Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Болотин, Иван Борисович

• Болотин, Иван Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Болотин, Иван Борисович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Основные обозначения и понятия

1.2. Некоторые вспомогательные предложения

1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций

ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГА И ПОЛУПЛОСКОСТИ

2.1. Первая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга

2.2. Вторая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае круга

2.3. Первая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости

2.4. Вторая основная краевая задача типа Римана с разрывными коэффициентами в классах бианалитических функций в случае полуплоскости

ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПОЛУОКРУЖНОСТИ И ПЛОСКОСТИ СО ЩЕЛЯМИ

3.1. Первая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в случае полуокружности

3.2. Вторая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в случае полуокружности

3.3. Первая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в плоскости со щелями

3.4. Вторая основная краевая задача типа Римана в классах бианалитических функций в плоскости со щелями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций»

Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различных их обобщений.

В настоящее время теория линейных граничных задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского [17], И.Н. Веку а [18], Н.11. Векуа [19], Ф.Д. Гахова [23], И И. Данилюка [25], Э.И. Зверовича [28]-[30], Г.С. Литвинчука [38]-[40], С.Г. Михлйна [42], Н.И. Мусхелишвили [45], Б.В. Хведелидзе [70], Л.И. Чибриковой [71] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.

В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более oбщиXj чем класс аналитических функций комплексного переменного.

Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного являются бианалитические функции.

Определение 0.1. Функция Р(г) = и{х,у) + г\г(х,у) называется бианалитической в области П комплексного переменного 'г-'— х + гу, если она,в I) имеет непрерывные частные производные по х и по у до второго порядка включительно (т.е. £ С2(1))) и удовлетворяет там уравнению . а ^ где — ■= - [ -—|- г~.|: - дифференциальный оператор Коши-Римана. дz 2 \ох , ду)

Это определение принадлежит П. Бургатти [74].

Действительная и мнимая части бианалитической в области I) функции ^(2) = ?7(ж, ?/)+гУ(ж, у) являются бигармоническими в этой области, т.е.

ААЪт(х,у) = 0 и ААУ(х:у) = О, д2 д2 где А = ——¡г + —г - оператор Лапласа (см., например, [9], [23]). ох1 оу1, , ■

Важно отметить, что впервые бианалитические функции зародились в математической теории упругости благодаря основополагающим,работам Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили (см., например, [33],

44]). В частности, Г.В. Колосовым было обнаружено, что эффективным средством решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции.

Основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для бианалитических функций, был выполнен в течение трех последних десятилетий XX века математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для бианалитических функций внесли A.B. Бицадзе, В.А. Габринович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, Б. Дамьянович, В.И. Жегалов, K.M. Расулов, B.C. Рогожин, И.А. Соколов, Н.Т. Хоп и другие.

Известно (см., например, [59]), что краевые задачи для бианалитических функций в зависимости от условий, налагаемых на искомые функции, делятся на три группы:

1) непрерывные задачи - от искомых функций требуется непрерывность вплоть до границы;

2) кусочно-непрерывные задачи - допустимо нарушение непрерывности искомых функций лишь в конечном числе точек границы;

3) разрывные задачи - все остальные.

В настоящее время в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, теория краевых задач для бианалитических функций приобрела практически завершенный вид (см. [55] и имеющуюся там библиографию). Однако, в случае разрывных коэффициентов и областей, границами которых являются разомкнутые кривые, основные краевые задачи в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались неисследованными.

К таким задачам относятся следующие две классические краевые задачи типа Римана.

Пусть L - произвольный гладкий (замкнутый или разомкнутый) контур в плоскости комплексного переменного z = х + гу, уравнение которого имеет вид: t = x(s) + iy(s), 0 < s < /, где s - натуральный параметр.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F(z) = = {F+(z), F~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t £ L следующим краевым условиям:

Задача I.

Задача II.

0.4) д ( д \ - , -X где —— —— - производная по внутренней (внешней) нормали к оп+ \ОП-] контуру (?*.(£), дь(Ь) (к = 0,1,2) - заданные на контуре Ь функции.

Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, были поставлены Ф. Д. Гаховым в его известной монографии (см. [23], с. 316) как одни из основных краевых задач для бианалитических функций.

В случае, когда контур Ь состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых гладких замкнутых кривых и непрерывных коэффициентов, задачи I и II были подробно исследованы в работах К. М. Расулова [49]-[55].

В дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными краевыми задачами типа Римана для бианалитических функций или, для краткости, задачами и #2,2 соответственно.

Поскольку задачи и ^2,2 Д° сих пор оставались не исследованными в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является разработка методов решения кусочно-непрерывных краевых задач типа Римана (задач и ^2,2) в классах бианалитических функций в случае областей, границами которых являются окружность, дуга окружности, прямая и объединение конечного числа отрезков, лежащих на одной прямой; построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость.

