Краевые задачи для полианалитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Чан Куанг Выонг

• Чан Куанг Выонг
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Чан Куанг Выонг

Оглавление

Введение

Глава 1. Краевые задачи специального вида

1 Формула Гурса

2 Задача линейного сопряжения

3 Канонические матрицы- функции

4 Частный случай для бианалитических функций

5 Односторонние краевые задачи

Глава 2. Краевые задачи общего вида

6 Представление решений

7 3- аналитические функции

8 Задача линейного сопряжения для производных

(п — 1)-го порядка

9 Общая краевая задача

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для полианалитических функций»

Введение

В современном комплексном анализе важную роль играют краевые задачи теории аналитических функций и различные их обобщения - задачи нахождения аналитической в некоторой области функции по заданному соотношению между граничными значениями ее действительной и мнимой частей. Более точно, требуется найти аналитическую в области О функцию ф по краевому условию

Ие Оф+ = /,

где ф+ означает граничное значение ф и заданная функция О всюду отлична от нуля.

Эта задача была поставлена Б. Риманом [1] в 1857 г., однако он не указал каких- либо способов ее решения. Впервые ее исследование было дано Д. Гильбертом [36], который свел эту задачу к решению двух задач Дирихле для гармонических функций. По этой причине данную задачу называют задачей Римана - Гильберта (иногда просто задачей Гильберта).

Задача Римана - Гильберта тесно связана с так называемой задачей линейного сопряжения, постановка которой также восходит к Б. Риману. Пусть гладкий контур Г ограничивает область О и О' есть дополнение к О на комплексной плоскости. Пусть функция ф аналитична на О и О' и непрерывно продолжима на Г со стороны О и О', соответствующие граничные значения обозначаем ф+ и ф—. В этом случае ф также называют кусочно аналитической функцией с линией скачков Г. Задача линейного сопряжения состоит в определении такой функции с конечным порядком на бесконечности по граничному условию

ф+(г) = о(г)ф—(г) + д(г), г е Г,

где О (г) и д(г) - заданные функции.

С помощью аппарата интегралов типа Коши эта задача допускает эффективное решение, что используется для исследования сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши на контуре Г. Задачи Римана - Гильберта и линейного сопряжения рассматриваются и в векторном случае, когда ф = (ф1,...,фп) является вектор- функцией и, соответственно, О представляет собой п х п— матрицу- функцию, удовлетворяющую условию det О(г) =0, г е Г. Теория этих задач, как и сингулярных интегральных уравнений к середине прошлого столетия приобрела практически законченный вид, итог подведен в известных монографиях Ф.Д. Гахова [3] и Н.И. Мусхелишвили [4], где приведена также подробная библиография.

Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного г = х + ¿у являются полианалитические (или п— аналитические) функции и(г), которые в области О комплексной плоскости удовлетворяют уравнению

с некоторым натуральным п > 2. Структурные и качественные свойства полианалитических функций хорошо изучены, см., например, монографию Балк М.Б. [5], где имеется также подробная библиография. В частности, п— аналитическая в области О функция ) единственным образом представима в виде

д^п

(1)

где

п1

к=о

где функции фк(z), k = 0,1, 2,... ,n — 1, аналитичны в области D. Они называются аналитическими компонентами полианалитической функции u(z) - соответственно нулевой,первой,..., (n — 1)-й.

Отметим, уравнение (1) при n = 2 называется также уравнением Бицадзе. При разделении реальной и мнимой частей этого уравнения получается эллиптическая система второго порядка, рассмотренная в известной работе А. В. Бицадзе [6]. Эта система знаменита тем, что задача Дирихле для нее в единичном круге нефредгольмова - однородная задача имеет бесконечное число линейно независимых решений.

Краевым задачам для полианалитических функций и их обобщений посвящены многочисленные исследования. Интерес к этим задачам объясняется связями с другими математическими областями (например, теорией дифференциальных уравнений с частными производными, теорией приближения функций), а также многообразными приложениями в математической физике и механике (см., например, Т. Рева [7], А. Юден-ков [8, 9]). Систематическое исследование краевых задач для полианалитических функций началось с работ В.С. Рогожина и М.П. Ганина, в которых рассматривалась задача нахождения 3-аналитической функции по трем краевым условиям. В дальнейшем эта теория развивалась многими авторами, большой вклад в нее внесли Ф.Д Гахов[3], И.А. Бикчантаев[12], В.А. Габринович[13], В.И. Жегалов[14], С.В. Левинский [15], В.И. Пока-зеев [16], И.А. Соколов[17], К.М. Расулов [19, 20] и др.

