Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Сенчилов, Владислав Владимирович

• Сенчилов, Владислав Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сенчилов, Владислав Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

• ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

1.1. Вспомогательные сведения.

1.2. Краткий обзор литературы по краевым задачам для полианалитических и метааналитических функций.

ГЛАВА И. ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА НЕЙМАНА И ТИПА РИКЬЕ ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ.

2.1. Постановка видоизмененной краевой задачи типа Неймана.

2.2. Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге

2.3. Постановка видоизмененной краевой задачи типа Рикье.

2.4. Решение видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге

ГЛАВА III. ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА НЕЙМАНА И ТИПА РИКЬЕ ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ

ФУНКЦИЙ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ. ф 3.1. Постановка видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа

Рикье для метааналитических в круге функций в исключительном случае.

3.2. Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических в круге функций в исключительном случае.

3.3. О решении задачи R.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге»

Важнейшей областью в современном комплексном анализе является теория граничных (краевых) задач для аналитических функций и различных их обобщений.

В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного, благодаря фундаментальным работам A.B. Бицадзе [6]—[9], Б.В. Боярского [11], И.Н. Векуа [12], [13], Н.П. Векуа [14], Ф.Д. Гахова [20], Э.И. Зверовича [28], P.C. Исаханова [29], [30], Г.С. Литвинчука [38]-[40], С.Г. Михлина [42], Н.И. Мусхелишвили [44], [45], Б.В. Хведелидзе [84], Л.И. Чибриковой [87] и многих других известных математиков, приняла уже, в основном, завершенный вид.

Кроме того, в последнее время в России и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) наблюдается устойчивый интерес к различного рода граничным задачам в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного (полианалитических, метааналитических, F - моногенных и др.) [67], [76], [92]. Это связано с тем, что к решению задач такого вида сводятся многие проблемы плоской теории упругости [44], теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [13] и многих других разделов математической физики [2], [21], [31] - [33], [35], [42], [50], [57], [77].

Данная диссертация посвящена исследованию краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций.

Определение 0.1. Функция F(z) = U(x,y) +iV(x,y) называется метааналитической в области Т (см., например, [57], с. 139), если она имеет в Т непрерывные частные производные (по х и у) до второго порядка включительно и удовлетворяет там уравнению d2F(z) dF(z) л . /ПП ах-+ a0F(z) = 0 > (U.1) dz2 ' dz д 1 где —^ = dz 2 д .0 ^ I

- дифференциальный оператор Коши-Римана, а дх ду а0,а1 - некоторые комплексные постоянные.

В частности, если ах = О и а0 — 0, то метааналитическая в области Т функция F(z) становится бианалитической в Т.

Следуя классификации, приведенной, например, в монографии K.M. Расулова [57], отметим, что основные линейные краевые задачи в теории метааналитических и бианалитических функций можно разделить на две большие группы: краевые задачи типа Гильберта, состоящие в отыскании бианалитической (или метааналитической) в области Т+ (или Т~) функции F(z), граничные значения которой F(t) удовлетворяют условиям

Re{hk{t)DkF{t)} = qk{t), k< 2, кеЦ (I) где Dk - линейные дифференциальные операторы порядков mk <4, a hk (t),

Як (0 ~ заданные на L функции.

2) краевые задачи типа Римана, состоящие в отыскании двух функций: F+(z) - бианалитической (или метааналитической) в области Г+, и F~(z) - бианалитической (или метааналитической) в области Т~, включая z = оо, граничные значения которых F+(t) и F~(t) удовлетворяют условиям

D+kF+(t) = Gk(t)D-kF-(t) + gk(t), k< 2, кеЩ (II) где Dl, Dl — определенные линейные дифференциальные операторы порядков mk<4,a Gk (/), gk (/)- заданные на L функции.

Исследованию подобных многоэлементных краевых задач для метааналитических функций посвящены работы В.А. Габриновича [15]-[17], В.В. Показеева [46]-[48], K.M. Расулова [51] - [58], В. Damjanovic [90], [91], C.R. Shoe [93] и др. Особенностью работ всех вышеперечисленных авторов является то, что в них рассматриваются классические краевые задачи со сдвигом или без него в классах бианалитических и метааналитических функций, то есть, когда в (I) или (II) параметр к принимает ровно два различных значения (Л: = 1,2). В то же время многие прикладные проблемы приводятся к так называемым иеклассическим краевым задачам (см., например, [8], [26], [69]), когда в (I) или (II) параметр к принимает лишь одно значение. В связи с этим стала актуальной проблема разработки методов решения неклассических краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций комплексного переменного (см. [60], с. 94, [61], с. 63).

Пусть Т+ — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х + 1у, ограниченная простым гладким замкнутым контуром Ь, уравнение которого имеет вид: t = *(.у) + (у(лО, 0 < .у < /, где 5 - натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т+. Через Т~ будем обозначать дополнение Т+ и Ь до полной комплексной плоскости.

