Кроссовер БКШ сверхпроводимости к Бозе конденсации сильно связанных фермионных пар в двух и трех измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Бабаев, Егор Сергеевич

• Бабаев, Егор Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бабаев, Егор Сергеевич

Оглавление

1 Введение

2 Экспериментальные свидетельства существования фазы нес-конденсированных куперовских пар в высокотемпературных сверхпроводниках

3 Обзор литературы

4 Обобщение модели БКШ для случая сильной связи

5 Кроссовер от БКШ сверхпроводимости к Возе конденсации газа сильно связанных фермионных пар. Результаты в приближении среднего поля

6 За приближением среднего поля

6.1 Фазовые флуктуации в двумерном случае. Квазиконденсация как формирование пар вихрь-антивихрь. Формирование фермионных пар и переход Костерлица-Таулеса

6.2 Флуктуации фазы в трехмерном случае. Сверхпроводящий переход в трехмерной ХУ - модели в режимах сильной

и слабой связи

7 Модели Намбу - Иона - Лазинио и Гросса - Невье

7.1 Спонтанное нарушение симметрии в модели Гросса-Невье при бесконечном числе цветов

7.2 Корреляционные функции поля пар

7.3 Киральная и комплексная разновидности модели с голд-стоуновскими бозонами

8 Второй фазовый переход в киральной модели Гросса-Невье

9 Обсуждение результатов

10 Благодарности

А Функционал действия для поля пар

В Низкотемпературная термодинамика кроссовера БКШ -БЭК

С Кроссовер от БКШ сверхпроводимости вблизи Тс к псевдощелевому поведению в режиме сильной связи. Оценки в

приближении среднего поля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кроссовер БКШ сверхпроводимости к Бозе конденсации сильно связанных фермионных пар в двух и трех измерениях»

1 Введение

Кроссовер от БКШ сверхпроводимости к конденсации Бозе-Эйнштейна (БЭК) газа сильно связанных фермионов впервые привлек к себе внимание достаточно давно [1]-[3]. В последнее время этот вопрос физики сверхпроводимости снова появился в центре внимания специалистов, что изначально было инспирировано крайне необычными экспериментальными данными, полученными на слабо легированных образцах высокотемпературных сверхпроводящих купратов [4, 5]- [40] ,а именно, эксперименты показали аномальное нефермижидкостное поведение нормальной фазы при температуре существенно выше температуры сверхпроводящего перехода Тс (см. обозор [42], а также [39], [43]-[45]). Аномальными в частности являются: поведение проводимости, теплоемкости, спиновой восприимчивости. Более того, эксперименты по фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением (ARPES) показывают наличие псевдощели, выражающееся в существенном подавлении низкочастотного спектрального веса (который является строго нулевым в случае обыкновенной щели) намного выше температуры сверхпроводящего перехода [44] - [45]. При понижении температуры до Тс псевдощель плавно по амплитуде и в зависимости от волнового вектора переходит в ненулевую сверхпроводящую щель.

Совокупность экспериментальных данных по поведению нормального состояния выше Тс позволяет сделать предположение и о механизме сверхпроводимости ниже Тс, что является фундаментальным вопросом в этом разделе физики. А именно: в принципе такие аномальные свойства нормального состояния могут быть объяснены наличием сформировавшихся, но не сконденсированных фермионных пар выше Тс. Таким образом сверхпроводимость в этом режиме должна наступать не за счет спаривания фермионов и одновременной их конденсации при Тс

как в теории БКШ, а за счет фазового перехода при температуре Тс в состояние с дальним порядком системы фермионов,сформировавших пары при более высокой температуре Т* >> Тс. Другими словами, в этом режиме, в области температур Т* >> Тс, существует локальный параметр порядка А(х)егв(х\ но фазы в различных точках х беспорядочны, и усредненный макроскопический сверхпроводящий параметр порядка равен нулю. Только при более низкой температуре Тс фаза упорядочивается и система переходит в сверхпроводящее состояние.

Следует отметить, что экспериментально в режиме оптимального и сильного легирования высокотемпературных сверхпроводников псевдощель отсутствует. 1

Далее, обсуждая экпериментальные данные по сверхпроводимости высокотемпературных сверхпроводников, мы должны учитывать крайне высокую анизотропию некоторых соединений, например на основе висмута, что обязывает нас учесть возможность формирования квазиконденсата по механизму Костер лица-Таулеса в двумерном случае.

Таким образом теория для данного явления должна включать описание следующих свойств:

1. Формирование комплексной псевдощели при характеристической температуре Т* и ее плавная эволюция в ненулевую сверхпроводящую щель при более низкой температуре Тс в трехмерном случае.

2. Восстановление БКШ поведения в трехмерном случае в пределе большой концентрации носителей или слабого взаимодействия.

1 Отметим, что, обсуждая вопрос физики высокотемпературных сверхпроводников "в целом", надо принимать во внимание факт крайне сложной химической структуры данных соединений и наличие областей на их фазовой диаграмме, где особенности не-фермижидкостного поведения связаны с антиферромагнитными корреляциями. В данной работе мы не будем касаться обсуждения этих областей.

3. Разделение температур форми-

рования пар и перехода Костерлица-Таулеса в случае двумерной системы и эволюция поведения двумерной системы при изменении концентрации фермионов и силы связи.

Ниже будет приведена теория, развитая автором в статьях [10, 11, 12], удовлетворяющая этим требованиям, и получены аналитические результаты, описывающие кроссовер от БКШ сверхпроводимости к конденсации Бозе-Эйнштейна.

