Квазистатические контактные задачи для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Марк, Александр Викторович

• Марк, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марк, Александр Викторович

Введение 1

1 Движение жесткого штампа по вязкоупругому полупространству 8

1.1 Общая постановка задачи.8

1.2 Решение вспомогательной задачи. .10

1.3 Вывод интегрального уравнения.15

1.4 Прямоугольный штамп неволнистой в плоскости ZY подошвой 19

1.5 Штамп с гладкими краями. .26

1.6 Волнистый штамп с нулевой осадкой. .29

2 Движение жесткого штампа по границе вязкоупругого слоя 35

2.1 Общая постановка задачи. .35

2.2 Решение вспомогательной задачи. .36

2.3 Вывод интегрального уравнения.40

2.4 Штамп с прямоугольным основанием. .42

2.5 Штамп с параболическим основанием и гладкими краями . 53

3 Движение жестких бандажа или вкладыша по границам вязкоупругих тел цилиндрической формы 62

3.1 Общая постановка задачи. .62

3.2 Решение вспомогательной задачи. .64

3.3 Вывод интегрального уравнения. .79

3.4 Бандаж и вкладыш с острыми краями.\ . . . . 82

3.5 Бандаж и вкладыш параболической формы с гладкими краями.87

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазистатические контактные задачи для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью»

Контакт является основным способом приложения нагрузок к деформируемым телам, вследствие чего контактные задачи занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Изучение проблем контактного взаимодействия является важной задачей, от решения которой во многом зависят успехи машиностроения,ительства, сейсмологии и других областей человеческой деятельности. Взаимодействиями контактирующих поверхностей определяются процессы разрушения в машиностроении, причем величина контактных давлений является основным фактором, влияющим на прочность и долговечность конструкций. Следовательно, для создания работоспособных конструкций необходимо знать распределение контактных давлений.

Во второй половине XX века были созданы и стали применяться в различных областях новые материалы - полимеры, обладающие свойством вязкоупругости. Вообще говоря, к вязкоупругим ( или наследственно-упругим) относят материалы, состояние которых зависит как от приложенных в данный момент внешних воздействий, так и от воздействий в предшествующие моменты времени. Наиболее характерные представители этих матеI риалов - полиамидные пластики, эластомеры, а также полипропилен.

Полиамидные пластики (или полиамиды) - конструкционные материалы, которые, по сравнению с полимерами общего назначения, характеризуются повышенной прочностью и термостойкостью и применяются при создании изделий, требующих долговечности, износостойкости, пониженной горючести и способных выдерживать циклические нагрузки. В машиностроении полиамиды применяются для изготовления зубчатых колес, втулок-прокладок, корпусных деталей пневматических инструментов; в текстильной промышленности из полиамидов изготовливают синтетические волокна.

Эластомеры широко используются в промышленности. Наиболее характерные представители - полиуретаны, резины и каучуки. Из этих материалов изготавливают шины, уплотнительные детали, различные валики.

Полипропилен широко используется в промышленности для изготовления труб для горячего и холодного водоснабжения, емкостей, тары, а также игрушек.

Изложенные обстоятельства свидетельствуют о важности разработки и использования методов решения задач теории вязкоупругости.

В математическом плане контактные задачи вязкоупругости относятся к классу задач механики сплошных сред со смешанными граничными условиями и сводятся, как правило, к решению интегральных уравнений с сингулярным ядром. При решении контактных задач вязкоупругости часто используется модель стандартного вязкоупругого тела (модель Кельвина), так как она дает достаточно неплохое качественное описание поведения материала, а также позволяет в ряде случаев получить аналитические решения.

Контактные задачи вязкоупругости условно можно разделить на два типа.

