Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Фатулаев, Буба Фатулаевич

• Фатулаев, Буба Фатулаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фатулаев, Буба Фатулаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Основные сведения из теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам со сдвигом для полианалитических и метааналитических функций

ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА

ГАЗЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

2.1. Точная постановка основной задачи типа Газемана

2.2. Краевая задача типа Газемана для метааналитических функций в случае круга

2.3. Исследование основной краевой задачи типа Газемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура

ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА

КАРЛЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

3.1. Точная постановка основной задачи типа

Карлемана

3.2. Обобщенная краевая задача типа Карлемана для аналитических функций

3.3. Исследование основной краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура

3.4. Краевая задача типа Карлемана для метааналитических функций в случае круга и дробно-линейного сдвига контура

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций»

Диссертация посвящена исследованию линейных краевых задач с сопряжением и со сдвигом (типа Газемана и типа Карлемана) в классах метааналитических функций, т.е. регулярных решений дифференциального уравнения вида m+ai°m+atF(z)=0, (o.i) д lid ,д\ где ао,а\- некоторые комплексные постоянные, а — = - ——|- г— oz 2 \ох oyj дифференциальный оператор Коши-Римана.

Для аналитических функций (т.е. для решений уравнения вида гт1- = 0) краевые задачи со сдвигом впервые были исследованы z

К.Газеманом [84].

Большой вклад в развитие теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [5]-[7], И.Н.Векуа [11], Н.П.Векуа [12], Э.И.Зверович [27], [28], Р.С.Исаханов [29], Д.А.Квеселава [30], [31], Г.С.Литвинчук [38]-[41], И.Б.Симоненко [65] и др.

В последние три десятилетия как в странах СНГ, так и в других станах (Китае, КНДР, Югославии), наблюдается устойчивый интерес к краевым задачам со сдвигом для аналитических функций и различных их обобщений (полианалитических, метааналитических, JP-моногенных функций), что объясняется связями этих задач с такими математическими теориями, как, например, теория дифференциальных уравнений [78], теория приближения функций [80], а также многочисленными приложениями в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [11], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упругости [9], [10], [42], [43], [62].

Как справедливо указывал И.Н.Векуа [11], "дальнейшие поиски в направлении изучения такого рода задач имеют значительный интерес" .

Одним из естественных обобщений краевых задач со сдвигом для аналитических функций являются задачи со схожей структурой для более широких классов функций (полианалитических, метааналитических, F-моногенных и др.). Исследованию таких задач для полианалитических и метааналитических функций посвящены работы В.А.Габриновича [13-17], С.В.Левинского [34-37], В.В.Показеева [45],

46], И.А.Соколова [67], М.Сапак [79], В.Балуашгос [81-83], С.Я.ЗЬое [85] и др. Однако в этих работах рассматривались лишь задачи так называемого "треугольного вида" (см., например, [56], с. 19), которые, по сути, сводятся к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач со сдвигом в классах аналитических функций.

В то же время, наиболее важные краевые задачи с сопряжением и со сдвигом общего (не " треугольного") вида для метааналитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам, в первую очередь, относятся следущие две задачи, обычно называемые основными краевыми задачами типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций (см. [56], с. 286).

Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = ж+гг/, ограниченная простым гладким замкнутым контуром уравнение которого имеет вид: £ = х(з) + iy(s), 0 < 5 < /, где « - натуральный параметр, причем Ь £ С^ (см. с. 9). Через Т~ обозначим дополнение Т+ и Ь до полной комплексной плоскости.

Задача #2,м (типа Газемана).

Требуется найти все кусочно-метааналитические функции Р(г) = — {Е+(г), Р~(г)} класса М2(Т±) ПН^(Ь)1, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

М] = Со(г)-.р-М+9о«. (0.2)

НО] с гдед/дп+ (<9/<9п) - производная по внутренней (внешней) нормали к Ь, = (И/йв, а (к = 0,1) - заданные на Ь функции, причем Сч;(£) Е (т.е. удовлетворяют условию Гелъдера вместе со своими производными до порядка 3 — к), Е Н^2~к\Ь), ф 0 на Ь; а(£) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура Ь, причем а'(£) ф 0, «(¿) Е

Задача К2^м (типа Карлемана).

