Чисто-вещественные биквадратичные алгебраические поля и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Герцог, Александр Сергеевич

• Герцог, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Герцог, Александр Сергеевич

Оглавление

Введение

1 Метод К. К. Фролова

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Решётки и гиперболическая дзета-функция

решёток

1.3 Алгебраические решётки

1.4 Класс функций Е?(С)

1.5 Оценки сверху погрешности квадратурных

формул на классах функций Е£(С)

1.6 Тригонометрические суммы сеток с весами

1.7 Алгебраические сетки

2 Вычисление четырехкратных интегралов с помощью сеток биквад-ратичных полей

2.1 Биквадратичные поля

2.2 Вычисление кратных интегралов

2.2.1 Вычисление двукратных интегралов

2.2.2 Вычисление трехкратных интегралов

2.2.3 Вычисление четырехкратных интегралов,

первый вариант

2.2.4 Вычисление четырехкратных интегралов, второй

вариант

2.2.5 Вычисление четырехкратных интегралов, третий

вариант

2.2.6 Область изменения параметров

2.2.7 Вычисление четырехкратных интегралов, 4-6 варианты

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Чисто-вещественные биквадратичные алгебраические поля и их приложения»

Введение

Одной из классических проблем вычислительной математики является задача приближенного вычисления определенного интеграла. Различные квадратурные формулы для вычисления определенного интеграла были построены ещё в XIX веке. Построение на их основе многомерных квадратурных формул оказалось неэффективным из-за существенной потери точности с ростом размерности. Поэтому 55 лет тому назад, исходя из нужд вычислительной практики, в приближенном анализе возник теоретико-числовой метод Н. М. Коробова , который позволил построить для канонической области интегрирования, являющейся единичным 5-мерным кубом = [0; I)5, многомерные квадратурные формулы, существенно более точные, чем классические формулы для классов периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье.

В задаче численного интегрирования выделяют следующие основные постановки задач построения квадратурных формул:

1. оптимальные для заданного класса функций Р;

2. асимптотически оптимальные квадратурные формулы;

3. имеющие точный порядок погрешности;

4. имеющие порядок погрешности, отличающийся от точного на множитель вида 1п7 N (Ы — число узлов в квадратурной формуле).

Точная формулировка задачи отыскания квадратурных формул, оптимальных на некотором классе принадлежит академику А. Н. Колмогорову. Для ряда классов функций одной переменной эта задача рассматривалась академиком С. М. Никольским и его учениками [19].

В данной работе рассматривались вопросы приближенного интегрирования функций многих переменных по единичному s—мерному кубу по методу К. К. Фролова [20] для непрерывных периодических функций с периодом, равным единице по каждой из переменных xv {у = 1,2,..., s), принадлежащих классу Ef(C), который состоит из периодических функций

оо

f(x) = С{т)еш{-^\

mi,...,ms=—оо

где:

а т — тах(1, \т\) для любого вещественного т.

Областью интегрирования является единичный куб:

= {ж | 0 < < 1, v= l,2,...,s}.

Для погрешности квадратурной формулы 1 1 N

J...J f{x)dx = 1 £ p(k)mk)) - RN[f] (1)

о о k~l

с N узлами £(&) и весами р(к) (к = 1,..., ЛГ) на классе периодических функций из Е£(С) путем несложных преобразований можно получить оценку:1

С » |5(тЙ)|

где

N

3{т) = ^ р(к)е2т(т,^к^ — тригонометрическая сумма сетки. (3) к=1

Для равномерной сетки с равными весами и N — п3 узлами:

(4)

О О к1=° *«=°

13нак Y1' означает, что суммирование распространено на наборы (mi... ms) (0,..., 0).