ЗАДАЧА N.

Требуется найти все метааналитические функции класса удовлетворяющие на Ь следующему краевому условию: дпл G(t)-F (t) = g(t), teL, (0.2) где--производная по внутренней нормали к Ь, (7(0, g(t) -заданные дп+ на Ь функции класса Н{Ь). ЗАДАЧА Я.

Требуется найти все метааналитические функции -Р+(гг) класса М2(Т+)П Я(1)(£), удовлетворяющие на Ь следующему краевому условию:

AF+(t) + G(t)F+(t) = g(t), (0.3) д 2 где G(t), g(t) - заданные на L функции класса H(L), д = dzdz

Определение класса M2(T+)f)Hm(L) см. на с. 25. оператор Лапласа.

Отметим, что к задаче (0.2), в частности, сводится классическая задача Неймана в классе метааналитических функций, состоящая в нахождении метааналитических в области Т+ функций удовлетворяющих на Ь краевым условиям: где go(t), gl(t) - заданные на Ь функции класса Н(Ь). Поэтому при <7(/) ^ 0, € Ь задачу (0.2) будем называть видоизмененной задачей типа Неймана для метааналитических функций.

Также важно отметить, что к задаче (0.3), в частности, сводится так называемая задача Рикье для метааналитических функций, состоящая в отыскании метааналитических в Т+ функций удовлетворяющих на

Ь краевым условиям (см., например, [12] или [59]): где g0(t), Я](0 - заданные на Ь функции класса Н(Ь). Поэтому сформулированную выше задачу (0.3) в дальнейшем будем называть видоизмененной задачей типа Рикье для метааналитических функций.

Поскольку задачи N и Я до сих пор оставались не исследованными в классе метааналитических функций, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является разработка общих методов решения видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций в круге Т+ = {г:\г\ < 1}, построение теории их разрешимости и установление нетеровости, а также выявление частных случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Р+{1) = 8 0(0,

0.4)

0.5)

Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов.

Первая глава "Вспомогательные сведения и обзор литературы" состоит из двух разделов. В первом разделе вводятся основные и наиболее часто используемые понятия и обозначения. Главным среди них является определение метааналитической функции.

Второй раздел посвящен обзору литературы по теме диссертации.

Вторая глава "Видоизмененные краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге" посвящена исследованию задач N и R при условии, что контур L - единичная окружность с центром в начале координат и G(t) Ф 0, t е L (нормальный случай). Глава состоит из четырех разделов.

В разделе 2.1 дается точная постановка задачи N и излагается суть метода ее исследования. Кроме того, здесь показано, что если G(t) = 0, то задача N не является нетеровой.

Раздел 2.2 посвящен подробному исследованию задачи N в случае, когда L = {t:\t\^\] и G(t) Ф 0, teL.

При этом, в зависимости от того, какие корни имеет характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) (один (двукратный) или два различных корня), рассматриваются два случая:

Случай 1. Характеристическое уравнение имеет один (двукратный) корень Л0, тогда искомая метааналитическая в области Т+ функция F+(z) может быть представлена так: kO) + ^ <Р\ (г)] - exp{V}, (0.7) где <Pq(z), (fit (z) - аналитические в Т+ функции.

Тогда, учитывая (0.7), соотношение а также то, что на единичной окружности Ь = \{: = 1} выполняются тождества /' = /•/, / = -, краевое условие (0.2) можно переписать в X следующем виде:

Ф+(0 = а1(0-Ф"(0+я,(0, (0.9) где Сх(/), gx{t) - функции, определенным образом выражающиеся через заданные С(/)> #(0, удовлетворяют на контуре Ь условию Гельдера, а ф(г) = {ф+(г), Ф~(^)} - кусочно-аналитическая функция с линией скачков Ь, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида: г геТ+, (0.10) Л0 • г - <р!Цг) + (г + 1 г тп 2 ф-{2) = — <р; - +<р; - . гбГ, (0.11)

Таким образом, установлено, что исходная задача N в рассматриваемом случае сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.9) относительно кусочно-аналитической функции Ф(я) = |ф+(г), Ф~(г)}.

Пусть Х\\ - ^ (¿¡(О - индекс задачи (0.9), тогда (см., например, [20], с. 113): если Х\\ -0, то задача (0.9) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от Х\ \ +1 произвольных комплексных постоянных; если же <0, то задача (0.9) имеет единственное решение при выполнении следующих - Х\ \ ~ 1 условий разрешимости:

М77ТгА"1£/г = 0> к = \,2,.,-Хп -и (0.12)

IX (г) где Х+(г) - каноническая функция задачи (0.9).

