Краевые задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Хрисанфов, Василий Игоревич

• Хрисанфов, Василий Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хрисанфов, Василий Игоревич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР

ЛИТЕРАТУРЫ

§1.1. Основные понятия и обозначения

§ 1.2. Об одном методе решения обобщенной задачи Гильберта для аналитических функций в круге

§1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для полианалитических и метааналитических функций

ГЛАВА II. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В

КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

§2.1. Постановка основных классических задач типа Гильберта

§2.2. Методы решения задачи Гк

§2.3. О решении задачи Гк

ГЛАВА III. НЕКЛАССИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА В КЛАССАХ ОБОБЩЕННЫХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

§3.1. Постановка основных неклассических задач типа

Гильберта

§3.2. Метод решения неклассической задачи rN1 для обобщенных метааналитических функций в круге

§3.3. О решении неклассической задачи rN2 для обобщенных метааналитических функций в круге

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге»

Теория краевых задач для аналитических функций и различных их обобщений в настоящее время является одним из бурно развивающихся разделов теории функций комплексного переменного. Устойчивый интерес многих ученых к исследованию различных вопросов этого раздела математики обусловлен, прежде всего, наличием большого числа практических приложений и тесными связями с другими математическими теориями. Еще в начале XX века Г.В. Колосовым [35] было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции, т.е. решения обобщенного уравнения Коши-Римана:

-о, (0.1) дг д 1 дг 2 д . д4 + 1

- дифференциальный оператор Коши-Римана. ду,

Кроме того, теория краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [5], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [14] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [15], [31], [42], [44], [45], [60], [66], [86].

Следует отметить, что, благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [14], Н.П. Векуа [15]-[16], Ф.Д. Гахова [20], Э.И. Зверовича [28]-[29], Д.А. Квеселава [32], Г.С. Литвинчука [39], С.Г. Михлина [41], Н.И. Мусхелишвили [42]-[43], Л.И. Чибриковой [77] и многих других математиков, классическая теория линейных краевых задач в классах аналитических функций на сегодняшний день представляет собой хорошо систематизированную отрасль знаний. Однако при решении многих вновь возникающих прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории оказывается недостаточно. Поэтому при постановке краевых задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о границах рассматриваемых областей и о других параметрах задачи.

Российскими и зарубежными авторами в последние два-три десятилетия опубликовано значительное количество оригинальных работ в области краевых задач комплексного анализа, исследования в которых ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функций, комплексно сопряженных с искомой; исследуются краевые задачи в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций комплексного переменного (бианалитические, метааналитические функции) [45]-[52], [60], [62], [64]-[66], [81]-[85].

Следуя К.М. Расулову (см. [45], с. 14), краевую задачу для решений дифференциального уравнения второго порядка (0.1) будем называть классической, если в ней требуется найти решения уравнения (0.1) по двум независимым краевым условиям; если же требуется найти решения дифференциального уравнения (0.1) лишь по одному краевому условию, то такую краевую задачу назовем неклассической.

Среди классических краевых задач для бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1)) наиболее часто встречающимися в математической литературе и приложениях являются следующие две задачи типа Гильберта: в конечной односвязной области Т+, ограниченной простым замкнутым гладким контуром у, требуется найти бианалитическую функцию Е(г) = и(х,у) + 1У(х,у), удовлетворяющую на у одному из следующих краевых условий:

Задача ГК1. ке^со^чт^о«, дп^

0.2)

Задача ГК2. Re(h^(ß)F*(t)} = q0(t), Re{h¡(t) ■ AF+ (t)} = qx(t), K ' } где F+(t) = lim F(z), A = —7 +—- - оператор Лапласа, - - производная по z^ier дх ду дп+ внутренней нормали к у, a hk(t), qk(t) (k = 0,1) - заданные функции точек контура у, удовлетворяющие условию Гёльдера вместе со своими производными до второго порядка включительно {т.е. hk(t), qk(t) е Н(2>(у)), причём hk(0*0 на у.

Впервые задачи вида (0.2) и (0.3) в классах бианалитических (полианалитических) функций были изучены в начале второй половины прошлого столетия в работах В.С Рогожина [61] и М.П. Ганина [18]-[19].

Большой вклад в развитие теории классических краевых задач для бианалитических функций и их различных обобщений внесли В.А. Габринович [17], K.M. Расулов [45]-[52], И.А. Соколов [64]-[66], М. Canak [81]-[82], В. Damjanovich [83]-[84] и др.

Начало систематическому исследованию неклассических краевых задач для уравнения (0.1) было положено в работах A.B. Бицадзе [9]-[11]. В работе [9], в частности, было установлено, что задача отыскания функций, бианалитических в круге Kr ={z-.\z\<r,r >0} и непрерывных в замкнутом круге

Kr ={z:\z\ <r,r> 0}, по краевому условию (однородная задача Дирихле)

F(t) = 0, t е у, (0.4) где y = {t:\t\ = r\ и F+(t) = lim F(z), имеет бесконечно много линейно независимых решений и, следовательно, не является нетеровой.

