Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор наук Киясов Сергей Николаевич

• Киясов Сергей Николаевич
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Киясов Сергей Николаевич

Введение

1 Основные понятия и некоторые вспомогательные результаты

1. Задача линейного сопряжения для п - мерного вектора

2. Общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений

3. Сингулярные интегральные уравнения с п ядрами

2 Классификации задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме

1. Некоторые представления матриц-функций второго порядка

2. Структура множества кусочно-мероморфных решений однородной задачи линейного сопряжения для двумерного вектора

3. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного вектора по кусочно-мероморфному решению задачи

4. Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи

5. Некоторые классы общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме

6. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений с двумя ядрами, разрешимых в замкнутой форме

7. Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные свойствами решений общей двумерной характеристической системы сингулярных интегральных уравнений

3 Классификации задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме

1. Некоторые представления матриц-функций третьего порядка

2. Структура множества кусочно-мероморфных решений однородной задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора

3. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям соответствующей системы задач дробно-линейного сопряжения

4. Построение канонической системы решений задачи линейного сопряжения для трехмерного вектора по двум решениям задачи

5. Некоторые классы задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенные структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи

6. Классы задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, определенные свойствами решений общей трехмерной характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и сингулярного интегрального уравнения с тремя ядрами

4 Оценки частных индексов и построение приближенной факторизации одного класса матриц-функций второго порядка

1. Оценки частных индексов матриц-функций второго порядка

2. Зависимость частных индексов матрицы-функции второго порядка от умножения ее слева и справа на диагональные матрицы-функции diag{í, 1} и diag{1/í, 1} соответственно

3. Достаточные условия равенства нулю частных индексов одного класса матриц-функций второго порядка и построение их приближенной факторизации

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме»

Введение

Актуальность темы. Благодаря усилиям нескольких поколений математиков, в основном советской (российской) математической школы, теория задачи линейного сопряжения для кусочно-аналитического вектора (векторно-матричная краевая задача Римана, граничная задача Гильберта, краевая задача Римана-Гильберта для нескольких неизвестных функций) при различных предположениях относительно гладкости контура уже к концу прошлого века приняла вполне законченный вид. Результаты этой работы для случая кусочно-гладких контуров и кусочно-гельдеровских матриц-функций изложены в известных монографиях Н.И. Мусхелишвили [77], Н.П. Векуа [15], в работах Ф.Д.Гахова [20], [21], Б.В. Хведелидзе [106]. С конца 1950-х годов развитие теории задачи линейного сопряжения, в связи с исследованием систем сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и систем уравнений Винера-Хопфа, привело к постановке задачи для новых, а также более широких классов матриц-функций [121], [126] - [135]. Не ставя своей целью описать всю обширную библиографию вопроса, остановимся лишь на результатах, близких к теме нашего исследования. За прошедший период была изучена задача линейного сопряжения для матриц-функций с элементами из винеровского кольца (И.Ц. Гох-берг, Н.Я. Крейн [24]), задача линейного сопряжения для непрерывных (И.Б. Симоненко [94]) и кусочно-непрерывных матриц-функций (И.Ц. Гохберг, М.Г. Крупник [25], Г.Ф. Манджавидзе [70]). Был получен ряд результатов для измеримых ограниченных матриц-функций (И.И. Да-нилюк [26], И.Б. Симоненко [95], [96], R.G. Douglas [124]). Связь между задачей дробно-линейного сопряжения и задачей линейного сопряжения для двумерного вектора была впервые установлена в работе А.Ш. Габиб-Заде [19], а затем изучалась в работах автора ([37], [38], [39], [44]). Рассматривалось также расширение класса контуров и получение достаточных условий ограниченности на них сингулярного интеграла (Б.В. Хведелидзе [107], А.П. Солдатов [97], В.Н. Монахов, Е.В.

Семенко [76], Е.В. Семенко [92], Б.А. Кац [34], Р.Б. Салимов, П.Л. Ша-балин [90], Н. Усманов, М.Б. Холикова [101], [102], М.А. Шешко [112]). В большинстве из этих работ вопрос построения канонической матрицы задачи линейного сопряжения был заменен эквивалентной задачей факторизации матрицы-функции. При этом выяснилось, что даже в случае непрерывной невырожденной матрицы-функции G(t) факторизация с непрерывными множителями G±(t) существует не всегда. Это, с одной стороны, сделало актуальной задачу отыскания новых классов матриц-функций, допускающих факторизацию с непрерывными множителями (М.С. Будяну, И.Ц. Гохберг [13], [14]), а, с другой стороны, привело к формированию понятия факторизации в классах Lp, 0 < p < сю. Оказалось, что в случае непрерывных невырожденных матриц-функций эта факторизация не зависит от выбора p, однако уже для кусочно-непрерывных матриц-функций такая зависимость имеет место. Более того, выяснилось, что в пространствах Lp возможна ситуация, при которой задача линейного сопряжения имеет конечный индекс, но не является нормально разрешимой. А именно, задача линейного сопряжения и задача, союзная к ней, рассматриваемые в классах Lp и Lq ( —|— = 1) соответственно, имеют конечные дефектные

\p q J

числа, причем индексы задач противоположны. Но эти задачи не являются, вообще говоря, нормально разрешимыми, то есть их образы могут быть незамкнутыми. Поэтому пришлось накладывать дополнительные требования на факторизацию, чтобы обеспечить нормальную разрешимость задачи линейного сопряжения. Эти и ряд других вопросов, связанных с задачей факторизации в различных классах матриц-функций и контуров, рассмотрены в монографиях Г.С. Литвинчука, И.М. Спитковского [67], K.F. Giancey, I.Z. Gohberg [128]. Было введено также понятие факторизации на действительной оси, в котором в качестве элементов среднего диагонального множителя вместо степеней взяты экспоненты (M. C. Camara, C. Diogo, Yu.I. Karlovich and I. M. Spitkovsky [121]).

Задача построения приближенной факторизации матрицы-функции и вычисления ее частных индексов, а также эффективно проверяемых оценок для них в общем случае не решена. Нет даже устоявшегося определения приближенной факторизации, что, в первую очередь, связано с неустойчивостью частных индексов и факторизаци-онных множителей при малых изменениях матрицы-функции, а также с неоднозначностью определения крайних факторизационных множителей. Это обстоятельство порождает принципиальные трудности в теории факторизации матриц-функций и теории разрешимости соответствующей задачи линейного сопряжения. Речь идет о проблеме вычисления частных индексов, эффективно проверяемых достаточных условий их устойчивости (вычисления дефектных чисел задачи линейного сопряжения) и задаче построения приближенной факторизации матрицы-функции (нахождения приближенного решения задачи линейного сопряжения и системы сингулярных интегральных уравнений). К результатам, полученным в этом направлении, следует отнести работы Г.Ф. Манджавидзе [68], И.Э. Вербицкого, Н.Я. Крупника [16], [17], Г.С. Литвинчука, И.М. Спитковского [66], И.М. Спитковского [98], М. КаЫп^апа^ап [133].

