Статическое и динамическое контактное взаимодействие пластин и цилиндрических оболочек с жесткими телами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Аркадьевич

• Кузнецов, Сергей Аркадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Аркадьевич

Введение

ГЛАВА I. Статические контактные задачи теории пластин.

§ I. Об одном методе решения интегральных уравнений контактных задач

§ 2. Построение функции влияния для неосесимметричной деформации круглой пластины

§ 3. Контактная задача для круглой пластины при внецентренном положении штампа

§ 4. Неосесимметричное взаимодействие круглой пластины с кольцевым в плане шт&по1л.•

§ 5. Цилиндрический изгиб пластины .дри одностороннем контакте с жестким штампом

ГЛАВА 2. Одномерные динамические контактные задачи

§ 6. Динамическая контактная задача для бесконечной пластины.

§ 7. Вынужденные колебания прямоугольной пластины в условиях цилиндрического изгиба. Учет деформаций поперечного обжатия, сдвига и инерции вращения.

§ 8. Осесимметричные вынужденные колебания круглой пластины с жесткой накладкой

§ 9. Цилиндрический изгиб пластины жестким штампом при наличии износа.

ГЛАВА 3. Контактные задачи для пластин, лежащих на упругом основании, с учетом абразивного изнашивания

§ 10. Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба.

Разложение решения в степенной ряд

§ II. Износ пластины в условиях цилиндрического изгиба.

Применение преобразования Лапласа

§ 12. Осесимметричный износ круглой пластины, лежащей

- з на упругом основании

§ 13. Неосесимметричный износ круглой пластины при внецентренном положении штампа

§ 14. Односторонний контакт прямоугольной пластины с жестким штампом при наличии износа

§ 15. Износ цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Статическое и динамическое контактное взаимодействие пластин и цилиндрических оболочек с жесткими телами»

Высокая механическая прочность тонкостенных конструкций при малом удельном весе обусловливает их широкое применение в современной технике. Развитие промышленности и гражданского строительства, химического машиностроения, судостроения, авиа- и ракетостроения немыслимо без использования различных оболочечных конструкций. В реальной конструкции все составляющие ее элементы находятся в сложных условиях взаимодействия между собой и с другими объектами. В связи с этим весьма актуальным является определение реакций взаимодействия между упругими элементами и самой области контакта (если она неизвестна), что и составляет сущность так называемых контактных задач.

Тонкостенные конструкции слабо сопротивляются сосредоточенным силовым воздействиям и на практике обычно подкрепляются ребрами или накладками малых размеров. В этом случае исходными данными являются главный вектор и главный момент реакций взаимодействия или величины смещений, т.е. на одной части поверхности тела задаются напряжения, на. другой - смещения. Такие задачи в теории упругости называют смешанными и они относятся к категории наиболее трудных задач.

В связи с тем, что пластинки и оболочки, являющиеся элементами инженерных конструкций, могут находиться в условиях динамического нагружения, возникает необходимость решения динамических контактных задач.

Новым важным и практически не исследованным классом контактных задач теории пластин и оболочек являются задачи взаимодействия тонкостенных элементов между собой или с упругими или жесткими телами при необратимом формоизменении контактирующих поверхностей в результате износа. Потребности в решении такого рода задач определяются требованиями технологии формообразования оптических поверхностей, которая за последние годы оказалась одной из узловых предпосылок прогресса точного машиностроения, электроники ,, лазерной и вакуумной техники, поскольку они существенно связаны с использованием точных оптических элементов, в тон числе сложной конфигурации (линз, призм, зеркал, пластинок из стекла, кристаллов, металлов и т.п.), или прецизионных базовых поверхностей, выполненных с отклонениями, составляющими подчас 0,1 -0,01 длины световой волны.

Контактные задачи теории пластин и оболочек имеют специфические особенности, отличающие их от контактных задач теории упругости. При рассмотрении последних трудности, как правило, связаны с выводом и решением уравнений. Сама же теория, которая используется при формулировке задачи, обычно ясна.

В контактных задачах теории пластин и оболочек нетривиальным является и вопрос выбора теории, существенно влияющей на конечный результат. Так, например, определение нормальных контактных реакций между пластиной и жестким телом без острых кромок с позиции теории Кихгофа-Лява приводит к появлению в составе реакции сосредоточенных сил на границе зоны контакта. Учет поперечных сдвигов позволяет устранить сосредоточенные силы, однако контактные напряжения не обращаются в нуль на границе зоны контакта, а могут достигать там наибольшего значения. Решение той же задачи по теории, учитывающей поперечное обжатие пластины, дает результат наиболее близкий к точному решению теории упругости. Вместе с тем необходимо отметить, что в силу многопараметричности контактных задач теории пластин и оболочек можно, при соответствующем соотношении между параметрами, получить как сильное различие между прикладными теориями и теорией упругости, так и вполне удовлетворительное совпадение хотя бы по ряду характеристик решения.

В данной работе систематически используется теория, учитывающая местное поперечное обжатие тонкостенных элементов.

Перейдем к краткому обзору работ по проблеме контакта пластин и оболочек между собой и жесткими телами.

Прежде всего следует отметить весьма полный обзор по проблеме контакта тонкостенных элементов с жесткими телами (штампами), содержащийся в статье Г.Я. Попова и В.М. Толкачева [90] , а также большой обзор по контактным задачам теории оболочек в работе [7в].

Впервые задачу о взаимодейтсвии тонкого бруса и жесткой круговой опоры поставил и решил С.П. Тимошенко [юо] с позиций теории Кирхгофа-Лява. Он подчеркивал, что в силу переменности области контакта задача является нелинейной, и поэтому нельзя воспользоваться принципом суперпозиции. Аналогичные осесимметричные задачи для круглых пластин, контактирующих с плоским жестким основанием рассмотрены в работах [125, 12б].

