Асимптотическое моделирование контактного взаимодействия упругих и твердых тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Аргатов, Иван Иванович

• Аргатов, Иван Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Аргатов, Иван Иванович

Введение

Г л а в а 1. Асимптотическое решение контактной задачи о вдавливании штампа в плоскую границу упругого тела.

§1. Построение асимптотики решения линейной контактной задачи методом сращиваемых разложений.

§ 2. Емкостные характеристики штампа.

§ 3. Улучшение асимптотического решения.

§ 4. Уравнения контактной задачи с уточняющими интегральными поправками на геометрию упругого тела.

§ 5. Вдавливание штампа в форме эллиптического параболоида в плоскую границу упругого тела.

§ 6. Характеристики локальной податливости упругого тела.

Основные результаты первой главы.

Г л а в а 2. Асимптотическое решение контактных задач для системы штампов.

§ 1. Асимптотическое моделирование равновесия твердого тела, опирающегося на плоскую поверхность упругого основания в нескольких точках.

§ 2. Давление на упругое полупространство системы штампов в форме эллиптических параболоидов.

§ 3. Асимптотическое моделирование контактного взаимодействия системы жестко соединенных штампов с упругим основанием

§ 4. Энергетические теоремы и вариационные принципы механики упругих систем с односторонними связями.

Основные результаты второй главы.

Г л а в а 3. Асимптотическое решение контактных задач для узкого штампа.

§ 1. Контактная задача для узкого кольцевого штампа.

Неизвестная область контакта.

§ 2. Асимптотическая модель одностороннего контакта вдоль линии.

§ 3. Контактная задача для узкого кольцевого штампа.

Увеличивающаяся область контакта.

§4. Давление узкого прямоугольного штампа на упругое основание.

§ 5. Давление узкого полосового штампа на упругое полупространство.

Основные результаты третьей главы.

Г л а в а 4. Асимптотическое решение контактных задач с краевыми эффектами. ■.

§ 1. Отрыв кромки штампа от поверхности упругого основания.

§ 2. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду.

§ 3. Асимптотическое решение контактной задачи с полунеизвестной границей области контакта.

§4. Концентрация давлений в задаче с полунеизвестной границей, близкой к эллиптической

Основные результаты четвертой главы.

Г л а в а 5. Асимптотическое решение контактных задач о давлении твердого тела на упругие пластинки и мембраны.

§ 1. Защемление упругой пластинки в точке

§ 2. Давление твердого тела на упругую пластинку.

§ 3. Асимптотическое решение задачи о давлении твердого тела на мембрану.

Основные результаты пятой главы.

Г л а в а 6. Асимптотическое моделирование контактного взаимодействия упругого тела со стержнями.

§ 1. Равновесие упругого тела на пронизывающих его горизонтальных тонких упругих стержнях.

§ 2. Условия совместной работы упругого тела и армирующего стержня.

Основные результаты шестой главы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое моделирование контактного взаимодействия упругих и твердых тел»

1. Практическая актуальность и научная новизна работы.

1.1. Необходимость определения давлений, передаваемых фундаментом на основание, и оценки напряженного состояния грунтовых массивов при проектировании различных современных портовых сооружений приводит к контактным задачам для полубесконечных упругих тел (полупространство, слой, четверть-пространство) с областями контакта сложной формы (узкое кольцо, несколько удаленных друг от друга площадок и др.). Постановку и решение контактных задач с неизвестной областью контакта для ограниченных упругих тел диктуют вопросы уточнения методики расчета прочности судовых двигательных установок, работоспособность и долговечность которых во многом определяются контактными давлениями, развиваемыми в местах сопряжения их деталей. Разработка рекомендаций по повышению прочности корпуса транспортного судна, эксплуатируемого в сложных ледовых условиях, невозможно без решения контактных задач теории упругих пластин, имитирующих взаимодействие борта со льдом. Наконец, износ трущихся деталей машин и сопровождающие его сложные процессы определяются в первую очередь контактными напряжениями и деформациями. Развитие теории трения потребовало решения (моделирующих взаимодействие шероховатых поверхностей) контактных задач для большого числа взаимодействующих штампов.

1.2. Задачи одностороннего контакта исследовались в рамках теории вариационных неравенств (см., в частности, Г. Дюво. и Ж.-Л. Лионе (1980), А.С.Кравчук (1977, 1982), А.М.Хлуднев (1983), В.Л.Рабинович и А. А. Спек-тор (1985), В.Я.Терещенко (1986), а также обзор Ю.Тэлега (1987)). Было получено много результатов, касающихся существования, единственности и регулярности решений подобных задач (см., например, Г. Фикера (1974),

Д. Киндерлерер и Г. Стампаккья (1983), П. Панагиотопулос (1989)). Были описаны их некоторые качественные свойства (см. Р.В. Гольдштейн и A.A. Спек-тор (1978), Р.В. Гольдштейн и В.М. Ентов (1989) и др.). В задачах с односторонними связями формулировались различные вариационные принципы (см. Ж.Варбер (1974), Ж.Калкер (1977), В.И.Керчман (1981) и др.). Разрабатывались и обосновывались численные алгоритмы (см., например, Н.В. Баничук, В.М. Петров и Ф.Л. Черноусько (1966), Р. Гловински, Ж.-Л. Лионе и Р. Тре-мольер (1979), A.C. Кравчук и В.А. Васильев (1980), Н. Ахмади, Л. Кир и Т. Мура (1983), И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас и Я. Ловишек (1986), В. Рабинович, С. Сипсик и В. Сарин (1994), В.А. Ковтуненко (1996)).

В частных случаях получены аналитические решения сложных трехмерных контактных задач c. неизвестной границей (см. И.Я. Штаерман (1949), А.Б.Ефимов и В.Н.Воробьев (1972), В.Н.Воробьев (1973), В.И. Моссаковский и С.С.Голикова (1975), А.Б.Ковура и В.И. Моссаковский (1979) и др.). В сравнительно недавнее время к исследованию вариационных неравенств стали применяться асимптотические методы (С.А. Назаров, 1990). Асимптотический анализ задачи Синьорини (см. А. Синьорини (1955), Г. Фикера (1974)) предпринимался в работах (С.А.Назаров (1990), И.И. Аргатов и С.А. Назаров (1994)). Изучались асимптотические решения " односторонних" задач с сингулярными возмущениями (С.А.Назаров, 1995).

Подчеркнем, что поставленная в рамках линейной теории упругости контактная задача с односторонними связями является нелинейной. Вследствие того, что в процессе нагружения штампа претерпевает изменения расчетная схема конструкции (появляются новые связи, или разрушаются старые), нелинейность такого рода принято называть конструкционной.

При реализации численных схем решения контактных задач приходится преодолевать определенного рода трудности: решение некорректно поставленной задачи (см., например, А.В.Курбатов и М.И.Лазарев, 1981), неизвестная заранее область контакта (см. Л.Кир, Ж. Ли и Т. Мура (1984) и др.). Предположение о малости пятна контакта с одной стороны усложняет численные расчеты, поскольку требует более мелкого разбиения области, с другой — позволяет прибегнуть к асимптотическим методам для получения приближенного решения в виде формул.

1.3. Развитие асимптотических методов в теории линейных статических контактных задач (смешанных задач теории упругости с фиксированной линией раздела краевых условий) подытожено в монографиях И.И. Ворович, В.М.Александров и В.А.Бабешко (1974), В.М.Александров и Д.А.Пожарский (1998) (см. также обзор В.М. Александров (1993)). Отметим, что лишь недавно были получены асимптотические решения конструкционно нелинейных контактных задач о давлении штампа в форме эллиптического параболоида на упругий пространственный клин (И.А. Лубягин, Л.А.Пожарский и М.И. Чебаков (1992)) и упругий слой (В.М.Александров и A.A. Шматкова (1998)). В общем случае асимптотические построения в контактной задаче для упругого тела, в плоскую грань которого вдавливается малый штамп, не осуществлялись.

При обосновании гипотезы Винклера — Циммермана для балок на основе предположения, что распределения контактного давления в поперечном направлении будет таким же, какое получается из решения соответствующей плоской задачи, Л.А. Галин (1943) вывел приближенное одномерное интегральное уравнение для определения плотности погонных давлений. Это уравнение оказалось довольно сложным, и его решение было получено значительно позже (Н.М. Бородачев и Л.А.Галин (1974), В.М.Александров и М.А.Сумбатян (1980)). Методом сращиваемых асимптотических разложений интегральное уравнение контакта вдоль линии (line contact) было выведено в работах (Ж.Калкер (1972), Г. Сивашинский (1975)), однако это уравнение оказалось некорректным. Математически строгое решение родственных задач впервые получили М.В. Федорюк (1980), В.Г. Мазья, С.А.Назаров и Б.А. Пламеневский (1981), которые предложили различные способы регуляризации результирующей задачи. Одномерные математические модели одностороннего контакта вдоль линии в отечественной и зарубежной литературе ранее не строились.

Приближенная математическая модель контактного взаимодействия системы круговых штампов с упругим полупространством была создана в работах (Л.А.Галин (1980), Г. Гладвелл и В. Фабрикант (1982), И.Г.Горячева и М.Н. Добычин (1988)) на основе гипотезы, что при рассмотрении произвольного штампа влияние всех остальных штампов на упругое основание можно заменить действием сосредоточенных сил. При этом существенно использовалось решение (Л.А.Галин (1953)) задачи о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство вне кругового штампа. Заметим также, что математическое моделирование контактного взаимодействия при помощи упрощающих гипотез применялось в работах (И.Г. Горячева и Е.В. Торская (1995), И.Г. Горячева (1998)) для получения приближенного решения периодической контактной задачи. Математическое моделирование контактного взаимодействия в случае системы некруговых штампов, упругого слоя, одностороннего контакта ранее не проводилось.

Приближенное решение задачи о давлении штампа на центр круглой упругой пластинки на основе гипотезы, что на удалении от пятна контакта прогиб пластинки определяется решением задачи о действии на ее центр сосредоточенной силы, было найдено в работе (Л.А. Галин, 1953). Распространение полученных результатов на случай отсутствия симметрии не было дано до сих пор.

