Квантовая генерация последовательностей случайных битов на основе флуктуаций вакуума в волоконно-оптической схеме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Иванова Алена Евгеньевна

• Иванова Алена Евгеньевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Иванова Алена Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Генерация случайных чисел и сферы её применения

1.2. Генераторы случайных чисел на основе физических процессов

1.3. Квантовые генераторы случайных чисел

1.3.1. Квантовые генераторы случайных чисел, использующие детекторы одиночных фотонов

1.3.1.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов

1.3.1.1.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи оптического светоделителя

1.3.1.1.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи поляризационного светоделителя

1.3.1.1.3. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи оптического светоделителя и использующие один детектор одиночных фотонов

1.3.1.1.4. Результаты анализа квантовых генераторов случайных чисел, основанных на разделении пути следования фотонов

1.3.1.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на использовании массива из детекторов одиночных фотонов

1.3.1.2.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на регистрации пространственного расположения фотонов

1.3.1.2.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов и использовании массива из детекторов одиночных фотонов

1.3.1.2.3. Результаты анализа квантовых генераторов случайных чисел, основанных на использовании массива детекторов одиночных фотонов

1.3.1.3. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на регистрации времени детектирования фотонов

1.3.1.4. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на явлении квантовой запутанности

1.3.1.5 Квантовые генераторы случайных чисел, использующие детекторы одиночных фотонов с возможностью определения числа фотонов в импульсе

1.3.1.6 Результаты анализа квантовых генераторов случайных чисел, использующих детекторы одиночных фотонов

1.3.2. Квантовые генераторы случайных чисел, использующие классические фотодетекторы

1.3.2.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на лазерных шумах

1.3.2.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на флуктуациях вакуума

1.3.2.3 Результаты анализа квантовых генераторов случайных чисел, использующих классические фотодетекторы

1.4. Выбор направления исследований. Цель и задачи работы

Глава 2. ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ. СИСТЕМА КВАНТОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, ОСНОВАННОЙ НА ФЛУКТУАЦИЯХ ВАКУУМА

2.1. Квантовая генерация случайных чисел, основанная на флуктуациях вакуума

2.2 Физические принципы формирования разностного сигнала

2.3 Влияние асимметрии на схему квантовой генерации случайных чисел на основе флуктуаций вакуума с использованием светоделителя

2.4. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума

2.4.1. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума. Вещественная матрица преобразования вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов

2.4.2. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума. Комплексная матрица преобразования вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов

2.5. Выводы по главе

Глава 3. ПАРАМЕТРЫ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СХЕМЫ КВАНТОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, ОСНОВАННОЙ НА ФЛУКТУАЦИЯХ ВАКУУМА, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Y-РАЗВЕТВИТЕЛЯ

3.1. Среднее число фотонов на выходах разветвителя, разностный ток, его среднее значение, дисперсия и среднеквадратичное отклонение в случае использования симметричного Y-разветвителя

3.2. Использование асимметричного У-разветвителя

3.3. Среднее число фотонов на выходах разветвителя, разностный ток, его среднее значение, дисперсия и среднеквадратичное отклонение в случае использования асимметричного У-разветвителя

3.5. Выводы по главе

Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И ОБРАБОТКА

ПОЛУЧЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

4.1. Экспериментальная установка квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума, с использованием У-разветвителя

4.2 Анализ полученных случайных последовательностей

4.3 Обработка полученных случайных последовательностей

4.4 Тестирование полученных случайных последовательностей

4.5. Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая генерация последовательностей случайных битов на основе флуктуаций вакуума в волоконно-оптической схеме»

Актуальность темы

Физические генераторы недетерминированных случайных чисел используют в качестве источника энтропии хаотическое поведение сложных физических систем. Такие генераторы нашли широкое применение в ряде приложений, в которых детерминированные источники случайных последовательностей, например, генераторы псевдослучайных последовательностей, не могут быть использованы. К таким приложениям относятся криптографические системы, системы аутентификации и др.

Применение источников энтропии, построенных на основе эффектов квантовой оптики, является одним из наиболее перспективных подходов к построению генераторов последовательностей недетерминированных случайных чисел, что обеспечивается фундаментальной вероятностной природой квантовых процессов.

Традиционно квантовая генерация случайных чисел (КГСЧ) осуществляется за счет установки в оптический тракт светоделителя и последующей регистрации однофотонных импульсов детекторами фотонов в двух плечах оптической схемы. Для данных детекторов характерна лимитированная скорость счета в связи с применением схем компенсации послелавинных срабатываний, что ограничивает скорость генерации случайных последовательностей для систем КГСЧ, основанных на счете однофотонных сигналов. Скорость генерации в подобных системах достигает 180 Мбит/с в лабораторных условиях [1], а для применяемых на практике систем — 20 Мбит/с [2], что является недостаточным для многих областей применения. Высокоскоростные устройства квантовой криптографии требуют скорость генерации истинно случайных последовательностей не менее 100 Мбит/с.

Альтернативой устройствам, построенным на основе счета одиночных фотонов, является измерение квантовых флуктуаций вакуума посредством гомодинного детектирования на балансной схеме, что существенно расширяет предельную частоту регистрации сигнала до 2 Гбит/с и более [3].

В настоящее время разработан ряд устройств КГСЧ, основанных на гомодинном детектировании [3-6], однако, существующие подходы используют элементы объемной оптики в схеме, что существенно затрудняет их практическое использование. В связи с этим актуальной является задача разработки методов построения квантовых генераторов случайных битов на основе волоконно-оптической схемы, что обеспечит возможность встраивания данных устройств в прикладных системах квантовой информатики, в том числе на основе интегральной оптики.

Цель работы - разработка метода высокоскоростной генерации недетерминированных случайных последовательностей, основанных на регистрации квантовых флуктуаций вакуума, в волоконно-оптических и интегрально-оптических устройствах.

При выполнении диссертационной работы решались следующие задачи:

1. Построение математической модели для описания волоконного Y -разветвителя с одним входным и двумя выходными портами; сравнение полученной модели с квантовым описанием оптического светоделителя.

2. Проведение анализа статистических параметров разностного тока, получаемого на выходе схемы КГСЧ на флуктуациях вакуума с использованием оптического светоделителя и волоконного Y-разветвителя.

3. Разработка в волоконно-оптическом исполнении квантового генератора случайных чисел, основанного на флуктуациях вакуума.

4. Разработка метода обработки экспериментальных данных, обеспечивающего скорость генерации случайных чисел не менее 500 Мбит/с и

оптимальные статистические параметры полученных при использовании квантового генератора случайных чисел, основанного на флуктуациях вакуума.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые в качестве основного элемента системы КГСЧ, основанной на флуктуациях вакуума, использовался оптический Y-разветвитель для интегральной и волоконной оптики, в отличие от разработанных ранее систем, в которых ключевым элементом являлся светоделитель с двумя входными портами, один из которых вакуумный. При помощи КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума и использующего Y-разветвитель, в данной работе были впервые получены последовательности случайных чисел. Использование волоконного разветвителя обеспечивает возможность интеграции с решениями на основе волоконной оптики, а также позволяет добиться компактности исполнения конечного устройства при сохранении высокой скорости генерации случайных последовательностей. Для преобразования при помощи программной обработки полученных случайных последовательностей в набор битов, были проанализированы результаты применения четырех различных методов обработки.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

Разработанные методы и подходы позволяют создать высокоскоростной КГСЧ, основанный на флуктуациях вакуума, применимый в качестве источника энтропии в системе квантовой криптографии. Для данных систем необходимыми являются доверенный источник энтропии, скорость генерации истинно случайных последовательностей не менее 100 Мбит/с, а также возможность интеграции с системами, основанными на волоконной или интегральной оптике.

Защищаемые положения:

•Математическая модель с использованием матрицы преобразования сигналов размерностью 3х3 позволяет описать генератор случайных чисел с квантовым источником энтропии, построенный на измерении разностного сигнала на выходах волоконно-оптического Y-разветвителя (светоделителя с одним входным и двумя выходными портами).

•Показано, что среднее значение разностного сигнала для схемы квантовой генерации случайных чисел с использованием волоконно -оптического Y-разветвителя, основанной на флуктуациях вакуума, прямо пропорционально разности значений квантовых эффективностей детекторов, коэффициенту асимметрии и интенсивности лазерного излучения. Дисперсия разностного сигнала прямо пропорциональна интенсивности лазерного излучения.