Наибольшие трудности при решении контактных задач вызывает проблема определения границы области контакта. Основополагающей здесь является работа Л.А. Галина [2б] , в которой рассмотрена задача о давлении жесткого эллипсоида на защемленную круглую пластинку. Автор показал, что давление, передаваемое штампом на пластинку, будет распределено по эллиптической границе области контакта, а внутри ее будет равно нулю.

Г.П. Черепанов [ill] предложил эффективный метод определения области контакта для пластин и мембран, свободно опертых по контуру, состоящему из прямолинейных отрезков.

В.М. Александров [2] рассмотрел задачи о действии штампа на пластины, лежащие на упругом винклеровом основании. Там же на основе математической аналогии получены решения контактных задач для цилиндрической и сферической оболочек.

На примере изгиба стержня по заданной кривой М.М. Филоненко--Бородич [Юб] впервые показал, что для определения контактных

- 7 -6 напряжений элементарная теория изгиба балок неприменима. Введя в уравнение изгиба стержня дополнительный член, учитывающий влияние перерезывающей силы на кривизну, он получил относительно неизвестного контактного давления дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого выражается через гиперболические функции.

JI.A. Розенберг [94] решил задачу осесимметричного контакта круглой пластины с жестким штампом параболического профиля, учитывая эффект поперечного сдвига, и получил контактное давление, выраженное через функцию Бесселя. Здесь же было сделано замечание о необходимости учета поперечного обжатия.

Таким образом, учет поперечного сдвига позволил получить более гладкое распределение контактного давления по области контакта, чем это удавалось сделать на основе классической теории Кирх-гофа-Лява.

Позднее Эссенбургом [122-124] были получены решения осесим-метричных задач о контакте двух круглых пластин и пластины с жестким телом, на основе теории Рейсснера.

Дальнейшее обобщение этого класса задач на случай трансвер-сально-изотропного материала, податливого поперечному сдвигу было сделано в работах [81-83] .

Лучшее приближение структуры контактных напряжений к структуре, определяемой по точным трехмерным уравнениям теории упругости было достигнуто после того, как было снято еще одно ограничение гипотезы Кирхгофа-Лява - несжимаемость нормали к срединной поверхности. Впервые местное обжатие тонкостенного элемента было учтено И.А. Биргером [17] , который, следуя И.Я. Штаерману [11б], вводил фиктивный нелинейноупругий слой на поверхности элемента. Последующее развитие эта идея получила в работах £l8, 48] .

М.В. Блох [l9] и Э.И. Григолюк, В.М. Толкачев [4l] интерпретировали местную деформацию оболочки как перемещение контактной поверхности за счет изменения толщины стенки в результате действия внешней нормальной нагрузки. Г.Я. Попов [8б] показал, что такая постановка контактных задач является математически корректной.

Влияние поперечного сдвига и обжатия на распределение контактных напряжений исследовалось С.Н. Карасевым и Ю.П. Артюхиным

53] . В работах [20, 41, 53] решение задачи цилиндрического изгиба пластины жестким глаким штампом сравнивалось со строгим решением теории упругости. Сравнение показало эффективность учета обжатия при определении контактных напряжений.

Б.Л. Пелех и В.И. Швабюк [85] рассмотрели влияние поперечного обжатия на распределение контактных напряжений в случае транс-версально-изотропного материала.

Важный класс контактных задач о взаимодействии пластин и оболочек с упругими и жесткими линейными элементами подробно исследован Э.И. Григолюком и В.М. Толкачевым [33-40, ЮЗ] . В рамках классической теории оболочек были решены некоторые контактные задачи для цилиндрических оболочек с ребрами, не достигающими края. Сингулярные интегральные уравнения относительно контактных реакций путем выделения сингулярной части ядра преобразовывались к интегральным уравнениям второго рода. Было установлено, что в случае ребра, не имеющего на конце угловой точки, реакция имеет на конце корневую особенность. Позднее [90] было показано, что при наличии угловой точки ребра или остролинейного штампа контактная задача в рамках классической теории оболочек не имеет решения в классе интегрируемых функций.

В работах [75-77] методика Э.И. Григолюка и В.М. Толкачева применялась для решения аналогичных задач анизотропных цилиндрических оболочек.

Задача о взаимодействии цилиндрической оболочки и жесткого линейного ложемента несколько большего радиуса решена в работе [120] также в рамках классической теории. Контактное давление представляется в виде непрерывной нагрузки (полином с неизвестными коэффициентами) и сосредоточенных сил на краях. Величины сосредоточенных сил и неизвестные коэффициенты ищутся из условия сопряжения на линии контакта методом коллокаций.

В работах В. Крупка [127, 128] дано численное решение контактной .задачи для цилиндрической оболочки бесконечной длины, опирающейся на жесткий ложемент того же радиуса, или нагруженной сосредоточенной силой через короткое упругое ребро, расположенное по окружности. Показано, что на границе контакта имеет место резкая концентрация контактных напряжений. Внутри области контакта давление ребра близко к равномерному.

Задача о посадке бандажа на цилиндрическую оболочку исследовалась в работах [II, 42-44, 80, 84] .

Двумерным контактным задачам посвящено значительно меньшее количество работ. Отметим прежде всего уже упоминавшиеся нами статьи Л.А. Галина [26 ] и Г.П. Черепанова [ill] . Двумерные контактные задачи для оболочек с позиций теории Кирхгофа-Лява рассматривались в работах [99] - контакт цилиндрической оболочки с жестким прямоугольным в плане штампом, [1б] - радиальный контакт торообразной оболочки с плоским жестким основанием, [54, 55] - контакт цилиндрической оболочки с твердым телом, [7, 115] - контакт произвольного в плане штампа с оболочкой положительной гауссовой кривизны.

