Исследование разрешимости эллиптических систем первого порядка на плоскости в классе J-аналитических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Николаев Владимир Геннадьевич

• Николаев Владимир Геннадьевич
• доктор наук
• 2024

Оглавление диссертации доктор наук Николаев Владимир Геннадьевич

1.4 Тильда-полиномы

1.5 Разложение А-голоморфной функции в эллипсе в ряд по тильда-полиномам

1.6 Собственный эллипс для числа А

1.7 Решение одного функционального уравнения в эллипсе

2 Задача Шварца в эллипсе в общем случае

2.1 Общая структура ^/-аналитических функций

2.2 Решение задачи Шварца в эллипсе для специальной правой части

2.3 Теорема 2.2.2 в абстрактном виде

2.4 Задача Шварца в круге

2.5 Некоторые вспомогательные сведения

2.6 Существование и единственность решений задачи Шварца в эллипсе. Случай тривиального ядра

2.7 Общий случай диагонализируемых матриц

2.8 Матрицы с собственными числами, лежащими в верхней и в нижней полуплоскостях

3 Нетривиальное ядро задачи Шварца в эллипсе

3.1 Решение союзной задачи для специальной правой части

3.2 Вспомогательные утверждения. Схема с полиномом

3.3 Вычисление ядра задачи Шварца в эллипсе

4 Задача Шварца для двумерных матриц

4.1 Матрицы с кратным собственным числом. Скалярная форма задачи Шварца

4.2 Решение функционального уравнения в простом случае

4.3 График и теоремы существования решений

4.4 Однородная задача Шварца. Случай нетривиального ядра

4.5 Однородная задача Шварца в областях, отличных от эллипсов

4.6 Матрицы с разными собственными числами. Скалярная форма задачи Шварца

4.7 Применение функционального уравнения к задаче Шварца

5 Задача Шварца в областях, ограниченных контуром Ляпунова

5.1 Диагонализируемые матрицы со специальной структурой

5.2 Следствия из схемы доказательства основной теоремы

5.3 Матрицы с недиагональной жордановой формой

5.4 Матрицы с одинаковым жордановым базисом действительной и мнимой части

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование разрешимости эллиптических систем первого порядка на плоскости в классе J-аналитических функций»

Введение

Актуальность темы исследования. Диссертационная работа посвящена исследованию задачи Шварца для вектор-функций, аналитических по Дуг-лису. Эти функции так же принято называть /-аналитическими, где неособая матрица / € С1х1 не имеет вещественных собственных чисел. Они являются нетривиальным обобщением голоморфных функций и определяются как решение однородной эллиптической системы в частных производных первого порядка на плоскости.

Исследование краевых задач для различных классов аналитических функций имеет давнюю историю [5, 19, 27], и в последние годы развивались в нескольких направлениях как теоретического характера [1, 21], так и с точки зрения их приложений к задачам общей теории краевых задач для (псев-до)дифференциальных уравнений [24, 25].

Задача Римана-Гильберта [5, 27] о нахождении аналитической в области функции по заданному на границе значению ее вещественной части относится к одной из ключевых краевых задач. Одним из возможных обобщений этой краевой задачи является задача Шварца для аналитических по Дуглису функций, которая и рассмотрена в настоящей диссертации. Следует отметить, что задача Шварца находит применение в теории эллиптических систем второго порядка на плоскости [21].

Впервые /-аналитические функции были рассмотрены А. Дуглисом (А. Оо^Нз) [89], который назвал их гипераналитическими. В дальнейшем это направление развивалось Д. Паскали, Д. Хорватцем, Б. Боярским, Р. Гильбертом, Д. Хайлом, А.П. Солдатовым и др. В частности, для них был построен

аналог теории аналитических функций, поэтому теперь эти функции мы называем аналитическими по Дуглису.

Хорошо известно, что решения уравнения Лапласа

. д2п д2п △и = —^ + —^ = 0 дх2 ду2

описываются как вещественная часть аналитических функций. Через аналитические функции выражаются и решения более общих эллиптических уравнений с вещественно аналитическими коэффициентами.

Единый подход к изучению этих представлений был предложен И.Н. Ве-куа [19]. В дальнейшем А.В. Бицадзе [2, 3] было получено представление через аналитические

Степень разработанности темы исследования. Сравнительно недавно (А.П. Солдатов, Р. Йех) было обнаружено, что с помощью функций, аналитических по Дуглису, представление Бицадзе существенно упрощается. Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласа. Аналогичные свойства выявлены (Н.А. Жура) и для систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу.

В этой связй на настоящий момент актуальным является исследование различных граничных задач для функций, аналитических по Дуглису. Рассмотренная в диссертации задача Шварца — одна из них.

Цели и задачи работы. 1) Разработка специальных методов для изучения А-голоморфных функций в эллипсе (тильда-полиномы). 2) Функциональный ряд по тильда-полиномам как обобщение ряда Тейлора. Доказательство теоремы о разложении произвольной А-голоморфной в эллипсе функции в ряд по тильда-полиномам. 3) Применение тильда-полиномов для до-

казательства теорем существования и единственности решений задачи Шварца в классах Гельдера в эллипсе для произвольных матриц. 4) Применение тильда-полиномов для изучения нетривиального ядра и коядра задачи Шварца в эллипсе. 5) Вычисление структуры и размерностей нетривиального ядра и коядра задачи Шварца в эллипсе. 6) Для случая нетривиального ядра: получение необходимых и достаточных условий на граничную функцию, при которых задача Шварца разрешима в классах Гельдера в эллипсе. 7) Изучение задачи Шварца в эллипсе в двумерном случае. Цель: с помощью специальных преобразований получить просто проверяемые условия на матрицу и эллипс, при которых решение задачи Шварца существует и единственно. В частности, для матриц с кратным собственным числом показать, что ядро задачи Шварца либо тривиально, либо содержит один вектор-полином. 8) получение методов построения решений однородной задачи Шварца в эллипсе в виде вектор-полиномов произвольной степени. 9) доказательство теорем существования и единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц в произвольных областях, ограниченных контуром Ляпунова.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Таковым являются, например, определенные в первой главе тильда-полиномы. Доказано, что произвольную А-голоморфную в эллипсе функцию можно разложить в ряд по тильда-полиномам. Показано, что ряд Тейлора является частным случаем такого ряда.