Далее по найденным функциям Ф+(^) и Ф~(г) (на основании (0.10) и

0.11)) получаем аналитические компоненты ç>q(z) и (Pi(z) искомой метааналитической функции: cp+0(z) = ^jW0+(z), 2 z pl(z) = -^-Wl+(z), 2z zeT+, (0.13) где

0?(z) = гф-fij + Of (z), Wx\z) = 2ф-{Л - Of(z),

Ф^) = (Л0-2г)-Ф d + — г2Ф~ f1)! d z U J.

0.14)

Ф+(*)

Из (0.13) и (0.14) видно, что для того, чтобы функции (рЦг) и были аналитическими в круге Т+ (то есть для разрешимости задачи IV), функция Ж0+(г) должна иметь в точке г = 0 нуль не ниже второго порядка, а функция - нуль не ниже первого порядка. Очевидно, что последние условия (с учетом )^+(0) = -Ж0+(0) ) можно записать в виде: dh fV+

Ц0)==0, h = 0,1. a z

0.15)

Кроме того, чтобы полученные таким методом решения принадлежали классу достаточно потребовать, чтобы С{{), g(t)eH^2\L).

Таким образом, при выполнении условий (0.12) и (0.15) получаем решение исходной задачи ТУ в рассматриваемом случае:

F+(z) =

1 -W;{z) + z-~Wx\z) exp{^z},

0.16)

2zz " ^ ' 2z где Wq(z), Wx(z) определяются по формулам (0.14).

Исходя из вышесказанного, получаем следующий результат.

Теорема 2.1. Пусть Т ={z:|z|<l}, G(t), g(t)eH{2\L), G(t)*0, teL и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один ((двукратный) корень. Тогда решение задачи N сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.9). Кроме того, если Х\\ -0, то задача N разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.15), и ее общее решение, задаваемое формулой (0.16), линейно зависит не более чем от , + 2 произвольных действительных постоянных. Если же < 0, то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно выполнение условий (0.12) и (0.15), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение.

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет два различных корня тогда искомая метааналитическая в области Т+ функция может быть представлена в виде:

F+ (г) = (р1 (г) ехр {Я, г) + (г) ехр {Л2 г}, (0.17) где <р^(г),(р^(г) - аналитические в Т+ функции.

В этом случае, учитывая (0.17) и (0.8), введя в рассмотрение функции краевое условие (0.2) можно переписать в виде

N>i, k=o,i, (o.i8)

М«+Mffi+ке v 9i (0+(0= dt dt t / ^ W (0.19) G(O^Vo (0 + <7(0^4(0 - 8(0, teL.

Переходя к сопряженным значениям, из (0.19) с учетом t = получаем

Vo+(0 + G(t)e^cpt(t) = -te* dt (0.20) dt

Далее, складывая и вычитая равенства (0.19) и (0.20), будем иметь

Mil + аШ^й + аМШ) + Г (0 = + dt dt dt (021) «21 (0+ «Го(Ofli (0 + «Jo(0<Pi (t) + Mx(t), teL, dt

Г< d(Po (0 где Ъ+2Х (О^й+ьио<р+0 (О+(О= т ш + + (0.22) + ¿Го +М'УЛЧО + м2 (о, I е ь,

21 (0=V «Го(0 = + «20(0 = +М,(0=• (¡ко

0.23)

Го(0=- ^(оИ'Ч (0=" ,

Суть предлагаемого здесь метода решения задачи ТУ в рассматриваемом случае состоит в следующем. Обозначим ш Ш тогда (0.21) перепишем в виде: а(0, tеI. (0.25) т

Далее, временно считая ^ (/) известной функцией, решаем обобщенную скалярную задачу Римана (0.25), например, методом интегральных уравнений (см., например, [57], гл. 2).

Затем, подставляя в (0.22) вместо (0, (0» ^, ^ граничные ск ск значения найденных аналитических функций (г), ^ (г) и их производных, получаем следующее краевое условие относительно кусочноаналитической функции (px{z) - (z), q\(z)}:

1 z (0.26)

CO, где функции /?10(0, ,(/) /i(0 и фредгольмовы ядра Pn(t,r),

Pm{t,r), Qn{t,r), Q]0(t,t) определенным образом выражаются через Aj, Д2 и функции G(t), g(t). Равенство (0.26) представляет собой краевое условие обобщенной скалярной задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции px(z) - {(pf{z), q\(z)}. Решая задачу (0.26), определяем аналитические функции (Pi(z) H0?j"(z). Наконец, подставляя в свободный член краевого поел +лл d(P\(f) d<P\(t) условия (0.25) вместо Фх (t), <рх if), , граничные значения dt dt решений задачи (0.26) и их производных, а затем решая краевую задачу (0.25), определяем аналитические функции (рЦг), %{z). В этом случае, чтобы полученные таким образом решения задачи N были из класса также достаточно, чтобы G(t), g(t) е #(2)(L). Тогда решение исходной задачи N определяется по формуле

F+(z) = (pi (z)exp{/tjz} + ^,+(z)exp{i2z}, (0.27) где q>i(z) и <Pq(z) - решения краевых задач (0.25) и (0.26). Таким образом, устанавливается следующий результат.