Исторически вопрос об устойчивости частных индексов и факториза-ционных множителей впервые рассматривался Г.Ф. Манджавидзе [68], [69] в связи с проблемой приближенного решения векторной краевой задачи Римана. Основные результаты и критерий устойчивости частных индексов были получены в работах И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна [23], [24] и Б.В. Боярского [11]. При априорных предположениях равенства нулю левых и правых частных индексов матрицы-функции задача построения ее приближенной факторизации или близкая к ней задача приближенного решения характеристической системы сингулярных интегральных уравнений рассмотрена в работах В.Д. Диденко, Н.Я. Тихо-ненко [28], В.Д. Диденко [27], В.А. Золотаревского [32], В.П. Кадушина [33] и других, а для матрицы-функции с положительно определенной

действительной частью - в работе И.Т. Хабибуллина, А.Г. Шагалова [105]. Отметим, что в работе И.Т. Хабибуллина [104] к задаче факторизации впервые применен метод продолжения по параметру, возникший в методе обратной задачи рассеяния (И.Т. Хабибуллин [103], А.Б. Шабат [110]). Следует также отметить работу Ю.Л. Шмульяна [113] , в которой доказано, что заданная на единичной окружности положительно определенная ^-непрерывная матрица-функция (непрерывная по Гельдеру) имеет нулевые частные индексы. В работе И.Ц. Гохбер-га и М.Г. Крейна [24] показано, что этот результат справедлив и для матрицы-функции, у которой является знакоопределенной ее действительная или мнимая часть.

Первой работой, в которой был предложен способ вычисления ненулевых частных индексов, была работа Г.Н. Чеботарева [108]. В этой работе был дан метод вычисления частных индексов и построения фак-торизационных множителей треугольных матриц-функций второго порядка. Для треугольных матриц-функций произвольного порядка в работах А.М. Николайчука [78], Л.П. Примачука [82] были получены условия совпадения частных индексов с индексами Коши ее диагональных элементов. Способ построения факторизации на единичной окружности и вычисления частных индексов эрмитовой матрицы-функции второго порядка с отрицательным определителем и знакопостоянным диагональным элементом рассмотрели Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский в работах [65], [66]. К факторизации подобных матриц-функций приводится и известная задача А.И. Маркушевича [71], [72]. При различных предположениях относительно контура Г и коэффициентов задачи она была рассмотрена в работах Б.В. Боярского [11], [12], Г.С. Литвин-чука [63], [62], Л.Г. Михайлова [72]-[74], А.М. Николайчука [78], А.М. Николайчука, И.М. Спитковского [79], [80], К.М. Расулова [134], В.М. Адукова, А.А. Патрушева [8], И.Х. Сабитова [89].

К сожалению, в настоящее время имеется сравнительно немного примеров матриц-функций, факторизация которых либо их приближенная

факторизация строится с той же степенью эффективности, как это сделано Ф.Д. Гаховым при решении скалярной задачи линейного сопряжения [22] и нет никаких оснований полагать, что это может быть сделано в общем случае. Поэтому важной задачей является отыскание классов матриц-функций, для которых поставленные вопросы могут быть решены положительно, и тему диссертации следует считать актуальной.

Степень разработанности темы. Прежде чем приступить к анализу результатов, непосредственно связанных с темой диссертации, приведем предложенную В.М. Адуковым в его докторской диссертации [6] терминологию, связанную с понятием эффективного решения задачи и явного решения задачи (решения задачи в замкнутой форме или в квадратурах). Под последним В.М. Адуков понимает сведение задачи факторизации к решению конечного числа систем линейных алгебраических уравнений, матрицы которых выписываются в замкнутой форме (в квадратурах), а само число таких систем должно быть определено заранее. Так, первый результат решения задачи факторизации в замкнутой форме был получен Ф.Д. Гаховым, который заметил, что его формула для решения скалярной задачи непосредственно переносится на матричный случай для функционально-коммутативных матриц-функций, таких, что G(ti)G(t2) = G(t2)G(ti) при любых точках ti, t2 контура. Другим случаем, когда задача факторизации была решена явно, является случай матричных многочленов [127]. Явным можно считать и решение задачи факторизации треугольных матриц-функций второго порядка в работе [2]. Сюда же следует отнести и метод К.М. Расулова [85] сведения задачи линейного сопряжения для строго невырожденной матрицы-функции к системе одной скалярной и n — 1 обобщенных скалярных задач Римана, которые, в случае, когда элементы всех строк матрицы-функции, кроме одной, являются рациональными функциями, решаются в замкнутой форме. Если же найден алгоритм решения задачи за конечное число шагов (заранее неизвестное), то такое решение задачи предлагается считать лишь эффективным. Таким,

например, может служить метод построения канонической системы решений задачи линейного сопряжения по ее нормальной системе решений ([15], c.40). Ниже мы также будем придерживаться этой терминологии и кратко перечислим немногочисленные результаты по эффективному и явному решению задачи факторизации матрицы-функции.

К эффективным результатам, кроме результатов, перечисленных в уже упомянутых работах, следует отнести решение задачи факторизации мероморфных матриц-функций методом отщепления нулей, изложенное в монографии ([67], ч.1, с. 71-87). Следует также отметить работу В.Г. Кравченко и А.М. Николайчука [57], в которой показано, что если какой-либо минор n — 1 - го порядка матрицы-функции порядка n профакторизован, то факторизация самой матрицы-функции сводится к решению интегрального уравнения специального вида относительно одной неизвестной функции. Для матриц-функций второго порядка, хотя бы один из элементов которой не вырождается на Г, этими авторами были получены формулы, связывающие ее частные индексы с размерностью ядра фредгольмова и интегрального оператора, который строится по данной матрице-функции эффективно [58].

Задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами или с кусочно-непрерывной матрицей-функцией определенной подстановкой приводится к задаче с непрерывной матрицей-функцией, и может быть построена каноническая система решений задачи определенного класса ([15], с. 95-122). В некоторых случаях задачу с кусочно-непрерывной матрицей удается свести к скалярной задаче на рима-новой поверхности. Так, в статье Э.И. Зверовича [29] было показано, что задачу, рассмотренную Г.П. Черепановым [109], можно свести к скалярной задаче на n - листной римановой поверхности. При этом установлены глубокие связи между задачей Римана для одной пары функций на римановой поверхности и соответствующей задачей для n пар функций на плоскости с матричным коэффициентом подстановочного типа (Э.И. Зверович [29], Э.И. Зверович, Л.И. Померанцева

[30]). Здесь следует отметить работы В.Е. Круглова [59], [60], в которых матрица подстановок порождает абелеву группу. Им же исследована факторизация некоторых классов матриц-функций подстановочного типа, не являющихся функционально-коммутативными. Задача факторизации матриц-функций подстановочного типа, не являющихся функционально-коммутативными, рассматривалась также Л.П. При-мачуком [83], [83]. В работе И.М. Спитковского, А.М. Ташбаева [99] был рассмотрен специальный класс матриц-функций второго порядка, которые умножением слева и справа на рациональные матрицы приводятся к треугольным матрицам-функциям. Эта работа легла в основу работы T. Ehrhardt, F.O. Speck [125] по классификации матриц-функций второго порядка, допускающих такие преобразования.

Оценивая результаты построения факторизации матрицы-функции в замкнутой форме, к уже отмеченным следует отнести применение разработанного В.М. Адуковым метода индексов и существенных многочленов конечной последовательности комплексных чисел или матриц к последовательности моментов матрицы-функции G-1(t) относительно контура Г для вычисления индексов и явного построения факторизаци-онных множителей аналитической и кусочно-аналитической матрицы-функции. Случай мероморфных и кусочно-мероморфных матриц-функций приводится к аналитическому и, в этом смысле, решение задачи линейного сопряжения для мероморфных матриц-функций также может быть получено в замкнутой форме [7], [6], [133], [134]. К этим результатам примыкает и результат построения факторизации треугольных и блочно треугольных матриц-функций с факторизуемыми диагональными блоками, а также матриц-функций второго порядка с меро-морфной строкой и строго невырожденных матриц-функций, у которых все строки, кроме последней, мероморфны. Отметим также, что В.М. Адуковым [3], [4], [5] решена задача приближенной факторизации аналитической матрицы-функции и установлена связь между задачей матричной аппроксимации Паде и задачей факторизации блочно

треугольной матрицы-функции специального вида. Здесь следует также отметить работы А.И. Аптекарева, В.Г. Лысова [9], А.И. Аптека-рева, В.Г. Лысова, Д.Н. Туликова [10], С.П. Суетина [100], в которых ассимптотика решения матричной краевой задачи Римана-Гильберта применяется при доказательстве сильной ассимптотики аппроксимаций Эрмита-Паде, при изучении ассимптотики ортогональных многочленов и ассимптотических свойств полиномов Паде.

Цели и задачи. Целью данного исследования является разработка методов выделения новых классов ^-непрерывных матриц-функций второго и третьего порядков, заданных на простом гладком замкнутом контуре, для которых удается решить соответствующую задачу линейного сопряжения в классе кусочно-аналитических вектор-функций в замкнутой форме, а также (в случае матриц-функций второго порядка) - метода построения их приближенной факторизации. Основными задачами исследования являются:

1. Обоснование возможности решения задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора в замкнутой форме при наличии одного, соответственно двух частных кусочно-мероморфных решений задачи.

2. Описание структуры множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора.

3. Выделение классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, определенных структурой множества кусочно-мероморфных решений задачи.

4. Выделение классов общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений для двумерного и трехмерного вектора вектора, разрешимых в замкнутой форме.

5. Выделение классов сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами, разрешимых в замкнутой форме.

6. Выделение классов задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, определенных свойствами решений общей двумерной

и трехмерной характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами.

7. Получение оценок для частных индексов и построение приближенной факторизации достаточно общего класса матриц-функций второго порядка.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми.

Получены представления для матриц-функций второго и третьего порядков и выделены классы соответствующих матриц-функций, допускающих эффективную факторизацию.

Приведен явный вид вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при наличии одного, соответственно двух частных кусочно-мероморфных решений задачи.

Изучена структура множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора и выделены соответствующие классы задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Исследована общая характеристическая система сингулярных интегральных уравнений. Отмечено, что эквивалентной этой системе задаче линейного сопряжения соответствует целое семейство общих характеристических систем, зависящее от п ^-непрерывных функций, которыми в ряде случаев можно распорядиться так, что удается отыскать некоторое решение системы, что позволило в соответствующих главах работы для случая двумерных и трехмерных общих характеристических систем выделить классы эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Построена теория сингулярных интегральных уравнений с п ядрами, которая в дальнейшем применяется для выделения при п = 2 и

п = 3 классов таких уравнений и эквивалентных им задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме.

Получены оценки для частных индексов гельдеровских матриц-функций второго порядка, условия равенства нулю частных индексов достаточно общего класса матриц-функций второго порядка и построена их приближенная факторизация.

Теоретическая и практическая значимость. Работа в основном носит теоретический характер. Ее результаты могут служить также новым методом решения задачи линейного сопряжения для треугольных, мероморфных и других матриц-функций второго и третьего порядков, если известно одно соответственно два частных решения задачи.

Методология и методы исследования. В работе применяются как классические методы теории функций комплексного переменного и теории линейных систем сингулярных интегральных уравнений, так и предложенные автором методы классификации задач линейного сопряжения, разрешимых в замкнутой форме, к которым условно можно отнести следующие:

Метод матричных представлений матриц-функций второго и третьего порядков.

Метод интегральных тождеств, основанный на частном случае формулы перестановки порядка интегрирования в повторном особом интеграле.

Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи.

Метод выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанный на свойствах решений общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Явные формулы вектор-функций канонической системы решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора при одном соответственно двух известных частных решениях задачи.

2. Теоремы о структуре множества кусочно-мероморфных решений задачи линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора.

3. Теория общей характеристической системы сингулярных интегральных уравнений и метод, позволяющий отыскивать ее частные решения не переходя к эквивалентной задаче линейного сопряжения.

4. Теорема об эффективной разрешимости сингулярных интегральных уравнений с п ядрами.

5. Классификация задач линейного сопряжения для двумерного и трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме, основанная на свойствах решений двумерных и трехмерных общих характеристических систем и сингулярных интегральных уравнений с двумя и тремя ядрами.

6. Оценка для частных индексов матриц-функций второго порядка.