Будет показано на основе простой модели с 6- функционным притягивающим потенциалом, что при слабой концентрации носителей или сильной связи пропадает седловая точка теории БКШ и,таким образом, квазиклассическая теория неприменима, и мы должны учитывать флуктуационные поправки. Ниже для этого будет развит непертурба-тивный метод, основанный на ХУ-модели. А именно, для описания данного кроссовера мы выйдем за пределы приближения среднего поля, вычислив низшие градиентные члены, описывающие гауссовые флуктуации фазы вблизи седлового решения, и введем эффективную ХУ-модель, описывающую конденсацию (квазиконденсацию) термически возбужденных фермионных пар в трехмерном и в двумерном случаях.

Более того, по аналогии со сверхпроводником, мы рассмотрим широко изучаемую, точно решаемую в пределе бесконечного числа цветов, теоретико-полевую киральную модель Гросса-Невье, для которой докажем, что при малом числе полевых компонент модель имеет два фазовых перехода, соответствующие формированию фермионных пар и их конденсации.

Основные результаты данной работы следующие:

1. Развит подход на основе ЗБ ХУ-модели к описанию кроссовера от

сверхпроводимости со слабой связью (БКШ) к сверхпроводимости в режиме сильной связи и псевдощелевому состоянию. Аналитически описано поведение щели, температура формирования пар, температура сверхпроводящего перехода. Получены выражения для жесткости фазы.

2. Рассмотрен кроссовер от квазиконденсации в режиме слабой связи к квазиконденсации в режиме сильной связи в двумерной системе. Показано, что для инфинитезимально слабой связи температура перехода Костер лица-Таулеса сливается с температурой формирования пар, и таким образом восстанавливается сценарий БКШ для формирования квазиконденсата. Аналитически описано: поведение щели, температуры спаривания фермионов, температуры перехода Костерлица-Таулеса.

3. Рассмотрена термодинамика кроссовера от сверхпроводимости со слабой связью к сверхпроводимости в режиме сильной связи в двумерном и трехмерном случаях. Получены оценки термодинамики псевдощелевого состояния.

4. Рассмотрена точно решаемая в пределе бесконечного числа цветов теоретико-полевая киральная модель Гросса-Невье, для которой доказано, что при малом числе полевых компонент модель имеет два фазовых перехода, соответствующих формированию фермионных пар и их конденсации. Это доказывает существование возможности того, что в физике элементарных частиц генерация массы кварка может иметь место независимо от спонтанного нарушения киральной симметрии, что является аналогом псевдощелевого состояния в сверхпроводнике.

2 Экспериментальные свидетельства существования фазы несконденсированных ку-перовских пар в высокотемпературных сверхпроводниках.

1. В экспериментах на УВСО [47], [48], существенное подавление проводимости в аЬ-плоскости яаь(и>) наблюдалось на частотах ниже 500 ст-1, начиная с температуры много выше Тс. Эксперименты [49], [50] на слаболегированных высокотемпературных сверхпроводящих соединениях показали отклонение от линейного поведения проводимости ааь(ш = 0; Т) при понижении температуры ниже характеристического значения Т*

2. Эксперименты по теплоемкости [51] также четко показывают размытую особенность на температуре Т* > Тс в слаболегированных высокотемпературных сверхпроводящих соединениях.

3. ЯМР эксперименты [52], [53] показывают, что ниже Т* » Тс, спиновая восприимчивость понижается.

4. Эксперименты по оптической проводимости [56], [57] и туннелиро-ванию [39] также показывают псевдощелевое поведение для слаболегированных высокотемпературных сверхпроводников.

Пример схематической фазовой диаграммы высокотемпературного сверхпроводника приведен на Рис. 1, взятой из работы [40], в которой, анализируя экспериментальные данные по ЯМР [55], делался вывод о наличии двух кроссоверов в данных соединениях, один из которых (возникающий при 230К для В^Ва2Си^Ов+б). связан с образованием несконденсированных пар,а другой (возникающий при 370К) с антиферромагнитными корреляциями. Верхний кроссовер ассоциируется

с температурой, когда сдвиг Найта начинает понижаться, температура же, когда начинает понижаться (ХхТ)-1 ( где 1 есть частота спиновой релаксации) ассоциирована в [40] с нижним кроссовером. Спад в (ТхГ)-1 (которая зависит от мнимой части магнитной восприимчивости) означает появление псевдощели. Спад Найтовского сдвига зависит от вещественной части магнитной восприимчивости и может быть вызван как появлением псевдощели, так и антиферромагнитными корреляциями, равно как и обоими явлениями. Авторы [40] подчеркивают, что согласно многочисленным экспериментальным данным, температура верхнего кроссовера стремится к температуре, где локальные антиферромагнитные корреляции появляются при исчезающе слабой степени легирования.

Нижний кроссовер, таким образом, может быть ассоциирован с температурой Г*, обсуждаемой в данной работе.

Рис. 1: Схематическое изображение фазовой диаграммы (степень легирования - температура ) высокотемпературного сверхпроводящего соединения согласно [37]. Температура Т^р обозначает переход в состояние антиферромагнитного упорядоченного изолятора. Тс - температура сверхпроводящего перехода. Между Тс и , существует псевдощель. При температуре существует другой кроссовер, связанный с антиферромагнитыми корреляциями [37].

3 Обзор литературы

Как было отмечено во Введении, кроссовер от БКШ сверхпроводимости к Бозе Конденсации впервые изучался давольно давно [1] - [3]. Крайне важный вклад в понимание этого вопроса был внесен в пионерской работе [2] а именно: при помощи суммирования лестничных диаграмм был рассмотрен вопрос о роли флуктуационных поправок в режиме сильной связи.