Теорема 2.2. Пусть Т = {z:|z|<l}, <7(0, g(t)e H{2)(L), G(t)* 0, t e L и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет два различных корня. Тогда решение задачи N сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа (0.26) и (0.25) в классе кусочно-аналитических функций с линией скачков L.

В разделе 2.3 дается точная постановка задачи R и показано, что при G(t) — 0 задача R не является нетеровой.

В разделе 2.4 подробно исследуется задача R при условии, что L = (i: \t\ = l} и G(t) -Ф- 0, t е L. Как и при решении задачи N, рассматриваются два случая:

Случай 1. Характеристическое уравнение имеет один (двукратный) корень Aq . Тогда, учитывая представление (0.7) и соотношение

Д = (0.28) dzdz краевое условие (0.3) можно переписать в следующем виде:

Ф+(0 = С,(0-Ф'(0 + £,(0, (0.29) где Gx(t), gx(t) - функции, определенным образом выражающиеся через заданные G(t), g(t), удовлетворяют на контуре L условию Гельдера, а ф(г) = |ф+(г), Ф~(г)} - кусочно-аналитическая функция, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида: ф*(г) = Л2М + (Л+2)М(£), гб1~ (о.29а) dz dz геГ. (0.296) z J \z)

Итак, получаем, что исходная задача R в этом случае сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.29) относительно кусочноаналитической функции Ф(г) - |ф+(г), Ф~(^)| с линией скачков L.

Обозначим Хг\ = Ind Gx (/) - индекс задачи (0.29). Тогда имеем: если Хг\ ^ 0, то задача (0.29) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от 2(Хг\ +1) произвольных действительных постоянных; если же %г\ то задача (0.29) имеет единственное решение при выполнении следующих - %2\ ~ 1 условий разрешимости: к =1 А- -Хп ~ 1> (0.30)

X (г) где Х+(г) - каноническая функция задачи (0.29).

Далее необходимо рассмотреть отдельно два под случая: 1) Л0 = 0; 2)Л0*0.

Подслучай 1. Пусть = 0. Тогда на основании (0.29а) и (0.296) по найденным функциям Ф+(г) и Ф~ (г) получаем аналитические компоненты <Ро(г) и ср\ (г) искомой метааналитической функции: о Ç o(z) =

4>+(z)-J

Ф+(<Г) dç-Cx zeT+,

0.31) где Cj =<Рх(0)- произвольная комплексная постоянная, Ч/+(г) = Ф~(1 !z), причем, для того, чтобы функции (z) и (p{(z) были аналитическими в круге Т+ (то есть для разрешимости задачи R), должны выполняться следующие условия:

Ф+(0) = 0, (0.31а)

Ч/+(0) = ^,+ (0). (0.316)

Таким образом, если G(t), g(t) е #(1)(L), тогда при выполнении условий

0.31а) и (0.316) получаем решение исходной задачи R в рассматриваемом случае: о б" J

F+(z) = 1

LZ V r< z

-dç + Cx

Vo i

Резюмируя вышесказанное, получаем следующий результат.

0.32)

Теорема 2.3. Пусть G(t), g(t)е#(,)(L), G(t)*0, teL и характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Âq = 0. Тогда решение задачи R сводится к решению обычной скалярной задачи Римана (0.29). Кроме того, если%21 ^ то задача Я разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.31а), (0.316) и ее общее решение, задаваемое формулой (0.32), линейно зависит не более чем от 1Хг\ + 2 произвольных действительных постоянных. Если же Хг\< то для разрешимости задачи И необходимо и достаточно выполнение условий (0.30), (0.31а) и (0.316), причем задача будет иметь единственное решение.

Подслучай 2. Пусть Л0Ф 0. Тогда устанавливается, что для нахождения функции Ф\(г) необходимо решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида: + = (0-33) аг х где г аг\2 у (0.33а)

Ч/+(г) = фГ(1/г).

Решая уравнение (0.33) методом степенных рядов, представим функцию <2(г) в виде следующего ряда Лорана:

0.33 б)

5=-2 где Ь5 - некоторые комплексные числа. Тогда функция вида

Я*(г) = + Ъ-±2 + ¿X ^Ч~ХпХЬп-ч (034) будет аналитическим в круге Т+ - {г:\г\ < 1} решением дифференциального уравнения (0.33), если этот ряд сходится в указанном круге.

