Сингулярные граничные задачи сопряжения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Усманов Нурулло

• Усманов Нурулло
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Усманов Нурулло

Введение.1-57.

Гл^ва I. Сингулярные случаи граничных задач српряжения аналитических функций.57-164.

§ 1. Сингулярные случаи краевой задачи Римана.57-64.

§2. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае.65-69.

§3. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае.70-77.

§4. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярностью в граничном условии.77-85.

§5. Общая граничная задача в случае, когда коэффициенты и свободный член имеют особенности различных типов.86-89.

§6. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае.89-94.

§7. Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием.95-122.

§8. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.123-146.

§9. Обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.147-154.

§10. Некоторые другие сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными.155-164.

Глава II. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.165-236.

§1. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений элиптического типа.188-207.

§2. Сингулярные лучаи краевой задачи Римана-Газемана.207-217.

§3. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.218-227.

§4. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций.227-236.

Глава III. О задачах сопряжения гармонических функций в сингулярном случае.237-280.

§1. Сингулярные случаи задач сопряжения гармонических функций.244-248.

§2. Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных производных.248-267.

§3. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости.268-271.

§4. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости.272-280.

Глава IV. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярных случаях.281-299.

§1. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае.284-288.

§2. Обобщенное характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае.288-299.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярные граничные задачи сопряжения»