Учитывая эти поправки в режиме сильной связи, мы получим, что критическая температура перестает зависеть от силы связи электронов внутри куперовской пары. В формализме функционального интеграла данный кроссовер изучался в [6] и был получен аналогичный результат. В обоих подходах поправки учитывались только в уравнении на число частиц, но не в уравнении на щель.

В работе [6] было так же показано, что в рамках квазиклассического подхода появление нетривиального седлового решения для щели в режиме сильной связи может быть отождествлено с началом формирования несконденсированных пар. Однако в упомянутых подходах поведение критической температуры имеет артефакт - максимум при средней силе связи. Этого артефакта удалось избежать в численных вычислениях, основанных на самосогласованном подходе на основе Т-матрицы в [13, 14].

В работе [7] изучались свойства кроссовера при нулевой температуре, исходя из фермионного гамильтониана,и был получен, в частности, спектр Боголюбова в пределе сильной связи.

Очень интересный факт был замечен в [15, 16]. Как известно, длина когерентности в БКШ сверхпроводнике пропорциональна размеру пары. Однако было показано, что тогда как в пределе сильной связи размер пары стремится к нулю, длина когерентности стремится к

бесконечности.Таким образом, как функция силы связи, она имеет минимум и воспроизводит результат для идеального Бозе газа в пределе бесконечно сильной связи.

Надо отметить, что при переходе в Бозе режим, когда все электроны спарены, химический потенциал меняет знак. С этим обстоятельством связан эффект, что хотя кроссовер между БКШ и БЭК гладкий, однако в случае <1- спаривания существут топологический квантовый фазовый переход между БКШ и Бозе режимами, когда изчезают нули щелевой функции [31].

Первое феноменологическое обсуждение данного кроссовера в контексте экспериментальных данных, полученных на купратах, которое включало и поведение температуры свехпроводящего перехода в зависимости от степени легирования и поведение температуры формирования псевдощели, было дано в [52, 53] а так же в [40].

Крайне широко данный кроссовер изучался численно в модели Хаббарда с притяжением (см. например [39]).

Кроссовер перехода Костерлица-Таулеса от режима слабой к режиму сильной связи изучался впервые в [33].Однако данный подход дал очень выраженный максимум в температуре фазового перехода как функции силы связи при средней силе связи, что является артефактом, хотя в пределе бесконечно сильной связи, система сводилась к двумерном Бозе газу. В модели, аналогичной используемой в данной работе, кроссовер перехода Костерлица-Таулеса изучался численно в [32], однако, как будет показано ниже аналитически, данные результаты не покрывают всю область кроссовера, в частности сделан неправильный вывод о существовании псевдощелевой фазы при любой силе связи в двумерном случае.

Разнообразные свойства флуктуаций модуля и фазы рассматривались так же в [59].

Таким образом, упомянутые выше аналитические подходы к изучению кроссовера в трехмерном случае, чья грубость связана с учетом флуктуации: только в уравнении на число частиц, дают качественно неправильную картину, поведения критической температуры, что выражается в том, что Тс стремится в Бозе пределе к своему предельному значению сверху, и не позволяют сделать выводы о поведении системы между БКШ и Бозе пределами вблизи критической температуры. Более того, не существует аналитических результатов, описывающих эволюцию щели, жескости фазы, температуры спаривания фермионов и термодинамических величин при данном кроссовере, за исключением случая нулевой температуры, где получены решения для поведения щели и химического потенциала в [17].

Сверхпроводимость купратов так же обсуждалась в рамках биполя-ронной теории, см. например [25].

Обсуждаемая во второй части модель Гросса-Невье точно решаема в пределе бесконечного числа цветов [67]. Однако, до появления данной работы не существовало подходов для изучения этой модели при малом числе цветов. Единственно изучались 1/К поправки к седловому решению [68] (см. так же [69]), но такой подход не может предоставить качественно правильной информации о режиме малого числа цветов, когда, как доказано ниже, система имеет два фазовых перехода.

4 Обобщение модели БКШ для случая сильной связи.

Отметим, что в изучаемой ниже модели кроссовер от БКШ к Бозе кон-десации возможен как при увеличении силы связи, так и при уменьшении концентрации носителей. Как будет видно ниже, использумый параметр кроссовера является монотонной функцией обоих параметров.

Мы начнем наш анализ с приближения среднего поля, аналогичного используемому в теории БКШ. Приближение среднего поля, как будет показано, применимо при низких температурах или большой концентрации носителей, а так же может быть использовано для получения грубой оценки для Т*, хотя артефактом данного приближения в области близкой к Т* является то, что оно дает при данной температуре фазовый переход второго рода, в то время как учет сильных динамических флуктуации в данном режиме привел бы к появлению размытого кроссовера [б].

Кроме этого, в приближении среднего поля невозможно найти температуру сверхпроводящего перехода в режиме сильной и средней связи или малой концентрации носителей.

В данной работе внимание будет сосредоточено на сверхпроводящем фазовом переходе. Будет показано, что учет флуктуации с помощью вычисления низших градиентных членов и изучения эффективной ЗБ ХУ-модели, позволяет нам корректно описать сверхпроводящую систему для любой силы связи.

Так же будут исследованы аналогичными методами свойства кроссовера перехода Костерлица - Таулеса в двумерной системе.