•Метод обработки битовых последовательностей, заключающийся в отбрасывании старших значащих битов, полученных при помощи схемы квантовой генерации случайных чисел с использованием волоконно -оптического Y-разветвителя, источником энтропии в которой являются квантовые флуктуации вакуума, позволяет снизить значение статистического смещения вероятности получения нулевых и единичных битов, при этом величина смещения снижается при увеличении числа отбрасываемых разрядов.

•Метод квантовой генерации недетерминированных случайных последовательностей, основанный на квантовых флуктуациях вакуума в волоконно-оптической схеме и алгоритме извлечения битовых последовательностей на основе отбрасывания старших значащих битов, позволяет осуществлять формирование случайных чисел со скоростью более 500 Мбит/с при отклонении статистического смещения вероятностей получить нулевой или единичный бит не более 10-3.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы апробировались на 11 Международных и Российских конференциях: "Saint Petersburg OPEN" 1st, 4th

International School and Conference on Optoelectronics, Photonics, Engineering and Nanostructures (Saint Petersburg, 2014, 2017); XLV, XLVI научная и учебно -методическая конференция Университета ИТМО (Санкт-Петербург, 2016, 2017); Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems. (Saint Petersburg, 2014, 2015, 2016); Quantum Informatics and Applications (Saint Petersburg, 2015); IX Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика - 2015» (Санкт-Петербург, 2015); IV Всероссийский конгресс молодых ученых (Санкт-Петербург, 2015); VIII международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики - 2014» (Санкт-Петербург, 2014)

Объектом исследования является система квантовой генерации случайных чисел, основанная на флуктуациях вакуума и использующая Y-разветвитель. Предметом исследования являются особенности процесса генерации и последующей обработки случайных последовательностей, полученных при помощи КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума и использующего Y-разветвитель.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на использовании современных методов научного исследования и сравнении полученных результатов с данными научной литературы.

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 8 статьях, входящих в список ВАК. Полный перечень публикаций по теме работы, состоящий из 14 работ.

Публикации в статьях, входящих в список ВАК:

1) Ivanova, A. E. Fiber quantum random number generator, based on vacuum fluctuations / A. E. Ivanova, S. A. Chivilikhin, G. P. Miroshnichenko, A. V.Gleim //

Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 4 (8). СПБ: Университет ИТМО, 2017. С. 441-446.

2) Ivanova A. E., Chivilikhin S. A., Gleim A. V. Quantum random number generator based on homodyne detection // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2 (8). СПб: Университет ИТМО, 2017. С. 239-242.

3) Ivanova A. E., Chivilikhin S. A., Gleim A. V. The use of beam and fiber splitters in quantum random number generators based on vacuum fluctuations // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 2 (7). СПб: Университет ИТМО, 2016. С. 378-383.

4) Ivanova A.E., Chivilikhin S.A.,Gleim A.V. Using of optical splitters in quantum random number generators, based on fluctuations of vacuum // Journal of Physics: Conference Series, 1 (735). Institute of Physics and IOP Publishing Limited, 2016. С. 012077.1-4.

5) Ivanova A.E., Chivilikhin S. A., Popov I.Yu., Gleim A. V. On the possibility of using optical Y-splitter in quantum random number generation systems based on fluctuations of vacuum // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 1(6). СПб: Университет ИТМО, 2015. C. 95-99.

6) Ivanova A.E., Chivilikhin S.A., Egorov V.I., Gleim A.V. Investigation of device imperfection influence on measurement results in beamsplitter-based quantum random number generation schemes // IOP Journal of Physics: Conference Series, 1 (541). Institute of Physics and IOP Publishing Limited, 2014. С. 012059.1-5.

7) Иванова А. Е., Чивилихин С. А., Мирошниченко Г. П., Егоров В. И., Глейм А. В. Влияние разброса параметров эксперимента на статистические характеристики квантового генератора случайных чисел // Оптический журнал, 8 (81). СПб: Университет ИТМО, 2014. С. 10-13.

Статьи и тезисы, опубликованные в сборниках трудов международных и российских конференций

1) Ivanova A.E. Quantum random number generator based on homodyne detection //Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems.

Conference in memory of Boris Pavlov: Book of Abstracts of the International Conference (Saint Petersburg, November 14 - 15, 2016). - Saint Petersburg: ITMO University, 2016. P.12.

2) Ivanovo A.E. Using of beam splitter and fiber splitter in quantum random number generators, based on fluctuations of vacuum // Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems - Pierre Duclos workshop. Saint Petersburg, September 9 - 11, 2015. Book of abstracts. P. 13

3) Иванова А.Е., Чивилихин С.А., Глейм А.В. Использование волоконного разветвителя в квантовом генераторе случайных чисел, основанном на флуктуациях вакуума // Сборник трудов IX международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика - 2015», С. 658-660

4) Иванова А. Е. Построение математического описания работы волоконного разветвителя в схемах квантовой генерации случайных чисел, основанных на флуктуациях вакуума // Сборник тезисов докладов конгресса молодых ученых. Электронное издание. - СПб: Университет ИТМО, 2015.

5) Глейм А.В., Назаров Ю.В., Егоров В.И., Чистяков В.В, Смирнов С.В., Банник О.И., Кынев С.М., Иванова А.Е., Дубровская В.Д., Тарасов М.Г., Булдаков Н.В., Кузьмина Т.Б., Чивилихин С.А., Анисимов А.А., Рощупкин С.В., Рогачёв К.С., Хоружников С.Э., Козлов С.А., Васильев В.Н. Создание квантовой сети университета ИТМО //Сборник трудов VIII международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики - 2014». Санкт-Петербург, 20-24 октября, 2014. С.3-4.

6) Иванова А. Е., Чивилихин С. А., Егоров В. И., Глейм А. В. Исследование влияния неидеальности элементов схемы квантовой генерации случайных чисел, использующей гомодинное детектирование, на амплитуду колебаний разностного тока //Сборник трудов VIII международной конференции

«Фундаментальные проблемы оптики - 2014». Санкт-Петербург, 20-24 октября ,2014, С.67-69.

7) Ivanova A.E., Chivilikhin S.A., Egorov V.I., Gleim A.V. Investigation of device imperfection influence on measurement results in beamsplitter-based quantum random number generation schemes // Saint-Petersburg OPEN 2014. St. Petersburg, Russia, March 25 - 27, 2014. Book of abstracts. P. 239-240.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 103 наименований. Объем работы составляет 121 страницу машинописного текста, диссертация содержит 36 рисунков и 4 таблицы.

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Генерация случайных чисел и сферы её применения

Для генерации случайных чисел (СЧ) может использоваться численная характеристика значений некоторой зарегистрированной в заданный момент времени случайной величины. Таким образом, СЧ — это числа, порожденные процессом, исход которого непредсказуем и который не может быть надежно воспроизведен впоследствии [7]. Можно только сравнить её статистические свойства со статистическими свойствами идеальных случайных последовательностей. Цифры или биты в случайной последовательности не должны быть связаны между собой, чтобы информация об одном из элементов последовательности не несла информации о других и не могла быть использована в прогнозировании [8].

Необходимость использования генераторов случайных чисел возникает во множестве отраслей [9-16]. В криптографических системах, как классических [9, 17-20], так и квантовых[10-11, 21-23], степень непредсказуемости ключа для шифрования информации зависит от качества генератора случайных чисел (ГСЧ), используемого в данной системе. Случайные числа также используются для осуществления процедуры аутентификации [12, 14, 24-27] - проверки подлинности пользователя при предоставлении ему доступа к каким-либо данным. В различных отраслях науки для моделирования сложных систем разработаны методы, опирающиеся на использование СЧ. Эти методы имеют большое значение для современного численного моделирования (метод Монте -Карло [13,28-30], методы имитационного моделирования [15,31] и т. д.). В лотереях и теории игр[16, 32 -33] для гарантии одинаковой вероятности выигрыша также используется генерация случайных чисел.

1.2. Генераторы случайных чисел на основе физических процессов

На данный момент наиболее распространенными подходами к генерации случайных чисел являются два класса систем: основанные на программном обеспечении [34-41] (алгоритмические или псевдослучайные ГСЧ) и ГСЧ, основанные на физических процессах[3,42-47] (физические или аппаратные ГСЧ). В случаях, когда использование псевдослучайных чисел не является приемлемым (например, при проведении электронных коммерческих операций, шифровании персональных данных, в криптографических или иных системах, где необходим высокий уровень конфиденциальности данных) требуется использование аппаратного ГСЧ, основанного на доверенном источнике энтропии. Аппаратные ГСЧ работают на основе измерения параметров сложного и непредсказуемого физического процесса, который может описываться при помощи уравнений либо классической, либо квантовой физики. На сегодняшний день разработаны ГСЧ на основе различных физических процессов, таких как электрические шумы тока в резисторе[42], радиоактивный распад[43,48], турбулентность атмосферы [44], космическое излучение[45], фотоэлектрический эффект[46], квантовые явления[1,3 -6,47,4960].