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Болотин, Иван Борисович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12]-[16], [73] и докладывались на IV и V международных конференциях "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2003-2004 гг.), на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004 г.), на научной конференции "Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 2004 г.), на Минском городском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям (руководитель - профессор Э.И. Зверович), на научном семинаре кафедры математического анализа Брянского государственного университета (руководитель - профессор Ф.А. Шамоян) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском государственном педагогическом университете (руководитель - профессор K.M. Расулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 76 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 106 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю K.M. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное при выполнении данной работы.

Глава I \

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Болотин, Иван Борисович, 2004 год

1.1. Основные понятия и обозначения

2. Всюду в дальнейшем класс бианалитических в области И функций будем обозначать через .^(.О), а через А(О) класс аналитических (голоморфных) в В функций. \

3. Если Ь состоит из одной разомкнутой гладкой дуги или нескольких гладких разомкнутых дуг Ьт = атЬт, т = 1,2, .,п, не имеющих общих точек (в том числе и концов), то полную комплексную плоскость, разрезанную вдоль будем обозначать через

4. Следуя Н.И. Мусхелишвили (см. 45., с. 16), точки, которые служат концами гладких дуг, составляющих кусочно-гладкий контур X, мы будем называть узлами линии Ь.

5. К числу узлов мы можем, по нашему усмотрению, в зависимости от удобства, относить и любые другие точки контура Ь, то есть точки, расположенные на его гладких частях.

6. Точки контура Ь, отличные от узлов, мы будем называть обыкно,-венными.

7. В дальнейшем понятие кусочно-аналитической (кусочно-голоморфной) функции с линией скачков Ь понимается в смысле Н.И. Мусхелишвили (см. 45., с. 36).

8. Если бесконечно удаленная точка принадлежит контуру Ь, то вместо (1.1) функция д{£) должна удовлетворять условиюд(Ь)-д{Ь)<А1.2)1 1 ^1. Тг~Т2

9. Класс функций д(Ь), определенных на Ь и удовлетворяющих условию Гельдера вместе со своими производными до порядка ш (ш > 1) включительно, будем обозначать через Н^^Ь).

10. Во всех рассуждениях, где значение показателя Гельдера ¡1 не играет роли, вместо Нр(Ь) и будем писать Н(Ь) и Н^т\Ь) соответственно.

11. Пусть <%(£) функции, однозначно определенные соответственно на (закрытых) дугах Ь^ (к = 1,2, составляющих Ь, и пусть д(Ь)- функция, определенная на Ь следующим образом:л-ри t е Ьк, к = 1,2,.,р.

12. Если все функции удовлетворяют условию Гельдера на соответствующих (закрытых) дугах то мы будем говорить, что функция д{£) принадлежит классу на Ь (см. также 45., с. 32).

13. Замечание 1.1. В узлах контура Ь функция <?(£) может иметь только разрывы I рода.

14. Класс функций, принадлежащих классу Но вместе со своими про-зводными до порядка т (т > 1) включительно, будем обозначать1. Я(т) О •

15. Замечание 1.2. Заметим, что производные функции могут иметь разрывы I рода не только в узлах контура Ь. Точки разрыва производных мы для удобства будем причислять к узлам.

16. Пусть функция <р(г) является аналитической в некоторой области Т, содержащей бесконечно удаленную точку.

17. Определение 1.1. Число т будем называть порядком функции в точке 2 = оо и обозначать оо}, если разложение в рядфункции в окрестности этой точки имеет вид1 1

18. Как известно 9., [23], [55], всякую однозначную бианалитическую в области D+ функцию F+(z) можно представить в виде

19. F+(z) = <pt(z) + z<pt(z)i (1.4)где z — х — iy, a <p£(z) (к = 0, 1) однозначные аналитические функции (аналитические компоненты бианалитической функции) в1. D+.

20. Аналогично всякая однозначная бианалитическая в D~ функция представима в виде+ О1-5)где z — х — iy, a <pi(z) (к = 0, 1) однозначные аналитические функции (аналитические компоненты бианалитической функции) в причем П(у>Гэ°°) > 2.

21. В случае областей D~ и D аналогично определяются классы A2(D~)r)lW(L) и A2{D)f.lW(L).

22. При этом кусочно-бианалитическую функцию F(z) будем называть исчезающей на бесконечности, если П(у>о,оо) > 1.

23. Аналогично определяется кусочно-бианалитическая функция с линией скачков L в случае, когда контур L является разомкнутым.

24. Некоторые вспомогательные предложения12.1. Краевая задача Римана с разрывными коэффициентами в случае замкнутого контура.

25. Точки разрыва ci,c2,.,cp коэффициента задачи (1.7) будем называть узлами.