В виду того, что задача изучения режима сильных флуктуации технически сложна, мы будем работать с наиболее простым контактным

потенциалом. Более того, понимание природы взаимодействия электронов в слаболегированных высокотемпературных сверхпроводниках представляет собой отдельную тему, отсуствие достоверных экспериментальных результатов по которой не позволяет делать достоверных выводов по этому вопросу. В частности, не ясно как в слаболегированных сверхпроводящих соединениях притягивающее взаимодействие может скомпенсировать кулоновское отталкивание, так как отсутствие последнего в данном режиме нельзя объяснить экранировкой или запаздыванием. Так же с целью максимального упрощения задачи мы рассматриваем только случай в-спаривания.

Говоря о переходе Костерлица-Таулеса в двумерной системе, мы пользуемся теорией для незаряженных композитных бозонов,так как во всех сверхпроводящих соединениях, претендующих на существование такого перехода, длина когерентности гораздо меньше длины проникновения магнитного поля.

Надо так же отметить естественное обстоятельство, что предел бесконечно сильной связи не реализуется экспериментально, однако он в дальнейшем обсуждении играет важную роль. А именно, будет показано, что в этом пределе, стартуя с фермионного гамильтониана, проинтегрировав по фермионам, и, учитывая флуктуации, мы получаем невзаимодействующий Бозе газ плотности, равной п/2 и массы частиц 2т, где пит- плотность и масса исходных фермионов. Таким образом, коль скоро мы можем получить идеальный Бозе газ в этом пределе и БКШ теорию в пределе слабой связи, мы можем быть уверены в правильности результатов в промежуточном режиме, где (естественно чуть ближе к БКШ пределу) и должны находиться сяаболегированные высокотемпературные сверхпроводящие соединения.

Гамильтониан нашей модели есть обыкновенный БКШ гамильтониан в размерности Б {% — 1)

СГ ^ /

+ д (1)

где ^сг(х) есть Ферми-полевой оператор, а =|,| обозначает спиновые компоненты, т есть эффективная масса фермиона, и д < 0 есть константа взаимодействия д6(х — х').

5 Кроссовер от БКШ сверхпроводимости к Бозе конденсации газа сильно связанных фермионных пар. Результаты в приближении среднего поля.

Уравнения в приближении среднего поля для щели А и химического потенциала // могут быть получены из уравнений (см. [58], [32] ):

_1 _ 1 у- 1 ьЕк д ~ 2Т'

п

V

Ж яг/'

(2) (3)

где N есть число частиц V есть объем системы, и

(4)

энергия одночастичных возбуждений.

Вводя вместо суммы по к интеграл по мы получаем в трехмерном случае:

= КЗ Г; ^

- = к3 / ¿4 -

где /с3 = т3/2/л/27г2. В случае двух измерений

2Т

(5)

1 Г 1

- = к2 / а?—, 5 У-,, гл/ё+А^

2 Т ''

(6)

где /с2 = т/2ж.

В двумерном случае уравнение (3) может быть проинтегрировано:

т

п = — < + А2 + ^ + 2Т1п 2тг I

1 + ехр

уУ + А2'

Т

СО

где правая часть есть функция Т, Д).

Известный артефакт ¿-функционного потенциала есть расходимость в уравнении на щель. В случае БКШ сверхпроводника мы имеем естественный параметр обрезания, а именно Дебаевскую частоту о?д. Для проблемы кроссовера, исследуемой ниже, этот метод регуляризации не явлется подходящим в силу того, что формально в пределе бесконечно сильной связи все фермионы участвуют во взаимодействии, а не только те, что находятся в тонком слое толщины шр вокруг поверхности Ферми.

В силу этого, в режиме сильной связи мы ренормализуем уравнение на щель с помощью экспериментально наблюдаемой длины рассеяния ая, для которой низкоэнергетический предел задачи рассеяния дает эквивалентно расходящееся выражение [13]-[19]:

га 11 ^ т ^ к

Исключая д из (8) и (2), мы получаем уравнение:

т 1 ^

4iras V

к

_l_th— - — 2 Ек 2 Т к2

(9)

где l/kpas играет роль безразмерной константы связи, которая монотонно возрастает от — оо до оо при изменении константы связи \д\ от малых (БКШ предел) до больших (Бозе предел) значений.

Это уравнение должно быть решено совместно с (3). Эти уравнения были впервые проанализированны в [6] and [8], ниже мы воспроизведем данные оценки для Т* и ц.

В БКШ случае ц примерно равно энергии Ферми ер. тогда как в БЭ пределе мы имеем сильно связанные пары и невырожденные фермионы с большим по величине химическим потенциалом Т. Из уравнений

(3) и (9) мы имеем для Тс в пределе БКШ {¡i Тс):

Т*С8 = 8е~2е77г_1брехр(—7г/2&р|а5|)

где 7 = -Г(1)/Г(1) = 0.577.... Из (9) следует, что в БКШ случае

(10)

¡л = еР. (11)

В БЭ пределе уравнение (9) определяет Т*, тогда как Eq. (3) определяет ц. Из (3) мы получаем

ц = ~ЕЪ/2 (12)

где Еъ = 1/та2 есть энергия связи пары. В БЭ пределе псевдощель возникает при температуре

Т* ~ Еь/2Ы(Еь/еР)3'2. (13)

простая оценка из химического равновесия (ръ = /) дает для температуры образования пар

Т<&8ос ^ Еь/\п(Еь/еР)3^ (14)

Это показывает, что в данном режиме Т* связано с формированием пар [6], [7], что происходит выше температуры их конденсации [2]-[39]).