К первому типу относятся задачи о вдавливании жесткого тела - штампа в вязкоупругое. К указанному можно отнести работы [13], [18], [20]. В , этом случае искомое контактное давление под штампом зависит как от времени, так и от координат. В данных задачах, когда область контакта не изменяется во времени, решение может быть получено с помощью принципа Вольтерра [21], [22], [11], [12], а при ядрах, зависящих от разности аргументов, - с помощью принципа соответствия [21], [22]. Решение задачи сводится к расшифровке операторов или к отысканию оригиналов по известному отображению. В случае, когда область контакта неизвестна и меняется во времени, принцип Вольтерра и принцип соответствия неприменимы. Способ решения существенно зависит от того, возрастает или уменьшается область контакта [23]. При уменьшающейся области контакта задача сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений, а в случае увеличивающейся области - к перестановке пределов интегрирования, а затем к последовательному решению двух интегральных уравнений. Указанные задачи могут найти применение, например, при расчете фундаментов, опор, когда грунт имеет вязкоупругие свойства.

Ко второму типу задач, который рассматривается ниже, а также в главах I, II, III, относятся задачи о стационарном движении штампа по границе вязкоупругого тела. Указанным задачам посвящено достаточно большое количество работ. Зачастую в подобных задачах получить,замкнутых решений не удается, качественный анализ численных решений весьма затруднителен.

Одним из первых советских авторов, который рассмотрел вышеуказанную задачу в конце 30-х, начале 40-х годов прошлого века, был А. Ю. Иш-линский [15],[16]. Задача состояла в определении силы трения при качении цилиндра но вязкоупругому основанию и решалась в предположении существования на линии контакта одного участка сцепления и одного участка скольжения. Деформируемое основание заменялось системой раздельных стержней, которые могли отклоняться в сторону и укорачивающихся пропорционально усилиям, действующим по касательной и соответственно по нормали к торцу. Определены асимптотические представления этой силы для больших и малых скоростей. Из этих зависимостей видно, что при увеличении скорости сила трения стремится к нулю.

В последующих работах рассматривалось качение вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала.

В работе Г.А. Бойченко [5] рассматривалась задача о сопротивлении перекатыванию в предположении медленного равномерного качения цилиндра весьма большого радиуса по границе полупространства. Считалось, что материалы катка и полупространства обладают наследственной упругостью, участок контакта состоит из зоны сцепления и зоны скольжения. На основании принципа Вольтерра задача свелась к соответствующей плоской задаче теории упругости, сингулярные интегральные уравнения регпенььв конечной форме, после чего с помощью реализации операторов наследственной упругости получено решение задачи.

В одной из работ Р.Я. Ивановой [14] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке; материал считался линейно-вязкоупругим, объемное последействие отсутствовало. Процесс считался стационарным. При решении использовались принцип Вольтерра и метод Мусхешвилли [19]. Полученные при этом два сингулярных уравнения содержали реологический оператор, который выражался через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. Одно из этих интегральных уравнений удалось свести к виду, позволяющему решить его методом Карлемана. Решение было вынисано в квадратурах, вычислялись они приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации.

Подобная задача была рассмотрена И.Г. Горячевой в работе [9]. Предполагалось, что вся площадка контакта состоит из 2-х участков: участка сцепления и участка скольжения соприкасающихся поверхностей. Задача решалась с помощью 2-х функций комплексных переменных; в итоге были найдены уравнения для определения длины площадки контакта и участка сцепления, а также выражения для напряжений на площадке контакта.

Ю.Н. Работнов в книгах [21], [22] привел метод решения задачи о движении нагрузки с постоянной скоростью по границе вязкоупругого тела достаточно большой протяженности. Инерционные члены в уравнениях равновесия были опущены, так как скоросгь движения нагрузки существенно меньше скорости распространения упругих волн в вязкоупругой среде. В качестве примера была рассмотрена задача о движении без трения кругового штампа по границе вязкоупругой полуплоскости. Строилось решение задачи теории упругости, затем упругие постоянные заменялись соответствующими операторами. Результаты показали, что эпюра распределения контактного давления имеет тот же вид, что и в упругом случае, но смещена в сторону движения.

Движением жесткого штампа по вязкоупругому телу занимались и зарубежные специалисты.

