Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Юденков, Алексей Витальевич

• Юденков, Алексей Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юденков, Алексей Витальевич

Введение.

Глава 1. Задача Газемана для полианалитических функций.

§ 1. Обобщенная задача Газемана для аналитических функций.

§ 2. Исследование задачи типа Газемана для бианалитических функций.

§ 3. Метод конформного склеивания для задачи Газемана для бианалитических функций.

§ 4. Задача Газемана для полианалитических функций произвольногопорядка.

Глава 2. Методы решения задачи типа Карлемана для бианалитических функций. Их применение в задачах плоской теории упругости.

§ 5. Обобщенная задача типа Карлемана для аналитических функций.

§ 6. Исследование задачи типа Карлемана для бианалитических функций.

§ 7. Метод конформных отображений при решении задачи

Карлемана для бианалитических функций. ,.

Глава 3. Задача типа Карлемана для полианалитических функций в случае многосвязной области.

§8. Обобщенная задача типа Карлемана в случае многосвязной области.

§ 9. Задача типа Карлемана для полианалитических функций произвольного порядка.

Глава 4. Задача Карлемана для полианалитических функций.

Ее применение в теории упругости.

§ 10. Задача Карлемана для бианалитических функций.

§11. Задача Карлемана для полианалитических функций порядка п>2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы»

Актуальность темы. Одним из важнейших разделов плоской теории упругости являются, так называемые, первая и вторая основные задачи теории упругости (см. Например [31] и приведенную там библиографию).

Первая основная задача. Найти равновесие при заданных внешних напряжениях, приложенных к границе L области D.

Вторая основная задача. Найти упругое равновесие при заданных смещениях точек границы L.

Так как напряженное состояние и смещение могут быть выражены через две аналитические функции комплексного переменного çx(z), то сформулированные задачи сводятся к отысканию этих функций по некоторым условиям, которым они должны удовлетворять на границе области, занятой телом.

В работах Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили было показано, что первую основную задачу можно свести к нахождению бигармонической функции U(x,y) по заданным значениям ее частных производных. = (teL) (0.1) U (0, (0.2) где (0, §2 (0 - заданные на L функции.

Напомним, что бигармоническую функцию U(x,y) в комплексной форме можно записать в следующем виде

U (z) = (р0 (z) +

F(z) = (pQ(z) + zçx{z).

Функцию F(z) называют бианалитической функцией.

Первой и второй основным задачам теории упругости к настоящему времени посвящено множество замечательных оригинальных работ Адамара, Лауричелли, С.Л. Соболева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлина, Д.И. Шермана и многих других известных российских и зарубежных математиков.

Особенно простые краевые решения были получены в случае, когда Ь представляет собой окружность и для областей, отображаемых на круг рациональными функциями (см. например [31]). Однако в случае разомкнутых контуров или произвольных замкнутых контуров при решении первой основной задачи теории упругости возникают существенные трудности, в частности из-за того, что бианалитические функции неинвариантны относительно конформных преобразований. Одним из возможных методов их преодоления может быть переход к другим краевым задачам для бианалитиче-ских функций.

Пример 01. Требуется определить бигармоническую функцию и (х,у), исчезающую на бесконечности и непрерывно продолжающуюся на Ь вместе со своими производными до второго порядка включительно, по краевым условиям (0.1) и (0.2), где Ь = [-2;2].

Решение. С учетом (0.3), краевые условия (0.1) и (0.2) можно переписать в виде

I I II р+о (0 + (0 + (р\(0 = ~[<Ро (0 + *<р\ (0 + (р\ (01+(0 (0.4)

I I II р1 (0 + (0 - (р\ (0 = -К (0 + 1<р\ (0 - <р\ (0]+§2 (0 (0.5)

Будем считать, что положительное направление на Ь = [-2;2] совпадает с положительным направлением действительной оси. Будем также различать два берега отрезка [-2;2]: нижний Г и верхний Г+.

Так как на Ь выполняется условие t = г молено ввести новые функции Ф0(Ю, ^С7), граничные значения которых удовлетворяют условиям: ф+0(О = <Р+0 ,Фо(0 = К = (0,ФГ(0 = < (0.

Знак "+" означает, что функция Ф^ (V) (к=0,1) приближается к Ь сверху, знак означает, Фк(г) приближается к Ь снизу. С учетом обозначений, получим.

ФПО + ^ФМО + Ф^(0 = -[Фо(0 + ^Ф1'(0 + ФГ(0]+^(0 (0.6)

Фо'(0 + (0-фГС0 = -[фо(0 + '(0-(0]+(0 (0.7) Условия (0.6) и (0.7) представляют собой векторную задачу Римана на разомкнутом контуре.