При отрицательном химпотенциале [3], [1], [8] Боголюбовская энергия одночастичных возбуждений

^ар = шЬ(^ + А2)1/2. (15)

очевидно имеет следующую особенность :

A for //>0, , ,

^gap - ^ ^2 + Д2)1/2 for ^ < 0 W

В трех измерениях при Т = 0, уравнения (9), (3) были решены аналитически в [17], ниже мы воспроизводим этот результат:

где

А 1

М1Ы + /2Ы]2/3'

ц ц A xq

tF A eF [жоЛ(жо) + Нхо)}2/3' 1 4 х012(х0) - h(x0)

kFas ж [жоЛС^о) + /2(ж0)]1/3'

h(xо) = / dx

too х2

/а (ж4 - 2х0Х2 + Х% + I)3/2

(1 + ^^,«)- ; П;.«),

1 Г

dx

(Х4 - 2Х0Х2 + Ж2 + 1)V2

2

К

2 _ Ж1

(1+4)1/2'

(17)

(18) (19)

(20)

<21>

(22)

2 к2 1 + жо + жо /Оо\

Ж = 2^А' Х° ~ А' -2-' (23)

и есть эллиптические интегралы. Величины (17) и

(18) изображены на Рис. 2.

Рис. 2: Щель А и химический потенциал ц при нулевой температуре в трех измерениях.

В двумерном случае для любой ненулевой силы связи существует связанное состояние с энергией связи ео- Таким образом, обрезания можно избегнуть, вычитая из уравнения на щель:

, 1 1 , (24)

к + А2 —о

где 2 = к2/2тА — жо, уравнение связаного состояния:

1 _ 1 1 _ т Г00 1

д У^к 2/т + е0 2*г Л*,, + сь/Д + 2я0' 1 ;

интегрируя, находим:

1 = + *0. (26) Из Eq. (7) мы видим, что щель и химический потенциал при нулевой температуре являются следующими функциями х0 :

А

+ Vх1 + жо'

/х 2жс

(27)

Жо + \Д + жа Эти соотношения изображены на Рис. 3. Из (26) и (27) мы находим далее:

(28)

* = 2у/ЦЦ~*<> (29)

1/1 +Х1 + хо

-200"

-300"

-400ч

Рис. 3: щель А и химический потенциал ¡л при нулевой температуре в двумерном случае .

Мы обобщили эти вычисления на конечные температуры. Далее, работая при конечной температуре, мы не предполагаем постоянной коцентрацию носителей, но предполагаем наличие источника частиц, который предоставляет нам не зависящий от температуры химический потенциал:

¡л — ^(1/кра3-,Т = 0). (30)

Как будет видно далее, зависимость числа носителей от температуры в данной модели очень слаба.

В наших вычислениях мы берем за параметр кроссовера хо, так как он зависит простым образом от химического потенциала (23). Последний же , стоит заметить, может быть измерен экспериментально [60]. Параметер Хо принимает значения от —оо в Бозе пределе до оо в БКШ пределе.

Зависимость хо от 1/крав в трехмерном случае изображена на Рис. 4. Отношение (29) параметра кроссовера х0 к бо в двумерном случае изображено на Рис. 5.

Рис. 4: Зависимость 1 /кРав от х0 в трехмерном случае .

Рис. 5: зависимость еа/ер от параметра кроссовера х0 в двумерном случае .

Рис. б показывает поведение щели Д вблизи Т = О для различных параметров кроссовера в трехмерном случае.

Рис. 7 показывает поведение щели в двумерном случае . Рисунки 8 и 9 показывают зависимость температуры исчезновения щели Т* от параметра кроссовера Жо-

Как было отмечено выше, эксперименты на слаболегированных образцах показывают,что щель переходит плавно в псевдощель выше Тс. В приближении среднего поля мы получаем температурную зависимость щели, изображенную на Рис. 6 и 7.

Рис. 6: Щель в трехмерном случае: жирная линия соответствует Хо = 10 (БКШ предел ), кресты х0 = 0, линии с квадратами и кругами х0 = —2 и хо = —5 соответственно. Пунктирная линия представляет х0 = —10 (Бозе предел).

Рис. 7:' Щель в двумерном случае: жирная линия соответствует ж0 = 10 (БКШ предел ), кресты хо = 0, линии с квадратами и кругами х0 = —2 и хо = —5 соответственно. Пунктирная линия представляет .х0 = —10 (Бозе предел).

Рис. 8: Зависимость Г* от параметра кроссовера в трехмерном случае

Рис. 9: Зависимость Т* от параметра кроссовера в двумерном случае .

Из (17) мы можем получить асимптотическое поведение в трехмерном случае для Хо > 1. Низкотемпературная асимптотика в этой области есть:

Д^Д^-Д^^ехр

Д(0)

1+erf

V^+T-i

Т/Д( 0)

,(31)

где erf (ж) функция ошибок.

Та же асимтотика получется и двумерном случае, где А(0) дается формулой (27).

В режиме очень слабой связи,где ®о = /¿/Д(0) стремится к бесконечности, мы получим БКШ формулу:

Д(Г) = Д(0) - [2^(0)7]^ expb^l}

(32)

В Бозе пределе при хо < —1, плотность состояний не может полагаться константой при вычислении трехмерных интегралов. Принимая это во внимание,мы имеем:

Д(Т) = Д(0) - (^)3/2ехр

уУ + д2(о)

(33)

Из Eq. (33) мы видим, что вблизи Т = 0 щель Д(Т) стремится в Бозе пределе экспоненциально к Д(0), формируя плато вблизи Т = 0. В двумерном случае мы получаем аналогичный результат:

(34)

где Ei интегральная экспонента:

/оо

е~1Ц <#. (35)

при очень сильной связи выражение Eq. (34) становится:

А(Т) = Д(0) -

Д(0)

=ехр

уУ+ Д(о)2

(36)

2 уУ + Д2(0) Теперь мы обратимся к области вблизи Т*.