7. Формулы приближенной факторизации достаточно общего класса матриц-функций второго порядка

Апробация работы. По результатам диссертации 2 декабря 2015 года был сделан обзорный доклад на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН В.В. Напалкова (Уфа, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН), на международной Казанской летней научной школе-конференции в 2011, 2013, 2015 годах, на международных конференциях "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2015, 2016 годы), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 2000), на школе-конференции "Теория функций, ее приближение и смежные вопросы," посвященной 130-летию со дня рождения Д.Ф. Егорова (Казань, 1999), на школе-конференции "Алгебра и Анализ," посвященной 100-летию со дня рож-

дения Б.М. Гагаева (Казань, 1997), а также неоднократно на итоговых научных конференциях Казанского университета.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в 22 публикациях, из которых 11 публикаций - в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов докторских диссертаций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 310 страниц и состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы из 135 наименований. В работе используется двойная нумерация по разделам каждой главы. Поэтому при ссылках на соответствующие формулы другой главы это специально оговаривается. Первая глава состоит из 3 разделов. В ней приводятся основные понятия, связанные с задачей линейного сопряжения для п - мерного вектора, изложена теория общих характеристических систем сингулярных интегральных уравнений и сингулярных интегральных уравнений с п ядрами. Во второй главе, состоящей из 7-ми разделов, основные идеи первой главы применяются для выделения классов задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимых в замкнутой форме. Структура третьей главы, содержащей 6 разделов, во многом схожа со структурой второй главы и посвящена методам выделения классов задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме. Четвертая глава состоит из 3 разделов, в которых рассматриваются вопросы оценки частных индексов матриц-функций второго порядка, достаточных условий равенства частных индексов нулю и построения их приближенной факторизации. В заключении дается перечень основных результатов, полученных в диссертации.

Глава 1

Основные понятия и некоторые вспомогательные результаты

1. Задача линейного сопряжения для п — мерного вектора

Пусть Г - простой гладкий замкнутый контур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на две области О+ и О- (0 € О+),

{ 911 Яи^ ... д21(^ 922... 92и(^

\9nlit) 9п2(^ ... Япи^)

- ^-непрерывная и не особенная на Г матрица-функция порядка п (Д(*) = в(г) = 0,1 € Г), g(t) = (д1 (г),д2(г),...,дп(г)) - вектор-функция класса Н(Г). Задача линейного сопряжения для п - мерного вектора состоит в отыскании кусочно-аналитической вектор-функции

w(z) = ),п)2(х),..., wn(z))

заданного порядка на бесконечности (положительный порядок означает порядок полюса) с Н-непрерывными на Г предельными значениями w±(t), связанными условием

w+(t) = С(г^-(г) + g(t). (1.2)

Если вектор-функция g(г) = 0 на Г, получим однородную задачу линейного сопряжения

w+(t) = С(г^—(г), г е Г.

Совокупность п решений однородной задачи (1.3) w1,х1 (г) ■ (г),Wn ,кп (г )■

(1.3)

(1.4)

кусочно-аналитических в конечной плоскости и имеющих на бесконечности порядки —к2,... ■ —кп соответственно, называется канонической системой решений этой задачи, если выполняются следующие условия ([15], с.30-31):

1. Определитель матрицы

( Чх-, (г) и2,х2 (г) .

X (г ) =

к, V / 2,К2 '

Кх, (г) ^Х, (г) .

(г)

ик

(г)

и1к, ) и'1х2 ) ■■■ Кхп (г ))

(1.5)

не обращается в нуль ни в одной конечной точке плоскости.

2. Определитель А0(г) = det ||гх(г)||, г] = 1,п принимает на

бесконечности конечное значение, отличное от нуля.

Матрица (1.5) называется канонической матрицей однородной задачи линейного сопряжения (1.3). Легко видеть, что для канонической матрицы на Г выполняется тождество

х+(г) = а(г)х—(г),

в силу которого приходим к представлению

А+(г)

С(ь) = х+(г)[х—(г)]—1, А(г) = detО(г) = А—^^, г е Г,

(1.6)

в

котором через А+(г) и А-(г) обозначены определители матриц X + (г) и X—(г) соответственно.

Целые числа к\, к2, ■ ■ ■, кп по канонической системе решений (1.4) определяются однозначно и называются частными индексами, а их

сумма к = к1 + к2 + • • • + кп = inddet С(t) - суммарным индексом матрицы-функции (1.1) (индекс Коши det С^)).

В дальнейшем, не ограничивая общности, будем предполагать, что частные индексы упорядочены по убыванию, то есть выполняются неравенства

К1 > К2 > • • • > кп. (1.7)

Тогда любая другая каноническая матрица Х(г) получается из канонической матрицы (1.5) по формуле

Х(г) = X (г )Р (г), (1.8)

в которой Р(г) - полиномиальная матрица с постоянным определителем, общий вид которой определен в ([15], с.35). Если в (1.7) выполняются строгие неравенства, матрица Р(г) имеет вид

( Р1 Р\Л- К2 ) Р™- КЗ (г) ... Р\Л- Л

Р(г) =

0 р0 р12-Х3(г) ... рК2

у 0 0 0 ... рп )

(1.9)

в котором ргт(г), г = 1,п - произвольные полиномы степени т > 0.

Если для совокупности п решений задачи (1.3) w1;kl (г), W2,k2 (г),..., wn;kn (г), имеющих на бесконечности порядки —к 1, —к2,... , —кп соответственно, выполняется лишь первое свойство канонической системы решений, то эти решения образуют нормальную систему решений, а составленная из их компонент матрица X(г), называется нормальной матрицей однородной задачи линейного сопряжения (1.3). Имеет место следующее предложение (см., например, [20], [118]).

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Киясов Сергей Николаевич, 2016 год

Литература

[1] Аверьянов, Г.Н. Задача линейного сопряжения для аналитических функций в семействе весовых пространств Гельдера / Г.Н. Аверьянов, А.П. Солдатов // Изв. вузов. Матем.- 2015.- №9.- С. 56-61.

[2] Адуков, В.М. Факторизация треугольных матриц-функций второго порядка / В.М. Адуков // Деп. в ВИНИТИ.- 1982.- № 593082 Деп.

[3] Адуков, В.М. О факторизации Винера-Хопфа матричных многочленов / В.М. Адуков // Вестник ЧелГУ, серия математика, механика.- 1996.- №1.- С. 3-14.

[4] Адуков, В.М. О факторизации аналитических матриц-функций / В.М. Адуков // Теор. и матем. физика.- 1999.- Т. 118.- №3.- С. 324-336.

[5] Адуков, В.М. О приближенном решении задачи факторизации Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Тезисы докл. второй междунар. конф. Компьютерная алгебра в фундаментальных и прикладных исследованиях и образовании. Минск, 20-24 сент., 1999.- С. 11-12.

[6] Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Па-де матриц-функций: дис. ... докт. физ.-мат. наук / В.М. Адуков.-Челябинск, 2006.- 314 с.

[7] Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа кусочно-мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Матем. сб. - 2009. - Т. 200.- №8.- С. 3-24.