Недостатком наиболее характерных генераторов случайных чисел на основе физических процессов, является возникновение в процессе генерации так называемых смещенных последовательностей [61] (в подобных последовательностях определенная комбинация чисел или битов повторяется чаще других). Смещение возникает из-за сложности в разработке и реализации точно сбалансированных физических схем генерации СЧ. Однако для удаления подобного смещения существуют алгоритмы последующей обработки[62-69].

Традиционно, в связи с простотой и доступностью, для создания ГСЧ использовались макроскопические процессы, которые могут быть описаны при помощи уравнений классической физики. К этому подтипу принадлежит один

из простейших и древних ГСЧ — бросание монеты. Последовательности СЧ, полученные при помощи генераторов, основанных на использовании макроскопических процессов, являются детерминированными, однако их предсказание является трудновыполнимой задачей.

1.3. Квантовые генераторы случайных чисел.

В отличие от процессов, которые можно охарактеризовать при помощи уравнений классической физики, для квантовых процессов не используется полностью детерминированное описание движения отдельных частиц, в связи с тем, что данные процессы имеют вероятностную природу[70]. Вероятностная природа квантового случайного процесса позволяет выбрать его в качестве источника энтропии для построения генератора истинно случайных чисел. Подобные системы называются квантовыми генераторами случайных чисел (КГСЧ).

Наибольшее распространение получили три класса систем квантовой генерации случайных чисел:

• КГСЧ, использующие детекторы одиночных фотонов[1,47,49-53] или детекторы одиночных фотонов с возможностью определения числа фотонов в импульсе [54-56]

• КГСЧ, использующие фотодетекторы[3-6,57-60]

Для каждого из вышеупомянутых классов систем квантовой генерации случайных чисел характерны свои особенности, далее они будут рассмотрены более подробно.

1.3.1. Квантовые генераторы случайных чисел, использующие детекторы одиночных фотонов

В данных системах в качестве устройств детектирования используются детекторы одиночных фотонов (ДОФ), что позволяет производить точные измерения однофотонных импульсов для различных классов КГСЧ.

Устройства данного класса можно условно разделить на несколько типов:

• КГСЧ, основанные на пространственном разделении излучения[47, 71]

• КГСЧ, основанные на использовании массива из детекторов одиночных фотонов [49, 72]

• КГСЧ, основанные на времени детектирования фотонов[1, 50-52,73-77]

• КГСЧ, основанные на явлении квантовой запутанности[53,78-80]

• КГСЧ, основанные на определении числа фотонов в импульсе [54-56, 81]

Несмотря на различия в физических принципах, используемых для генерации случайных чисел, для всех типов данных систем необходимо использование детекторов одиночных фотонов в качестве устройств регистрации ослабленного лазерного излучения.

1.3.1.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов

В связи с простотой используемых схем генерации случайных последовательностей, данный подход являлся первым, примененным для КГСЧ. Реализации подобных КГСЧ используют прохождение фотонов через оптический светоделитель [47] или волоконный разветвитель [71], прохождение поляризованных фотонов через поляризационный делитель [47].

1.3.1.1.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи оптического светоделителя

Данные системы основаны на процессе прохождения одиночных фотонов через светоделитель [47]. Работа системы заключается в следующем: лазер (Л) испускает фотон, который после прохождения через оптический светоделитель (СД) идет по одному из двух возможных путей, итоговый сигнал регистрируется на одном из двух детекторов одиночных фотонов (рисунок 1.1).

Рисунок 1.1 — Схема КГСЧ, который основан на разделении пути следования одиночных фотонов при помощи оптического делителя пучка СД с коэффициентом деления 50/50 с использованием двух детекторов [47].

В случае срабатывания детектора одиночных фотонов Д1, в последовательность случайных битов записывается бит «1»; в случае срабатывания детектора одиночных фотонов Д2, записывается бит «0». В случае, когда от источника исходит более одного фотона, и происходит срабатывание на обоих детекторах, запись бита случайной последовательности не производится. Скорость генерации на данных устройствах достигает порядка 1 Мбит/с.

1.3.1.1.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи поляризационного светоделителя

Основным отличием от систем, описываемых в предыдущем разделе, является использование поляризованного излучения при генерации СЧ. КГСЧ данного типа основаны на процессе прохождения одиночных фотонов через поляризационный светоделитель [47]. Процесс генерации случайных последовательностей состоит в следующем: лазер (Л) испускает фотон, который после прохождения через поляризатор (П) приобретает поляризацию 45°, далее он поступает на поляризационный светоделитель (ПСД) и идет по одному из двух возможных путей, итоговый сигнал регистрируется на детекторах одиночных фотонов (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 — Схема КГСЧ, реализуемая при помощи поляризационного делителя пучка ПСД с коэффициентом деления 50/50 в случае, когда падающий свет поляризован на 45° относительно ПСД.

Процесс преобразования сигналов с детекторов Д1 и Д2 в итоговую последовательность случайных битов аналогичен указанному в предыдущем разделе.

1.3.1.1.3. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов при помощи оптического светоделителя и использующие один детектор одиночных фотонов

Для систем данного типа характерно использование одного детектора одиночных фотонов, а не двух, как в системах, описанных в разделах 1.3.1.1.1 -2. Схема системы КГСЧ, использующей задержку по времени на одном из путей, по которым проходят одиночные фотоны [71], приведена на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 — Схема КГСЧ, основанного на пути следования одиночных фотонов и использующая один детектор [71].

Ослабленное до уровня одиночных фотонов излучение исходит от светоизлучающего диода (СИД), излучение от которого поступает в одномодовое волокно. Далее фотон поступает в одно из двух многомодовых волокон, время задержки между ними составляет 60 нс. Время регистрации фотона при детектировании определяет, по какому из двух возможных путей он прошел. Обозначив «0» короткий путь, а длинный - «1», получим итоговую последовательность случайных битов.

В данной схеме используется только один детектор, но подобный подход приводит к потерям в скорости генерации, к тому же вероятности получения во время генерации единиц и нулей не в точности равны из-за различия путей, проходимых фотонами. Скорость генерации составляет примерно 100 Кбит/с

[71].

1.3.1.1.4. Результаты анализа квантовых генераторов случайных чисел, основанных на разделении пути следования фотонов

КГСЧ на основе детектирования одиночных фотонов после разделения путей их следования просты, но обладают существенным недостатком: в случае попадания на светоделитель одновременно нескольких фотонов, процесс генерации происходит некорректно. Эффективный однофотонный источник, имеющий большое значение для схем с разделением пути следования одиночных фотонов, еще не существует, поэтому на практике схемы осуществляются на ослабленных лазерных импульсах. В связи с этим практическая реализация квантовая генерация случайных чисел, основанная на разделении путей следования фотонов, не может быть исполнена корректно.

Также несовершенством систем квантовой генерации случайных чисел, основанных на разделении излучения, является асимметрия схемы: вероятности получения в процессе генерации нулей и единиц не в точности равны из-за различия проходимых фотонами путей, а в схемах, где используются два или более детектора, различными являются также квантовые эффективности детекторов. Также детекторы одиночных фотонов очень чувствительны к флуктуациям напряжения или к изменению температуры окружающей среды. Поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы детекторы обладали именно такой эффективностью, которая могла бы компенсировать различие путей следования фотонов, а также сохраняли эту эффективность постоянной. КГСЧ данного типа должны быть очень точно настроены перед использованием. Существуют также проблемы со стабильностью настройки данных устройств во время длительного использования.

1.3.1.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на использовании массива из детекторов одиночных фотонов

Для того чтобы иметь возможность кодировать более чем один бит за время одного отсчета применяются КГСЧ, основанные, в отличие от устройств, описанных в предыдущем разделе и использующих один или два детектора одиночных фотонов, на использовании пространственного кодирования при помощи массивов из детекторов одиночных фотонов.

1.3.1.2.1. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на регистрации пространственного расположения фотонов

Квантовая генерация случайных чисел, основанная на пространственной регистрации фотонов, была продемонстрирована с использованием схемы детектирования, использующей мультипиксельный массив детекторов одиночных фотонов [49], как показано на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 — Иллюстрация процесса детектирования в схеме КГСЧ, использующей массив однофотонных детекторов [82].

