. / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 5.- С. 771-794.

9. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений.

10. Текст. / В.А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1980. - Т. 16, № 6.- С. 980-1009.

11. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси Текст] / A.M. Седлецкий // Успехи матем. наук 1982. - 37. - Вып. 5(227). - C.51-59.

12. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами типа функций Грина Текст] / А.П. Хромов / Деп. в ВИНИТИ 1972 № 4841-72.

13. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциаль-ных и интегральных операторов Текст] / А.П. Хромов // Матем. сб.- 1981. Т. 114(156). - № 3. - С. 378-404.

14. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст] / А.П. Хромов // Матем. заметки.- 1998. Т. 64, вып. 6. - С. 932-942.

15. Хромов А.П. Теорема равносходимости для интегрального оператора с переменным верхним пределом интегрирования Текст] / А.П. Хромов. Метрическая теория функций и смежные вопросы анализа: Сб. статей. / М.: АФЦ, 1999. С. 255-266.

16. Poincare Н. Sur les ёquations de la physique mathematique Текст] / H. Poincare // Rend. Circ. mat. Palermo 1894. - Vol. 8. - P. 57-156.

17. Корнев В.В. О равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях Текст] / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Матем. сб. 2001. - Т. 192. - № 10. - С. 33-50

18. Назарова Е.В. Теоремы равносходимости для интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях Текст]: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Е.В. Назарова. Саратов, 2003. - 14 с.

19. Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям конечномерных возмущений оператора интегрирования Текст] / А.П. Хромов // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2000. - № 2. - С. 21-26.

20. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов Текст] / А.П. Гуревич,A.П. Хромов // Дифференциальные уравнения. Т. 37, № 6. - 2001.- С. 809-814.

21. Гуревич А.П. Суммируемость по Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных оперта-оров Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Известия вузов. Сер. Математика. 2003. - № 2(489). - С. 24-35.

22. Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования Текст] /B.П. Курдюмов, А.П. Хромов // Матем. заметки. 2004. - Т. 76, № 1. -С. 97-110.

23. Корнев В.В. Абсолютная сходимость разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования Текст] / В.В. Корнев, А.П. Хромов // Известия РАН. Сер. Математ. 2005. - Т. 69. - № 4. - С. 59-74.

24. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных линиях Текст] / А.П. Хромов // Матем. сб. 2006. - Т. 197.- № 11. С. 115-142.

25. Белоусова Л.П. Теорема о равносходимости спектральных разложений двух интегральных операторов Текст] / Л.П. Белоусова // Международная школа-семинар по геометрии и анализу: Тез. докл. — Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 2000. С. 91-92.

26. Белоусова Л.П. О точном обращении одного класса интегральных операторов Текст] / Л.П. Белоусова // Информационные технологии вестественных науках, экономике и образовании. Тр. Междунар. науч. конф. Саратов-Энгельс, 2002. - С. 90-92.

27. Белоусова Л.П. Интегральные операторы с переменными пределами интегрирования и их точное обращение Текст] /Л.П. Белоусова. Математика. Механика: Сб. науч. тр. / Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. - С.9-12.

28. Белоусова Л.П. О точном обращении одного класса интегральных операторов Текст] / Л.П. Белоусова // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. - С. 18-19.

29. Кувардина Л.П. О точном обращении и резольвенте класса интегральных операторов с разрывными ядрами Текст] / Л.П. Кувардина / Деп. в ВИНИТИ 09.10.2006 № 12-14-В2006. 23 с.

30. Кувардина Л.П. О равносходимости разложений по собственным и присоединеным функциям одного класса интегральных операторов Текст] / Л.П. Кувардина / Деп. в ВИНИТИ 09.10.2006 № 12-13-В2006. -60 с.

31. Кувардина Л.П. О равносходимости с тригонометрическим рядом Фурье разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования Текст] / Л.П. Кувардина / Деп. в ВИНИТИ 09.10.2006 № 12-12-В2006. 45 с.

32. Кувардина Л.П. О равносходимости разложений по собственным и присоединеным функциям интегрального оператора с инволюцией Текст] / Л.П. Кувардина, А.П. Хромов // Известия вузов. Сер. Математика. 2008. - № 5(489). - С. 67-76.

33. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений Текст] / И.М. Рапопорт. Киев.: Изд-во АН УССР, 1954. -287с.

34. Бари Н.К. Тригонометрические ряды Текст] / Н.К. Бари. М.: Физ-матгиз, 1961. -936с.