Пусть гладкий контур Г делит расширенную комплексную плоскость на конечную область D и область D', содержащую точку z = œ. Наиболее полно исследованы следующие три основных задач типа Рима-на - Гильберта для полианалитических функций, особенно важные для

приложений:

Ие Ок(г)Дки(г) = /к(г), к = 0,1,...,п — 1. (3а)

ККОк(г)дХпЭУ^) = /к(^ к = 1,2,...,п. (36)

Ок (г) дкп^) = /к (г), к = 0,1,...,п — 1. (3с)

где Д означает оператор Лапласа, д/дп есть производная по внешней нормали к Г. При этом предполагается, что заданные функции Ок(г), /к(г) удовлетворяют условию Гельдера на Г вместе со своими производными до (2п — к — 2)-го порядка, причем Г принадлежит классу С2п—1'м (т.е. контур задается уравнением г = х(й) + ¿у(й),где х(й) и у(й)- функции дуги й, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производным до порядка 2п — 1 включительно) и Ок(г) = 0.

Следует отметить , что в частном случае Ок(г) = 1 задачи (3а) -(3Ь) представляют собой основные классические задачи теории полианалитических функций, называемые соответственно задачей Рикье, первой основной задачей и второй основной задачей, им посвящены многочисленные оригинальные работы. Интерес к этим задачам в основном вызван тем, что они находят различные приложения при решении многих проблем математической физики и механики сплошной среды.

По аналогии с (3а) - (3Ь) рассматриваются также соответствующие задачи линейного сопряжения для полианлитической в открытом множестве О и О' функции и, граничные значения которых и+(г) и (г) удовлетворяют на Г краевым условиям

Дк и+(г) = Ок (г) Дк и— (г) + дк (г), к = 0,1,..., п — 1. (4а) (Г=1 = Ок (г) ^ п-^А-!! + дк (г), к = 1,2,..., п. (46)

дхп—к дук—1 дхп—к дук—

^9^ = °к(<)^9^ + к = °1....." - 1 (4с)

Подобные задачи ставились и изучались в работах И.А. Соколова[17,

18]. Достаточно обстоятельное изложение результатов этого и других авторов можно найти в монографии Ф.Д. Гахова[3].

Задачи (3Ь), (3с) и, соответственно (4Ь), (4с) близки как по степени их сложности, так и по методам их решения. Однако задача (За) и (4а) существенно отличаются от задач второго и третьего типов своей простотой уже по самой постановке. Это отличие заключается в том, что согласно (2) для дифференциальных операторов

Я2к

Дк = 4к _ ,

определяющих краевые условия (3а) и (4а) выполняются равенства

п—1 |

Дк) = 4к ^ Р' 1кфРк)(;), к = 1, ...,п — 1, (5)

р=к

где для единообразия Д0и = и. Отсюда следует, что краевое условие (За) для к = п — 1, п — 2,..., ° можно записать в виде

4п—1Ие (п — 1)!Сп—1(^)фП——11)(^) = /п—1Й,

4п—2Ие Сп—2(*)[(п — 2)!фПП——22)(^) + (п — 1)!^——1%)] = /п—2^,... (6) Ие Со(*)[фо(*) + *&(*) + ... + 1фп—1(^)] = /о(£), соответственно.

Очевидно, что краевые условия (6) в совокупности имеют "тре-угольный"вид. Поэтому решая последовательно п краевых задач Рима-на -Гильберта (6) относительно аналитических в О функций фкк), (к = п — 1, п — 2,..., °), можно определить все функции ф0(;), ф1(;),..., фп—1(;) а значит и искомую полианалитическую функцию ) в представлении

(2). Таким образом, задача (3a) фактически сводится к совокупности n краевых задач Римана - Гильберта относительно аналитических функций (z) = ), k = 0,1, ...,n - 1.

C другой стороны, подстановка (2) в краевые условия (3b), (3c) приводит к дифференциальным операторам, уже не обладающим указанным треугольным свойством. Поэтому, вообще говоря, эти задачи не сводятся к совокупности n обычных краевых задач Гильберта - Римана для аналитических функций. В течение последних двух - трёх десятилетий опубликовано значительное число оригинальных работ, в которых исследуются те или иные краевые задачи для полианалитических функций и их обобщений (см. например, обзорную работу К.М. Расулова[21]. Подавляющее большинство из этих работ посвящены исследованию лишь краевых задач треугольного вида, а задачи общего вида изучались в основном только для областей типа круга или полуплоскости (см. например, работы Ю. Ванга [22, 23], Ю. Медведева [24], И. Соколов[25] и др.).

Другой подход для исследования краевых задач был предложен В.В. Показеевым [16], который основан на введенных им представлениях полианалитических функций интегралами вида

1 Г П-1 tk /z i\k gk(t) , r

/l(z) = 2Л^УГg kfU -1) —dt, z *r.

Заметим, что при n = 1 функция Д (z) переходит в классический интеграл типа Коши. Наряду с этим представлением В.В. Показеев рассматривал и другой полианалитический аналог интеграла типа Коши

м=2й i g kn-? gk w*

В окрестности бесконечно удаленной точки эти интегралы допускают полюс порядка n-2. С помощью указанных представлений В.В. Показеев

исследовал краевую задачу линеиного сопряжения

= G(t) + Sk (t),t € г, k = 0,1,2,...,n - 1,

в которых G(t) есть непрерывная по Гёльдеру функция точек гладкого контура Г, всюду отличная от нуля.

