О некоторых свойствах обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-значений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Уланский, Евгений Александрович

• Уланский, Евгений Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Уланский, Евгений Александрович

Оглавление

1 Введение

1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения.

1.2 Интегральные обобщения полилогарифмов.

1.3 Результаты диссертации.12.

2 Преобразования аргумента полилогарифмов

2.1 Преобразование

1 — z

2.2 Преобразование 1 — z.

2.3 Линейная независимость обобщенных полилогарифмов.

2.4 Алгебраическая независимость классических полилогарифмов.

3 Интегральные обобщения полилогарифмов

3.1 Построение интегральных обобщений.

3.2 Связь между Lis(5) и Le^f).

3.3 Стаффл-произведение для полилогарифмов.

3.4 Преобразование.

1 — z

3.5 Вывод теорем 2.1.1 и 2.1.2 из теоремы 3.4.1.

4 Линейная независимость значений функции Jlepxa

4.1 Определение функции Лерха.

4.2 Построение и оценка модуля линейных форм.

4.3 Оценка коэффициентов линейных форм и их знаменателей

4.4 Теорема о линейной независимости значений функции Лерха.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых свойствах обобщенных полилогарифмов и кратных дзета-значений»

1.1 Дзета-функция Римана и ее обобщения

Дзета-функция Римана £(s) при комплексном s с условием Re (s) > 1 задается рядом

00 1 cw-Ei

71=1

Одна из проблем теории трансцендентных чисел состоит в том, чтобы изучить арифметические свойства значений дзета-функции Римана в целых точках s > 2, т.е. выяснить, являются эти числа рациональными или иррациональными, алгебраическими или трансцендентными, а также найти все алгебраические соотношения между ними.

Еще Эйлер показал, что в четных точках дзета-функцию можно вычислить явно:

-^"SS5где В2п ~ числа Бернулли, удовлетворяющие рекуррентному соотношению и начальному условию Bq = 1. В 1882 г. Линдеман доказал трансцендентность числа 7г. Следовательно, при натуральном п число ((2п) трансцен-дентно.

Ситуация с числами ((2п + 1) намного более сложная. Проблема арифметических свойств этих чисел поднималась еще в 1934 г. А.О. Гельфондом (см. заключение в [1]). Существует

Гипотеза. При любом натуральном п и для любого ненулевого многочлена Р(хо,., хп) с целыми коэффициентами верно

Очевидно, доказательство этой гипотезы полностью бы решило проблему арифметических свойств значений дзета-функции Римана в целых точках. В частности, из этой гипотезы следует трансцендентность чисел 1).

Однако она до сих пор не доказана и не опровергнута.

Первый шаг в изучении значений дзета-функции в нечетных точках сделал в 1978г. Р. Апери [2], доказав иррациональность ((3). Трансцендентность С(3) или иррациональность £(2п + 1) при п > 2 пока не доказана. Однако после Апери, с помощью различных обобщений, были доказаны интересные результаты. Отметим, в частности, результат Т. Ривоаля [3] о бесконечности размерности линейного пространства над Q, порожденного значениями £(2п+1), а также результат В.В. Зудилина [4] об иррациональп > 1

Р(7Г,С(3),С(5),.,С(2п+1))^0. ности по крайней мере одного из четырех чисел £(5), ((7), ((9), С(Н).

Для изучения свойств дзета-функции Римана было введено множество других функций, так или иначе с ней связанных. Некоторые из этих функций будут использованы и исследованы нами в настоящей работе.

Наиболее естественным обобщением дзета-функции при натуральных значениях s являются полилогарифмы определяемые для комплексного аргумента z. Ряд (1.1) сходится при \z\ < 1. Также полилогарифмы иногда называют функциями Жонкье, поскольку они появлялись еще в 1888 году в статье этого математика [5]. При этом частные случаи (s = 2,3) изучались Эйлером и Ланденом еще в конце XVIII века.

Дальнейшим обобщением полилогарифмов является функция Jlepxa, определяемая следующим рядом где z,s,v € С.

В статье [6] Хоффманом были предложены многомерные обобщения дзета-функции Римана, именуемые кратными дзета-значениями:

1.1)

00 п

И<1' ^0,-1,-2,.

71=0 ^ '

• )

1.2)

1.3) и (1-4) где si,., Sk € N, 5i > 1. Ряды (1.3) и (1.4) сходятся абсолютно в области к

Re (si) >1, Y! (si) > При к = 2 кратные дзета-значения изучал еще /=1

Эйлер [7] , установивший семейство тождеств, связывающих двукратные дзета-значения с однократными, в том числе и знаменитое тождество

Числа (1.3), но с другим порядком суммирования в правой части были независимо от Хоффмана введены Загиром в [8].

В дальнейшем будем называть величины |s| = s\ + . + s^ и l(s) = к соответственно весом и длиной набора s = (si,., Sk).