для погрешности приближенного интегрирования выполняется неравен-

ство2

|я„[/]Кс Е' ^-jjW

mi,...,ms——оо № . . . TTls)

(5)

так как для тригонометрической суммы равномерной сетки выполняется равенство

П— 1 71—1

в{т) = ^ = АМ • • • «»М- (6)

кг=0 /с5=0

Зависимость погрешности квадратурной формулы (1) от хорошо известных в теории чисел тригонометрических сумм ¿>(т) позволила использовать при приближенном интегрировании методы теории чисел. Используя неравномерные сетки

.....©) <•"■•.....«

где N — простое число или квадрат простого числа,

Н. М. Коробов в 1957 г. в работе [15] получил для таких классов функций и квадратурных формул вида

(к2] (к3'

о о fcl=0

оценку погрешности

rn[i]=оШ- (8)

Тригонометрические суммы S(m) в этом случае принимают вид:

N п .ш\к + т2к2 + ... + msks 2т-

к=1

.1, при т = 0 (mod п), Здесь и далее оп{т) = ^ — символ Коробова.

О, при тп ф 0 (mod п)

то есть являются рациональными тригонометрическими суммами, для которых (при простом N) справедлива оценка А. Вейля

\S(m)\ ^ (s-l)VN,

если хотя бы одно ту (и — 1,...,s) не кратно N. Аналогичная оценка справедлива и при iV, равном квадрату простого числа. Отметим, что случай квадрата простого числа для вычислительной практики более предпочтителен, так как позволяет использовать небольшие таблицы простых чисел. При р < 6000 получаем N — р2 < 36000000. Кроме этого, с теоретической точки зрения случай квадрата простого числа выделяется исключительной элементарностью вывода оценки типа Вейля.

Оценка (8) уже не ухудшается с ростом s и, таким образом, при s, большем 2а, неравномерные сетки предпочтительнее равномерных, однако они не реагируют на увеличение гладкости подынтегральной функции. Важной особенностью квадратурных формул с неравномерными сетками является тот факт, что порядок оценки погрешности численного интегрирования по этим формулам такой же, как и в методе Монте-Карло, но эта оценка является детерминированной, а в методе Монте-Карло — вероятностной.

Вскоре И. И. Пятецкий-Шапиро [3] доказал существование сеток вида

({9 {eefc}), (fc = 1,2,..., iV),

для которых справедлива более точная оценка

RN[f\ = 0(N~1]nN).

Полученый результат, несмотря на неэффективность доказательства, стимулировал дальнейшие исследования оценки погрешности квадратурных формул на классе функций Е®(С).

Существенно неулучшаемые оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Ef(C) были установлены в 1959 г. Н. М. Ко-

робовым [16] и Н. С. Бахваловым [1]: 1 1 N-1

О 0

здесь öi, ..., as — специально выбранные целые числа, зависящие от 7V, которые называются оптимальными коэффициентами. Введенные параллелепипедальные сетки позволили получать погрешность порядка

на классах функций Е£(С) для всех а > 1. Дальнейшее уточнение оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Е£(С) было связано с совместным приближением иррациональных чисел рациональными и окончательно решено лишь для случая s, равного двум. Для s = 2 оценки имеют вид

RN[f] = 0(N-a\nN), f е Щ(С).

Учитывая оценки снизу И. Ф. Шарыгина [21], имеющие для квадратурных формул на классе функций Е£(С) вид

sup \RN[f}\ ^ Ci • С • N~alns_1 N, Ci = Ci(s, a) > 0,

feEf{C)

можно сделать вывод, что к 1976 г.:

• для классов функций E^iC) {а > 1) получен точный порядок погрешности,

• для классов функций Е"(С), (s ^ 3, а > 1) получен порядок погрешности, отличающийся от точного разве лишь на множитель вида 1п(а-1)(5-1} N.

В 1976 г. К. К. Фролов в работе [20] построил для специального подкласса периодических функций из класса Е% квадратурные формулы с алгебраическими сетками, для которых получил точный порядок погрешности:

11 Stzl azl

IrWTl-1 Л 2

f№dx = ^-L- E ••• E p(k)nm-Rnui (io)

0 0

\Mf}\ = О (q~as In'-1 q), N = О (qs). (11)

Позднее в своей кандидатской диссертации он устранил дополнительные ограничения на класс функций, но сетки и веса стали зависеть от параметра гладкости а.

