Краевые задачи для системы Моисила-Теодореску тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Полунин, Виктор Александрович

• Полунин, Виктор Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полунин, Виктор Александрович

Введение.

Глава 1. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску.

1.1 Задача Римана—Гильберта.

1.2 Критерий фредгольмовости задачи Римана—Гильберта.

1.3 Сопряженная задача Римана—Гильберта.

Глава 2. Граничные свойства решений обобщенных систем

Коши—Римана.

2.1 Обобщенные интегралы типа Коши в трехмерном пространстве.

2.2 Интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску.

Глава 3. Интегральное представление решений системы

Моисила—Теодореску.

3.1 Задача типа Шварца.

3.2 Интегральное представление решений системы Моисила—Теодореску в ограниченной области.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для системы Моисила-Теодореску»

Эллиптические краевые задачи играют важную роль в математической физике. Начиная с восемнадцатого века, огромное число работ было посвящено граничным задачам этого типа. Теория общих эллиптических краевых задач в гладких областях была развита во второй половине двадцатого века в работах И.Г.Петровского [39], Я. Б. Лопатинского [32], М. И. Вишика [18], Л. Хёрмандера [56, 66], С.Агмона [60, 61], С. Агмона, А.Дуглиса, Л. Ниренберга [62, 63], Ф.Браудера [64, 65], М. Шехтера [6973], А. И. Кошелева [29], Ю. М. Березанского [8, 9], В. А. Солонникова [53], Я. А. Ройтберга [41-45], Я. А. Ройтберга, 3. Г. Шефтеля [46, 47], С. А. Назарова, Б. А. Пламеневского [37], М. С. Аграновича, М. И. Вишика [1], Л. Р. Во-левича [20] и многих других.

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимают обобщенные системы Коши—Римана. В пространстве М3 для 4— компонентных искомых вектор-функций и это системы ди ди ди п ах---\-а2---1- аз—— = 0, а,- €

ОХ\ ОХ2 ОХз

4x4 для которых характеристическая матрица М{£) = а^х + а2^2 + обладает свойством

М(£)МТ(0 = 1С12, (1) где Т - символ матричного транспонирования. В некоторой литературе такие системы также называют "нормальными". Простейший аналог этой системы 0 6 & 6 \ м(~У«(х) = о, М(0 =

6 0 -6 6 6 6 0 -6 6 0 )

2) впервые был предложен и исследован в работе румынских математиков Гр. К. Моисила и Н. Теодореску [67].

Повышенный интерес к исследованию этих систем объясняется особой их значимостью как в математике: в теории аналитических функций нескольких переменных [2-5,26], функциональном анализе [30, 31], геометрии векторных полей [6], теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [10], так и в физике: в квантовой механике, теории поля [34], теории геофизических полей [28].

Обобщенным системам Коти—Римана посвящен ряд исследований, содержащихся в работах А. В.Бицадзе [10-14], А. А. Дезина [21-23], И.Н.Векуа [15], А.Д.Джураева [24-26], А. П. Солдатова [49], В.С.Виноградова [16], Гр. К. Моисила и Н.Теодореску [67], И. Р. Шафаревича [57], М.З.Соломяка [52] и других.

В монографии И. Р. Шафаревича [57] исследуется проблема эллиптичности систем первого порядка, которая формулируется так: какими должны быть размерность пространства независимых переменных и число неизвестных функций в эллиптической системе дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, чтобы она существовала. Решение проблемы эллиптичности было анонсировано М. 3. Соломяком [52] без доказательства. В работе В. Е. Балабаева [6] на основе иного подхода дано конструктивное решение этой проблемы.

