Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Медведев, Юрий Анатольевич

• Медведев, Юрий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Медведев, Юрий Анатольевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Основные обозначения, понятия и вспомогательные теоремы.

1.2 Некоторые вспомогательные краевые задачи в классах аналитических функций.

1.3 Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций.

ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ОКРУЖНОСТИ

2.1 Постановка первой основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

2.2 Сведение решения задачи 0&ц к решению двух векторно-матричных задач Римана для аналитических функций.

2.3 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае 1.

2.4 Решение и исследование картины разрешимости векторно-матричной задачи Римана вида (2.5) в случае II.

2.5 Решение и исследование картины разрешимости задачи вЬ^я.

2.6 Некоторые случаи решения задачи в!^] в замкнутой форме.

2.7 Постановка второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

2.8 Решение второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций в случае окружности.

ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ОСНОВНЫЕ ЧЕТЫРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА ЗАДАЧИ РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ 3.1 Сведение решения задачи GR41 к решению двух обобщённых скалярных задач типа задачи Римана относительно кусочно-аналитических функций.

3.2 Исследование картины разрешимости задачи ОИ^.

3.3 О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа задачи Римана для бианалитических функций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций»

Теория краевых (граничных) задач является важнейшей областью современного комплексного анализа и математической физики.

Благодаря трудам Б.В. Боярского [12], И.Н. Векуа [13], Н.П. Векуа [14]

18], Ф.Д. Гахова [22]-[24], Г.С. Литвинчука [44]-[46], Н.И. Мусхелишвили [65], [66] и многих других известных математиков теория линейных граничных задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершённый вид.

В то же время, для решения части прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным, классической теории последних оказывается недостаточно. При постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров, для более широкого класса заданных и искомых функций; рассматриваются различные задачи со сдвигом; задачи, содержащие производные искомых функций; задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомой; граничные задачи в классе обобщённых аналитических функций.

Одним из естественных обобщений аналитической функции комплексного переменного является бианалитическая функция. Бианалитические функции зародились в математической теории упругости. Г.В. Колосов [35] обнаружил, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить функции вида <p(z) + nf/{z), где (p{z), if/(z) - аналитические функции. Плодотворные применения этой идеи в механике в замечательных исследованиях Г.В. Колосова и Н.И. Мусхелишвили, а также их последователей широко известны (см., например, [35], [47], [65], [66]).

В данной диссертационной работе исследуются четырёхэлементные краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций, которые являются одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций.

Интерес к изучению многоэлементных краевых задач в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций постоянно растёт, так как к задачам такого типа приводят разнообразные физические и технические проблемы: плоская теория упругости (см., например, [65]), задачи теории поверхностей и теории оболочек (см., например, [13]).

Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящено множество работ (В .А. Габринович

19], [20], C.B. Левинский [42], [43], Б. Дамьянович [90] и др.). Однако изучаемые ими задачи в своей исходной формулировке имеют так называемый треугольный вид (см. [68], с. 19). Эта особенность их постановки позволяет свести решение рассматриваемых задач к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций.

Изучению многоэлементных задач общего (не треугольного) вида посвящены работы K.M. Расулова, Н.Г. Анищенковой, И.Б. Болотина. В этих работах исследованы двухэлементные задачи (типа Римана) для полианалитических функций ([9]-[11], [68], [69]) и трёхэлементные задачи (типа Римана) для бианалитических функций ([1]-[5]). Вместе с тем, до настоящего времени оставались не изученными четырёхэлементные задачи типа Римана общего вида в классах бианалитических функций, которые являются естественным обобщением задач исследованных ранее.

Пусть на плоскости комплексного переменного z = x + iy простой гладкий замкнутый контур L, заданный уравнением t = x(<j)+iy(a), где а — дуговая абсцисса (натуральный параметр) ограничивает односвязную область Т. Область, дополняющую Т vjL до полной плоскости, обозначим через Т~ и будем считать для определённости, что начало координат находится в Т+.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции f{z) = {f+(z), F~(z)] с линией скачков l, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим граничным условиям:

Задача GR4i Ai (0—r-^ = Gu + Gi2(t)~-^ + gx(t), (0.1) ox ox ox ox

0.2) ду ду ду dy

Задача GR42

An{t)F+ (0 + Au (t)F+ (/) = Gn(t)F-(0 + Gn (t)F~ (t) + gl (t), (0.3)

0-4) on+ on+ on on где Ak (t),Gkj(t), gk(t) (£ = 1,2; У = 1,2) — заданные на контуре L функции класса 3

H(L) (Гёлъдера), д производная по внутренней (внешней) нормали к дп+ \дп ) X.

Сформулированные задачи будем называть соответственно первой и второй основными четырёхэлементными краевыми задачами типа задачи Римана в классах бианалитических функций или короче - задачами (Ж// и &142.