1 I 2

Рассмотрим функцию со = —(г-л12 -4) - обратную функцию Жуковского. Она переводит плоскость т с разрезом по линии [-2;2] на внутренность круга у = {со:\со\(\} . + = -4) = 5> /еГ (0.8) + V/2 -4) = ^ = а(5)> / еГ . (0.9)

В свою очередь функция Жуковского ¿У + — со переводит внутренность круга

-2;2].

Введем функции У 1 в плоскость х с разрезом по линии со) = Ф^{со)) = Ф1(со + ~) со ' У

Тогда, используя (0.8), (0.9), получим

ФКО = Ф1(аШ) = = («(*))

Краевые условия (0.6) и (0.7) перейдут в следующие условия (a(j)) + Х(£ф))Ч'1' (Ф)) + Ч», (ф)) = (i) + -ВДУ,' + +%(s)]+g;(s) (0Л0) (a(s)) + ' (a(j)) - У, (a(s)) = -[¥„ (*) + ' (0 U) где &W = &(* + "), A-(í) = ¡(>>y'(z(í)). 5

Условия (0.10), (0.11) представляют собой краевые условия векторной задачи со сдвигом. Решение задачи (0.10), (0.11) аналогично решению классической задачи Карлемана для бианалитических функций. Как будет показано в параграфе 10, задача (0.10), (0.11) сводится к последовательному решению двух обычных задач Карлемана относительно функции и {со), каждая из которых решается в замкнутой форме. Уже исходя из приведенного примера видно, что решение различных краевых задач для бианалитических функций, в том числе и со сдвигом, является актуальной проблемой.

Следует указать,что в анизотропных телах при решении краевых задач в теории упругости на границе неоднородности тела появляются разные напряжения и деформации, для описания которых вводится функция сдвига.

Данная диссертация посвящена решению основных задач со сдвигом для полианалитических функций, а также применению разработанных методов в теории упругости.

Определение 0.1. Функция F(z) = u(x,y)+ iv(x,y) называется полианалитической порядка п (п - аналитической) в некоторой конечной области Э + плоскости комплексного переменного х-х + \у, если она в имеет непрерывные частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению дпР(г)

82.а 0, (0.12) а 1 где = ^ дх 2 Г д . д — +1 —

Эх ду)

- дифференциальный оператор Коши-Римана, пеМ; п > 2.

Известно, [3], что всякую полианалитическую в области функцию Р(г) можно представить в виде

0.13) к = 0 где фк(г) (к = 0,1,.,п - 1) - аналитические функции в 0+.

Обычно функции ф0(2), ф^г),., фп,(г) называются аналитическими компонентами полианалитической функции Р(г).

Полианалитические функции порядка п = 2 называются бианалитиче-скими.

Определение 0.2. Функция Р(г) называется кусочно полианалитической порядка п с линией скачков Ь (см. [16], [42], [43]), если она в двух дополняющих друг друга до полной плоскости областях 0+ и Б" определяется выражениями Р+(г) и Р~(г):

ВД = Ь- Т- (014)

Р (г), геТ , п-1 где Р+(2)=£гкф£, (0.15) к=0 п-1 к=0 к=0 p+(z), f (z) - аналитические в областях D+ и D соответственно, кроме того здесь cpö(z) = f"(z), (p~(z) = z"Hf[(z), j>1.

Всюду в дальнейшем будем говорить, что кусочно полианалитическая функция F(z) ограничена (исчезает) на бесконечности, если функция фр (z)b представлении (0.4) ограничена (исчезает) на бесконечности.

Следует отметить, что наиболее важные результаты в качественной теории полианалитических функций были получены математиками Смоленской школы, возглавляемой М.Б. Балком.

Первые краевые задачи для полианалитических функций были поставлены еще в работах Т.В. Колосова. Однако систематическое изучение разомкнутых задач для полианалитических функций началось с начала 50-х годов с работ B.C. Рогожина [40] и М.П. Ганина [12], [13].

Определенная завершенность в решении классических краевых задач без сдвига для полианалитических функций была получена K.M. Расуловым [34], [35], [36], [38].

Вместе с тем теория краевых задач со сдвигом для полианалитических функций находится на начальном этапе своего развития. Ряд краевых задач со сдвигом для полианалитических функций решался только для простейших областей (окружность, полуплоскость).

Следовательно, изучение краевых задач со сдвигом для полианалитических функций в общей постановке составляет актуальную проблему.

Цель работы. В диссертации исследуются три основные классические задачи со сдвигом для полианалитических функций, а также разрабатываются методы решения этих задач для бианалитических функций, применимых в теории упругости.