[8] Адуков, В.М. О явном и точном решениях задачи Маркушевича на окружности / В.М. Адуков, А.А. Патрушев // Изв. Сарат. унта, Нов. сер. Математика. Механика. Информатика. - 2011. - 11:2 .- С. 9-20.

[9] Аптекарев, А.И. Системы марковских функций, генерируемые графами и ассимптотика их аппроксимаций Эрмита-Паде / А.И. Аптекарев, В.Г. Лысов // Матем. сб. - 2010. - Т. 201. - №2. - С. 29-78.

[10] Аптекарев, А.И. Случайные матрицы с внешним источником и ассимптотика ортогональных многочленов / А.И. Аптекарев, В.Г. Лысов, Д.Н. Туляков // Матем. сб. - 2011. - Т. 202. - №2. - С. 3-56.

[11] Боярский, Б.В. Об устойчивости задачи Гильберта для голоморфного вектора / Б.В. Боярский // Сообщ. АН Груз. ССР. - 1958. -Т. 21. - №4. - С. 391-398.

[12] Боярский, Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б.В. Боярский // Сообщ. АН Груз. ССР. - 1960. - Т. 25. - №4. -С. 385-390.

[13] Будяну, М.С. Общие теоремы о факторизации матриц-функций.1. Основная теорема / М.С. Будяну, И.Ц. Гохберг // Матем. исслед. - 1968. - Т. 3. - №2. - С. 87-103.

[14] Будяну, М.С. Общие теоремы о факторизации матриц-функций.11. Некоторые признаки иих следствия / М.С. Будяну, И.Ц. Гохберг // Матем. исслед. - 1968. - Т. 3. - №3. - С. 3-18.

[15] Векуа, Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи / Н.П. Векуа. - М.: Наука, 1970.

- 379 с.

[16] Вербицкий, И.Э. Точные константы в теоремах Бабенко К.И., Хведелидзе Б.В. об ограниченности сингулярного оператора / И.Э. Вербицкий, Н.Я. Крупник // Сообщ. АН ГрузССР. - 1977.

- Т. 85. - №1. - С. 21-24.

[17] Вербицкий, И.Э. Точные константы в теоремах об ограниченности сингулярного оператора в пространствах Ьр с весом и их приложения / И.Э. Вербицкий, Н.Я. Крупник // Матем. исслед. - 1980.

- Т. 54. - С.21-35.

[18] Габдулхаев, Б.Г. Об аппроксимации тригонометрическими полиномами и погрешность квадратурных формул для сингулярных интегралов / Б.Г. Габдулхаев // Уч. зап. Казан. ун-та. - 1967. -Т. 127. - №1. - С. 54-74.

[19] Габиб-Заде, А.Ш. Исследование одной нелинейной задачи Тиль-берта / А.Ш. Габиб-Заде // Докл. АН АЗССР. - 1956. - Т. 14. -№4. - С. 275-278.

[20] Гахов, Ф.Д. Краевая задача Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // УМН. - 1952. - Т. 7. - № 4. - С. 3-54.

[21] Гахов, Ф.Д. Особые случаи краевая задача Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1952.

- Т. 16. - №2. - С. 147-156.

[22] Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. -640 с.

[23] Гохберг, И.Ц. Об устойчивой системе частных индексов Гильберта для нескольких неизвестных функций / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крейн // ДАН СССР. - 1958. - Т. 119. - №5. - С. 854-857.

[24] Гохберг, И.Ц. Система интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов / И.Ц. Гохберг, Н.Я. Крейн // УМН. - 1958. - Т. 13. - Вып 2. - С. 3-72.

[25] Гохберг, И.Ц. Система сингулярных интегральных уравнений в пространствах Ьр с весом / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крупник // ДАН СССР. - 1969. - Т. 186. - № 5. - С. 998-1001.

[26] Данилюк, И.И. Об общей линейной граничной задаче с измеримыми коэффициентами для многих аналитических функций в классе Ер / И.И. Данилюк // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972. - С. 175-179.

[27] Диденко, В.Д. Задача приближенной факторизации матрицы и ее приложения / В.Д. Диденко // Матем. заметки. - 1984. - Т. 36. - № 3. - С. 341-350.

[28] Диденко, В.Д. О приближенном решении матричной задачи Ри-мана / В.Д. Диденко, Н.Я. Тихоненко// Изв. вузов. Математика. - 1980. - №1. - С. 16-19.

[29] Зверович, Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях /Э.И. Зверович // УМН. - 1971. - Т. 26. - Вып. 1. - С. 113-179.

[30] Зверович, Э.И. Задача Римана для п пар функций с матрицами подстановочного типа / Э.И. Зверович, Л.И. Померанцева // ДАН СССР. - 1974. - Т. 217. - №1. - С. 20-23.

[31] Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд. - М.: Мир, 1965. - Т. 1. - 615 с.

[32] Золотаревский, В.А. О методе коллокаций приближенного решения систем сингулярных интегральных уравнений с обращающимися в нуль символами / В.А. Золотаревский // Изв. вузов. Матем. - 1990. - №1. - С. 25-29.

[33] Кадушин, В.П. Об одном полиномиальном методе решения систем сингулярных интегральных уравнений / В.П. Кадушин // Конструкт. теор. функц. и функц. анализ.- Казань: Казан. ун-т, 1985. - Вып. V. - С. 43-51.

[34] Кац, Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой / Б.А. Кац // Изв. вузов. Матем. - 1983. - №4. - С. 68-80.

[35] Киясов, С.Н. О частных случаях одной нелинейной краевой задачи Римана / С.Н. Киясов // Краевые задачи и их прилож., межвуз. сб. - Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1985. - С. 60-67.

[36] Киясов, С.Н. Исследование одной нелинейной краевой задачи Римана в случае аналитической продолжимости коэффициентов / С.Н. Киясов // Краевые задачи и их прилож., межвуз. сб.- Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1986. - С. 54-59.

[37] Киясов, С.Н. Факторизация некоторых матриц-функций второго порядка / С.Н. Киясов // Актуальные вопр. теории краевых задач и их прилож., межвуз. сб.- Чебоксары: Чуваш. ун-т, 1986. -С. 62-66

[38] Киясов, С.Н. К вопросу о разрешимости дробно-линейной краевой задачи Римана / С.Н. Киясов // Тр. сем. по краев. задачам. Изд-во Казанского. ун-та. - 1987. - Вып. 23. - С. 116-129.

[39] Киясов, С.Н. Дробно-линейная краевая задача Римана и ее приложение к факторизации некоторых классов гельдеровских матриц-функций второго порядка / С.Н. Киясов // Изв. вузов. Матем. - 1995. - №9(400). - С. 23-29.