В конце XX века в механике деформируемого твердого тела сформировалось новое направление — механика соединений (junctions) упругих тел — объединяющее исследования сочленений трехмерных упругих тел с пластинами и стержнями, пластин со стержнями и пр. (см. работы Ф. Сьярле (1997), С.А. Назаров (1995), В. А. Козлов, В.Г. Мазья и А.Б. Мовчан (1995) и др.). Впервые асимптотическое решение задачи теплопроводности для трехмерного тела, пронзенного тонким стержнем, было получено в работе (И.И. Аргатов и С. А. Назаров, 1993). Работ по математическому моделированию упругого равновесия подобной конструкции (с изучением контактных усилий, передаваемых различными элементами конструкции друг на друга) в зарубежной литературе автору не известно.

В силу выше сказанного, выбранное направление по асимптотическому моделированию контактного взаимодействия упругих и твердых тел в случае неизвестной области контакта является практически актуальным и новым.

1.4. В первой главе диссертации строятся различной степени точности асимптотические модели вдавливания штампа в плоскую грань упругого тела. Вводятся коэффициенты локальной податливости упругого тела, характеризующие его геометрию и условия закрепления. Во второй главе получены асимптотические модели контактного взаимодействия системы штампов с упругим основанием при наличии односторонних связей. В третьей главе выводится корректная асимптотическая модель одностороннего контакта вдоль линии. В четвертой главе получены асимптотические решения некоторых сложных задач о давлении штампа на упругое полупространство в предположении близости неизвестной априори области контакта к круговой или эллиптической. В пятой главе описано асимптотическое моделирование контактных задач теории упругих пластин и мембран. В шестой главе предложены асимптотические модели соединения упругого тела с пронизывающими его тонкими жесткими стержнями.

1.5. Основные результаты получены преимущественно методом сращиваемых асимптотических разложений. Названный метод изложен в монографиях (М.Ван-Дайк (1967), Дж. Коул (1972), А.М.Ильин (1989), В.Г.Мазья, С.А.Назаров и Б.А. Пламеневский (1991) и др.) и применялся автором ранее для решения линейных контактных задач (см. И.И.Аргатов (1995)). Продвижение вперед в исследовании конструкционно нелинейных контактных задач (рассмотренных в главах I, II и Y) было достигнуто благодаря разработанному в диссертации способу улучшения асимптотического решения, получаемого по методу сращиваемых разложений. Решения ряда сложных контактных задач с неизвестной границей раздела краевых условий (глава IV) получены асимптотическим методом, развитым С. А. Назаровым (1989, 1990). Методика асимптотического моделирования контактных задач с нелокальными сингулярными возмущениями (главы III и VI) разработана С. А. Назаровым и автором (1996).

2. Обзор состояния вопроса.

Основополагающие результаты в решении пространственных контактных задач получили Г. Герц (1881) и Ж. Буссинеск (1885). Соединению теории Герца с практикой способствовали труды А.Н.Динника (1909) (см. [90]), Н.М.Беляева (1917) (см. [48]). В середине XX века благодаря работам советских ученых Н.И.Мусхелишвили [162], И.Я. Штаермана [242], Л.А.Галина [68],

A.И. Лурье [140] теория контактных задач оформилась в самостоятельный и поныне динамично развивающийся раздел теории упругости.

2.1. Контактные задачи для упругих тел, отличных от полупространства. Такие задачи принято [65] называть неклассическими. Решение смешанных краевых задач для упругого слоя в случае круговой области контакта получили И.И. Ворович и Ю.А.Устинов [66], В.М.Александров [4], В.И. Довно-рович [93], Я.С.Уфлянд [222] и др., и в случае эллиптической области контакта— В.М.Александров и И. И. Ворович [8]. Аналитические решения осе-симметричной контактной задачи с неизвестной заранее областью контакта строились в работах И.И. Ворович, В.М.Александров и В.А. Бабешко [65],

B.Д. Ламзюк и А.К. Приварников [132] и др. Была изучена (Н.М. Борода-чев [55]) осесимметричная задача о вдавливании штампа в торец полубесконечного цилиндра. Контактную задачу о вдавливании затупленного штампа в упругий слой изучали B.C. Порошин [194], В.М. Александров и А.А. Шматко-ва [14]. Приближенное решение задачи о давлении штампа в форме эллиптического параболоида на грань упругого пространственного клина в предположении, что контактная площадка ограничена эллипсом, построено в (И.А. Лубя-гин, Д.А. Пожарский и М.И. Чебаков [138]). Эта же задача без ограничения на удаленность штампа от ребра клина методом (Б. А. Галанов [67]) рассматривалась Д.А. Пожарским [187]. Контактная задача для упругого усеченного шара исследовалась в работе (В.М.Александров и Д.А.Пожарский [9]). Аналитическое решение осесимметричной задачи для упругого полупространства с полусферической выемкой получили В.Г.Боговой и Б.М. Нуллер [52]. Методом однородных решений были изучены контактные задачи о давлении кругового штампа на упругую плиту (М.И. Чебаков [235], А.Н. Цветков и М.И. Чебаков [233]).

Упомянем работы (В.Ф.Бондарева [53], А.А. Кашливый и JI.H. Ломонос [110], В. А. Карпенко [111]), в которых исследовались трехмерные контактные задачи о вдавливании штампов в криволинейную границу упругого тела. Прикладные задачи контакта деталей машин решались в (В.М. Александров и Б. Л. Ромалис [11], A.M. Рубин [209] и др.). Задачи разрушения упругих тел при контактном взаимодействии исследовались в (Ю.В. Колесников и Е.М. Морозов [120] и др.). Теория удара, основанная на решении контактной задачи, изложена в (С. А. Зегжда [100] и др.). Экспериментальное изучение давлений между соприкасающимися упругими телами на основе метода электрического моделирования (Н.М. Бородачев и Г.П. Тариков [58]) проводилось в (Г.П.Тариков и В.М. Кенько [217]).

В монографии (И.И. Ворович, В.М.Александров и В.А. Бабешко [65]) отмечается, что основным результатом упомянутой выше работы (В.М.Александров и И.И. Ворович [8]) является установление следующего факта: если известно решение задачи о действии штампа на упругое полупространство, то приближенное решение задачи о действии того же штампа на упругий слой может быть получено асимптотическим методом "больших А" в виде разложения по степеням малого параметра Л-1, характеризующего относительные размеры площадки контакта.

Напомним [200], что наиболее полно исследованы линейные (без трения) задачи о давлении на упругое полупространство штампа, занимающего в плане круг (см. В.М.Абрамов [1], Л.А.Галин [68], А.И.Лурье [140], В.И.Довно-рович [92], Н.А.Ростовцев [207,208], И. Снеддон [215], Я.С.Уфлянд [222] и др.), область, ограниченную эллипсом, (см. И.Я.Штаерман [242], Л.А.Галин [68],

A.И.Лурье [140], В. И. Довнорович [92], В.М.Александров и Д.А.Пожарский [10] и др.) или близкую к круговой (см. обзор В.И. Моссаковский и А.Б. Ко-вура [161]). Найдено решение контактной задачи о давлении на трансверсаль-но изотропное полупространство эллиптического штампа (Ю.Н. Подильчук и

B.Ф. Ткаченко [186]).

Заметим, что метод больших А требует явного выражения для функции

Грина (с полюсом на границе), позволяющего свести линейную контактную задачу к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. В работе (И.А. Лубягин, Д. А. Пожарский и М.И. Чебаков [138]) метод больших Л использовался при решении контактной задачи для упругого пространственного клина, функция Грина которого была построена ранее [137] этими же авторами. Упомянем также, что известно (В.М. Александров и Д.А. Пожарский [10]) представление функции Грина для упругого усеченного шара в виде ряда, коэффициенты которого определяются из решения систем сингулярных интегральных уравнений. В статьях (М. Хетеней [259], Г.И. Шевелева [238]) разработана методика зеркальных отражений приближенного построения функций Грина для упругих четверти пространства и октанта.

2.2. Контактные задач:и для системы штампов. Асимптотическое решение задачи о давлении на упругое полупространство двух одинаковых круговых штампов получено в (А.Е. Андрейкив и В.В. Панасюк [17]); ранее (В.Коллинз [253]) эта задача решена в квадратурах. В (А.Е. Андрейкив [15]) выписана асимптотика контактного давления в системе, состоящей из двух одинаковых, близких к круговым, эллиптических штампов; в (А.Е. Андрейкив и С.А.Дубецкий [16]) рассчитана система из четырех круговых штампов. На основе результатов Л.А.Галина [68] в работах (Л.А.Галин [69], Г. Гладвелл и В.Фабрикант [258], И.Г.Горячева и М.Н.Добычин [81]) построено приближенное решение задачи о взаимодействии нескольких круговых штампов. Контактная задача для двух круговых штампов, а также кругового и штампа, занимающего в плане полуплоскость, изучалась в (Т.В.Денисова и А.Г. Николаев [87]). Для системы эллиптических штампов дано (В. Фабрикант [255]) обобщение теоремы В.И. Моссаковского [158]. Асимптотическое решение контактной задачи для системы нескольких различных эллиптических штампов получено в работе (И.И.Аргатов [25]). Периодические контактные задачи для шаровых инденторов изучались в статьях (И.Г.Горячева и Е.В. Торская [82], И.Г. Горячева [80]). Асимптотическое решение задачи о давлении на упругое полупространство двух параболоидальных штампов построено в (А.Е. Андрейкив [15], В.М.Александров и A.A. Шматкова [14]).