С помощью тильда-полиномов и результатов [68] доказана теорема о разрешимости задачи Шварца в эллипсе в классах Гельдера для случая тривиального ядра. Для вычисления нетривиального ядра и коядра в эллипсе соискателем введены понятия алгоритмической и теоретической разрешимости задачи Шварца. На формальной разнице между этими понятиями основан ме-

тод вычисления нетривиального ядра и коядра задачи Шварца в эллипсе.

Затем для случая нетривиального ядра в эллипсе доказана теорема о необходимых и достаточных условиях на граничную функцию, при которых задача Шварца разрешима в классах Гельдера.

Далее изучена задача Шварца для двумерных матриц. Введен комплексный численный параметр I, отдельно для матриц с кратным и с разными собственными числами. При этом \1\ инвариантен относительно выбора жорданова базиса Ц матрицы 3. Разработан метод редукции задачи Шварца к равносильному скалярному функциональному уравнению, зависящему от данного параметра. С помощью этого уравнения показано, что если модуль \1\ € [0,1), то ядро задачи Шварца в эллипсе тривиально.

Для многомерных матриц со специальной структурой жорданова базиса проведена редукция задачи Шварца к системе скалярных функциональных уравнений. С их помощью доказаны теоремы существования решений задачи Шварца в произвольных областях, ограниченных контуром Ляпунова.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. По качественным свойствам они охватывают широкие классы матриц и соответствующих им ^/-аналитических функций. Полученные в диссертации условия являются конструктивными и сформулированы в терминах исходных данных. Материалы диссертации могут быть использованы при разработке спецкурсов для студентов-математиков, а также при написании курсовых и дипломных работ, магистерских диссертаций.

Практическая значимость и результаты внедрения. Основные научные положения, выводы и рекомендации диссертационного исследования внедрены в учебный процесс кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования Института инженерных и цифровых техноло-

гий НИУ "Белгородский государственный национальный исследовательский университет" при изучении дисциплины "Дополнительные главы дифференциальных уравнений", читаемой студентам по направлению 01.04.01. Математика.

Кроме того, результаты диссертационного исследования внедрены в учебный процесс ФГБОУ ВО "Новгородский государственный университет". В частности, по этой теме опубликовано учебно-методическое пособие "Методы построения решений однородной задачи Шварца". Великий Новгород: Новгородский гос. ун-т им. Ярослава Мудрого, 2022.- 49 с.

Объект исследования: задача Шварца для /-аналитических функций. Данные вектор-функции определяются как решения некоторой комплексной эллиптической системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этой системы ставится специальная краевая задача Шварца.

Методология и методы исследования. В диссертации применяются различные методы исследования. Можно сказать, что каждому из них посвящена отдельная глава. Все эти методы разработаны соискателем.

В первой главе определены тильда-полиномы и изучены из свойства. Их можно отнести к отдельной теме исследования, не связанной с задачей Шварца, а относящейся скорее к теории функций комплексной переменой.

Во второй главе тильда-полиномы применены к задаче Шварца в эллипсе для произвольных матриц, собственные числа которых лежат выше вещественной оси. Получены условия, при которых задача Шварца разрешима, если ее ядро нетривиально. Так же в параграфе 2.8 показано, что если собственные числа матрицы лежат как выше, так и ниже вещественной оси, то этот случай сводится к рассмотренному выше.

В главе 3 изучено нетривиальное ядро задачи Шварца в эллипсе для матриц 3 € С1х1. Здесь применяется одна теорема из работы А.П. Солдатова [68]. В этой теореме определена теоретическая разрешимость задачи Шварца. Наряду с этим, соискателем разработано понятие алгоритмической разрешимости задачи Шварца для специальной правой части. На формальной разнице между этими двумя понятиями основан разработанный соискателем метод вычисления нетривиального ядра задачи Шварца в эллипсе. Показано, что оно может состоять только из вектор-полиномов.

В главе 4 показано, что задача Шварца для 2 х 2-матриц 3 сводится к граничной задаче для двух скалярных функциональных уравнений. Вид этих уравнений зависит от того, какова жорданова форма матрицы 3. Данные уравнения зависят от комплексного параметра I, вычисляемого по жорданову базису Ц матрицы 3. Затем данные уравнения решены с помощью тильда-полиномов параграфа 1.4. В результате получены простые для проверки условия на матрицу и эллипс, при которых решение задачи Шварца существует и единственно.

В главе 5 для матриц 3 € С1х1 со специальной структурой проведена редукция задачи Шварца к системам скалярных функциональных уравнений. На структуру матрицы 3 наложены определенные ограничения, но при этом в качестве области определения 3-аналитической функции выбирается произвольная область О, ограниченная контуром Ляпунова.