Некоторые простые краевые задачи для обобщенных полианалитических функции изучались Х. Бегером [26] в соболевских пространствах. Эти исследования были продолжены в работах А. Мшимба [27, 28] и др. авторов. Ряд работ посвящен краевым задачам для полианалитических функции в многосвязных областях [29, 30].

Диссертационная работа состоит из двух глав. Первая глава основывается на традиционном подходе, связанным с представлением Гурса полианалитических функции через аналитические. Соответственно в неИ рассматриваются задачи типа Римана- Гильберта и линейного сопряжения специального типа, которые с помощью указанного представления непосредственно сводятся к соответствующим задачам теории функций. Основной упор здесь сделан на описании случаев эффективного решения этих задач.

Первая глава состоит из пяти параграфов. Первыи параграф посвящен обсуждению представления Гурса

u(z) = 01(z) + #2(z) + 2!) + ... + (n - 1)! 0n(z) (7)

полианалитической функции и через набор ф = (ф1,..., фп) аналитических функций. По отношению к вектору

U = (Ui,..., Un), Uk = dk-1u/d#-1,

и треугольной матрицы P = (Pj)П, элементы которой равны нулю при j < i и

P.-(z) =

(j - i)!

Pij(z) = ~-7VT, j > i,

это представление записывается в форме и = Рф.

Второй параграф посвящен задаче линейного сопряжения

(д^) — £ ЦдН = л, 1 ^ • *п (8>

на гладком контуре Г для полианалитических функций, заданных в открытом множестве О = С \ Г. Решение ищется в классе Гельдера СМ(О), который определяется условием принадлежности СМ(О) для любой ограниченной подобласти О С О. Кроме того, оно подчиняется поведению

и,-(г) = 0(|г) при г ^ го, ; = 1,... ,п, (9)

на бесконечности, где целое число / задано.

С помощью подстановки и = Рф эта задача непосредственно сводится к задаче линейного сопряжения

ф+ — Оф— = д, (10)

для аналитической в О вектор- функции ф Е СМ(О) с матричным коэффициентом О = Р—1ВР и правой частью д = Р—1/, что приводит к следующему результату.

Теорема 2.4. Пусть матрица - функция В Е СМ(Г) обратима. Тогда задача (1), (8) фредгольмова в классе (9), ее коядро содержится в СМ(Г) и ее индекс ж дается формулой

ж = В + п/ — п(п — 1)/2.

Для удобства в этом параграфе приводятся хорошо известные граничные свойства интегралов типа Коши, фредгольмовых операторов и критерий фредгольмовости систем сингулярных уравнений с ядром Ко-ши (теоремы 2.1 - 2.3).

В третьем параграфе описывается хорошо известный подход решения задачи линейного сопряжения через канонические матрицы функции. Применительно к задаче (1), (8) он приводит к следующему результату.

Теорема 3.1. Пусть X(г) - каноническая матрица- функция, отвечающая матричному коэффициенту С = (^+)-1Ри аеу, 1 < 3 < п, есть ее частные индексы.

Тогда для разрешимости задачи (1), (8) необходимо и достаточно, чтобы вектор- функция / = (X+)-1(^+)-1Р-1/ удовлетворяла условиям ортогональности

для всех многочленов степени deg < — (I + ае&) — 1 (многочлены отрицательной степени полагаются равными нулю). При выполнении этих условий общее решение этой задачи дается формулой

где вектор- многочлен p = (pi,... ,pn) удовлетворяет условию degpk < l + аеk — 1, 1 < k < n.

Каноническую матрицу X, отвечающую коэффициенту G, можно построить эффективно далеко не для всех матриц G. Исключение составляет случай, когда эта матрица треугольна. В этом случае доказывается следующий результат.

Теорема 3.2. Пусть матрица G G Ом(Г) верхне- треугольна, т.е. Gj = 0 при i > j, и G^t) = 0, t G Г, 1 < i < n. Тогда каноническая - матрица X также верхне -треугольна и ее частные индексы а = IndG,,.

При этом построение Х осуществляется с помощью простой рекуррентной процедуры.

Отдельный параграф 4 посвящен частному случаю п = 2 бианали-тической функции. В этом случае каноническая матрица строится особенно просто.

Лемма 4.1. Пусть в матрице С £ Ом(Г) вида

с(0= ( Со(6) V 0 С2 (6)

где Со(^) = Во(^) + ¿(В - Д^С^) = В^)^^) = В2М, функции С1, С2 обратимы и, соответственно, Х1,Х2 - отвечающие им канонические функции. Тогда отвечающая С каноническая матрица - функция дается формулой

/Х1 Х1У

X = I

\0 Х2

где по отношению к функции С0 = (Х—)—1Х—С—1 С0 положено

' С ) = ^ / СО-?.