В дальнейшем изучение неклассических краевых задач велось в работах A.A. Закаряна [26], [27], K.M. Расулова [45], [50], [52], Товмасяна [68], [69], Н.Т. Хопа [72], [73] и др. К числу наиболее часто встречающихся в математической литературе неклассических задач в классах бианалитических функций можно отнести следующие две задачи (см. также [11], [26], [62]).

Требуется найти бианалитическую в области Т+ (Т~) функцию -Р(г) = и(х,у) + 1У(х,у), удовлетворяющую на контуре у одному из следующих краевых условий:

Задача Г)

N1

Задача Гю.

AF+(t) + G(t)F+(t) = g(t); (0.5) dF\t) dn± д2 Э2 G(t)F+(t) = g(t), (0.6) где F+(t) = lim F{z), A = —Т + —г- - оператор Лапласа, - - производная по z^'zr дх ду дп+ внутренней нормали к у, a G(t), g(t) - заданные функции точек контура у, удовлетворяющие условию Гёльдера вместе со своими производными первого порядка, причём G(t) ф 0, t е у.

Естественным обобщением классических краевых задач (0.2), (0.3) и неклассических краевых задач (0.5), (0.6) являются аналогичные краевые задачи в классах метааналитических в области Т+ функций, т.е. для функций, являющихся регулярными в области Т+ решениями дифференциального уравнения вида d2F(z) 8F(z) , . m ~ dz dz где а,, а0 - комплексные постоянные.

Известно (см., например, [5]-[7], [30], [45]), что если Л0 и Л, - корни характеристического уравнения

Л2+а,А + а0 =0, (0.8) то общее решение уравнения (0.7) в области Т+ можно задавать в виде

F(z) = UК(*) + *• ti • е**", если Л0 = Л,, (0.9) или

Е{г) = (р1{2)-е^ , если Я0*Я,, (0.10) где (р1 (г), (г) - произвольные аналитические в Т+ функции. В частном случае, когда а, = а0 = 0, решения уравнения (0.7), очевидно, образуют класс бианалитическых в Т+ функций.

Следует отметить, что исследованию классических и неклассических краевых задач в классах метааналитических функций посвящено большое количество оригинальных работ [4], [6], [13], [24], [25], [30], [34], [40], [45], [63] и др.

В работе [40] было установлено, что основные качественные свойства метааналитических функций (внутренние и граничные теоремы единственности и др.) остаются справедливыми и для более общих классов функций; в частности, для класса функций комплексного переменного F(z), представимых в области Т+ в виде ад = [(Р1 (I) + 2 ■ ср[ (7)] • в , 2 е Г, (0.11) или

Пг) = ср1 {г)■ е™1 + ср\(7)• , 2еТ\ (0.12) где (р1 (г), ср\ (г) - произвольные аналитические (голоморфные) в Т+ функции, а Я0(г), Я,(г) - заданные функции, аналитические в области Т+, для которых вронскиан

0.13) системы функций , не обращается тождественно в нуль в Т+.

Всюду в дальнейшем функцию Р(г), представимую в области Т+ в виде (0.11), мы называем обобщенной метааналитической функцией первого типа. Аналогично, функцию F(z), представимую в области Т+ в виде (0.12) и для которой вронскиан (0.13) не обращается тождественно в нуль в Г+, будем называть обобщенной метааналитической функцией второго типа.

Насколько нам известно, задачи ГК1, ГК2, Гт и Гю до сих пор оставались не исследованными в классах обобщенных метаансиштических функций. Поэтому разработка методов решения краевых задач ГК1, ГК2, Гт, Гт для обобщенных метааналитических функций, а также исследование картин их разрешимости является на сегодняшний день актуальной проблемой теории краевых задач комплексного анализа.

Основной целью настоящей диссертации является разработка общих методов решения и исследование картин разрешимости основных классических краевых задач типа Гильберта ГК1 и Г к2, а также неклассических краевых задач типа Гильберта / д7 и Г^ в классах обобщенных метааналитических функций в единичном круге Т+ = {г: \г\ < 1}.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Первая глава «Вспомогательные сведения и обзор литературы» состоит из трех параграфов.

В параграфе 1.1 приводятся основные и наиболее часто используемые понятия и обозначения.

Параграф 1.2 посвящен изложению некоторых фактов из теории краевых задач для аналитических функций, играющих важную роль при исследовании задач ГК1, ГК2, Гт и Гт в классах обобщенных метааналитических функций. В частности, здесь приводится один из методов решения обобщенной задачи Гильберта в классах аналитических функций.

Параграф 1.3 посвящен обзору литературы по теме диссертации.