С точки зрения теории чисел принципиальным моментом в его работе было привлечение для построения многомерных квадратурных формул алгебраических решеток, соответствующих чисто-вещественным алгебраическим полям степени й над полем рациональных чисел.

В 1984 г. Н. М. Добровольский в серии работ [8] — [13] построил теорию обобщенных паралелепипедальных сеток и предложил конструкцию весовой функции, которая позволила включить в общую теорию и квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками Коробова, и аналог квадратурных формул с алгебраическими сетками Фролова.

Квадратурная формула

£ р{х)т-я-кАП (12)

^ хеМ'(А)

с весовой функцией р(х) и обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа М'{А) охватывает и случай параллелепипедальных сеток Коробова, когда решетка А — целочисленная, и аналог сеток Фролова, когда алгебраическая решетка А соответствует чисто-вещественному алгебраическому полю Ж степени й над полем рациональных чисел <0>.

С различной степенью подробности эти результаты отражены и во втором издании монографии Н. М. Коробова [18], и в монографии Н. М. Добровольского [14].

Таким образом, к 2006 г.

• для классов функций Е£(С): (з а > 1) с помощью параллелепипедальных сеток получен порядок погрешности, отличающийся от точного разве лишь на множитель вида А^,

• для классов функций Е®(С) {а > 1) с помощью алгебраических сеток получен точный порядок погрешности.

Оставались нерешенными задачи вычисления констант в оценках погрешности для квадратурных формул с алгебраическими сетками точных по порядку погрешности. Не рассматривался вопрос,особенно важный для вычислительной практики, о перечислении точек алгебраической сетки.

Таким образом, актуальными являлись задачи дальнейшего исследования конкретных алгебраических сеток для нахождения явных значений констант в оценках погрешности приближенного интегрирования и указания эффективных способов перечисления узлов алгебраической сетки без лишней работы по проверке попадания точек в область интегрирования.

Поэтому в диссертационном исследовании были поставлены следующие задачи:

• вычислить константы в оценке погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с использованием алгебраических сеток, порожденных чисто-вещественным алгебраическим полем Е степени 5 над полем рациональных чисел <0>;

• рассмотреть конкретное вещественное биквадратичное поле Дирихле (ф (л/2, у/Щ и решить для него алгоритмическую проблему перечисления точек соответствующей алгебраической сетки, используемой при численном интегрировании по методу Фролова четырехкратных интегралов от периодических функций из класса

• провести численные эксперименты по вычислению методом Фролова с алгебраической сеткой, порожденной вещественным биквадра-тичным полем Дирихле <0> (л/2, л/3), четырехкратных интегралов от граничной функции Коробова из класса для параллелепипе-дальных сеток.

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Первая глава — "Метод К.К. Фролова" (с. 19 — 68) — посвящена полному и подробному изложению метода К. К. Фролова (см.[18], [20]) с вычислением констант, входящих в оценки погрешности метода, и уточнением отдельных деталей метода. Содержание этой главы направлено на достижение первой задачи диссертации.

В параграфе 1 (с. 20 — 25) даны вспомогательные леммы об оценке некоторых интегралов и рядов, которые постоянно используются в дальнейшем изложении.

Параграф 2 (с. 26 — 32) содержит определения решетки и гипербо-

_ —* —*

лической дзета-функции решетки. Пусть Х\,..., Ат, т < я — линейно независимая система векторов вещественного арифметического пространства М5. Совокупность А всех векторов вида

—* —*

0,1X1 + ... + атХ ГП1

где а?- независимо друг от друга пробегают все целые рациональные чис-

—* —*

ла, называется т-мерной решёткой в К'4, а сами векторы А] ,..., Хт — базисом этой решётки.

Если т = в, то решётка называется полной, в противном случае — неполной. Так как в этой работе рассматриваются только полные решётки, то, следуя традиции многих изложений, для краткости будем говорить просто о решётках, опуская слово полная.