В этом случае удобно взять за параметр кроссовера величину р/2Т* стремящуюся к оо в БКШ пределе и к —оо в Бозе пределе В трехмерном случае мы находим в БКШ области:

А(Т)

2Т*

1

ЛЬ

И

ж

л 2 0

1 + ^^

■ (37)

4 [ц[2Т* ((1/2Т*)2 2Т* В пределе слабой связи ¡л/2Т* —» оо это выражение стремится к

А(Г)

Тг,

Зл 1

(38)

в противоположном режиме сильной связи Т* и Д(0) стремятся к бесконечности. Отношение А(Т)/Т вблизи Т* экспоненциально стремится к нулю как функция ц/2Т*:

А(Г)

2Г*

16

(г Г*) ( 2Т*)

В двумерном случае вблизи Т* формула:

(39)

А (Г)

2 Т*

Т_

у*

Л

ц/2 Т* (р/2 Г*)2 2Т*

, 2 ц 4

2

1

1

применима во всей области кроссовера. Естественно в пределе очень слабой связи она воспроизводит БКШ результат (38). В противоположном Возе пределе мы находим асимптотику:

ГД(Г)1 2 — 2 - (-Х

2Т* 4 V*/

Ю и--

\2Т*/ V Т*

(41)

Теперь мы вычислим зависимость Т* от параметра кроссовера р,/2Т* в режиме сильной связи

В трехмерном случае из уравнения (5) получаем:

гр*

2/3

О ехр|-

2 ц

3 Г*

что с логарифмической точностью дает для Г*:

(42)

[см. Обсуждение после формулы (9)].

Как функция хо это выражается следующим образом:

(43)

Т* 1 /16 ^

ер 2 \37г) В двумерном случае находим из (6):

(44)

и соответственно

Т* 1 ^=26ХР

(45)

-/Да-1 (- А

ер

что можно выразить через хо

Т*

Хо

(47)

В режиме сильной связи мы можем вычислить Д(0)/Т* как функцию параметра кроссовера :

А(0)

у*

В двумерном же случае :

( т*) ехр (2Т*) '

(48)

А(0)

Г*

4(~2Т^)1/2еХРШ

(49)

В пределе слабой связи и в трехмерном случае и двумерном случае мы имеем результат:

А(0) = тг / А(0)

Т* е<

2 / е-7 I /1^.2

7Г / 1

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бабаев, Егор Сергеевич, 1999 год

Библиография

[1] D. М. Eagles, Possible pairing without superconductivity at low carrier concentrations in bulk and thin-film Phys. Rev. 186, 456 (1969).

[2] P. Nozieres and S. Schmitt-Rink Bose-condensation in an attractive Fermion gas: from weak to strong coupling Superconductivity. , J. Low. Temp. Phys. 59, 195 (1985).

[3] A. J. Leggett, in Modern Trends in the Theory of Condensed Matter, edited by A. Pekalski and J. Przystawa, Lecture Notes in Physics, Vol. 115 (Springer-Verlag, Berlin, 1980), p. 13.

[4] Y. J. Uemura et al.. Basic Similarities among Cuprate, Bismthate, Organic, Chevrel-Phase and Heavy-Fermion Superconductors Shown by Penetration-Depth Measurements. Phys. Rev. Lett. 66, 2665 (1991);

[5] Y. J. Uemura et al., Magnetic-field penetration depth in КзСео measured by muon spin relaxation. Nature (London) 352, 605 (1991).

[6] C. A. R. Sa de Melo, M. Randeria, and J.R. Engelbrecht, Crossover from BCS to Bose superconductivity: Transition Temperature and Time-Dependent Ginzburg-Landau Theory. Phys. Rev. Lett. 71, 3202 (1993).

[7] J.R. Engelbrecht, M. Randeria, C. A. R. Sa de Melo, BCS to Bose crossover: Broken-symmetry state Phys. Rev. В 55, 15153 (1997).

[8] M. Randeria. in: Bose-Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke., and S. Stringary. New York, Cambridge University Press, 1995. p.355-392.

[9] H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter. World Scientific, 1989 (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner jre.html^bl).

[10] E.Babaev, H.Kleinert "Crossover from weak- to strong- coupling superconductivity and to normal state with a pseudogap"

preprint cond-mat/9804206, послано в J.Physics B.

[11] E.Babaev, H. Kleinert "Nonperturbative XY-model approach to strong-coupling superconductivity in two and three dimentions"

Phys. Rev. B59 12083 (1999).

[12] H. Kleinert, E. Babaev "Two phase transition in Chiral Gross-Neveu Model in 2+e dimensions at low N"

preprint hep-th/9809112 Phys.Let. B. 438, 311 (1998) .

[13] R. Haussmann, Crossover from BCS superconductivity to Bose-Einstein condensation: a self-consistent theory. Z. Phys. В 91, 291 (1993);

[14] R. Haussmann, Properties of Fermi-liquid at the Superfluid Transition in the Crossover Region between BCS Superconductivity and Bose-Einstein Condensation. Phys. Rev. В 49, 12975 (1994).