1. Требуется найти кусочно полианалитическую порядка п функцию F±(z), исчезающую на бесконечности и удовлетворяющую на L(L еС(2п~2^ следующим п условиям: к = 1, 2, (0.16) где Ск(1:), gk(t) - заданные на Ь комплекснозначные функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (2п-к-2) порядка, причем а(1) - прямой гомеоморфизм контура Ь на себя,

0 и а(1;) удовлетворяет условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (2п-1) включительно.

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Газемана для полианалитических функций (Гп).

Отметим, что впервые краевые задачи такого типа для кусочно полианалитических функция ставились и изучались в работах И.А.Соколова [42]. 2. Требуется найти п - аналитическую в области 0+ функцию Р+(г), удовлетворяющую следующим п условиям на контуре Ь

ЭТУ1+8Ь(0, к = 1, 2,., п, (0.17)

Эх11 <9у к ахп-к5ук-' к

Ок(1:), - известные функции точек контура Ь, а^) - прямой гомеоморфизм, такой, что (а(а(0) = I).

Для данной задачи условия, накладываемые на контур Ь и функции в^), gk(t),a(t) существенно зависят от конкретного вида вк(1), gk(t), а(0.

Сформулированную задачу будем называть задачей типа Карлемана для полианалитических функций (Кп).

Впервые задача вида (Кп) была рассмотрена в работах В.С.Рогожина [40] и М.П.Ганина [12], [13].

Следует отметить, что задача Кп является прямым обобщением первой основной задачи теории упругости.

3. Требуется найти п-аналитическую в 0+ функцию Р+(г) удовлетворяющую на Ь следующим условиям:

0) дхп-к дук-у где Ск(1:), (1) - известные функции точек контура Ь, а(1) - прямой гомеоморфизм, удовлетворяющий условию Карлемана (а(а(1:)) = I).

Сформулированную задачу назовем задачей Карлемана для полианали

Научная новизна. В диссертации разрабатываются новые методы решения основных краевых задач со сдвигом для полианалитических функций (задача Газемана, задача типа Карлемана, задача Карлемана), базирующиеся на, так называемых, обобщенных задачах Газемана, типа Карлемана, Карлемана и методе конформных отображений. На основе этого подхода впервые получены решения задач Кп, ГП,СИ {п> 2) в случае произвольных областей; выявлены классы рассматриваемых задач, допускающие полное исследование. На основе разработанных методов предложены новые решения первой основной задачи теории упругости в случае произвольных конечных и односвязных областей, а также в случае плоскости с прямолинейным разрезом.

Практическая значимость. Изложенные в диссертации результаты имеют в основном теоретическую направленность. Исследованные в диссертации задачи и предложенные методы их решения имеют определенные приложения в задачах теории упругости, в задачах математической физики и механики сплошной среды.

Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованиями краевых задач комплексного анализа, теорией приближения функций, интегральных и дифференциальных уравнений и их приложений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

В диссертации содержатся следующие новые результаты. тических функций (Сп ) .

1. Метод решения краевой задачи Гп для полианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей.

2. Решение краевой задачи Г2 для бианалитических функций методом конформного склеивания.

3. Анализ частных случаев задачи Гп, сводящихся к последовательному решению обычных задач Газемана для аналитических функций.

4. Метод решения краевой задачи К2 для полианалитических функций в случае односвязной области.

5. Метод конформных отображений для задачи К2 и его применение в теории упругости.

7. Решение задачи Кп в случаях, которые сводятся к решению обычных задач типа Карлемана для аналитических функций.

8. Метод решения краевой задачи С2 и его применение в конкретных задачах теории упругости.

9. Решение задачи Сп для п-аналитических функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова, в Воронежской зимней математической школе, в Смоленском педагогическом институте на семинарах по теории полианалитических функций (руководитель - доцент, доктор физ. мат. наук К.М.Расулов), дифференциальным операторам (руководитель - проф. В.Д.Будаев), на Минском семинаре по краевым задачам им.Ф.Д.Гахова (руководитель проф. Э.И.Зверович), кафедре математического анализа Рязанского педагогического университета (рук. семинара проф. М.Т.Терехин), кафедре высшей математики Смоленского сельскохозяйственного института (зав.кафедрой проф. А.П. Петунин).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Юденков, Алексей Витальевич

Общие выводы.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Разработаны различные методы и алгоритмы решения задачи Газемана для полианалитических функций (Гп), выяснена структура ее решения для областей сложной формы. А именно, получены:

- методы решения задачи Гпдля полианалитических функций в случае произвольных конечносвязных областей. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровости задачи Гп;

- анализ частных случаев задачи Гп, допускающих точный подсчет необходимых и достаточных условий разрешимости и решение задачи Гп в замкнутой форме;

- метод конформного склеивания для решения задачи Газемана для бианалитических функций.