При 66-5 <Ооднородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2|a9-sl вещественных или \8e-s\ комплекс1н.1х условий. .V Пусть В задаче (/J,J а(/) имеет nyjm, т.е. с/(/) = ["[(/-<^„)'' а,(/), L окружность |г| = 1, с/ДО-непрерывна Л(/)-ограничена и измерима. с(/)е /.-,. /1ля задачи (Л,) снравсл.'нии! слелуюпшя w ^ ^ Теорема 1.7. Пусть ЬЛО < 1. Кроме того b{t) и c{t) ч Chit) в окрестности точек t = TJ(J =\,2,...,J)uMewm производные порядка d, удовлетворяющие тем Dice условиям, что и функции b{t) и c{t), Тогда при 8е>0 однородная задача (А^)имеет 2зе линейно независимых решении, а неоднородная безусловно разрешима.При se<Q однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе\ вещественных или \де\ комплексных условий \r'e[c,it)\it = Q, к = ох...,\ве\ L где в - линейный оператор.В §5 исследуется общая граничная задача (А) в случае, когда коэффициенты o{t), b{r)vi свободный член с(/) имеют особенности различщлх типов. . В диссертации.рассмотрены следующие комбинации особенностей: • I. (/(/•), /?(/)обращаются в нуль, c{t) обрами1егся в бесконечность.Ч' '^ф 2. a{t), 6(0 имеют разрывы первого рода, c{t) обращается в бесконечность, 3. a(t), /?(/) обращаются в нуль, с(/) имеет разрыв первого рода.Опишем лишь один случай, когда нули и бесконечности коэффициентов имеют порядок не выше единицы.Будем искать решения в классе функций, обращающихся в бесконечность порядка меньше единицы в некоторых точках контура.Очевидно, что если коэффициенты <7(/), /?(/) ограничен и в некоторой точках, то для того чтобы имелось решение в классе интегрируемых на контуре функций, c{t) должна, обращается в бесконечность порядка ниже первого. Если же a{t), b(t) обращаются в бесконечность высших порядков то разность порядков может иметь вещественную часть меньшую единицы.В §6 исследуется обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае.При исследовании более общей задачи Л.Г.Михайловым было установлено, что требование //(/) = «,(/>:/. (/)-/?,(/)/?,(/) 5t о является условием нормальной разрешимости этой -задачи. ¥ V * 4 В постановке краевой задачи (Л )^ мы требуем, чтобы коэффициенты а,(/), a,{t), bfit), b,(t) в отдельных точках контура обращались в нуль или бесконечность целых порядков.Также рассматривается случай, когда коэффициенты обращаются в бесконечность любого порядка т.е. a-,(t} = \t-to\^' Jf{t), Ьг (О = к - 'оГ ^ 2 (О, где >" '^ О, 0^" некоторые точки контура.В §7 исследуются задачи сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярными граничными условиями.Пусть D* многосвязная область в плоскости комплексного переменного, ограниченная контуром L, состоящим из непересекающихся контуров Ляпунова Z-o,!,,...,£„,, причем контур L^ содержит внутри себя все остальные, и точка z^ принадлежит D*.Дополнение до всей плоскости Е к D* = D^ + L обозначим через D'.В §8 исследуется задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.Мы проведем исследование задачи {А„) в сингулярном случае.Если коэффициенты b„(t)u Z?^/)удовлетворяют неравенству max МО ^''ЛО max МО j"(/K(/) КЛ... <1 (0.9) то число I и р находятся точно.Теорема 1.14. Пусть L-окружность \t\ = \, а*(0, b„{t), c{t), b^{t)&H{L), bi^{t) = {)(kQ,\,...,n-\), c{t) в окрестности точки /„ имеет производные порядка d, удовлетворяющие условию Гельдера и выполнено условие (0.9). Тогда при 8е-п>0 однородная задача, безусловно, разрешима.При 83-n<Qоднородная задача не имеет решений отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно •Щ выполнение2\ве-п\ вещественных условий.В §9 исследуется обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае.Что же касается полюсов коэффициента b„{t), то они влияют на разрешимость задачи независимо от своего вида.Отметим, что мы не рассматриваем нули коэффициента b^{t), так как они не влияют на условие нормальной разрешимости задачи.Вторая глава диссертации, состоящая из четырёх параграфов, посвящена исследованию сингулярных случаев задач обобщенных аналитических функций.Система (0.13) является непосредственным обобщением системы Коши Римана, а функция щг) = и + 1д называется обобщенной аналитической функцией. Функции v^ /(z) во многом оказывается подобной аналитической функции комплексного переменного. Устанавливается непосредственная связь У(г) с аналитическими функциями и переносится целый ряд основных теорем теории аналитических • функций.Все эти результаты для системы (0.13) даны И.Н.Векуа [11].В работе И.Н.Векуа [11] рассматривается также граничная задача типа задачи Гильберта: найти решения системы (0.13) Uiz) = U + iV, которых на границе области удовлетворяют краевому условию (0.11).О возможности постановки задачи типа задачи Римана для системы (0.13) в работах И.Н.