Положения, выносимые на защиту. 1) Определение 3-аналитических и А-голоморфных функций. Их основные свойства. Нарушение принципа максимума модуля для 3-аналитических функций. 2) Постановка задачи Шварца. Примеры решений однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм. Решение однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм

в общем случае. 3) Ккомплексные тильда-полиномы, их определение и свойства. 4) Теорема о разложении А-голоморфной функции, непрерывной по Гель-деру в эллипсе, в функциональный ряд по тильда-полиномам. Ряд Тейлора как частный случай ряда по тильда-полиномам. 5) Понятие собственного эллипса для числа А € С. 6) Применение тильда-полиномов для решения одного функционального уравнения. 7) Необходимые и достаточные условия на I х I-матрицу /, при которых решение задачи Шварца в эллипсе существует и единственно для любой правой части в классах Гельдера. 8) Матрицы с собственными числами, лежащими в верхней и в нижней полуплоскостях. 9) Вычисление структуры и размерности нетривиальных ядра и коядра задачи Шварца в эллипсе. Понятие алгоритмической и теоретической разрешимости задачи Шварца для специальных правых частей. Доказательство того, что ядро и коядро в эллипсе состоят только из вектор-полиномов. 10) Двумерные матрицы /. Определение параметра I € С, вычисляемого по жорданову базису Q матрицы /. Доказательство того, что \1\ инвариантен относительно выбора Q. 11) Редукция задачи Шварца к двум равносильным ей граничным задачам для скалярных функциональных уравнений, зависящим от I. Получение условий на параметр I, при которых решение задачи Шварца в произвольном эллипсе в классах Гельдера существует и единственно. 12) Изучение нетривиального ядра задачи Шварца для двумерных матриц / с недиагональной жордано-вой формой. Доказательство того, что ядро в этом случае состоит из одного вектор-полинома. Получение необходимых и достаточных условий на граничную функцию, при которых задача Шварца разрешима в случае нетривиального ядра. 13) Получение метода построения непостоянных решений однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов произвольной степени п. 14) Матрицы / € С2х2 с разными собственными числами. Доказательство того, что если

модуль параметра \1\ € [0,1], то решение задачи Шварца существует и единственно в произвольном эллипсе. Получение метода построения непостоянных решений однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов произвольной степени п. 15) Отсутствие фредгольмовой разрешимости задачи Шварца в эллипсе в том случае, когда собственные числа матрицы 3 имеют разные знаки комплексных частей. 16) Задача Шварца в произвольных областях О, ограниченных контуром Ляпунова. Диагонализируемые матрицы 3 со специальной структурой. Редукция задачи Шварца с равносильной ей системе скалярных функциональных уравнений. 17) Задача Шварца в областях с ляпуновской границей. Недиагонализируемые матрицы 3 со специальной структурой. Редукция задачи Шварца к задаче о восстановлении голоморфной функции по ее реальной части.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обусловлены строгостью доказательств, применением апробированных методов исследования, сравнением с известными результатами, а также обсуждениями на научных конференциях и семинарах.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на перечисленных ниже международных и всероссийских научных конференциях.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "Равносильная постановка однородной задачи Шварца". г. Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 г.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "О единственности решения задачи Шварца для некоторых типов матриц". г. Суздаль, 4-9 июля 2014 г.

— Международная конференция "XXV Крымская осенняя матема-

тическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (КРОМШ-2014). Тема доклада: "О некоторых подходах к проблеме единственности решения задачи Шварца". г. Судак (Республика Крым), 21 - 30 сентября 2014 г.

— Международная конференция "XXVI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам" (КРОМШ-2015). Тема доклада: "О решении задачи Шварца для одного типа матриц в областях со специальной границей". Поселок Батилиман (бухта Ласпи), Республика Крым, 17 - 29 сентября 2015 г.

— Международной конференция "Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе", посвященная дню рождения П.Л. Чебыше-ва. Тема доклада: "О нетривиальных решениях однородной задачи Шварца для двумерных матриц". г. Сургут, 16 - 20 мая 2016 г.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "Об одном критерии существования решений задачи Шварца". г. Суздаль, 8-12 июля 2016 г.

— Международная конференция "VI Российско-Армянское совещание по математическому анализу, математической физике и аналитической механике". Тема доклада: "О решениях задачи Шварца в трехмерном случае". г. Ростов-на-Дону, 11-16 сентября 2016 г.

— Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VII" (ОТНА-2017). Тема доклада: "Об одном методе решения задачи Шварца в 4-мерном случае". г. Ростов-на-Дону, 23 - 28 апреля 2017 г.

— Международная научно-практическая конференция "Современная математика и ее приложения". Тема доклада: "О двух граничных задачах для

скалярных функциональных уравнений". г. Уфа, 18-20 мая 2017 г.

— Международная конференция по математической теории управления и механике. Тема доклада: "О задаче Дирихле для уравнений гидродинамики". г. Суздаль, 7-11 июля 2017 г.

— Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — VIII" (OTHA-

2018). Тема доклада: "О задаче Шварца для эллиптических систем". г. Ростов-на-Дону, 22 - 27 апреля 2018 г.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "О решении задачи Шварца в круге". г. Суздаль, 6-11 июля 2018 г.

— Международная конференция "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — IX" (OTHA-

2019). Тема доклада: "О задаче Шварца в случае матриц J с блочно-диагональной жордановой формой", г. Ростов-на-Дону, 22-25 апреля 2019 г.

— Международная конференция "2nd International Conference on Mathematical Modelling in Applied Sciences" (ICMMAS'2019). Тема доклада: "On one Condition for the Existence of Solutions to the Homogeneous Schwarz Problem", г. Белгород, 20 - 24 августа 2019 г.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "О задаче Шварца в эллипсе для диа-гонализируемых матриц". г. Суздаль, 3-8 июля 2020 г.

— Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тема доклада: "Структура ядра задачи Шварца в эллипсе". г. Суздаль, 30 июня - 5 июля 2022 г.

