О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Петрушов, Олег Алексеевич

• Петрушов, Олег Алексеевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Петрушов, Олег Алексеевич

Оглавление

1 Введение 3

2 Асимптотические оценки функций на основе поведения их преобразования Лапласа вблизи особых точек 17

2.1 Общие теоремы....................... 17

2.1.1 Теоремы об особенности преобразования Лапласа 17

2.1.2 О точности неравенств в теоремах 1-2.....22

2.1.3 Следствия из теорем 1-2 для интегралов и рядов Дирихле...................24

2.2 Частные случаи.......................27

2.2.1 Пример применения результатов секции 2.1 .. . 27

2.2.2 Следствия для теоретико-числовых функций . . 29

2.3 Оценки модуля функций на основании поведения их преобразования Лапласа..................32

3 Поведение степенных рядов

вблизи единичной окружности 36

3.1 О степенных рядах, отвечающих степеням дзета-

функции ...........................36

3.1.1 Свойства интегралов Дирихле и лемма о разложении тригонометрической последовательности по характерам........36

3.1.2 Возведение в степень эйлеровых произведений . 39

СО

3.1.3 Разложение в ряд Дирихле степени эйлерова произведения....................42

3.1.4 Доказательство теоремы 3.............44

3.2 Общие теоремы о степенных рядах............46

3.2.1 Структура рядов Дирихле мультипликативных

и аддитивных последовательностей .......46

3.2.2 Свойства кручения характером и свойства скрученных сумм с простыми числами......48

3.2.3 Поведение рядов Дирихле со вполне мультипликативными коэффициентами и

их кручений в единице...............54

3.2.4 Теоремы о степенных рядах мультипликативных последовательностей .... 59

3.2.5 Теоремы об асимптотическом анализе степенных рядов..................70

3.2.6 Теоремы о степенных рядах аддитивных последовательностей................73

3.2.7 Оценки степенных рядов с коэффициентами -классическими арифметическими функциями . 78

3.3 Поведение М(г).......................88

3.3.1 Оценки функций ^у, на прямых <т = -0.5 - N .....5 . . ............88

3.3.2 Совместные оценки функций ^у, ц]ху(х ~ примитивные характеры) на горизонтальных отрезках.......................92

3.3.3 Доказательство теоремы 8.............95

3.3.4 Теоремы о поведении степенного ряда М(г) при некоторых условиях................104

3.3.5 Следствие для частичных сумм..........107

3.3.6 Малые модули ...................108

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О поведении преобразования Лапласа некоторых мер вблизи границы области сходимости»

Глава 1 Введение

В диссертации изучается поведение преобразования Лапласа вблизи границы области сходимости. В главе 1 приводится история проблемы и обзор результатов диссертации. В главе 2 из свойств преобразования Лапласа функций вблизи границы области аналитичности выводятся свойства самих функций. Общий результат применяется к теоретико-числовым функциям. Степенной ряд после простой замены становится также преобразованием Лапласа некоторой меры. В главе 3 изучается поведение сумм степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга.

В главе 2 рассматривается связь между поведением действительной функции v(t) при t —> +оо и поведением преобразования Лапласа F[v](s) заряда du(t)

poo

F[u](s)= / e~stdv(t) (1.1)

Jo

вблизи его особой точки. Известна классическая тауберова теорема (см [1] стр 192), которая является следствием результата Караматы (см [lj стр 191):

Пусть и(х) - неубывающая функция, интеграл (1.1) сходится при > 0. Если при s —» 0+ выполняется асимптотическое равенство

то

Ах1

Если верно асимптотическое равенство для /^[^(й) с некоторым остаточным членом, то можно оценить остаточный член в асимптотике и(х). Справедлива теорема Харди-Литтлвуда с остаточным членом Фрейда (см [2] стр 50):

Пуст,ъ и(х) - неубывающая функция, интеграл (1.1) сходится при > 0. Если для некоторого числа 7 > 0 при в —» 0+ выполняется асимптотическое равенство

где А > 0, £ > 0 - постоянные, то

111 X

В главе 2 рассматривается случай, когда р{х) не монотонна, и особенность преобразования Лапласа не лежит на действительной прямой.