В современной теории эллиптических краевых задач важное место занимает решение проблемы нахождения эллиптических систем с фредгольмовыми задачами. Эта проблема была поставлена в монографии А. В. Бицадзе [10]. Именно в ходе работ А. В. Бицадзс впервые началось изучение краевых задач для трехмерных аналогов системы Коши— Римана. При этом в качестве представителя такой системы выбиралась система Моисила—Теодореску [10, 12, 59, 67]. В этих работах исследования касались, главным образом, случая полупространства. В работе А. В. Бицадзе [13] для постоянной матрицы в полупространстве х% > 0 с границей 5" подробно рассмотрен пространственный аналог известной задачи Римана—Гильберта [36] для системы Моисила—Теодореску (2). С помощью двумерного интеграла типа Коши с непрерывной по Гельдеру плотностью А. В. Бицадзе установил однозначную разрешимость этой задачи.

В общем случае произвольной матрицы В £ СМ(М2), 0 < [I < 1, фредгольмовость задачи (2), (3) в классе функций, граничные значения которых принадлежат р > 2//х, аналогичным методом была доказана В. И. Шевченко [58].

В статье Е. И. Оболашвили [38] задача (3) исследована для полупространства .0 (жз > 0) по отношению к обобщенной системе Моисила— Теодореску где щ(х) - скалярная функция, и(х) = {и^щ^и^) - вектор-функция, А = (аьа2> а»), С = (С1,С2, сз) - заданные вектор-функции. В случае А = С = 0 эта система является системой Моисила—Теодореску. Если щ = аз = сз = 0 и и не зависит от жз, то (4) будет обобщенной системой Коши—Римана [15]. По отношению к задаче (4), (3) вектор д(х) = («1,^2, Щ, щ), удовлетворяющий системе (4) и исчезающий на бес

В{у)и+(у) =/(у), уев,

3) сНу и + Аи = 0, grad щ + гоИ7 + [£/, С] + щА = 0, (4) конечности, единственным образом определяется через граничные значения его любых двух компонент класса С^(ВиЗ) на плоскости 5" (,тз = 0). В этой работе также отмечено, что если область I) ограничена замкнутой гладкой поверхностью <9, то вектор д, удовлетворяющий системе (4) в этой области, уже не определится единственным образом через краевые значения его любых двух компонент на границе б1.

В статье Э. Н. Сатторова [48] рассмотрена задача восстановления решений системы (4) по их значениям на куске границы. С помощью метода матрицы Карлемана построено приближенное решение этой задачи.

Следует отметить, что в отличие от систем (2) и (4), в общем классе аналогов системы Коши—Римана краевые задачи изучены достаточно мало. В связи с этим, в работе А. Т. Усса [54] рассмотрены вопросы о фредгольмовости и индексе задачи Римана—Гильберта для произвольной обобщенной системы Коши—Римана в Ё3. В частности, здесь показано, что индекс этой задачи для односвязной области равен минус единице. Ранее этот факт для системы Моисила—Теодореску был установлен В.И.Шевченко [58]. Для соответствующей системы в М4 задача Римана—Гильберта не является фредгольмовой [54, 55].

Целыо данной работы является получение нового интегрального представления решений системы Моисила—Теодореску в ограниченной области. Это представление позволяет исследовать задачи типа Римана—Гильберта для рассматриваемой системы и построить новые аналоги известных краевых задач теории аналитических функций.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул. Теоремы и леммы нумеруются двумя цифрами, первая из которых указывает на номер параграфа, а вторая I на номер теоремы (леммы) внутри параграфа.

В первой главе исследуется вопрос фредгольмовости задачи (2), (3) в ограниченной области D С R3. Важность этого вопроса состоит в том, что эта задача может оказаться нефредгольмовой [33, 39, 62]. Это значит, что в общем случае не выполняются альтернативы Фредгольма о разрешимости задачи. Из классической теории краевых задач для эллиптических систем первого порядка следует, что критерием фредгольмовости рассматриваемой задачи является условие дополнительности которое также называют условием Шапиро—Лопатинского [33, 39, 62, 68].

В параграфе 1.1 первой главы рассматривается условие дополнительности задачи (2), (3), которое состоит в следующем. Пусть £ = £(у) - касательный, а п — п(у) - нормальный векторы к поверхности S в точке у. Обозначим через т^ корни характеристического полинома d(£,n,z) = detM(£ + zn) с положительной мнимой частью и пусть z) - произведение сомножителей z — z^, где и пробегает множество корней т* взятых с учетом кратности. Пусть далее М*(г}) означает матрицу, присоединенную к матрице M{rj). В этих терминах условие дополнительности формулируется так: для каждого вектора Л = (Ai,A2) соотношение АВМ*(£ + zn) = 0 mod (d+) влечет А = 0.