— IX Всероссийская научно-практическая конференция "Современные

проблемы физико-математических наук" (СПФМН-2023). "О размерности ядра задачи Шварца в эллипсе". г. Орел, 24 - 25 ноября 2023 г.

— VII Международная научная конференция "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики" (B&NAK 2023). Тема доклада: "О структуре ядра задачи Шварца в двумерном случае". г. Нальчик, 4-8 декабря 2023 г.

— Международная конференция "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2024", посвященная памяти В.П. Маслова. Тема доклада: "О разрешимости задачи Шварца в эллипсе для двумерных матриц". г. Воронеж, 26 - 30 января 2024 г.

Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались 14.12.2021 на математическом семинаре НИУ "Белгородский государственный университет" (руководители Васильев В.Б., Ситник С.М., Солдатов А.П.). Семинар проходил в онлайн формате (Zoom).

Результаты диссертационной работы докладывались 25.04.2022 на научно-исследовательском семинаре "Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики" (руководители: академик РАН Моисеев Е.И., профессор Ломов И.С.). Семинар проходил в онлайн формате (Zoom).

Так же результаты диссертационной работы докладывались 14.05.2022 на Межгородском научно-исследовательском семинаре "Неклассические задачи математической физики" (бюро семинара: профессор А.И. Кожанов, профессор И.Е. Егоров, профессор С.В. Попов, профессор В.Е. Федоров, профессор А.П. Солдатов, профессор С.Г. Пятков). Семинар проходил в онлайн формате (Google Meet).

Кроме того, полученные результаты неоднократно докладывались на

научных семинарах в Новгородском Государственном университете в 20102024 гг.

В диссертационной работе, кроме чисто теоретических результатов, соискателем получены методы вычисления ядра задачи Шварца для некоторых типов матриц. Эти методы требуют большой вычислительной работы, и с успехом могут быть реализованы при помощи компьютерных программ.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликованы 25 статей [18, 34 — 48, 96 — 104]. Из них 18 статей в журналах, которые как на момент публикации, так и сейчас входят в список ВАК. Кроме этого, 5 публикаций в журналах, которые на момент опубликования входили в список ВАК. При этом журнал Journal of Mathematical Sciences (9 публикаций) входит Scopus. Журналы Дифференциальные уравнения (2 публикации) и Журнал вычислительной математики и математической физики (1 публикация) входят как в Scopus, так и в Web of Sciences. Журнал Mathematics (1 публикация) входит в базы данных Scopus (Q2), Web of Sciences (Q2). Из этих публикаций только четыре в соавторстве. Перечислим их.

В совместной с Е.Ю. Пановым статье [96] соискателю принадлежит метод доказательства теорем единственности решения задачи Шварца для одного типа матриц. Для реализации данного метода необходима специальная теорема, относящаяся к теории граничных задач для A-голоморфных функций. Эта теорема была получена Е.Ю. Пановым и отражена в первой части статьи.

В совместной с А.П. Солдатовым статье [41] соискателем предложен метод редукции задачи Шварца к равносильной ей граничной задаче для скалярного функционального уравнения. В свою очередь, решение данного функционального уравнения в классах Гельдера получено А.П. Содатовым.

В совместной с В.Б. Васильевым статье [18] соискателю принадлежит ме-

тод редукции задачи Шварца к системе скалярных функциональных уравнений с параметром. Так же соискателю принадлежит доказательство основной теоремы.

В совместной с В.Б. Васильевым статье [104] соискателю принадлежит метод редукции задачи Шварца для двумерных матриц к скалярному функциональному уравнению с параметром. Так же соискателю принадлежит доказательство основной теоремы.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с паспортом специальности "1.1.2. Дифференциальные уравнения и математическая физика" в диссертации проведено теоретическое исследование краевой задачи Шварца для одного типа систем линейных однородных комплексных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Шварца для специальных случаев. Вычислено ядро задачи Шварца в произвольном эллипсе.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений и условных обозначений и списка литературы, содержащего 111 наименований. В диссертации используется тернарная нумерация формул, определений, замечаний, теорем, лемм, предложений и примеров.

При этом некоторые параграфы разделены на пункты, нумерация которых тоже тернарная. Данные пункты не выведены в оглавление, так как в противном случае оно станет слишком громоздким. Общий объем диссертации составляет 284 страницы. Объем диссертации без списка литературы и без списка сокращений и условных обозначений составляет 269 страниц.

1. Постановка задачи Шварца. Определение, свойства и применение тильда-полиномов

1.1. Определение /-аналитических и А-голоморфных функций

Определение 1.1.1. [106] Пусть матрица 3 € С1х1 не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической по Дуглису (Л. Douglis), или 3-аналитической с матрицей 3 называется комплексная 1-вектор-функция ф = ф(г) € С 1(Б), для которой в области Б С К2 выполнено уравнение

дф - 3 • дф = 0, ^ = ж + гу € В. (1.1.1)

ду ох

Определение 1.1.2. Будем говорить, что функция ф(х) соответствует матрице 3, если выполнено (1.1.1).

Замечание 1.1.1. Из равенства (1.1.1) вытекает, что если функция ф(г) соответствует матрице 3, то и функция

ф*(г) = а • ф(г) + с, а € С, с € С1

соответствует той же матрице 3.

Как нетрудно видеть, равенство (1.1.1) есть комплексная однородная система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Покажем, следуя [106], что система (1.1.1) — эллиптическая. > Действительно, пусть матрицы Л\,А2 € С1х1. Согласно [106], система

. дф . дф

+ А2 -- = 0 дх ду

называется эллиптической, если det (А^ + А2^2) = 0 для любого вектора ^ = (£1,^2) € К1, ^ = 0. Отсюда следует, что условие эллиптичности системы

вида (1.1.1) равносильно отсутствию у матрицы 3 вещественных собственных чисел. <

Простейшим примером 3-аналитической функции является вектор-полином

N

Ф(г) = (Ех + ¿У)П • Сп, Сп € С1,

п=0

где Е — единичная матрица.