Вторая глава «Классические краевые задачи в классах обобщенных метааналитических функций в круге» содержит в себе три параграфа.

В параграфе 2.1 даны точные постановки задач ГК1 и ГК2

Параграф 2.2 посвящен изложению методов решения задачи ГК1. В зависимости от вида искомых обобщенных метааналитических функций ((0.11) или (0.12)) отдельно рассматриваются два случая.

В пункте 2.2.1 разработан метод решения задачи ГК1 в классе функций вида (0.11), суть которого заключается в сведении решения рассматриваемой задачи к последовательному решению двух хорошо известных краевых задач: обобщенной (с интегральными членами в краевом условии) и обычной задачам Гильберта в классах аналитических функций.

Далее кратко опишем логическую схему разработанного метода.

Используя общее представление искомых функций (0.11), краевые условия (0.2) задачи ГК1 записываются в виде

Re h0(t) t3(p+0(t) + i2g>;(t))-el ш <7о(0,

Re

А, (О dt dt dt ешп у +

RePrho CK (О + {t +Л о (0 Vr (оУЛ(0 \ = Яг (о.

0.14)

0.15)

Отметим, что равенства (0.14) и (0.15) можно рассматривать как развернутую форму записи краевого условия следующей обобщенной векторно-матричной задачи Гильберта относительно аналитического вектора p+(z) =

Ро (г)

Re^ Д (0 + Dq Сt)<p+ (0\ = Q( t),

0.16) где Q(t) =

Ч(0Л

Oy а D0(/) и D,(0 - вполне определенные матрицы, элементы которых выражаются через коэффициенты краевых условий (0.2), причем здесь detZ),(0s0, tey. Следовательно, векторно-матричная задача Гильберта (0.16) является вырожденной.

Далее для решения вырожденной векторно-матричной задачи Гильберта (0.16) используется метод, общая идея которого была впервые предложена в монографии K.M. Расулова [45].

Сначала краевое условие (0.14) переписываем в виде где = Q«(t) = -l-<p;{t) + t.GG(t)^) + ЫQ-e-1^\

МО * Ло(0

Считая временно функцию <20(() известной, решаем обычную скалярную задачу Гильберта (0.17) относительно аналитической в круге Т+ функции (рЦг). Используя формулу для общего решения обычной задачи Гильберта (0.17), получаем соотношение, связывающее граничные значения аналитических компонент (р1 (г) и ц>\ О):

Ро (0 = --<Рх (0 + ¡А т)<р; (т)с1т + ¡Вг(/,+ П0 (0, ^ 6 у, (0.18)

У У где функции Ах (7, т), е Я.(2)(гх г) и ^о(0е#(2)00 определенным образом выражаются через известные функции А0 (0, <?0 (0 • Дифференцированием из (0.18) получаем

Ш>+ (0.19)

Л * Л г ^ д1 3 дг Л

Наконец, подставляя в левую часть равенства (0.15) вместо (/) и ^ Л их значения, задаваемые формулами (0.18) и (0.19) соответственно, будем иметь:

Аи{1,т)<р;(т)с1т + = б, СО» (0-20) где 0,(0, г), е Я.(1)(ГХГ), причем р,(0* 0, гер.

Равенство (0.20) представляет собой краевое условие хорошо известной в теории краевых задач (см., например, [20], [45]) обобщенной задачи Гильберта нормального типа относительно аналитической в круге Т+ функции <р{ (г).

Далее, решая обобщенную задачу Гильберта (0.20), найдем первую аналитическую компоненту ср* (г). Затем, подставляя граничные значения найденной аналитической компоненты ср{{£) в правую часть (0.17), получаем обычную задачу Гильберта с уже вполне определенным свободным членом б0(/)- Наконец, решив обычную задачу Гильберта (0.17), найдем нулевую аналитическую компоненту срЦг) искомой обобщенной метааналитической функции Г(г). Тогда по формуле (0.11) определяем общее решение задачи ГК1 в рассматриваемом случае.

Таким образом, устанавливается следующий результат.

Теорема 2.1. Если Т+ = {г: \г\ < 1}, то решение краевой задачи Гп в классе обобщенных метааналитических функций вида (0.11) сводится к последовательному решению обобщенной задачи Гильберта (0.20) относительно аналитической в Т+ функции срЦг) и обычной задачи Гильберта (0.17) относительно аналитической в Т+ функции (рЦг). При этом для разрешимости задачи Гк1 необходимо и достаточно, чтобы были разрешимы обе вспомогательные задачи Гильберта (0.20) и (0.17).

На основе теоремы 2.1 строится картина разрешимости задачи ГК] и устанавливается ее нетеровость. Кроме того, здесь же приводится конкретный пример, иллюстрирующий описанный выше метод решения задачи Гп

В пункте 2.2.2 приводится второй метод решения задачи Гк1 в классе функций вида (0.11). Суть этого метода состоит в следующем.