По аналогии с одномерными полилогарифмами, иначе именуемыми классическими, в многомерном случае вводятся ряды которые сходятся в области \z\ < 1 и называются обобщенными полилогарифмами. Функции, определяемые такими рядами, удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

С(2,1) = «3).

1.5) и

1.6) z) = -Li(SlM2).jSn)(z) , если > 1, С z) = y—,u{s2,.,sn){z) иначе ; = ^Le{si-i,s2,.,sn){z), если sx > 1,

4-^(1,32,.,sn){z) = —rLe(s2,„.,Sn)(z) иначе . (1.7) 1 d

S2,.,Sn dz z( 1 - z)

Функции Lig(z) и Le${z) могут быть линейно выражены друг через друга, что будет показано в главе 3.

При si, «2? • • • > Sk Е N, s 1 ^ 2, имеют место равенства

С(5) = Lb(l), ф) = Le,(l).

Иногда удобнее использовать в качестве индексов полилогарифмов не наборы натуральных чисел, а слова алфавита, состоящего из двух букв {хо,xi}. Пусть X есть множество всех слов, состоящих из букв ^о и х\, содержащее в том числе и пустое слово. Для любого слова w множества X определен вес |гу|, который равен количеству всех букв в этом слове, и длина l(w), равная количеству букв х\, встречающихся в этом слове. В частности, если |iy| = l(w) = к, то w = х\. Для пустого слова полагается |0| = 1(0) = 0. Также слова из множества X можно упорядочить в лексикографическом порядке, если положить х\ -< xq.

Любому натуральному набору s = (si,., Sk) сопоставим слово w = xs01~lxixs02~1xi.xs0k~1xi. (1.8)

Таким образом, каждому полилогарифму вида (1.5) поставлено в соответствие некоторое слово из Хх\, причем понятия длины и веса согласованы. При этом каждому слову из Хх\ соответствует некоторый полилогарифм, так как оно единственным образом представляется в виде (1.8). Аналогично, для любого слова w £ xqXx\ определяется кратная дзета-функция

СИ

Обобщенный полилогарифм Liw(z) можно определить для произвольного слова w из X следующим образом. Положим Li0(z) = 1 и lnJ 2

Li w(z) = < j! если w = Xq, j ^ 1,

1.9)

Ju)i(t) • Liv(t)dt, если w = X{V и l(w) > 0, o u0{z) = - , ux{z) = -i- . (1.10) z l — z

Из определения следует, что обобщенные полилогарифмы удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

-UXoW{z) = hj\w{z), ~UXlW(z) = j^—lAw(z), (1.11) что верно для любого слова w £ X. Причем для слов из Хх\ система (1.11) совпадает с системой (1.7). Для слов из Хх\ и обобщенных полилогарифмов, определенных с нестрогими неравенствами при суммировании, преобразованная система (1.7) будет выглядеть следующим образом: hex0w(z) = -hew{z), -^L eXlW(z) = L ew(z). (1.12)

В статье [9] изучается поведение функций Li(Sl,.Sk)(z) под действием группы дробно-линейных преобразований z, 1 — z, f^, ^-.Некоторые из этих преобразований рассматривал еще Ланден, доказавший в 80-е годы XVIII века тождество

Li2 {rh)= " ^ln2(1"z)

Метод, предложенный в [9], эффективен и позволил при помощи ЭВМ и системы формальных вычислений AXIOM выразить в некоторых случаях при А; ^ 3 и si + . + Sfc ^ 4 значения обобщенных полилогарифмов в точках 1 — 2, — через значения таких же функций в точке z, а также ln(z) и числа 7г, ((т).

В главе 2 диссертационной работы, выбрав в качестве образующих группы преобразования ^ и 1 — z, мы докажем явные формулы в общем случае как для Lis(z), так и для Leg{z) (см. теоремы 2.1.1 , 2.1.2 и 2.2.1).

Последнее обобщение, которое мы будем рассматривать, получается при введении многомерного аргумента z — (zi,., Zk), Zj € С.

Рассмотрим ряды

П2 пк /01 /со " " " u(sUS2,.,Sk){z) = Е ЗгЗ^—Зг (1ЛЗ)

I Ьл ILо * * * /£i,

Задаваемые этими рядами функции есть так называемые обобщенные полилогарифмы кратного аргумента, которые совпадают с обычными обобщенными полилогарифмами (1.5) и (1.6) при z = (2,1,., 1). Обобщенные полилогарифмы кратного аргумента были введены в рассмотрение А. Б. Гончаровым, [10]. Однако при Z{ = ±1 такие функции рассматривал еще в 1904 году Нильсен, [11].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Уланский, Евгений Александрович, 2007 год

1. Гельфонд А.О. Трансцендентные числа. Труды 1. Всес. матем. съезда.JI.: Техтеоретиздат, 1934. Т. I.; В кн. "Избранные труды". М.: Наука, 1973. С. 57-75.

