Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Злобин, Сергей Алексеевич

• Злобин, Сергей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Злобин, Сергей Алексеевич

1 Введение

111 Значения дзота-функции Римана и целых точках

1.2 Интегральные представления аппроксимаций

1.3 Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции;.

1.4 Результаты диссертации

2 Тождества

2.1 Интегральные тождества

2.2 Разложение кратных интегралов в кратные суммы

2.3 Обобщенные полилогарифмы и преобразование z

2.4 Производящие функции для значений дзета-функции

2.5 Арифметические свойства кратных дзета-значений

3 Разложения кратных интегралов в линейные формы

3.1 Общая теорема о разложении кратных интегралов.

3.2 Усиление общей теоремы при некоторых ограничениях

3.3 Знаменатели коэффициентов линейных форм

3.4 Оценка коэффициентов линейных форм.

3.5 Мера трансцендентности 7г2.

3.6 Линейная независимость значений дзетагфункции Римана

3.7 Линейная независимость значений классических полилогарифмов

3.8 Линейная независимость значений обобщенных полилогарифмов-.Ш

4 Другие кратные интегралы

4;1 Интегралы Рина.

4.2 Кратные интегралы для линейных форм от £(4)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы»

Елава 1 Введение 1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках Напомним, что дзета-функция Римана ^(s) при Re s > 1 определяется следующим рядом: сю ^ п=1 Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s ^ 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно: где В2п - числа Вернул ли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению tirh^o, „.. ifc=0 и начальному условию 5о = Г. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа тг. Следовательно, при натуральном п число С(2^) трансцен1.1 Значения дзета-функции Римана в целых точках 5 дентно.Ситуация с числами С(2п+1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. О.А. Гельфондом (см. заключение в [4]). Существует Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена P{XQ, . . . , Хп) с целыми коэффициентами верно Р(7г,С(3),С(5),...,С(2п + 1))7^0.Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках.В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел (^(2п4-1).Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.Так как Dn ^ 3" и 3^{л/2 — 1)'* < 1, то правая часть стремится к нулю при п —>• оо. Откуда и следует иррациональность С(3)Трансцендентность <^ (3) или иррациональность С(2?г + 1) при п ^ 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [41] о бесконечности размерности линейного пространства над 1.2 Интегральные представления аппроксимаций 6 Q, порожденного значениями ^ (2п + 1), а также результат В. В. Зуди лина [И] об иррациональности по крайней мере одного изs четырех, чисел С(5), С(7), С(9), С(И). lj.2 Интегральные представления аппроксимаций Первым, кто рассмотрел кратные интегралы в связи диофантовыми; приближениями, был К. Малер ([36]). Он использовал интегралы, которые можно записать;в виде (см. [17]) Рг.х?'-'(1-хЛ''-'-', . axi—аХт при специальном выборе параметров ai,bi, ci, для оценки сверху линейных форм, приближающих значения биномов (Г— z)".1:2 Интегральные представления аппроксимаций 7 показатель иррациональности числа а - это нижняя грань множества чисел fly для которых неравенство Р а q имеет конечное число решений в целых р и q с q > 0.Интегралы того же типа / -dx\dx2.. .dx 21 использовались в [21] для оценки меры трансцендентности тг^ . В диссертационной работе мы будем рассматривать следующее обобщение интегралов Сорокина: 1.3' Обобщенные полилогарифмы и кратные дзета-функции 9 40 = Го < Г"! < Т2 < • • • < п = т. (1.6) 1.3 Обобщенные ноли логарифмы и кратные дзета-функции в работе большую роль играют обобщенные полилогарифмы, определяемые равенствами Li,-W= £ 2"l 31^32 ^ S ( > л.1.4 Результаты диссертации Оказывается, интеграл V(2r), при некоторых ограничениях на параметры может быть сведен к 5(z). Мы установим это в разделе 2.1, доказав более общее тождество.Из этого интегрального тождества вытекает равенствоинтеграла 1^ (2:) интегралу вида 5 (л). Этот результат формулируется! в. виде двух теорем; в * зависимости:от четности-.размерности?интеграла»V{z).