Вводя в рассмотрение вспомогательные аналитические в Т+ функции устанавливается, что решение задачи ГК1 можно свести к решению двух обычных задач Гильберта относительно аналитических в Т+ функций Ф0(г) и

0.21)

0.22) где =

Но здесь для разрешимости исходной задачи Гк1 в рассматриваемом классе функций, кроме условий разрешимости обеих вспомогательных задач Гильберта (0.21) и (0.22), возникают следующие дополнительные условия: где ак, Ьк и рк - соответствующие коэффициенты разложения аналитических в круге Т+ функций Фо(г), и Л0(г) в степенные ряды в точке г = 0 (т.е.

Итак, доказана следующая теорема, устанавливающая общий алгоритм решения задачи ГК1 в рассматриваемом случае.

Теорема 2.2. Если Т+ = {г: \г\ < 1}, то решение задачи ГК1 в классе обобщенных метааналитических функций вида (0.11) сводится к решению двух обычных задач Гильберта (0.21) и (0.22) относительно аналитических в Т+ функций Фо(^) и При этом для разрешимости задачи Гк1 необходимо и достаточно, чтобы одновременно были разрешимы задачи Гильберта (0.21) и (0.22), а также выполнялись условия (0.23).

На основе сформулированной теоремы строится картина разрешимости рассматриваемой задачи и устанавливается нетеровость задачи Г п. Затем приводится конкретный пример, иллюстрирующий изложенный метод решения задачи ГК1 в классе функций вида (0.11).

Пункт 2.2.3 посвящен сравнительному анализу полученных двух различных методов решения задачи ГК1 в классе функций вида (0.11). В частности, здесь отмечается, что логическая схема первого метода решения задачи Гк1 является универсальной, так как она вполне может быть использована при решении и других краевых задач типа Гильберта для обобщенных метааналитических функций, редуцируемых к вырожденным

К ~Роао =0>

А ~Роа1 -(2А> -!К =0>

0.23)

Ф +0(г) = 22^ак1к, Ф;(2) = ]ГМ* , ^(2) = !/»/, "Г). к=о векторно-матричным задачам (типа Римана или типа Гильберта) для аналитических функций комплексного переменного в областях с гладкими границами. В то же время, второй метод решения задачи ГК1 имеет частный характер в том смысле, что этот метод пригоден лишь для областей с аналитическими границами при решении задачи Гкг в классах обобщенных метааналитических функций первого типа (т.е. в классах функций, представимых в виде (0.11)).

В пункте 2.2.4 задача ГК1 исследуется в классе обобщенных метааналитических функций второго типа. С учетом представления (0.12) краевые условия (0.2) записываются в виде

Ле^«^ (0 * + <Р1 (0' )} = (0, (0-24)

Rc\t^hl(t) с1<р£(0 (1 ЙМ0(О 1 Л Л -уЯ0(г) <(О еГ-МО у + Яе^ г ■ /г, (О й(р1 (0 (1 ЫЛ1 (0 1 ей г -=-А,(0 9>,+ (0

-1.(0 I

0.25) 91(0

Нетрудно проверить, что равенства (0.24) и (0.25), рассматриваемые в совокупности, также представляют собой краевое условие вырожденной векторно-матричной задачи Гильберта относительно аналитического вектора р+(г)= 2 . Применяя далее общий подход к решению вырожденных векторно-матричных задач, который был использован в пункте 2.2.1 при решении задачи Гп первым методом, устанавливается следующий основной результат.

Теорема 2.3. Если Т+ = {г : \г\ <1} и на окружности у выполнено условие Л1 (0 ф Л0 (/), то решение краевой задачи ГКх в классе обобщенных метааналитических функций второго типа {т.е. вида (0.12)) сводится к последовательному решению обобщенной задачи Гильберта

Яе р21(/,г)<(г)£/г+ /521(/,г)^+(гУг1 = е2(0 (0.26) м обычной задачи Гильберта

0 = <?о(ОРо+(0 + Яо(0 (0-27) относительно аналитических в круге Т+ функций (г) и (р1 (г) соответственно. При этом для разрешимости краевой задачи Гк1 необходимо и достаточно, чтобы были разрешимы обе вспомогательные задачи Гильберта (0.26) и (0.27).

Из теоремы 2.3 вытекает следующее важное утверждение.

Следствие 2.1. Если на окружности у выполняется условие А, (/) * Я0 (/), то задача Гщ в классе обобщенных метааналитических функций второго типа является нетеровой.

Завершается пункт 2.2.4 рассмотрением конкретного примера, иллюстрирующего разработанный метод решения задачи ГК1 в классе обобщенных метааналитических функций вида (0.12).

В параграфе 2.3 второй главы подробно исследуется задача Гк2. Здесь, применяя ту же логическую схему, которая была использована при изучении краевой задачи ГК1, удается установить следующие основные результаты.