В данной схеме испускаемый лазером фотон может быть зарегистрирован любым детектором одиночных фотонов из массива. В зависимости от того, какой именно из детекторов зарегистрирует фотон, в последовательность случайных битов записываются закодированные координаты (каждой координате соответствует свой код из нескольких битов) сработавшего детектора. Распределение случайных битов зависит в данном случае не только от

пространственного распределения интенсивности света, но и от соотношения характеристик ДОФ, входящих в массив детекторов.

1.3.1.2.2. Квантовые генераторы случайных чисел, основанные на разделении пути следования фотонов и использовании массива из детекторов одиночных фотонов

В описываемой в разделе 1.3.1.2.2 системе КГСЧ на пути фотона от источника до массива детекторов одиночных фотонов не было никаких устройств. В данном разделе описан пример системы, в которой для наилучшего пространственного разделения пути следования фотонов оптический путь фотонов изменяется при помощи дополнительных элементов схемы, такими элементами могут быть разветвители излучения с одним входным и несколькими выходными портами, а также дифракционные решетки.

На рисунке 1.5 представлена схема квантового генератора случайных чисел, использующего отражение фотонов от дифракционной решетки под различными углами с последующей регистрацией угла отклонения [72].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванова Алена Евгеньевна, 2017 год

- - а2

пЬгоМ = пЬгоМ =~ (216)

При этом в случае симметричного светоделителя получено следующее выражение для сигналов на обоих выходах:

Ь1 = Ь2=-^а1 (2.17)

Для описания работы системы необходимо также учесть влияние детекторов. Ток на фотодетекторах, установленных на выходах светоделителя, описывается при помощи следующих выражений

11 = к1Ь++Ь1, (2.18)

12 = к2Ь+Ь2, (2.19)

где и Ь являются токами на первом и втором детекторах, к1, и к2 являются квантовыми эффективностями детекторов.

Оператор разностного тока в данном случае будет выражаться следующим образом:

/^1 = 12-11 = к2Ь+Ь2> - к1Ь+Ь1. (2.20)

Среднее значение оператора разностного тока можно вычислить при помощи выражения, в котором учитываются сигналы на выходах светоделителя (2.7, 2.8)

(Ai) = (Щф^ЩЬ^) (2.21)

Таким образом, среднее значение оператора разностного тока можно выразить следующим образом:

(Ai) = (Щф^ЦЪ-к^Ь^Ь^) (2.22)

Путем математических преобразований получим итоговую формулу для среднего значения оператора разностного тока

(Ai) = a2(k2sin26-k1cos2Q) (2.23)

Значение а2, при помощи которого характеризуется лазерное излучение, связано прямой пропорциональностью с его интенсивностью. Дисперсию разностного тока при этом можно рассчитать при помощи формулы:

D(Ai) = а2(к22 sin2 в + к12 cos2 в) (2.24)

Амплитуда среднеквадратичного отклонения разностного тока рассчитывается как квадратный корень из дисперсии и описывается следующим образом

Si = a^к22 sin2 в + k±2cos2 в, (2.25)

При использовании симметричного светоделителя, в котором 0=п/4, выражения (2.23)-(2.25) приобретают следующий вид:

— fí¡2

(Ai)=^^(k2-kt) (2.26)

2

D(Ai)=^-(k22 + k12) (2.27)

01 = ^1к22 + к±2, (2.28)

При одинаковых квантовых эффективностях детекторов среднее значение разностного тока равно нулю, при этом амплитуда отклонения разностного тока прямо пропорциональна квадратному корню из интенсивности падающего на светоделитель лазерного излучения.

Из уравнения (2.25), обозначив квантовую эффективность детекторов через к1 = к + Ак1, к2 = к + Ак2, а угол светоделителя как в = - + Ав, где Ак1

- отклонение от среднего значения квантовой эффективности первого

детектора, А к2 - отклонение от среднего значения квантовой эффективности

'

второго детектора, А в - отклонение угла светоделителя от -, получим

4

следующее выражение: 2

= ( к + А к2)2 sin2 ('' + А в) + (к + А к^2 cos2 + А в) (2.29)

Путем математических преобразований получим 2

=к2 + к(Ак2 + Ак1)+1(Ак22+Ак12) +

+ cos(А в) sin(А в) (2к(А к2 — А кJ + А к22 — А к12) (2.30)

Видно, что при нулевых отклонениях отношение квадрата амплитуды отклонения разностного тока к интенсивности лазерного излучения равен

квадрату величины квантовой эффективности детекторов: 2

В0 = к2 (231)

В случае, когда используются несимметричный светоделитель и детекторы с различными значениями квантовой эффективности, относительное отклонение разностного тока в зависимости от отклонений параметров детекторов и светоделителя может быть вычислено по формуле:

A(Si) _ 1 (Ak2+Akí Ak22+Ak±2

'Oo 2 I

(Si)0 2 \ k 2k:

+ sin(2Ae)(Ak2^ + AJk22Zpl)) (2.32)

2.4. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума.

В схемах квантовой генерации случайных чисел, основанных на флуктуациях вакуума, при гомодинном детектировании обычно используются полупрозрачные зеркала или же светоделительные кубики. Использование в качестве основного элемента для гомодинного детектирования волоконного или же интегрального У-светоделителя (светоделителя с одном входным портом и двумя выходными), изображенного на рисунке 2.5, позволяет использовать квантовый генератор случайных чисел в системах, основанной на волоконной оптике или интегральных схемах без ущерба для степени случайности генерируемых последовательностей или скорости генерации.

Рисунок 2.5 — Планарный и волоконный У-разветвители

Для проведения анализа возможности применения У-разветвителя в экспериментальном КГСЧ, основанном на флуктуациях вакуума, необходимо провести сравнение математического описания работы светоделителя с двумя входными и двумя выходными портами с математическим описанием Y-разветвителя.

2.4.1. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума. Вещественная матрица преобразования вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов.

В случае оптического светоделителя с двумя входными и двумя выходными портами, конструкция устройства является симметричной с точки

зрения числа портов, что позволяет описать преобразование вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов при помощи унитарной матрицы преобразования размерностью 2х2, представленной в известной формуле (2.2), которая была рассмотрена в разделе 2.3.

В работах, в которых для создания КГСЧ на основе флуктуаций вакуума используются объемные светоделители [ 3-6], для ввода вакуумных состояний предназначен отдельный порт. Вакуумное состояние при этом задается в явном виде как один из компонентов вектора входных сигналов в уравнении (2.2).

Для используемой в данной работе схемы (рисунок 2.6) в качестве делителя излучения выступает Y-разветвитель, в данном случае в наличии нет специального порта для ввода вакуумных состояний.

Рисунок 2.6 — Схема КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума, с использованием Y-разветвителя: Л - лазер, Д1, Д2 - детекторы, АЦП -аналогово-цифровой преобразователь, СО — система обработки сигнала.

Описание, подобное тому, которое применялось для оптического светоделителя, для У-разветвителя с асимметричным числом входных и выходных портов не является возможным (нельзя построить унитарную матрицу преобразования, которая связывала бы вектор выходных сигналов, состоящий из двух элементов, с вектором входных сигналов, состоящим из одного элемента).

Для описания данной несимметричной системы требуется иной подход, предложенный в данной работе. Суть подхода заключается в том, что каждый из портов рассматривается и как входной, и как выходной. Устройство, таким образом, описывается не как трехпортовое, а как шестипортовое. Подобное описание позволяет обеспечить унитарность матрицы преобразования размерностью 3х3, связывающей вектор входных сигналов А, состоящий из трех элементов, с вектором входных сигналов В, также состоящим из трех элементов, получить квантовое описание работы У-разветвителя и впоследствии сравнить его с полученным ранее описанием работы оптического светоделителя.

Рассмотрим У-разветвитель как систему, в которую поступают три входных сигнала, и из которой исходят три сигнала, как показано на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 — Схема работы У-разветвителя: а\, а2, а3 _ сигналы, поступающие в разветвитель по первому, второму и третьему портам соответственно, Ъ\, Ъ2, Ъ3 _ сигналы, исходящие из соответствующих портов разветвителя.