2. Получены методы решения задачи типа Карлемана для полианалитических функций (Кп) в случае произвольных как односвязных, так и многосвязных областей:

- метод решения задачи Кпдля областей сложной формы в зависимости от условий, наложенных на коэффициенты задачи;

- метод конформного отображения для задачи К2 и его применение в теории упругости;

- анализ частных случаев решения задачи Кп, сводящихся к решению п задач типа Карлемана для аналитических функций.

3. Получен метод решения задачи Карлемана для полианалитических функций (Сп) в областях сложной конфигурации, дан пример приложения метода в теории упругости.

4. Полученные методы и алгоритмы решения задач Газемана и типа Карлемана для полианалитических функций дают принципиальную возможность применения численных методов при решении краевых задач для полианалитических функций. В диссертации даются общий алгоритм численного решения краевых задач для полианалитических функций и пример его применения к плоской задаче теории упругости.

Таким образом автором впервые были получены методы решения с выяснением их структурных свойств основных задач со сдвигом для полианалитических функций (Газемана, типа Карлемана, Карлемана). Получена принципиальная возможность применения численных методов для решения краевых задач для полианалитических функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юденков, Алексей Витальевич, 1998 год

1. Алещенко Л.Н., Соколов И.А. Краевые задачи типа Римана с дополнительными условиями для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат.наук. - 1974. -№1. - С.37 -41.

2. Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. Проб, матем. Фунд. напр.- т.85- М: ВИНИТИ. 1991. С. 187 -246.

3. Балк М.Б., Зуев М.Ф. О полианалитических функциях // УМН. 1971,-Т.25, Вып.5 - С.203-226.

4. Боярский Б.В. Анализ разрешимости граничных задач теории функции // Исследования по Совр. пробл. Теории функций комплексного переменного.- 1961. С.57-79.

5. Боярский Б.В. Исследование по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций: Дис.док. физ.мат.наук.- М.1960. 320 с.

6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции ,-М.: Наука, 1988. 509 с.

7. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений М.: Наука, 1970.- 379 с.

8. Габринович В.А. Об одной задаче сопряжения для полианалтических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер. Физ.мат. наук. 1974. - №1.1. С.29-36.

9. Габринович В.А. Краевая задача типа Карлемана для полианалитических функций // Изв. АН БССР. Сер. Физ.мат.наук 1977. №3. - С.48-58.

10. Габринович В.А. О краевой задаче типа Карлемана для метааналитиче-ских функций // Докл. АН БССР. Т.21, №2. - С.1 12-1 15.

11. Ганин М.П. Краевые задачи теории полигармонических функций // Учен.зап.Казанск. ун-та. 1950. - Т.111, кн. 10. - С.9 - 13.

12. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951 . -Т.75,№6. -С.921-924.

13. Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций // Докл. АН СССР. 1951. -Т.80,№3. - С.313-316.

14. Ганин М.П. Об одной общей краевой задаче для аналитических функций: Дисс.канд.физ.мат. наук. Казань. 1952. - С.69.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи М: Наука, 1977. - 640 с.

16. Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функции // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанок, ун-т. 1976. - Вып. 13. - С.80-85.

17. Зверович Э.И. О сведении задачи Гильберта для многосвязной области к задаче Гильберта с рациональным коэффициентом // Докл. АН СССР.-1964. -Т. 157. №4. С.777-780.

18. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельде-ровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971 . - Т.26. Выл 1, -С.113 - 179.

19. Золоторевский В.А. Конечномерные методы решения сингулярных интегральных уравнений на замкнутых контурах интегрирования. Кишенев: Штиница, 1991.

20. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. Киев: Наукова Думка, 1986.

21. Какичев В.А. Краевые задачи теории аналитических функций многих комплексных переменных // Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам. -Минск.: Изд-во: "Университетское". 1985. С.47-57.

22. Квеселава Д.А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Сообщ. АН ГССР. 1945. - Т.6., №8. - С.581-590.

23. Квеселава Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций // Труды ма-тем. ин-та. АН Груз.ССР 16 (1948), с.39-80.

24. Курош А.Г. Курс внешней алгебры. -М: Наука. 1971. 431 с.

25. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного М: Наука. 1973 . - 736 с.

