Квантово-статистические модели в теории структурных фазовых переходов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Аксенов, Виктор Лазаревич

• Аксенов, Виктор Лазаревич
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Аксенов, Виктор Лазаревич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. МЕТОД САМОСОГЛАСОВАННЫХ ФОНОНОВ В ТЕОРИИ

СТРУКТУРНЫХ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ.

§ I. Общая теория динамики решетки при структурном фазовом переходе

§ 2. Динамический и термодинамический критерий структурного фазового перехода.

§ 3. Метод самосогласованных фононов.

§ 4. Свободная энергия в методе самосогласованных фононов.

Глава П. МОДЕЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ТИПА

СМЕЩЕНИЯ.

§ 5. Микроскопическая модель структурного перехода

§ 6. Приближенные схемы расчета в метода самосогласованных фононов.

§ 7. Флуктуационные эффекты в системах типа смещения

Глава Ш. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ СТРУКТУРНОГО ФАЗОВОГО

ПЕРЕХОДА.

§ 8. Формулировка модели.

§ 9. Фазовый переход в обобщенной модели.

§ 10. Фононный спектр систем типа порядок-беспорядок.

§ II. Квантовые эффекты

Глава ЗУ. ДИНАМИКА МОДЕЛЕЙ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ТИПА

ПОРЯДОК-БЕСПОРЯДОК.

§ 12. Метод двухвременных функций Грина в модели йзинга с поперечным полем.

§ 13. Самосогласованное описание модели Изинга с поперечным полем.

§ 14. Модель связанных псевдоспин-фононных систем . П

§ 15. Фазовый переход в модели связанных псевдоспин-фононных систем.

Глава У. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА РЕШЕТКИ СИЛЬНОАНИЗОТРОПНЫХ

СИСТЕМ.

§ 16. Фононы в системе с неоднородным параметром порядка.

§ 17. Нелинейная динамика одномерной модели.

§ 18. Акустические аномалии в квазиодномерных сегнето-электриках.

18.1. Общие выражения для изменения скорости и коэффициента затухания ультразвука в квазиодномерном сегнетоэлектрике

18.2. Акустические аномалии при фазовом переходе

Глава 71. СТРУКТУРНЫЙ ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ

СИСТЕМАХ .'.

§ 19. Влияние дефектов на структурный фазовый переход. Приближение виртуального кристалла

19.1. Модель. Типы дефектов.

19.2. Концентрационная зависимость температуры перехода.

§ 20. Влияние дефектов на структурный фазовый переход. Приближение когерентного потенциала

20.1. Самосогласованное вычисление функции Грина

20.2. Влияние дефектов на мягкую моду.

§ 21. Твердые растворы сегнетоэлектриков.

§ 22. Примеси в модели связанных псевдоспинфононных систем

Глава УП. СТРУКТУРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ.

§ 23. Квазилокальные структурные возбуждения в сверхпроводнике

23.1. Модель.

23.2. Самосогласованное вычисление электронной функции Грина.

23.3. Основные уравнения для сверхпроводника

§ 24. Связь сверхпроводимости и структурной неустойчивости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантово-статистические модели в теории структурных фазовых переходов»

В последнее время в физике фазовых переходов все большее внимание привлекает обширный класс систем, в которых происходят структурные фазовые переходы - фазовые переходы в кристаллах при изменении их кристаллографической симметрия/^. Интерес к структурным фазовым переходам обусловлен несколькими причинами. Во-первых, они расширяют наши представления о фазовых переходах. Обладая многими универсальными свойствами, такими же как у магнитных переходов, на изучении которых основывалось развитие теории в последнее десятилетие, структурные переходы являются более сложными по своей природе и приводят к целому ряду новых проблем. Во-вторых, при структурных превращениях вещество находится в экстремальном состоянии неустойчивости, что дает возможность исследовать его в таком состоянии при обычных экспериментальных условиях. И, наконец, интерес к структурным фазовым переходам обусловлен большими возможностями технического использования связанных с ними явлений. Наиболее ярко структурные фазовые переходы проявляются в сегнетоэлектриках, в которых структурный переход сопровождается появлением спонтанной электрической поляризации^2^. Сверхпроводники с высокими температурами перехода в сверхпроводящее состояние в той или иной степени обнаруживают решеточную неустойчивость^/. Магнитные фазовые переходы также часто связаны со структурными переходами в кристалле^4/.

Простейшей теорией структурных фазовых переходов является феноменологическая теория Ландау/1,2,5/, в основе которой лежит симметрийный анализ и разложение свободной энергии в ряд по параметру порядка. Феноменологическая теория содержит некоторое число параметров, определяемых с помощью экспериментальных данных. Эти параметры, а также значение температуры фазового перехода Тс , могут быть получены, в принципе, в микроскопической теории.

Систематическое развитие микроскопической теории началось в шестидесятых годах, когда было осознано, что структурные фазовые переходы могут быть вызваны неустойчивостью кристалла относительно некоторых нормальных мод колебаний в симметричной Хотя существование при структурном фазовом переходе критических колебаний, частота которых стремится к нулю при Т~*ТС следовало уже из феноменологического рассмотрения, предложенного Гинзбургом^/, только после работ Андерсона^/ и Кокрена^/ основное внимание при изучении структурных превращений стало уделяться динамике решетки и развитию микроскопических теорий/^. С точки зрения теории колебаний кристаллических решеток проблема состоит в создании теории, в которой, в отличив от традиционного подхода, ангармоническое взаимодействие должно учитываться уже при построении нулевого приближения.