Векуа не упоминается. А между тем эта краевая задача имеет как с принципиальной точки зрения, так и с точки зрения приложения такой же интерес, как и задача Гильберта. Известно, что обычная задача Римана (так мы .будем называть задачу Римана для аналитических функций) применяется в плоской теории упругости. Так например, к ней непосредственно сводится первая граничная задача для плоскости с прямолинейными щелями.Л.Г.Михайловым даны постановка и решение задачи Римана для Ф системы (0.13). KopoiKo .{плачу можно с(1)ормулмро1ит. следующим обра'юм: * * ^ / Найти решение системы (0.13) внутри контура и решение системы вне контура при условии, что на самом контуре их предельные значения связаны соотношением: U\t) = G(t)U-iO+8{0' (0.14) Эта задача является естественным обобщением обычной задачи Римана.4 ё В §1 второй главы исследуются сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений эллиптического типа.С/ЧО-С?(0^/-(0 + я(0,где .Анализ решений, исчезающих на бесконечности, приводит к следующим выводам: 1) Приг-5-^>0, решение содержит se-s-cj произвольных постоянных.2) При r-s-q = 0 , решение единственно.3) При r-s-q<0, решение существует только если выполнены |г - 5 - 1^ дополнительных условия jMl^V/ = 0, k = 0,\,2,.-,\x-s-q\-l, (0.17) Также рассмотрен случай, когда коэффициент обращается в нуль или бесконечность любого порядка (даже модульного характера).Исходя из формулы (0.20), проведем анализ решений, исчезающих на бесконечности.Из проведенного исследования получаем следующий вывод относительно решений, исчезающих на бесконечности.Если дв-/п2>0, то общее решение неоднородной задачи Римана ^' даётся формулой (/(z) = ;if(z)[K ,^_^ z) + W^ (z)J и содержит 2(ое-ш.) произвольных веществе1И1ых постоянных.При ae-nij = О решение единственно.В §2 второй главы исследуются сингулярные случаи краевой задачи Римана-Газемана. Задача ставится следующим образом. Пусть дан простой замкнутый гладкий контур и на нем краевое условие U'[a{t)]=Git)U-{t) + git), (0.25) где относительно G(t),g{t) принимаются те же предположения, что и в обычной задаче Римана, а функция «(/) подчинен условиям: 1) «(/) отображает контур L в себя с сохранениями направления обхода. 2) «(/) имеет производную «'(/), отличную от нуля всюду на L и удовлетворяющую условию Гельдера.Из этих условий следует, что функция /?(/), обратная к a(t), обладает ' теми же свойствами, что a(t).Найти кусочно-регулярное рещение уравнения ^ = A{z)U, (0.26) oz имеющее конечный порядок на бесконечности, по краевому условию (0.25).Пусть /у, = m - г,, //, = /7 - г, ( т, п -целые числа), О < Re v, < 1, 0<Rev, <1.Решение дается формулой y{z) = x{^) р v,{z) + Vi^) (0.28) где V,{z) = V{z)x{z), Viz) = Х;'л F(2) Из (0.28) получаем вывод относительно решений, исчезающих на бесконечности.Если ое-/7>0, то неоднородная задача Римана-Газемана имеет решение, содержащее (ее-п) произвольных вещественных постоянных.Если зе-п = 0, решение единственно.При де-1г<0 задача имеет решение тогда и только тогда, когда выполняются |се-л1-|ус;ювия |ч^(/)/*с//= 0, к = 0,\,2,...,\де-п\-1, где • / . • Ч'(попределенная функция. ч w •' I 0 #> В §3 второй главы исследуется сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций.1*. Ус;ювия на классы коэффициентов и решения: ' a,h,c,(J; ti,ii\,ii\ eC{D'),Ati = C(D').2*. Условия на бесконечное ги: ii.h.cul = (>{г ): 11^.ч " ( / ' • ) . г - > /./• ^ л " ^y' .<•:>(). ¥ Щ'' ч 3*. Требования к граничным условиям: все компоненты (0.32) удовлетворяют условию Гельдера (т.е принадлежит классу С„ {L)).В §2 третей главы исследуется следующая задача wit ^кК+РкК =к-'оГ//1(0^+|^-/оГп"; +Г1,, к = ],2 м;(оо),м;(со) = о (0.35) где л - некоторое комплексное число.Требования к граничным условиям: все компоненты (0.38) удовлетворяют условию Гельдера (класса C„(L)), кроме того « t 'A ^Мк^^к^Пк в точке / = /•„ дифференцируемы достаточно числа раз.МО я, (О sp = — \-—-ат. т • т-Z Тогда при се>0 однородная задача имеет 2ве линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима. При аэ=0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При se<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для Щ ^ , разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\ээ\ вещественных или \де\ комплексных условий \f''Q[4>2(0\it = 0 , к = \,2,-,2\se\ и ^-линейный оператор.Теорема 3.4. Пусть pa-vfi, va-{.ip&H{L) и выполнено условие эллиптичности.Тогда при де-т>0 однородная задача имеет 2(se-m) линейно независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима.При де-т = 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При se-m<0 однородная задача не и.меет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2|аэ-А7?| вещественных или \де-т\ комплексных условий.