В работе Ю.П. Артюхина и С.Н. Карасева [12] методом сопряжения. в рамках теории П. Нагди решена неосесимметричная контактная задача для сферической оболочки, подкрепленной жесткой накладкой. Центр накладки совпадает с вершиной сферического купола, контакт двусторонний. Та же задача решена в работе 50 методом интегральных уравнений.

Те же авторы рассмотрели [1з] двумерную задачу для круглой пластины, подкрепленной концентрической жесткой накладкой, с учетом поперечного сдвига. Ю.П. Артюхин [9] решил аналогичную задачу в случае подкрепления упругой накладкой с учетом взаимного обжатия пластины и накладки.

С.Н. Карасев [5l] рассмотрел неосесимметричную контактную задачу для круглой пластины, лежащей на упругом основании и находящейся под действием системы т кольцевых концентрических с пластиной штампов. Им предложен новый метод решения основного интегрального уравнения, не требующий построения аналитического выражения для функции влияния. Краевые условия удовлетворяются численно на последнем этапе решения задачи.

Динамические контактные задачи для тонкостенных объектов исследованы сравнительно мало. Отметим цикл работ Е.Г. Янютина с соавторами [61, 62, 102, 105] , в которых численно решены задачи нестационарного взаимодействия стержней и цилиндрических оболочек. Условия контакта выполнялись дискретно, контактные напряжения предполагались кусочно-постоянными по пространственной координате и кусочно-постоянныии или кусочно-линейными по временной. Задачи контактного взаимодействия оболочек (61, 102] решены с учетом деформаций поперечного сдвига и инерции вращения, однако вопрос о влиянии сдвига и инерции вращения на распределение контактных напряжений не исследовался.

В работе [118] численно решается задача определения контактного давления и области контакта при взаимодействии вращающегося гибкого диска и магнитной головки, применяемых в современных вычислительных машинах.

Ряд задач о колебаниях пластин и оболочек, подкрепленных уп

- ругими ребрами (контакт по линии), решен Л.М. Дмитриевой [4б] на основе теории типа С.П. Тимошенко.

Большой обзор работ, посвященных колебаниям ребристых пластин и оболочек, дан в статье [47] .

Начало развития нового класса динамических контактных задач теории упругости - контактных задач при наличии износа, - связано с именами Л.А. Галина и М.В. Коровчинского. В 1971 г. М.В. Коров-чинским [бо] была рассмотрена локальная контактная задача для двух упругих тел при наличии износа и получено интегральное уравнение для распределения давления в процессе износа и упругой деформации.

Л.А. Галин [27, 28] рассмотрел две контактные задачи: одномерную - износ упругого полупространства первоначально изогнутой балкой, и двумерную - износ жестким штампом упругого весомого слоя, сцепленного с жестким основанием, с учетом зависимости модуля упругости слоя £ от расстояния у до свободной поверхности (так что Е(у)Ф0 при у = ^ ). В предположении, что скорость износа пропорциональна контактному давлению и что расстояние между некоторыми направляющими, в которых скользит контактирующее тело, и полупространством (слоем.) неизменно, так что контактное давление с течением времени должно уменьшаться, автор получил в первой задаче интегро-дифференциальное уравнение относительно прогиба, а во второй - интегральное уравнение относительно контактного давления. Разделением переменных проблема была сведена к задаче на собственные значения.

Впоследствии этот метод развивался в работах Л.А. Галина и И.Г. Горячевой [30-32] .

Аналогичный подход применялся В.М. Александровым с соавторами [З-б] при решении одномерных задач износа упругого слоя большой толщины.

В работе [lI7j дано описание алгоритма численного анализа плоской контактной задачи для скользящих пар с учетом износа и показано приложение предлагаемого алгоритма к поступательной и дисковой парам.

В заключение отметим, что в обзор не включены работы, посвященные решению контактных задач теории пластин и оболочек с учетом физической и геометрической нелинейности, вязко- и термоупругости, слоистости и т.п., не имеющие непосредственного отношения к данной диссертационной работе.

Библиографию по статическим и динамическим пространственным контактным задачам можно найти в книге [92] , в известных монографиях Л.А. Галина [29] , Я.С. Уфлянда [Ю4] , И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко [24] , И.И. Воровича и В.А. Бабеш-ко [25] , В.М. Сеймова [98] , В.М. Александрова, С.М. Мхитаряна [б] , B.C. Саркисяна [9б] , Г.Я. Попова [88] , а также в работах [I, 56, 79, 89, 93, ИЗ, 114] и др.

Из приведенного выше обзора видно, что постановка и решение новых статических и динамических контактных задач теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного обжатия представляет теоретический и практический интерес. Особую важность имеет разработка новых методов расчета контактных напряжений в двумерных контактных задачах, а также корректная постановка и решение контактных задач для тонкостенных объектов при наличии износа.

В § I первой главы диссертации предлагается метод решения интегральных уравнений двумерных контактных задач, являющийся обобщением метода, разработанного Ю.П. Артюхиным для одномерных контактных задач.

Во втором параграфе построена функция влияния для неосесим-метричной деформации круглой пластины, лежащей на упругом основании.

В третьем и четвертом параграфах предлагаемым методом получены точные решения двумерных контактных задач для круглой пластины, лежащей на упругом основании и находящейся под действием внецентренно расположенного круглого (§3) и кольцевого (§ 4) в плане жесткого штампа. При этом используются построенная в предыдущем параграфе-функция влияния и полученные в Приложении I теоремы сложения для функций Кельвина. Показано влияние эксцентриситета штампа на распределение контактных напряжений.

Пятый параграф посвящен решению задачи цилиндрического изгиба пластины плоским штампом с учетом односторонней связи между контактирующими телами. Получено аналитическое выражение для контактного давления, зависящее от неизвестной границы области контакта. Граница области контакта определяется из решения трансцендентного уравнения, содержащего гиперболические и тригонометрические функции. Показана независимость области контакта от прижимающей штамп силы и от жесткого смещения штампа. Числовые результаты представлены графически и таблично.