В работе Ли [28] были рассмотрены случаи действия сосредоточенной неподвижной и подвижной сил на вязкоупругое полупространство, поведение которого при сдвиге описывается моделью Максвелла, а при всестороннем сжатии - идеально упругим телом. При решении использовался метод преобразования Лапласа.

В работе Хантера [27] решена двумерная контактная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству. При исследовании инерционные члены опускались. На первом этапе получено сингулярное интегральное уравнение, отражающее зависимость нормального смещения границы полупространсгва от давления под штампом. Решение осуществлялось с помощью эквивалентного преобразования в уравнение с логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления (аналог формулы Буссинеска для вязкоупругой задачи). Замкнутое решение получено для материала с одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространения на более общий случай вязкоупругого тела, использованный метод приводит к расходящимся интегралам.

В работе Морленда [29] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении с постоянной скоростью жесткого цилиндра по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась малой по сравнению со скоростью звука в материале и инерционные члены не учитывались, силы трения в области контакта отсутствовали. Длина области контакта считалась малой по сравнению с диаметром цилиндра. Математически задача свелась к решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими синус и косинус. Решались полученные уравнения с помощью рядов Бесселя и тригонометрических рядов. Расчеты дают картину несимметричного распределения контактного давления, являющегося следствием влияния фактора времени.

В отношении решения динамических задач о движении штампа по вязкоупругому телу необходимо сказать, что эти задачи возникают при скоростях движения штампа, близких к скорости звука в вязкоупругой среде, которая обычно невелика. Основной целью решения этих задач является установление степени влияния динамических и вязкоупругих эффектов. Подобные исследования приведены в работах [7], [8].

Задачи о движении жесткого тела во вязкоупругому могут найти приме

I 1 нение при расчете на прочность и износ шин, а также аэродромных покрытий.

В большинстве перечисленных работ вязкоупругое тело является полупространством, а форма штампа не зависит от координаты, перпендикулярной движению. Это позволило решить задачу аналитически и учесть силы трения и деформацию штампа, динамические эффекты, а также произвести некоторый качественный анализ полученного решения. Важно' отметить, что зависимость контактного давления под штампом от формы вязкоупругого тела изучена недостаточно, хотя и имеются некоторые исследования, например [26].

В предсталенной работе будет рассмотрено равномерное движение абсолютно твердых тел - штампа, бандажа, вкладша с гладкой, а также волнистой подошвой по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно. Предполагается, что скорость движения существенно меньше скорости звука в среде, трение в области контакта отсутствует.

Согласно [2] решение контактной задачи начинается с решения вспомогательной задачи, - т.е. с нахождения зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок. Эта задача решается аналитически с использованием интеграла Фурье [24],[25] и тригонометрических рядов. На следующем этапе осуществляется преобразование полученной зависимости в интегральное уравнение с помощью стандартного математического аппарата. На последнем этапе интегральное уравнение решается численно-аналитическим методом Мультоппа-Каландии и его модификацией [4], [17]. Модификация метода Мультоппа-Каландии была разработана В.М. Александровым.

Вывод точной зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок возможен лишь в системах координат, где возможно разделение переменных, или возможно применить преобразование Фурье. Поэтому и будут рассмотрены тела простейшей формы -полупространство, слой, цилиндр, пространство с цилиндрической полостью. Вывод интегрального уравнения не составляет существенных сложностей, однако решение полученных интегральных уравнений аналитически в замкнутом виде невозможно. Автор применял приближенные численно-аналитические методы [б] с тем, чтобы по возможности соблюсти структуру решения полученных уравнений.

После решения вспомогательной задачи можно легко получить напряженно-деформированное состояние тела - т.е. решить краевую задачу теории вязкоупругости с найденным контактным давлением, а затем произвести расчет на прочность. Некоторая неточность полученного контактного давления несущественна, так как перемещение границы рассматриваемого тела в той части границы, где находится штамп, будет приближенно совпадать с его формой; форма реального штампа всегда имеет какие-то отклонения от заданной'. Однако расчет на прочность не входит в рамки данной работы.