Представление о мягкой фононной моде, частота которой сильно меняется с температурой и обращается в ноль в точке фазового перехода сыграло фундаментальную роль в физике структурных фазовых переходов. Широкие экспериментальные исследования динамики решетки структурно-неустойчивых кристаллов в последние годц/1»2»5'*^"15/ показали, однако, что довольно общим явлением оказалось "замораживание" мягкой моды (конечное значение ее частоты в точке перехода второго рода) и появление в спектре рассеяния в области фазового перехода узкого центрального пика при нулевой энергии передачи, поведение которого и отражает критическую динамику.

При этом выяснилось, что традиционное разделение структурных фазовых переходов на переходы типа смещения и типа порядок-беспорядок при динамическом рассмотрении является в сильной степени условным - реальные системы часто бывает трудно отнести к какому-либо предельному случаю. Универсальным в большинстве случаев оказывается наличие в области фазового перехода двух характерных временных масштабов: относительно короткого - некритического и значительно большего - критического, Такое поведение, вполне естественное для систем типа порядок-беспорядок, заранее трудно предположить для систем типа смещения. В связи с этим возникает проблема единого описания двух типов движений - "быстрого", связанного с малыми колебаниями частиц относительно их квазиравновесных положений, и "медленного", связанного со статистическим разупорядочением последних.

Наличие двух временных масштабов в динамике при структурном фазовом переходе обусловлено "внутренними" механизмами, вызывающими критические флуктуации в идеальных (бездефектных) системах. В реальных же кристаллах всегда тлеются дефекты, которые оказывают сильное влияние на критическое поведение и в большинстве случаев определяют наблюдаемые в эксперименте изменения динамических характеристик фазовых переходов. Поэтому актуальной является проблема изучения влияния дефектов на структурный фазовый переход. Для приложений важное значение имеет также разработка теории структурно-неустойчивых твердых растворов.

На современном этапе создание последовательной микроскопической теории, которая позволила бы объяснить и описать наблюдаемые в эксперименте динамические явления, такие как поведение мягкой моды и появление центрального пика, сталкивается с трудностями как технического, так и принципиального характера^» В то же время микроскопический уровень современных экспериментальных исследований требует развития соответствующих теоретических представлений. Поэтому в последние годы в физике структурных фазовых переходов активно развивалось отдельное направление теоретических исследований - модельный подход в динамической теории решетки структурно-неустойчивых кристаллов.

Этот подход сочетает в себе относительную простоту и физическую ясность феноменологической теории с возможностями микроскопического описания фазового перехода, изучения критических и нелинейных эффектов при структурном переходе в конкретной системе. Модельный подход является эффективным и при интерпретации экспериментальных данных по динамике критической моды, так как он позволяет описывать их с помощью небольшого числа эффективных силовых постоянных модели. В целом, динамические модели играют такую же роль в изучении структурных фазовых переходов, как модели Изинга и Гейзенберга в теории магнитных фазовых переходов.

В настоящей диссертации проведена разработка ряда кванто-во-статистических моделей структурных фазовых переходов, а также методов их изучения, и исследованы указанные выше проблемы динамики решетки структурно-неустойчивых кристаллов. Использование развитых модельных представлений при обсуждении результатов исследований структурных фазовых переходов методом рассеяния нейтронов и вопросы теории рассеяния нейтронов при структурных фазовых переходах рассмотрены в нашей моногра

Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. В начале каждой главы кратко дается постановка задачи и изложение полученных результатов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Аксенов, Виктор Лазаревич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Обсудим кратко основные результаты работы.

Глава I посвящена разработке общих вопросов динамической теории решетки при структурном фазовом переходе. Дано обобщение динамической теории сильноангармонических кристаллов на случай структурных фазовых переходов. Эта общая теория позволяет, в частности, строго доказать эквивалентность динамического и термодинамического критериев структурного перехода, что, в-свою очередь, устанавливает в самом общем виде соответствие между микроскопическим и феноменологическим описанием структурных превращений в кристаллах. Ранее эквивалентность двух критериев рассматривалась для частных моделей/^'55/.

Метод самосогласованных фононов, развитый в § 3 на основе метода двухвременных функций Грина, позволяет проводить вычисления как частот фононов, так и свободной энергии для неустойчивых в гармоническом приближении кристаллов. В первом порядке теории, который обычно используется при расчетах^®/, в результате выборочного учета ангармонического взаимодействия вводятся перенормировзнные, самосогласованные, фононы. Во втором порядке рассматриваются процессы взаимодействия этих самосогласованных фононов. В § 4 рассмотрена эквивалентная формулировка приближения самосогласованных фононов первого порядка, основанная на вариационном принципе Боголюбова для свободной энергии. В общем виде показано, что уже в этом приближении в теории учитываются флуктуации параметра порядка. Однако, в отличие от обычной теории возмущений^9/ это не приводит к появлению расходящихся членов в разложении свободной энергии. Учет флуктуаций позволяет определить и область применимости теории.

В главе П метод самосогласованных фононов используется для исследования модели структурного фазового перехода типа смещения. Сравнение в § 7 известных приближений метода самосогласованных фононов с предложенным в § б упрощенным приближением самосогласованных фононов второго порядка показывает, что это приближение является наиболее последовательным в развитой теории. Показано также, что при увеличении относительной константы связи /„ область гистерезиса уменьшается и при 1 можно ограничиться при расчетах приближением первого порядка. Проведенный анализ является более полным, чем предыдущие рассмотрения этого вопроса/^5*^8*^9/.

В главе Ш предложена обобщенная модель структурного фазового перехода, введение двух параметров порядка в которой позволяет непрерывным образом переходить от слабоангармонического предела смещения к сильноангармоническому пределу порядок-беспорядок. Исследование в § 9 фазового перехода в обобщенной модели показывает, что имеется граничное значение относительной константы связи 0.3, такое что при /0 < с в модели всегда происходит фазовый переход типа порядок-беспорядок изинговского типа). Этот результат получил подтверждение в богруппы лее точных расчетах, выполненных методом ренормализационной^в прямом пространстве для одно- и двумерного случаев/^*^'/'. Предложенный в § 10 подход позволяет количественно изучать фо-нонные степени свободы при £ £0С . Представляет интерес экспериментальное изучение обнаруженных при расчетах изменений фононного спектра в таких системах в области фазового перехода. В § II проведен учет эффектов квантового туннелирования, что расширяет область применимости обобщенной модели на случай квантовых систем. Установлены значения параметров модели, при которых квантовые флуктуации могут подавить фазовый переход.