Прежде всего заметим, что гиперболическая дзета-функция решёток является рядом Дирихле. Таким образом, гиперболическую дзета-функцию решётки можно записать как ряд Дирихле:

хек Ае<28р(Л) з=1 з

В этом параграфе доказан ряд лемм о числе точек решетки в некоторых областях, которые позволяют доказать важную лемму (с. 31) об абсолютной сходимости дзета-ряда, задающего гиперболическую дзету-функцию решетки, из которой следует корректность определения в виде суммы по точкам решетки.

В параграфе 3 (с. 33 — 41) сформулированы некоторые свойства алгебраических решеток.

Лемма 11 (с. 33). Пусть д — число целых точек, принадлежащих области

\Х1 + ©„ж2 + ... + ©ГЧ| < Я», (и = 1,..., в).

Тогда

Лемма 12 (с. 35). Для числа целых точек д; принадлежащих области

П Ы + 0^2 + • • • + ©ГЧ) < к 1/=1

Ы < М, = ¿0

справедлива оценка

д < 25 (1 + 28 (з + 1) Л^ А) + 2)5-1,

где постоянная А = Аг(а) = шах (1 +1©^ +... +1©^_1|) зависит лишь от корней ©¡,, {и = 1,..., в) многочлена (1.15).

Лемма 13 (с. 36). Пусть матрица Т = Ц^Пвхв и Т~1 = ([^¿.^хв — её обратная матрица. Тогда при А < А(Т)д; где

1

-1 1 '

в-мерный параллелепипед

П(Т, А) = {х 11^1 + ... + Ъ3х3\ < А {у = 1,2,...,«)}

не содержит целых точек к = (к\,... ,к8) с Ц^Цх ^ д; а б-мерный куб [—А, А]в не содержит точек у решетки А(Т) с ||г/||1 > А(Т)д. Лемма 14 (с. 37). Пусть сумма д, д) задана равенством

-а

1Н|1><Э

1 у ^ СМУ-1 1

Я

Теорема 1 (с. 38). Если в^ (и — 1,..., з) — действительные корни неприводимого многочлена

й- 1

рз{х) = ^арх" + х8

г/=0

с целыми коэффициентами, матрица Т = Т{а) и а — действительное число больше единицы, то для гиперболической дзета-функции решетки (н (^Л(Т)|о;) справедлива оценка:

сЯ(?Л(Т)И<

< 16-.(в +1) + 5 1о§2(Л2(Т)) + 2)5-1««)+

+ ах(1 + а*)уЛ 1

{а-\)\{Ту-1\ \{Т)) \ Ча ) I Я.ва'

Теорема 1 играет ключевую роль в оценке погрешности приближенного интегрирования по методу Фролова. Все константы в её формулировке являются эффективно вычислимыми и для них даны явные выражения. В такой форме теорема доказана впервые.

Параграф 4 (с. 42 — 44) посвящен классу функций в кото-

ром дано определение периодической функции, принадлежащей классу Е®(С), и сформулированы некоторые свойства таких функций, связанные с оценкой интегралов, возникающих для коэффициентов Фурье при замене переменных.

Для непрерывной функции f(x и произвольных действи-

тельных <71,..., сг3 обозначим через ..., сг8) интеграл

/ • ■ ■ / (№ - М)) + "'' + ^^

Лемма 15 (с. 42). Если функция /(#1,..., х8) принадлежит классу Е®{С), (1 < а ^ 2), то для любых действительных чисел ... ,сг5 выполняется оценка

и/, о-ь ..., ^ж С • (2 (1 + СИ) + (1 + 2СН) 2°Г (^1.. ■

Лемма 16 (с. 43). Пусть функция f(x ]_,..., принадлежит классу Eg{C) и г = [а] +1 . Пусть, кроме того, функция <р(х) непрерывна на отрезке [0,1] вместе с первыми г производными и удовлетворяет условиям:

= ^">(1) = 0, (г/ = 0,1,..., г — 1),

i

J\ipM(x)\dx^(27ry, (г/ = 0,1,...,г), о

Тогда для любых действительных чисел а\,..., as выполняется оценка [ ■ ■ [ (fl^^) fíx)e2niiaiXl+---+asXs)dx ^

о о V,=1 /

^ С . (2 (1 + СМ) + (1 + 2С(а)) 2°Г (сгг... <7,)"«.