Требуется найти все метааналитические в Т+ функции класса М2(Т+) ПН^Щ, удовлетворяющие на Ь следующим условиям:

0.4)

Определение класса М^Т^) П см. на с. 18. dF+la(t)] dF+(t) дп ~ Gl{t) ' "ST" + 9l®> (°'5) где L E C^, д/дп - производная no внутренней нормали к L, G kit), gk(t) - заданные на L функции, причем G kit) G H^~k\L), gk(t) G и G kit) ф 0 на L; a(t) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура и удовлетворяющая условию Карлемана a[a(t)] = t, причем a(t)

Важно отметить, что, поскольку действительные (мнимые) части бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1) при a,Q = а\ = 0) являются бигармоническими функциями, то задача .К~2,м является естественным обобщением так называемой основной бигармонической задачи (см. [43], с. 138), имеющей многочисленные приложения в механике сплошной среды и математической физике.

В случае a{t) = t сформулированные выше задачи Н"2,м и K2jm в классах бианалитических функций были исследованы в работах М.П.Ганина [19], [20], В.С.Рогожина [63], К.М.Расулова [55], [56] и др. Однако в случае a(t) ф t задачи Д"2,м и К2)м Д° сих поР не были исследованы. Поэтому разработка методов решения указанных задач является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач типа Газемана и типа Карлемана для метаанали-тических функций, построение теории их разрешимости и установление нетеровости, выявление частных случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме.

Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов.

Первая глава "Вспомогательные сведения и обзор литературы" состоит из трех разделов. В первом разделе вводятся наиболее часто используемые обозначения и понятия. Основными из них являются понятия метааналитической и кусочно-метааналитической функции.

Во втором разделе для удобства дальнейших ссылок приведен ряд известных фактов из теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций.

В подразделе 1.2.1 приводится схема решения методом интегральных уравнений задачи Газемана (обычной) для аналитических функций, состоящей в отыскании всех исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков L, удовлетворяющих следующему краевому условию:

F+[a(t)] = G(t)F~(t) + g(t), t G (0.6) где G(t),g(t) - заданные функции точек контура, удовлетворяющие условию Гельдера, a(t) - гомеоморфное отображение кривой L на себя, сохраняющее ориентацию контура и удовлетворяющее следующим условиям: a'W^O, a{t)eH^(L). (0.7)

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Фатулаев, Буба Фатулаевич

Выводы. Из результатов исследования задачи К2>м видно, что в общем случае ее решение сводится к последовательному решению обобщенной задачи типа Карлемана (3.77) (или (3.90)) и обычной задачи типа Карлемана (3.66) (или (3.80)) для аналитических функций. Однако, как видно из результатов раздела 3.3, решение задачи К2}М сводится к последовательному решению двух обычных задач типа Карлемана в классах аналитических функций всякий раз, когда обобщенная задача типа Карлемана (3.77) (или (3.90)) допускает решение сведением к обычной задаче типа Карлемана для аналитических функций (см. пример 3.1, а также [56], §3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены методы решения линейных краевых задач Н2^м (типа Газемана) и К2ум (типа Карлемана) для метаана-литических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами при помощи общего подхода, базирующегося на общем представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных задач типа Газемана и типа Карлемана для аналитических функций. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровость задачи -НГ2,м

Кроме того, на примере круга в работе показано, что в частном случае областей с аналитическими границами к решению задач Н2)м и К2ум применим более простой и известный в математической физике метод, основанный на задании аналитической кривой с помощью так называемого уравнения Шварца. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы на конкретных примерах.

Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Методы решения краевых задач Н2}м и К2>м в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами [59]-[61], [70], [72].

2. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задачи Н2,м [59], [70].

3. Решение краевой задачи Н2>м в случае круга сведением к двум задачам типа Газемана для аналитических функций [71], [73].

4. Решение в замкнутой форме (в квадратурах) задачи К2,м в случае единичного круга и дробно-линейного сдвига контура [73], [74].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фатулаев, Буба Фатулаевич, 2000 год

1. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. -Т. 85. М.: ВИНИТИ, 1991. - С. 187-246.

2. Бикчантаев И. А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа // Тр. Семинара по краев, задачам. Казанск. ун-т. 1971. - Вып. 8. - С. 31-40.

3. Бикчантаев И.А. Краевые задачи для одного эллиптического уравнения: Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Казань, 1972. - 89 с.

4. Бицадзе A.B. Основы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1984. - 317 с.

5. Боярский Б.В. Анализ разрешимости граничных задач теории функций // Исследования по совр. пробл. теории функций комплексного переменного.- М., 1961. С. 57-79.

6. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта // Сообщ. АН Груз. ССР.- i960.- Т. 25, N 4.- С. 385-390.

7. Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора // Annales Polonici Mathemat. 1966.- T. 17, N3.- С.281-320.

8. Веку a И. H. О метагармонических функциях //Тр. Тбилиск. матем. ин-та. 1943. - Т. 12. - С. 105-186.

9. Веку а И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. 296 с.