Б главе 1У проведено исследование динамики моделей систем типа порядок-беспорядок. В § 12 показано, что стандартная в методе двухвременных функций Грина процедура определения параметра порядка в спиновых системах в случае модели Изинга с поперечным полем приводит к физически неверным результатам. В § 13 предложен более последовательный подход, который состоит в определении параметра порядка из условия минимума свободной энергии. При этом спиновые правила сумм используются для контроля точности приближения. С помощью предложенной процедуры дано самосогласованное описание модели Изинга с поперечным полем.

В § 14 предложено обобщение динамической модели связанных псевдоспин-фононных систем/'''9"^/, которое позволяет исследовать ситуации, когда обе моды могут быть неустойчивыми. Предложенный подход, в отличие от предыдущих рассмотрений, позволяет изучать более широкий спектр физических задач с учетом фононных (как классических так и квантовых) флуктуаций. В § 15 показано, что в такого типа моделях из-за неэргодичности псевдоспиновой подсистемы изолированная и изотермическая восприимчивости не совпадают в упорядоченной (низкотемпературной) фазе.

В главе У изучены нелинейные эффекты в динамике сильноанизотропных систем. В § 16 предложено самосогласованное описание фононов в системах типа смещения с неоднородным параметром порядка. Для одномерной модели в § 17 установлено температурное поведение мягкой фононной моды в кластерной области при наличии двух типов возбуждений - фононов и квазисолитонов (частицеподоб-ных возбуждений, связанных с движением стенок кластеров). Полученное поведение мягкой моды согласуется с результатами расчетов методом молекулярной динамики^^^ и подтверждается в недавних экспериментах с сегнетоэлектриками титанатом бария и танталатом калия^108/. В § 18 показано, что сильноразвитые флуктуации параметра порядка в квазиодномерных сегнетоэлектри-ках приводят к существенному изменению критических аномалий для изменения скорости и шглощения ультразвука. Развитая теория объясняет наблюдаемое в экспериментах на дигидрофосфате цезия/**^/ отсутствие подавления критических флуктуаций дально-действующим диполь-дипольным взаимодействием.

В главе У1 изучено влияние на структурный фазовый переход дефектов решетки. В § 19 предложена модель мягкой моды в кристалле с дефектами различных типов и показано, что различие констант взаимодействия в решетке с примесями может приводить к сильно нелинейной зависимости температуры перехода от концентрации. Теория дает хорошее согласие с экспериментальными данными для твердых растворов галогенидов одновалентной ртути лишь при одном подгоночном параметре. В § 20 в приближении когерентного потенциала в методе самосогласованных фононов получено количественное описание поведения затухания в зависимости от типа примесей. Эти результаты, в частности, могут быть использованы для идентификации типа дефектов в кристалле. В § 21 развита теория динамики решетки твердых растворов сегнетоэлектриков и получено удовлетворительное описание концентрационной зависимости характеристик фазового перехода в соединениях 5^7703 и $гх Т^Оз . В § 22 установлено влияние примесей на фазовый переход в модели связанных псевдоспин-фононных систем. Показано, что модель описывает основные качественные закономерности, связанные с сегнетоэлектрическим переходом в дигидрофосфате калия.

В главе УП развитые в предыдущих главах модельные представления применяются для изучения модели сверхпроводника, обладающего локальными структурно-неустойчивыми состояниями. Показано, что наличие таких состояний приводит к дополнительному эффективному притяжению между электронами и соответствующему повышению Тс « Установлено также, что если в системе происходит структурный переход раньше сверхпроводящего, то он подавляет это повышение Тс . Полученные результаты справедливы в приближении слабой и промежуточной связи.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Аксенов, Виктор Лазаревич, 1983 год

1. Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы.- М.: Мир, 1984.

2. Лайнс М., Гласс А. Сегнетоэлектрики и родственные им материалы.- М.: Мир, 1981.

3. Вонсовский С.В., Изюмов Ю.А., Курмаев Э.З. Сверхпроводимость переходных металлов, их сплавов и соединений.- М.: Наука, 1977.

4. Изюмов Ю.А., Найш В.Е., Озеров Р.П. Нейтронография магнетиков.- М.: Атомиздат, 1981.

5. Гинзбург В.Л., Леванюк А.П., Собянин А.А. Рассеяние света вблизи точек фазовых переходов в твердом теле.- УФН, 1980, 130, № 4, с. 615-673.

6. Андерсон П.В. Качественное рассмотрение статистики фазовых переходов в сегнетоэлектриках типа BclTl 0^ в Сб.: Физика диэлектриков. Ред. Г.И.Сканави. М.: Изд-во АН СССР, I960, с. 290-301.

7. Cochran W. Crystal Stability and the Theory of Ferroelectri-city.- Phys. Rev. Lett., 1959, 3, N 9, p. 412-414.

8. Гинзбург В.Л. Теория сегнетоэлектрических явлений. УФН, 1949, 38, № 4, с. 490-525.

9. Вакс В.Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлек-триков.- М.: Наука, 1973.

10. Scott J.F. Soft-mode Spectroscopy: Experimental Studies of Structural Phase Transitions.- Rev. Mod. Phys., 1974, 46, N 1, p. 83-128«

11. Дорнер Б., Комес Р. Фононы и структурные фазовые переходы.-В кн.: Динамические свойства твердых тел и жидкостей. Исследования методом рассеяния нейтронов. М.: Мир, 1980,с. 163-257.