Во второй главе решены некоторые одномерные динамические задачи .

Процесс взаимодействия бесконечной прямоугольной пластины, находящейся в условиях цилиндрического изгиба, с жестким плоским штампом, движущимся под действием силы, произвольно меняющейся во времени, рассматривается в § 6 с позиций уточненной теории, учитывающей деформации поперечного сдвига, обжатия и инерции вращения. В области изображений по Лапласу построено точное решение. Вопрос об обращении преобразования Лапласа должен решаться в зависимости от конкретного закона изменения силы Р(^).

В седьмом параграфе решена задача определения напряжений, возникающих между прямоугольной пластиной и жесткой накладкой при установившихся вынужденных колебаниях. Исследовано влияние массивности накладки, деформаций поперечного сдвига и инерции вращения на спектр- собственных частот и распределение контактных напряжений при установившихся вынужденных колебаниях. Показано, что, изменяя относительную массу накладки и относительную толщину пластины, можно изменить спектр собственных частот колебаний пластины с накладкой и тем самым существенно уменьшить амплитуду контактных напряжений .

В § 8 решена аналогичная осесимметричная задача для круглой пластины.

В § 9 рассмотрен цилиндрический изгиб пластины жестким штампом при наличии износа в двух вариантах: I) предполагается, что в результате соударения микронеровностей на штампе и пластине в процессе движения штампа пластина совершает установившиеся вынужденные колебания, 2) пластина неподвижна. Применение метода сведения интегрального уравнения к краевой задаче и преобразования Лапласа по времени позволяет получить в области изображений точное решение. Обращение преобразования Лапласа проводится приближенно-аналитическим методом, основанным на разложении изображения в фак-ториальный ряд, для двух случаев: а) постоянной прижимающей штамп силы, б) заданного линейного закона жесткого смещения штампа.

В третьей главе получены решения ряда задач абразивного изнашивания тонких пластин, лежащих на упругом основании, а также задачи об абразивном изнашивании цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой.

В §§ 10 и II решается задача износа прямоугольной пластины при цилиндрическом изгибе. Основное интегральное уравнение методом Ю.П. Артюхина приводится к интегродифференциальному уравнению относительно вспомогательной функции при некоторых условиях, налагаемых на эту функцию на границе области контакта. Обсуждаются два возможных пути решения интегродифференциального уравнения: разложение искомой функции в степенной ряд по временной координате (§10) и применение преобразования Лапласа (§ II). Проведенные численные эксперименты показали, что оба способа одинаково эффективны в начальный период времени, однако при больших t предпочтительнее применение преобразования Лапласа в сочетании с численными методами обращения. Числовые результаты представлены в виде таблиц и рисунков.

В § 12 решена осесимметричная контактная задача для круглой пластины, лежащей на упругом основании, при наличии износа.

В § 13 неосесимметричная контактная задача, рассмотренная в § 3, обобщена на случай изнашивания поверхности пластины под действием вращающегося штампа. Получено решение, из которого как частные случаи следуют решения, построенные в § 3 и § 12.

В § 14 задача, износа прямоугольной пластины при цилиндрическом изгибе решается в уточненной постановке, учитывающей явление отлипания пластины от штампа. Показано, что в процессе изнашивания область контакта постепенно увеличивается и со временем может занять всю ширину штампа. Исследована зависимость контактного давления, а также скорости изменения контактного давления в фиксированной точке и скорости изнашивания от скорости жесткого смещения штампа.

В последнем параграфе решена осесимметричная контактная задача для бесконечной цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой, при наличии износа. Рассмотрены два варианта постановки задачи: а) в предположении о безотрывном контакте и б) с учетом односторонней связи оболочки и втулки. Во втором варианте делается допущение о разделении области контакта на две зоны, прилегающие к краям втулки. При проведении численных экспериментов обнаружено, что при некоторых соотношениях между радиусом оболочки и длиной втулки эта гипотеза не отражает действительной картины контактного взаимодействия и необходимо, по-видимому, учитывать контакт и в некоторой окрестности центральной части втулки. В пределах же применимости гипотезы о двусвязности области контакта показано влияние учета многоконтактности на величины максимальных контактных напряжений. В таблицах и на графиках представлены результаты расчетов контактного давления и относительного износа в различные моменты времени.

Таким образом, на защиту выносится:

1. Метод решения двумерных статических контактных задач.

2. Постановка и метод решения динамических контактных задач для тонкостенных элементов при наличии износа.

3. Результаты решения ряда новых задач: неосесимметричное взаимодействие круглой пластины с внецентренно расположенным круглым или кольцевым в плане штампом; исследование с учетом деформаций поперечного сдвига, обжатия и инерции вращения контактных напряжений, возникающих при установившихся вынужденных колебаниях круглой и прямоугольной пластин с жесткими накладками; исследование контактного взаимодействия пластин и оболочек с жесткими телами при наличии износа.

Диссертационная работа выполнена в Лаборатории механики оболочек Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г. Чеботарева Казанского университета. Тема диссертации связана с плановой темой Лаборатории механики оболочек "Статика и динамика оболочек и пластин", являющейся составной частью основного научного направления КГУ "Краевые задачи и их приложения в механике" и выполняющейся в соответствии с Координационным планом АН СССР по проблеме I.I0.2. "Механика деформируемого тела" (раздел I.10.2.II - тонкостенные конструкции). Регистрационный номер темы 81007676.

Основные результаты диссертации были опубликованы в работах [l4, 66-7l] и доложены на научных семинарах по теории оболочек, руководимых заслуженным деятелем науки и техники ТАССР, проф. К.З. Галимовым и проф. А.В. Саченковым (1978 - 1983 г.г.),

Итоговых научных конференциях Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина (1978 - 1983 г.г.),

Всесоюзном симпозиуме по нелинейной теории оболочек и пластин (Казань, 1980),

П Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981),

Республиканской научно-технической конференции "Механика сплошных сред" (Брежнев, 1982),

Всесоюзной школе "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 1983), семинаре кафедры сопротивления материалов Камского политехнического института (Брежнев, 1983).