Взаимосвязь между сигналами, поступающими в У-разветвитель и исходящими из него можно описать при помощи следующей вещественной матрицы преобразования вектора входных сигналов А в вектор выходных сигналов В:

2

3

Ьг Ь2 Ьз

!—<1 — 2 X2 р

Л —у

\ Л V1 — Р2 — у2

Где Л — коэффициент пропорциональности, связывающий выходной сигнал на втором и третьем портах с сигналом, поступающим на первый порт, в — коэффициент пропорциональности, связывающий выходной сигнал на первом порту с сигналом, поступающим на второй или третий порт, -у — коэффициент пропорциональности, связывающий входной и выходной сигналы на втором или третьем порту.

Остальные коэффициенты подобраны в соответствии с требованиями унитарности матрицы. Согласно условиям нормировки для описанной выше матрицы должны выполняться следующие соотношения:

В У-разветвителе отсутствует специальный порт для ввода квантовых состояний, но при этом вакуумные состояния поступают в качестве входных сигналов на порты 2 и 3, далее в ходе вычислений данное соображение будет использовано.

Из второго уравнения формулы (2.34) выразим коэффициент пропорциональности в через коэффициент пропорциональности у:

При учете данного выражения упростим два элемента матрицы, выразив их через у:

(2.34)

(2.35)

VI — р2—у2 = 1—у

(2.36)

Из первого уравнения системы (2.34) выразим коэффициент пропорциональности Л через коэффициент пропорциональности у:

Х = ±^2у(1-у)

(2.37)

Необходимо, чтобы X и в имели разные знаки, поэтому определим следующие значения коэффициентов

Л = V2у(1-у), р = -V2у(1-у) (2.38)

При учете данного выражения упростим один из элементов матрицы, выразив его через у:

VI-2Л2 = = =

= 1-2у (2.39)

Таким образом, выразив все коэффициенты матрицы через у, получим следующий вид матрицы взаимодействия вектора входных сигналов А и вектора выходных сигналов В:

'V

м =

( 1-2у Ч2у(1 - у) Ч2у(1 - у) 42У(1-Г) -у 1-у . (2.40)

3 \42у(1-у~) 1-у

у

Рассмотрим частный случай, когда поступающий из первого порта сигнал распределяется только между выходами портов 2 и 3 разветвителя, в данном случае у = 1/2. Тогда взаимосвязь между каждой парой сигналов на входе и на выходе из системы может быть показана при помощи следующего выражения

'Ь1

ь2

-Ь3

(0 1 -72 -т) 72

1 1 1

72 2 2

1 \72 1 2 1 -2)

(2.41)

Если на первый порт разветвителя подавать лазерный сигнал а1, а на порты 2 и 3 — вакуум, то можно получить следующее выражение для сигналов на выходах У-разветвителя:

Таким образом, сигналы, исходящие из второго и третьего портов У-разветвителя описываются следующим выражением:

Видно, что описания сигналов, полученных на выходах светоделителя с четырьмя портами, на один из входов которого подавался лазерный сигнал, а на другой — вакуум (2.17), совпадают с описанием сигналов на выходах второго и третьего портов Y-разветвителя, когда лазерный сигнал поступает только на первый порт, а на остальные — вакуум.

Полученные выражения доказывают возможность использовать оптический разветвитель в экспериментальной установке КГСЧ, основанного на квантовых флуктуациях вакуума, а также использовать для расчета подобных систем формулы, полученные ранее для светоделителя с двумя входными портами и двумя выходными портами.

(2.42)

(2.43)

2.4.2. Использование У-разветвителя в системе квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума. Комплексная матрица преобразования вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов.

В разделе 2.4.1 была показана взаимосвязь между сигналами на входах и выходах разветвителя, которую можно описать при помощи вещественной матрицы преобразования вектора входных сигналов А в вектор выходных сигналов В (2.33). Рассмотрим случай, когда все коэффициенты матрицы являются комплексными числами, тогда уравнение (2.33) преобразуется в выражение:

где Л = Лг + I М — комплексный коэффициент пропорциональности, связывающий выходной сигнал на втором и третьем портах с сигналом, поступающим на первый порт, ( = (г +1 (I — коэффициент пропорциональности, связывающий выходной сигнал на первом порту с сигналом, поступающим на второй или третий порт, у = уг + 1у1 — коэффициент пропорциональности, связывающий входной и выходной сигналы на втором или третьем порту.

Остальные коэффициенты матрицы подобраны в соответствии с требованиями унитарности. Согласно условиям нормировки для описанной выше матрицы должны выполняться следующие соотношения:

(2.44)

-^1-21М2( -Лу + Л^1-1(12-1у12 = 0,

(2.45)

(2 - 2у^1-1(12-1у12 = 0.

В приближении малой мнимой части комплексных коэффициентов X, в, у матрицы, используемой в (???) верны следующие выражение

|Л| = ^А^Гй2 = ~лГ(1+2-£) = лГ(1+ £), (2^)

1Р1=Рг(}+2$2), (2.47)

1У1=Уг(1+2Й. (2.48)

Из второго уравнения системы (2.45) выразим коэффициент пропорциональности в через коэффициент пропорциональности у, используя выражения (2.46)-(2.48)

(вт + \ РО2 = 2(ут + 1 у\)^1 - рт2 (1 + ^ - уг2 (1 +1^)2. (2.49)

Путем перемножения выражения (2.49) на комплексно сопряженное получим:

\Р\4 = 4\у\2 (1 - Рг2 (1 + - уг2 (1 + 2^)2). (2.50)

При помощи математических преобразований данное уравнение приведем к

виду

\Р\=±

N

2Гг(1+^)(1-Гг(1+^)

(2.51)

При учете данного выражения упростим два элемента матрицы, выразив их через у:

(2.52)

Второе уравнение системы (2.45) при этом принимает форму

(вг + 1 в)2 = 2(уг + 1 у1) (1 -уг(г + (2.53)

Отсюда выразим коэффициент в

рг + 1 = ± (^2ут(1 — уг) + 1 (2.54)

Имеет смысл выбрать знак выражения (2.54) таким образом, чтобы при предельном переходе от комплексного случая к вещественному, расположение переменной на комплексной плоскости изменялось бы непрерывно. Поэтому при учете знака переменной в в выражении (2.38) примем

в = -^2уг(1-уг)-\у\Щ^. (2.55)

Таким образом, Рг = —/2уг(1 — уг), что совпадает с выражением для

коэффициента в в (2.38), при этом Р1 = — у1

С учетом полученного значения коэффициента в выразим из первого уравнения системы (2.45) коэффициент пропорциональности Л через коэффициент пропорциональности у:

N

1 —21кг +

(^2уг(1 — уг) + 1у1

1 — уг

2уг

—(кг + 1 к1) (1у1 — 1 + 2уг + ^2) = 0. (2.56)

Путем математических преобразований получим

V1 — 2кг2^2уг(1 — уг) + 1у1

N

1 — уг I--

2кг2 =

2уг

= -(Ат + 1 АО (2ут - 1 + 1 у\)

(2.57)

Домножив на комплексно сопряженное выражение для (2.57), и, с учетом приближения малой мнимой части и знака переменной X в выражении (2.38), получим выражение для вещественной компоненты коэффициента X

Аг = ^гутСТ-ут) , (2.58)

что совпадает с выражением для коэффициента в в (2.38).

Найдем мнимую составляющую коэффициента X из выражения (2.56):

А1 = (2.59)

Таким образом, выразим коэффициент X

(2.60)

При учете данного выражения и приближения малой мнимой части упростим элементы матрицы, выразив их через у:

-V1 - 2\Л\2 = 2ут-1 (2.61)

=1-уг (2.62)

Таким образом, выразив все коэффициенты матрицы через у, получим следующий вид матрицы взаимодействия и вектора входных сигналов А и вектора выходных сигналов В:

В = и А, (2.63)

( 2ут - 1 -V2ут(1 -уг) - 1у1 уг) - ¿у1

и =

V2yт(l-yт) + i -уг-1у1 1-уг

' /2^Т(2уг-1) . у^1—уг

У2Ут(1-Ут) + 1 ¿£(2-1-1) 1-уг -уг-1у1

(2.64)

Рассмотрим частный случай, когда сигнал поступает только на вход а\. Тогда взаимосвязь между сигналами на входе и на выходе из системы может быть показана при помощи следующих выражений:

= = + (2.65)

Отсюда, учитывая малость мнимой части выражения, содержащегося в скобках, и применяя экспоненциальную форму записи, можно выразить

_ . Yi

Ь2 = Ь3= V2уг(1 —уг)е1^г(^г-1)а1 (2.66)

Полученные значения сигналов, за исключением фазового сдвига, совпадают со значениями, полученными ранее в выражении (2.43) для У-разветвителя, матрица взаимодействия сигналов на входах и выходах которого была вещественной и со значениями, полученными ранее в выражении (2.17) для светоделителя, на один порт которого подавалось когерентное состояние, а на другой — вакуумное. Так как фазовая составляющая в данной системе квантовой генерации случайных чисел не играет значительной роли, далее в расчетах используется вещественная матрица преобразования вектора входных сигналов в вектор выходных сигналов.