12. Blinc R. Central Peaks Near Ferroelectric Phase Transitions* Ferroelectrics, 1978, 20, N 1/2, p. 121-132.

13. Müller K.A. Instrinsic and Extrinsic Central-Peak Properties near Structural Phase Transitions.- Lect. Notes in Phys., 1979, v. 104, p. 210-250.

14. Structural Phase Transitions I. Eds. K.A.Muller, H.Thomas-Berlin: Springer, 1980.

15. Аксенов В.Л., Плакида Н.М., Стаменкович С. Рассеяние нейтронов сегнетоэлектриками. М.: Энергоатомиздат, 1984.

16. Боголюбов H.H. Избранные труды. Киев.: Наукова Думка, 1970, т. 2.

17. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика.-М.: Наука, 1971.

18. Тябликов С.В. Методы квантовой теории магнетизма.- М.: Наука, 1975.

19. Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах.- М.: ИЛ, 1963.

20. Choquard Ph.F. The Anharmonic Crystal.- New York: W.A.Benjamin Inc., 1967.

21. Werthamer N.R. Theory of Quantum Crystals-«— Am. J. Phys., 1969, 37, N 8, p. 763-782.

22. Плакида H.M. Метод двухвременных функций Грина в теории ангармонических кристаллов. В кн.: Статистическая физика и квантовая теория поля. Ред. Н.Н.Боголюбов. - М.: Наука, 1973,, с. 205-240.

23. Dynamical Properties of Solids. Ed. G.K.Horton and A.A.Maradudin.- Amsterdam: North-Holl.Publ. Сотр., 1974, 1975, vol. 1,2.

24. Plakida N.M., Siklos T. Lattice Dynamics and Stability of Anharmonic Crystals.- Acta Phys. Hung., 1978, 45, N 1,p. 37-74.

25. Silverman B.D. Temperature Dependence of the Frequency Spectrum of a Paraelectric Materials. Phys. Rev., 1964, 135, N 6A, p. 1596-1603.

26. Boccara N., Sarma G. Theorie Microscopique des Transitions

27. S'Accompagnat d'une Modification de la Structure Cristalline Physics, 1965, 1, N 4, p. 219-228.

28. Doniach S. A Variational Approach to the Anharmonic Lattice Problem (with an Application to the Theory of Ferroelectric Transitions)- In: Lattice Dynamics. Ed. R.F.Wallis, Perga-mon, 1965, p. 305-312.

29. Gillis N.S., Lattice Dynamics of Ferroelectricity. In: Dynamical Properties of Solids. Eds. G.K. Horton, A.A.Maradudin. Amsterdam: North-Holl.Publ. Сотр., 1975, v. 2, p. 105-150.

30. Аксенов В.JI., Плакида Н.М. Метод самосогласованного фонон-ного поля в теории структурных фазовых переходов. ТМФ, 1978, 34, № 3, с. 353-363.

31. Aksenov V.L., Plakida N.M. A Method of the Self-consistent Phonon Field in the Theory of Structural Transitions.- Acta Univ. Wrat., 1978, N 436, p. 123-139.

32. Борн M., Хуан Кунь Динамическая теория кристаллических решеток.- М.: ИЛ, 1958.

33. Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзелошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике.- М.: Физ-матгиз, 1962.

34. Ларкин А.И., Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход в одноосных сегкетоэлекгриках.- ЖЭТФ, 1969, 56, № 6, с. 2087-2098.

35. Блинц Р., Жекш Б. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. Динамика решетки. М.: Мир, 1975.

36. Боголюбов Н.Н. (мл.), Бранков Й.Г., Загребнов В.А., Курбатов A.M., Тончев Н.С. Метод аппроксимирующего гамильтониана в статистической физике.- София: Изд-во Болгарской АН, 1981.

37. Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.В. О методе самосогласованного шля при описании фазовых переходов. ЖЭТФ, 1966, 51, № I, с. 361-375.

38. Thomas Н. Structural Phase transitions and soft modes.- In: Structural Phase Transition and Soft Modes. Eds. E.J.Samuel-sen, E.Andersen, J.Feder.- Oslo-Bergen-TromsS: Universitets-forlaget, 1971, p. 15-42.

39. Moore M.A., Williams H.C.W.L. Theory of Hydrogen-bonded ferroelectrics: I, J.Phys.C, 1972, 5, N22, p.3168-3184.

40. Аксенов В.Л., Плакида Н.М. Флуктуационные эффекты в модели сегнетоэлектрика типа смещения.- ТМФ, 1978, 35, № I, с.104--112.

41. Fujiwara Т. Note on the Lattice Dynamical Aspect of Ferroelectric Modes of KDP.-J. Phys. Soc. Jap., 1970, 29, N 5, p. 1282-1294.

42. Шахматов B.C. Динамика решетки кристалла КН2Р0^ в квазигармоническом приближении. ФЭИ-1420, Обнинск, 1983.

43. Вакс В.Г., Ларкин А.И. О фазовых переходах второго рода.-ЖЭТФ, 1965, 49, № 3, с. 975-989.

44. Muller К.Л., Burkard Н. SrTiOg: An intrinsic quantum para-electric below 4K.- Phys. Rev. B, 1979, 19, N 7, p. 3593-3602.

45. HSchli U.T. Experimental Studies on Quantum Ferroelectrics. Ferroelectrics, 1981, 35, N 1/2/3/4, p. 17-30.

46. Соколов А.И. О приближении самосогласованного шля в теории фазовых переходов. ФТТ, 1974, 16, № 3, с. 733-740.

47. Соколов А.И. Теория возмущений в задаче о фазовом переходе в полевой модели сегнетозлектрика. ЖЭТФ, 1975, 68, № 3, с. II37-II44.