Рассмотрим скалярный аналог уравнения (1.1.1).

Определение 1.1.3. [18] Пусть А € С, 1т А = 0. Скалярную функцию ¡х = /х(г) € С 1(Б), для которой в области В С К2 выполнено уравнение

д(х _ а • ^ = о, г = х + гу € В, (1.1.2)

ду дх

назовем А-голоморфной в Б.

Таким образом, функции /х(г) — это обобщение голоморфных (А = г)

функций на случай произвольного показателя А € С, 1т А = 0.

Примером А-голоморфной функции служит полином

N

г) = > У Сп.(х + Ау)п, Сп

¡х(г) = ^ Сп{х + Ау)п, Сп € С.

п

п=0

Обозначим А = А1 + А2г, где А1,А2 € К, А2 = 0. Посредством простых преобразований несложно показать, что в результате подстановки

х = хХ + А1У, у = А2У (1.1.3)

функция /(х,у), голоморфная в области Б, станет А-голоморфной функцией /х(х',у'), определенной в некоторой области Бх. Соответственно, после обратной подстановки

у А1

у = V"' х = х _ V у (ы.4)

А2 А2

функция /х(х',у') станет голоморфной функцией /(х,у).

Замечание 1.1.2. Из (1.1.2), (1.1.3) и (1.1.4) следует, что если /д(г)|г = 0, то Д(г) = 0. Кроме того, если ИеД(г)|г = с1, то /\(г) = с1 + гс2, где с1,с2 € К.

Замечание 1.1.3. В силу линейности и обратимости преобразований (1.1.3) и (1.1.4) свойства А-голоморфных функций тождественны свойствам голоморфных (А = г) функций. В частности, для голоморфных функций справедлив строгий принцип максимума модуля [51, 52]. Поэтому он справедлив и для А-голоморфных функций и звучит следующим образом:

если функция /\(г) является А-голоморфной в области Б, то

тах \/х(г)|

г€Б

может достигаться только на границе Г = дБ области Б.

Замечание 1.1.4. В пункте 1.2.1 параграфа 1.2 будет показано, что для 3-аналитических функций принцип максимума модуля в общем случае не выполняется.

1.1.1. Эквивалентные определения 3-аналитических и А-голоморфных функций

Данный пункт представляет собой выдержки из работы А.П. Солда-това [106]. Пусть матрица 3 € С1х1 обратима и все ее собственные значения А лежат выше вещественной оси. Удобно с комплексным числом г = х + гу связать матрицу

[г] = х • Е + у • 3. (1.1.5)

Собственными значениями матрицы [г] при фиксированных х,у будут числа х + Ау, 1т А > 0. Отсюда следует, что матрица [г] (1.1.5) обратима при г = 0.

Определение 1.1.4. [106]. Заданную в области D С R2 комплексную l-вектор-функцию ф = ф(г) назовем аналитической по Дуглису, если существует предел

lim [u]-1 • \ф(г + u) - ф(г)] = ф'(z) (1.1.6)

u^0 L J

для всех точек z Е D. Данный предел не должен зависеть от способа стремления u ^ 0. Вектор-функция ф'(z) называется производной ф(^).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Николаев Владимир Геннадьевич, 2024 год

Список литературы

[1] Балк, М. Б. Полианалитические функции и их приложения / М.Б. Балк // Совр. пробл. матем. - 1991. - Т.85 - С. 101 - 108.

[2] Бицадзе, А. В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / А.В. Бицадзе // Успехи матем. наук. - 1988. - No 6. - С. 153 - 154.

[3] Бицадзе, А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного /А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1972. - 347 с.

[4] Бицадзе, А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка /А.В. Бицадзе. - М.: Наука, 1986. - 298 с.

[5] Боярский, Б. В. Теория обобщенного аналитического вектора / Б.В. Боярский// Annales Polon. Mathem. - 1997 - V.3. - P. 281 - 320.

[6] Васильев, В. Б. Фредгольмовы операторные многообразия / В.Б. Васильев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2020. -Т. 187. - С. 12-18.

[7] Васильев, В. Б. О дискретных краевых задачах и их аппроксимационных свойствах / В.Б. Васильев, О.А. Тарасова // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2020. - Т. - 174. - С. 12-19.

[8] Васильев, В. Б. О некоторых операторных семействах / В.Б. Васильев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2019. - Т. 168. - С. 26-32.

[9] Васильев, В. Б. Операторы и уравнения: дискретное и непрерывное / В.Б. Васильев // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2019. - Т. 160. - С. 18-27.

[10] Васильев, В. Б. О дискретных приближениях для псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач / В.Б. Васильев // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. - 2018. - Т. 23, N0 122. - С. 216-227.

[11] Васильев, В. Б. Потенциалы для эллиптических краевых задач в конусах / В.Б. Васильев // Сиб. электрон. матем. изв. - 2016. - Т. 13. - С. 1129-1149.

[12] Васильев, В. Б. Модельные эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений в канонических негладких областях / В.Б. Васильев // Труды семинара им. И. Г. Петровского. - 2016. - Т. 31. - С. 22-37.

[13] Васильев, В. Б. Псевдодифференциальные уравнения на многообразиях со сложными особенностями на границе / В.Б. Васильев // Сиб. журн. чист. и прикл. матем. - 2016. - Т. 16, N0 3. - С. 3-14.