Работы [14, 70, 71] написаны в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Ю.П. Артюхиным, которому принадлежит постановка задач и обсуждение полученных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю докт. физ.-мат. наук Юрию Павловичу Артюхину и заведующему Лабораторией механики оболочек докт. физ.-мат. наук Юрию Геннадьевичу Коноплеву за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кузнецов, Сергей Аркадьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решен ряд новых двумерных статических и динамических контактных задач теории пластин и оболочек в уточненной постановке, учитывающей поперечное обжатие тонкостенного элемента.

Предложен метод решения основного интегрального уравнения двумерных контактных задач, являющийся обобщением метода, разработанного Ю.П.Артюхиным для одномерных контактных задач. Метод основан на сведении интегрального уравнения к краевой задаче и позволяет получать точное решение интегрального уравнения.

Эффективность предложенного метода подтверждается решением не-осесимметричных контактных задач для круглой пластины, находящейся под действием эксцентрично расположенного кругового или кольцевого в плане штампа.

Исследовано влияние деформаций поперечного сдвига, инерции вращения и массивности накладки на спектр собственных частот и распределение контактных напряжений при установившихся вынужденных колебаниях прямоугольной и круглой пластин с жесткими накладками (одномерные задачи). Отмечено наличие частот, обеспечивающих минимальный уровень контактных напряжений.

Решена задача цилиндрического изгиба пластины, лежащей на упругом основании, при одностороннем контакте с жестким штампом.

Дана корректная математическая постановка и решение ряда динамических контактных задач теории пластин и оболочек при наличии износа: цилиндрический изгиб пластины при одно- и двустороннем взаимодействии с жестким штампом, осесимметричная задача для пластины, изнашивающейся при вращении круглого штампа, неосесимметричный контакт круглой пластины с круглым эксцентрично расположенным штампом (во всех задачах предполагалось, что пластина лежит на упругом вин-клеровом основании), осесимметричная задача для цилиндрической оболочки, взаимодействующей с жесткой втулкой - одно- и двусторонний контакт. Исследована динамика износа: изменение скорости изнашивания, размеров области контакта, контактных напряжений в зависимости от времени.

Предложенная в диссертации методика решения сложных статических и динамических контактных задач, а также полученные результаты могут быть использованы в проектных и конструкторских организациях для инженерных расчетов.

Результаты первой главы переданы для дальнейшего использования в Казанский авиационный институт. Методика и результаты решения контактных задач теории пластин.и оболочек при наличии износа переданы в ЦПКТБ "Фотон". Получены соответствующие справки о внедрении.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецов, Сергей Аркадьевич, 1983 год

1. Абрамян Б.Л. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. - Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 4, с. 1.I-I97.

2. Александров В.М. Некоторые контактные задачи для балок, пластинок и оболочек. Инж. журнал, 1965, т.5, вып. 4, с. 782-785.

3. Александров В.М., Галин Л.А., Пириев Н.Л. Плоская контактная задача при наличии износа для упругого слоя большой толщины. -Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 4, с. 60-67.

4. Александров В.М., Коваленко Е.В. Осесимметричная контактная задача для линейно-деформируемого основания общего типа при наличии износа. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 5, с. 58-66.

5. Александров В.М., Коваленко Е.В. Плоские контактные задачи теории упругости для неклассических областей при наличии износа. "Ж. прикл. мёх. и техн. физ.'\ 1980, № 3, с. 163-172.

6. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. М.: Наука, 1983, 488 с.

7. Антуфьев Б.А., Шклярчук Ф.Н. К контактной задаче для сферической оболочки с жестким включением произвольной формы. Тр. МАИ, 1976, вып. 362, с. 59-62.

8. Артюхин Ю.П. 0 решении одномерных и осесимметричных контактных задач теории трансверсально-изотропных пластин и оболочек.-В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела: Тез. докл. Всес. научн. конф. Ростовск. ун-т, 1977, ч. 2, с. 63-64.

9. Артюхин Ю.П. Контактные задачи для круглых пластин и сферических оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1979, вып. 14, с. 123-139.

10. Артюхин Ю.П. Механика пластин и оболочек при контактных воздействиях. Докт. дисс., Казань, Казанск. ун-т, 1979, 305 с.

11. Артюхин Ю.П. Одномерные контактные задачи теории оболочек.-Изв. АН СССР, МТТ, 1981, № 3, с. 55-65.

12. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Определение напряжений в пологой сферической оболочке при действии жесткого тела. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: Изд-во Ка-занск. ун-та, 1975, вып. II, с. 159-166.

13. Артюхин Ю.П., Карасев С.Н. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач. В кн.: Теория оболочек с учетом поперечного сдвига., Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977, с. 132-153.

14. Артюхин Ю.П., Кузнецов С.А. Решение динамическом контактной задачи для бесконечной пластины. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1980, вып. 15, с. 193-197.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований, т. П. Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970, 327 с.

16. Белкин А.Е. Контактная задача для торообразной оболочки. ИВУЗ, Машиностроение, 1977, If 4, с. 9-13.

17. Биргер И.А. Упругий контакт стержней. Расчеты на прочность: Сб. статей, М.: Машиностроение, 1969, № 14, с. 127-136.

18. Биргер И.А. Контактные задачи теории стержней, пластинок и оболочек. Тр. IX Всес. конф. по теории оболочек, Л.: Судостроение, 1975, с. 23-25.

19. Блох М.В. Одномерный односторонний контакт стержней, пластин и оболочек. Тр. IX Всес. конф. по теории оболочек, Л.: Судостроение, 1975, с. 25-28.