В разделе 2.2 получен явный вид кратной: суммы, в которую раскладывается интеграл S{z) при \z\ < 1. Из этого результата следуют интегральные представления обобщенных полилогарифмов и кратных дзетафункций. Полученные интегралы продолжают обобщенные полилогариф.мы в область D = С\{2 : | a rg( l—z) \ < тг}.1.4 Результаты диссертации 12 Далее, в разделе 2.3 изучается действие преобразования 2;—>—z/(r—г) на обобщенных поли логарифмах.Лемма 2.6. (О двойственности) Пустъ z G D = С\{-г ::| arg(l —2г)| < 7г} Тогда выполняется равенство для векторамs', получаемого из s по некоторому правилу.Эта лемма используется в главе 3; Васильев в работе [2] доказал равенство, которое можно записать в: виде С({2}ь1) = 2С(2А; + 1).В разделе 2.4 мы доказываем обобщение этого равенства.Теорема 2181 Притатуральнъьх к, s"^ 2 выполняется равенство С({2,,{1Ь_2Ь,1) = < Н + 1).Также в разделе 2.4 указываются другие связи^ и СВ разделе 2:5 обсуждаются арифметические свойства кратных дзетазначений. Доказывается, например^ следующий результат.Следствие 2.7.. Существует такое: зге {(2,3), (3,2), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2)}, что числа 1, ^(3) u^(so) линейно независимы над Q.В главе 3 исследуется интеграл вида 5(2;) и указываются его некоторые применения для арифметических результатов: В разделе 3.1 доказывается общая теорема о представлении интеграла 5(л) в виде линейной формы с полиномиальными коэффициентами от обобщенных поли логарифмов. В ней используется обозначение: й ^ v, если длины векторов U и i; равны и Uf^ г?г при любом г = 1, . . . ,1{и) = l{v).Знак '*' значит то же, что ив разделе Г.З. В некоторых случаях в линейной форме в действительности возникает много меньше обобщенных полилогарифмов, чем гарантируется этой теоремой, что важно в арифметических приложениях. В разделе 3.2 доказывается усиление общей теоремы при некоторых ограничениях на параметры.При этом используется определение: вектор и называется подчиненным вектору г/, если й •^ v или й ^ v' для некоторого вектора v', полученного из вектора /у вычеркиванием нескольких компонент в произвольных местах.В разделах 3.3 и 3.4 исследуются знаменатели и оценка сверху коэффициентов линейных форм разложения 5(-г).Теорема 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а^ О и произвольного е > О существует такое то , что при т,^ т,о размерность линейного пространства (над Q), пороэюденного 1, Lii(a), Ы2(о;),..., Ыщ(о;) не меньше, чем In т.1 + 1п2 Ранее подобный результат был известен лишь при |о;| < 1. Из этой теоремы и леммы 2.6 получается Следствие 3.12. Для любого рационального а, а < 1, а ^ О и произвольного £ > О существует такое т,о, что при тп '^ тпо размерност,ь линейного пространства (над <Q), пороэюденного 1, Lei (а), • • • 5 ^^{i}mi^) не меньше, чем In 771.1 + 1п2 В разделе 3.8 МЫ доказываем аналоги теоремы 3.12 для обобш;енных полилогарифмов big{z) и Le^{z).В5главе4 мы рассматриваем некоторые другие кратные интегралы, отличные от S{z), которые могут быть представлены в виде линейной формы от обобщенных полилогарифмов с полиномиальными коэффицентами.В разделе 4:1 исследуется обобщение интегралов; рассмотренных Рином (см, (4.2)), в виде кратных интегралов. Доказывается следующий результат.1:4 Результаты диссертации 17 В разделе 4.2 доказывается некоторое интегральное тождество, связанное с интегралами, рассмотренными Зудилиным в работе [12]. В заключение формулируется гипотеза о линейной форме для кратного интеграла, связанного с диофантовыми приближениями числа ^(4).Основные результаты этой диссертации опубликованы в работах [5]-[9].Автор выражает глубокую признательность Ю.В. Нестеренко за интересную тему и большое внимание к работе.Глава 2 Тождества 18 Глава 2 в этой главе мы докажем различные тождества и равенства.Доказательство . Сходимость интегралов очевидна: Доказательство проведем индукцией по /. Для удобства будем считать, что интеграл по нульмерному пространству равен единице; при 7 = О имеем 1 = р 7 ^ , и база индукции проверена.Проведем шаг индукции, где буква п для; краткости обозначает r/_i.Для завершения доказательства заметим, что внутренняя сумма может быть представлена в виде Г Ы -рг Г(а.)Г(6< - а.) 771 "^ ^ т > Сгг+1> • • • > On—1> Оп_ ^ т—п+\^т—п \ 1 и и ] ZXiX2'' • Xfi