[40] Киясов, С.Н. Исследование разрешимости и оценки числа решений одного класса сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Киясов // Сиб. матем. журн. - 2000. - Т. 41. - №6. - С. 1357-1362.

[41] Киясов, С.Н. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений, разрешимых в замкнутой форме / С.Н. Киясов // Изв. вузов. Матем. - 2002. - №5. - С. 31-35.

[42] Киясов, С.Н. Эффективные оценки числа решений одного класса сингулярных интегральных уравнений / С.Н. Киясов // Диффе-ренц. уравнения. - 2002. - Т. 38. - №9. - С. 1190-1198.

[43] Киясов, С.Н. Эффективная факторизация в некоторых классах матриц-функций третьего порядка / С.Н. Киясов // Учен. зап. Казан. ун-та, сер. физ.-матем. науки. - 2008. - Т. 150. - №1. - С. 65-70.

[44] Киясов, С.Н. Некоторые случаи разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнений и двумерных характеристических систем / С.Н. Киясов // Изв. вузов. Матем. - 2011.

- №4. - С. 54-71.

[45] Киясов, С.Н. Некоторые случаи эффективной факторизации матриц-функций второго порядка / С.Н. Киясов // Изв. вузов. Матем. - 2012. - №6. - С. 36-43.

[46] Киясов, С.Н. Некоторые классы задач линейного сопряжения для двумерного вектора, разрешимые в замкнутой форме / С.Н. Ки-ясов // Изв. вузов. Матем. - 2013. - №1. - С. 3-20.

[47] Киясов, С.Н. Оценки частных индексов гельдеровских матриц-функций второго порядка / С.Н. Киясов // Учен. зап. Казан. ун-та, сер. физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 156. - Кн. 1. - С. 44-50.

[48] Киясов, С.Н. Метод выделения классов задач линейного сопряжения для трехмерного вектора / С.Н. Киясов // Изв. вузов. Матем.

- 2015. - №8. - С. 33-50.

[49] Киясов, С.Н. Некоторые классы задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме / С.Н. Ки-ясов // Сиб. матем. журн. - 2015. - Т. 56. - № 2. - С. 389-408.

[50] Киясов, С.Н. Точные оценки для частных индексов гельдеровских матриц-функций второго порядка / С.Н. Киясов // Алгебра и Анализ (Тезисы докл. школы-конф., посв. 100-летию со дня рожд. Б.М. Гагаева). - Казан. матем. обществао, 1997. - С. 115-116.

[51] Киясов, С.Н. Исследование разрешимости одного класса сангу-лярных интегральных уравнений / С.Н. Киясов // Теория функций, ее прибл. и смежные вопросы (Материалы школы-конф., посв. 130-летию со дня рожд. Д.Ф. Егорова). - Казан. матем. общество, 1999. - С. 119-120.

[52] Киясов, С.Н. Оценки частных индексов матриц-функций / С.Н. Киясов // Материалы Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики". - Казань: УНИ-ПРЕСС, 2000. - Т. 5. - С. 106-108.

[53] Киясов, С.Н. Достаточные условия равенства нулю частных индексов одного класса матриц-функций второго порядка и построение их приближенной факторизации / С.Н. Киясов // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: УНИПРЕСС, 2011. - Т. 43. - С. 193-195.

[54] Киясов, С.Н. Классификация задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме / С.Н. Ки-ясов // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского.- Казань: УНИПРЕСС, 2013. - Т. 46. - С. 242-246.

[55] Киясов, С.Н. Метод решения задачи линейного сопряжения для двумерного вектора при известном частном решении / С.Н. Ки-ясов // Материалы Двенадцатой международной Казанской лет-

ней научной школы-конференции.- Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2015. - Т.51. - С. 233-235.

[56] Киясов, С.Н. Метод выделения классов задач линейного сопряжения для трехмерного вектора, разрешимых в замкнутой форме / С.Н. Киясов // Материалы конференции "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения". - V. - Ростов - на - Дону, 2015. - С. 79-80.

[57] Кравченко, В.Г. Об эквивалентности одного типа краевой задачи Римана для системы п пар функций полному сингулярному уравнени. с ядром Коши / В.Г. Кравченко, А.М. Николайчук // Дифференц. уравнения.- 1973. - Т. 9. - №2. - С. 343-376.

[58] Кравченко, В.Г. О частных индексах задачи Римана для двух пар функций / В.Г. Кравченко, А.М. Николайчук // ДАН СССР. -1974. - Т. 216. - №1. - С. 53-56.

[59] Круглов, В.Е. Частные индексы, абелевы дифференциалы I рода и уравнение поверхности, заданные конечной абелевой группой подстановок / В.Е. Круглов // Сиб. матем. журн. - 1981. - Т. 22. - №6. - С. 87-101.

[60] Круглов, В.Е. О структуре частных индексов задачи Римана с матрицами подстановочного типа / В.Е. Круглов // Матем. заметки. - 1984. - Т. 35. - №2. - С. 169-176.

[61] Лаппо-Данилевский, И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. - М.: Гостехиздат, 1957. -

456 с.

[62] Литвинчук, Г.С. Две теоремы об устойчивости частных индексов краевой задачи Римана и их приложения / Г.С. Литвинчук // Изв. вузов. Матем. - 1967. - №1. - С. 47-54.

[63] Литвинчук, Г.С. Об устойчивости одной краевой задачи теории аналитических функций / Г.С. Литвинчук // ДАН СССР. - 1967. - Т. 174. - №6. - С. 1268-1270.

[64] Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. -448 с.

[65] Литвинчук, Г.С. Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана / Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский // ДАН СССР. - 1980. - Т. 255. - №5, С. 1043-1046.

[66] Литвинчук, Г.С. Точные оценки дефектных чисел обобщенной краевой задачи Римана; факторизация эрмитовых матриц-функций и некоторые проблемы приближения мероморфными функциями / Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский // Матем. сб. -1982. - Т. 117. - №2. - С. 196-215.

[67] Литвинчук, Г.С. Факторизация матриц-функций, ч.1, ч.11 / Г.С. Литвинчук, И.М. Спитковский // Деп. в ВИНИТИ. -1984. - № 2410-84 Деп.

[68] Манджавидзе, Г.Ф. О приближенном решении граничных задач теории функций комплексного переменного / Г.Ф. Манджавидзе // Сообщ АН ГрузССР. - 1953. - Т. 14. - №10.- С. 577-582.

[69] Манджавидзе, Г.Ф. О поведении решений граничной задачи линейного сопряжения / Г.Ф. Манджавидзе // Тр. Тбилис. мат. инта ГрузССР. - 1969. - Т. 35. - С. 173-182.

[70] Манджавидзе, Г.Ф. Граничная задача линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом / Г.Ф. Ман-джавидзе // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. - М.: Наука, 1972. - С. 297-304.