10. Векуа И.Н. Об одном методе решения основной бигармониче-ской краевой задачи и задачи Дирихле // Некоторые пробл. мат. и мех. Л.: Наука, 1970. - С. 120-127.

11. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. - 509 с.

12. Векуа H.H. Системы сингулярных интегральных уравнений. -М.: Наука, 1970. 379 с.

13. Габринович В.А. Внешняя краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций / Белгосуниверситет.- Минск , 1975.- 15 с. Деп. в ВИНИТИ 31.03.75, N 860-75 // РЖ: Математика.- 1975.-N8.- 8Б138ДЕП.- С. 21.

14. Габринович В.А. О краевой задаче типа Карлемана для метаа-налитисеких функций // ДАН БССР.- 1977.- Т. 21, N 2. С. 112-115.

15. Габринович В.А. Краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. 1977. -N3.- 0. 48-57.

16. Габринович В.А. О краевой задаче типа Карлемана для одного класса ^-моногенных функций // Лит. мат. сб. 1977. - Т. 14, N 3. -С. 137-138.

17. Габринович В.А. Краевая задача типа Гильберта для р-полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. -1987. N 2. - С. 33-38.

18. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 111, кн. 10. - С. 9-13.

19. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, N3.-0. 313-316.

20. Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 79, N 6.- 0. 921-924.

21. Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций: Дис . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Казань, 1952. - 69 с.

22. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. - 640 с.

23. Гончаров П. С. Краевая задача типа задачи Гильберта со сдвигом на внутреннем контуре для кусочно-полианалитической функции // Вест. Белорус, ун-та. Сер. 1. 1974. - N 3. - С. 23-26.

24. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12. - С. 50-57.

25. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. -1976. Вып. 13. - С. 80-85.

26. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. - Т. 26, Вып.1. - С. 113-179.

27. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания // Сибирск. матем. ж.- 1973.- Т. 14, N 1.- С. 64-85.

28. Исаханов P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: Дис . докт. физ.-мат. наук: 01.01.01. Тбилиси, 1984. - 281 с.

29. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды Тбилисск. матем. ин-та. 1948.- Т. 16. - С. 39-80.

30. Квеселава Д.А. Решение одной граничной задачи Т.Карлемана // ДАН СССР.- 1947.- Т. 55, N 8.- С.683-686.

31. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971. - 431 с.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

33. Левинский C.B. Теория Нетера первой краевой задачи для полианалитических функций // Изв. вузов. Математика. 1989. - N 3.-С. 35-39.

34. Левинский C.B. Краевая задача для функций, полианалитиче-ких в нескольких многосвязных областях // Современный анализ и его приложения.- К.: Наукова думка, 1989.- С. 107-111.

35. Левинский C.B. Краевая задача со сдвигом Карлемана для полианалитической функции / Одесский ин-т нар-го хоз-ва.- Одесса, 1990.- 32 е.- Деп. в УкрНИИНТИ 18.05.90.- N 871-Ук 90.

36. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: Дисс . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02.- Одесса, 1991.142 с.

37. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. - 448 с.

38. Литвинчук Г.С. Теорема Нетера для одного класса сингулярных интегральных уравнений со сдвигом и сопряжением // ДАН СССР.- 1965.- Т. 162, N 1.- С. 26-29.

39. Литвинчук Г. С. К теории краевых задач со сдвигом Карлемана // ДАН УССР.- 1967.- Т. 11.- С. 1019-1022.

40. Литвинчук Г.С. Теория Нетера системы сингулярных интегральных уравнений со сдвигом Карлемана и комплексно сопряженными неизвестными // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1967.- Т. 31, N 3.- С. 563-586.

41. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.- М.: Наука, 1977.- 415 с.

42. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968. 511 с.

44. Показеев B.B. Интеграл типа Коши для метааналитических функций // Изв. вузов. Математика. 1982. - N 3. - С. 44-51.

45. Показеев В.В. Задача линейного сопряжения для двоякопери-одических полианалитических функций / Казанск. ун-т. Казань, 1980. - 40 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.02.1981.- N 896-В81 // РЖ: Математика.- 1981.- N 6.- 6В233ДЕП.- С. 36.

46. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. - 493 с.

47. Раджабов Н., Расу лов А.Б. Интегральные представления и граничные задачи для одного класса систем дифференциальных уравнений высшего порядка // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 282, N 4 -С. 795-799.

48. Расу лов K.M. О решении некоторых краевых задач типа Ри-мана для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1980. -Т. 252, N 5. - С. 1059-1063.

49. Расулов K.M. Краевые задачи типа Римана для одного дифференциального уравнения высшего порядка // Совр. вопросы теории функций и функц. анализа. Караганда.- 1980. - С. 113-120.