48. Плакида Н.М., Аксенов В.Л. Модули упругости и устойчивость ангармонических кристаллов. ФТТ, 1973, 15, № 9, с. 2575-2581.

49. Eisenriegler Е. Comparison of mean-field theories for a model ferroelectric.- Phys. Rev. B, 1974, 9, N 3, p. 1029-1040.

50. Willis N.S. Phase transitions in a simple model ferroelectric. II Comments on the self-consistent phonon approximation.- Phys. Rev. B, 1975, 11, N 1, p. 309-317.

51. Conte R.J. Determination theorique de R'ordre d'un changement de phase displacit a d dimensions.- J. de Phys., 1974, 35, N 1, p. 67-75.

52. StamenkoviS S., Plakida N.M., Aksenov V.L., Siklos T. Unified theory of ferroelectric phase transitions.- Phys.Rev B, 1976,14,N1,p.5080-5087;Ferroelectrics,1976,14,N1,655-659.

53. Аксенов В.Л., Бретер X., Ковальски Я.М. Плакида Н.М., При-езжев В.Б. Фазовый переход смешанного типа в модели сегнетозлектрика.- ФТТ, 1976, 18, № 10, с. 2920-2926.

54. StamenkoviS S., Plakida N.M., Aksenov V.L., Siklos T. Unified Theory of Ferroelectric Phase Transition: Quantum Limit.- Acta Phys. Hung., 1977, 43, N 1, p. 99-103.

55. Аксенов В.JI., Баатар Д., Плакида Н.М., Стаменкович С. Описание структурного фазового перехода в приближении разделения координаты. Сообщения ОИЯИ PI7-I296I, Дубна: ОИЯИ, 1979.

56. StamenkoviS S., Plakida N.M., Aksenov V.L., Siklos Т. Orderdisorder, tunneling and phonons in structural phase transitions.- Ferroelectrics, 1980, 24, N 1, p. 255-264.

57. StamenkoviS S., Plakida N.M., Aksenov V.L., Siklds T. A Model description of ferroelectric phase transitions.- KFKI--1980-115, Budapest: CRIP, 1980.

58. Beck H. On the dynamics of structural phase transitions.-J. Phys. C, 1976, 9, N 1, p. 33-49.

59. Эллиот P., Крамхансл Дж., Лис П. Теория и свойства случайно неупорядоченных кристаллов и связанных с ними физических систем.- В сб.: Теория и свойства неупорядоченных материалов.- М.: Мир, 1977, с. II-248.

60. Жидков Е.П., Макаренко Г.И., Пузынин И.В. Непрерывный аналог метода Ньютона в нелинейных задачах физики. ЭЧАЯ, 1973, 4, № I, с. 127-166.

61. Стасюк И.В. Динамика простой модели сегнетоэлектрического фазового перехода. ИТФ-75-108Р, Киев: ИТФ АН СССР, 1975.

62. Stinchkombe R.B. Ising model in transverse field.- J. Phys. C, 1973, 6, N 15, p. 2459-2524.

63. Стасюк И.В., Левицкий P.P. Об элементарных возбужденияхв сегнетоэлектриках с водородной связью. УФК, 1969, 14, № 7, II00-II08.

64. Konwent H., Weller W. Random phase approximation for the Blinc-de Gennes model for hydrogen-bonded ferroelectrics.-Acta Phys. Polonica, 1972, A41, N 6, p. 717-725.

65. Козицкий Ю.В., Левицкий P.P. О расцеплениях в методе функций Грина для модели де Жена.- ИТФ-76-76Р, Киев: ИТФ АН УССР, 1976.

66. Ramakrisham V., Tanaka Т. Green's function theory of the ferroelectric phase transition in Kiassium dihydrogen phosphate (KDP).- Phys. Rev. B, 1977, 16, N 1, p. 422-426.

67. Aksenov V.L., Konwent H., Schreiber J. Commutator and Antiibommutator Green Functions in the Ising Model with Transverse Field.- Phys. Stat. Sol. (b), 1978, 88, N 1, p. K43-K45.

68. Aksenov V.L., Schreiber J. On the Method of Double-Time Green Functions in the Theory of Spin Systems.- Phys. Lett.1978, 69A, N 1, p. 56-57.

69. Аксенов В.Л., Конвент Г., Шрайбер Ю. Метод двухвременных функций Грина в модели Изинга с поперечным полем.- ТМФ,1979, 38, № 3, с. 388-398.

70. Аксенов В.Л., Шрайбер Ю. Фазовый переход в модели связанных псевдоспин-фононных систем.- Изв. АН СССР, сер. физ., 1979, 43, № 8, с. 1593-1597.

71. Stevens К., Toombs G. Green functions in solid state physics. Proc. Phys. Soc., 1965, 85, N 548, p. 1307-1308.

72. Ramos J.G., Gomes A.A. Remarks on the retarded, advanced and thermodynamic Green's functions.- Nuovo Cim., 1971, ЗА, N 2, p. 441-453.

73. Bloomfield P.E., Nafari N. Commutator and anticommutator Green's functions, zero-frequency poles and long-time correlations.- Phys. Rev., 1972, 5A, N 3, p. 806-813.

74. Рудой Ю.Г. Современное состояние метода двухвременных функций Грина в квантовой теории магнетизма.- В кн: Статистическая физика и квантовая теория поля, ред. Н.Н.Боголюбов, М.: Наука, 1973, стр. 97-164.

75. Suzuki М. Ergodicity, constants of motion, and bounds for susceptibilities.- Physica, 1971, 51, No 2, p. 277-291

76. Elliott R.J., Wood C. The Ising model with a transverse field.- I High temperature expansion.- J. Phys. C, 1971, 4, N 15, p. 2359-2369.