2.5. Выводы по главе

В главе приведено подробное описание объекта исследования — системы квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума. Также был произведен расчет среднего числа фотонов на выходах оптического светоделителя и расчет среднего значения, дисперсии, среднеквадратического отклонения разностного сигнала в зависимости от таких параметров схемы как угол светоделителя и квантовые эффективности детекторов.

Была предложена схема квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума, с использованием У-разветвителя. Данная схема может быть реализована как в волоконном, так и в интегральном исполнении, что облегчает её применение в системах, работающих на волоконной оптике или же в интегральных схемах.

Для анализа возможности применения У-разветвителя в экспериментальном КГСЧ, основанном на флуктуациях вакуума, в главе было проведено сравнение математического описания работы светоделителя с двумя входными и двумя выходными портами с математическим описанием Y-разветвителя.

Предложенная в работе математическая модель с использованием матрицы преобразования сигналов размерностью 3х3 позволяет описать генератор случайных чисел с квантовым источником энтропии, построенный на измерении разностного сигнала на выходах волоконно-оптического Y-разветвителя.

Несмотря на отсутствие отдельного порта для флуктуаций вакуума, при моделировании У-разветвителя вакуумный вход может быть описан при помощи входных сигналов с портов 2 и 3.

В результате проведенного во второй главе исследования на основе предложенной модели была показана эквивалентность квантового описания работы оптического светоделителя и волоконного Y-разветвителя. Это доказывает справедливость выбранного математического подхода с точки

зрения моделирования и подтверждает возможность экспериментальной реализации устройства КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума и использующего волоконный Y-разветвитель.

Глава 3. ПАРАМЕТРЫ СИГНАЛА НА ВЫХОДЕ СХЕМЫ КВАНТОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ, ОСНОВАННОЙ НА ФЛУКТУАЦИЯХ ВАКУУМА, С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ У-РАЗВЕТВИТЕЛЯ

3.1. Среднее число фотонов на выходах разветвителя, разностный ток, его среднее значение, дисперсия и среднеквадратичное отклонение в случае использования симметричного У-разветвителя

Из выведенного ранее выражения (2.40), описывающего матрицу преобразования вектора входных сигналов А в вектор выходных сигналов В, можно вывести выражения, связывающие операторы рождения частиц на выходах всех трех портов У- разветвителя с операторами рождения частиц на

входах портов У- разветвителя:

= (1- 2У)а+ - V2у(1-у)(а+ + а+) (3.1)

Ь+ = V2у(1-у)а+ - уа+ + (1- у)а+ (3.2)

Ь+ = V2у(1-у)а+ + (1- у)а+ - уа+ (3.3)

Операторы уничтожения частиц на выходах всех трех портов У-разветвителя являются эрмитово сопряженными к выражениям (3.1)-(3.3) и могут быть описаны через операторы уничтожения частиц на входах У-

разветвителя следующим образом:

Ь1 = (1- 2у)а1 - 42у(1-у)(а2 + а3) (3.4)

Ь2 = V2у(l - у)^1 - уа2 + (1- у)а3 (3.5)

Ьз = V2у(1 - у)&1 + (1- у)^2 - уаз (3.6)

При использовании данных выражений были рассчитаны параметры сигнала на выходе схемы квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума, с использованием Y-разветвителя.

Так как на первый порт разветвителя подается когерентное состояние \а)г, на два других — вакуумные состояния |0)2 и |0)3 (индексы обозначают порт, на который подается сигнал), то среднее число фотонов на выходах Y -разветвителя может быть описано выражениями:

й^ = (0\3(012( а^^+^1\а)110)210)3 =

= (0\з(0\2(а\± ((1 - 2у)а+ - ^у(1-у)(а+ + а+))

• ((1 - 2у)а1 - ^Щ^-у)^ + аз)) И^Ю^ (3.7)

= (0|3(0|2( а11Ь+Ь21а)110)210)3 =

= (0|з(0|2(а^ (V2у(1-у)а+ - уа+ + (1- у)а+) •

• (V2у(1-у)а1 - уа2 + (1- у^а)^^ (3.8) йз^ = (0|3(0|2( а^Ь*^^)^)^);; =

= (0|з(0|2(а^ (V2у(1-у)а+ + (1- у)а+ - уа+) •

• (V2у(1-у)а1 + (1- у)а2 - уаз^^^з (3.9)

Путем математических преобразований получим следующие выражения для среднего числа фотонов на каждом из выходов разветвителя:

:^=(1-2у)2а2 (3.10)

п2ош = Щош = 2у(1-у)а2 (3.11)

В случае симметричного У-разветвителя, когда у = - (поступающий из

первого порта сигнал распределяется только между выходами портов 2 и 3 разветвителя), выражения для среднего числа фотонов на выходах Y-разветвителя выглядят следующим образом:

п2ои2 = п2ои2 = п2ои2 = (3.12)

Оператор разностного тока АI можно описать при помощи следующего выражения:

А1 = кгЪ+Ьг - кзЦЬз, (3.13)

где к2, к3- квантовые эффективности детекторов на выходах из второго и третьего портов У-разветвителя.

Так как при экспериментальной реализации схемы невозможно подобрать детекторы с полностью идентичными значениями квантовой эффективности, то необходимо учитывать, что к ^к2.

А! = к2 (^2у(1-у)а+ - уа+ + (1 - у)а+) •

• (^2у(1-у)а1 - у&2 + (1 - у)а^) --к3 2у(1-у)а+ + (1- у)а+ - уа+) •

• 2у(1 - у)а1 + (1- у)а2 - уа3) (3.14)

Если на первый вход подается когерентное состояние 1а) ±, на два других — вакуумные состояния |0)2 и |0)3 (индексы обозначают порт, на который

подается сигнал), то в случае использования детекторов с различной квантовой эффективностью среднее значение оператора разностного тока (А 1) составляет:

(Ai) = <0|з<0|2<al± (к2 (^2у(1-у)д+ - уа+ + (1 - у)а+) •

• {^2у(1 — y)ci1 - у^2 + (1- У)аз) -

-кз (J2у(1-у)а} + (1- у)а+ - уа+) •

• 2у(1-у)а1 + (1- у)а2 - уСз)) HJO^O^ (3.15)

Путем математических преобразований из выражения, указанного выше, было получено среднее значение разностного тока:

(А1) = 2у(1-у)(к2-кз)а2 (3.16)

Величина среднего значения разностного тока, таким образом, прямо пропорциональна разности квантовых эффективностей детекторов одиночных фотонов, а также интенсивности лазерного излучения.

Дисперсия разностного тока D(Ai) может быть описана следующим выражением:

D(Ai) = (Ai2)-(Ai)2 (3.17)

Для расчета (Ai2) также необходимо учитывать, что на первый вход подается когерентное состояние la)±, на два других — вакуумные состояния

10)2 и 10)з:

(At2) = <0|з<0|2< ah (к2 2у(1 - у)а++ - уа+ + (1- у)а+) • • (^2у(1-у)а1 - у&2 + (1 - у)а3) - кз (^2у(1-у)а+ + (1 - у)а++ - уа3+) •

(^2у(1 - у)а1 + (1- у)а2 - уаз)) • (к2 (^2у(1 - у)а+ - уа+ + (1- у)а+) • (^2у(1-у)^1 - у&2 + (1 - у)а3) - кз (^2у(1-у)а+ + (1 - у)а+- - уа3+) ■

■ У2у(1-у)дь + (1- у)а2 - уаз)) И^Ю^ (3.18)

Путем математических преобразований из данного выражения получим:

(А12) = 2у(1 - у)а2(2у(1 - у)(к22 + кз2 - 2к2кз)а2 +

+( к22 + кз2)) (3.19)

Тогда выражение для дисперсии разностного тока опрееляется следующим образом:

й(А1) = 2у(1 - у)а2(к22 + кз2) (3.20)

Дисперсия разностного тока прямо пропорциональна интенсивности лазерного излучения и сумме квадратов квантовых эффективностей детекторов.