В 1967 году И.Катай [3] доказал общую теорему. В терминах преобразования Лапласа она в предположении о мероморфности в некоторой полуплоскости, разложении Лорана в некотором полюсе 6>2 + Но, 02 > 0, ¿о 0 и поведении (5) в некоторых областях даёт оценку:

Для достаточно большого Т имеем

и{х)

тах -т-г—г > д,

Т<х<кТ ев2Ххк-1

и(х) X

1Т11П —-т—г < — О,

т<х<кт ев2Ххк~1

где 6 > 0, к > I - некоторые константы, которые вычисляются по поведению ^[г/] (з), к - кратность полюса.

Эта теорема при применении к и{х) = Yhn<ex гДе ß{n) ~

функция Мёбиуса даёт следующий результат.

Пример 1. Пуст,ь М(х) = ]Cn<zм(п)> тогда для каждого достаточно большого Т найдутся Х\, Х2 удовлетворяющие неравенству Т < х < Тк такие, что

М(хг)х;1/2 > Ö, М(х2)х~1/2 < -6,

где к, > 1, 6 > 0 - некоторые эффективно вычисляемые постоянные.

Перейдём к изложению результатов главы 2. В параграфе 2.1.1 доказываются теоремы об осцилляции v'{x), v(x) при более слабых ограничениях на особенность и область аналитичности F[v](x).

Теорема 1. Дана действительная функция v, абсолютно непрерывная на каждом отрезке [О, R] ( R > 0), а интеграл (1.1) сходит,ся в полуплоскости üfts > Предположим, что функция F(s) = обладает следующими свойствами.

1) F(s) аналитически продолжается в некоторую окрестность отрезка [сг0, а\}.

2) F(s) аналитически продолжается в некоторую область G такую, что G С > сг0}; и (ctq + Üq, ctq + Üq + а) С G, где а > О, to^O.

3) Существуют числа с > 0, а > 0, n G No такие, что

К |F(<7° + ^ + 3:)l > с. (1.2)

2^0+ х_а(— In х)п ~ v '

Тогда справедливы неравенства

-- v'(u) с

lim --—Ц-^ > ——, 1.3

и

и

lim --—Ц-Г^ < 1.4)

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 кроме одного: действительная функция у имеет лишь ограниченную вариацию на любом отрезке [О, Я] (И, > 0). Тогда в случае сто > 0 справедливы неравенства:

и(и)

uii+i» иа~ 1eaoU (Inи)п ~ Г(а)|а0 + it0\'

lim < -с

uZ^oo ^-^«(lnu)" - Г(ск)|(7о + йоГ

а в случае ctq < 0 справедливы неравенства:

v{u) - i/(0) - F{0)

lim -- > -

иа~1еа*и{\пи)п - Г(а)ко + г£0|'

Ит и(и) - ко) - т < -с и^+оо {\пи)п - Г(ск)|ао + г£оГ

Теоремы 1-2 доказываются в параграфе 2.1.1.

В параграфе 2.1.2 доказывается точность неравенств, полученных в теоремах 1 - 2, а именно, что константа в этих теоремах может быть увеличена не более чем в два раза.

В параграфе 2.1.3 доказываются следствия теорем 1-2 для рядов и интегралов Дирихле, так как ряды и интегралы Дирихле являются преобразованиями Лапласа некоторых мер.

С использованием результатов параграфа 2.1.3 в параграфе 2.2.2 выводятся связи между расположением нулей дзета-функции Римана с учётом кратностей и поведением функций

Ма(х) = £

п<х

Па

где 0 < а <

Теоремы 1-2 позволяют оценивать осцилляцию и{х) при более общих, чем у Катай условиях на

В теореме Катай существенно использовалось, что особая точка функции F[v](s) - полюс. В нашем случае особая точка может быть точкой ветвления и не изолированной особой точкой.

Рассмотрим пример, когда теоремы Харди-Литтлвуда и Катай неприменимы, а наша теорема применима. Пусть /(s) = (r]{s))~a, где 7](s) — (1 — 21~s)£(s), а > 0, а ^ Z. Так как коэффициенты не знакопостоянны, то теорема Харди-Литтлвуда неприменима. Особые точки f(s) не являются полюсами, поэтому теорема Катай также неприменима. А теорема 1 даёт следующие оценки:

Пример 2. Пусть а(п) - коэффициенты разложения в ряд Дирихле функции f(s), С{х) — Yln<xa(n)- Тогда справедливы следующие оценки:

ТГ- С (и)

lim —-г—-—- > с,

и^>оо (lnU)a~LU 1

С (и)

lim —--—-—- < —с,

и—кх> (m и)а 1и~1

где с> 0 - некоторая эффективно вычисляемая постоянная.