Теорема 2.5. Если Т+ = {г: \г\ < 1}, то решение краевой задачи Гк2 в классе обобщенных метааналитических функций первого типа сводится к последовательному решению обобщенной задачи Гильберта #^(0 + ^ (/) + ^ + ра (0 + ¡А((г Т)(р; (т)(1т + Г5(/> Т)ср\ (т)с1т = 0, (0

Л Ж Г г относительно аналитической в Т+ функции и обычной задачи Гильберта

9>0+(0 = А(0<Ро+(0 + 6О(0 относительно аналитической в Т+ функции При этом для разрешимости краевой задачи Гк2 необходимо и достаточно, чтобы были разрешимы обе указанные выше задачи Гильберта для аналитических функций.

Следствие 2.2. Если Т+ = {г: \г\ < 1}, то в классе обобщенных метааналитических функций первого типа задача Гк2 является нетеровой.

Теорема 2.6. Пусть Т+ = {г: \г\ <1} и на окружности у выполнено условие /1,(0 * Л0(0. Тогда решение краевой задачи Гк2 в классе обобщенных метааналитических функций второго типа сводится к последовательному решению обобщенной задачи Гильберта + (0 + ¡Ап Т)Ч>1+ (Т)С1Т + \Вг2 г) = &(0 относительно аналитической в Т+ функции (р\{г) и обычной задачи Гильберта

P+o(t) = G(¡{t)(pl{t) + g0{t) относительно аналитической в Т+ функции (рЦг). При этом для разрешимости краевой задачи Гк2 необходимо и достаточно, чтобы были разрешимы обе упомянутые выше задачи Гильберта для аналитических функций.

Следствие 2.3. Если на окружности у = {г: = 1} выполняется условие Л, (0 * Я0 (0 , то задача Гк2 в классе обобщенных метааналитических функций второго типа является нетеровой.

В третьей главе «Неклассические задачи типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге» разрабатываются общие методы решения неклассических краевых задач Гт и Г ю

В параграфе 3.1 приводятся точные постановки задач Гт и Г^2.

В параграфе 3.2 исследуется задача Гт. При этом отдельно рассматриваются два случая в зависимости от того, в каком виде ищется решение задачи: в виде (0.11) или в виде (0.12).

В пункте 3.2.1 разработан следующий конструктивный алгоритм решения задачи Гт в классе обобщенных метааналитических функций первого типа.

С учетом представления (0.11) и того, что на окружности у имеет место соотношение I = -, краевое условие (0.5) можно переписать виде ш м ш

2/+л0 (о) <р\ (о=с, (о)}^+йчо]+gl (0,

0.28) где

С,(0 = , Я,(0 = • (0.29)

Далее, вводя в рассмотрение аналитические соответственно в Т+ и Т~ функции вида

Ф+(г) = г2Я0 (г) ^ + (г2 + Ч (*)) ^ + (г2 + гЛ (*)) ^ ^ (г) + ог ж яг (22 + геГ, (0.30) аг «Г, (0.31) краевое условие (0.28), в свою очередь, можно записать так:

Ф+(/) = С,(/)Ф-(0 + ^(0, 'ег- (0-32)

Но равенство (0.32) есть краевое условие скалярной задачи Римана относительно ограниченной на бесконечности кусочно аналитической функции Ф(г) = {ф+(г),ф"(2)} с линией скачков у.

1 — + гп -<Ро — + <Рх — г

Предположим, что задача Римана (0.32) разрешима и уже найдено ее общее решение Ф(г) = {ф+(2),ф~(г)}. Далее покажем, что, решив задачу Римана (0.32)), можно найти и решение исходной задачи Гт.

В самом деле, заменяя г на из (0.31) будем иметь: 2

Г 1 Л

2-(р1{г) + <р\{1) = ф- - или 2<(г) + <(г) = Г(2),геГ, (0.33)

ГО где = Ф - . Из формулы (0.33), в свою очередь, находим:

Р1+(2) = РГ+(2)-2<Ро+(2), 2ЕТ\ (0.34)

С учетом (0.34) из формулы (0.30) получаем *6Г, (0.35) аг где

В0 (г) = 21 + гЯ0 {г) + г

2 , , -2 ь

00 (2) = [22 + 2Л0 + + Л> (2) - Ф +(1),гег. аг аг

Далее, решая дифференциальное уравнение (0.35), определяем аналитическую в Т+ функцию срЦг), а затем и функцию (г) (по формуле (0.34)). Тогда решение исходной задачи Гт можно найти по формуле (0.11).