[71] Маркушевич, А.И. Об одной граничной задаче теории аналитических функций / А.И. Маркушевич // Учен. зап. Моск. ун-та. -1946. - вып. 100. - С. 20-30.

[72] Михайлов, Л.Г. Общая краевая задача о бесконечно малых изгибаниях склеянных поверхностей / Л.Г. Михайлов // Изв. вузов. Матем. - 1960. - №5. - С. 99-109.

[73] Михайлов, Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / Л.Г. Михайлов // ДАН СССР. - 1961. - Т. 139. - №2. - С. 294-297.

[74] Михайлов, Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л.Г. Михайлов. - Душамбе: АР ТаджССР, 1963. - 183 с.

[75] Михайлов, Л.Г. Общая задача сопряжения аналитических функций и ее применения / Л.Г. Михайлов // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1963. - Т. 27. - №5. - С. 969-992.

[76] Монахов, В.Н. Краевые задачи и псевдодифференциальные операторы на римановых поверхностях / В.Н. Монахов, Е.В. Семен-ко. - М.: Физматлит, 2003. - 416 с.

[77] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968.- 511 с.

[78] Николайчук, А.М. Некоторые аценки для частных индексов краевой задачи Римана / А.М. Николайчук // Укр. матем. журн. -1971. - Т. 23. - №6. - С. 793-798.

[79] Николайчук, А.М. О краевой задаче Римана с эрмитовой матрицей / А.М. Николайчук, И.М. Спитковский //ДАН СССР. - 1975. - Т. 221. - №6. - С. 1280-1283.

[80] Николайчук, А.М. Факторизация эрмитовых матриц-функций и ее приложения к граничным задачам / А.М. Николайчук, И.М. Спитковский // Укр. матем. журн. - 1975. - Т. 27. - №6. - С. 767-770.

[81] Примачук, Л.П. О краевой задаче с сопряжением / Л.П. Прима-чук // Изв. АН БССР, сер. физ.-матем. наук. - 1967. - №4. - С. 59-62.

[82] Примачук, Л.П. О частных индексах задачи Римана с треугольной матрицей / Л.П. Примачук // Докл. АН БССР. - 1970. - Т. 14. - №1. - С. 3-7.

[83] Примачук, Л.П. Задача Римана для внешности разрезов вдоль прямой с подстановочными матрицами / Л.П. Примачук // Докл. АН БССР. - 1978. - Т. 22. - №2. - С. 115-118.

[84] Примачук, Л.П. Об одном интегрируемом случае задачи Римана с подстановочной матрицей / Л.П. Примачук // Докл. АН БССР.

- 1978. - Т. 22. - №4. - С. 310-313.

[85] Расулов, К.М. Об одном методе решения векторной задачи Римана / К.М. Расулов // Докл. АН Беларуси. - 1994. - Т. 38. - №2. -С. 23-26.

[86] Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К.М. Расулов. - Смоленск: СГПУ, 1998. - 344 с.

[87] Сабитов, И.Х. Об одной краевой задаче линейного сопряжения на окружности / И.Х. Сабитов // Сиб. матем. журн. - 1964. - Т. 5.

- №1. - С. 124-129.

[88] Сабитов, И.Х. Об одной граничной задаче линейного сопряжения / И.Х. Сабитов // Матем. сб. - 1964. - Т. 64(106). - №2. - С. 262-274.

[89] Сабитов, И.Х. Некорректная краевая задача Маркушевича для многосвязной области с круговыми гоаницами / И.Х. Сабитов // Известия РАН. Серия математическая. - 2012. - Т. 76. - № 6. - С. 153-192.

[90] Салимов, Р.Б. Задача Гильберта. Случай бесконечного множества точек разрыва коэффициентов / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин // Сиб. матем. журн. - 2008. - Т. 49. - №4. - С. 898-915.

[91] Салимов, Р.Б. Краевая задача Гильберта теории аналитических функций и ее приложения / Р.Б. Салимов, П.Л. Шабалин.- Казань: Изд-во Казанск. мат. о-ва, 2005. - 297 с.

[92] Семенко, Е.В. Разложение Гахова псевдодифференциальных операторов с вырождающимся символом / Е.В. Семенко // Сиб. матем. журн. - 1997. - Т. 38. - №6. - С. 1362-1373.

[93] Симоненко, И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом / И.Б. Симоненко // ДАН СССР. - 1959. - Т. 124. -№ 2. - С. 278-281.

[94] Симоненко, И.Б. Краевая задача Римана для п пар функций с непрерывными коэффициентами / И.Б. Симоненко // Изв. вузов. Матем. - 1961. - №1. - С. 140-145.

[95] Симоненко, И.Б. Краевая задача Римана для п пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Ьр с весами /И.Б. Симоненко // Изв. АН СССР , сер. матем. - 1964. - Т. 28. - №2. -С. 277-306.

[96] Симоненко, И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана / И.Б. Симоненко // Изв. АН СССР , сер. матем. -1968. - Т. 32. - №5. - С. 1138-1146.

[97] Солдатов, А.П. Краевая задача линейного сопряжения теории функций / А.П. Солдатов // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1979. - Т. 43. - №1. - С. 184-202.

[98] Спитковский, И.М. Некоторые оценки для частных индексов измеримых матриц-функций / И.М. Спитковский // Матем. сб. -1980. - Т. 111. - №2 .- С. 227-248.

[99] Спитковский, И.М. К вопросу об эффективной факторизации матриц-функций / И.М. Спитковский, А.М. Ташбаев // Изв. вузов. Матем. - 1989. - №4. - С. 69-76.

[100] Суетин, С.П. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда / С.П. Суетин // УМН. - 2002. - Т. 57. - № 1. - С. 45-142.

[101] Усманов, Н. Задача сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контукре / Н. Усманов, М.Б. Холикова // Докл. АН Республики Таджикистан. - 2004. - Т. ХЬУ11. - №4. -С.31-36.

[102] Усманов, Н. Об одной смешанной краевой задаче для пары кусочно-аналитических функций в многосвязной области в сингулярном случае / Н. Усманов, М.Б. Холикова // Известия АН Республики Таджикистан. - 2007. - №3(127). - С. 17-25.

[103] Хабибуллин, И.Т. Дискретная система Захарова- Шабата и интегрируемые уравнения / И.Т. Хабибуллин // Записки научных семинаров ЛОМИ, диф. геом., группы Ли, и мех. VII. - 1985. - Т. 146. - С. 137-145.

[104] Хабибуллин, И.Т. О задаче линейного сопряжения на единичной окружности / И.Т. Хабибуллин // Матем. заметки. - 1987. - Т. 41. - № 3. - С. 342-347.