Кроме того, устанавливается, что здесь нужно еще выполнение следующих условий: М\а, г = 14 0<^<1, А: = 1,2, (0.34а)

1 - г) *

Лк<р\(2) кК где Мк - конечные постоянные.

Таким образом, решение искомой задачи Я в рассматриваемом случае получим по формуле:

F+(z) = z L V

V Л

•z + oo и+1

EE

-1 )k~ln\bnk

Л л=1 ы\ (п-к + 1)!Я0 z

-2 v Л оо и+1

ЕЕ

0.35) exp{A0z}.

Итак, при Л0ф О справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.4. tfj'cwb С(/), g(/)e#(1)(£), G(t)*0, t еL и А^ * 0. Тогда решение задачи R сводится к последовательному решению обычной скалярной задачи Римана (0.29) и дифференциального уравнения (0.33), причем в случае Хг\ > 0 ее общее решение, задаваемое формулой (0.35), линейно зависит не более чем от 2х\ + 2 произвольных действительных постоянных. Кроме того, если Хг\ - 0, то для разрешимости задачи R необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное уравнение (0.33) было разрешимым в круге Т+ = {z: \z\ < 1} и выполнялись условия (0.34а); если же Хг\ < О- то &ля разрешимости задачи R необходимо и достаточно выполнение условий (0.30), (0.316) и разрешимость в круге Т+ ={z:\z\<\) дифференциального уравнения (0.33).

Случай 2. Характеристическое уравнение имеет два различных корня Л1^Л2, тогда, как и в случае задачи N, решение задачи (0.3) сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа для аналитических функций:

P2l(t,t)^^dt+ jP20(t,t)<tf(t)dt d(Px (0

0.36) dt d(pl(t) dt dr

L, L,

Го 0Ы(0 = + М'Ш') + Qi2(0, dt

0.37) где

012« = a+2Q(t)cp;{t) + + + M, (О, at at причем здесь функции alQ(t), axx(t), aXQ(t), Mx(t), p20(t), q2l(t), Яго(0> /2(0, а также/>21(i,r), Р20(/,г), Qlx(t,r) Q2Q(t,r) определенным образом выражаются через Л2 и функции G(t), g(t).

Таким образом, получаем следующую теорему.

Теорема 2.5. Пусть Т* = {z:|z|<l}, G(t), g(t)& H(2)(L), G(t)* 0, t<=L u характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет два различных корня. Тогда решение задачи R сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана нормального типа (0.36) и (0.37) соответственно в классе кусочно-аналитических функций с линией скачков L.

Третья глава "Видоизмененные краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических в круге функций в исключительном случае" посвящена исследованию задач N и R при условии обращения в нуль или бесконечность коэффициентов в некоторых точках контура L - {z : |z| = 1}. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 3.1 даются точные постановки видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в исключительном случае.

В разделе 3.2 подробно исследуется задача N в исключительном случае, которая состоит в отыскании всех метааналитических в области Т+ функций F+(z), удовлетворяющих на L, за исключением, быть может, конечного числа точек ах,а2,.,а^ и J3{, J32,.,fiv, следующему краевому условию:

Ц^й + С(0-1+(!) = 8(0, teL, (0.38) дп+

Пс где G(t) =

О1 дп+

- производная по внутренней нормали к

Пс-Л)" у=1

Z,, (/,(/), git) заданные на L функции класса H(L), причем Gx(t) Ф 0. При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Aq. Тогда задача'(0.38) сводится к решению скалярной задачи Римана в исключительном случае

П е-«*)"" ф+(0 = -G2 (/) • ф- (0 + g2(0,

0.39)

П c-/>j)* где G2(t), g2(t) - функции, определенным образом выражающиеся через заданные G,(f), g(0, удовлетворяют на контуре L условию Гельдера, а

0(z)={0+(z), Ф~(г)} - кусочно-аналитическая функция, связанная с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции соотношениями вида:

Ро 00

2 z 2 z

0.39а) где W0+(z) = гф-\-) + Ф^ (z), Wx+(z) = - Ф^), z) \z) z

1 d +— dz

-Ф+(z), еГ.

Обозначим <72(/)> ^Р] = Р- Из (0.39а) видно, что для

7=1 разрешимости исходной задачи должны выполняться условия вида

-£-(0) = 0, /г = 0,1. (0.40) а 2

Тогда решение исходной задачи N можно задавать формулой

F+(z) = lz lz explAgz}.

0.41)

Исходя из вышесказанного, устанавливается следующий результат.