2.3. Задачи с узкой зоной контакта. Асимптотическое решение контактной задачи для узкого кольцевого штампа было получено В.М. Александровым [7]. Отметим, что проблеме кольцевого штампа, решение которой было получено только в недавнее время, посвящена обширная литература (см., например, А.Е. Андрейкив и В.В. Панасюк [18], В.С.Губенко и А.Ф.Улитко [85], К.Е. Егоров [96], В.И. Моссаковский и А.В. Ковура [161] и др.). Давление под штампом, близким к кольцевому, вычислялось в (В.И. Пожуев и Т.А. Зайцева [188,98], А.В. Ковура и В. И. Самарский [119]. В (И.И.Аргатов и С.А.Назаров [33]) получено асимптотическое решение контактной задачи для узкого кольцевого штампа с отличной от круговой срединной линией. Задача о давлении на упругое полупространство прямоугольного штампа изучалась в работах (Л.А. Галин [68], В.М.Александров и М.А. Сумбатян [13], Н.М. Бородачев и Л.А.Галин [57]). Задача для двух одинаковых штампов, расположенных на одной прямой, рассматривалась в (Ж. Врбик, Б.Сингх и Н.Т. Данилюк [281]). Асимптотическое решение этой задачи методом сращиваемых разложений получено в (Ж. Калкер [260], Г. Сивашинский [279], К. Панек и Ж. Калкер [271].); другой асимптотический подход к задаче с вытянутой зоной контакта предложен А.Н. Бурмистровым [59,60]. Асимптотическое решение контактной задачи для узкого полосового штампа с волнистым основанием выписано В.М. Александровым [5]. Точное решение контактной задачи для полосового штампа было получено В.Л. Рвачевым [201,202].

Отметим, что при асимптотическом анализе сингулярно возмущенных трехмерных контактных задач (см., например, Ж.Калкер [261], И.И.Аргатов и С.А. Назаров [33]), как задачи для пограничного слоя, часто возникают плоские контактные задачи. При этом находят применение сингулярные решения задач о действии сосредоточенных нагрузок на упругую полуплоскость (см. Ю.М. Даль и Ю.Г. Пронина [86] и др.). Эффективное решение сложных контактных задач плоской теории упругости было получено методами Колосова— Мусхелишвили (см. Н.И. Мусхелишвили [162], Л.А. Галин [68], Г.Н. Савин [210], С.Г. Михлин, Н.Ф.Морозов и М.В. Паукшто [153] и др.). Аналитические решения контактных задач с заранее неизвестным участком контакта (различными методами) строились в (Н.И. Мусхелишвили [162], Г.П.Черепанов [236], И.Я.Штаерман [242], Ю.В. Петров [185] и др.). Для областей сложной формы решения контактных задач отыскивались в (Б.М.Нуллер [180], А.Н. Цветков и М.И. Чебаков [234] и др.).

2.4. Контактные задачи с краевыми эффектами. Концентрацию напряжений в осесимметричной контактной задаче для штампа со скругленной кромкой исследовал И.Я. Штаерман [242]. В работе С.Ф. Шишкановой [240] рассмотрена задача для штампа эллиптического сечения со скруглением края специального вида. В.Л.Рабинович и А.А.Спектор [197] предложили вариационно-асимптотический метод для решения подобных задач. Аналитическое решение неосесимметричной контактной задачи с неизвестной априори, близкой к круговой, областью контакта получено в работе (А.В.Ковура и В.И. Моссаковс-кий [118]); контактная задача для штампа с лицевой поверхностью, близкой к круговому параболоиду, исследована в (В.И. Моссаковский и С.С. Голикова [160]). Вариации функционалов от решений смешанных задач при изменении контура области контакта изучались В.И. Керчманом [114]; полученные результаты были применены в задаче об отрыве от упругого основания кромки наклонного эллиптического штампа. Численное решение односторонней контактной задачи для существенно наклонного кругового штампа получено В.Л.Рвачевым и B.C. Проценко [203,204]. Асимптотика решения контактной задачи с областью контакта, близкой к круговой, построена В.И. Моссаковс-ким [159], Н.М. Бородачевым [56] и др. (см. также обзор В.И. Моссаковский и А.Б.Ковура [161]).

2.5. Контактные задачи для упругих пластин и мембран. В работе (Л.А.Галин [68]) было получено приближенное решение задачи о давлении штампа в форме эллиптического параболоида на центр круговой пластинки. Осесимметричная задача с неизвестной областью контактна изучена в (Л.А. Розенберг [205], Э.И. Григолюк и В.М.Толкачев [84]); такая же задача для упругой пластины, деформация которой описывается уравнениями Рейснера, исследована в (Ф. Эссенбург [254]). Контактная задача для свободно опертой пластинки и с полигональным контуром, а также для мембраны рассматривалась в (Г.П.Черепанов [237]). Контактные задачи для упругих мембран, пластин и оболочек вариационным методом изучались в работах (Н.В.Баничук, В.М.Петров и Ф. J1. Черноусько [47], Н.В. Баничук [46], Г.И.Львов [142], А.М.Хлуднев [231], Е.И.Михайловский и В.Н.Тарасов [150] и др.). Упомянем также работы (Г.Я.Попов [193], Ф. Гасталди и Д. Киндерле-рер [257]), в которых изучались односторонние контактные задачи для балок.

2.6. Задачи контактного взаимодействия трехмерного упругого тела со стержнями. Асимптотическим методам в теории упругих стержней и пластин посвящена обширная литература. Здесь, не претендуя на полноту, упомянем работы (А.Л.Гольденвейзер [74], В.В. Понятовский [192], Е.И.Зино и Э.А.Тропп [101], Б.А. Шойхет [241], П.Е.Товстик и др. [220], Ф. Сьярле [252], С.А.Назаров [172]).

В литературе имеются исследования родственных задач о деформации упругого пространства, содержащего жесткий стержень (Н. Фан-Тайн [273], Г. Н. Миренкова и Э. Г. Соснина. [148], Г. П. Никошков и Г. П. Черепанов [175], Н.Е. Качаловская и А.Ф. Улитко [112]) и жесткое тороидальное включение (И.С.Зорин и С.А.Назаров [103]), о передаче нагрузки (load-transfer) упругому полупространству через заделанный в него упругий (жесткий) стержень (цилиндр) (см. А.Я.Александров и Б.М.Зиновьев [3], В.Лук и Л.Кир [266], А.В. Павленко [181], С. Босе и X. Бхаттачаря [249], А. Селвадурай и Р. Раджа-паксе [277], Р. Раджапаксе и И. Ванг [276] и др.). Взаимодействие упругого тела с гибкими нитями моделировалось численно (В.И.Кудашов [128]). Построена асимптотическая теория соединений в случае стержней, торцами припаянными к поверхности тела (С.А.Назаров [268], В.А.Козлов, В.Г. Мазья и А.Б. Мовчан [265]). Для упругого тела, пронзенного стержнем получено лишь асимптотическое решение задачи теплопроводности (И.Й.Аргатов и С.А.Назаров [247,34]).

3. Изложение содержания работы. Первая глава посвящена асимптотическому решению контактной задачи для упругого тела конечных размеров в предположении малости относительных размеров площадки контакта. В § 1 дается постановка (линейной) контактной задачи с фиксированной зоной контакта. Строится конструкция асимптотического решения, получаемого по методу сращиваемых асимптотических разложений. В §2 вводятся емкостные характеристики для штампа с плоским гладким основанием. Предложены формулы для приближенного расчета емкостных характеристик штампа с основанием в форме произвольной выпуклой плоской фигуры. В явном виде отыскивается асимптотика силы и моментов, действующих на штамп. В § 3 предлагается улучшенная процедура сращивания внешнего и внутреннего представлений, требующая решения системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при сингулярных решениях во внешнем представлении. При этом задача построения асимптотики контактного давления сводится к одному (вместо нескольких последовательно решаемых) "связанному" интегральному уравнению.

Вывод уравнений контактной задачи с уточняющими интегральными поправками, учитывающими характер закрепления и геометрию упругого тела, из основного интегрального уравнения контактной задачи проводится в §4. Для этого методом сращиваемых асимптотических разложений выписывается асимптотика вектор-функции Грина с полюсом на границе. Приводится пример вычислений для эллиптического штампа.

В §5 первой главы рассматривается контактная задача для упругого тела произвольной геометрии с одной плоской гранью, в которую вдавливается штамп в форме эллиптического параболоида. Криволинейная граница тела частично закреплена, а на остальной границе (вне области контакта) тело свободно от напряжений. При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений выводится модельная задача одностороннего контакта без трения для пограничного слоя, которая решается с привлечением аппарата теории Герца. Строятся асимптотические модели контактного взаимодействия разной степени точности, включающие поправки на геометрию и условия закрепления упругого тела. Исследуется чувствительность к данным факторам параметров эллиптической области контакта.

В § 6 первой главы выписывается асимптотика решения контактной задачи о давлении (без трения) на упругое тело кругового штампа с плоским основанием в предположении малости относительного размера площадки контакта. В полученные формулы вошли интегральные характеристики упругого тела, зависящие от его формы, размеров, условий закрепления, коэффициента Пуассона и расположения центра штампа. Выясняется механический смысл этих величин как коэффициентов локальной податливости упругого тела. На основе теоремы взаимности устанавливаются соотношения, уменьшающие в общем случае число различных коэффициентов. Приведены результаты числовых расчетов некоторых коэффициентов локальной податливости упругого полушара в его центре. Обговаривается асимптотическая модель действия сосредоточенной силы на упругое тело.

Вторая глава вместила в себя решения задач одностороннего контакта для системы взаимодействующих штампов. В § 1 методом сращиваемых асимптотических разложений исследуется задача о давлении на упругое полупространство системы жестко соединенных штампов. Диаметры площадок контакта предполагаются малыми в сравнении с расстояниями между штампами. Допускается отрыв штампов от поверхности основания. Строится математическая модель, учитывающая взаимодействие пятен контакта. Результирующая задача включает уравнения статического равновесия и соотношения совместности перемещений (доказала теорема о существовании и единственности ее решения). Вычисляется асимптотика контактной жесткости системы штампов. В явном виде выписывается асимптотика контактного давления под эллиптическим штампом.

В § 2 методом сращиваемых асимптотических разложений изучается нелинейная контактная задача о вдавливании без трения нескольких параболои-дальных штампов в упругое полупространство. Отыскивается асимптотика контактной жесткости системы штампов при учете их взаимодействия. Исследуется чувствительность параметров эллиптических пятен контакта к расположению штампов в системе. В явном виде выписывается асимптотика контактного давления для случая двух шарообразных штампов.