Доказывается это утверждение в параграфе 2.2.1.

Результаты секции 2.3 используются в главе 3.

Степенной ряд YlnLi апгП после замены переменной z = е~1 становится рядом Y^=\ane~nt, который является частным случаем преобразования Лапласа. В главе 3 изучается поведение степенных рядов вблизи единичной окружности. Возможность аналитического продолжения и поведение вблизи единичной окружности функций, заданных степенными рядами, изучались давно.

Адам ар привёл простейший пример функции, голоморфной в круге \z\ < 1, которая не может быть продолжена за единичный круг ни в одной точке: ^ ■ Функция стремится к бесконечности

^4- 4- 1

на лучах вида z = е^тъ при t —> 1—.

Если радиус сходимости степенного ряда равен 1, то невозможность продолжения за единичный круг ни в одной точке доказана в следующих случаях:

1) Если степенной ряд f{z) лакунарен, т.е.

оо

/(¿) = ]TaAnz\

71=1

где

п

Хп Е N, lim — = 0.

71—>00 \п

Этот результат доказан Е.Фабри в 1896 году, (см [5] с 80,[4]).

2) Если Р - бесконечное множество простых чисел, а последовательность Ап содержит только конечное число членов кратных р Е Р для каждого р Е Р, и f(z) — Yln=iaKzXn- Это было доказано С. Мандельброитом. (см [6]).

3) Если коэффициенты степенного ряда принимают конечное число значений, и он не является рациональной функцией. Этот результат доказан Сегё в 1922 году (см [5] стр 165, [7]).

4) Если коэффициенты степенного ряда целые, и он не является рациональной функцией. Это было доказано Ф.Карлсоном в 1921 году (см [8]).

5) Если этот степенной ряд отвечает модулярной форме [9] или тета-функции [10].

Поведение степенных рядов, отвечающих L-функциям алгебраических полей, изучалось В. Н. Кузнецовым, В. В. Кривобоком, Е.

B. Сецинской в 2005 году в работе [11], где доказывалось, что существуют конечные пределы радиальных производных по лучам z _ е2?пг£ ПрИ ^ дЛЯ всех r G Q за исключением конечного числа.

Перейдём к изложению результатов диссертации, доказанных в главе 3. Всюду в секции 3.1 £(s) - дзета-функция Римана. Пусть ß Е

C, тогда при > 1 функция C^(s) раскладывается в ряд Дирихле с некоторыми коэффициентами тр(п):

оо 71=1

При натуральных 5 сходимость очевидна. Обозначим

оо

(1.5)

п= 1

В секции 3.1 изучается поведение степенных рядов (1.5) вблизи единичной окружности. Радиус сходимости этих рядов равен 1. Возникает вопрос о возможности продолжения этих функций за единичный круг и поведении вблизи единичной окружности.

В секции 3.1 доказывается следующая ниже теорема 3 для класса степенных рядов (1.5) которая влечёт за собой непродолжаемость сумм рядов (1.5) за единичный круг ни в одной точке. Введём ещё одно обозначение:

Пусть д{х) > 0, тогда равенство /(х) = £1{д{х)) при х —> а означает, что существует 5 > 0 и бесконечная последовательность -> а, такие что |/(£&)| > 6д(Ьк). Через р будем обозначать простые числа.

Теорема 3. Если /3 е С \ 1^2,, то при любом г > О

В секции 3.2 рассматриваются степенные ряды с мультипликативными и аддитивными коэффициентами, и доказываются общие теоремы о поведении рядов на некоторых лучах, исходящих из точки О и, как следствие, получается непродолжаемость этих степенных рядов за единичный круг.

Известен ряд работ о поведении степенных рядов с коэффициентами - значениями арифметических функций вблизи границы единичного круга. Например, в качестве коэффициентов рассматривались /¿(п) - функция Мёбиуса, ф(п) - функция Эйлера, Л(п) -функция Мангольдта.

В 1914 году Г.Х.Харди и Д.Е.Литтлвуд [12] доказали, что если

оо

то существует постоянная К > 0, что каждое из неравенств

Ну) < т > к.

выполняется для бесконечного числа у при у —> 0+, а если гипотеза Римана верна, то

РЫ-оЦI).