2п £ J р 6 — 2

Соответственно этому задача (1), (8) с коэффициентом

/ В ВО \

В = I 1 0 ) (11)

V 0 В2 )

допускает эффективное решение.

В еще более частном случае, когда В0 = 0, это решение можно построить с помощью рекуррентной процедуры, не прибегая к канонической матрице.

Пусть Жк = Вк, к = 1,2, есть индекс Коши функции Вк и пусть скалярная каноническая функция Хк отвечает коэффициенту Вк. Положим

= ¿[В2(6) + В1(6)] В (/) = *[В2М — В1(6)] с (/) = В (6)Х+(6) () 2В2Й , () 2В2(6) , () Хо+(6) ,

и введем сингулярный оператор

(N/2)160) = Л(6о)/2(6о) + ^ / ХШ^ 60 £ Г,

пг ,/г Х^(6) 6 — 60 Для целого п обозначим Р(п) класс многочленов р(6) степени deg р < п — 1, полагая Р(п) = 0 для п < 0. Таким образом, dim Р(п) = тах(0,п). Удобно еще для целого т ввести подпространство Р(п,т) всех многочленов р £ Р(п), для которых

<(,Ср) = 0, ( £ Р(т),

где здесь и ниже для краткости

= ^ (6)^6.

Теорема 4.1. Задача (1), (8), где В0 = 0, разрешима тогда и только тогда, когда ее правые части /1, /2 удовлетворяют условиям ортогональности

(/2, (Х+) —1(2> =0, (2 £ Р( —Ж2 — I + 1), (/1 — N/2, (Х+)—1(1> =0, (1 £ Р( —Ж1 — /, Ж2 + I — 1). При выполнении этих условий все решения задачи описываются формулой

■ Х1М /1(6) — (N/2X6) , ^(г) /2(6)'

) = I

( ) 2пг Л

+

пг

Х+(6) 6 — г Х+(6) 6 — г,

Х1(2) В(6)Х2+(6)р2(6)

(6-

Х+(6) 6 — г

+ Х^г )р1(г) + 2Х2 (г)р2(г)

1

с произвольными р1 Е Р(а1 + I) и р2 £ Р(а2 + I — 1).

Последний пятый параграф главы 1 имеет дело с односторонней задачей Римана - Гильберта для полианалитической функции и в области Р, ограниченной ляпуновским контуром Г. Эта задача определяется аналогичным (8) специальным краевым условием

1и 4 +

^ Е вз ^

П д^з—1

з=1

= Л, 1 < г < п. (12)

Как обычно, решение ищется в классе СМ(Р), причем в случае бесконечной области Р к (12) добавляется соответствующее поведение

^з(г) = 0(|г|1—3) при г ^ го, 3 = 1,... ,п, (13)

на бесконечности.

Исследование этой задачи опирается на следующую теоремы Н.И. Мусхелишвили о представлении аналитической функции интегралом типа Коши

(/р)(*) = Л / —, г Е Р,

v ; 2пг Уг t — г

с действительной плотностью.

Пусть контур Г состоит из простых контуров Г1,..., Гт, причем в случае конечной области Р контур Гт охватывает все остальные.

Теорема 5.1. Пусть контур Г принадлежит классу С ^ и ограничивает конечную область Р.

Тогда любая аналитическая в Р вектор- функция ф = (ф1,..., фп) Е СМ(Р), 0 < д < V, единственным образом представима в виде

ф = /р + г£, £ Е К", (14)

где п— вектор- функция р Е СМ(Г) вещественна и удовлетворяет условиям

/ р(£)^ = 0, 1 < 3 < т — 1, (15)

где означает элемент длины дуги.

Аналогичное предложение справедливо и для бесконечной области (теорема 5.3) для аналитической функции ф, исчезающей на бесконечности. Единственное отличие состоит в том, что £ = 0 в (14) и условие (15) рассматривается для всех 1 < ] < т.

Кроме того, важную роль играет следующее вспомогательное предложение.

Лемма 5.1. Пусть контур Г принадлежит классу О1^. Тогда оператор К = Б+Б, где Б^ = Б^ и черта справа означает комплексное сопряжение, представим в виде

I Г М^да 60 £ Г,

пг ]г 6 — ¿0

с некоторой функцией к(60,6) £ О^(Г х Г), которая тождественно равна нулю при 6 = 60.

При подстановке и = Рф задача (12) перейдет в классическую задачу Римана - Гильберта

Ие Сф+ = /,

для аналитической в В вектор- функции ф = (ф1,...,фп) £ Ом(В) с матричным коэффициентом С = ВР. С помощью теоремы 5.1 эта задача редуцируется к системе сингулярных интегральных уравнений

Ие С(<£ + Б^) — 2(1т С)£ = 2/ (16)

относительно вещественной вектор- функции ^ £ ОМ(Г), которая вместе с дополнительными условиями (15) эквивалентна рассматриваемой задаче (12). С помощью теореме 2.1 - 2.3 отсюда получается следующий результат.