В § 3 второй главы методом сращиваемых асимптотических разложений изучается задача одностороннего контакта о давлении на упругий слой системы удаленных друг от друга штампов в форме эллиптических параболоидов. Для определения усилий, действующих на штампы, выводится нелинейная задача в виде вариационного неравенства с монотонным оператором. Доказывается теорема существования и единственности решения результирующей задачи.

В § 4 для линейно упругих механических систем с односторонними связями, которые после удаления последних остаются геометрически неизменяемыми, выводятся двойственные вариационные принципы (возможных вариаций перемещений и возможных вариаций напряженного состояния, минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной работы), конкретизируются теоремы Лагранжа и Кастильяно. Дается постановка задачи расчета штабеля контейнеров как механической системы с односторонними связями.

Третья глава включает решения задач с краевыми условиями одностороннего контакта для узкого кольцевого штампа. В § 1 изучается нелинейная задача определения контактных давлений и собственно зоны контакта под плоской подошвой узкого кольцевого штампа. В явном виде выписываются асимптотические представления для плотности погонных давлений. На основе результатов асимптотического анализа даются рекомендации по определению запаса устойчивости фундамента кольцевой формы.

В § 2 методом сращиваемых асимптотических разложений задача определения давлений под подошвой узкого кольцевого штампа сводится к одномерному вариационному неравенству. Доказывается теорема существования и единственности его решения. Предлагается корректная асимптотическая модель одностороннего контакта вдоль линии.

В § 3 исследуется осесимметричная задача о давлении гладкого тороидального штампа на границу упругого полубесконечного тела, когда контакт осуществляется по узкой кольцевой области. Получено уравнение, связывающее величину силы, прижимающей штамп, с его перемещением. Изучается задача для наклонного штампа. Не исключается случай отрыва штампа от основания и контакта вдоль вытянутой узкой зоны, которая сама подлежит определению. Выводится результирующая задача для интенсивности погонных давлений и строится асимптотика ее решения.

В § 4 третьей главы методом сращиваемых асимптотических разложений изучается контактная задача для узкого прямоугольного штампа на упругом полупространстве. При помощи модифицированной процедуры сращивания выводится корректное интегральное уравнение для определения плотности погонных давлений. Проводится сравнение результатов численных расчетов с известными. Полученное решение обобщается на случай узкого криволинейного штампа, упругого слоя и одностороннего контакта.

В § 5 методом сращиваемых асимптотических разложений строятся главные члены асимптотики решения контактной задачи для узкого полосового штампа, удерживаемого на уровне невозмущенной границы упругого полупространства, на которое действует сосредоточенная сила. Отношение полуширины штампа к расстоянию от штампа до оси действия силы считается малым. Выписано уравнение для плотности погонных давлений; его решение получено при помощи метода интегрального преобразования Фурье. Приведены результаты численных расчетов. Найдено распределение опрокидывающего момента. Рассмотрена задача для узкого полосового штампа с волнистым основанием. Проведено сравнение с результатами, полученными ранее.

Четвертая глава объединяет асимптотические решения контактных задач с краевыми эффектами. Все рассмотренные задачи изучаются асимптотическими методами, разработанными в работах С.А. Назарова. В § 1 исследуется задача одностороннего контакта для кругового штампа с плоским основанием. Предполагается, что неизвестная априори граница области контакта близка к круговой. Относительно функции, описывающей вариацию области контакта, получена результирующая задача, для которой, в свою очередь, найдено асимптотическое решение.

В § 2 изучается задача одностороннего контакта без трения для штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду. Строится асимптотическая поправка к решению, получаемому по теории Герца. В явном виде выписывается асимптотика контактного давления и определяется местоположение неизвестной априори границы, близкой к эллиптической области контакта.

В § 3 исследуется задача A.B. Ковуры и В.И. Моссаковского о давлении на границу упругого полупространства занимающего в плане круг штампа с основанием в форме эллиптического параболоида, близкого к круговому. Трение между контактирующими телами не учитывается; допускается отрыв кромки штампа от упругого основания. Предполагается, что неизвестная априори область контакта близка к круговой. Решение задачи строится методом сращиваемых асимптотических разложений, развитым в работах С. А. Назарова. В явном виде выписывается асимптотика границы области контакта.

В §4 строятся главные члены асимптотики решения задачи о давлении на границу упругого полупространства штампа, занимающего в плане эллиптическую область, подошва которого имеет форму участка эллиптического параболоида. Предполагается, что перемещение штампа незначительно превышает критическое значение, когда область контакта утрачивает эллиптическую форму. При этом возникает концентрация давлений в окрестности острой кромки штампа, вступающей в контакт. Выписывается асимптотика коэффициента интенсивности сжимающих напряжений.

Пятая глава собрала асимптотические решения контактных задач для упругих пластинок и мембран. В § 1 рассматривается линейная задача об изгибе тонкой пластинки, закрепленной по краю и дополнительно приклеенной к малой жесткой опоре. Приближенное решение строится методом сращиваемых асимптотических разложений. Влияние опоры моделируется сосредоточенными реакциями (силой и моментами). Для их определения получается система линейных уравнений, коэффициенты которых зависят от интегральных характеристик опоры.

Задача о давлении на упругую пластинку штампа в форме эллиптического параболоида изучается в § 2 в предположении малости площадки контакта. Воздействие штампа на пластинку моделируется действием сосредоточенных силы и моментов. При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений выводится задача одностороннего контакта для внутреннего асимптотического представления; ее решение получается на основании результатов Л.А. Галина. Определяются координаты центра эллиптического пятна контакта, его размеры и угол поворота. Вычисляются моменты, обеспечивающие поступательное вдавливание штампа, и устанавливается уравнение, связывающее перемещение штампа с действующей на него силой.

В § 3 в предположении малости пятна контакта исследуется задача о давлении на упругую мембрану штампа в форме эллиптического параболоида. При помощи метода сращиваемых асимптотических разложений выводится задача одностороннего контакта для внутреннего асимптотического представления, решение которой строится на основании результатов Г. П. Черепанова для случая бесконечной мембраны. Влияние границы мембраны моделируется при постановке асимптотических условий на бесконечности. Определяется зависимость между силой, вдавливающей штамп, и его перемещением. Исследуется чувствительность параметров эллиптической области контакта к размерам мембраны и положению центра штампа. Выписывается уточненная асимптотическая модель контактного взаимодействия.

Шестая глава содержит исследования по асимптотическому моделированию равновесия упругого тела, пронзенного тонкими стержнями. В § 1 предлагается простая математическая модель конструкции, состоящей из трехмерного тела и тонких жестких несущих стержней. Расчетными характеристиками являются прогибы стержней, их усредненные вдоль сечений реакции и параметры осадки тела. Получаемая на основе асимптотического анализа результирующая задача включает уравнения изгиба стержней, уравнения равновесия тела и соотношение, связывающее реакции с прогибами стержней. В ней наряду с моментом инерции присутствует другая геометрическая характеристика поперечного сечения стержня — внешний конформный радиус. Обсуждаются способ решения данной задачи и пути ее обобщения.

В § 1 строится асимптотическая модель упругой конструкции, представляющей собой соединение трехмерного тела и стержня, насквозь пронизывающего тело. Предполагается, что модуль упругости стержня значительно превосходит модуль упругости тела. Путем асимптотического анализа уравнений линейной теории упругости выводится результирующая задача, связывающая функции прогиба и удлинения стержня, реакции тела и параметры его осадки. Устанавливаются пропорции между характерными размерами и модулями упругости материалов, при наличии которых нельзя упростить расчеты (считать абсолютно жестким либо тело, либо стержень).

Приложение I. Методом сращиваемых асимптотических разложений изучается задача одностороннего контакта без трения для штампа, имеющего форму кругового параболоида. Предполагается, что размеры площадки контакта малы в сравнении с характерным размером тела. Модельная контактная задача для пограничного слоя решается при помощи аппарата теории Герца. Выводится уравнение Р = Ко?!2 -f- ka2, связывающее силу Р и перемещение а штампа. Это уравнение, содержащее поправку к на геометрию и условия закрепления упругого тела, применяется для построения уточненной теории квазистатического удара, учитывающей общие деформации упругого тела.

Приложение II. Строится асимптотическое решение конструкционно нелинейной контактной задачи о вдавливании в плоскую грань упругого тела штампа в форме эллиптического параболоида. При помощи аппарата теории Г. Герца в явном виде выписывается приближенное выражение для плотности контактных давлений. Для определения параметров эллиптической площадки контакта и зависимости между силой, действующей на штамп, и перемещением штампа выведены уравнения, содержащие так называемые коэффициенты локальной податливости упругого тела, характеризующие его геометрию и условия закрепления. Выписывается асимптотика поля перемещений и напряженного состояния упругого тела. Рассматриваются уточнения, привносимые в формулы А. Н. Динника и Н. М. Беляева для расчета максимального касательного напряжения.

Приложение III. Строится асимптотическая модель деформирования упругого пространства с тонким жестким стержнем. Модуль упругости волокна значительно превосходит модуль упругости матрицы. Проведено сравнение с результатами, полученными ранее другими авторами.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы на 22 страницах, включающего 281 наименование, и трех приложений. Общий объем диссертации составляет 317 страниц.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Аргатов, Иван Иванович

Основные результаты шестой главы

1. Предложена простая математическая модель деформации конструкции, состоящей из трехмерного упругого тела и пронизывающих его тонких жестких несущих стержней. Получена результирующая задача, включающая уравнения изгиба стержней, уравнения статического равновесия тела и соотношение, связывающее реакции тела с прогибами стержней.

2. Построена асимптотическая модель деформации упругой конструкции, представляющей собой соединение трехмерного тела и стержня, насквозь пронизывающего тело. В предположении, что модуль упругости стержня значительно превосходит модуль упругости тела, выведена результирующая задача, связывающая функции прогиба и удлинения стержня, реакции тела и параметры его осадки. Устанавливаются пропорции между характерными размерами и модулями упругости материалов, при наличии которых нельзя упростить расчеты (считать абсолютно жестким либо тело, либо стержень).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации проведено асимптотическое моделирование контактного взаимодействия упругих и твердых тел в случае неизвестной области контакта.