Амплитуда среднеквадратичного отклонения разностного тока от среднего значения 8 вычисляется как квадратный корень из дисперсии и описывается следующим выражением:

8 = а^2у(1-у)(к22 + кз2) (3.21)

1

В случае симметричного У-разветвителя, когда у = - (поступающий из

первого порта сигнал распределяется только между выходами портов 2 и 3 разветвителя), выражения для среднего значения разностного тока (3.16), дисперсии (3.20) и амплитуды отклонения разностного тока от среднего значения (3.21) приобретают следующий вид:

(А 1)=±а2(к2-кз) (3.22)

Б(А0=1а2(к22 + кз2) (3.23)

81 = ^а^к22 + кз2 (3.24)

В случае симметричного У-разветвителя полученные выражения для статистических параметров разностного тока в схеме КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума и использующей У-разветвитель, совпадают с аналогичными статистическими параметрами разностного тока для схемы КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума, в которой используется симметричный светоделитель с четырьмя портами.

3.2. Использование асимметричного У-разветвителя

Применяемые на практике волоконные разветвители не обладают полной симметрией, допустимым является отклонение в 5% от указанного в паспорте изделия коэффициента деления. Поэтому необходим учет асимметрии У-разветвителя. Для асимметричного случая взаимодействие вектора входных сигналов А и вектора выходных сигналов В может быть описано при помощи суммы исходной матрицы преобразования сигналов и в симметричном случае, указанной в (2.41), и матрицы и, описывающей оказываемые на систему слабые возмущения.

В = (и + ЩА.

Рассмотрим случай, когда матрица и является вещественной.

V ь2

кЫ'

и

0 1 1 1

72 Л

1 1 1

'И 2 2

1 1 1

'И 2 2,

)

\

'ии и12 и1з" + ( и21 и22 и2з

из1 из2 изз,

)

а1

0-2' аз'

'

(3.25)

(3.26)

Для соблюдения условий унитарности полученной при помощи суммирования матрицы необходимо, в линейном по и^ приближении, выполнение условия:

и+и + и+и = 0

(3.27)

Чтобы данное условие было выполнено, должны быть соблюдены следующие равенства:

-^^12-^22+^32 =0

2

~72

1 1

72и11 2

1 1

72и11 + - 2

72

22

1 .1 1 1 1 1 __ У-72 и12 +2 и22- 2 и32 -~[2 и13 — 2 и23 + 2и33 = 0

(3.28)

Если выразить все элементы через и21, и22 и12, то система уравнений (3.28) примет следующий вид:

и31 = - и21

21

и32 = ^ди12 + и22

изз =-^Щ2+Щ2 и11 = —72и21 + 72и12 + 2и22 и23 = и22 - 72и21

и13 = - и12

(3.29)

На изменения сигнала, получаемого на выходах из портов 2 и 3 разветвителя, вследствие асимметрии влияют компоненты и21 и и31. Из описанных в (3.29) выражений видно, что данные элементы матрицы и одинаковы по модулю, но различны по знаку.

1

3.3. Среднее число фотонов на выходах разветвителя, разностный ток, его среднее значение, дисперсия и среднеквадратичное отклонение в случае использования асимметричного У-разветвителя

При помощи полученного из (3.26) уравнения

выразим операторы рождения частиц на выходах из портов 1, 2 и 3 У-разветвителя через операторы рождения частиц на входах 1, 2 и 3 У-разветвителя следующим образом:

Операторы уничтожения частиц на выходах из портов 1, 2 и 3 У-разветвителя являются комплексно сопряженными выражениям (3.31)-(3.33) и могут быть описаны через операторы уничтожения частиц на входах 1, 2 и 3 У-разветвителя следующим образом:

(

(3.30)

(3.31)

Ъ+ = + Щг) а+ + (-! + 422) а+ + (1 + Щз) а+ (3.32) Ъ+ = (^ + изг) а+ + (1 + 432) а+ + (-! + изз) а+ (3.33)

!

(3.34)

Ъ)2 = (-^ + Щг) а1 + (-1 + ^2 + (1 + Щз) аз (3.35)

Ъз = (-^ + из!) а1 + (! + Щ2) а2 + (-! + изз) аз (3.36)

!

Так как на первый порт У-разветвителя подается когерентное состояние 1а)± а на порты 2 и 3 — вакуумные состояния |0)2 и |0)3, то среднее число фотонов на выходах Y-разветвителя может быть описано выражениями:

Щом = (0|3(0|2(а^ (ица+ + (--^ + 412) а+ + (--^ + Щз) а+) •

• (щ^ + (--^ + Щ2)а2 + (--^ + щ3)а3) И^^О^ (3.37)

= (0|з(0|2( а^ ((-^ + щ!) а+ + (-1 + Щ2) а+ + (1 + Щз) а+) •

• ((1 + щ1)а1 + (-1 + и22)а2 + (1 + и2з)а3) |а)1|0)2|0)3 (3.38) = (0|з(0|2( ((-^ + из1) а+ + (1 + щ2) а+ + (-^ + Щз) а+) •

• (('Ь + из1)а1 + (\ + из2)^2 + (-1 + изз)аз) |а)1|0)2|0)з (3.39)

Путем математических преобразований получим среднее значение частиц на выходах У-разветвителя в виде:

22 и112 а2 (3.40)

(1 + Лщ^ а2 (3.41)

+ ЛщЛ а2 (3.42)

На среднее число частиц на выходах из портов 2 и 3 разветвителя, вследствие влияют коэффициенты асимметрии и21 и из1. Данные элементы матрицы и согласно выражению (3.29) одинаковы по модулю, но различны по знаку, поэтому уравнение (3.42) можно переписать как

Щout = (j- J2u2i) a2 (3.43)

Оператор разностного тока Ai можно представить в следующем виде:

Ai = k2b+b; - кзЬ+Ь;, (3.44)

где k2, k3- квантовые эффективности детекторов на выходах из портов 2 и 3 Y-разветвителя.

Ai = k2 ((-^ + U21) а+ + (-1 + U22) а+ + (^ + Щз) а}) •

• ((-^ + U2l)di + (-1 + U22) а2 + (1 + U23) а3) -

-кз ((-1 + U3I) а+ + + U32) а+ + (-1 + U33) а+) •

• ((^ + U31) ai + (1 + U32) а2 + (-1 + U33) аз) (3.45)

Так как на первый порт разветвителя подается когерентное состояние 1а)г, на два других — вакуумные состояния |0)2 и |0)3 (индексы обозначают порт, на который подается сигнал), то в случае использования детекторов с различной квантовой эффективностью среднее значение разностного тока {At) составляет:

{At) = <0|з<0|2<ah (к2 ((^ + U21) а+ + (-\ + Щ2) а} + Q + Щ3) S+) •

• ((-1 + U21) «i + + U22) Щ + (1 + U23) а3) -

- к3 + и31) а+ + + и32) а+ + (-1 + и33) а+) • ((^ + и31) 011 +(1 + и32) а2 + (-1 + и33) а3)\ 1а)110)210)3 (3.46)

Путем математических преобразований можно получить следующее выражение для среднего значения разностного тока:

(АI) =1(к2- к3)а2 + ^(щк - Щ^а2 (3.47)

Учитывая, что и31 и и21 отличаются лишь знаком, выражение принимает окончательный вид:

(А1) = а2(к2 - к3) (1 + 2ЛЩ1) (3.48)

Величина среднего значения разностного тока, таким образом, прямо пропорциональна разности квантовых эффективностей детекторов одиночных фотонов, коэффициенту асимметрии У-разветвителя, а также интенсивности лазерного излучения.

Дисперсия разностного тока D(Дi) описывается следующим выражением: Б(А1) = (1 (к22 + к32) + V2(к22 - к32)Щ1) а2 (3.49)

Дисперсия разностного тока прямо пропорциональна интенсивности лазерного излучения. Среднеквадратичное отклонение разностного сигнала 81 вычисляется как квадратный корень из дисперсии разностного сигнала и описывается следующим выражением:

81 = (к22 + к32) + V2(к22 - к32)Щ1) (3.50)

Амплитуда отклонения разностного тока прямо пропорциональна квадратному корню из интенсивности лазерного излучения.

Была проведена проверка полученных значений статистических параметров разностного тока для симметричного случая, когда и = 0. В этом случае результаты, полученные для среднего значения разностного тока, дисперсии разностного тока и среднеквадратичного отклонения разностного тока совпадали с рассчитанными ранее в разделе 3.1 выражениями (3.16), (3.20), (3.21) и с рассчитанными в разделе 2.3 выражениями (2.23)-(2.25). Сравнение влияния параметров элементов схемы на параметры сигнала на выходе из системы для случаев светоделителя и У-разветвителя приведено в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Значения среднего числа фотонов на выходах, среднего значения, дисперсии и среднеквадратического отклонения разностного тока для светоделителя и У-разветвителя.