Теорема 5.2. Пусть контур Г принадлежит классу С^, ограничивает конечную область Р и составлен из т компонент. Пусть матрица - функция В(£) Е СМ(Г), 0 < д < V, и det В(£) = 0, £ Е Г. Тогда задача (12) фредгольмова и ее индекс а дается формулой

а = — 21^ В + (2 — т)п.

Кроме того, по отношению к билинейной форме

где £ означает элемент длины дуги, коядро задачи содержится в пространстве СМ(Г) вещественных функций вектор- функций.

Аналогичная теорема справедлива и в случае бесконечной области. Теорема 5.4. Пусть контур Г принадлежит классу С^, ограничивает бесконечную область Р и составлен из т компонент. Пусть матрица - функция В(£) Е СМ(Г), 0 < д < V, и det В(£) = 0, £ Е Г.

Тогда задача (12), (13) фредгольмова, ее коядро содержится в СМ(Г) и индекс а дается формулой

п

а = — 21^ В — тп — ^^ (I — 3 + 1) —,

з=1

где напомним 2й± = |й| ± й.

Вторая глава посвящена общим краевым задачам для полианалитических функций и основывается на подходе к эллиптической теории, описанном А.П. Солдатовым в [31]. Этот подход связан с представлением полианалитических функций через так называемые J — аналитические

функции - решения эллиптических систем первого порядка

— ^ = 0 (17)

ду дх

где ф = (ф1,..., фп) и собственные значения матрицы J лежат в верхней полуплоскости.

При J = г эта система переходит в классическое уравнение Коши - Римана, описывающее аналитические функции.

Впервые с этой точки зрения обобщения теории аналитическх функций уравнение (17) было исследовано А. Дуглисом [32] в предположении, что матрица J треугольна и ее элементы зависят только от разности индексов. Функции Ф, принимающие свои значения в классе таких матриц и удовлетворяющие (матричному) уравнению (12) ,были названы А.Дуглисом гипераналитическими. В дальнейшем это направление развивалось Д.Паскали [34], Д.Хорватц [33], Б.Боярским [35], Р.Гилбертом [36], Д.Хайлом [37] и др.

Для решений уравнения (12) построен аналог теории аналитических функций [38], поэтому эти решения мы называем функциями, аналитическими по Дуглису. Этот материал кратко изложен в параграфе 7 главы 2 диссертации. Функции, аналитические по Дуглису удобны тем, что через них особенно просто выражаются решения эллиптических систем второго и более высокого порядка [39]. Применительно к полианалитическим функциям, которые представляют собой решение эллиптического уравнения

дпи д^п = ,

это представление изложено в параграфе 6 главы 2.

Рассмотрим п— вектор и, составленный из частных производных (п — 1)— го порядка решения уравнения (17), т.е.

д п—1 и

и = (и1.....ип )• и* = дуд^ • ^

Основной результат этого параграфа состоит в следующем. Под-

становка и = Тф с треугольной матрицей (

Т=

1

0 1

2г

0 0 1

гп—1 (п — 1)гп—2 [(п — 1)(п — 2)/2]г

АН-2

V

:и—3

••• 0 ••• 0 ••• 0

1

/

переводит вектор и в решения системы (16) с клеткой Жордана

J =

/

г10 0 г 1

\

V

(19)

0 0 0 ••• 1 0 0 0 ••• г

В параграфе 7 основной принцип распространения теории аналитических функций на функции, аналитические по Дуглису заключается в замене комплексного числа г = х + гу на матрицу

= х1 +

(20)

где 1 означает здесь единичную матрицу и Л- клетку Жордана (19). Роль интеграла типа Коши для Л - аналитических функций играет интеграл

(1/ =

1

(6 — г)—1^(6), г £ Б,

2пг

где аналогично (20) выражение означает матричный дифференциал ((Ие6)1 + ((1т6)7.

Теорема 7.1. Пусть контур Г принадлежит классу О^ и В = С\Г. Тогда если вектор- функция ^ £ Ом(Г), 0 < д < V, то J — аналитическая в Б функция ф = ^ исчезает на бесконечности, принадлежит классу Ом(Б) и для ее граничных значений справедливы формулы

2

Сохоцкого - Племеля

2ф± = ±р + £/ р, с сингулярным интегралом Коши

(£/р)(£о) = — [ (£ — £о)—1р(£), £о Е Г. пи г

При этом I/ как линейный оператор ограничен СМ(Г) ^ СМ(Р).