[15] F. Pistolesi and G. C. Strinati, Evolution from BCS superconductivity to Bose condensation: Role of the parameter kp(. Phys. Rev. B, 1994, vol. 49, No 9, p.6356-6359;

[16] F. Pistolesi and G. C. Strinati, Evolution from BCS superconductivity to Bose condensation: Calculation of the zero-temperature phase-coherence length. Phys. Rev. B, 1996, vol. 53, No 22, p. 15168-15192.

[17] M.Marini, F.Pistolesi, G.C.Strinati, Evolution from BCS Superconductivity to Bose Condensation: Analytic Results for the crossover in three dimensions Eur. J. Phys. В 1, 151 (1998), preprint cond-mat/9703160

[18] M. Randeria ,J.-M. Duan, and Shieh L., Bound States Cooper Pairing and Bose Condensation in Two Dimensions. Phys. Rev. B 41, 327 (1990).

[19] M. Randeria, Duan J.-M., Shieh L., Superconductivity in a two-dimensional Fermi gas: Evolution from Cooper pairing to Bose condensation. Phys. Rev. Lett., 62,981 (1989).

[20] Emery V., Kivelson. S.A. Importance of phase fluctuations in superconductors with small superfluid density. Nature, 1995, vol. 374,p.434-437;

[21] Emery V., Kivelson. S.A. Superconductivity in Bad Metals. Phys. Rev. Lett., 1995, vol. 74, No 16, p.3253-3256.

[22] S. Schmitt-Rink, C.M. Varma, A.E. Ruckenstein, Pairing in Two Dimensions. Phys. Rev. Lett. 63, 445 (1989).

[23] Serene J. Stability of two-dimensional Fermi liquids against pair fluctuations with large total momentum. Phys. Rev., 1989, vol. B40, No 16, p.10873-10877.

[24] A. Tokumitu, K. Miyake, K. Yamada, Crossover between Cooper-Pair Condensation and Bose-Einstein Condensation of "Di-Electronic Molecules" in Two-Dimensional Superconductors. Phys. Rev. B 47, 11988 (1993).

[25] A.S. Alexandrov d-wave Bose - Einstein condensate and tunneling in superconducting cuprates Physica C 305 49 (1998)

[26] Y. Uemura Bose-Einstein to BCS Crossover picture for High-Cuprates. Preprint cond-mat/9706151.

[27] R.M.Carter

et. al. Coherence lengths for three-dimensional superconductors in the BCS-Bose picture. Phys. Rev. В 52 16149 (1995);

[28] J. Maly, B. Janko, and K. Levin, Superconductivity from a pseudogapped normal state: a mode coupling approach to precursor superconductivity preprint cond-mat/9710187.

[29] P. J. H. Denteneer, Guozhong An and J. M. J. van Leeuwen, Helicity modulus in the two-dimensional Hubbard model Phys. Rev. В 47, 6256

(1993).

[30] О. Tchernyshyov, Non-interacting Cooper pairs inside a pseudogap Phys. Rev. В 56, 3372 (1997).

[31] G.Volovik "Exotic properties of the liquid #e3" World Scientific. 1992.

[32] В.П. Гусынин, B.M. Локтев, С.Г. Шарапов Формирование псевдощелевой фазы в кроссовере от Возе конденсации к БКШ сверхпроводимости. Письма в ЖЭТФ 65 182 (1997); В.М. Локтев, С.Г. Шарапов Формирование сверхпроводящего конденсата в метали-ческих системах с произвольной концентрацией носителей. Физика твердого тела (Львов) 11 131 (1997); Preprint cond-mat/9706285.

[33] М. Drechsler, W. Zwerger. Crossover from BCS-superconductivity to Bose-condensation Ann. Phys.(Germany), 1, 15 (1992).

[34] S. Stintzing, W. Zwerger. Ginzburg-Landau theory of superconductors with short coherence length preprint cond-mat/9703129.

[35] L.Belkhir, M.Randeria, From Cooper Pairs to Composite Bosons: A Generalized RPA Analysis of Collective Excitations Phys. Rev. В 49 6829

(1994).

[36] J. R. Engelbrecht et. al. Pseudogap above Tc in a model with dx2_y2 pairing preprint cond-mat/9705166.

[37] M. Randeria et. al. Pairing and spin gap in the normal state of short coherence length superconductors Phys. Rev. Lett. 69, 2001 (1992).

[38] R.Micnas and T.Kostyrko in "Recent Developments in High Temperature Superconductivity" Proceedings af the first Polish-US Conference. Wroclaw 1995.

[39] M. Randeria Varenna Lectures, preprint cond-mat/9710223

[40] V.J. Emery, S.A.Kivelson, and O.Zachar Spin-Gap Proximity Effect Mechanism of High Temperature Superconductivity pre-print cond-mat/9610094;

[41] V.J.Emery, S.A. Kivelson Crossovers and Phase Coherence in Cuprate Superconductors pre-print cond-mat/9710059

[42] D. Pines, Spin Fluctuations and dx2_y2 Pairing in High-Temperature Superconductors. Tr. J of Physics 20 535 (1996)

[43] B.G. Levi, Evidence Accumulates for Unusual Behavior in Underdoped High-Tc Superconductors. Physics Today 49, 17 (1996).

[44] D. S. Marshall et al., Unconventional electronic structure evolution with hole doping in Bi2Sr2CaCu208: Angle-resolved photoemission results Phys. Rev. Lett. 76, 4841 (1996).

[45] H. Ding et al., Spectroscopic evidence for pseudogap in the normal state of underdoped high-Tc superconductors. Nature 382, 51 (1996).