Теорема 3.1. Пусть Т+ = {z:|z| < 1}, функции Gx(t), g(t) в точках Pj,ak удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно Pj +2,mk +2, а в остальных точках контура

Gx(t), е #(2)(£); характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень. Тогда решение задачи (0.38) сводится к решению скалярной задачи Римана (0.39) в исключительном случае. Кроме того, если%зх - р>0, то задача (0.38) разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.40), и ее общее решение, задаваемое формулой (0.41), линейно зависит не более чем от 2(%3 х-р + 1) произвольных действительных постоянных. Если же Хъ\ - Р < 0, то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно разрешимость задачи (0.39) и выполнение условий (0.40), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение.

Раздел 3.3 посвящен задаче R в исключительном случае: дается метод ее решения и исследуется картина ее разрешимости. При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Л0. Устанавливается, что задачу R также можно свести к решению скалярной задачи Римана в исключительном случае:

П е-«*)""

Ф+(0 = ^-<72 (о • ф - (0 + *2 (О * (0'42)

W-fij)*

У=1 где кусочно-аналитическая функция Ф(г) = |ф+(г), Ф~(г)} определенным образом связана с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции, a G2(t), g2(t) - заданные функции класса H(L), причем G2(t)*0 на/,, здесь ах,а2,.,аИ и Д,/?2,.,Д, - некоторые точки контура L,amkn р . — целые положительные числа.

Пусть /1Гз2 = С2 (0 > тогда, в случае разрешимости задачи (0.42), решая задачу К методом, описанным в разделе 2.4, также рассматриваем два подслучая: 1) Я0 = 0; 2) А0 Ф 0. Тогда будем иметь:

0.43) г г где V+(z) = 0"(lIz), pt(z) = [Ф ^dg + Cx, если Л^=0 (0.43а)

5 бздесь С, - произвольная комплексная постоянная), у h оо я+i (-\\i-xn\b или = + + -еслиД0*0 (0.436)

Л Л и=19=1 (« - q +1)! д о9 здесь - коэффициенты разложения функции Q(z)=-0+(z)--^(z)! z dz\z J в ряд Лорана).

Таким образом, получаем следующие основные результаты.

Теорема 3.2. ПустьЛ0=0, функции Gx(t), g(t) в точках /?у,ak удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно pj+\,mk+\, а в остальных точках контура

Gx(t), g(t)eH^(L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42). Кроме того, если ХЪ1 -р^0, то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда выполняются условия вида (0.31а), (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2{хъг +1 ~ р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг ~ Р <®> то для разрешимости задачи R в исключительном случае к условиям (0.31а) и (0.316) добавляются условия разрешимости задачи (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение.

Теорема 3.3. ПустьAq^O, функции Gx(t), g(t) в точках Pj,cck удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно Pj +\,mk +1, а в остальных точках контура

G,(t), g(t)eH{i)(L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42) и дифференциального уравнения (0.33). Кроме того, если %Ъ1 -р>0, то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда дифференциальное уравнение (0.33) разрешимо в круге Т* ={z:\z\<\) и выполняется условие (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2(^32 +1 — р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг ~ Р < то для разрешимости задачи R к указанным в случае Хъ2~Р- О условиям также нужно добавить условия разрешимости задачи Римана (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты:

- методы решения задач NnR для метааналитических в круге функций в случае G(t) Ф 0, t е L (нормальный случай);

- установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R для метааналитических функций в круге в нормальном случае;

- методы решения задач N и R в некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае;

- получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R в исключительном случае.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [64], [70] - [71] и докладывались на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003), на научной конференции «ГЕРЦЕНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2004» (Санкт-Петербург, 2004), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), на II и IV международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001, 2003), на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям при Белорусском государственном университете (руководитель - профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» (руководитель - профессор K.M. Расулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.4) (или теорема 2.4) означает четвертую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 101 страницу, подготовленную с использованием текстового процессора MS WORD.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Сенчилов, Владислав Владимирович

Выводы. Из результатов исследования задач N и Я видно, что в случае, если = Л, = , то решение как задачи N, так и задачи Я (в случае Ад = 0) можно свести к решению скалярной задачи Римана для аналитических функций в исключительном случае, а поскольку последняя задача в рассматриваемом случае является нетеровой, то и краевые задачи N и Я (в случае Л0 = 0 ) также являются нетеровыми.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены методы решения видоизмененных краевых задач типа Неймана и Рикье для метааналитических функций в круге при помощи общего подхода, основывающегося на представлении метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории обобщенной и обычной задач типа Римана для аналитических функций. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задач N и R, а также установлены условия, при которых рассматриваемые задачи являются нетеровыми.

Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Разработка общих методов решения краевых задач N и R для метааналитических функций в круге в случае G(t)Ф О, teL;

2. Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R для метааналитических функций в круге в случае G(t)*0, teL;

3. Решения краевых задач N и R в некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае;

4. Получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R в исключительном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сенчилов, Владислав Владимирович, 2006 год

1. Анищенкова Н. Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для ^ бианалитических функций : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 /

2. Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. - 120 с.