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Злобин, Сергей Алексеевич, 2005 год

1. ВАСИЛЬЕВ Д.В., Некоторые формулы для дзета-функции Римана вцелых точках // Вестник МГУ; Сер. .1. Матем., мех. 1996. X Г^. G. 81-84.

2. VASILYEV D;V., On small linear forms for the values of the Riemannzeta-function at odd integers // Preprint^ ^Г^1 (558). Minsk: Nat. Acad; Sci. Belarus, Institute Math., 2001.

3. ГЕЛЬФОНД О.A. . Трансцендентные числа // Труды И Всес. матем.съезда. Л.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.; / / В кн. "Избранные труды". М.: Наука, 1973. G. 57-75.

4. ЗлОБИН G.A., Интегралы, представляемые в виде линейных формот обобщенных полилогарифмов // Матем. заметки. 2002. Т. 71. JV^ 5. 782-787.

5. ЗЛОВИН А., О некоторых интегральных тооюдествах / / Успехиматем. наук. 2002. Т. 57. JV^ З. G. 153-154.

6. ЗлОБИН G.A., Разлоэюения кратных интегралов в линейные формы

7. Доклады РАН. 2004. Т. 398. Я^5. G. 595-598.Литературам 132

8. ЗяОВКНС.А.уПроизводяш^ие функции для значении кратной дзетпафункции // Вестник МРУ. Gep. 1. Матем., мех. 2005. JГ^2: G. 55-59. 9! ЗЛОБИН^ GiA., Разложения кратных интегралов в линейные формы и Мал^ем. заметки. 2005.Т: 77. J^5. G. 683-706;.

9. З У Д И Л И Н ' ВШ^, Совершенно! уравновешенные гипергеометрическиеряды и, кратные интегралы.// Успехи матем. наук. 2002^Т.' 57. J^4l G. 177^178: W. ZUDILIN. W., Arithmetic of linear forms; involving/ oddl zeia values

10. Ji. Theorie Nombres Bordeaux. 2004: V. 16; №1: P: 251-291;: / /http://arxiv.org/abs/math/0206176: 12: ZUDILIN WV, Well-poisedl hypergeometric transformations of Euler-type multiple integrals II J. London Math. Soc. (2). 2004: V. 70: №1: P: 215230.

11. ZUDILIN W., Well-poised hypergeometric service for diophantine problems^of zeta values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29-30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003. V. 15. №2. P: 593-626.

12. К О Л М О Г О Р О В A.H., Ф о м и н G.B., Элементы теории функций тфункционального анализа 11 М:: Наука, 1989: 15; Н Е С Т Е Р Б Н К О Ю:В:, О линейной независимости чисел. 11 Вестник МРУ Gep. 1. Матем;, мех. 1985. №1. G. 46-54:

13. NESTERENKO Yu.V., Integral identities and constructions of approxim,ations to zeta-values 11 Actes des 12emes rencontres arithmetiques de Gaen (June 29-30, 2001). J. Theorie Nombres Bordeaux. 2003: V. 15. №2. P. 535-550.

15. Никишин Е.М., Об иррациональности значений функций F(x, s) //Матем. сборник. 1979. Т. 109. Jf^3. 410-417. 19: ПРАСОЛОВ В:В., Многочлены // Mi: МЦНМО, 1999.

16. СОРОКИН В.Ш, Теорема Апери // Вестник МГУ. Gep. 1. Матем., мех.1998. №3.G. 48-52.

17. СОРОКИН!В:Н., О jwepe трансцендентности числа тг^ / / Матем. сборник. 1996; Т. 187. J^12: 87-120:

18. ФЕЛЪ/ЩАПЯ.Ш, Седьмая проблема Гильберта // М.: Изд-во МГУ,1982.

19. ФУКС Б. А., Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / / М.: Гос. изд. физ.-мат, лит., 1962.

20. APERY Ш, Irrationalite de С(2) ei С(3) / / Asterisque 1979. V. 61. P.11-13.

21. BAILEY W.N., Generalized Hypergeometric Series // New York:Stechnert-Hafner, 1964. (Gambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, V. 32).

22. BEUKERS F., Л note on the irrationality of Cip) andC,{^) // Bull. LondonMath Society. 1979. V. 11. JГ^ З. P. 268-272.

23. BoRWEiN J.M., BRADLEY D.M., BROADHURST D.J;, Evaluations ofk-fold Euler/Zagier Sums: A Compendium of Results for Arbitrary к // \ Литература 134! The Electronic Journal of Combinatorics. 1997. V. 4. №2. Research Paper 5.

24. FISCHLER S., Formes lineaires en polyzetas et integrales multiples // СR. Acad; Sci. Paris Ser. I Math. 2002. V. 335. P. 1-4.

25. РАСПЕР Дж., PAXMAH M., Базисные гипергеометрические ряды //М- Мир, 1993.

26. HOFFMAN М.Е., The algebra of multiple harmonic series // Journal ofAlgebra. 1997. V. 194: J^2: P. 477-495.

27. KOKSMA J.P., POPKEN Jl, Zur Transzendenz von e^ // Journal fiir diereine und angewandte Mathematik. 1932. V. 168. P. 211-230.

28. KRATTENTHALER G., RIVOAL Т., Hypergeometrie et fonction zeta deRiemann / / Preprint (December 2004), submitted for pubUcation; / / http://arxiv.org/abs/math/0311114.

29. MAHLER K., Ein Beweis des Thue-Siegelschen Satzes iiber die Approximation algebraischer Zahlen fur binomische Gleichungen // Math. Ann. 1931. V. 105. P. 267-276.

31. RHIN G. , VIOLA C., On a permutation group related to C(2) / / ActaArith. 1996. V. 77, X^l. P. 23-56. Литература 135

32. RHIN G., VIOLA , The group structure for Ci"^) // Acta Arith. 2001.V. 97. JV^ З. P. 269-293.

33. RiVOAL Т., La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeursirrationnelles aux entiers impairs // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. Jf^ 4: P. 267-270.

34. RiVOAL т . , Proprietes diophantiennes des valeurs de la fonction zetade Riemann aux entiers impairs // These de doctorat (29 juin 2001). Caen: Universite^ de Caen, Laboratoire SDAD; / / http://theses-ENIigne.in2p3.fr.