В параграфе 5 (с. 45 — 50) для классов функции Е£(С), {а > 1) получены неулучшаемые по порядку оценки сверху погрешности квадратурных формул для вычисления кратных интегралов с помощью алгебраических параллелепипедальных сеток. В такой форме с эффективными константами в явном виде теоремы 2 и 3 доказаны впервые.

Теорема 2 (с. 46). Пусть параллелепипед П3(Т) содержит куб К8. Пусть дана сетка из N = д5 узлов ..., к3) = (к),... , с

весами р{к\,..., к3), определенными равенствами

г/=1

11 2=1 Z=1

= £ ... Е рйлШ-зд/]

О О

на классе функций Е%(С), (1 < а < 2) удовлетворяет оценке Rn(E?(C))= sup \RN(f)\^

feE?(C)

< С • (2(1 + C(<*)) + (1 + 2C(a)) 2a)s Ся(зЛ(Т)И.

Теорема 3 (с. 49). Пусть функция <р(х) непрерывна на отрезке [0,1 ] вместе с первыми г (г = [се] 4-1) производными и удовлетворяет условиям

1

J |</0г)|^<(2тгУ, (и = 0,1 ,...,г).

о

Пусть сетка £(k) та же, что и в теореме 2. Тогда погрешнось квадратурной формулы

/••• / (й^ы) /(*)<**=

о о W /

<7-1 1-1 у

= IdetTTi £ _ £

х/ - RnU)

на классе функций Ef(C) удовлетворяет оценке

Rn(E?(C))= sup \RN{f)\ <

feE-(C)

< С ■ (2 (1 + C(a)) + (1 + 2C(a)) 2Q)S • Ся (?Л(Т)Н.

В параграфе б (с. 51 — 60) исследуется тригонометрическая сумма сеток с весами

Я(т,,..., т.) = £ -

к

4-1 9-1

= |МТГ £ ... £ р(к)е(13)

Эти исследования позволяют доказать следующую теорему.

Теорема 4 (с. 56). Пусть сетка £(к) и веса р(к) те же, что и в теореме 1, а > 2 и г = [а] + 1 .Тогда погрешность квадратурной формулы

1 1

у... У }{х)дх =

о о

_ (^)Г+1Е (п,- в (ы^д)) х

ко \"=1 '

к\ ,...,кг

на классе функций Е"{С) удовлетворяет оценке

С

.....о)Г'

/(2 (1 + СМ) + (1 + 2С(а)) 2«)' • Ся(дЛ(Т)1«) V I

((б + 10С(2)Г-Ся(дЛ(Т)12)Г\ |det Т\ )

мМ = [1 + (г + 1)(д-1)]в = О(Л0.

Параграф 7 (с. 61 — 68) завершает изложение нового варианта метода Фролова. В нем доказывается основной результат первой главы. Теорема 5 (с. 67)Пустъ = 1,...,— действительные корни неприводимого многочлена

3-1

— ^ ^ (ХуХ Н- ос 1>=0

с целыми коэффициентами.

Пусть матрица Т(а) задана соотношением (1.59), матрица Т\ — равенством (1.60),

Г 1, при 1 < а < 2, г{а) = <

I [о;], при а > 2,

а сетка

равенствами

1 _1 -

£(&) = -Тг к, (д — целое, нечетное).

Тогда существуют такие веса ра(к), что погрешность квадратурной формулы

1 1

/ ... [ 1(х)дх = Ра(к) / ТГ1^ - ЯмЛЛ

О 0 |^|<(г(а)+1)

2=1 2

на классе функций Е^{С) удовлетворяет оценке

Длгв = О (д— Ы5-1 д) ,

И хотя в формулировке теоремы для краткости используется знак О(), но в тексте доказательства соответствующие константы даны в явном виде. Таким образом и этот основной результат в методе Фролова в такой форме доказан впервые.