3. Атаходжаев М. А. Некорректные задачи для бигармонического уравнения / М. А. Атаходжаев. Ташкент : ФАН, 1986. - 145 с.

4. Балк М. Б. Полианалитические функции и их обобщения / М. Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. -T. 85.-М. : ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

5. Балабаев В. Е. Многомерные эллиптические системы первого порядка: дис. . докт. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Балабаев Владимир Евгеньевич. -М., 1996.

6. Балабаев В. Е. Исследование краевых задач для канонических систем первого порядка / В. Е. Балабаев // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29. -№8.-С. 1358-1369.

7. Бицадзе А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / А. В. Бицадзе // УМН. 1948. - Т. 3. Вып. 6. - С. 211-212.

8. Бицадзе А. В. Нормально разрешимые эллиптические краевые задачи / А. В. Бицадзе // Докл. АН ССР. 1965. - Т. 164, № 6. - С. 1218-1220.

9. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. М. : Наука, 1981.-448 с.ф 9. Бицадзе А. В. Основы теории функций комплексного переменного / А. В. Бицадзе. М. : Наука, 1984. - 317 с.

10. Болотин И. Б. Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. - 101 с.

11. Боярский Б. В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б. В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25. - Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

12. Векуа И. Н. О метагармонических функциях / И. Н. Векуа // Тр. Тбилиск. Матем. Ин-та. 1943. - Т. 12. - С. 105-186.• 13. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. М. : Наука, 1988.-509 с.

13. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н. П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

14. Габринович В. А. Об одной задаче сопряжения для ® полианалитических функций на окружности / В. А. Габринович // Изв. АН

15. БССР. Сер. Физ.-мат. наук. 1974. - N 1. - С. 29-36.

16. Габринович В. А. О краевой задаче типа Карлемана для метааналитических функций / В. А. Габринович // ДАН БССР. 1977. - Т. 21, N2.-С. 112-115.

17. Габринович В. А. Краевая задача типа Гильберта для р -полианалитических функций / В. А. Габринович // Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. 1987. - N 2. - С. 33-38.

18. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

19. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В. В. Голубев. М. - Л.: ГИТТЛ, 1950.

20. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. — М.: Наука, 1966.

21. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. — М.: Гостехиздат, 1954. — 293 с.

22. Жегалов В. И. Некоторые краевые задачи для полианалитическихфункций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. унт.- 1976. -Вып. 13.-С. 80-85.

23. Жегалов В. И. Об одном обобщении полианалитических функций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-т. — 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

24. Закарян А. А. Корректные граничные задачи для уравнения Бицадзе / А. А. Закарян ; Ереванск. Политехи. Ин-т. Ереван, 1988.-34 с. - Деп. в АрмНИИНТИ 24.08.88, № 66-Ар88.

25. Закарян А. А. Об одном сингулярном интегральном уравнении в ^ классе аналитических функций / А. А. Закарян ; Ереванск. Политехи. Ин-т.- Ереван, 1988.-31 с. Деп. в АрмНИИНТИ 24.08.88, № 67-Ар88.

26. Исаханов Р. С. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. докт. физ.-мат. наук : 01.01.01. Тбилиси, 1984. - 281 с.

27. Коддингтон Э. А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон. -М.: Иностранная литература, 1958.

28. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г. В. Колосов. М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 224 с.

29. Коэн Д. Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания /• Д. Б. Коэн. М.: Мир, 1987. - 272 с.

30. Крикунов Ю. М. Дифференцирование особых интегралов с ядром Коши и одно граничное свойство голоморфных функций / Ю. М. Крикунов // Краевые задачи теории функц. комп. перем. Казань, 1962. - с. 17-24.

31. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики / М. М. Лаврентьев. Новосибирск.: Изд-во СО АН СССР. -90 с.

32. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

33. Литвинчук Г. С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г. С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 174, N6.-С. 1268-1270.

34. Литвинчук Г. С. Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложение / Г. С. Литвинчук // Изв. вузов. Математика. 1967. - N 12. - С. 47-47.

35. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций / А. И. Маркушевич.• -М.: Наука, 1968.

36. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1966. - 707 с.

37. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. М. : Наука, 1968. - 511 с.

38. Показеев В. В. Интеграл типа Коши для метааналитических функций / В. В. Показеев // Изв. вузов. Математик. -1982. -N 3. С. 44-51.

39. Показеев В. И. Нерегулярные полианалитические функции / ф В. И. Показеев // Изв. Вузов. Математика. 1975. -N 6. - С. 103-113.

40. Показеев В. В. Интегралы типа Коши для полианалитических функций / В. В. Показеев // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. гос. ун-т. 1980. - Вып. 17.- С. 133-139.

41. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций / И. И. Привалов. М.-Л., 1950. - 336 с.