В соответствии с условием дополнительности можно привести примеры краевых задач [59], для которых это условие всегда выполнено или может нарушаться. Простейшим из них является классическая задача Римана— Гильберта для системы Коши—Римана в области D С М2 с границей 8D — Г где а, Ь, / - заданные функции. Эта задача исследована при довольно общих предположениях не только для системы Коши—Римана, но и для ди dv ди dv О, Щ£) = системы с младшими членами, и всегда фредгольмова [15]. Естественным аналогом этой задачи для трехмерного (система Моисила—Теодореску) и четырехмерного

6 -6 \ б ех 6 б и 6 -6 -6 & & ) обобщений системы Коши—Римана является задача отыскания регулярного в области решения, удовлетворяющего на границе условию (3). Задача Римана—Гильберта для системы N4 = 0 не удовлетворяет условию Шапиро—Лопатине кого для любой матрицы В [17, 52].

В случае ограниченной области условие дополнительности задачи (2), (3) в общем случае, может нарушаться. Более того, как показано в работе Е.И.Оболашвили [38], задача (2), (3) с постоянной матрицей В, один из миноров которой всюду отличен от нуля, сильно недоопределена.

В параграфе 1.2 исследован вопрос о том, как в терминах матрицы В из (3) описать условие дополнительности задачи (2), (3) в ограниченной области В С К3. Для этого рассмотрим вектор б = (51, 62,5з), где

8! = ЪП + ЬМ, = б13 - б24, 53 = Ь1А + б23, и Ькэ = ВцсВъэ — В^В2к означают соответствующие миноры матрицы В. Следуя В. И. Шевченко [58], вектор б называют вектором условия (3). По отношению к этому вектору справедливы следующие утверждения [77].

Лемма 1.1. Для заданной матрицы В ранга два вектор 5 отличен от нуля в каждой точке у € в.

Теорема 1.1. Условие дополнительности задачи (2), (3) выполнено тогда и только тогда, когда скалярное произведение вп ^ 0 всюду на поверхности Б.

Из этой теоремы, в частности следует, что для постоянной матрицы В краевого условия (3) условие дополнительности заведомо нарушено, что соответствует результатам, полученным Е. И. Оболашвили [38]. При этом, в случае полупространства > 0 неравенство вп ф О сводится к ¿з ф 0, что согласуется с результатом В. И. Шевченко [58].

В общем случае ограниченной поверхности Б как правило ни один из миноров 6У матрицы В не может быть всюду отличен от нуля, если зп ф 0. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Введем функцию 1 < г < 3 < 4, со значениями £12 = £34 = 1, £13 = £24 = 2, £и = £2з = 3. Обозначим ОС (в) - класс непрерывных функций, всюду отличных от нуля, которые сохраняют постоянный знак на поверхности 5.

Лемма 1.2. Если минор Ъгпринадлежит СС(б') и к = е^, то найдется такая функция А е ОС (Б), что Хвк — + |з|2 е СС(5).

Следующая теорема показывает, что если матрица В удовлетворяет условию дополнительности, то вопрос о принадлежности классу СС(5") одного из ее миноров зависит от геометрической структуры поверхности 5. Рассмотрим на этой поверхности для заданного номера к = 1,2,3 открытое множество = {?/| ± Пк{у) > 0}, где Пк(у) -компоненты вектора единичной внешней нормали в точке у € Б.

Теорема 1.2. Пусть матрица В удовлетворяет условию дополнительности и для заданного номера к = 1,2,3, и каждого знака одна из компонент множества (обозначим ее Б±) односвязна и ограничена гладким контуром дЗ±, касательная к которому не выходит в направление оси Хк■ Тогда при е^ — к минор матрицы В принимает на Б значения разных знаков.