Таким образом, получаем следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть Т+ ={7ф|<1}. Тогда решение задачи Гт в классе обобщенных метааналитических функций первого типа сводится к последовательному решению обычной скалярной задачи Римана (0.32) в классах кусочно аналитических функций и линейного дифференциального уравнения (0.35) с аналитическими в Т+ коэффициентами. Для разрешимости задачи Гт необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы задача Римана (0.32) и дифференциальное уравнение (0.35).

Завершается пункт 3.2.1 исследованием картины разрешимости задачи 7~л7 в классе функций вида (0.11) и рассмотрением конкретного примера, на котором иллюстрируется разработанный общий метод решения задачи Гм.

Пункт 3.2.2 посвящен исследованию задачи Гт в классе обобщенных метааналитических функций второго типа. Показано, что в классе обобщенных метааналитических функций вида (0.12) краевая задача Гт эквивалентна вырожденной векторно-матричной задаче Римана относительно кусочно аналитического вектора (р* (О = ^ . Далее для решения указанной вырожденной векторно-матричной задачи Римана применяется общий подход к исследованию таких задач, который неоднократно использовался в главе II настоящей работы. Установлен следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть Т+ ={гф| <1}. Тогда решение задачи /ди в классе обобщенных метааналитических функций второго типа сводится к последовательному решению интегрального уравнения Фредгольма Iрода

ВДг)£(гУг = /(0 (0.36) У и обобщенной дифференциальной задачи Римана <0 т (0 = «Г, (0 ^г- + <0 Ш (0 + 0(0 (0.37) ш ш относительно кусочно аналитической функции ср0{г) = (г),<рй (г)}, где К(1,т)еН.(ухг), «ГоСО. «й(0. вГо(0. 6(0, /(0е Н(у) - функции точек контура у, определенным образом выражающиеся через коэффициенты краевых условий задачи. При этом задача Гм разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы уравнение Фредгольма I рода (0.36) и дифференциальная задача Римана (0.37).

Параграф 3.3 посвящен исследованию задачи Гю и состоит из двух пунктов. В пункте 3.3.1 приводится решение задачи Гю в классе обобщенных метааналитических функций первого типа. Установлено, что при выполнении определенных условий решение задачи Г^2 сводится к решению обычной скалярной задачи Римана в классах кусочно аналитических функций (теорема 3.3). Исследована картина разрешимости задачи Гю в классе функций вида (0.11) и приведен конкретный пример, иллюстрирующий общий метод решения задачи в рассматриваемом случае.

Наконец, пункт 3.3.2 посвящен исследованию задачи Гю в классе обобщенных метааналитических функций второго типа. Показано, что в классе функций вида (0.12) задача Г^2 редуцируется к вырожденной векторно-матричной задаче Римана относительно кусочно аналитического вектора рЧ0 = рН0 {<рН 0, Далее, рассуждая так же как и в пункте 3.2.2 при решении задачи

Гю, устанавливается теорема 3.4, аналогичная теореме 3.2.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Актуальность работы и научная новизна. В диссертации разработаны методы решения основных классических и неклассических задач типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в случае круговой области, установлены необходимые и достаточные условия разрешимости рассматриваемых задач.

Методы исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений, аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, существенным образом используется теория скалярных и матричных краевых задач Римана и Гильберта в классах аналитических функций комплексного переменного.

Основные положения, выносимые на защиту:

- методы решения классических краевых задач типа Гильберта Гк1 и ГК2 в классах обобщенных метааналитических функций в круге;

- установление условий нетеровости краевых задач ГК1 и Гк2\

- методы решения неклассических краевых задач типа Гильберта Гщ и Гю в классах обобщенных метааналитических функций в круге;

- необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач /V; и

Гю

Практическая значимость результатов. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованием краевых задач для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов Белорусского, Казанского (Приволжского) Федерального, Новосибирского, Смоленского и др. университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51]-[54], [64]-[67] и докладывались на Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009 г.), на 8-й, 9-й и 10-й международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2007-2010 г.г.), на международной научной конференции «Герценовские чтения - 2010» (Санкт-Петербург, 2010 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель - профессор K.M. Расулов, Смоленск, 2006-10 гг.).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул (теорем) сквозная в каждой главе. Общий объем работы составляет 126 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Хрисанфов, Василий Игоревич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации получены общие методы решения классических и неклассических задач типа Гильберта в классах обобщенных метаналитических функций в случае, когда носителем краевых условий является единичная окружность. При разработке этих методов существенным образом используются представления обобщенных метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, теория обобщенных краевых задач типа Римана и типа Гильберта в классах кусочно аналитических функций, а также теория интегральных уравнений Фредгольма (I и II родов) и аналитическая теория дифференциальных уравнений.

Разработанные в диссертации методы решения классических и неклассических задач типа Гильберта для обобщенных метааналитических функций позволяют установить необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также условия, при выполнении которых рассматриваемые задачи являются нетеровыми. Кроме того, в диссертации рассмотрен ряд конкретных примеров, иллюстрирующих общие методы решения указанных задач.