[14] Васильев, В. Б. Разностные и дискретные уравнения на прямой и полупрямой / В.Б. Васильев // Изв. ИМИ УдГУ. - 2015. Т. 2, N0 46. - С. 29-37.

[15] Васильев, В. Б. Приближенные решения многомерных сингулярных интегральных уравнений и быстрые алгоритмы их нахождения /В.Б. Васильев // Владикавк. матем. журн. - 2014. - Т. 16, N0 1. - С. 3-11.

[16] Васильев, В. Б. Задача с потенциалами для эллиптического уравнения в плоском угле / В.Б. Васильев // Матем. моделирование и краев. задачи. - 2010. - Т. 3. - С. 51-53.

[17] Васильев, В. Б. Краевая задача для эллиптического уравнения с нелокальным граничным условием II / В.Б. Васильев // Матем. моделирование и краев. задачи. - 2009. Т. 3. - С. 62-64.

[18] Васильев, В. Б. О задаче Шварца для эллиптических систем первого порядка на плоскости /В.Б. Васильев, В.Г. Николаев// Дифференциальные уравнения. - 2017. - Т. 53, N0 10. - С. 1351 - 1361.

[19] Векуа, И. Н. Обобщенные аналитические функции / И.Н. Векуа. - М.: Наука, 1988. - 328 с.

[20] Владимиров, В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. - М.: Физматлит, 2004.

[21] Вишик, М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений / М. И. Векуа// Матем. сб. - 1991. - Т. 29. - С. 615 - 676.

[22] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1988. -340 с.

[23] Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977.

[24] Жура, Н. А. Краевые задачи типа Бицадзе-Самарского для эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга систем. /Н.А. Жура // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28. - С. 45 - 55.

[25] Жура, Н. А. Об асимптотике кусочно аналитической функции, удовлетворяющей контактным условиям /Н.А. Жура, А.П. Солдатов// Сиб. матем. журн. - 2012. - Т. 53(5). - С. 1001 - 1006.

[26] Жура, Н. А. Об одном классе гиперболических полиномов /Н.А. Жура// Матем. заметки. - 2008. - Т. 83(6). - С. 825 - 830.

[27] Жура, Н. А. Общая краевая задача для эллиптических в смысле Дугли-са-Ниренберга систем в областях с гладкой границей /Н.А. Жура// Изв. РАН. Сер. матем. - 1994. - Т. 58(1). - С. 22 - 44.

[28] Келдыш, М. В. Математика. Избр. труды / М.В. Келдыш. - М., Наука, 1985. - 371 с.

[29] Кочин, Н. Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. - М.: ГИФМИ, 1983. - 401 с.

[30] Лаврентьв М. А, Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.

[31] Мальцев, Н. И. Основы линейной алгебры / Н.И.Мальцев. - М.: Наука, 1980. - 303 с.

[32] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1986. - 421 с.

[33] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1988. - 342 с.

[34] Николаев, В. Г. Некоторые контрпримеры к принципу максимума модуля /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия технические науки. - 2010. - Т.60. - С. 47 - 49.

[35] Николаев, В.Г. О применении Яш-классификации матриц для решения проблемы единственности задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия технические науки. - 2011. - Т. 65. - С. 87 - 90.

[36] Николаев, В.Г. О единственности решения однородной задачи Шварца для функций, аналитических по Дуглису /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика. - 2011. - Т. 17(112), вып. 24. - С. 94 - 101.

[37] Николаев, В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2012. - Т. 6(97). - С. 27

- 34.

[38] Николаев, В.Г. О некоторых свойствах ^/-аналитических функций /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. - 2013. - Т. 3(104).

- С. 25 - 32.

[39] Николаев, В.Г. Единственность решения задачи Шварца в некоторых специальных случаях /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика. - 2013. - Т. 26(169), вып. 33. - С. 35 - 42.

[40] Николаев, В.Г. О некоторых подходах к проблеме единственности решения задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия физико-математические науки. - 2013. - Т. 75(2). - С. 38 - 40.

[41] Николаев, В. Г., Солдатов, А. П. О решении задачи Шварца для .]-аналитических функций в областях, ограниченных контуром Ляпунова /В.Г. Николаев, А.П. Солдатов// Дифференциальные уравнения. - 2015.

- Т. 51, N0 7. - С. 965 - 969.

[42] Николаев, В. Г. Об отсутствии разрешимости задачи Шварца для некоторых типов матриц / В.Г. Николаев // Вестник ЮУрГУ, серия Математика, механика, физика. - 2016. - Т. 8, N0 1. - С. 13 - 18.

[43] Николаев, В. Г. О решениях задачи Шварца для ^/-аналитических функций с одинаковым жордановым базисом действительной и мнимой части матрицы J / В.Г. Николаев // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та, серия физ.-мат. науки. - 2016. - Т. 20, N0 3. - С. 410 - 422.

[44] Николаев, В. Г. Об одной скалярной форме двумерной задачи Шварца и ее применениях / В.Г. Николаев // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика. - 2017. - Т. 9, N0 2. - С. 30 - 35.

[45] Николаев, В. Г. О решениях однородной задачи Шварца в виде вектор-полиномов второй степени / В.Г. Николаев // Вестник ЮУрГУ. Серия Математика. Механика. Физика. - 2019. - Т. 11, N0 3. - С. 41 - 46.

[46] Николаев, В. Г. Об одном соотношении между вещественными и голоморфными функциями / В.Г. Николаев // Итоги науки и техники. Серия "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры".-2021.- Т. 195.- С. 68 - 74.

[47] Николаев, В. Г. Задача Шварца для ^/-аналитических функций в эллипсе / В.Г. Николаев // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 2022.- Т. 62, N0 7.- С. 1115 - 1137.