Пусть £ является гладкой границей области И С Ж3. В параграфе

1.3 дана постановка задачи, сопряженной к задаче Римана—Гильберта Ьи=Ъ в(у)и(у) = ¡(у), у е 8, (5) где Ь = М(д/дх)} вектор-функции / б Р е С»(5) [78].

Будем говорить, что в замкнутой области £ с!3 непрерывно дифференцируемая функция ср Е Сг'м(£), 0 < < 1, если (р,<р' Е См(£), где </?' означает любую из частных производных этой функции.

В дальнейшем предполагается, что Б является поверхностью Ляпунова и принадлежит классу С1'". Последнее означает, что для любой точки й Е 5 существует гомеоморфное отображение у — 7(2) = (-ух, 72(¿), 7з(£)) единичного круга В = {£ Е К2, < 1} на некоторую окрестность этой точки, которое принадлежит классу С1^{В) и ранг матрицы Якоби (2>у)(£) равен двум в каждой точке.

Классический результат общей теории эллиптических уравнений для задачи (5) в классах Гельдера состоит в следующем [37, 47].

Теорема 1.3. Пусть <£> Е С1^ и В Е С1^(3), так что оператор задачи (5) ограничен —» х Тогда фредгольмовостъ этого оператора равносильна тому, что матрица В удовлетворяет условию дополнительности.

Рассматривая сопряженный по Лагранжу оператор Ь* — —МТ(д/дх)) для любых вектор-функций и, у 6 С1 (И) имеем соотношение

Ьи)у - и(Ь*у) = -§-[{Мки)у) = КМ*тг/)] , где выражения в квадратных скобках означают обычное скалярное произведение двух четырехкомпонентных векторов. Тогда, по формуле Грина справедливо тождество

Ьи, у) о - (и, и у) о = (и, Мт{п)у)3. (6)

10 где (•, ■) означает скалярное произведение, соответственно, в пространствах вектор-функций Ь2(£)) и Ь2(3). Соотношение (6) позволяет определить слабое решение и Е Ь2{Б) уравнения Ьи = Т7 с правой частью Р Е которое должно удовлетворять равенству = (.Р, и)£>, для любой функции V Е V, обращающейся в нуль на в. Известно [37, 62], что в случае Р £ любое слабое решение и является классическим и принадлежит классу С1^{К) на каждом компакте К С I).

Постановка сопряженной к (5) задачи зависит от возможности выбора такой 2x4- матрицы В* Е 6^(5), что ортогональна матрица

В = в И #21 в?

14

24

73* #14

7)

21 ••• #24/

С учетом (7) для скалярного произведения векторов р, д 6 I4 можно записать рд = (Вр)(Вд) = (#р)(#д) + (#*р)(#*</). Применительно к векторам р = ии д = Мт(п)у в правой части тождества (6), имеем

- (и,Ь*у)в = {Ви,ВМт(п)у)3+ {В*и,В*Мт(п)у)3

В соответствии с этим функция и Е Ь2(0) есть слабое решение задачи (5), если

Р, - (гг, Г^д = (/, Мт(п)и)5, (8) для любой функции у Е С1 (И), удовлетворяющей краевому условию

В*Мт(п)у\3 = 0. (9)

В общем случае произвольной поверхности в дополнить В до ортогональной матрицы (7) не всегда удается. Следующая лемма показывает, что это построение можно всегда осуществить локально (с сохранением гладкости матрицы В).

Лемма 1.3. Пусть Е есть множество всех матриц В Е М2х4; строки которых образуют пару ортонормалъных векторов и Е^, 1 < 2 < 3 < 4, состоит из матриц В € Е, у которых г—ый иу—ый столбцы линейно независимы. Тогда существует такое гладкое отображение 1г : Ец —> Е, что для В Е Еу матрица (7) с В* = НВ ортогональна.