К основным результатам, полученным в диссертации относятся следующие:

1. Разработка методов решения классических задач типа Гильберта ГК1 и ГК2 в классах обобщенных метааналитических функций в круге.

2. Построение картин разрешимости краевых задач Гк1, Гк2 , а также выявление условий, при которых эти задачи являются нетеровыми.

3. Разработка методов решения неклассических задач типа Гильберта Гт и Гт в классах обобщенных метааналитических функций в круге.

4. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости краевых задач Гт и ГЮ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хрисанфов, Василий Игоревич, 2011 год

1. Адуков В.М. Матричная задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана /В.М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия. 2003. - Вып. 3, №6 (22). - С. 20-35.

2. Адуков В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Адуков Виктор Михайлович. Челябинск, 2006. - 314 с.

3. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне; под ред. A.M. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. - 719 с.

4. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. -М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

5. Балк М.Б. О метааналитических функциях / М.Б. Балк, М.Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвящ. 50-летию ин-та. -Смоленск, 1971. С. 250-258.

6. Балк М.Б., Зуев М.Ф. О полианалитических функциях // Успехи матем. наук, 1970, Т.25, №5, С. 203-226.

7. Бикчантаев И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. - 89 с.

8. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / A.B. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. - Т. 3, Вып. 6. - С. 211-212.

9. Бицадзе A.B. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи / A.B. Бицадзе // Докл. АН ССР. 1965. - Т. 164, №6.-С. 1218-1220.

10. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных / A.B. Бицадзе -М.: Наука, 1981.-448 с.

11. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

12. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1988.-509 с.

13. Векуа Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1991. - 255 с.

14. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

15. Габринович В. А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук. -Минск, 1977.

16. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 111, кн. 10. - С. 9-13.

17. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. - С. 313-316.

18. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М: Наука, 1977. - 640 с.

19. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В.В. Голубев. М.: Наука, 1966. - 436 с.

20. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г.М. Голузин. М.: Наука, 1966. - 628 с.

21. Жегалов В.И. О задачах с производными в краевых условиях // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. 1973. - Вып. 10. - С. 38-52.

22. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. -1976.-Вып. 13.-С. 80-85.

23. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианалитических функций /

24. B.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

25. Закарян A.A. Корректные граничные задачи для уравнения Бицадзе / A.A. Закарян // Ереванск. политехи, ин-т. Ереван, 1988. - 34 с. - Деп. в АрмНИИНТИ 24.08.88, № 66-Ар88

26. Закарян A.A. Об одном сингулярном интегральном уравнении в классе аналитических функций / A.A. Закарян // Ереванск. политехи, ин-т. Ереван, 1988. - 31 с. - Деп. В АрмНИИНТИ 24.08.88, № 67-Ар88

27. Зверович Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э.И. Зверович // Сибирский матем. журнал. 1973. -Т. 14, № 1.-С 64-85.

28. Зверович Э.И. Односторонние краевые задачи теории аналитических функций / Э.И. Зверович, Г.С. Литвинчук // Изв. АН СССР. 1964. - Т. 28,1. C. 1003-1036

29. Зуев М.Ф. О полианалитических функциях и некоторых их обобщениях: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Зуев Михаил Фёдорович. Смоленск, 1968.-149 с.

30. Карачик В.В., Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал, 32, № 5, 1991, 51-58

31. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций /

32. Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. - Т. XVI. - С. 39-90.

33. Кирьяцкий Э.Г., Расулов K.M. О решении одной неклассической краевой задачи типа Дирихле для метааналитических функций в круге //

34. Исследования по краевым задачам комплексного анализа и дифференциальным уравнениям. Смоленск, 2006, Вып. 7. - С.78-82.

35. Ксенофонтов С.А., Расулов К. М. Неклассическая краевая задача типа Дирихле для метааналитических функций в вырожденном случае // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы междунар. конф. Вып. 10. / СмолГУ. Смоленск, 2009. - С. 188-197.

36. Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г.В. Колосов. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 224 с.

37. Краснов М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

38. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.

39. Левинский C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. -Одесса, 1991,- 142 с.

40. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М: Наука, 1977. - 448 с.

41. Малеин Ю.С. Некоторые вопросы теории полианалитических функций и их обобщений: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01/ Малеин Юрий Семенович. Смоленск, 1972. - 100 с.

42. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С.Г. Михлин. М.Л.: ГИТИ, 1949. - 378 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

44. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

45. Прусов И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И.А. Прусов. -Минск, 1987.- 182 с.

46. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.

47. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис. . д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Минск, 1995. - 241 с.

48. Расулов K.M. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / K.M. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №2. - С. 320-327.

49. Расулов K.M. Об одной дифференциальной граничной задаче Римана для аналитических функций / K.M. Расулов // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1.- 1994. № 1.-С. 44-47.