Симметричные светоделитель и У-разветвитель Асимметричный светоделитель Асимметричный Y-разветвитель

n2o22 И n2out a2sin2d и a2cos2d (1 + V2u2i) a2 и Q - V2u2i) a2

(Ai) а2 Y(k2-k1^) a2(k2 sin2 в - k1cos2 в) a2(k2 - k3) Q + 2J2.U2I)

D(Ai) , а2 (к2 + к2) — a2(k22sin2e + k12 cos2 в) a2 (1 (k22 + k32) + J2(k22 - k32)u2i)

Si a Jk22 sin2 в + k12cos2 aj(1(k22 + k32) + V2(k22 - k32)u2i)

3.5. Выводы по главе

В данной главе были определены статистические параметры сигнала на выходе схемы квантовой генерации случайных чисел, основанной на гомодинном детектировании с применением симметричного У-разветвителя, такие как среднее число фотонов на выходах Y-разветвителя, среднее значение разностного тока, дисперсия разностного тока и амплитуда отклонения разностного тока от среднего значения. Найденные соотношения позволяют оценить влияние неидеальности исполнения элементов схемы КГСЧ, использующей вакуумные флуктуации, на результаты измерений.

Для анализа влияния асимметрии У-разветвителя на работу экспериментального КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума, в главе были определены среднее число фотонов на выходах Y-разветвителя, среднее значение разностного тока, дисперсия разностного тока и среднеквадратичное отклонение разностного тока от среднего значения для случая с асимметричным У-разветвителем.

Показано, что среднее значение разностного сигнала для схемы квантовой генерации случайных чисел с использованием волоконно -оптического У-разветвителя, основанной на флуктуациях вакуума, прямо пропорционально разности значений квантовых эффективностей детекторов, коэффициенту асимметрии и интенсивности лазерного излучения. Дисперсия разностного сигнала прямо пропорциональна интенсивности лазерного излучения, среднеквадратичное отклонение разностного тока от среднего значения, которое является одной из наблюдаемых величин в экспериментальной установке, прямо пропорционально квадратному корню из интенсивности лазерного излучения.

Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И ОБРАБОТКА ПОЛУЧЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

4.1. Экспериментальная установка квантовой генерации случайных чисел, основанной на флуктуациях вакуума, с использованием У-разветвителя.

В работе осуществлялась экспериментальная генерация истинно случайных чисел при помощи КГСЧ, основанного на флуктуациях вакуума, с использованием Y-разветвителя. Схема экспериментальной установки приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 — Схема экспериментальной установки: Л - лазер, ОИ -оптический изолятор, А - аттенюатор, Д1, Д2 - детекторы, ЭО - схема электронной обработки, АЦП - аналого-цифровой преобразователь, ПО -

программная обработка.

В качестве источника излучения в схеме использовался лазер (Л) Тегахюп-КЪЬ, работающий на длине волны 1550 нм и способный генерировать излучение мощностью до 80 мВт. После прохождения через оптический изолятор (ОИ) сигнал попадал на аттенюатор (А). После ослабления излучения сигнал поступал на вход волоконного Y-разветвителя с фактическим коэффициентом деления 50,01:49,99. В каждом из плеч волоконного разветвителя сигнал, после прохождения оптического изолятора для нейтрализации отражений от детекторов, поступал на один из детекторов (Д1 или Д2).

Для детектирования излучения использовались два однотипных InGaAs p-i-n фотодиода (fid13z81pz) с квантовой эффективностью 60% на длине волны 1550 нм, чувствительностью S=0.75 А/Вт и полосой частот 1 ГГц. В схеме электронной обработки (ЭО) токи с двух детекторов вычитались (амплитуда разностного тока при этом составляла ~2.4 мкА), и результирующий сигнал поступал на схему усиления, состоящую из усилителя в трансимпедансной конфигурации с сопротивлением обратной связи 100 кОм. Значение итогового разностного сигнала после усиления составило ~240 мВ. Все компоненты балансного детектора и схемы усиления были расположены на специально спроектированной плате. Полоса частот схемы составляла 100 МГц.

Ширина полосы частот АЦП осциллографа (Tektronix dpo70604c), использующегося для оцифровки полученного шума, составляла 6 ГГц. После оцифровки для преобразования истинно-случайного квантового шума в последовательность случайных бит использовались различные алгоритмы программной обработки (ПО). Все вышеперечисленные измерения проводились в лаборатории Квантовой информатики Университета ИТМО. Основные характеристики схемы детектирования разностного сигнала при заданной исходной мощности локального осциллятора приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1. Основные характеристики схемы детектирования при заданной исходной мощности локального осциллятора.

Мощность сигнала локального осциллятора 10 мВт

Чувствительность р-ьп фотодиодов 0,75 А/Вт

Разностный ток 2,4 мкА

Сопротивление обратной связи трансимпедансного усилителя 100 кОм

Амплитуда разностного сигнала 240 мВ

Для генерации экспериментальных последовательностей случайных битов использовалось излучение локального осциллятора мощностью 10 мВт. В ходе эксперимента, после прохождения лазерным излучением У-разветвителя, балансного детектора и схемы усиления, при помощи АЦП генерировались файлы, в каждом из которых записанные в строках значения соответствовали значениям амплитуды разностного сигнала в 105 временных отсчетах. Эксперимент повторялся десять раз для получения достаточного количества материала для анализа статистики случайного распределения.

Дальнейшие анализ данных, преобразование полученной экспериментальной последовательности в бинарную случайную последовательность и тестирование были реализованы при помощи прикладного математического пакета MathCad в программе, написанной автором. В программе рассчитывались и визуализировались приведенные в разделе 4.2 характеристики полученных экспериментальных данных. Также в программе реализовывалась приведенная в разделе 4.3 обработка данных четырьмя различными способами и проводилось тестирование полученных случайных битовых последовательностей, результаты которого приведены в разделе 4.4.

4.2 Анализ полученных случайных последовательностей

Временная зависимость, спектр, автокорреляционная функция, аппроксимация распределения вероятностей при помощи кривой Гаусса приведены для одной из десяти экспериментальных выборок длиной 105 отсчетов, полученных при помощи описанной в разделе 4.1 установки, расчет статистических параметров случайного шума проводился по всем десяти выборкам, затем усреднялся.

Для того чтобы определить, является ли регистрируемый при помощи экспериментальной установки случайный шум квантовым, или же его природа обусловлена электрическими шумами используемой схемы, были проведены экспериментальные замеры разностного сигнала в тех случаях, когда лазерное излучение на вход не подавалось (рисунок 4.2).

Рисунок 4.2 — Временная зависимость обусловленного электрическими шумами сигнала на выходе системы без использования лазерного излучения.

Уровень амплитуды электрических шумов составляет порядка 100 мВ. Также был получен спектр сигнала на выходе системы в случае, когда на вход не подавалось лазерное излучение (рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 — Спектральная характеристика обусловленного электрическими шумами сигнала на выходе системы без использования лазерного излучения.

Из спектральной характеристики видно, что в частотном диапазоне 45-50 МГц находится явный всплеск, в два раза превышающий средний уровень спектра сигнала, обусловленный шумами в схеме усиления. Таким образом, если в спектре сигнала на выходе системы в рабочем режиме в данном частотном диапазоне также будет наблюдаться всплеск, этот факт будет означать сильный вклад электрических шумов в итоговое случайное распределение. Подобное влияние на разностный сигнал не является допустимым, поскольку, несмотря на то, что электрические шумы имеют случайную природу, они, в отличие от квантовых, являются детерминированными. Как будет показано далее, в спектральном диапазоне 45 -50 МГц, где находится явный всплеск электрических шумов, изменения спектра итогового сигнала не наблюдаются.

В ходе исследования работы экспериментальной схемы, в случае, когда на вход подавалось лазерное излучение различной мощности, наблюдалась приведенная на рисунке 4.4 линейная зависимость между мощностью лазерного излучения и наблюдаемой мощностью разностного сигнала, что подтверждает квантовую природу полученного случайного шума согласно выражению (3.24).

0,35

0,3

н со г 0,25

«

X 0,2

и* я и

о и 0,15

0 1

н и © Я 0,1

М Л

а 0,05

н

О 0

I

3 О 1 6 11 16 21

Мощность лазерного излучения , мВт