В 1967 году И.Катай [13] доказал, что существует такая постоянная К > 0, что каждое из неравенств

п—\ 00

71=1

выполняется для бесконечно многих z при z 1 — ,

В работе [14] в 2010 году С.Герхолдом изучалась связь между поведением функции Yl^Li ¿¿(n)zn при z —> 1-й расположением области аналитичности функции и аналогичные задачи для соответствующих рядов Дирихле.

В 2005 году В.Д.Бэнкс, Ф.Лука, И.Е.Шпарлинский [15] доказали иррациональность степенных рядов некоторых теоретико-числовых последовательностей над Z[x], в частности

$>(п)л ][>(п)л $>(п)л

71 71 71 71

где си(п) - число простых делителей п, Q(n) - число простых множителей в разложении п.

В 1917 году С. Вигерт [16] вывел асимптотическое разложение

оо оо р2

У т(п)е~"' ~ - log - + 1 - У ;-S|±J- е

h t t ¿J(n + 1)!(„+1)

при £ —> 0+, \агд(£)\ < 5 < где 7 - постоянная Эйлера, Вп - числа Бернулли.

В работе [17] П.Фладжоретом, К. Гордоном и П.Дурнасом исследовались асимптотики некоторых степенных рядов при приближении к 1 на основании преобразования Меллина.

Определение 1. Функция а(п) называется

мультипликативной, если а(тп) = а(т)а(п) при (т,п) = I, вполне мультипликативной, если а(тп) = а(т)а(п) для всех т,п еЩ,

аддитивной, если а(тп) = а(т) -I- а(п) при (т, п) = 1, вполне аддитивной, если а(тп) = а(т) + а(п) для всехт,п Е N.

В 2009 году П.Борвейн и М.Конс [18] доказали, что если /(п) -нетривиальная вполне мультипликативная функция N —» {—1,1}, то

оо 71=1

- трансцендентная функция над Ъ[х\. Отсюда они вывели, что функции

оо оо

71= 1 71=1

трансцендентны над Z[x]. Здесь А(п) - функция Лиувилля.

В секции 3.2 исследование поведения степенного ряда ос(п)гп на луче 2 = ге2^ при г —> 1 — сводится к исследованию поведения ряда Дирихле

(1-6)

71=1

при приближении к особым точкам (1.6). При ф € 0> функция е2тггфп связана с характерами Дирихле. Поэтому ряд Дирихле (1.6) выражается в виде линейной комбинации рядов

71=1

которые называются кручениями ряда Дирихле характерами х-Исследование ряда (1.6) сводится к исследованию его кручений.

Методы, изложенные в секции 3.2 , позволяют исследовать поведение степенных рядов с коэффициентами - арифметическими функциями на лучах, соединяющих О и е27™^, где ф е О, в отличие от предыдущих результатов, где исследование велось на луче, соединяющим 0 и 1. Они дают возможность исследовать поведение некоторых степенных рядов на лучах и доказывать непродолжаемость степенного ряда за единичный круг, откуда сразу следует трансцендентность степенного ряда над С (ж).

Перейдём к описанию результатов секции 3.2 .

Определение 2. Рядом Дирихле последовательности а(п) называ-

Еоо а(п)

В параграфах 3.2.1 - 3.2.2 исследуется структура рядов Дирихле мультипликативных и аддитивных последовательностей и доказываются некоторые теоремы о суммах, содержащих характеры.

С использованием этих результатов в параграфе 3.2.3 доказываются теоремы о поведении некоторых рядов Дирихле и их кручений.

С помощью доказанных результатов в параграфе 3.2.4 устанавливаются следующие теоремы - основные результаты секции 3.2 .

Теорема 4. Пуст,ь а(п) - вполне мультипликативная функция, принимающая положительные значения, а(р) < р, и существуют такие А, В, 0 < у < А < В, что для всех р выполняются неравенства А < а(р) < В. Обозначим Р0 = эир{р : ^^ >

= ПР<р0(1 — ^тг)-1, п > 0 - порядок полюса Н(з) в 1 и = а{.п)гП- Тогда если а{ц) Ф 1 для некоторого простого

д , то

Ще^г) = П((1 - г)-1( — 1п(1 - г))Л+п-1~£), г 1 - О каковы бы ни были I € Ъ, е > 0.