Верно и обратное - любая J —аналитическая в Р функция ф Е СМ(Р), имеющая поведение ф(г) = 0(|г|ж—1) при г ^ го с некоторым целым а, единственным образом представима в виде ф = I/р + р с плотностью р Е СМ(Г) и J — аналитическим многочленом р(г) комплексной переменной г, подчиненным условиям

р Е Р/^—ь ! р(£)д(£) = 0, д Е Р/,—^. (21)

Восьмой параграф посвящен задаче линейного сопряжения для произвольных (п-1) - го порядка

( дп—1и \ + п / дп—1и \—

(дук—1дхп—^ — £ ду^—1 дхп—0 = /к, 1 - к - п, (22)

на гладком контуре Г для полианалитических функций, заданных в открытом множестве Р = С \ Г, (где Э состоит из конечной Р1 и бесконечной Ро областей).

Решение ищется в классе Сп—1'М(Р), для которых дп-1 и

и* = дук—1дхп—* Е С"(Р^ и* = °(|г|—п) при г ^ го, 1 - к - п. (23)

С помощью подстановки и = Тф задача (22) переходит в классическую задачу линейного сопряжения

ф+ — Сф— = 9 (24)

19

с матричным коэффициентом С = Т—1ВТ и правой частью д = Т—1 /.

При указанной подстановке класс (23) переходит в класс J — аналитических функций ф £ О), подчиненных условию

ф(г) = 0(|г|—п) при г ^ го. (25)

Как и в параграфе 2 на основании теоремы 7.1, примененной к ф = /7 эта задача редуцируется к эквивалентной системе сингулярных интегральных уравнений

+ 57 + С(<£ — Б7 = 2д,

где вектор- функция ^ £ ОМ(Г) подчинена второму условию (21) с ж = 1 — п или, что равносильно, равенству нулю интегралов

^(6) = 0, 0 < к < п — 2.

Теорема 8.1. Пусть простой контур Г £ О^, матрица - функция В £ Ом(Г) обратима и Б = С \ Г. Тогда задача (22) для полианалитических функций и(г) фредгольмова в классе Оп_1'м(-0), определяемый условиями (23), ее коядро содержится в ОМ(Г) и индекс ж = В.

Рассмотрим далее одностороннюю задачу аналогичного типа. Пусть область Б конечна и ограничена простым гладким контуром. Задача состоит в отыскании решения и £ ОП_1'М(Б) уравнения (1) по краевому условию

п ( д п_1и \ +

ду,—1дх„—= /к, 1 < к < п (26)

Как и выше с помощью подстановки и = Тф эта задача редуцируется к задаче Римана - Гильберта для J—аналитической функции ф

Ие Сф+ = / (27)

с матричным коэффициентом С = ВТ.

г

Теорема 8.2. Пусть простой контур Г принадлежит классу С^ и ограничивает конечную область Р. Пусть матрица - функция В(£) Е С^(Г), 0 < д < V, и ае1 В(£) = 0, £ Е Г.

Тогда задача (26) фредгольмова в классе СП—1^(Р) и ее индекс а дается формулой

а = — 2ШВ + п2. (28)

При этом по отношению к билинейной форме в теореме 5.2 коядро задачи содержится в пространстве СМ(Г) вещественных функций вектор-функций.

Как и в параграфе 5, задачу (27) при дополнительном условии (25) можно рассмотреть и в бесконечной области Р.

Теорема 8.3. Пусть простой контур Г принадлежит классу С^ и ограничивает бесконечную область Р. Пусть матрица - функция В(£) Е С^(Г), 0 < д < V, и ае1 В(£) =0, £ Е Г.

Тогда задача (26) фредгольмова в классе СП—1^(Р) и ее индекс а дается формулой

а = — 21^ В — п.

При этом по отношению к билинейной форме в теореме 5.12 коядро задачи содержится в пространстве СМ(Г) вещественных функций вектор- функций.

Последний девятый параграф главы 2 посвящен общей краевой задаче. Пусть конечная область Р ограничена гладким простым контуром Г и задана последовательность натуральных чисел /1 — /2 — ... — 1П — п. Положим для краткости

д и

д1 д2 и =

джгду'

и рассмотрим для уравнения (1) в классе Оп общую краевую за-

дачу вида

Ие . Ок,у(д1 д2и)+ = /к, 1 < к < п, (29)

<к 1

с заданными непрерывными коэффициентами Ок;у на контуре Г. Пусть г = г(й) = х(й) + гу(й), 0 < й < йг, есть естественная параметризация контура Г. Параметр й представляет собой длину дуги, отсчитываемую от фиксированной точки г(0) £ Г против часовой стрелки. В частности, йг есть длина всего контура. Соответственно е(6) = ¿'(й), 6 = г(й), является единичным касательным вектором. В дальнейшем предполагается, что Г принадлежит классу Оп_1'^, 0 < V < 1, который понимается по отношению к периодической функции г(й). Таким образом, касательный вектор е = е1 + ге2 принадлежит классу Оп"2'^(Г) (по отношению к естественному параметру й на контуре), где принято соглашение О= Оу. Соответственно от коэффициентов Ок,у потребуем, чтобы они принадлежали классу Оп—1к^(Г), так что их можно (п — /к)— раз дифференцировать по параметру й, в частности,

ОЙ [г(»)] = ^Ок.1^ [г(«)] £ Оп—,к—(Г), 0 < г < п — 4.