26. Замечание 1.3. Если агдО(с1 — 0) — агдС(сх + 0) — 2тгк = 0 или агдС(с — 0) — агдС{с + 0) = 0, где с любой из узлов сг,сз, .,ср, то такие узлы, следуя Н. И. Мусхелишвили (см. 45., с. 256), будем называть особенными.

27. Число к = к + 1 будем называть индексом задачи (1.7). Каноническая функция задачи (1.7) имеет вид:

28. Х(г) = (* сО-'е*), Г(,) = ¿ / (1.12)

29. Если к > п, то общее решение задачи (1.7) задается формулой:где

30. РК-п-- многочлен степени не выше к — п — 1 с произвольными комплексными коэффициентами, с произвольная комплексная постоянная.г1.13)

31. В случае, когда к < п — 1, решение задачи (1.7) будет также задаваться формулой (1.13), в которой нужно положить Ркп1(г) = О, при соблюдении —к + п условий разрешимости вида:

32. Замечание 1.4. Если требуется найти решение задачи (1.7) в классе аналитических функций, то в формуле (1.13) нужно положить с= 0.

33. Пусть Ь = {г : 1тпЬ = 0}, !)+ = {г : 1тпг > 0} и Т>~ = С\{И+ и I}.

34. Решим задачу (1.16) методом, предложенным Н.И. Мусхелишвили (см. 45., § 83).

35. Тогда индекс задачи (1.16) будет задаваться формулой:к = А- агдС^Ъ (1-20)

36. Каноническая функция задачи (1.16) имеет вид:1. Г ег(2) г еО+ = { (1-21)где

37. Если к > п, то общее решение задачи (1.16) будет иметь вид:/(*) = ф(г) + Рк-п , (1.23)где1. Т ( \ — г ^^ 3{т) йт

38. Рк-п(г) — многочлен степени не выше к — п с произвольными комплексными коэффициентами.

39. Решим задачу (1.26) методом, изложенным в 23., § 43. Пусть

40. С(ак) = га^е9к, С(Ък) = гЬ}ке^+Авк\ (1.27)где Авк = агдв(г).1к.

41. Тогда индекс задачи (1.26), следуя Ф. Д. Гахову (23., с. 448), будет равентп1.32)1. К = 1 + X) «А1. А=1

42. Каноническая функция задачи имеет вид:1. А» = П (* т = 12тг{ ^ т — г1.33)где

43. Если к > п, то общее решение задачи (1.26) будет иметь вид:

44. Н = Х(г) ф(*) + ^ + РК-п-х (*). , (1.34)

45. ФЫ = -1- Г 9{т) Ат Щ ) 2тгг/ Х+(т)т-х>1.35)

46. РК-п-1(2) многочлен степени не выше к — п — 1 с произвольными комплексными коэффициентами, с - произвольная комплексная постоянная.

47. В случае, когда к < п — 1, решение задачи (1.26) будет также задаваться формулой (1.34), в которой нужно положить Рк-п-1(2) = 0, при соблюдении —к + п условий разрешимости вида:г д(т) Х+(т)1,Т = —с.1.36)= °> = 2> ••>-« + п• { ^ Чг)

48. Замечание 1.6. Для того чтобы найти решение задачи (1.26) в классе аналитических функций, в формуле (1-34) нужно положить с= 0.

49. Замечание 1.7. Будем называть узел (конец) а*, контура Ь особенным, если 9к = 0, а узел Ьк если — кк = 0.2ж12.4. Исследование поведения производной решения задачи Римана с разрывными коэффициентами.

50. В этом разделе будем предполагать, что контур Ь такой же как в разделе 1.2.1.

51. Будем также считать, что коэффициенты задачи (1.7) принадлежат классам 6?(£) € Н^ и д(£) е а решение ограничено вблизивсех узлов.

52. Точки разрыва производной СЗД будем относить к узлам.

53. Исследованию предпошлем следующую лемму.

54. Рассмотрим интеграл типа Коши с плотностью <р{Ь)\1/

55. Будем исходить из того, что производная интеграла типа Коши (1.37) имеет вид (см. 23., с. 42):1. Ф 1 > 9.iri J (<r р(т)2m { (r-z)dr.1.41)

56. Разобьем контур Ь на дуги с\с2, с2с3, стс\. Интегрируя по частям (1.41) вдоль указанных дуг, получим (1.38).

57. Пусть теперь в (1.38) г —> £ £ Ь (точка t отлична от узлов), тогда с учетом формул Сохоцкого-Племеля (см. 23., с. 38) получим (1.39) и (1.40). Лемма доказана.

58. Приступим к изучению поведения производной решения задачи (1.7).

59. Без ограничения общности можно исследовать поведение производной в окрестности точки с\.

60. Дифференцируя по z равенство (1.13), получим