[48] Николаев, В.Г. Об одном методе построения решений однородной задачи Шварца / В.Г. Николаев // Прикладная математика & Физика.- 2023. Т. 55, N0 4.- С. 305 - 312.

[49] Петровский, И. Г. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия / И.Г. Петровский. - М.: Наука, 1986. - 527 с.

[50] Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 296 с.

[51] Привалов, И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. - М.: Высшая школа, 1999. - 432 с.

[52] Свешников, А. Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 2004. - 321 с.

[53] Скубачевский, А. Л. Об одном классе функционально-дифференциальных операторов, удовлетворяющих гипотезе Като / А.Л. Скубачевский // Алгебра и анализ. - 2018. - Т. 30, N0 2. - С. 249 - 273.

[54] Скубачевский, А. Л. Гипотеза Като для эллиптических дифференциально-разностных операторов с вырождением в цилиндре / А.Л. Скубачевский // Докл. РАН. - 2018. - Т. 478, N0 2. - С. 145 - 147.

[55] Скубачевский, А. Л. Об одном свойстве регулярно аккретивных дифференциально-разностных операторов с вырождением / А.Л. Скубачевский // УМН. - 2018. - Т. 73, N0 2. - С. 189 - 190.

[56] Скубачевский, А. Л. Классические решения уравнений Власова-Пуассона с внешним магнитным полем в полупространстве / А.Л. Скубачевский, У. Тэ^иИ // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. - 2017. - Т. 57, N0 3. -С. 536 - 552.

[57] Скубачевский, А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения / А.Л. Скубачевский // УМН. - 2016. - Т. 71, N0 5(431). - С. 3 - 112.

[58] Скубачевский, А. Л. Нелокальные задачи для уравнений Власова-Пуассона в бесконечном цилиндре / А.Л. Скубачевский // Функц. анализ и его прил. - 2015. - Т.49, N0 3. - С. 91 - 96.

[59] Скубачевский, А. Л. Уравнения Власова-Пуассона для двукомпонентной плазмы в однородном магнитном поле / А.Л. Скубачевский // УМН. -2014. Т.69, N0 2(416). - С. 107 - 148.

[60] Скубачевский, А. Л. Смешанные задачи для уравнений Власова-Пуассона в полупространстве / А.Л. Скубачевский // Труды МИАН. - 2013. - Т. 283. - С. 204 - 232.

[61] Скубачевский, А. Л. Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач / А.Л. Скубачевский // Труды МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 225 -241.

[62] Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. II / А.Л. Скубачевский // СМФН. - 2009. - Т. 33. - С. 3 - 179.

[63] Скубачевский, А. Л. О необходимых условиях фредгольмовой разрешимости нелокальных эллиптических задач / А.Л. Скубачевский // Труды МИАН. - 2008. Т. 260. - С. 248 - 263.

[64] Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. I / А.Л. Скубачевский // СМФН. - 2007. Т. 26. - С. 3 - 132.

[65] Скубачевский, А. Л. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А.Л. Скубачевский, Р.В. Ша-мин // Матем. заметки. - 1999. - Т. 66, N0 1. - С. 145 - 153.

[66] Скубачевский, А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения / А.Л. Скубачевский // Дифференц. уравнения. - 1998. - Т.34, N0 10. - С. 1394 - 1401.

[67] Солдатов, А. П. Гипераналитические функции и их приложения /А.П. Солдатов// Совр. математика и ее приложения. - 2004. - Т.15. - С. 142 -199.

[68] Солдатов, А. П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису /А.П. Солдатов// Совр. математика и ее приложения. - 2010. - Т. 67(68). -С. 99 - 102.

[69] Солдатов, А. П. Интегральное представление функций, аналитических по Дуглису /А.П. Солдатов// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия. -2008. - Т.8, N0 1(67). - С. 225 - 234.

[70] Солдатов, А. П. Пространство Харди решений эллиптических систем первого порядка /А.П. Солдатов// Докл. РАН. - 2007. - Т.416, N0 1. - С. 26

- 30.

[71] Солдатов, А. П. О степенно-логарифмической асимптотике в угле аналитических функций /А.П. Солдатов// Докл. РАН. - 2005. - Т.400, N0 2. -С. 162 - 165.

[72] Солдатов, А. П. Эллиптические системы высокого порядка /А.П. Солдатов// Дифференц. уравнения. - 1989. - Т.25. - С.136 - 142.

[73] Солдатов А. П. О первой и второй краевых задачах для эллиптических систем на плоскости // А.П. Солдатов. - Дифференц. уравнения. - 2003.

- Т. 39, N0 5. - С. 674-686.

[74] Солдатов, А. П. Об интеграле Помпею и некоторых его обобщениях // А.П. Солдатов / Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. - 2021. Т. 14, N0 1. - С. 60-74.

[75] Солдатов, А. П. О задаче Шварца для системы Моисила—Теодореско // А.П. Солдатов / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2020. - Т. 188. - С. 3-13.

[76] Солдатов, А. П. Об одной задаче факторизации на гладкой двумерной поверхности // А.П. Солдатов / Матем. заметки. - 2020. Т. 108, No 2. - C. 285-290.

[77] Солдатов, А. П. Об одной краевой задаче для эллиптического уравнения высокого порядка в многосвязной области на плоскости // А.П. Солдатов / Владикавк. матем. журн. - 2017. Т. 19, No 3. - С. 51-58.

[78] Солдатов, А. П. Задача Римана—Гильберта для эллиптических систем первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами // А.П. Солдатов, О.В. Чернова / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2018. Т. 149. - С. 95-102.

[79] Солдатов, А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // А.П. Солдатов, О.В. Чернова / СМФН. - 2017. - Т. 63, No 1. - С. 1-18.