Рассмотрим операцию дифференцирования с определенной аддитивной постоянной:

(Т^)(6) = р'(*) + - / 6,

где означает элемент длины дуги. Заметим, что для любого натурального г оператор Тг действует по аналогичной формуле

(тг ^т = ^(г)(6) + - /

йг ,/г

поскольку

J = 0.

Лемма 9.1. Оператор Т обратим С1 (Г) ^ С (Г). Если некоторая функция р Е С 1(Г) является граничным значением функции V Е С 1(Р), то по правилу дифференцирования производная р' связана с частными производными V равенством

р' = б1(д^)+ + e2(д2v)+.

Если V Е С(Г), 1 — г — п — 1, то пользуясь этим равенством и правилом Лейбница дифференцирования произведения функции, получим

P(r) = (eidi + e2d2)r v + E (dl dj v)+

¿+j<r-1

с некоторыми коэффициентами G Cv(Г). Здесь учтено, что функции e1,e2 принадлежат классу Cn-2'v(Г).

Введем функции Bkj с помощью тождеств

n

Е [(ei^i + e2^2)n-/fcЯj = Е BkjЙ-1, 1 < k < n. (30)

i+j=1fc-1 j=1

Теорема 9.1. Пусть простой контур Г принадлежит классу Cn-1'v и ограничивает конечную область D. Пусть функции в (29) принадлежат классу Cn-1fc-1'M(r), 0 < д < v, и матрица B, определяемая из равенства (30), обратима.

Тогда задача (29) фредгольмова в классе Cn-1'M(D) и ее индекс œ дается формулой (28).

Проиллюстрируем теорему на примере задачи

/ д k-1u \ +

Re (fcFï) = fk' 1 < k < (31)

где a = a + ia2 представляет собой комплекснозначную функцию на Г и положено

р) =[(a1d1 + a2 d2)k-1u]+.

Таким образом, в рассматриваемом случае /к = к ив предположении а £ О(Г) условия теоремы 9.1 выполнены.

Теорема 9.2. Пусть конечная область Б ограничена простым контуром Г £ Ои и функция а1 + ¿а2 £ Оп"2^, п > 2. Тогда в предположении

(е1а2 — е2а1)(6) = 0, 6 £ Г, (32)

задача (31) фредгольмова в классе Оп_1'м(Б) и ее индекс ж дается формулой

ж = —п(п — 1)1^ (е1а2 — е2а1) + п2. (33)

На основании теоремы 9.2 отсюда следует заключение теоремы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чан Куанг Выонг, 2016 год

Литература

[1] В. Риман. Сочинения, пер. с нем., М-Л.,1948.

[2] D. Hibert. Grundzuge einer all gemeinen Theorie der linearen integral gleichungen, Lpz/-B.,1912.

[3] Гахов Ф. Д. Краевые задачи. - М. : Наука, 1977.

[4] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М. : Наука, 1968.

[5] Балк М.Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ / Сер. Совр. Пробл. Матем. Фунд. Напр.-Т.85.- М.: ВИНИТИ. 1991.- С. 187-246.

[6] Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными. Успехи матем. наук, 1948, 3, № 6.- С. 153-154.

[7] Рева Т.Л. Задачи сопряжения для бианалитических функций и ее связь с упруго-пластической задачей '// Прикладная механика (Киев).- 1972.- 8, № 10.

[8] Юденков А.В. Редкозубов С.А. Задача Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы // Проблемы механики деформируемых тел и горных пород. Сб. статей

под ред. академика РАН А.Ю. Ишлинского. - М.: Из-во МГГУ,2001.-С. 263-270.

[9] Юденков А.В. Редкозубов С.А. Задача типа Карлемана для бианалитиче-ских функций в теории изгиба тонкой пластинки // Сборник трудов ин-та Теор. механики РАН и МГГУ, посвященной

70-летию Л.В.Ершова, Москва. 2001.- С. 270-277.

[10] Ганин М.П. Краевые задачи для полианалитических функций / / Докл.АН СССР.- 1951.- 80, № 3.- С. 313-316.

[11] Рогожин В.С. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения, Уч. записки Казанского ун-та, 1950, 110, кн. № 3.- С.

71-93.

[12] Бикчантаев И.А. Полианалитические функции на римановых поверхностях, Тр. семинара по краевым задачам / Казанский гос. унта, 1979.- № 16.- С. 29-35.

[13] Габринович В.А. Краевая задача типа Гильберта для р -полианалитических функций, Изв. АН БССР. Сер. Физ.-мат. наук. 1987. - № 2.- С. 33-38.

[14] Жегалов В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. унт.- 1976. -Вып. № 13.- С. 80-85.

[15] Левинский C.B. Теория Нётера первой краевой задачи для полианалитических функций, Изв. вузов. Матем., 1989, № 3.- С. 35-39.