Вторая глава — "Вычисление четырехкратных интегралов с помощью сеток биквадратичных полей" (с. 69 — 96) — посвящена рассмотрению вопроса о практическом вычислении кратных интегралов от периодических функций.

Параграф 1 (с. 69 — 71) посвящен вещественным биквадратичным полям Дирихле. В нем выполнена подготовительная работа для реализации вычисления четырехкратных интегралов методом Фролова и дается

явный вид матриц Т, Т1 и ТI-1, рассчитанных с помощью символьных вычислений в системе МАТНСАБ.

В параграфе 2 (с. 72 — 96) для численного эксперимента была выбрана функция к(х) = 3*(1 — 2{х\})2 ... (1 — 2{хв})2, которая является граничной функцией для параллепипедальных сеток на классе Е23 (1, и используется как основа для количественной меры качества наборов оптимальных коэффициентов.

Этот параграф разбит на 7 разделов.

В разделе 1 (с. 73 — 75) приводятся программы на МАТНСАБ и результаты численного интегрирования для двукратных интегралов от тестовой функции. Результаты сопоставимы с параллелепипедальными сетками, но несколько хуже.

В разделе 2 (с. 76 — 78) приводятся аналогичные программы для численного интегрирования трехкратных интегралов от тестовых функций по методу Фролова. Так как кубические иррациональности чисто-вещественного кубического алгебраического поля над полем рациональных чисел нельзя задать символически, не используя сложных формул Кардано, выходящих в комплексную область, то приводятся простейшие программы вычисления корней кубического неприводимого многочлена и численные расчеты необходимых матриц для метода Фролова. Результаты эксперимента оказались удовлетворительные.

Раздел 3 (с. 79 — 81) содержит результаты численного эксперимента для четырехкратных интегралов, которые показали неэффективность прямого подхода при реализации метода Фролова при размерности в = 4. Было найдено теоретическое объяснение этому факту и предложено улучшение первого варианта реализации метода Фролова для четырехкратных интегралов.

В разделе 4 (с. 82 — 82) дается улучшенный вариант вычисления четырехкратных интегралов, который также дал неудовлетворительные результаты с точки зрения объема холостой работы, связанной с проверкой попадания точек решетки в область интегрирования.

Раздел 5 (с. 83 — 84) содержит попытку улучшения характеристик алгоритма перечисления узлов сетки за счет более аккуратной подготовки каждого следующего из четырех вложенных циклов. Это, конечно, привело к улучшению характеристик программы, но не улучшило кардинально ситуацию.

В раздел 6 (с. 84 — 90) было осуществлено теоретическое исследование алгоритмической проблемы исключения холостой работы. Анализ конкретной сетки, опирающийся на явное задание узлов сетки как линейных целочисленных комбинаций квадратичных иррациональностей, позволил найти точную параметризацию узлов сетки.

Раздел 7 (с. 91 — 96) содержит несколько вариантов реализации алгоритма интегрирования , основанных на точной параметризации узлов сетки.

В заключении приводятся основные выводы по диссертационному исследованию.

В заключении автор пользуется случаем выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Н. М. Добровольскому за постановку задачи, полезные советы, постоянное внимание к работе и поддержку.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Герцог, Александр Сергеевич

Заключение

Данная работа посвящена рассмотрению основных вопросов:

• Метод К. К. Фролова;

• Вычисление четырехкратных интегралов с помощью сеток биквад-ратичных полей

В работе показано, что метод Фролова позволяет строить квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности для непрерывных периодических функций с периодом, равным единице по каждой из переменных ху (и = 1,2,., з), принадлежащих классу Е"(С). Новизной нашего исследования явилось вычисление всех констант, входящих в оценки, в явном виде.