[46] J. Harris et al, Measurement of an Anisotropic Energy Gap in Single Plane Bi2Sr2xLaxCu06 Phys. Rev. Lett. 79, 143 (1997).

[47] L.D. Rotter et al., Dependence of the infrared properties of single-domain YBa2Cu307y on oxygen content Phys. Rev. Lett. 67, 2741 (1991);

[48] J. Orenstein et al., Frequency- and temperature-dependent conductivity in YBa2Cu306+x crystals Phys. Rev. B 42, 6342 (1990);

[49] B.Bucher et al, Influence of the spin gap on the normal state transport in YBa2Cu408 Phys. Rev. Lett. 70, 2012 (1993);

[50] T. Ito et al, Systematic deviation from T-linear behavior in the in-plane resistivity of YBa2Cu307y: Evidence for dominant spin scattering Phys. Rev. Lett. 70, 3995 (1993);

[51] J. Loram et al, Phys. Rev. Lett. 71, 1740 (1993) Electronic specific heat of YBa2Cu306 + x from 1.8 to 300 K

[52] Y.J. Uemura, in Proceedings of the Workshop in Polarons and Bipolarons in High-Tc Superconductors and Related Materials, Cambridge, 1994 e<l. by E. Salje et al. (Cambridge Univ. Press, 1995) pp. 453.

[53] Y.J. Uemura, in Proceedings of the CCAST Symposium on High-Tc Superconductivity and the Ceo Family, Beijing, 1994 ed. by S. Feng and H.C. Ren (Gordon and Breach, New York, 1995) pp. 113.

[54] V. Pasler et. al. 3D-XY critical fluctuations of the thermal expansivity in detwinned YBa2Cu307-d single crystals near optimal doping Preprint cond-mat /9804030.

[55] M.-H. Julien et. al. Spin gap in HgBa2Ca2Cu30 single crystals from 63Cu NMR Phys. Rev. Let. 76 4238 (1996)

[56] A. Puchkov, D.Basov and T. Timusk, Pseudogap State in High-Tc Superconductors: an Infrared Study J. Phys. Condensed Matter 8, 10049 (1996); eprint cond-matt/9611083.

[57] С. С. Homes et al, Optical conductivity of с axis oriented YBa2Cu306.70: Evidence for a pseudogap Phys. Rev. Lett. 71, 1645 (1993);

[58] H. Kleinert, Collective Quantum Fields, Fortschr. Physik 26, 565-671 (1978).

(http: / / www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_rel.html#55)

[59] Superfluidity of a two-dimensional dilute attractive Fermi gas S. V. Traven Phys. Rev. Lett. 73 3451 (1994).

[60] G.Rietveld, N.Y. Chen, D van der Marel Universal jump in slope of the chemical potential at second-order phase transitions Phys. Rev. В 69, 2578 (1992)

[61] N.D. Mermin., H. Wagner. Absence of Ferromagnetism or Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Model. Phys. Rev. Lett., 1966, vol. 17, No 22, p.1133-1136; Hohenberg P.C. Existence of Long-Range Order in One and Two Dimensions. Phys. Rev., 1967, vol. 158, No 2, p.383-386;

Coleman S. There are no Goldstone Bosons in Two Dimensions. Comm. Math. Phys., 1973, vol. 31, No 4, p.259-264.

[62] E. Witten, Chiral symmetry, the 1/N expansion and the SU(N) Thirring model. Nucl. Phys. В 145, 110 (1978).

[63] I.J.R. Aitchison, P. Ao, D.J. Thouless, X.-M. Zhu, Effective Lagrangians for BCS superconductors at T = 0. Phys. Rev. В 51, 6531 (1995).

[64] A.M.J. Schakel, On the effective theory of a BCS system at zero temperature. Mod. Phys. Lett. В 4, 927 (1990).

[65] Березинский В. JI. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с неперывной группой симметрии. ЖЭТФ,

1970, 59, No 3, p.907 - 920;

Kosterlitz J., Thouless D. Ordering, Metastability and Phase Transitions in Two-Dimensional Systems. J. Phys., 1973, vol. C6, No 7, p.1181 - 1203.

[66] P. Minnhagen. The two-dimensional Coulomb gas, vortex unbinding, and superfluid-superconducting films Rev. Mod. Phys., 1987, vol. 59, No 4, p.1001-1066.

[67] D. Gross and A. Neveu, Dynamical symmetry breaking in asymptoticaly free field theries Phys. Rev. D 10 3235 (1974).

[68] J.A. Gracey The ^-function of the chiral Gross Neveu model at 0(1 ¡N2). Phys.Rev. bf D50 2840 (1994)

[69] J. Zinn-Justin " Quantum Field Theory and Critical Phenomena" 3rd edition, Oxford University Press 1996.

[70] H. Kleinert, On the Hadronization of Quark Theories, Lectures presented at the Erice Summer Institute 1976, in Understanding the Fundamental Constituents of Matter, Plenum Press, New York, 1978, A. Zichichi ed., pp. 289-390.

[71] S. Hands and J.B. Kogut, Logarithmic Corrections to the Equation of State in the SU(2)xSU(2) Nambu - Jona-Lasinio Model hep-lat/9705015

[72] H.Kleinert, Theory of Fluctuating Nonholonomic Fields and Applications: Statistical Mechanics of Vortices and Defects and New Physical Laws in Spaces with Curvature and Torsion, in: Proceedings of a NATO Advanced Study Institute on Formation and Interactions of Topological Defects at the University of Cambridge, England (cond-mat/9503030)