20. Блох М.В. К выбору модели в задачах о контакте тонкостенных тел. Прикл. механика, т. 13, 1977, вып. 5, с. 34-42.

21. Блох М.В., Цукров С.Я. 0 влиянии изменения толщины стенки на осесимметричный контакт тонких цилиндрических оболочек. Прикл. механика, т. 10, 1974, вып. 4, с. 31-37.

22. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций, т. I. М.: Иностранная литература, 1949, 220 с.

23. Вольмир: А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972, 432 с.

24. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.'М.: Наука, 1974, 455 с.

25. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука,1979, 319 с.

26. Галин Л.А. 0 давлении твердого тела на пластинку. ПММ, т. II, 1948, № 3, с. 345-348.

27. Галин Л.А. Некоторые контактные задачи с учетом трения и износа. Тез. докл. Всес. научн. конф. по теории трения, износа и смазки. Ч. 3, Ташкент, 1975, с. 12.

28. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости при наличии износа. ПММ, т. 40, 1976, вып. 6, с. 981-986.

29. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоуп-ругости. М.: Наука, 1980, 304 с.

30. Галин Л.А., Горячева И.Г. Осесимметричная контактная задача теории упругости при наличии износа. ПММ, т. 41, 1977, вып. 5, с. 807-812.

31. Горячева И.Г. Контактная задача при наличии износа для кольца, вложенного в цилиндр. ГОШ, т. 44, 1980, № 2, с. 363-367.

32. Горячева И.Г. Об одном методе решения контактной задачи теории упругости при наличии износа. В кн.: Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: Изд-во Днепропетровск, ун-та, 1979, с. 79-83.

33. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. К расчету цилиндрических оболочек, загруженных по линиям. ДАН СССР, 1965, т. 163, № I, с. 43-45.

34. Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Равновесие цилиндрических•оболочек, соединенных по образующим. Изв. АН СССР, МТТ, 1968, № 5, с. 166-174.

35. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. О передаче усилий от ребер жесткости к цилиндрической оболочке. Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды: Сб. статей, М.: Наука, 1969, с. I77-I8I.

36. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. Равновесие цилиндрических оболочек, загруженных по линиям. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей, Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1970, вып. 6-7, с. 304-312.

37. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. Контактная задача для полубесконечной цилиндрической оболочки. ПММ, т. 35, 1971, вып. 5, с. 831-839.

38. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. Передача усилий от стрингера переменного сечения к пластине. Проблемы прочности: Сб. статей, 1971, № 9, с. 71-74.

39. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. К решению контактной задачи для тонкой цилиндрической оболочки. В кн.: Теория оболочек и пластин. Тр. УШ Всес. конф. по теории оболочек. М.: Наука, 1973, с. 37-44.

40. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. 0 решении интегральных уравнений контактных задач. В сб. Избранные проблемы прикладной механики. М., 1974, с. 271-281.

41. Грйголюк Э.И., Толкачев В.М. Цилиндрический изгиб пластины жесткими штампами. ПММ, т. 39, 1975, вып. 5, с. 876-883.

42. Детинко Ф.М., Фастовский В.М. Посадка короткой втулки на цилиндрическую оболочку. Вестн. машиностроения, 1967, № 7, с. 42-45.

43. Детинко Ф.М., Фастовский В.М. Контактная задача о посадке двух цилиндрических оболочек различной длины. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № 3, с. 118—121.

44. Детинко Ф.М., Фастовский В.М. О посадке бандажа на цилиндрическую оболочку. Прикл. механика, т. II, 1975, вып. 2, с. 124-126.

45. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z -преобразования. М.: Наука, 1971, 288 с.

46. Дмитриева Л.М. Исследование колебаний пластин и оболочек при локальных динамических воздействиях. Канд. дисс. Казань, 1979, 154 с.

47. Жигалко Ю.П., Дмитриева Л.М. Динамика ребристых пластин и оболочек. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань; Изд-во Казанск. ун-та, 1978, вып. 13, с. 3-30.

48. Иосилевич Г.Б. Упругий контакт пластин. Тр. Уфимского авиац. ин-та, 1971, вып. 31, с. 84-88.

49. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971, 576 с.

50. Карасев С.Н. Некоторые контактные задачи теории тонких трансверсально изотропных пластин и оболочек. Канд. дисс. Казань, 1976, Казанск. ун-т, 150 с.

51. Карасев С.Н. Контактная задача для круглой пластинки, лежащей на упругом основании. ПММ, т.43, 1979, вып. 2, с. 330-334.

52. Карасев С.Н., Артюхин Ю.П. Контактное взаимодействие пластин с жесткими телами. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975, вып. II, с.148-159.

53. Карасев С.Н., Артюхин Ю.П. Влияние поперечного сдвига ии обжатия на распределение контактных напряжений. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1976, вып. 12, с. 68-76.

54. Карпенко Т.Н. К вопросу о местных деформациях при контакте цилиндрической оболочки с твердым телом. ДАН УССР, 1973, № 6, с. 531-534.

55. Карпенко Т.Н. О распределении контактного давления в цилиндрической оболочке. Хим. машиностроение: Респ. межвед. науч-но-техн. сб., 1974, вып. 19, с. 43-49.

56. Кильчевский Н.А., Костюк Э.Н. О развитии в XX веке теории контактных взаимодействий между твердыми телами. Прикл. механика, т. 2, 1966, вып. 8, с. 32-39.

57. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: ГИФМП, I960, 458с.

58. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971, 288 с.

59. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974, 832 с.

60. Коровчинский М.В. Локальный контакт упругих тел при изнашивании их поверхностей. Контактное взаимодействие твердых тел и расчет сил трения и износа: Сб. статей. М.: Наука, I97I,c. 130-140.

61. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Нестационарное взаимодействие двух цилиндрических коаксиальных оболочек. Проблемы машиностроения: Респ. межвед. сб., Киев: Наук, думка, 1976, вып. 3, с. 50-55.

62. Кохманюк С.С., Янютин Е.Г., Романенко Л.Г. Колебания деформируемых систем при импульсных и подвижных нагрузках. Киев: Наук. думка, 1980, 232 с.

63. Крагельский И.В., Добычин М.Н., Камбалов B.C. Основы расчетов на трение и износ. М.: Машиностроение, 1977, 526 с.

64. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965, 423 с.

65. Кузнецов Н.Д., Карташов Г.Г., Рассказов А.А., Шульга Н.А. Собственные колебания слоистых анизотропных пластин и пологих оболочек. Прикл. механика, т. 17, 1981, № 4, с. 31-37.

66. Кузнецов С.А. Неосесимметричная контактная задача для тонкой пластины, лежащей на упругом основании, при внецентренном поло-, жении штампа. Механика сплошных сред: Тез. докл. Респ. научно-техн. конф., Набережные Челны, 1982, с. 105.

67. Кузнецов С.А. Неосесимметричная контактная задача для тонкой пластины, лежащей на упругом основании, при наличии износа. Казанск. ун-т. Казань, 1983, 12 с. (рукопись деп. в ВИНИТИ 28 сентября 1983 г. № 5381-83 Деп.).

68. Кузнецов С.А. Динамическая контактная задача при одностороннем взаимодействии штампа и пластины. Казанск. ун-т. Казань, 1983, 13 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 28 сентября 1983 г. № 5382-83 Деп.).

69. Кузнецов С.А., Артюхин Ю.П. Контактная задача для тонкой пластины при наличии износа. Нелинейная теория оболочек и пластин: Тез. докл. Всес. симпозиума. Казань, 1980, с. 30-31.

70. Кузнецов С.А., Артюхин Ю.П. Плоская контактная задача для тонкой пластины при наличии износа. Исследования по теории пластин и оболочек: Сб. статей. Казань, Изд-во Казанск. ун-та, 1981, вып. 16, с. 190-196.

71. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.:ГИФМЯ, 1963, 358 с.

72. Лебедева Н.К. Метод начальных параметров в задаче о свободных колебаниях круглых пластин переменной толщины. Строит, мех. и расчет сооруж. 1981, № I, с. 52-56.

73. Лурье Ф.М., Григорьева Г.Н. Влияние инерции вращения и сдвига на собственную частоту изгибных колебаний стержня. Строит, мех. и расчет сооруж. 1983, №.2, с. 51-54.

74. Максименко В.Н., Филыитинский Л.А. Упругое равновесие анизотропных оболочек, подкрепленных ребрами*жесткости. ПММ, т.39, 1975, вып. 5, с. 900-908.

75. Максименко В.Н., Филыитинский JI.A. 0 передаче усилий от стрингера переменной жесткости к армированной оболочке. Прикл. механика, т. 12, 1976, вып. 7, с. 3-10.

76. Максименко В.Н., Фильштинский Л.А. Контакт анизотропной оболочки вращения с жесткими линейными штампами. Изв. АН СССР, МТТ, 1977, № 2, с. 89-94.

77. Моссаковский В.И., Гудрамович B.C. Контактные задачи теории оболочек. Контактная прочность пространственных конструкций: Сб. статей, Киев: Наук, думка, 1976, с. 3-40.

78. Моссаковский В.И., Ковура А.Б. Контактные задачи для упругого полупространства с круговыми и близкими к круговым линиями раздела граничных условий. Динамика и прочность тяж. машин: Сб. статей. Днепропетровск, 1980, № 5, с. 74-84.

79. Пелех Б.Л., Мамчур И.Л. Офдной контактной задаче для трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки конечной длины. -Прикл. механика, т. 9, 1973, вып. 6, с. 41-46.

80. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. 0 давлении твердого тела на транс-версально-изотропную пластинку, связанную с упругим основанием. -Изв. АН Арм. ССР, Механика, т. 23, 1970, вып. 3, с. 36-42.

81. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. 0 контактных задачах для балок и пластинок с низкой сдвиговой жесткостью. Механика полимеров,1970, №4, с. 715-720.

82. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. Об одном классе контактных задач для тонких анизотропных пластинок из армированных пластиков. Механика полимеров, 1972, № 2, с. 346-350.

83. Пелех Б.Л., Сысак Р.Д. К вопросу о горячей посадке бандажа на цилиндрическую оболочку. Физ.-хим. механика материалов,1971, т. 7, № 4, с. 94-96.

84. Пелех Б.JI., Швабюк В.И. Об одном обобщении теории упругих трансверсально-изотропных плит применительно к некоторым контактным задачам. Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. межвед. научно-техн. сб. 1975, вып. 26, с. 40-48.

85. Попов Г.Я. 0 контактных задачах для оболочек и пластин. -Тр. X конф. по теории оболочек и пластин. Кутаиси, 1975, т. I, Тбилиси: Мецниереба, 1975, с. 244-250.

86. Попов Г.Я. Об интегральных уравнениях контактных задач для тонкостенных элементов. ПММ, т. 40, 1976, вып. 4, с. 662-673.

87. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука, 1982,344 с.

88. Попов Г.Я., Ростовцев Н.А. Контактные (смешанные) задачи теории упругости. Тр. П Всес. съезда по теорет. и прикл. механике. М.: Наука, 1966, вып. 3, с. 235-252.

89. Попов Г.Я., Толкачев В.М. Проблема контакта жестких телс тонкостенными элементами. Изв. АН СССР, МТТ, 1980, № 4, с. 192206.

90. Проников А.С. Износ и долговечность станков. М.: Машгиз, 1957, 275 с. *

91. Развитие теории контактных задач в СССР. (Под редакцией Л.А. Галина), М.: Наука, 1976, 494 с.