50. Расулов K.M. Краевые задачи типа Римана для полианалитических функций, разрешаемые в замкнутой форме // Докл. АН СССР.-1983.- Т. 270, N 5. С. 1061-1065.

51. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320, N 2. - С. 284-288.

52. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / / Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, N2. - С. 320-327.

53. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях // Докл. АН Беларуси. 1992. - Т.36, N 9-10. - С. 782-785.

54. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: Дис . докт. физ.-мат. наук: 01.01.01.-Минск, 1995. 241 с.

55. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. - 345 с.

56. Расулов K.M. Неклассическая задача Дирихле для полианалитических функций // Межвуз. сб. науч. тр. "Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи". Смоленск, 1997. -С. 64-87.

57. Расулов K.M., Фатулаев Б.Ф. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / / Труды математического центра имени Н.И.Лобачевского.- Казань: "УНИПРЕСС", 1998.-С. 204-206.

58. Расулов K.M., Фатулаев Б.Ф. О решении основной краевой задачи типа Карлемана для бианалитических функций / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999.- 23 е.- Деп. в ВИНИТИ 26.10.99. - N2994-В99.

59. Рева Т.Е. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь с упруго-пластической задачей // Прикладная механика (Киев). 1972. - Т.8, вып.Ю. - С. 65-70.

60. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн.З. -С. 71-93.

61. Самко С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-диффе-ренциальных уравнениях с аналитическими ядрами // Изв. Сев. Кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. -N 4. - С. 86-94.

62. Симоненко И.Б. Краевые задачи Римана и Римана-Газемана с непрерывными коэффициентами // Исследования по совр. проблемам теории функц. компл. перем.- М.: Физматгиз, 1961.- С. 380-389.

63. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1969.- N 5. - С. 64-71.

64. Соколов И.А. О краевой задаче типа задачи Римана со сдвигом для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970. - N 1. - С. 118-121.

65. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура // Вестник

66. Белорусского ун-та. Серия 1. 1970. - N 2. - С. 20-23.

67. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. - 735 с.

68. Фатулаев Б. Ф. Основные краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций в случае круговых областей / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 1999.- 16 е.- Деп. в ВИНИТИ 24.02.2000. - N 464-В00.

69. Фатулаев Б. Ф. О решении внешней краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в случае единичного круга / / Труды математического центра имени Лобачевского.- Т. 5.- Казань: "УНИПРЕСС", 2000.- С. 209-210.

70. Хасабов Э.Г. О краевой задаче типа задачи Гильберта: Дисс . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01. Ростов-на-Дону, 1958. - 73 с.

71. Юденков A.B. Основные краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций // Избранные вопросы высшей математики и информатики: Матер, междунар. сем., Смоленск, 12-13 мая 1997 г./ Смол. гос. пед. ин-т, Хаген. заочн. ун-т.- Смоленск, 1997. С. 19-21.

72. Balk M.B. Polyanalytic functions. Berlin.: Akademie Verlag, 1991. - 192 p.107

73. Canak M. Randwertaufgabe von Riemann-types fur die p -polyanalytischen Functionen auf der spiralförmigen Kontur // MaTeM. BecHHK (Yugoslawien). 1988. - Vol. 40, N 3-4. - P. 197-203.

74. Carmona J.J., Fedorovski K.Ju., Paramonov P.V. On uniform approximation by polyanalytic polynomiols and the Dirichlet problem for bianalytic functions.- Juliol, 1999.- 19 p.- (Preprint / Centre de Recerca Matemetica; num. 415).

75. Damjanovic Bosko. A special case of the homogeneous contour problem for polyanalitic functions in multiply connected regions //5 Conf. Appl. Math., Lyublyana, Sept. 2-5, 1986 y./ Inst. Math., Phys. and Mech.- Lyublyana, 1986.- P. 41-46.

76. Damjanovic Bosko. The homogeneous contour problem for polyanalitic functions in multiply connected regions //5 Conf. Appl. Math., Lyublyana, Sept. 2-5, 1986 y./ Inst. Math., Phys. and Mech.-Lyublyana, 1986.- P. 47-51.

77. Damjanovic Bosko. The boundary value problem for polyanalitic functions in multiply connected regions // Mathematichi Vesnik (Yugoslavia).- 1986.- Vol. 38.- P. 411-415.

78. Haseman C. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen auf einige Randwertaufgaben.- Gottingen, 1907. 192 p.

79. Shoe C.R. A boundary Value Problem of Meta-analytic function in the Unit Circle // CyxaK. 1986.- N 3. - P. 29-33.