Целью диссертации является установление влияния формы и скорости движения жестких тел и формы вязкоупругих тел на распределение давления в зоне контакта на примере постановки и решения контактных задач о движении жестких штампа, бандажа, вкладыша с гладкой и волнистой подошвой по границам вязкоз'пругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно.

Общие задачи исследования в целом следующие:

- вывести интегральные уравнения относительно контактного давления;

- решить »их численно-аналитически и построить графики распределения контактного давления;

- провести качественный анализ полученных распределений контактных давлений для рассматриваемых форм штампов, бандажей, вкладышей и вязкоупругих тел.

В первой главе приведено решение задачи о распределении контактного давления под штампом, движущимся по границе вязкоупругого полунрост1 ранства. Вначале решается вспомогательная задача о движении по границе полупространства нагрузки, отличной от нуля в области О,, аналогично [1].

Затем осуществляется переход от пространственной задачи к периодической с учетом бесконечной протяженности штампа в направлении, перепен-дикулярном движению. Далее выводится интегральное уравнение относительно контактного давления. Полученное интегральное уравнение решается численно-аналитическими методами. Приводятся соответствующие графики распределений контактных давлений.

Во второй главе решена задача о распределении контактного давления под движущимся по границе вязкоупругого слоя штампом. Как и в первой задаче вначале определяется зависимость перемещения границы слоя от приложенной к ней нагрузки, причем перемещение ищется в виде ряда и интеграла Фурье. Затем выводится интегральное уравнение, которое решается численно-аналитическими методами. Приводятся соответствующие графики распределений контактных давлений при разных толщинах слоя.

В третьей главе рассмотрена задача о распределении контактного давления под движущимися бандажом и вкладышем по границам вязкоупругих цилиндра и пространства с цилиндрической полостью. Как и в предыдущих задачах сначала выводится интегральное уравнение относительно контактного давления, затем оно решается численно-аналитическими методами. Представляются соответствующие графики распределений контактных давлений.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Виктору Михайловичу Александрову за поддержку и внимание к работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Марк, Александр Викторович

Заключение

В представленной работе в рамках общего метода решения контактных задач [2] использованы модификации метода Мул ьтоп па-Кал андии для нахождения распределения давления в зоне контакта.

Задачи решались для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, при этом форма штампа, бандажа, вкладыша считалась плоской или волнистой. При нахождении зависимости перемещений границ указанных тел от нормальных поверхностных нагрузок использовалось преобразование Фурье по координате, в направлении которой движутся штамп, бандаж или вкладыш. В результате была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая допускала решение в виде известных функций; в итоге с помощью стандартных математических преобразований была найдена искомая зависимость в замкнутом виде.

Полученные зависимости перемещений границ исследуемых тел от приложенных нагрузок использовались в качестве интегральных уравнений для определения контактных давлений во всех поставленных' задачах. Данные интегральные уравнения не допускают сведения к соответствующим уравнениям теории упругости, как в [13],[17],[19],[22] и поэтому они решались численно-аналитически. Ядра интегральных уравнений относительно контактных давлений на поверхности вязкоупругого тела, в отличае от соответствующих ядер для упругих задач [4], имеют некоторые отличия, но, как показано в приведенной работе, структура решения их практически та же самая. Решались указанные уравнения методами Мультоппа-Калан-дии, причем точность решений не превышает 2-3-х знаков после запятой для задач о полупространстве и слое, и 5% для задач о цилиндре и пространстве с цилиндрической полостью. Для каждой 'задачи приведены графики распределений контактных давлений.