50. Расулов K.M. О единственности решений задачи типа Дирихле для полианалитических функций // Годишник на висшите учебни заведения. Приложна математика (Болгария). 1989. - Т.25. Книга 3. - С. 99-103.

51. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. 1991. - Т.320, №2. - С.284-288.

52. Расулов K.M. Неклассическая задача Дирихле для полианалитических функций // Межвуз. сб. научн. тр. «Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи». Смоленск, 1997. - С.64-87.

53. Расулов K.M. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классах бианалитических функций в круге /

54. K.M. Расулов, O.A. Титов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, №3. - С. 413-426.

55. Расулов K.M. Об одной краевой задаче типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге / K.M. Расулов, В.И. Хрисанфов // Известия Смоленского государственного университета / Смоленск : Изд-во СмолГУ, 2011.-№2(14).-С. 173-184.

56. Рева Т.Д. Задача сопряжения для бианалитических функций и её связь супруго-пластической задачей / Т.Д. Рева // Прикладная механика. Киев, 1972. -Т. 8, Вып. 10.-С. 65-70.

57. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения / B.C. Рогожин // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 4. - С. 71-93.

58. Сакс P.C. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / P.C. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

59. Сенчилов В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. - 101 с.

60. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1969. - №5. - С. 64-71.

61. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И.А. Соколов // Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971. -№2.-С. 21-23.

62. Соколов И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук / Соколов И.А. Минск, 1970.

63. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М: Наука, 1972. - 735 с.

64. Товмасян Н.Е. Об одном методе решения краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости / Н.Е. Товмасян // Матеем. сб. т. 89 (131), №4 (12), 1972, С. 599-615

65. Товмасян Н.Е. О существовании и единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в классах функций имеющих особенности на границе области / Н.Е. Товмасян // Сибирский математический журнал. 1961. Т.2, №2. С. 290-312.

66. Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми Издательство иностранной литературы, Москва, 1960. 299 С.

67. Фатулаев Б.Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Буба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

68. Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле системы эллиптического типа А.В. Бицадзе // Докл. АН СССР. 1966. - Т.167, №35. -С. 982-984

69. Хоп Н.Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы // Н.Т. Хоп / Дифференц. уравнения. 1966. - Т.2, №2. -С. 214-225

70. Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитическихфункций / Л.И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. - 302 с.

71. Шерман Д.И. К общей задаче теории потенциала // Изв. АН СССР. Сер. Математ. -№ 10, 1946, С. 121-134.

72. Шерман Д.И. О некоторых задачах теории потенциала, Прикл. матем. и механ., т. 9, 1945, 479-488.

73. Ali Seif Mshimba. The Generalized Riemann-Hilbert Boundary Value Problem for Non-Homogeneous Polyanalytic Differential Equation of Order n in the Sobolev Space Wnp(D)H Journal for Analysis and its Applications -1999/ Vol. 18,1. No.3.-P. 611-624.

74. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. - Vol. XII, No. 1. - P. 6585.

75. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differentialgleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). 2000. -Vol. 52.-P. 19-25.

76. Canak M. Randwertaufgabe von Riemann-types für die p-polyanalytischenfe

77. Functionen auf der spiralförmigen Kontur / M. Canak // Matematicki vesnik (Yugoslavia). 1988. - Vol. 40, № 3-4. - P. 197-203.

78. Damjanovic B. Boundary value problem with shift for two simply connected regions / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1997. Vol. 49, No 2. -P. 89-92.

79. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

80. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. - № 3. - P. 29-33.

81. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. - 303 p.

82. Wang Ming-hua. A class of Riemann boundary value problems with parametic unknown functions for bianalytic functions. Ziran kexue ban=J. Sichuan Norm. Univ. Natur. Sei. 2004. 27, №5. P. 481-485.

83. Wang Yu-feng. Hilbert boundary value problems on a class of metaanalytic functions on the unit circumference. 5 ISAAC Congress, Catania, July 25-30, 2005: Conferences Abstracts. Catania: Univ. Catania. Dep. Math, and Inf. 2005. P. 158.

84. Wang Yu-feng, Du Jinyuan. On Riemann boundary value problem for polyanalytic functions on the real axis. Acta math. sei. 2004. 24, №4. -P. 663-671.

85. Wang Yu-feng, Du Jinyuan. On Haseman boundary value problem for a class of meta-analytic functions. Acta math. sei. 2011. 31, №1. -P. 39-48.

86. Zheng Shen-zhou, Zheng Xue-liang. Bianalytic functions, biharmonic functions and elastic problems in the plane. Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 2000. 21,№8. -P. 885-892.

87. Zeng Yue-cheng. On Riemann boundary value problem for bianalytic function in open curve. Huaihua xueyuan xuebao= J. Huaihua Univ. 2002. 21, №2. -P. 9-12.