[16] Показеев В.В. Интегралы типа Коши для полианалитических функций // Тр. Семинара по краевым задачам. Казанск. гос. ун-т.1980.-Вып. № 17.- С. 133-139.

[17] Соколов И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура // Вестник Белорусского ун-та. Серии 1. -1970. -№ 2.- С. 20-23.

[18] Соколов И.А. Об исследованиях по краевым задачам для полианалитических функций / / Научные труды юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 65-летию со дня рождения академика АН БССР Ф. Д. Гахова.- Минск: Изд-во "Университетское 1985.- С. 43-47.

[19] Расулов К.М. О решении основных краевых задач типа Гильберта для бианалитических функций // Докл. АН СССР. 1991. - Т.320, № 2.- С. 284-288.

[20] Расулов К.М. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений // Дифференц. уравнения.1993.-Т.29, № 2.- С. 320-327.

[21] Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения // Смоленск: Изд-во СГТТУ. - 1998. -344с.

[22] Wang Yufeng, Du Jinyuan, On Riemann boundary value problem of polyanalytic function on the real axis. Acta Mathematica Scientia, 2004, 24B(4).- С. 663-671.

[23] Wang Yufeng, Du Jinyuan, On boundary value problem of polyanalytic function on the real axis, Complex Variables. Theory and Applications, 2003, 48(6).- С. 527-542.

[24] Медведев Ю.А. О решении второй четырехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в круге / Ю. А.

Медведев, К. М. Расулов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. - Т. 46, № 3.- С. 377-385.

[25] Соколов И.А. О краевой задаче типа Римана для полианалитических функций на окружности // Изв. АН БССР. Сер.физ. мат.наук. -1969. № 5.- С. 64-71.

[26] Begehr, H. and Hile, G.N. A hierarchy of integral operators. Rocky Mountain Journal of Mathematics,1997, № 27.- С. 669-706.

[27] Mshimba A.S. A mixed boundary value problem for polyanalytic function of order n in the Sobolev space . Complex Variables. Theory and Applications, 2002, 47(12).- С. 1107-1114.

[28] Mshimba A.S. A mixed boundary value problem for polyanalytic function of order n in the Sobolev space Wn'p(D). Complex Variables. Theory and Applications, 2002, 47(12).- С. 1107-1114.

[29] Damjanovic B. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Матем. вестник (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411-415.

[30] Damianovic B. Boundary Value Problem for polyanalytic functions and integral equations. Международная конференция "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление". Минск. 1996.

[31] Солдатов А.П. Метод теоpии функций в кpаевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай, Изв. АН СССР"(сеp.матем.) 1991. T.55, № 5.- С. 1070-1100.

[32] Douglis A. A function theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables. Comm. Pure Appl. Math. 1953, № 6.- С. 259-289.

[33] Horvath J. A generalization of the Cauchy-Riemann equations Contrib. Diff. Equations, 1961, № 1.- С. 39-57.

[34] Paskali D. Vecturs analytiques generelises. Rev. Roumeine Math. Pure Appl., 1965, № 10.- С. 779-808.

[35] Боярский Б.В. Теория обобщенного аналитического вектора. Annales Polon. Mathem., v.17, № 3.- С. 281-320.

[36] Gilbert R.P. Buchanan J. L. First order elliptic systems, N.-Y., Ac.Pr., 1983.

[37] Hile G.N. Elliptic systems in the plane with order term and constant coefficients. Comm. Pure Appl. Math. 1978, 3(10).- С. 949-977.

[38] Солдатов А.П. Гипераналитические функции и их приложения, Современная математика и ее приложения, Тбилиси, Институт кибернетики Академии наук Грузии (ISSN 1512- 1712), 2004, Т. 15.- С. 142-199.

[39] Солдатов А.П. Эллиптические системы высокого порядка. Дифференц.ур-ния 1989, т.25, № 1.- С. 136-142.

[40] Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

[41] Пале Р. Семинар по теореме Атья - Зингера об индексе. М., Мир, 1970.

[42] Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, (3 издание) М. Наука, 1976.

[43] Солдатов А.П. ^аничные свойства инте^алов типа Коши, Диф-феpенц. уpавн. 1990. Т.26, № 1.- С. 131-136.

[44] Солдатов А.П. Обобщенный интеграл типа Коши и сингулярный интеграл в пространстве Гельдера с весом, Докл. РАН, 330 (1993).- С. 164-166.

[45] Солдатов А.П. Интегральное представление функций, аналитических по Дуглису, Вестник СамГУ- Естественнонаучная серия, 2008, №8/1(67).- С. 225-234.

[46] Чан К.В. Обобщенные степенные ряды. // Научные ведомости Бел-ГУ. Математика. Физика. - 2012. - №11(130). - Выпуск 27. - С. 24-28.

[47] Солдатов А.П.,Чан К.В. Задача Римана-Гильберта для бианалити-ческих функций. // Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. - 2015. - №5(202). - Выпуск 38. - С. 83-88.