Разработана программа в МАТНСАБ для приближенного вычисления четырехкратных интегралов с помощью алгебраических паралле-лепипедальных сеток на основе рассмотрения биквадратичных полей Дирихле. Дополнительный теоретический анализ позволил найти точную параметризацию узлов квадратурной формулы, исключающую холостую работу по проверке попадания точки в область интегрирования.

Анализ результатов численного эксперимента позволяет сделать вывод, что для численного вычисления четырехкратных интегралов по методу К. К. Фролова можно использовать биквадратичные поля Дирихле. Для алгебраических сеток, соответствующих биквадратичному полю Дирихле <0)(л/2 + -\/3), существует точная параметризация, которая исключает холостую работу по проверке точки сетки области интегрирования. При малых значениях д < 135, когда количество точек

Л/", реально используемых в вычислениях, меньше 137035, преимущество метода Фролова перед методом оптимальных коэффициентов Коробова не обнаруживается, так как хотя оценка погрешности имеет вид Ядг = О (^^г^, константа в знаке О( ') оказывается по порядку равной 104.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Герцог, Александр Сергеевич, 2012 год

Литература

[1] Бахвалов, Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов / Н. С. Бахвалов // Вестн. Моск. ун-та. — 1959. - № 4. -С. 3-18.

[2] Виноградов, И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов — М.: Наука, 1981.

[3] Гельфанд, И. М. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для решения кинетического уравнения / И. М. Гельфанд, С. М. Фейнберг, А. С. Фролов, Н. Н. Ченцов // Тр. II Международной конференции по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958, Доклад 2141), — М.: Атомиздат, 1959. - Т. 2. - С. 628-633.

[4] Герцог, А. С. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул / А. С. Герцог, Е. Д. Ребров, Е. В. Триколич // Чебышев-ский сб. — Т. X. Вып. 2(30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2009. - С. 10-54.

[5] Герцог, А. С. Численное вычисление четырехкратных интегралов по методу Фролова с использованием алгебраических сеток биквадратичного поля Дирихле <0>(\/2 + у/3) / А. С. Герцог // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 3. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2011. - С. 22-30.

[6] Герцог, А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле / А. С. Герцог // Научные ведомости Белгород-

ского государственного университета. Серия: Математика. Физика. №23(188). - Вып. 5. - Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. - С. 41-53.

[7] Герцог, А. С. ПОИВС ТМК: Биквадратичные поля и квадратурные формулы / А. С. Герцог // Материалы международной научно-практической конференции " Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии" посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2011. - С. 242-247.

[8] Добровольский, Н. М. Оценки отклонений обобщенных паралле-лепипедальных сеток / Н. М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6089-84.

[9] Добровольский, Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток / Н. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6090-84.

[10] Добровольский, Н. М. О квадратурных формулах на классах Е%(с) и Щ{с) / Н. М. Добровольский - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84.

- №6091-84.

[11] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский. — Тула, 1984.

[12] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский.

— Москва, 1985.

[13] Добровольский, Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения / Н. М. Добровольский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесоюз. конф. — Тбилиси, 1985. — С. 67-70.

[14] Добровольский, Н. М. Многомерные теоретико - числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.

[15] Коробов, Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел / Н. М. Коробов. // ДАН СССР.

- 1957. - N 6. - С. 1062-1065.

[16] Коробов, Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов / Н. М. Коробов. // ДАН СССР. - 1959. - Т. 124. - N 6. - С. 1207-1210.

[17] Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов. — М.: Физматгиз, 1963.

[18] Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе / Н. М. Коробов. - 2-е изд. - М.: МЦНМО, 2004.

[19] Никольский, С. М. Квадратурные формулы / С. М. Никольский.

- М.: Наука, 1979.

[20] Фролов, К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций / К. К. Фролов // ДАН СССР. 231. - 1976.

- N0 4. - С. 818-821.

[21] Шарыгин, И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций / И. Ф. Шарыгин // Вычисл. матем. и матем. физики. - 1963. - N02-3. - С. 370-376.