77. Pfeuty P., Elliott R.J. The Ising model with a transverse fiel3-II Ground State properties.-J. Phys. C, 1971, 4, N 15, p. 2370-2385.

78. Левицкий P.P., Стасюк И.В. Приближение самосогласованного поля в модели де Жена. УФК, 19, № 8, с. I33I-I338.

79. Kwok Р.С., Schultz T.D. Correlation functions and Green functions: zero-frequency anomalies.- J. Phys., 1969, ser. 2, v. 2, No 7, p. 1196-1206.

80. Villain J., StamenkoviS S. Atomic Motion in Hudrogen-Bond Ferroelectrics.- Phys. Stat. Sol., 1966, v. 15, No 2,p. 585-596.

81. Kobayashi K. Dynamical theory of the phase transitions in KH2P04 type ferroelectric crystals.- J. Phys. Soc. Jap., 1968, 24, N 3, p. 497-508.

82. Samara G.A. The hydrogen bond in ferroelectricitу and the role of high pressure research.- Ferroelectrics, 1978, 20, N 1, p. 87-96.

83. Nelmes R.J. The role of crystal-structure determination in the study of structural phase transitions.- Ferroelectrics, 1980, 20, N 1, p. 237-245.

84. Nelmes R.J., Meyer G.M., Tibballs J.E., The crystal structure of tetragonal KHgPO^ and KDgPO^ as a function of temperature, J. Phys. C, 1982, 15, N 1, p. 59-76.

85. Blinc R., 2ek§ B. Proton-lattice interactions and the soft mode in KH2P04.- J. Phys. C., 15, N 22, p. 4661-4670.

86. Levitsky R.R., Stasjuk I.V., Korinevsky N.A. Dynamics of ferroactive crystals of orthophosophate type.- Ferroelectrics1978, 21, N 1, p. 481-483.

87. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и £ -разложение. М.: Мир, 1975.

88. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

89. Beale P.D., Sarker S., Krumhansl J.A. Renormalization-group study of crossover in structural phase transitions.- Phys. Rev. B, 1981, 24, N 1, p. 266-276.

90. Beale P.D. Critical and crossover behaviour of the two-dimensional Ф4 model on a lattice.- Phys. Rev. B, 1981, 24, N 11, p. 6711-6714.

91. Krumhansl J.A., Schreiffer J.R. Dynamics and statistical mechanics of a one-dimensional model Hamiltonian for structural phase transitions. Phys. Rev. B, 1975, 11, N 9,p. 3535-3545.

92. Aubry S. A unified approach to the interpretation of displac ive and order-disorder systems. I. Thermodybamical aspect. J. Chem. Phys., 1975, 62, N 8, p. 3217-3229; II. Displacive systems, ibid., 1976, 64, N 9, p. 33 92-3400.

93. Varma C.M. Dynamics of anharmonic lattices. Solitons and the central-peak problem in one-dimension. Phys. Rev. B, 1976, v. 14, N 1, p. 244-253.

94. Bruce A.S., Schneider T., Stoll E. Cluster phenomena and the displacive to order-disorder crossover. Phys. Rev. Lett, 1979, v. 43, N 18, p. 1284-1287.

95. Schneider T., Stoll E. Molecular-dynamics studies of distor-tive phase transitions: Evidence for the failure of the soft-phonon picture. Ferroelectrics, 1980, 24, N 1, p.67-74.

96. Currie G.F., Krumhansl G.A., Bishop A.R., Trullinger S.E. Statistical mechanics of one-dimensional solitary-wave-bearing scalar fields: Exact results and ideal-gas phenomenology.- Phys. Rev. B, 1980, 22, No 2, p. 477-496.

97. Bruce A.D. The theory of Structural Phase Transitions: Cluster Walls and Phonons.- In: Solitons and Condensed Matter Physics. Eds. A.R.Bishop, T.Schneider.- Belin-Heidelberg.- N.Y.: Springer-Verlag, 1978, p. 116-134.

98. Aksenov V.L., Didyk A.Yu., Yushankhai V.Yu. Soft Mode and Clusters in a Model (One^Dimensional) for Displacive Phase Transitions.- Sol St. Commun., 1981, 40, N 7, p. 825-828.

99. Аксенов В.JI.t Дидык А.Ю., Юшанхай В.Ю. Вариационный принцип Боголюбова в нелинейной модели фазового перехода смещения. В сб: П Межд. симпозиум по избранным проблемам статистической механики, ОИЯИ Д17-81-758. Дубна: ОШИ, 1981, с. 289-299.

100. Аксенов В.Л., Дидык А.Ю., Юшанхай В.Ю. Динамика одномерной модели фазового перехода смещения. ФНТ, 1982, 8,6, с. 626-634.

101. Аксенов В.Л., Дидык А.Ю., Плакида Н.М. О затухании ультразвука в квазиодномерных сегнетоэлектриках.- Письма в ЖЭТФ, 1983, 38,/И, с. 151 -15 9.

102. Schneider Т., Stoll Е. Molecular-dynamics study of structural-phase transitions. I. One-component displacement models.- Phys.Rev. B, 1976, 13, No 3, p. 1216-1237.

103. Bishop A.R., Domany E., Krumhansl J.A. Quantum corrections to domain walls in a model (one-dimentional) ferroelectrics. Phys. Rev. B, 1976, v. 14, No 7, p. 2966-2971.

104. Makhankov V. Computer experiments in soliton theory.-Сотр. Phys. Commun, 1980, 21, p. 1-49.

105. Theodorakopoulos B. Dynamics of Non-Linear System: The Kink-Phonon Interaction.- Z. Phys. B, 1979, 33, N 2, p. 385-390.

106. Schneider Т., Stoll E. Observation of Claster Waves and Their Lifetime.- Phys. Rev. Lett., 1975, 35, N 6, p. 296-299.