1. Построены различной степени точности асимптотические модели вдавливания штампа в плоскую грань упругого тела. Введены коэффициенты локальной податливости упругого тела, характеризующие его геометрию и условия закрепления. Предложена асимптотическая модель действия сосредоточенных нагрузок на упругое тело.

2. Получены асимптотические модели контактного взаимодействия системы штампов с упругим основанием при наличии односторонних связей. Для линейно упругих механических систем с односторонними связями, которые после удаления последних остаются геометрически неизменяемыми, выведены двойственные вариационные принципы.

3. Выведена корректная асимптотическая модель одностороннего контакта вдоль линии. Найдены асимптотические решения контактных задач о давлении на упругое полупространство узкого прямоугольного и полосового штампов.

4. Найдены асимптотические решения сложных задач с неизвестными априори областями контакта, близкими к круговой или эллиптической.

5. Построены асимптотические модели давления твердого тела на упругие мембраны и пластины. Предложена асимптотическая модель защемления упругой пластинки "в точке".

6. Построена асимптотическая модель соединения упругого тела с пронизывающими его тонкими жесткими стержнями.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Аргатов, Иван Иванович, 2000 год

1. Абрамов В.М. Исследование случая несимметричного давления штампа круглого сечения на упругое полупространство // Докл. АН СССР, 1939. Т. 23, №8. С. 759-763.

2. Александров А.Я. Напряжения и перемещения в упругом пространстве при действии равномерно распределенной нагрузки по кольцу // Труды Новосиб. Инст. Инж. Жел.-дор. Трансп. Вып. 11. М.: Трансжелдориздат, 1955. С. 62-88.

3. Александров А.Я., Зиновьев Б. М. Приближенный метод решения плоских и пространственных задач теории упругости для тел с армирующими элементами и разрезами // Механика деформируемых тел и конструкций. М.: Машиностроение, 1975. С. 15-25.

4. Александров В.М. Некоторые контактные задачи для упругого слоя // ПММ, 1963. Т. 27, №4. С. 758-764.

5. Александров В.М. Асимптотические методы в контактных задачах теории упругости // ПММ, 1968. Т. 32, №4. С. 672-683.

6. Александров В.М. Асимптотические методы в задачах механики сплошной среды со смешанными граничными условиями // ПММ, 1993. Т. 57, №2. С. 102-108.

7. Александров В.М. Взаимодействие плоского наклонного кольцевого штампа с упругим полупространством // ПММ, 1996. Т. 60, №1. С. 132-139.

8. Александров В.М., Ворович И.И. О действии штампа на упругий слой конечной толщины // ПММ, 1960. Т. 24, №2. С. 323-333.

9. Александров В.М., П ожар ский Д. А. Об осесимметричной контактной задаче для усеченного шара // ПММ, 1997, Т. 61, №2. С. 305-311.

10. Александров В. M., Пожарский Д. А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998. 288 с.

11. Александров В. М., Ромалис Б. JI. Контактные задачи в машиностроении. М.: Машиностроение, 1986. 176 с.

12. Александров В. М., Сметанин Б. И., Соболь Б. В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Физматлит, 1993. 224 с.

13. Александров В. М., Сумбатян М. А. Асимптотическое решение интегральных уравнений типа свертки с логарифмической особенностью трансформанты ядра и приложения в задачах механики // Изв. АН СССР. МТТ, 1980, №2. С. 80-88.

14. Александров В.М., Шматкова A.A. Вдавливание параболического штампа в упругий слой и двух параболических штампов в упругое полупространство // Изв. РАН. МТТ, 1998, №4. С. 149-155.

15. Андрейкив А. Е. Вдавливание в упругое полупространство системы штампов // Изв. АН СССР. МТТ, 1975, №2. С. 125-131.

16. Андрейкив А. Е., Д у бецкий С.А. Давление системы четырех штампов на упругое полупространство // Прикл. мех. (Киев), 1973. Т. 9, №6. С. 102-104.

17. Андрейкив А. Е., Панасюк В. В. Тиск системи колових штамшв на пружний натвпростир // Доп. АН УРСР. Сер. А, 1971, №6. С. 535-536.

18. Андрейкив А. Е., Панасюк В. В. Смешанная задача теории упругости для полупространства с круговыми линиями раздела граничных условий // Изв. АН СССР. МТТ, 1972, №3. С. 26-32.

19. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. Статика. Динамика точки. М.: Физматгиз, 1960. 515 с.

20. Аргатов И. И. Контактные задачи теории упругости с малыми зонами контакта: Дис. . канд. физ.-мат. наук. СПб., 1995. 143 с.

21. Аргатов И. И. Интегральные характеристики жестких включений и полостей в плоской теории упругости // ПММ, 1998. Т. 62, №2. С. 283-289.

22. Аргатов И. И. Энергетические теоремы и вариационные принципымеханики упругих систем с односторонними связями // Изв. вузов. Строительство, 1998, №9. С. 15-20.

23. Apr а тов И. И. Концентрация давлений в задаче с полунеизвестной границей области контакта, близкой к эллиптической // Изв. вузов. Машиностроение, 1999, №4. С. 3-10.

24. Аргатов И. И. Условие полного контакта узкого кольцевого штампа с упругим основанием // Изв. вузов. Строительство, 1999, №6. С. 26-27.

25. Аргатов И. И. Взаимодействие штампов на упругом полупространстве // Изв. РАН. МТТ, 1999, №4. С. 56-63.

26. Аргатов И. И. Вдавливание штампа в форме эллиптического параболоида в плоскую границу упругого тела // ПММ, 1999. Т. 63, № 4. С. 671-679.

27. Аргатов И. И. Асимптотическое решение контактной задачи для трехмерного упругого тела конечных размеров // ПММ, 1999. Т. 63, №6. С. 964-970.

28. Аргатов И. И. О квазистатическом ударе твердого шара о плоскую границу упругого тела // Всероссийская научн. конф. по механике " Вторые Поляховские чтения": Тез. докл. СПб: Изд-во НИИХ СПбГУ, 2000. С. 111.

29. Аргатов И. И. Давление на упругое полупространство штампа с поверхностью, близкой к эллиптическому параболоиду // Пробл. машиностр. и надежн. машин, 2000, № 1. С. 101-105.

30. Аргатов И.И. Об улучшении асимптотического решения, получаемого по методу сращиваемых разложений, (на примере контактной задачи для ограниченного упругого тела) // Ж. вычисл. матем. иматем. физ., 2000. Т. 40, №4. С. 623-632.

31. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи Синьорини с малыми участками свободной границы // Сиб. матем. журнал, 1994. Т. 35, №2. С. 258-277.

32. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи об упругом теле, лежащем на нескольких малых опорах // ПММ, 1994. Т. 58, №2. С. 110-118.

33. Аргатов И. И., Назаров С. А. Давление на упругое по лупространство узкого кольцевого штампа // ПММ, 1996. Т. 60, №5. С. 810-825.

34. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотический анализ задач на соединениях областей различных предельных размерностей. Тело, пронзенное тонким стержнем // Изв. РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60, N 1. С. 3-36.

35. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи Синьорини с препятствием на тонком продолговатом множестве // Матем. сборник, 1996. Т. 187, N 10. С. 3-32.

36. Аргатов И. И., Назаров С. А. О равновесии упругого тела на пронизывающих его горизонтальных тонких упругих стержнях // ПМТФ, 1999. Т. 40, №4. С. 236-242.

37. Аргатов И. И., Назаров С. А. Контактная задача для узкого кольцевого штампа. Увеличивающаяся область контакта // Иссл. по упр. и пластичности, 1999. Вып. 18. С. 15-26.

38. Аргатов И. И., Назаров С. А. Асимптотическая модель одностороннего контакта вдоль линии // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2000. в печати.

39. Аргатов И. И., Чирков В. Ю. Приближенное решение контактной задачи для системы штампов на упругом полупространстве / / Трение и износ, 1999. Т. 20, №5. С. 467-470.

40. Аргирос Дж. Энергетические теоремы и расчет конструкций // Современные методы расчета сложных статически неопределимых систем. Под ред. А.П. Филина. Л.: Судпромгиз, 1961. С. 37-255.

41. Арутюнян Н. X., Мовчан А.Б., Назаров С. А. Поведение решений задач теории упругости в неограниченных областях с параболоидальны-ми и цилиндрическими включениями или полостями // Успехи механики, 1987. Т. 10, №4. С. 3-91.

42. Бабич В.М., Зорин И.С., Иванов М. И., Мовчан А. Б., Назаров С. А. Интегральные характеристики в задачах теории упругости. Препринт Р-6-89. Л.: Изд-во ЛОМИ, 1989. 61 с.

43. Бабич В. М., Иванов М.И. Длинноволновая асимптотика в задачах рассеяния упругих волн // Матем. вопросы теории распростр. волн. 16. Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1986, Т. 156. С. 6-19.

44. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. Приложения к задачам со свободной границей. М.: Наука, 1988. 448 с.

45. Бак у шин с кий A.B. Методы решения вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Ж. вычисл. матем. иматем. физ., 1977. Т. 17, №6. С. 1350-1362.

46. Б анич у к Н. В. Численное решение задачи о прогибе упругой пластины // Инж. журнал. МТТ, 1967, №4. С. 138-142.

47. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф. Л. Численное решение вариационных и краевых задач методом локальных вариаций // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1966. Т. 6, №6. С. 947-961.

48. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986.

49. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. М.: Го-стехтеориздат, 1957. 632 с.

50. Блехман И.И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1990. 360 с.

51. Блинов Э.К., Кацман Ф. М., Михайлов В. Е. Определение деформации контейнеров при многоярусном штабелировании на судах // Судостроение, 1990, №8. С. 12-15.

52. Богов ой В. Г., Нуллер Б.М. Некоторые задачи для упругого полупространства с полусферической выемкой // Изв. АН СССР. МТТ, 1972, №2. С. 147-150.

53. Бондарева В.Ф. Контактные задачи для упругого шара // ПММ, 1971. Т. 35, №1. С. 61-70.