42. Прусов И. А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И. А. Прусов. — Минск: "Университетское", 1987. 182 с.

43. Расулов К. М. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений : дис. . канд.ф физ.-мат. наук : 01.01.01 / Расулов Кахриман Мирземагомедович. -Смоленск, 1980. -125 с.

44. Расулов К. М. О решении некоторых краевых задач типа Римана для полианалитических функций / К. М. Расулов // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252, N5.-С. 1059-1063.

45. Расулов К. М. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций / К. М. Расулов // Докл. АН СССР. 1991. — Т. 320,N2.-С. 284-288.

46. Расулов К. М. Об основных краевых задачах типа задачи Гильберта для Щ бианалитических функций / К. М. Расулов // Некоторые вопросы теорииполианалитических функций и их обобщений. Смоленск, 1991. - С. 56-64.

47. Расулов К. М. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / К. М. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, N2.-0. 320-327.

48. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений : дис. докт. физ.-мат. наук : : 01.01.01 / Расулов Кахриман Мирземагомедович. Минск, 1995. - 241 с.

49. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К. М. Расулов. Смоленск: Изд-во СГТТУ. - 1998. -344 с.

50. Расулов К. М. Неклассическая задача Дирихле для полианалитических функций / К. М Расулов // Межвуз. сб. науч. тр. «Полианалитические функции: граничные свойства и краевые задачи». Смоленск, 1997. - С. 64-87.

51. Расулов К. М. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / К. М. Расулов, В. В. Сенчилов //Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 3. С. 415-418.

52. Расулов К. М. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / К. М. Расулов, Б. Ф. Фатулаев // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 1. С. 1-5.

53. Рогожин В. С. Новое интегральное представление кусочно аналитической функции и его приложение / В. С. Рогожин // Докл. АН СССР. 1960. - Т. 135, N 4, - С. 791-793.

54. Рогожин В. С. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения / В. С. Рогожин // Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. - Т. 110, кн. 3.-С. 71-93.

55. Сакс Р. С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / Р. С. Сакс. Новосибирск, 1975. - 160 с.

56. Симоненко И. Б. Краевые задачи Римана и Римана-Газемана с непрерывными коэффициентами / И. Б. Симоненко // Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М., 1961.-С. 380-389.

57. Соколов И. А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности / И. А. Соколов // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1969. - N 5. - С. 64-71.

58. Соколов И. А. О краевой задаче типа задачи Римана со сдвигом для полианалитических функций на окружности / И. А. Соколов // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1970.-Ы 1.-С. 118-121.

59. Соколов И. А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И. А. Соколов // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1. 1970. - N 2. - С. 20-23.

60. Сорокин А. С. Видоизмененная задача Шварца для полианалитических функций / А. С. Сорокин // Исследования по комплексному анализу. -Красноярск, 1989. С. 42-45.

61. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1972. - 735 с.

62. Фатулаев Б. Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 / Фатулаев Буба Фатулаевич. Смоленск, 2000. - 107 с.

63. Фатулаев Б. Ф. Основные краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций в случае круговых областей /

64. Б. Ф. Фатулаев ; СГПУ. Смоленск, 1999. - 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 24.02.2000.-N464-B00.

65. Фатулаев Б. Ф. О решении внешней краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в случае единичного круга / Б. Ф. Фатулаев // Труды математического центра имени Лобачевского. — Т. 5. Казань: "УНИПРЕСС". 2000. - С. 209-210.

66. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функции, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения / Б. В. Хведелидзе // Тр. Тбилисск. матем. ин-та. 1956. — Т. 23.-С. 3-156.

67. Хоп Н. Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле системы эллиптического типа А.В. Бицадзе / Н. Т. Хоп // Докл. АН СССР. 1966. -Т. 167, №35.-С. 982-984.

68. Хоп Н. Т. О нормальной разрешимости задачи Дирихле для одной эллиптической системы / Н. Т. Хоп // Дифференц. уравнения. 1966. - Т. 2, №2.-С. 214-225.

69. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л. И. Чибрикова. Казань.: Изд-во Казанск. ун-та, 1977.- 302 с.

70. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин / Уч. зап. Казанск. ун-та, Т. 113, № 10,1952, С. 57-105.

71. Balk М. В. Polyanalytic functions / М. В. Balk. Berlin. : Akademie Verlag, 1991.-192 p.

72. Damjanovic B. A special case of the homogeneous contour problem for Polyanalytic functions in multiply-connected regions / B. Damjanovic // 5 Conf. Math., Ljubljana, Sept. 1986. P. 41^6.

73. Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Матем. вестник (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

74. Davis P. The Schwarz Function and its Applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219p.

75. Shoe C. R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C. R. Shoe // Сухак. 1986. -N 3. - P. 29-33.