107. Bishop A.R., Krumhansl I.A. Mean field and exact results for structural Phase transitions in one-dimentional and very anisotropic two-dimentional and three-dimentional system.-Phys. Rev. B, 1975, 12, No 2, p. 2824-2831.

108. MCLller К.A., Luspin Y., Servoin J.L., Gervais F. Displac-ive-order-disorder crossover at the ferroelectric-paraelec-tric- phase transitions of BaTiOg and LiTaOg.- J. Phys. Lett., 1982, 43, p. L537-L542.

109. Simon P., Rousseau J.J., Buzare J.Y., Dynamic clusters and disorder in RbCaFg near and above TC*195K.~ J. Phys. C,1982, 15, N 28, p. 5741-5750,

110. Youngblood R., Frazer B.C., Eckert J., Shirane G. Neutron Scattering study of the pressure dependence of short-range order in CsD2P04. Phys. Rev. B, 1980, 22, N 1, p. 228-235.

111. Kanda E., Tamaki A., Fujimura T. Critical slowing down in the one-dimensional ferroelectric CsH2P04.- J.Phys. C, 1982, 15, p. 3401-3410.

112. Якушкин E.A., Баранов А.И., Шувалов Л.А. Критические аномалии скорости и поглощения звука в квазиодномерном сегне-тоэлектрике CsH2P04 . Письма в ЖЭТФ, 1981, 33, № I, с. 27-31.

113. Леванюк А.П., Минаева К.А., Струков Б.А. Об аномальном поглощении звука вблизи точек Кюри одноосных сегнетоэлектри-ков. ФТТ, 1968, 10, № 8, с. 2443-2448.

114. Schwabl F. Ultrasonic attenuation at structural transitions above Phys. Rev. B, 1973, 7, N 5, p. 2038-2046.

115. Murata K.K. Exponents for sound attenuation near critical points in solids.- Phys. Rev. B, 1976, 14, N 9, p.4015-4018,

116. Scalapino D.J., Imry Y., Pincus P. Generalized Ginzburg-Landau theory of psaudo-one-dimensional systems.- Phys. Rev., B, 1975, 11, N 5, p. 2042-2048.

117. Baranov A.I., Shuvalov L.A., Yakushkin E.D. Some peculiarities of ferroelectric ordering in CsHgPO^ crystals.-Ferroelectrics., 1983, 42, N 2, p. 311-317.

118. Levanyuk A.P., Sigov A.S., Sobyanin A.A. The influenceof defects in the properties of solids near phase transition points.- Ferroelectrics, 1980, 24, N 1, p. 61-66.

119. Axe J.D., Shirane G. Inelastic neutron scattering study of acoustic phonons in NbgSn.- Phys. Rev. B, 1973, 8,1. N 5, p. 1965-1977.

120. Wildpaner V., Rauch H., Binder K. Classical Heisenberg ferromagnejrs with defects.- J. Phys. Chem. Sol., 1973, 34, N 6, p. 925-936.

121. Axe J.D., Shapiro S.M., Shirane G. Neutron scattering studies of soft mode dynamics.- In: Anharminic Lattices, Structural Transitions and Melting. Ed. T.Riste.-Leiden: Noordhoff, 1974, p. 23-32.

122. Леванюк А.П., Осипов В.В. К теории фотоиндущрованного изменения показателя преломления. ФТТ, 1975, 17, № 12,с. 3595-3602.

123. Levanyuk А.P., Osipov V.V., Sigov A.S. in: Theory of Light Scattering in Condensed Matter. Ed. B.Bendow, J.L.Birman, V.M.Agranovich.- N.Y.: Plenum Press, 1976, p. 517.

124. Леванюк А.П., Осипов В.В., Сигов А.С., Собянин А.А. Изменение структуры дефектов и обусловленные ими аномалии свойств веществ вблизи точек фазовых переходов. ЖЭТФ, 1979, 76, № I, с. 345-368.

125. Levanyuk А.P., Sigov A.S. The structural phase transitions in a real crystal.- J. Phys. Soc. Jpn., 1980, 49, Suppl. B, p. 4-6.

126. Levanyuk A.P., SigoV A.S. The influence of defects on the spectrum of lattice vibrations near structural phase transition points.- J. phys. Soc. Jpn., 1980, 49, Suppl. B,p. 13-15.

127. Sasvari L., Schwable F. Critical dynamics in the presence of relaxing defects.- Z. Phys. B, 1982, 46, N 3,p. 269-283.

128. Halperin B.I., Varma C.M. Defects and the central peak near structural phase transitions.- Phys. Rev. B, 1976, 14, N 9, p. 4030-4044.

129. И8ск К.H., Thomas H. Statics and dynamics of "soft*1 impurities in a crystal.- Z. Phys. В., 1977, 27, N 3,p. 267-272.

130. Аксенов В.JI., Бретер X., Плакида H.M. Динамика решетки сегнетоэлектриков с примесями.- ФТТ, 1978, 20, № 5,с. 1469-1475.

131. Aksenov V.L., Didyk A.Yu. Structural phase transitions in solid solutions.- Ferroelectrics, 1983, 48 , N 1, p. 9-15.

132. Аксенов В.Л., Дидык А.Ю. Мягкая фононная мода в кристаллах с дефектами. Сообщения ОИЯИ PI7-83-549 , Дубна: ОИЯИ, 1983.

133. Schreiber J., Aksenov V.L. On the Concentration Dependence of Coupled Modes in an Impure Pseudospin-Phonon System.-Ferroelectrics, 1980, 29, N 1/2, p. 43-45.

134. Аксенов В.JI., Шрайбер Ю. Изолированная и изотермическая восприимчивости псевдоспин-фононной системы. ТМФ, 1981, 48, № I, с. II2-I20.