Из теоремы 4 следует

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 4 и, кроме того, а(р) Ф 1 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 21 (z) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Теорема 5. Пусть а(п) - комплекснозначная мультипликативная функция, 0 < а(р) < р. Существуют А, В,с, 0 < у < А < В,

0 < с < 2, такие, чт,о для всех р выполняются неравенства А < а{р) < В, a{pk) = 0{ск). Пусть QL(z) = ZZi «W-^, Ep(s) =

1 + Y1T= i Oi(pk)p~ks, причём

Ep( 1) Ф 0 для всех p, (1.7)

и

EM * A

для некоторого простого q. Тогда

21 (e^r) = iî((l - r)-x(- ln(l - г))л~1_£)

для любых l G Ъ, e > О при г —> 1 —.

Константа в О в условии теоремы предполагается независимой от р и к.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 5 и, кроме того, Ер( 1) ф ^zy для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд Щг) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

В параграфе 3.2.5 доказана асимптотическая теорема, важная для исследования степенных рядов многих мультипликативных последовательностей. Рассмотрим пример её применения

Пример 3. Пусть а е С, —a g N0, cra(n) = Yhd\nna и ®а(2) = aa(n)zn. Пусть I ф 0(mod р), тогда при и —> 0+ справедливо асимптотическое разложение

ea(efe~u) = Г(а + 1)С(а + 1 )р-а-1и-а~1+

оо k=0

где ск - некоторые явно указанные числа, зависящие от а, к, 1,р.

Доказывается это утверждение в параграфе 3.2.7. В параграфе 3.2.6 с использованием результатов параграфов 3.2.1 и 3.2.2 доказываются следующие теоремы:

Теорема 6. Пусть а(п) - комплекснозначная аддитивная функция, ад = £~=1 Ср(з) = ЕТ=МРк) - *{рк~1))Гк5. Пусть

\а(рк+1) — а(рк)\ < С для всех простых р, к Е N.

Тогда если Сд(1) ф 0 для данного простого то при любом I ф О{тоб, д) верно неравенство

Нт (1 — г)|21(е^г)| > |С9(1)| (1.8)

г—> 1 —

Следствие 3. Пусть справедливы условия теоремы 6 и, кроме того, Ср(1) ф 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд Щг) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Если а(п) - вполне аддитивная функция, то теорема 6 допускает уточнение:

Теорема Т. Пусть а(п) - комплекснозначная вполне аддитивная функция, Щг) — ^™=1а(п)гП> — С для всех р. Тогда каково

бы ни было простое число такое, что а(д) ф 0 для данного простого ц, при любом I Е Ъч \ {0} справедливо неравенство

И^(1-г)|21(е¥г)|>^М (1.9)

т—>1— (/ — 1

для любого I ф 0(тос1 ц).

При условии вполне аддитивности функции а(п) следствие 3 допускает уточнение.

Следствие 4. Пусть справедливы условия теоремы 7 и, кроме того, а{р) ф 0 для бесконечно многих р. Тогда степенной ряд 21(<г) не продолжается за единичный круг ни в одной точке.

Результаты параграфов 3.2.4 - 3.2.6 показывают, что наложив определённые условия на арифметическую структуру коэффициентов степенного ряда, можно получить класс рядов, непродолжаемых за единичный круг.

В параграфе 3.2.7 содержатся примеры конкретных рядов, к которым применимы теоремы. Степенные ряды многих арифметических последовательностей раскладываются в асимптотические ряды при z = е2™фе~1 и t -> 0+, ф Е Q.

К функции Ш(г) = 1 n{n)zn не применимы общие теоремы 3 - 7, поэтому мы её рассмотрим отдельно в секции 3.3. В параграфах 3.3.1-3.3.3 доказывается следующая оценка

Теорема 8. Для любого рационального (3 существует а > 0, чт,о при г —> 1 —

9Я(ге27Г^) = П((1-г)"°). (1.10)

В параграфе 3.3.4 рассматриваются случаи, когда оценку при г —» 1— можно усилить. В параграфе 3.3.5 выводится следствие для частичных сумм ряда YlnLi ^(n)e2nlf3n.

Следствие 5. Для любого (3 Е Q существует а > 0, что при х —> +оо

Y,= П(ха). (1.11)

п<х

Доказательство теоремы 8 использует следующий принцип. Если имеется такое число [3 Е Q, что maxo<i<r |9Я(е27гг/?£)| растёт медленно при г —> 1 — , то можно получить некоторый степенной ряд, продолжающийся за единичный круг в точке е2т/3, коэффициенты которого принимают конечное число значений и не являются периодическими, что противоречит теореме Сегё (см параграф 3.3.3).