Приступим к исследованию задачи (0.38), когда ;/а -vJ3 = va- РР >0, где p,a,v,p G H{L) .Тогда справедливо Теорема 3.5. Пусть в задаче (0.38) или (0.41) ве^= fiu{,o(t) + lnd,h(t), ее^_-lnd^a{t)-[ml,b{t), 39= lnd,a{t),66/+ ав2=2ае, I- число решение однородной задачи, р - число условий разрешимоспт неоднородной.Тогда картинка разреит.мости имеет вид: I. Если аэ,< 0.двг <о то / = О. /,' = 2\де-2\: Ч' 2. Еслиэе,<(К se2>0m()/^ де, Ч. />-^г. |oej|-7; # щ ф^ у 3. Еслиее^<о, зег>Ото i = 2se+2, р = 0; 4. Если а9,>0, 882 <о то разрешимость определяется из системы \зе\-1 уравнений с £6,+! неизвестными.Различаются два случая: 1. дв > -1 , тогда р = 0 и вообще говоря, 1 = 283+2, но в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные зависимости между a{t), h{t), I- молсет быть больше, любим из неравенства 2де+2< /? < аЭг +1; 2. 8е<-\. Тогда в общем случае 1 = 0, р=2зе-2, но в указанных специальных случаях I и р могут быть больше любых из неравенств 0</<бе,+1 u-2ae-2<p<\adi |-1. '' Аналогичная теорема имеет место для задачи (0.42), В §3 третей главы исследуется различные нодслучаи задачи сопряжения гармонических функций в сингулярном случае. Цель этого парграфа в получение более точных теорем в тех или иных подслучаях.В §4 третей главы исследуется задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости.Щ ^ Необходимое и достаточное условие разрешимости неоднородной задачи имеет следующий вид: jit - i)-'e[c{t)]dt = 0, k = 1,2,...,-аэ.Четвертая глава диссертации, состоящая из двух параграфов, посвящена исследованию характеристического особого интегрального ypaBHeinie в сингулярном случае.Обратно, если функция 0(z) есть некоторое исчезающее на бесконечности решение задачи Римана (0.49) то по первой из формул Сохоцкого мы вычислим функцию ф(0=Ф^(1)- Ф'(0 во всех точках / G L.Но это означает, что функция Ф(г) является решением задачи о скачке, исчезающим на бесконечности, и потому единственным образом представима в виде интеграла типа Коши вида (0.46), для которого, наряду с формулой (0.47) справедлива и вторая формула Сохоцкого |р^ ^ (0.48). Выразив Ф (^1) и Ф'(t) через ф(1) и главное значение интеграла, подставим их в краевое условие (0.49) и убедимся, что функция ф(1) является решением уравнения (0.45).Очевидно, интеграл типа Коши равен тождественно нулю вне линии интегрирования тогда и только тогда, когда его плoт^юcть есть нуль тождественный. Поэтому линейно-независимым решением задачи (0.49) и убедимся, что функция ф(1) является решением уравнения (0.45) и наоборот.Теорема 4.1. Характеристическое сингулярное уравнение (0.45) и краевая задача FHAUHUI (0.49) эквивалентны .ме.исду собой в то.м смысле, чнн) Ka.vc()o.\iy pcuicnuio урас^нснию (445) соотссннчнсуст по (j)op.\n\ic f ' ^ (0.46) исчезающее на бесконечности решение задачи (0.49) того лее класса и обратно, каждому исчезающему на бесконечности решению задачи (0.49) формула (0.47) ставит в соответствие решение уравнения (0.45) того лее класса. При этом линейно-независимых решениям уравнения соответствует линейно-независимые решение краевой задачи и наоборот.Ф. Д. Гаховым в [17] даётся в сущности полная теория уравнения (0.45) в предположении, что функции a(t)-b(t) и a(t)+b(t) имеют на контуре нули соответственно в точках ai, a2i, ... , ajn и Pi, Рг,---, Pn РпЦелых порядков и, следовательно, представимы в виде * я(')-6(') = П('-о.)""'-('). ^ a(t) + bit) = Yl{t-fijfs{t), где r(t) и s(t) нигде не обращается в нуль. Все «,, Pj предполагаются различными.Решение уравнения (0.45) при бе-п>0, линейно зависит от ее-п произвольных постоянных. Если а9-п<0, то решение существует ;и1шь при выполиспии п-се специальных условий разрсишмости, иaлaгae^ н>IX на свободный член Г(1) и вытекающих из ус;ювий разрсишмости соответствующей эгому случаю задачи Римана.Мы преследуем цель исследования задачи (0.52), а тем самым уравнения (0.51), в сингулярных случаях, когда коэффициегггы имеют nyjui или полярные особенности произвольного стеиенпого типа любого заданного порядка и любой неаналитической структуры.Здесь мы рассмотрим задачу с коэффициентом такого вида щ щ 55' Пусть tti, a2,Pi, Р2 непрерывны и c(t)sL^{L).Теорема 4,2. Если A/(t)* A2(t)>0, то при ве>0 уравнение (0.51) разрешимо и однородное имеет 2зе линейно независимых решений; при 8е<0 однородное имеет только нулевое решение, а для разрешимости неоднородного необходимо и достаточно выполнение 2\дЭ\ условий ортогональности.Теорема 4.3.. Пусть aj, a2,fii, Р2 непрерывны и c{t) G U{L), р>1.Краевое условия (0.56) принимает вид it-t,ya^it)(p;{t)+(t-t,rb,it)(p;it) = = «3 (0Г'>; (О + 63 (0^ "-"*" / " > ; (О + (^ - 0^ )>, (О. и так нами получена регулярная задача, изученная в [49]. ^