[105] Хабибуллин, И.Т. Численная реализация метода обратной задачи рассеяния / И.Т. Хабибуллин, А.Г. Шагалов // ТМФ. - 1990. - Т. 83. - № 3. - С. 323-333.

[106] Хведелидзе, Б.В. Линейные разрывные граничные задачи функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения / Б.В. Хведелидзе // Тр. Тбилис. мат. ин-та ГрузССР.

- 1958. - Т. 23. - С. 3-158.

[107] Хведелидзе, Б.В. Метод интегралов типа Коши в разрывных граничных задачах теории голоморфных функций одной комплексной переменной / Б.В. Хведелидзе // Итоги науки и техники, сер. "Современные проблемы математики". М. - 1975. - Т. 7. - С. 5-162.

[108] Чеботарев, Г.Н. Частные индексы краевой задачи Римана с треугольной матрицей второго порядка / Г.Н. Чеботарев // УМН. -1956. - Т. 11. - №3. - С. 199-202.

[109] Черепанов, Г.П. Об одном интегрируемом случае краевой задачи Римана для нескольких функций / Г.П. Черепанов // ДАН СССР.

- 1965. - Т. 161. - №6. - С. 1285-1288.

[110] Шабат, А.Б. Обратная задача рассеяния / А.Б. Шабат // Диф-ференц. уравнения.- 1979. - Т.15. - Вып. 10. - С. 1824-1834.

[111] Шабат, Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1969. - 576 с.

[112] Шешко, М.А. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на сложном контуре / М.А. Шешко // Дифференц. уравнения.

- 2011. - Т. 47. - №9. - С. 1331-1343.

[113] Шмульян, Ю.А. Задача Римана с положительно апределенной матрицей / Ю.А. Шмульян // УМН. - 1953. - Т. 8. - вып. 2. - С. 143-145.

[114] Adukov, V.M. On factorization indices of strictly nonsingular 2x2 matrix function / V.M. Adukov // Integral Exuations and Operator Theory. -1995. - Vol. 21. - N 1. - P. 1-11.

[115] Adukov, V.M. Representation theory of finite groups in WienerHopf factorization problem / V.M. Adukov // Linear and Multilinear Algebra. - 2015. - Vol. 63. - N 9. - P. 1724-1736.

[116] Amirjanyan, H.A. Factorization of meromorphic matrix / H.A. Amirjanyan, A.G. Kamalyan // Jornal of Contemporary Mathematical Analysis. - 2007. - Vol. 42. - N 6. - P. 303-319.

[117] Antipov, Y.A. Hilbert problem for a multiply connected circular domain and the analysis of the Hall effect in a plate / Y.A. Antipov, V.V. Silvestrov // Quarterly of Applied Matematics. - 2010. - Vol. 68. - N 3. - P. 563-590.

[118] Birkhoff, G.D. A theorem on matrices of analytic fumctions / G.D. Birkhoff // Math. Ann. - 1913. - Bd. 74. - P. 240-251.

[119] Danchenko, V.I. On boundary behavior of holomorphic components of bianalytic functions / V.I. Danchenko, E.P. Dolzhenko // Journal of Mathematical Sciences. - 2005. - Vol. 126. - N 6. - P. 1586-1592.

[120] Danchenko, V.I. On mean integral values of solutions of the generaized Cauchy-Riemann equations / V.I. Danchenko, E.P. Dolzhenko // Journal of Mathematical Sciences. - 2007. - Vol. 145. - N 5. - P. 5188-5191.

[121] Camara, M. C. Factorizations, Riemann-Hilbert problems and the corona theorem / M. C. Camara, C. Diogo, Yu.I. Karlovich and I. M. Spitkovsky //J. London Math. Soc. - 2012. - Vol. 86. - N 2. - P. 852-878

[122] Conceicao, A.C. Factorization algorithm for some special matrix fanctions / A.C. Conceicao, V.G. Kravchenko // Operator Algebras,

Operator Theory and Applications. - Birkhäuser Basel, 2008. - P. 173-185.

[123] Conceicao, A.C. Factorization algorithm for special non-rational matrix fanctions / A.C. Conceicäo, V.G. Kravchenko, J.C. Pereira // Topics and Operator Theory. - Birkhauser Basel, 2010. - P. 87109.

[124] Douglas, R.G. Toepliz and Wiener-Hopf operators in E^ + C / R.G. Douglas // Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 74. - N 5. - P. 895-899.

[125] Ehrhardt, T. Transformation techniques towards the factorization of non-rational 2x2 matrix functions / T. Ehrhardt, F.O. Speck // Linear Algebra and its Applications. -2002. - Vol. 353. - P. 53-90.

[126] Ehrhardt, T. On the kemel and cokemel of some Toepliz operators / T. Ehrhardt, I.M. Spitkovsky // Advances in Structured Operator Theory and Related Areas. - Springer Basel, 2013. - P. 127-144.

[127] Gohberg, I.Z. Factorization indices for matrix polynomials / I.Z. Gohberg, L. Letter, L. Rodman // Bull. Amer. Math. Soc. - 1978. -Vol. 84. - N 2. - P. 275-277.

[128] Glancey, K.F. Factorizationof matrix functions and singular integral operators / K.F. Giancey, I.Z. Gohberg // Bazel-Boston-Stuttgart: Birkhäuser Verlag, 1981. - 234 p.

[129] Guoan, G. A class of compound Vector-valued problem and factorization of matrix function / G. Guoan, D. Jinyuan // Acta Mathematica Scientia. -2010. - Vol. 30. - M 1. - P. 173-279.

[130] Kizil A.V. The relationship between a strip Winer-Hopf problem and Rieman-Hilbert problem / A.V. Kizil // IMA J. Appl. - 2015. - Vol. 80. - N 5. - P. 1569-1581.

[131] Litvinchuk, G.S. Factorization of measurable matrix functions / G.S. Litvinchuk // Birkhäuser. -2013. - vol. 25.

[132] Pousson, H.R. Systems of Toeplits operators on H2 / H.R. Pousson // Trans. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 133. - N 2. - P. 527-536.

[133] Rabindranathan, M. On the inversion of Toeplits operators / M. Rabindranathan //J. Math. and Mech. - 1969. - Vol. 19. - N 3.

- P. 195-206.

[134] Rasulov, K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the case of analytic functions / K.M. Rasulov // Math. Modelling and Analysis. - 2004.

- Vol. 9. - N 3. - P. 223-228.

[135] Sargsyan, A.V. On factorization of a class of second order matrix-functions / A.V. Sargsyan // Proceedings of the YSU, Phys. and Mathem. sciences. - 2010. - Vol. 1. - P. 9-15.