92. Рвачев В.Л. Исследования ученых Украины в области контактных задач теории упругости. Прикл. механика, т. 3, 1967, вып. 10, с. I09-II6.

93. Розенберг Л.А. 0 давлении твердого тела на пластинку. -Инж. сборник, 1955, т. 21, с. I5I-I55.

94. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Л.: Гостехиздат, 1951, 464 с.

95. Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими накладками, Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1983,260 с.

96. Саркисян С.О. О цилиндрическом изгибе пластинки жесткими штампами. ДАН Арм. ССР, 1977, вып. 64, № 4, с. 216-223.

97. Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наук, думка, 1976, 283 с.

98. Соболев Ю.В., Алешин Н.Н. Решение контактного нагружения цилиндрической оболочки жестким штампом. Сб. тр. МИСИ, 1975, № 119, с. 100-110.

99. Тимошенко С.П. Прикладная теория упругости. Л.: Гостех-издат, 1930, 392 с.

100. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1948, 460 с.

101. Титарев В.Г., Янютин Е.Г. Контактное деформирование двух бесконечно длинных цилиндрических оболочек при нестационарном наг-ружении. Динамика и прочность машин: Респ. межвед. сб. Харьков, 1978, вып. 27, с. 70-76.

102. Толкачев В.М. Действие острых штампов на бесконечно длинную цилиндрическую оболочку. ПММ, т. 35, 1971, вып. 4, с. 734-739.

103. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1967, 402 с.

104. Филиппов А.П., Кохманюк С.С., Янютин Е.Г. Деформирование элементов конструкций под действием ударных и импульсных нагрузок. Киев: Наук, думка, 1978, 184 с.

105. Филоненко-Бородич М.М. Изгиб тонкого стержня по заданной кривой. Тр. Моск. электромех. ин-та инж. ж.-д. трансп., 1949, вып. 58, с. 3-10.

106. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3, М.: Наука, 1970, 656 с.

107. Хлуднев A.M. Задача о контакте двух упругих пластин. -ПММ, т. 47, 1983, № I, с. 140-146.

108. Хрущев М.М., Бабичев М.А. Абразивное изнашивание. М.: Наука, 1970, 251 с.

109. НО. Цеснек Л.С. Механика и микрофизика истирания поверхнос- : тей. М.: Машиностроение, 1979, 264 с.

110. Черепанов Г.П. Давление твердого тела на пластины и мембраны. ПММ, т. 29, I965-, № 2, с. 282-290.

111. Шендеров Е.Л. Импедансы осесимметричных колебаний сферической оболочки с учетом инерции вращения и сдвига. Акуст. ж., т. 27, 1981, № 2, с. 300-306.

112. Шерман Д.И. Основные плоские и контактные (смешанные) задачи статической теории упругости. В сб. : Механика в СССР за 30 лет. М.-Л.: Гостехиздат, 1950, с. 192-225.

113. Шерман Д.И. Метод интегральных уравнений в плоских и пространственных задачах теории упругости. Тр. I Всес. съезда по теорет. и прикл. механике. М.-Л.: АН СССР, 1962, с. 405-467.

114. Шклярчук Ф.Н., Антуфьев Б.А. Деформация тонкой упругой оболочки, нагруженной через жесткую накладку. ИВУЗ, авиац. техника, 1974, № 4, с. II5-I20.

115. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостехиздат, 1949, 270 с.

116. Илиев Хр. Алгоритьм за числен анализ на нестационарната равнинна контактна задача. Годишн. висш. учеб. завед. Техн. мех. 1978 (1979), 13, №2, с. 177-183.

117. Adams G.G. Analysis of the flexible disk-head interface. Trans. ASME. J.bubric. Technol. 1980, v.102, H 1, p.86-90.

118. Ash J. Marshall, Jones Roger L. Optimal numerical differentiation using three function evaluations. Math. Comput. 1981, v. 37, И 155, p.159-167.

119. Brandes K. Die Lagerung des Kreissylinderrohres auf einem starren binienlager. Beitrag zur practisehen Berechnung der Kontaktkrafte. Stahlbau, 1971, И 10.

120. Cost T.L. Approximate baplace Transform Inversionsin Viscoelastic Stress Analysis. AIAA Journal, 1964, v. 2, N 12, p. 2157-2166.

121. Essenburg E. On a class of nonlinear axisymmetric plate problems. Trans. ASME. J. Appl. Mech. Ser. E, I960,v.27, И 4, p.677-680.

122. Essenburg F. On surface constraints in plate problems. Trans. A SI-IE, J.Appl. Mech. Ser. E, 1962, v. 29, IT 2, p. 340-344.

123. Essenburg E., Gulati S.T. On the contact of two axi-symmetric plate. Trans. ASME. J.Appl. Mech. Ser, E, 1966, v.33, N 2, p.91-97.

124. Girkmann K, EormSnderung eines kreisf'drmigen auf eben Unterlage aufruhenden Bah&lterbodens durch Elussigkeitdruck. Stahlbau, 1931, Bd.4, H.18.

125. Hoffman E. Uber ein nichtlineares Problem der Platten-static, ZAMM, 1938, Bd. 18, H.4.

126. Krupka V. An analysis for Lug or Saddle-Supported Cylindrical Pressure Vessels. Eirst International Conference on Pressure Vessel Technology, Delft, The Eetherlands, 1969.

127. Krupka V. Optimum Design of shells Loaded by concentrated Eorses. Theory of thin shells. IUTAM Symposium, Copenhagen, 1967, Berlin, Springer-Verlag, 1969.

128. Sathyamoorthy M., Chia C.Y. Effect of transverse shear and rotatory inertia on large amplitude vibration of anisotropic skew plates. Part 2. numerical results. Trans.- ASME. J.Appl. Mech. Ser. E, 1980, v.47, N 1, p.133-138.