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Усманов Нурулло, 2004 год

1. Абдуллоев P. Об условии разрешимости однородной задачи Римана на замкнутых римановых поверхностях, ДАН СССР тЛ52,№6,1963, 1279-1281.

2. Абдуллоев Р. Однородная задача Римана на замкнутых римановых поверхностях, ДАН СССР 160,№5,1965, 983-985.

3. Алексеев А.Д. Об особом интегральном уравнении на контуре из класса КДАН СССР 1 3 6 , № 6 , 1961,525-528.

4. Аржанов Г.В. О нелинейной краевой задаче типа задаче типа Римана, ДАН СССР 1 3 2 , № 6 1960,1227-1230. * 5. Аржанов Г.В.О нелинейной краевой задаче типа задачи Римана, Сиб. Матем. Ж.2,№4, 1961,481-504.

5. Батырев А.В. Приближённое решение задачи Римана-Привалова,УМН 11, вып 5,1956, 71-76.

6. Беркович Ф.Д. Конишкова Е.М. Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечым индексом, сообщ. Рост. Науч. Матем. Об-ва, Ростов-на-Дону, 1968,158-164.

7. Боярский Б.В. Об обобн1е1нюй граничной задаче Гильберта, сообш.АН Грузн. ССР 25, №4, 1960. 385-390.

8. Боярский Б.В, Об ОДНО!! граничной задаче гсорпи функции ДАН CCC'IM 19, №3, 1958, 19u.2()2.

9. Векуа И.Н, Новые методы решения элитических управлений, Гостехиздат, 1948. • ' 11. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции, М:Физматгиз,1959.

10. Векуа Н.П, системы сингулярнных интегральных управлений , «Наука», 1970.

11. Векуа И.Н, О сингулярных линейн'ых интегральных управлениях, ДАН СССР26,№8, 1940,335-338.

12. Векуа И.Н, Системы дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек. Математический сборн. т.31. вып 2,1951 стр. 217-314

13. Векуа И.Н, Об одной граничной задаче Римана,тр. Тбил. Мат.ин-та АН Груз.ССР 1942,109-139.

14. Владимиров В.С.Задача линейного сопрежения для голоморфных функций, Изв.АН СССР, сер матем. 29, №4 1965, 807-834.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. Наука Москва 1977,

16. Гахов Ф.Д. О краевой задаче Римана, Матем, сб.2(44), №4, 1937, 673-683. •

17. Гахов Ф.Д. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральн>1е уравнения, Докторская диссертация, Тбилиси 1941. 20!. Гахов Ф.Д. Об обратных краевых задачах, ДАН СССР 86, №4, 1952,649-652. #

18. Гахов Ф.Д. О новых типах интегральных управлений, разрешимых в замктутой форме,сб «Проблемы механ. снлош. Среды, издательство АН Ф^ ' СССР, 1961,102-114. 19. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче, обобщающей краевую задачу Римана, ДАН СССР, 181, №2 1968 271-274.

20. Гахов Ф.Д. О нелинейной краевой задаче с допустимыми нулями на контурсДАН СССР 210, №6, 1973, 21-24.

21. Гахов Ф.Д. Чибрикова Л.И. О некоторых типах сингулярных интегральных уравнений, разрешаемых в замкнутой форме, Матем. Сб. 35, №3 1954, 395-436.