Полученные распределения контактных давлений для рассмотренных задач позволяют сделать следующие выводы:

- форма и размеры вязкоупругого тела влияют на распределение контактных давлений существенно больше, чем в случае- упругих тел;

- при уменьшении скорости движения штампа, бандажа, вкладыша с острыми краями, начиная с определенного значения, нарушается условие контакта;

- распределения контактного давления несимметрично относительно середины участка контакта, что объясняется вязкоупругими свойствами тел;

- распределение контактного давления в задаче о вязкоупругом слое стремится к соответствующему распределению у вязкоупругого полупространства медленнее, чем в упругих задачах;

- при уменьшении радиусов цилиндра и пространства.с цилиндрической полостью, начиная с определенного значения, происходит нарушение условия контакта на заднем конце бандажа или вкладыша, что в случае упругих тел не происходит;

Из вышесказанного следует, что при решении практических задач желателен более точный учет геометрических характеристик реальных тел. Более глубокое изучение влияния формы штампа и формы вязкоупругого тела на распределение контактного давления затруднено и требует совершенствования аналитического аппарата решения пространственных задач математической физики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марк, Александр Викторович, 2009 год

1. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями.- М.: "Наука", 1986. 336 с.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Нек-лассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел.- М.: Изд-во "Факториал", 1998. 288 с.

3. Александров В. М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в Машиностроении.- М.: "Машиностроение", 1986. 176 с.

4. Бойченко Г. А. Сопротивление перекатыванию иаследственно-упругих тел,- Изв. АН СССР. ОТН", 1955, №9. .

5. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: "Наука", 1974. 456 с.

6. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости.- М.: ГИТЛ, 1953. 264 с.

7. Галин Л.А., Шматкова А. А. О движении жесткого штампа по границе вязкоупругой полуплоскости ПММ, 1968, 32, вып. 3.

8. Горячева И. Г. Контактная задача качения вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала.- ПММ, 1973, 37, вып. 5.

9. Градштейн И. С. Рыэюик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: "Наука", 1971. 1108 с.

10. В. Г. Громов К вопросу о решении граничных задач линейной вязко-упругости Механика полимеров, 1967,6.

11. В. Г. Громов О математическом содержании принципа Вольтерра в граничной задаче вязкоупругости.- ПММ, 1971, 35, вып. 5.

12. Долина Н. Н., Розовский М.И. Некоторые задачи сопряжения упруго-вязких тел.- В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М., изд. НИИмаш, 1969.

13. Иванова Р.Я. Качение вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала ПМТФ, 1964, №3.

14. Ишлипский А.Ю. Трение качения ПММ, 1938, 2, вып. 2.

15. Ишлипский А.Ю. Теория сопротивления перекатыванию (трение качения) и смежных явлений.- Всесоюз. Конф. По трению и износу в машинах, 2. М., Изд-во АН СССР, 1940.

16. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости.- М.: "Наука", 1973. 304 с.

17. Миткевич И. Г. Об одной контактной задаче для вязкоупругой полуплоскости ПММ, 1970, 34, вып. 4.

18. Мусхешвилли Н. И. Некоторые основные задачи математической теогрии упругости. М.: "Наука", 1966.

19. Прокопович И. Е. О решении плоской контактной задачи с учетом ползучести ПММ, 1956, 20, вып. 6.

20. Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкции.- М., "Наука", 1966. 752 с.

21. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел-М., "Наука", 1977. 384 с.

22. Развитие теории контактных задач в СССР. Под ред. J1.A. Галина.-М.: "Наука", 1976. 493 с.

23. Снеддон И. Преобразование Фурье.- М.: ИЛ, 1955.

24. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике.-М.: "Гостехиздат", 1956.

25. Шматкова A.A. О движении нормальной нагрз^зки по границе вязкоупругой полосы.- "Изв. АН СССР. Механика твердого тела", 1969, № 2.

26. Hunter S. С. The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half space.- "Trans. ASME", 1961, E28, N 4.

27. Lee E. H. Stress analysis in viscoelastic bodies.- "Quart. Appl. Math.", 1955, 13, N 1.

28. Moríand L. W. A plane problem of rolling contact in linear viscoelastic theory. "Trans. ASME", 1961, E29, N 2.