При (3 = 0 результат (1.11) хуже, чем у Катай. С другой стороны при (3 ф 0 методы Катай не позволяют получить оценку (1.11).

В параграфе 3.3.6 для рациональных (3 Е Q с небольшими знаменателями мы получим безусловное усиление теоремы 8 и следствия 5.

Теорема 9. Пусть ^ = ^ € О ид < 100, тогда при г —■> 1 —

Ш(ге2тР) = П((1-г)"5). Теорема 10. Пусть Р = ^ £ и д < 100, тогда при х —> +оо

п<х

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф., чл-корр. РАН Ю.В.Нестеренко за постановку задачи, многочисленные полезные советы и обсуждения.

Автор благодарит проф. Н.Г. Мощевитина за плодотворные обсуждения и поддержку.

Автор очень признателен всему коллективу кафедры теории чисел механико-математического факультета МГУ за хорошую атмосферу и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Петрушов, Олег Алексеевич, 2013 год

Литература

[1] D. Widder. The Laplace transform. Prinston Univ. press, 1941.

[2] А.Г. Постников. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

[3] I. Katai. On investigations in the comparative prime number theory, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 18(3-4), 1967, P 379-391

[4] E. Fabry, Sur les points singuliers d'une fonction donnee par son developement de Taylor, Ann ее norm sup. Paris (3), V 13, 1896, P 367-399.

[5] Jl. Бибербах. Аналитическое продолжение. M.: Наука, 1967

[6] S. Mandelbroit, Series de Taylor qui présentent des lacunes, Ann. Scient Ecole Norm. Sup. ser 3 V. 40, 1923, P. 413-462.

[7] G. Szego, Uber Potenzreihen mit endlish viellen verchsiedenen Koeffizienten, Sitzung, der Pr. Akad. der Wiss., Math.-phys. Kl. V. 16, 1922,P 88-91

[8] F. Carlson, Uber Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Mathematische Zeitschrift. V.9. 1921, P 1-13.

[9] H. Коблиц. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. М.: Мир, 1988.

[10] Д. Мамфорд Лекции о тета-функциях. М.: Мир, 1988

Л] В.Н. Кузнецов,В.В. Кривобок,Е.В. Сецинская, О граничных свойствах одного класса степенных рядов, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, Вып 2005.3, 2005, 40-47.

12] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, V 41.3, 1916, 119-196.

13] I. Katai, On oscillations of number-theoretic functions, Acta Arithmetical V 13, 1967, 107-122.

14] S. Gerhold. Asymptotic estimates for some number-theoretic power series, Acta Arithmetica, 142.2, 2010, 187-196.

15] W.D. Banks, F. Luca, I.E. Shparlinski, Irrationality of Power Series for Various Number Theoretic Functions, Manuscripta Math, V 117, 2005, P 183-197.

16] S. Wigert. Sur la serie de Lambert et son application a la theorie des nombres. Acta. Math, 41.1, 1916, 197-218.

17] P. Flajoret, X. Gordon, P. Durnas. Mellin transforms and asymp-totics: Harmonic sums, Theoret. Comput. Sci., V 144, 1995, P 3-58.

18] P. Borwein M. Coons. Transcendence of Power Series for some Number Theoretic Functions. Proc of the American Math. Soc., 137.4, 2009, P 1303-1305.

19] A.M. Odlyzko, H.J.J te Riele. Disproof of the Mertens conjecture. Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 357, 1985, 138— 160

20] А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды: Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

21] А. А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел М. УРРС, 2004.

[22] H. L. Montgomery R. С. Vaughan. Multiplicative Number Theory I. Classical Theory. Cambridge Univ. press, 2006

[23] G.H. Hardy E.M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press, 1979.

[24] Э. Кнэпп. Эллиптические кривые. M, Факториал Пресс, 2004.

[25] Е. С. Titchmarsh. The Theory of Riemann Zeta Function. Oxford, Clarendon press, 1988.

[26] G. H. Hardy, M. Riesz. The General Theory of Dirichlets Series. Cambridge Univ. press, 1915.

[27] Бари H.K. Тригонометрические ряды. M.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961

[28] G. Н. Hardy On a case of term-by-term integration of an infinite series, Messenger of Math, V 39, 1910, P 136-139