22. Гахов Ф.Д. Чибрикова Л.И. О краевой задаче Римана для случая пересекающихся контуров уч. Зап. Казан. 113. №10 1953, 107-110. * 26. Говоров Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом, ДАН СССР, 154, №6,1964, 1247-1249.

23. Говоров Н.В. Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степеного порядка. ДАН СССР 182, №4 1968, 750-753.

24. Говоров Н.В. Краевые задача Римана с бесконечным индексом, Докторская диссертация, Харьков 1968. Ф' 31. Зверович Э.И. Литвинчук Г.С. Односторонные краевые задачи теории аналитических функции. Изв. АН СССР, сер матем. 28, №5, 1964, 1003-1036.

25. Зверович Э.И.'Чернецкий В.А. Краевая задачи Карлемана ria римановой поверхностях краем. Укр. Матем.. 22, №5, 1970, 591-599.

26. Иванов В.В. Приблинённое решение особых интегральных управлений, ДАН СССР 110,№1, 1956, 15-18.

27. Квеселева. Д .А Решение одной граничной задачи теории функций, ДАНСССР 53 ,№8,1946,683-686.

28. Квеселева. Д.А Задача. Римана-Гильберта для многосвязной области, Сообщ.А,Н Груз. ССР 6,№8, 1945, 581-590

29. Литвинчук.Г.С. Теория. Нётеры системых сингулярных ,^ интегральных уравнений со сдвигом. Карлемана и комплексно С(>11рижсит.1\и1 пе1г?иссги1>ь\п1. П'^.АИ. СССР.ссрмагсм. 3L№3, 1967,563-^<UK}2,N-(\ l^»6S,1414-l4r/ « 30. Литвинчук.ГС. Об одной задача обобшающей краевую задачу. Карлемана, ДАН, СССР 139,№2, 1961,290-293. Ф^ 40. Литвинчук.К теории краевых задач со сдвигом Карлемана ДАН. УССР,серА, №11,1967,1019-1022

31. Литвинчук. Г . С, Нечаев . А, П . К теории обобщённой краевой задачи Карлемана , ДАН. СССР 189,№1,' 1969,38-41

32. Литвинчук. Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдивигом М.Наука,1977.

33. Михайлов . Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальными уравнениям с сингулярными коффициентами. Душанбе. 1963.

34. Михаилов.Л.Г. Предельные значения аналитической функции, *^ представленной криволинейным интегралом. Уч. Зап.Тад. ун-та, 1952, 32-35

35. Михайлов. Л. Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического типа.Уч.зап. Тадж. ун-та. 1957,32-79

36. Михайлов. Л.Г Обшая краевая задачи о бесконечно малых изгибаниях склеенных поверхностей. Известия высншх учебных заведений, математика №518,1960,99-109.

37. Михаилов.Л.Г Первая краевая задача для эллиптического уравнения с ситулярн1.1\П1 коэффициентами. /1,окл АН. '1адж. СССР . Т.}, «

38. Михайлов Л.Г. Обшая граничная задача линейного сопряжения.Изв. АН. Тадж,ССР. Сер геол-хим и тех-наук.вып 3(5) 1961. 3-24. Ф' 49. Михайлов. Л. Г. Об одной граничной задача линейного сопряжения. Докл. А. Н Тадж.ССР. т. 4, №2, 1961 11-14.

39. Михайлов. Л.Г. К теории обшей граничной задачи линейного сопряжения, Докл. А, Н. Тадж. ССР, т.4, 1961 3-7.

40. Михайлов. Л.Г. Об одной граничной задаче линейного сопряжения, ДАН СССР, т. 139, №2, 1961,294-297.

41. Михайлов Л Г Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами, ДАН СССР, т. 139, №3, 1961, 552-555.

42. Михайлов Л.Г. Краевая задача типа задачи Римана для систем дифференциальных уравнений первого порядка эллиптического * типа и некоторые интегральные уравнения. Учёные записки. Труды физика-математического факулытета. 1957. 23-78.

43. Михайлов. Л. Г. О задачах сопряжения гармонических функций. ДАН Тадж. ССР, 1980, т. 23,№4, 171-174.