2. Apery R. Irrationalite de С(2) et С(3). Asterisque 1979. V. 61. P. 11-13.

3. Rivoal Т. La fonction zeta de Riemann prend une infinite de valeursirrationnelles aux entiers impairs. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 2000. V. 331. 4. P. 267-270.

4. Zudilin W. Arithmetic of linear forms involving odd zeta values.J. Theorie Nombres Bordeaux. 2004. V. 16. 1. P. 251-291; http://arxiv.org/abs/math/0206176.OO

5. Jonquiere A. Note sur la serie X) Ofversigt af Kongl. Vetenskaps71=1Akademiens Forhandlingar 1888. Vol. 46. P. 257 268.

6. Hoffman M.E. Multiple harmonic series. Pacific Journal of Mathematics1992. Vol. 152. № 2. P. 275 290.

7. Euler L. Meditationes circa singulare serierum genus. Novi Comm. Acad.Sci. Petropol. 1775. Vol. 20. P. 140 186; Reprinted: Opera Omnia Ser.

8. Vol. 15. Berlin: Teubner, 1927. P. 217 267.

9. Zagier D. Values of zeta functions and their applications. First EuropeanCongress of Mathematics (Paris, 1992). Vol. II. Boston: Birkhauser, 1994. P. 497 512.

10. Minh Hoang Ngoc, M. Petitot, and J. Van Der Hoeven. L'algebre despolylogarithmes par les series generatrices. SFCA'99, Series formelles et combinatoire algebraique, Barcelone, 1999.

11. Goncharov A.B. Polylogarithms in arithmetic and geometry. Proceedingsof the International Congress of Mathematicians. Vol. 1, 2 (Zurich, 1994). P. 374 387. Birkhauser, Basel, 1995.

12. Nielsen N. Recherches sur le carre de la derivee logarithmique de la fonctiongamma et sur quelques fonctions analogues. Annali di Matematica Рига ed Applicata 1904. Tomo IX. Serie III. P. 189 210.

13. Злобип С.А. Кратные интегралы и обобщенные полилогарифмы. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук. Московский Государственный Университет Им. М. В. Ломоносова. 2005. http://wain.mi.ras.ru/zlobin/ZlobinPhDThesis.pdf

14. Rivoal Т. Proprietes diophantiennes de la fonction zeta de Riemann auxentiers impairs. These de doctorat. Universite de Caen. 2001.

15. Уланский E.A. Тождества для обобщенных полилогарифмов. Математические заметки. 2003. № 4. Том 73. Стр. 613 624.

16. Уланский Е.А. Стаффл-соотношения для кратных дзета-значений.Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, механика. 2005. № 2. Стр. 52 -55.

17. Уланский Е.А. Об одном тождестве для обобщения гипергеометрического интеграла. Математические заметки. 2006. К°- 5. Том 79. Стр. 796 799.

18. Уланский Е.А. О линейной независимости значений функции Jlepxa.МГУ. Москва. 2007. Деп. в ВИНИТИ 30.05.07 № 581-В 2007

19. Сорокин В.Н. О мере трансцендентности числа 7г2. Математическийсборник. 1996. № 12. Том 187. Стр. 87 121.

20. Nielsen N. Recherches sur les generalisations d'une fonction de Legendre etd'Abel. Annali di Matematica Рига ed Applicata. 1904. Tomo IX. Serie III. P. 219 235.

21. Шидловский А.Б. О трансцендентности и алгебраической независимости значений некоторых Е-функций. Вестник МГУ, Сер. 1, Математика, механика. 1961. № 5. Стр. 44 59.

22. Minh Hoang Ngoc, М. Petitot, and J. Van Der Hoeven. Shuffle algebraand polylogarithms. Discrete Mathematics 2000. Vol. 225. № 1-3. P. 217 230.

23. Зудилин В.В. О мере иррациональности значений G-функций. Известия РАН 1996. Том 60. № 1. Стр. 87 114.

24. Зудилин В.В. Алгебраические соотношения для кратных дзетазначений. Успехи математических наук 2003. Том 58. № 1. Стр. 3 -32.

25. Waldschmidt М. Multiple polylogarithms: an introduction. Number Theoryand Discrete Mathematics, Hindustan Book Agency and Birkhauser Verlag, 2002. P. 1 12.

26. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Изд. "Наука". 1965.

27. Злобин С.А. О некоторых интегральных тождествах. Успехи матем.наук 2002. Том 57. №3. Стр. 153 154.

28. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. Москва. "Наука". Главнаяредакция физико-математической литературы. 1987.

29. Нестеренко Ю.В. О мере линейной независимости чисел. ВестникМГУ. Серия 1. Математика, механика. 1985. № 1. Стр. 46 49.