26. Левинский C.B. Теория Неттера первой краевой задачи для полианали- то-ческих функций // Изв. вузов. Математика. 1982. - № 3. - С.35-39.

27. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные уравнения со сдвигом.- М.: Наука. 1977. -448 с.

28. Малеин Ю.С. О представлении полианалитических функций через граничные значения // Смоленск. Матем. сб. Смоленск, 1975. - Т.4. - С.34-39.

29. Манджавидзе Г.Ф., Хаеделидзе Б.В. О задаче Римана Привалова с непрерывными коэффициентами // ДАН СССР 123; 5(1958), 791-794.

30. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. - 707 с.

31. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.- 511 с.

32. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М,- Л. 1950. - 336 с.

33. Пыхтеев Г.Н. Приближенные методы вычислений интегралов типа коши специального вида. Новосибирск: Наука, 1982.

34. Расулов K.M. Краевые задачи типа Римана для полианалитических функций, разрешаемые в замкнутой форме // Докл. АН СССР.-1983,- Т.270, №5. -С.1061-1065.

35. Расулов K.M. О решении основных краевых задач типа Гильберта для биа-налитических функций // докл. АН СССР. 1991. - Т.320. №2. - С.284- 288.

36. Расулов K.M. Основные краевые задачи типа Гильберта для полианали- ти-ческих функций и их применение в теории упругости // Тез. Докл. V Всесоюзного симпозиума "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики". Одесса, сент. 1991. С.89-90.

37. Расулов K.M. Краевые задачи типа Гильберта для полианалитических функций в многосвязных областях / Смоленск гос. пед. ин-т,- Смоленск, 1992. -47 с. Деп. в ВИНИТИ 25.06.92. №2081.

38. Расулов K.M. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: Дис.док. физ.мат.наук. Минск 1996. - 221 с.

39. Рогожин B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения//Учен. зап. Казанского ун-та. 1950. - Т.110, кн.3. - С.71-93.

40. Соболев JI.C. Об одной краевой задаче для полигармонических уравнений // Мат. сб. 1937. - Т.2., №3. - С.465-499.

41. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности //Изв. АН БССР. Сер. физ.мат. наук. 1969. - №5. - С.64-71 .

42. Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для бианалитических функций в случае произвольного контура //Изв. АН СССР. Сер.физ.мат. наук. 1969. -№ 6. С.29-38.

43. Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура. // Вестник Белорусского ун-та. Серия 1. 1970. -№2. -С.20-23.

44. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тби-лисск. матем. ин-та. 1956. - Т.23. - С.3-156.

45. Чибрикова JI.H, Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань.: изд-во Казанок, ун-та 1977. - 302 с.

46. Юденков A.B. Об одной краевой задаче типа Газемана для бианалити- ческих функций / Смоленск, гос.пед.ин-т, 1995 г.- 9с. Деп. в ВИНИТИ, 12.95. №243-В 94.

47. Юденков A.B. Об одной краевой задаче типа Газемана для бианалитиче-ских функций // Докл. межднарод. конференции посвященной 150-летию со дня рождения В.В.Докучаева, Смоленск 1995. С. 172-176.

48. Юденков A.B. О решении одной краевой задачи типа Римана со сдвигом для полианалитических функций // Тез. докл. научно-практической конференции, посвященной 35-летию Смоленского филиала Московского технического ун-та. Смоленск 1996. С.47-49.

49. Петунин А.П., Юденков A.B. Задача Газемана для полианалитических функций // Изв. ТСХА №4. 1998. С.

50. Юденков A.B. Основные краевые задачи со сдвигом для полианалитических функций // Материалы международного семинара Смоленского гос. пед. ин-та, Хагенского заочного университета и Смоленского НИИ. Вып. 1. Смоленск 1997. С. 19-21.

51. Юденков A.B. Задача типа Карлемана для полианалитических функций в случае многосвязной области // Смоленский сельхоз. ин-т. Смоленск 1998,- 5с.-Деп. в ВИНИТИ. 27.02.98. № 588-В98.

52. Юденков A.B. Задача Карлемана для полианалитических функций // Смоленский сельхоз. ин-т. Смоленск 1998,- 11с,- Деп. в ВИНИТИ. 27.02.98. № 587-В98.

53. Balk M.B. Polianalvtlc functions. Berlin: Akademie Verlag, 1983. - P. 68- 84.

54. Damianovic В. The boundary value problem for polvanalvtic functions in multiply-connected region // MaTtM. вестник. (Yugoslavia). 1986. - Vol.38. -P.411-415.

55. Teodorescu N. La derivee areolaire et ses applicetions a la physique mathématique. Paris. 1931. - 51 p.