Из этой леммы следует, что каждая точка поверхности 3 обладает такой ее открытой окрестностью С С что существует матрица В* Е С'(С), для которой матрица (7) ортогональна в каждой точке При этом если В Е или В Е С1'11 (С), то и В* принадлежит соответствующему классу. В соответствии с этим понятие слабого решения и Е £2(1)), принимающего краевое условие только на С, естественно ввести с помощью тождества (8), где функция V Е С1 (О) обращается в нуль на £> \ С, а на С удовлетворяет краевому условию (9), т. е.

В*МТ(п)у\0 = 0, у\зхс = 0.

При этом справедлив следующий результат о локальной гладкости вплоть до границы [37, 62].

Теорема 1.4. Пусть в Е С1-^, В Е и выполнено условие дополнительности. Пусть множество С С 5 открыто и матрица В* Е такова, что матрица (7) ортогональна на С. Тогда любое слабое решение и Е Ь2(0), принимающее на С краевое условие Ви|с = д с правой частью д Е С^С), принадлежит С^(К) на любом компакте К С Б, для которого К П 5 С О. Если дополнительно В Е С],1Х(3) и д Е С^С), тоиЕ С1*{К).

В соответствии с леммой 1.3 рассмотрим открытое покрытие поверхности 3 множествами Сх,., Сп, так, чтобы для любого i существовала матрица Е С(Сг), дополняющая В до ортогональной матрицы В{ на всем С,. На основании теоремы 1.4 справедливо утверждение.

Теорема 1.5. Пусть S G Cl,lL, В G Cfl(S), выполнено условие дополнительности и аналогичное условие rang [Z?jM(£ + in)] = 2 всюду на Gj, 1 < j < п. Тогда любое слабое решение и G L2(D) задачи (5) с правыми частями F G Cl±{D), f G См(5) м любое решение v G C(D) П C1(D) однородной сопряженной задачи принадлежат классу С>1(П). Если В, / е С1,/х(5')? то и и,у £ С1'11 (И).

Применительно к слабым решениям теорема 1.3 допускает следующий аналог [37, 47].

Теорема 1.6. В условиях теоремы 1.5 однородная задача (5) и однородная сопряженная задача (10) имеют конечное число линейно независимых решений, соответственно, иу\,. у^ С

С^{р). Неоднородная задача (5) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности

При этом разность к — к' равна индексу оператора теоремы 1.3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полунин, Виктор Александрович, 2011 год

1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Успехи матем. наук. - 1964. - Т. 19. - Выпуск 3(117). - С. 53-161.

2. Байкой В. А. О граничных свойствах и особых множествах регулярных кватерниониых функций: дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МОПИ, 1969.

3. Балабаев В. Е. Кватериионный аналог системы Коши—Римана, в четырехмерном комплексном пространстве и некоторые его приложения// ДАН СССР. 1974. - Т. 214, №3. - С. 489-491.

4. Балабаев В. Е. Комплексные эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, №5. - С. 818-832.

5. Балабаев В. Е. Об одной системе уравнений в октавах в восьмимерном евклидовом пространстве// Фунд. и прикл. матем. 1995. - Т. 1, №2. - С. 517-523.

6. Балабаев В. Е. Канонические эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, №4. - С. 628-637.

7. Балабаев В.Е. Нормальные эллиптические системы первого порядка// Дифференц. уравнения. 1995. - Т. 31, №1. - С. 71-83.

8. Березанский Ю. М. Пространства с негативной нормой// Успехи ма-тем. наук. 1963. Т. 18. - Выпуск 1(109). - С. 63-96.

9. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова Думка, 1965.

10. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

11. Бицадзе A.B. Пространственный аналог интеграла типа Коши и некоторые его приложения// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1953. - Т. 17, №6. - С. 525-538.

12. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972.

13. Бицадзе A.B. О двумерных интегралах типа Коши// Сообгц. АН Груз. ССР. 1955, Т. 16, №3. - С. 177-184.

14. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

15. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959.

16. Виноградов В. С. Исследование граничных задач для эллиптических систем первого порядка: дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МИАН, 1972.

17. Виноградов B.C. Об одной эллиптической системе, не имеющей нетеровых граничных задач// ДАН СССР. 1971. - Т. 199, №5. -С. 1008-1010.

18. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Матем. сборник. 1951. Т. 29(71), №3. - С. 615-676.

19. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

20. Волевич JI. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Матем. сборник. 1965. Т. 68(110), №3. - С. 373-416.

21. Дезин А. А. Инвариантные дифференциальные операторы и граничные задачи// Труды МИАН СССР. 1962. - Т.68. - С. 3-88.

22. Дезин A.A. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

23. Дезин А. А. Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990.

24. Джураев А. Метод сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1987.

25. Джураев А. О формулах Гильберта для систем Моисила—Теодореску// ДАН Тадж. ССР. 1977. - Т. 20, №10. - С. 3-5.

26. Джураев А. О задаче Коши для неоднородных систем Коши—Рима-на// ДАН СССР. 1991. - Т. 319, №6. - С. 1292-1296.

27. Егоров Ю. В. Лекции по уравнениям с частными производными. -М.: Наука, 1985.

28. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984.

29. Кошелев А. И. Априорные оценки и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем// Успехи матем. наук. 1958. - Т. 13. -Выпуск 4(82). - С. 26-88.

30. Кристалинский Р. X. Регулярные кватернионные функции и их обобщения: дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МОПИ, 1967.

31. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М.: Наука, 1967.

32. Лопатипский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям// Укр. мат. журн. 1953. -Т. 5, №2. - С. 123-151.

33. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач. Киев: Наук, думка, 1984.

34. Маврычев Ю.С. О комплексной группе Лоренца// Изв. высш. уч. заведений. Физика. 1972. - Т.2. - С. 57-59.

35. Миранда К. Уравнения с частными производными из эллиптического типа. М.: ИЛ, 1957.

36. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Физматгиз, 1962.

37. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.

38. Оболашвили Е. И. Пространственные обобщенные голоморфные векторы// Дифференц. уравнения. 1975. - Т. 28, №4. - С. 108-115.

39. Петровский И. Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными// Успехи матем. наук. 1946. - Т. 1. - Выпуск 3-4(13-14). - С. 44-70.

40. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными.- М.: Физматгиз, 1961.

41. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости обобщенных решений вплоть до границы// ДАН СССР. 1964. - Т. 157, №4. - С. 798-801.

42. Ройтберг Я. А. Теоремы о гомеоморфизме и формула Грина для общих эллиптических граничных задач с граничными условиями, не являющимися нормальными// Матем. сборник. 1970. - Т. 83(125), №2(10). - С. 181-213.

43. Ройтберг Я. А. О значениях на границе области обобщенных решений элиптических уравнений// Матем. сборник. 1971. - Т. 86(128), №2(10). - С. 248-267.

44. Ройтберг Я. А. Теорема о полноте изоморфизма для эллиптических систем Дуглиса-Ниреиберга// Укр. матем. журн. 1975. - Т. 27, №4.- С. 544-548.

45. Ройтберг Я. А. О существовании граничных значений обобщенных решений эллиптических уравнений// Сиб. матем. журн. 1979. - Т. 20. - С. 386-396.

46. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Формула Грина и теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем// Успехи матем. наук. 1967.- Т. 22. Выпуск 5(137). - С. 181-182.

47. Ройтберг Я. А., Шефтель З.Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем и ее приложения// Матем. сборник. 1969. - Т. 78(120), №3. - С. 446-472.

48. Сатторов Э. Н. О восстановлении решений обобщенной системы Мо-исила—Теодореску в пространственной области по их значениям на куске границы// Изв. вузов. Метематика. 2011. - №1. - С. 72-84.

49. Солдатов А. П. Граничные свойства интегралов типа Коши// Дифферент уравнения. 1990. - Т. 26, №1. - С. 131-136.

50. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа, 1991.

51. Солдатов А. П. Элементы функционального анализа и теории функций. Белгород: Изд-во БелГУ, 2005.

52. Соломяк М. 3. О линейных эллиптических системах первого порядка// ДАН СССР. 1963. - Т. 150, №1. - С. 48-51.

53. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Дуглиса—Ниренберга// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. - Т. 28, №3. - С. 665-706.

54. Усс А. Т. Краевая задача Римана—Гильберта для трехмерных аналогов системы Коши—Римана// Докл. Нац. АН Беларуси. 2003. -Т. 47, №6. - С. 10-15.

55. Усс А. Т. О краевых задачах для четырехмерных аналогов системы Коши—Римана с действительными коэффициентами// Докл. Нац. АН Беларуси. 2003. - Т. 47, №5. - С. 5-8.

56. Хермандер JT. О регулярности решений граничных задач// Математика. 1960. - Т. 4, №4. - С. 37-73.

57. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Т.1. М.: Наука, 1988.

58. Шевченко В. И. Об одной краевой задаче для вектора, голоморфного в полупространстве// ДАН СССР. 1964. - Т. 154, №2. - С. 276-278.

59. Янушаускас А. И. Методы теории потенциала в теории эллиптических уравнений. Вильнюс: Мокслас, 1990.

60. Agmon S. The approach to the Dirichlet problem// I. Ann. Scoula Norm. Sup. Pisa. 1959. - V. 13. - P. 405-448.

61. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems// Van Nostrand Mathematical Studies, Princeton New Jarsey-Toronto-New York-London, 1965.

62. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// II. Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17. - P. 35-92.

63. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions// I. Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 12. - P. 623-727.

64. Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems// Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1959. - V. 45. - P. 365372.

65. Browder F. E. A priori estimates for solutions of elliptic boundary value problems// I, II, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetenschap. 1960. - V. 22.- P. 145-159, 160-196; III, Indag. Math. 1961. - V. 23 P. 404-410.

66. Hormander L. Linear partial differential operators// Springer, BerlinGottingen-Heidelberg, 1963.

67. Moisil Gr.C., Theodoresco N. Fonctions holomorphes dan l'espace// Mathematica. 1931. - V. 5. - P. 142-153.

68. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions// Math, and its appl. 1996, Kluwer acad. publishers.

69. Schechter M. Integral inequalities for partial differential operators and functions satisfying general boundary conditions// Comm. Pure Appl. Math. 1959. - V. 12. - P. 37-66.

70. Schechter M. Negative norms and boundary problems// Ann. Of Math.- 1960. V. 72. - P. 581-593.

71. Schechter M. A local regularity theorem// J. Math. Mech. -1961. V. 10. - P. 279-287.

72. Полунин В. А. Граничные свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, №1. - С. 47-53.

73. Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши// Дифференц. уравнения. 2011. - Т. 47, №3. - С. 366-375.

74. Полунин В. А., Солдатов А. П. Задача Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску в ограниченной области// Неклассические уравнения математической физики. Сб. науч. работ. Новосибирск: Изд-во ин-та математики. - 2010. - С. 192-201.

75. Полунин В. А., Солдатов А. П. Об условии Шапиро—Лопатинского в задаче Римапа—Гильберта для эллиптической системы первого порядка// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2010. -№17(88). - Выпуск 20. - С. 91-100.

76. Полунин В. А., Солдатов А. П. О сопряженной задаче Римана—Гильберта для системы Моисила—Теодореску// Научные ведомости Бел-ГУ. Математика. Физика. 2011. - №5(100). - Выпуск 22. - С. 106-111.

77. Полунин В. А. Солдатов А. П. Об интегральном представлении решений системы Моисила—Теодореску// Междунар. конф., поев. 110-ой годовщине со дня рожд. И. Г. Петровского. М.: Изд-во МГУ. -2011. - С. 308-309.

78. Полунин В. А., Солдатов А. П. Трехмерный аналог интеграла типа Коши с непрерывной по Гельдеру плотностью// Научные ведомости БелГУ. Математика. Физика. 2008. - №13(53). - Выпуск 15. - С. 95103.

79. Полунин В. А. Обобщенный интеграл типа Коши системы Моисила—Теодореску// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. - Т. 11, №1. - С. 56-60.