[80] Солдатов, А. П. О спектральном радиусе функциональных операторов // А.П. Солдатов / Матем. заметки. - 2016. - Т. 100, No 1. - С. 155-162.

[81] Солдатов, А. П. К теории анизотропной плоской упругости // А.П. Солдатов / СМФН. - 2016. Т. 60. - С. 114-163.

[82] Солдатов, А. П. Задача Неймана для эллиптических систем на плоскости // А.П. Солдатов / СМФН.- 2013. - Т. 48. - С. 120-133.

[83] Солдатов, А. П. Эффективные граничные условия для задач электродинамики с приповерхностными источниками // А.П. Солдатов / Докл. РАН.

- 2007. Т. 413, No 5. - С. 620-623.

[84] Суетин, П. К. Ряды по многочленам Фабера.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984.- 336 с.

[85] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1983. - 577 с.

[86] Черных, К. Ф. Введение в анизотропную упругость /К.Ф. Черных. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

[87] Эванс, Л. К. Теория меры и тонкие свойства функций /Л.К. Эванс, Р.Ф. Гариепи. - Новосибирск: Науч. книга. - 2002. - 216 с.

[88] Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдвардс. - М.: Мир, 1985.

[89] Douglis, А. A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables /A. Douglis// Comm. Pure Appl. Math. - 1983. - V. 6. - P. 259

- 289.

[90] Douglis, А. Interior estimates for elliptic systems of partial diff. equations /A. Douglis, L. Nirenberg// Comm. Pure Appl. Math. - 1985. - V.8. - P. 503 -538.

[91] Gilbert, R. P. Degenerate elliptic systems whose coefficient matrix has a group inverse /R.P. Gilbert, G.N. Hile// Complex variables. - 1988. - V.1. - P. 61 -87.

[92] Gilbert, R. P. Analytic, generalized, hyper- analytic function theory and an application to elasticity /R.P. Gilbert, W.L. Wendland// Proc. Roy.Soc. Edinburgh. - 1975. - V.73. - P. 317 - 371.

[93] Hile, G. N. Elliptic systems in the plane with order term and constant coefficients /G.N. Hile// Comm. Pure Appl. Math. - 1978. - V.3(10). - P. 949 - 977.

[94] Horvath, J. A generalization of the Cauchy-Riemann equations /J. Horvath// Contrib. Diff. Equations. - 1961. - V. 1. - P. 39-57.

[95] Ieh, R. Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane /R.Z. Ieh// Pacific Journ. of Mathem. - 1990. - V.142, No 2. - P.379 - 399.

[96] Nikolaev, V. G. On Coincidence of A- and ^-Holomorphic Functions on the Boundary of a Domain and Applications to Elliptic Boundary Value Problems / V.G. Nikolaev, E.Yu. Panov // Journal of Mathematical Sciences. - 2014. -Vol. 196, No 4. - P. 578 - 589.

[97] Nikolaev, V. G. A Criterion for the Existence of Nontrivial Solutions to the Homogeneous Schwarz Problem / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2016. - Vol. 219, No 2. - P. 220 - 225.

[98] Nikolaev, V. G. On solutions to the Schwarz problem in a disk in the three-dimensional case / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2018. - Vol. 228, No 6. - P. 672 - 683.

[99] Nikolaev, V. G. A Class of Orthogonal Polynomials on the Boundary of an Ellipse / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2019. - Vol. 239, No 3. - P. 363 - 380.

[100] Nikolaev, V. G. Solutions to the Schwarz Problem with Diagonalizable Matrices in Ellipse / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. -

2020. - Vol. 244, No 4. - P. 655 - 670.

[101] Nikolaev, V. G. On the Schwarz Problem in the Case of Matrices with Nondiagonal Jordan Forms / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2020. - Vol. 250, No 1. - P. 83 - 93.

[102] Nikolaev, V. G. Schwarz Problem in Ellipse for Nondiagonalizable Matrices / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences. - 2020. - Vol. 251, No 6. - P. 876 - 901.

[103] Nikolaev, V. G. On Linearly Independent Solutions of the Homogeneous Schwarz Problem / V.G. Nikolaev // Journal of Mathematical Sciences.-

2021.- Vol. 257, No 1.- P. 95 - 104.

[104] Nikolaev, V. On a Certain Functional Equation and Its Application to the Schwarz Problem / V. Nikolaev, V. Vasilyev // Mathematics, 2023.- Volume 11.- Issue 12.- Number 2789.

[105] Paskali, D. Vecturs analytiques generelises /D. Paskali// Rev. Roumeine Math. Pure Appl. - 1965. - V.10. - P. 779 - 808.

[106] Soldatov, A. P. Douglis Analytic Functions: Study Guide/ Publishing House BelGU: Belgorod, Russia, 2016.

[107] Soldatov A. P. On representation of solutions of second order elliptic systems on the plane // More progresses in analysis: Proc. of the 5th Intern. ISAAC Congress, Catania, Italy, 25 - 30 July, (2005). Ed. Begehr H. and oth. 2009. V.2. P. 1171 - 1184.

[108] Soldatov, A. P. Hyperanalytic functions and their applications /A. Soldatov// J. Math. Sciences. - 2004. - V.17.

[109] Vasilyev, V. B. General boundary value problems for pseudo differential equations and related difference equations // Adv. in Difference Equat. 2013, V. 289, P. 1 - 7.

[110] Vasilyev V. B. Pseudo differential equations on manifolds with non-smooth boundaries // Differential and Difference Equations and Applications. 2013. V.47. P. 625 - 637.

[111] Vasilyev V. B. On some transmission problems in a plane corner // Tatra Mt. Math. Publ. 2015. V.63. P. 291 - 301.