54. Бородачев Н.М. Об определении осадок жестких плит и массивов // Основания, фундаменты и мех. грунтов, 1964, № 4. С. 3-4.

55. Бородачев Н.М. О вдавливании штампа в торец полубесконечного упругого цилиндра // Прикл. мех. (Киев), 1967. Т. 3, №9. С. 83-89.

56. Бородачев Н. М. Об одной вариационной формуле и ее приложение к контактным задачам теории упругости // ПММ, 1989. Т. 53, №1. С. 127-133.

57. Бородачев Н. М., Галин Л. А. Контактная задача для штампа с основанием в виде узкого прямоугольника//ПММ, 1974. Т. 38, N1. С. 125-130.

58. Бородачев Н. М. Тариков Г. П. К решению пространственных контактных задач теории упругости методом электрического моделирования // Изв. АН СССР. МТТ, 1974, №3. С. 84-87.

59. Бурмистров А. Н. О давлении вытянутого штампа на упругое полупространство // Трение и износ, 1988. Т. 9, № 3. С. 454-462.

60. Бурмистров А. Н. Контактная задача теории упругости для узких областей // ПМТФ, 1988, №5. С. 149-157.

61. Ван-Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310 с.

62. В ер лань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978. 292 с.

63. Воробьев В. Н. Об аналитическом решении задачи о контакте штампа, имеющего эллиптическое сечение, с упругим полупространством // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ., 1973. Т. 13, №2. С. 515-519.

64. Воробьев В. Н. Решение некоторых неосесимметричных контактных задач для штампа с эллиптическим сечением // Инж.-физ. журнал, 1973. Т. 24, №2. С. 334-342.

65. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 455 с.

66. Ворович И. И., Устинов Ю.А. О давлении штампа на слой конечной толщины // ПММ, 1959. Т. 23, №3. С. 445-455.

67. Галанов Б. А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта // ПММ, 1985. Т. 49, №5. С. 827-835.

68. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953. 264 с.

69. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. 304 с.

70. Геккелер И. В. Статика упругого тела. Л.: Гостехтеориздат, 1934.287 с.

71. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. М.: Мир, 1986. 270 с.

72. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 574 с.

73. Го лузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

74. Гольденвейзер А. Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости // ПММ, 1962. Т. 26, №4. С. 668-686.

75. Гольдштейн Р. В., Ентов В. М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 224 с.

76. Гольдштейн Р.В., Спектор A.A. Вариационные оценки решений некоторых смешанных пространственных задач теории упругости с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ, 1978, №2. С. 82-94.

77. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е. И. Изопериметрические неравенства и оценки некоторых интегральных характеристик решения пространственной задачи теории упругости для тела с плоскими трещинами нормального разрыва // Изв. АН СССР. МТТ, 1980, №2. С. 68-79.

78. Гордеев В. Н., Перельмутер A.B. Расчет упругих системе односторонними связями как задача квадратичного программирования // Иссл. по теории сооруж., 1967. Вып. 15. С. 208-212.

79. Горячева И. Г. Плоские и осесимметричные контактные задачи для шероховатых упругих тел // ПММ, 1979. Т. 43, №1. С. 136-140.

80. Горячева И. Г. Периодическая контактная задача для упругого полупространства // ПММ, 1998. Т. 62, №6. С. 1036-1044.

81. Горячева И. Г., Добычин М.Н. Контактные задачи в трибологии. М.: Машиностроение, 1988. 256 с.

82. Горячева И.Г., Торская Е.В. Периодическая контактная задача для системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием // Трение и износ, 1995. Т. 16, №4. С. 642-652.

83. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

84. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. М.: Машиностроение, 1980. 411 с.

85. Губенко B.C., Улитко А. Ф. Смешанные задачи теории упругости для полупространства и слоя с несколькими круговыми линиями раздела краевых условий // Контактные задачи и их инженерные приложения. М.: Изд-во НИИМАШ, 1969. С. 13-40.

86. Даль Ю.М., Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости // Изв. РАН. МТТ, 1998, №5. С. 78-87.

87. Денисова Т.В., Николаев А. Г. Задачи о действии гладких штампов на упругое полупространство // Прикл. мех. (Киев), 1998. Т. 34, №2. С. 26-31.

88. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М: Наука, 1970. 227 с.

89. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 510 с.

90. Динник А. Н. Избранные труды. Т. 1. Киев: Изд-во АН Укр. ССР, 1952. 151 с.

91. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974. 542 с.

92. Довнорович В. И. Пространственные контактные задачи теории упругости. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1959. 107 с.

93. Довнорович В. И. О действии кругового в плане штампа на упругий слой конечной толщины, лежащий на жестком основании // Изв. АН СССР. Мех. имашиностр., 1964, №2, С. 119-122.

94. Дубинин В.Н. Симметризация в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи матем. наук, 1994. Т. 49, №1. С. 3-76.

95. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 383 с.

96. Егоров К. Е. Вдавливание в полупространство штампа с плоской подошвой кольцевой формы // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и машиностроение, 1963, №5, С. 187-190.

97. Ефимов А. Б., Воробьев В. Н. О контактной задаче теории упругости с одним определяющим параметром // Инж.-физ. журнал, 1972. Т. 22, №6. С. 1107-1112.

98. Зайцева Т. А., Пожуев В. И. О решении пространственных контактных задач для некругового штампа // Изв. РАН. МТТ, 1994, №4, С. 62-70.

99. Захаревич И. С. О вариации решений интегродифференциальных уравнений смешанных задач теории упругости при вариации области // ПММ, 1985. Т. 49, №6. С. 961-968.

100. Зегжда С. А. Соударение упругих тел. СПб: Изд-во СПбГУ, 1994. 272 с.

101. Зин о Е. И., Тропп Э. А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости. J1.: Изд-во ЛГУ, 1978. 224 с.

102. Зорин И. С. Тонкая тороидальная полость в полу бесконечном упругом теле // Иссл. по упр. и пластичности, 1986. Вып. 15. С. 75-91.

103. Зорин И.С., Назаров С. А. Асимптотика напряженно деформированного состояния упругого пространства с жестким тороидальным включением // Докл. АН СССР, 1983. Т. 272, №6. С. 1340-1343.

104. Зорин И.С., Назаров С. А., Мовчан А. Б. Об использовании тензора упругой поляризации в задачах механики трещин // Изв. АН СССР. МТТ, 1988, №6. С. 128-134.

105. Зорин И. С., Назаров С. А., Мовчан А. Б. О применении тензоров упругой емкости, поляризации и присоединенной деформации // Иссл. по упр. и пластичности, 1990. Вып. 16. С. 75-91.

106. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

107. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Труды С.-Петербург, матем. о-ва, 1998. Т. 6. С. 151-212.

108. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-J1.: Физматгиз, 1962. 708 с.

109. Капцов A.B., Шифрин Е. И. Решение динамических задач об эллиптической трещине в упругом полупространстве с помощью аппроксимаций Паде // ПММ, 1991. Т. 55, №3. С. 511-519.

110. Капшивый A.A., Ломонос Л. Н. О сесимметричная задача о вдавливании двух жестких штампов в упругий эллипсоид // Матем. физика, 1976. Вып. 19. С. 85-90.

111. Карпенко В. А. Осесимметричное вдавливание двух штампов в упругий шар // ПММ, 1976. Т. 40, №4. С. 763-766.

112. Качаловская Н.Е., Улитко А. Ф. Напряженное состояние упругой среды, содержащей "иглообразное" включение// Докл. АН УССР. Сер. А, 1987, №5. С, 45-49.

113. Керчман В. И. Экстремальные свойства упругой энергии и новые вариационные принципы в односторонних задачах для штампов и трещин // Изв. АН СССР. МТТ, 1981, №5. С. 68-77.

114. Керчман В. И. Вариация функционалов от решений смешанных задач при изменении контура контакта и формулы чувствительности для задач с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ, 1988, №3. С. 66-75.

115. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

116. Ковтуненко В. А. Метод численного решения задачи о контакте упругой пластины с препятствием // ПМТФ, 1994. Т. 35, N 5. С. 142-146.

117. Ковтуненко В. А. Итерационный метод штрафа для задачи с ограничениями на внутренней границе // Сиб. матем. журнал, 1996. Т. 37, №3. С. 587-591.

118. Ковура A.B., Моссаковский В. И. Контактная задача с полунеизвестной границей области контакта // ПММ, 1979. Т. 43, N 1. С. 106-111.

119. Ковура A.B., Самарский В. И. Давление на упругое полупространство штампа, близкого в плане к кольцевому // ПММ, 1987. Т. 51, №1. С. 95-100.

120. Колесников Ю. В., Морозов Е.М. Механика контактного разрушения. М.: Наука, 1989. 224 с.

121. Колтон Л. Г., Назаров С. А. Вариация формы ребра плоской локально неравновесной трещины нормального отрыва // Изв. РАН. МТТ, 1997, №3. С. 125-133.

122. Колтунов М. А., Васильев Ю.Н., Черных В. А. Упругость и прочность цилиндрических тел. М.: Высшая школа, 1975. 526 с.

123. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с.

124. Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно- упругих тел конечных размеров // ПММ, 1977. Т. 41, №2. С. 329-337.

125. Кравчук A.C. Решение контактных задач с известной функцией Грина // ПММ, 1982. Т. 46, №2. С. 283-288.

126. Кравчук A.C. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: Изд-во МГАПИ, 1997. 340 с.

127. Кравчук A.C. Васильев В. А. Численные методы решения контактной задачи для линейно и нелинейно упругих тел конечных размеров // Прикл. мех. (Киев), 1980. Т. 16, №6. С. 5-15.

128. Кудашов В. И. Формулировка и решение задачи контактного взаимодействия континуальных конструкций и гибких нитей // Прикладные проблемы прочности и пластичности, 1991. Вып. 49. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та. С. 39-54.

129. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физ-матгиз, 1963. 472 с.

130. Курбатов A.B., Лазарев М. И. К решению задачи о вдавливании жесткого штампа в упругое полупространство // Изв. АН СССР. МТТ, 1981, №4. С. 77-82.

131. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

132. Ламзюк В. Д., Приварников А.К. О максимальном значении радиуса площадки контакта штампа со слоем//ПММ, 1971. Т. 35, N 6. С. 1047-1052.

133. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука,1966. 515 с.

134. Л cl Н К cl стер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 272 с.

135. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 1. Ч. 2. Кинематика. Принципы механики. Статика. М.: ИЛ, 1952. 326 с.

136. Лионе Ж. Л. Некоторые математические проблемы, связанные с механикой деформируемых тел // Механика деформируемых тел: Направления развития. М.: Мир, 1983. С. 9-21.

137. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М. И. Обобщение задач Буссинеска и Черрути для случая упругого пространственного клина // Докл. АН СССР, 1991. Т. 321, №1. С. 58-62.

138. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М. И. Внедрение штампа в форме эллиптического параболоида в упругий пространственный клин // ПММ, 1992. Т. 56, №2. С. 286-295.

139. Л у каш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

140. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Го-стехтеориздат, 1955. 491 с.

141. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

142. Львов Г. И. Вариационная постановка контактных задач для линейно-упругих и физически нелинейных пологих оболочек // ПММ, 1982. Т. 46, №3. С. 841-846.

143. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.

144. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Об асимптотике решений задачи Дирихле в трехмерной области с вырезанным тонким телом // Докл. АН СССР, 1981. Т. 256, №1. С. 37-39.

145. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений задачи Дирихле в трехмерной области с вырезанной тонкой трубкой // Матем. сборник, 1981. Т. 116, №2. С. 187-217.

146. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических задач в областях с коническими точками // Math.

147. Nähr., 1977. Bd. 76, № 1. S. 29-60.

148. Мин длин Р., Чень Д. Сосредоточенные силы в упругом полупространстве // Механика, 1952, №4. С. 118-133.

149. Миренкова Г.Н. Соснина Э. Г. Жесткий эллипсоидальный диск и игла в анизотропной упругой среде // ПММ, 1981. Т. 45, № 1. С. 165-170.

150. Михайлов В.Е. Основы расчета безопасного крепления крупнотоннажных контейнеров при морских перевозках. СПб.: Изд-во МАНЭБ, 1998. 131 с.

151. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Метод решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия // Новожиловский сб. СПб.: Судостроение, 1992. С. 17-26.

152. Михин H. М. Контакт волнистых и шероховатых тел // Справочник по триботехнике/Под общ. ред. М. Хебды, A.B. Чичинадзе. Т. 1. Теоретические основы. М.: Машиностроение, 1989. 400 с.

153. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высш. школа, 1977. 431 с.

154. Михлин С. Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб: Изд-во СПбГУ, 1994. 272 с.

155. Мовчан A.B., Назаров С. А. Асимптотика напряженно деформированного состояния вблизи пространственного пикообразного включения // Мех. композит, материалов, 1985, №5. С. 792-800.

156. Мовчан A.B., Назаров С. А., Полякова O.P. Приращение коэффициентов интенсивности напряжений при удлинении криволинейной трещины // Изв. РАН. МТТ, 1992, №1. С. 84-93.

157. Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л: Изд-во ЛГУ, 1978. 182 с.

158. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

159. M о с с ак о в с ки й В. И. Применение теоремы взаимности к определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных задачах / / ПММ, 1953. Т. 17, №4. С. 477-482.

160. Моссаковский В. И. Зависимость между силой и осадкой для близкого к круговому в плане плоского штампа // Гидроаэромеханика и теория упругости. Вып. 14. Днепропетровск. Изд-во Днепропетровск, ун-та. С. 93-102.

161. Моссаковский В. И., Голикова С.С. Контактные задачи для неизвестной заранее области контакта // Докл. АН УССР. Сер. А, 1975, №3. С. 229-232.

162. Моссаковский В. И., Ковура A.B. Контактные задачи для полупространства с круговыми и близкими к круговым линиями раздела граничных условий // Динамика и прочность тяжелых машин, 1980. Вып. 5. С. 74-89.

163. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

164. Мышки с А. Д. Элементы теории математических моделей. М.: Физ-матлит, 1994. 192 с.

165. Назаров С. А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. 117 с.

166. Назаров С. А. Вывод вариационного неравенства для формы малого приращения трещины отрыва // Изв. АН СССР. МТТ, 1989, N 2. С. 152-160.

167. Назаров С. А. Осреднение краевых задач в области, содержащей тонкую полость с периодически изменяющимся сечением // Труды Московск. матем. общества, 1990. Т. 53. С. 98-129.

168. НазаровС. А. О возмущениях решений задачи Синьорини для скалярного уравнения второго порядка//Мат. заметки, 1990. Т. 47, N1. С. 115-126.

169. Назаров С. А. Упругие емкость и поляризация дефекта в упругом слое // Изв. АН СССР. МТТ, 1990. №5. С. 57-65.

170. Назаров С. А. Асимптотическое решение вариационного неравенства // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1990. Т. 54, №5. С. 990-1019.

171. Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи с малыми препятствиями // Дифф. ур-я, 1995. Т. 31, №6. С. 1031-1041.

172. Назаров С. А. Асимптотические условия в точках, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых разложений // Труды

173. Санкт-Петербург, матем. о-ва, 1996. Т. 5. С. 112-183.

174. Назаров С. А. Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки // Пробл. матем. анализа., 1997. Вып. 17. СПб.: Изд-во СПбГУ. С. 101-152.

175. Назаров С. А., Паукшто М.В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 93 с.

176. Назаров С.А., Полякова O.P. Разрушение узкой перемычки между трещинами, лежащими в одной плоскости//ПММ, 1991. Т. 55, N1. С. 157-165.

177. Никошков Г. П., Черепанов Г. П. Растяжение упругого пространства с изолированным жестким стержнем // ПММ, 1984. Т. 48, №3. С. 460-465.

178. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

179. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

180. Новожилов В. В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989. 397 с.

181. Новожилов В. В., Черных К.Ф. К расчету оболочек на сосредоточенные воздействия // Иссл. по упр. и пласт., 1963. Вып. 2. С. 48-58.

182. H у л л е р Б. М. Контактные задачи для системы упругих полуплоскостей // ПММ, 1990. Т. 54, №2. С. 302-306.

183. Павленко A.B. Передача нагрузки от стержня к упругому анизотропному полупространству // Изв. АН СССР. МТТ, 1981, N 6. С. 103-111.

184. П анагиотопу л ос П. Неравенства в механике и их приложения. М.: Мир, 1989. 492 с.

185. Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

186. Перельмутер A.B. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями // Иссл. по теории сооруж., 1972. Вып. 19. С. 138-147.

187. Петров Ю.В. О контактном взаимодействии упругого диска с жестким угловым вырезом // Вестник ЛГУ. Сер. 1, 1989, Ш2. С. 62-64.

188. Подильчук Ю. Н., Ткаченко В. Ф. Общая задача о давлении плоского эллиптического штампа на трансверсально изотропное пространство

189. Доп. HAH Укр., 1995, №3. С. 39-41.

190. Пожарский Д.А. О пространственной контактной задаче для упругого клина с неизвестной областью контакта//ПММ, 1995.Т. 59, N5. С. 812-818.

191. Пожуев В.И., Зайцева Т. А. Определение давлений под двусвяз-ным штампом, ограниченным в плане круговыми, близкими к квадрату кривыми // Изв. вузов. Строительство, 1993, № 10. С. 37-41.

192. Полна Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физматгиз, 1962. 336 с.

193. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978. 432 с.

194. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

195. Понятовский В. В. Асимптотическая теория изгиба тонкого бруса // Иссл. по упр. и пласт., 1973. Вып. 9. С. 81-93.

196. Попов Г. Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов // ПММ, 1976. Т. 40, №4. С. 662-673.

197. Порошин В. С. К вопросу об ограниченности контактных давлений на контуре эллиптического в плане штампа, взаимодействующего с упругим слоем // ПММ, 1984. Т. 48, №3. С. 466-472.

198. Рабинович A.C. О решении контактных задач для шероховатых тел // Изв. АН СССР. МТТ, 1979, № 1. С. 52-57.

199. Рабинович В. JL, Спектор А. А. Решение некоторых классов пространственных контактных задач с неизвестной границей // Изв. АН СССР. МТТ, 1985, №2. С. 93-100.

200. Рабинович B.JI., Спектор A.A. Вариационно-асимптотический метод решения пространственных контактных задач с краевыми эффектами // Изв. АН СССР. МТТ, 1989, №4. С. 55-62.

201. Рабинович И. М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями. М.: Стройиздат, 1975. 144 с.

202. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

203. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука, 1976. 493 с.

204. Рвач ев В. J1. Давление на упругое полупространство штампа, имеющего в плане форму полосы // ПММ, 1956. Т. 20, №2. С. 248-254.

205. Р в ачев В. JI. О давлении под бесконечной балкой, лежащей на упругом полупространстве // ПММ, 1959. Т. 23, №2. С. 399-400.

206. Рвачев В. JI., Проценко B.C. О структуре решения контактной задачи с наклонным штампом//Доп. АН УССР. Сер. А, 1970,N 11. С. 1023-1026.

207. Рвачев В. JI., Проценко B.C. Контактные задачи теории упругости для неклассических областей. Киев: Наукова Думка, 1977. 235 с.

208. Розенберг JT.A. О давлении твердого тела на пластинку // Инж. сборник, 1955. Т. 21. С. 151-155.

209. Ройтман A.B., Шишканова С.Ф. Вдавливание неплоского кольцевого штампа в упругое полупространство // Прикл. мех. (Киев), 1980. Т. 16, №4. С. 35-41.

210. Ростовцев H.A. Комплексные функции напряжений в осесимме-тричной задаче теории упругости // ПММ, 1953. Т. 17, №5. С. 611-614.

211. Ростовцев Н. А. Комплексные потенциалы в задаче о штампе, круглом в плане // ПММ, 1957. Т. 20, №1. С. 77-82.

212. Рубин A.M. Алгоритм метода попыток в задачах сжатия упругих тел // Пробл. машиностр. и надежн. машин, 1993, №6. С. 49-51.

213. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 887 с.