135. Зайцев P.O. Фазовые переходы в сегнетоэлектрических твердых растворах. ФТТ, 1973, 15, № 6, с. 1874-1882.

136. Барта Ч., Добржанский Г.Ф., Лимонов М.Ф., Мэлкин Б.З., Марков Ю.Ф., Мительман А.А. Аномальное поведение температуры фазового перехода в смешанных кристаллах H$z(Clxbr^x)z. ФТТ, 1981, 23, № 10, с. 3153-3156.

137. Benoit J.P., Hauret G., Luspin Y., Cao Xuan An, Lefebre J. Neutron and raman scattering studies in HggClg.- Ferro-electrics, 1980, 25, N 1, p. 569-572.

138. Beck R., GStze W., Prelovsek P. A theory for the transition to self-trapping in spin-phonon systems.- Phys. Rev. A,1979, 20, N 3, p. 1140-1151.

139. Plakida N.M., Ivanov V.V. Lattice dynamics of crystals with off-centre-type impurities.- Phys. stat. sol (b),1980, 101, N 2, 627-634.

140. Onodera Y., Toyozawa Y. Persistence and amalgamation types in the electronic structure of mixed crystals.- J. Phys. Soc. Jpn., 1968, 24, N 2, p. 341-355.

141. Yonezawa F., Morigaki K. Coherent potential approximation. Basic concepts and applications.- Suppl., Progr. Theor. Phys., 1973, N 53, p.1-76.

142. Wagner Б., Bfinerle D., Schwabl F., Dorner В., Kraxenber-ger H. Soft modes in semiconducting SrTiOg. I. The zone boundary mode.- Z. Phys. B, 1980, 37, N 2, p. 317-320.

143. Hastings J.В., Shapiro S.M., Frazer B.C. Central-peak enhancement in hydrogen-reduced SrTiOg.- Phys. Rev. Lett., 1978, 40, N 4, p. 237-239.

144. Фазовые переходы в сегнетоэлектриках со структурой перов-скита. Учен. зап. ЛГУ им. П.Стучки. Ред. В.Я.Фрицберг,т. 189, Рига, 1974.

145. Брок А.Я., Тункун З.А. Модель ангармонических осцилляторов для характеристики мягкой моды колебаний сегнетоэлек-трических твердых растворов. Учен. зап. Латв. гос. ун-та 1975, № 235, с. II7-I30.

146. Бакс Б.Г., Зейн Н.Е. Сегнетоэлектрические свойства твердых растворов типа К (Их D4x) РО^ . ФТТ, 1975, 17, № 6, стр. I6I7-I626.

147. Lage E.J.S., Stinchcombe R.B. Pressure and deuteration dependence of static and dynamic properties of KDP-DKDP mixec crystals.- J. Phys. C, 1976, No 24, p. 3681-3690.

148. Velicky В., Kirkpartick S., Ehrenreich H. Single-Site Approximation in the ElectrQnic Theory of Simple Binary Alloys.- Phys. Rev., 1968, 175, No 3, p. 747-766.

149. Pirc R., PrelovSek P. Coupled tunneling-lattice modes in partially deuterated hydrogen-bounded ferroelectrics -Phys. Rev. B, 1977, 15, No 9, p. 4303-4308.

150. Левицкий P.P., Сороков С.И. Динамика частично дейтериро-ванных соединений с водородными связями. I. Модели сегне-тоэлектриков с асимметричной водородной связью в

151. РЬН/1Х Dx РОц . Препринт ИТФ-78-152Р. Киев: ИТФ, 1979.

152. Testardi L. Structural instability and superconductivity in A-15 compounds.- Rev. Mos. Phys., 1975, 47, N 3,p. 637-648.

153. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Ред. В.Л.Гинзбург, Д.А.Киржниц.- М: Наука, 1977.

154. Х57. Phillips J.С. Degradation universality and Frfihlich lattice instability of A-15 superconductors.- Sol. St. Commun., 1976, 18, N 7, p. 831-834.

155. Ngai K.L., Reinecke T.L. Dynamic instabilities in high-Tvsuperconductors.- Phys. Rev. B, 1977, 16, N 3, p. 1077-1085,

156. Vuji&iS G.M., Aksenov V.L., Plakida N.M., StamenkoviC S. On the role of quasilocal excitations in the lattice of high-T superconductors.- Phys. Lett. A, 1979, 73, N 5,6, p. 439-441.

157. Vuji&iS G.M., Aksenov V.L., Plakida B.M., StamenkoviC S. Quasilocal structural excitations in the lattice of high-Tc superconductors.- J. Phys. C, 1981, 14, N 14, p. 2377-2386.

158. Yamada Y. Lattice instabilities in coupled pseudospin-phonon systems.- Ferroelectrics, 1977, 16, N 1, p. 49-58.

159. Cochrane R.W., Harris R., StrSm-Olsen I.O., Zuckermann M.I Structural manifestations in amorphoue alloye: resistance minima.- Phys. Rev. Lett., 1975, 35, N 10, p. 676-679.

160. Вуйчич Г., Петру 3., Планида Н.М. К выводу уравнений сверхпроводимости в электрон-ионной модели металла. -ТМФ, 1981, 46, to I, с. 91-98.

161. Боголюбов Н.Н., Толмачев В.В., Ширков Д.В. Новый метод в теории сверхпроводимости.- М.: йзд-во АН СССР, 1938.

162. McMillan W.L. Transition temperature of strong-coupled superconductors.- Phys. Rev., 1968, 167, N 2, p. 331-344.

163. Каракозов A.E., Максимов Е.Г., Машков С.А. Влияние частотной зависимости спектральной функции электронно-фононного взаимодействия на термодинамические свойства сверхпроводников.- ЖЭТФ, 1975, 68, № 5, с. I937-I95Q.