Следует отметить, что в частном случае, когда коэффициенты удовлетворяют условиям

Akl(t) = Akl(t) s 0, Gkx(t) s Gkl{t) = 1 (k = \, 2), (0.5) задачи GR41 и GR42 представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой и второй основными бигармоническими задачами ([41], [65], [82]).

Если в равенствах (0.1)-(0.4) выполнены условия

Akl(t) ш 1, Ak2(t) ^ Gk2{t) ш 0 (k = 1,2), (0.6) то задачи GR41, GR42 представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, которые были поставлены Ф.Д. Гаховым в его известной монографии [22] (с. 319). При выполнении указанных условий задачи GR41, GR42 в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами подробно исследованы в работах K.M. Расулова (см. [68] и имеющуюся там библиографию).

При условии, что на контуре L

Ai(0 = l и Ak2(t) = 0 (к = 1,2), (0.7) сформулированные задачи представляют собой основные трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций, постановку которых дал K.M. Расулов (см. [68], с. 286). При выполнении последних условий поставленные задачи были достаточно подробно исследованы в работах Н.Г. Анищенковой (см. [1]-[5]), а также в совместных работах [10], [11].

Поскольку в общем случае (когда на коэффициенты краевых условий не наложены ограничения вида (0.5), (0.6) или (0.7)) задачи GR41 и GR42 до сих пор оставались не изученными, то разработка методов их решения является актуальной проблемой современного комплексного анализа.

В соответствии с этим целью настоящей работы является разработка методов решения основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, установление их нётеровости и выявление случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Медведев, Юрий Анатольевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации предложены методы решения первой (задача ОЯ») и второй (задача ОБ^) основных четырёхэлементных краевых задач типа Римана для бианалитических функций в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами, которые основаны на представлении неизвестных бианалитических функций через их аналитические компоненты, а также на теории обобщённых краевых задач Римана в классах кусочно-аналитических функций. В работе выведены необходимые и достаточные условия разрешимости, а также условия нётеровости задач ОЯ^ и вЯ^.

Показано, что в частном случае, когда граница представляет собой окружность, исследуемые задачи допускают достаточно простое решение, основанное на возможности задания окружности уравнением Шварца г = —. г

В этом случае задачи ОЯ^ и ОЯ^ редуцируются к невырожденным векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций, на основе чего получены конструктивные методы решения задач вЯ^ и ОЯ42 и указаны случаи, при которых решение будет задаваться в квадратурах.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Разработаны методы решения задач вЯц и ОЯ*2 в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости задач ОЯ41 и ОЯ42, установлена их нётеровость.

3. Разработан специальный метод решения задач ОЯц и ОЯ*2 в случае круговой области сведением их к векторно-матричным задачам Римана для аналитических вектор-функций.

4. Выявлены частные случаи, когда задачи ОЯ41 и вЯ^ допускают решение в замкнутой форме (т.е. в квадратурах).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Медведев, Юрий Анатольевич, 2007 год

1. Анищенкова, Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. - 120 с.

2. Анищенкова, Н.Г. О решении обобщенной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Н.Г. Анищенкова, Э.И. Зверович, К.М. Расулов // Докл. НАН Беларуси. 2001. - Т. 45. - № 6. - С. 22-25.

3. Анищенкова, Н.Г. Об одной обобщенной задаче типа Римана для бианалитических функций в случае круговой области / Н.Г. Анищенкова, К.М. Расулов / Смоленск, гос. пед. ун-т. Смоленск, 2000. - 11 е.- Деп. в ВИНИТИ 18.09.2000.-№2424-В00.

4. Балк, М.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М.Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. -М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187-246.

5. Бикчантаев, И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. Казань, 1972. - 89 с.

6. Бикчантаев, И.А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа / И.А. Бикчантаев // Тр. семинара по краев, задачам. Казанск. ун-т. 1971. - Вып. 8. - С. 31-40.

7. Болотин, И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. - 110 с.

8. Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25. - Вып. 4. - 1960. - С. 385-390.

9. Векуа, И.Н. Обобщённые аналитические функции / И.Н. Векуа. М.: Наука, 1988. - 509 с.

10. Векуа, Н.П. Граничные задачи Гильберта для нескольких неизвестных функций с рациональными коэффициентами / Н.П. Векуа. // Труды Тбилисского математического института. Тбилиси: Мецниереба, 1989. - Т. 88.-С. 64-68

11. Векуа, Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1991. - 255 с.

12. Векуа, Н.П. Об одной задаче теории функции комплексного переменного / Н.П. Векуа // Докл. АН СССР. 1952. - Т. 86, №3. - С. 457-460

13. Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа. М.: Наука, 1970. - 379 с.

14. Векуа, Н.П. Об одной краевой задаче теории функций комплексного переменного и её применении к решению системы сингулярных интегральных уравнений / Н.П. Векуа, Д.А. Квеселава // Тр. Тбилисск. Матем. Ин-та, Т. 9,1941. С. 33-48

15. Габринович, В. А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.01 /В.А. Габринович Минск, 1977

16. Габринович, В.А. Об одной задаче сопряжения для полианалитических функций на окружности / В.А. Габринович // Вестник АН Бел. ССР, серия физ.-мат. наук, 1974. №1. - С. 29-36

17. Ганин, М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М.П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. - Т. 80, №3. -С. 313-316.

18. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

19. Гахов, Ф.Д. О краевой задаче Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // Докл. АН СССР. 1949. - Т. 67, №4. - С. 601-604.

20. Гахов, Ф.Д. Аналитическое продолжение метод решения функциональных уравнений / Ф.Д. Гахов // Современные проблемы теории аналитических функций. - М.: Наука, 1966. - С. 73-83.

21. Гурвиц, А. Теория функций / А. Гурвиц, Р. Курант; перевод М.А. Евграфова. М.: Наука, 1968. - 648 с.

22. Жегалов, В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В.И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. ун-та 1975. -Вып. 12.-С. 50-57.

23. Исаханов, P.C. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. т. 20, №6. - С. 659-666.

24. Исаханов, P.C. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Рагим Сулейманович Исаханов. Тбилиси, 1983. - 281 с.

25. Исаханов, P.C. О некоторых дифференциальных граничных задачах теории аналитических функций / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1958. Т. 21, №1.-С. 11-18.

26. Исаханов, P.C. Об одной общей задаче для голоморфных функций / P.C. Исаханов // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1980. - Т. 65. - С. 99-109.

27. Исаханов, P.C. Об одном классе дифференциальных граничных задач / P.C. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР, 1960. Т. 25, №5. - С. 517-524.

28. Исаханов, P.C. Об одном классе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений / P.C. Исаханов // Докл. АН СССР, 1960. Т. 132, №2.-С. 264-267.

29. Каландия, А.И. Математические методы двумерной упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 303 с.

30. Квеселава, Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д.А. Квеселава // Тр. Тбилиского матем. ин-та. 1948. - T. XVI. - С. 39-90.

31. Колосов, Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости / Г.В. Колосов. Юрьев, 1909. - XIX, 187 с.

32. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / M.JI. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.

33. Крикунов, Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю.М. Крикунов // Докл. АН СССР, 1952. Т. 85, №2. - С. 269-272.

34. Крикунов, Ю.М. О решении обобщённой краевой задачи Римана и линейного сингулярного интегро-дифференциального уравнения / Ю.М. Крикунов // Учен. зап. Казанского гос. ун-та, 1952. Т. 112, кн. 10. - С. 191199.

35. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. СПб.: Издательство «Лань», 2005. - 432 с.

36. Лаврентьев, М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 1999. -702 с.

37. Лаврентьев, М.М. Методы теории функций комплексного переменного / М.М. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1973. - 736 с.

38. Левинский, C.B. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дисс. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. Одесса, 1991. - 142 с.

39. Левинский, C.B. Краевая задача для функций, полианалитических в нескольких многосвязных областях / C.B. Левинский //В кн.: Современный анализ и его приложения. Киев: Наукова думка, 1989. - С. 107-111.

40. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. М.: Наука, 1977. - 448 с.

41. Литвинчук, Г.С. Об одной задаче, обобщающей краевую задачу Карлемана / Г.С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139, №2. - С. 290293.

42. Литвинчук, Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г.С. Литвинчук // Докл. АН СССР. 1967. - Т. 174, №6. -С. 1268-1270.

43. Манджавидзе, Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения общего вида со смещениями / Г.Ф. Манджавидзе // Тр. Тбилисск. матем. ин-та, Т. 33, 1967, С. 76-81.

44. Манджавидзе, Г.Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г.Ф. Манджавидзе // Тбил. гос. ун-т им. И.Н. Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. - 174 с.

45. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций / А.И. Маркушевич. М.: Наука, 1968. - 620 с.

46. Медведев, Ю. А. О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, №3.-С. 377-385.

47. Медведев, Ю. А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Вестник ЮУрГУ, Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. -Вып. 7. - №7(62) - С. 54-58.

48. Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. Душанбе, 1963. - 192 с.

49. Михайлов, Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / Л.Г. Михайлов // Докл. АН СССР. 1961. - Т. 139, №2. - С. 294-297

50. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. - 707 с.

51. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. - 511 с.

52. Примачук, Л.П. О краевой задаче с сопряжением / Л.П. Примачук // Изв. АН БССР, Сер. физ.-мат. наук. 1967. - №4. - С. 59-62

53. Расулов, K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / K.M. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.115

54. Balk, M.B. Polyanalytic functions / M.B. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.

55. Begehr, H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Boletin de la Asociation Matematica Venezolana, Vol. 12, №1. 2005. - P. 65-85.

56. Damjanovic, B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Матем. вестник (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

57. Davis, P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. -Washington, 1974. 219 p.

58. Rasulov, K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis, Vol. 9, №3. 2004. - P. 223-228.

59. Stein, M.E. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions / M.E. Stein. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970. - 303 p.