214. Савин Г. Н., Рвачев В. JI. О перемещении под сосредоточенной силой // Прикл. мех. (Киев), 1964. Т.10, №2. С. 222-225.

215. Самарский A.A., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997. 320 с.

216. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

217. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М.-Л.:Гостехтеориз-дат, 1951. 804 с.

218. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. 667 с.

219. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 443 с.

220. Тариков Г. П., Кенько В. М. Исследование контактных давлений в зубчатых передачах с помощью электрического моделирования // Трение и износ, 1995. Т. 16, №3. С. 473-477.

221. Терещенко В.Я. Об одном подходе к исследованию задачи Синьо-рини, использующем идеи двойственности // ПММ, 1986. Т. 46, №1. С. 116-123.

222. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехте-ориздат, 1948. 479 с.

223. Товстик П.Е., Бауэр С.М., Смирнов A.JL, Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб: Изд-во СПбГУ, 1995. 188 с.

224. Тэлега Ю. И. Вариационные методы в контактных задачах механики // Успехи механики, 1987. Т. 10, №2. С. 3-95.

225. УфляндЯ. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. JL: Наука, 1968. 402 с.

226. Федорюк М. В. Задача Дирихле для оператора Лапласа во внешности тонкого тела вращения / / Теория кубатурн. формул и приложения функц. анализа к задачам матем. физики. Труды семинара С. Л. Соболева, 1980. Т. 1. С. 113-131.

227. Фе до рюк М. В. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981. Т. 46, №1. С. 167-186.

228. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987. 544 с.

229. Феппль А., Феппль Л. Сила и деформация. Т. 1. М.: Гостехтео-риздат, 1933. 420 с.

230. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 159 с.

231. Филин А. П. Введение в строительную механику корабля. СПб.: Судостроение, 1993. 640 с.

232. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М: Физматгиз, 1962. 607 с.

233. Хлуднев A.M. К проблеме контакта линейно упругого тела с упругими и жесткими телами (вариационный подход) // ПММ, 1983. Т. 47, №6. С. 999-1005.

234. Хлуднев A.M. Задача о контакте двух упругих пластинок // ПММ, 1983. Т. 47, N 3. С. 140-146.

235. Хлуднев А. М. О контакте двух пластин, одна из которых содержит трещину // ПММ, 1997. Т. 61, N 2. С. 882-894.

236. Цветков А. Н., ЧебаковМ.И. Контактная задача для конечного тела вращения со свободной боковой поверхностью // Изв. АН СССР. МТТ, 1989, №2. С. 77-82.

237. Цветков А. Н., ЧебаковМ.И. Плоская контактная задача для криволинейной трапеции // Изв. АН СССР. МТТ, 1990, №6. С. 43-47.

238. Чебаков М. И. Некоторые динамические и статические контактные задачи теории упругости для кругового цилиндра конечных размеров // ПММ, 1980. Т. 44, №5. С. 923-933.

239. Черепанов Г. П. Одна задача о вдавливании индентора с образованием трещин // ПММ, 1963. Т. 27, N 1. С. 150-153.

240. Черепанов Г. П. Давлении твердого тела на пластины и мембраны // ПММ, 1965. Т. 29, №2. С. 282-290.

241. Шевелева Г. И. Расчет упругих контактных перемещений на поверхностях деталей ограниченных размеров // Машиноведение, 1984, №4. С. 92-98.

242. Шевелева Г. И. Решение контактных задач методом последовательного нагружения при разных условиях равновесия // Пробл. машиностр. и надежн. машин, 1990, №4. С. 68-74.

243. Шишканова С. Ф. О вдавливании в упругое полупространство эллиптического штампа со скругленным краем // Изв. АН СССР. МТТ, 1987, №3. С. 77-80.

244. Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях теории изгиба тонких плит сложной структуры И ПММ, 1973. Т. 37, №5. С. 914-924.

245. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. M.-JI.: Гостехтеориздат, 1949. 270 с.

246. Штернберг Е., Ю банке Р. О понятии сосредоточенных нагрузок и расширении области применимости теоремы единственности в линейной теории упругости // Механика, 1956, №5. С. 56-84.

247. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399 с.

248. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968. 344 с.

249. Ahmadi N., Keer L.M., Mura T. Non-Hetzian contact stress analysis for an elastic half-space normal and sliding contact // Int. J. Solids and Struct., 1983. V. 19, № 7. P. 357-373.

250. Argatov 1.1., Nazarov S.A. Junction problem of shashlik (skewer) type // Сотр. Rend. Acad. Sci. Paris. Sér. I. 1993. T. 316. P. 1329-1334.

251. Barber J. R. Determining the contact area in elastic-indentation problems // J. Strain Analysis, 1974. У. 9, №4. P. 230-232.

252. Bose S.K., Bhattacharya H. K. Load diffusion from a cylindrical block embedded in a thick elastic layer // Arch. Mech., 1981. V. 33, №6. P. 917-926.

253. Campbell A., Nazarov S.A. Une justification de la mthode de raccordement des développements asymptotiques appliquée a un problème de plaque en flexion. Estimation de la matrice d'impédance // J. Math. Pures Appl., 1997. V. 76. P. 15-54.

254. Campbell A., Nazarov S.A. An asymptotic study of a plate problem by a rerrangement method. Application to the mechanical impedance // Math. Modelling and Numerical Analysis, 1998. У. 32, N 5. P. 579-610.

255. Ciarlet P. G. Mathematical elasticity. Vol. 2: Theory of plates. Amsterdam: Elsevier, 1997. 497 p.

256. Collins W. D. Some coplanar punch and crack problems in three-dimensional elastostatics // Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1963. V. 274, №1359. P. 507-528.

257. Essenburg F. On surface constraints in plate problems // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1962. V. 29, №2. P. 340-344.

258. Fabrikant V.I. Several elliptical punches on an elastic half-space//Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1986. V. 53, №2. P. 390-394.

259. Gao H., Rice J.R. Nearly circular connections of elastic half spaces // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1987. V. 54, №3. P. 627-634.

260. Gastaldi F., Kinderlerlirer D. The partially supported elastic beam// J. Elasticity, 1983. V. 13, № 1. P. 71-82.

261. Gladwell G.M. L., Fabrikant V.l. The interaction between a system of circular punches on an elastic half-space // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1982. V. 49, №2. P. 341-344.

262. Hetenyi M. A general solution for the elastic quarter space / / Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1970. V. 37. Ser. E, №1. P. 70-76.

263. Kalker J.J. On elastic line contact // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1972. V. 39, №4. P. 1125-1132.

264. Kalker J.J. The surface displacement of an elastic half-space loaded in a slender, bounded, curved surface region with application to a roller //J. Inst. Maths Applies, 1977. V. 19, № 2. P. 127-144.

265. Kalker J.J. A survey of the mechanics of contact between solid bodies // ZAAM, 1977. Bd. 57, №5. S. 3-17.

266. Keer L.M., Lee J.C., Mura T. A contact problem for the elastic quarter-space // Int. J. Solids and Struct., 1984. V. 20, №5. P. 513-524.

267. Kolscher M. Die Berechnung vollständiger elliptischer Integrale dritter Gattung durch Reihen // ZAAM, 1951. Bd. 31, №4-5. S. 114-120.

268. Kozlov V. A., Maz'ya V. G., Movchan A.B. Asymptotic representation of elastic fields in a multi-structure // Asymptotic Analysis. 1995. V. 11. P. 343-415.

269. Luk Y. K., Keer L.M. Stress analysis for an elastic half space containing an axially-loaded rigid cylindrical rod // Int. J. Solids and Struct., 1979. V. 15, №10. P. 805-827.

270. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestörten Gebieten. Bd. 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. 432 s.

271. Nazarov S.A., Junction problems of bee-on-ceiling type in the theory of anisotropic elasticity//Comp. Rend. Acad. Sei. Paris. Ser. I. 1995. T. 320. P. 1419-1424.

272. Nazarov S.A., Argatov I.I. Illposedness of integral equations in theasymptotic theory of thin punches // Tagungsber. / Math. Forschungsinst., Oberwolfach, 1994. №42. S. 19-20.

273. Panagiotopoulos P.D„ Talaslidis D. A linear analysis approach to the solution of certain classes of variational inequality problems in structural analysis // Int. J. Solids and Struct., 1980. V. 16, №11. P. 991-1005.

274. Panek C., Kalker J.J. A solution for the narrow rectangular punch //J. Elasticity, 1977. V. 7, № 2. P. 213-218.

275. Payne L. E. Isoperimetric inequalities and their applications // SIAM Rev., 1967. V. 9, №3. P. 453-488.

276. Phan-Thien N. The inclusion problem for a rigid slender body in an infinite elasic medium // Fibre Sci. and Tech., 1979. V. 12, №3. P.235-239.

277. Poulos H. G., Davis E.H. Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics. New York: Wiley, 1974. 411 p.

278. Rabinovich V. L., Sipcic S.R., Sarin V.K. Three-dimensional unilateral frictionless contact problem for finite bodies // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1994. V. 61, № 1. P. 54-59.

279. Rajapakse R., Wang Y. Load-transfer problems for transversely isotropic elastic media //J. Eng. Mech. 1990. V. 116, N 12. P. 2643-2662.

280. Selvadurai A.P.S., Rajapakse R. On the load transfer from a rigid cylindrical inclusion into an elastic half space // Int. J. Solids and Struct., 1985. V. 21, № 12. P. 1213-1229.

281. Signorini A. Questioni di elasticita non linearizzata e semilinearzzata // Rend, di Matem. e delle sue appl., 1959. V. 18, № 1-2. P. 95-139.

282. Sivashinsky G.I. The problem of a slender die // J. Elasticity, 1975. V. 5, №2. P. 161-166.

283. Tuck E. O., Mei C. C. Contact of one more slender bodies with on elastic half-space // Int. J. Solids and Struct., 1983. V. 19, №1. P. 1-23.

284. Vrbik J., Singh B. M., Danyluk H.T. Contact problem of a pair of flat rectangular stamps resting on an elastic half-space // Acta mechanica, 1995. V. 112, № 1-4. P. 77-82.