44. Мусхелишвили. Н. И. Сингулярные интегральные уравнения, « Наука», 1968. Ф' 58. Манджавидзе. Г. Ф. Ободной системе сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами, Соб. А. Н. Грузинской ССР т. И №6, 1950

45. Никольский Задача сбпряжения гармонических функции в многом'ерном пространстве СМ. Изв. А. Н СССР сер мат.1959. т 23 №5. с 280-290.

46. Сабитов И X. Об одной граничной задаче линейного сопряжения, Матем, Сб. 64, №2, 1964, 262-274.

47. Собитов. ИХ. Об общей краевой задаче линейного сопряжения на окружности, Сибматем.ж.5, №1, 1964 124-129. *• 62. Самко С Г. О разрешимости в замкнутой форме сингулярных интегральных уравнение, ДАН СССР.189, №3 1969,483-485.

48. Самко С Г. Общее сингулярное уравнение в исклучительном случае, Дифференц. ур-ния т.1, №8, 1965 1108-1116. 64." Симоненко И. Б. Краевая задача Риманка с непрерывным коэффициентом, ДАН. СССР 124,№2 1959 278-281

49. Симоненко И. Б. Краевая задачи Римана с измеримым коэффициентом. ДАН СССР 135, №3, 1980, 538-541.

50. Симоненка И. Б. Краевая задача Римана для пар функций с пзмсримы\т к())ффи1и1стом11 и сё приммпснмс к исследоиамко сингулярных интегралов в пространства с весами Изв. А. щ, Н. СССР, сер. Матем. 28, №2, 1964,277-306.

51. Усманов Н. Об одной краевой задача теории аналитических функций с производной в краевом условии. ДАН. Тадж ССР, т, 1968,7-10

52. Усманов Н. Особые случеи краевой задачи с производной на окружности. ДАН Тадж. Т. 7, №5, 1974,12-16

53. Усманов Н. Особые случеи краевой задачи сопряжения аналитических функций с производными, ДАН Тадж ССР, т, №7, 1974,7-11.

54. Усманов Н. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в особом случае. ДАН Тадж. ССР, т,№10, 1974,7-11.

55. Усманов. Н Особые случаи граничной задачи лилейного сопряжения в параболическом случае ДАН. Тадж. ССР, 1977, т,№7. 11-14.

56. Усманов Н. Об одной краевой задаче теорий аналитических функций с рациональными коэффициентами. Молодых учёных Таджикской ССР, Душанбе 1974,40-41.

57. Усманов Н Обобщённое характеристическое сингулярное интегральное уравнение - в особом случае. Изв АН Тадж. ССР. Отд. Физ-мат и геологический наук. 1978, №1. 11-19.

58. Усманов Н. О задачах сопряжения гармонических функций с сингулярными граничными условиями. Тезисы республиканской научной конференции по уравнениям математической физики. Душанбе 1983, 39-40.

59. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения гармонических функций с производными до второго порядка. Тезисы докладов школы - семинара. Актуальные вопросы комплексного анализа. Ташкент 1989, 123

60. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом с сингулярным граничным условием ДАН Тадж, СССР, 1984, т. XXVII, №1, 14-18.

61. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций. ДАН Тадж. ССР, 1991. т. XXXIV, №4, 216-220.

62. Усманов Н. О Задачах сопряжения гармонических функций разрешаемых в замкнутой норме. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения,П991, 129-134.

63. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для т \ обобщенных аналитических функции. Дифференциальные и А i интегральные уравнения и их приложения.'''! 991. 135-142.

64. Усманов Н. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости. ДАН Тадж. ССР, 1992, е. XXXV, №5-6, 237-240.

65. Усманов Н., Бойматов К. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости, разрешимые в явном виде. Материалы Республиканской научно-практической конференции молодых ученных и специалистов Таджикистана. Курган-Тюбе. 1991, 129-132.

66. Усманов Н. Сингулярные случаи задачи сопряжения гармонических функций с производными второго порядка включительно. Тезисы докладов республиканской научной конференции «дифференциальные уравнения и их приложения» Куляб. 1991, 162-163

67. Усманов Н. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций для круга. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения (сборник научных трудов) выпуск 2, Душанбе 1994, 66-69.

68. Усманов Н. Исследование характеристического сингулярного интегрального уравнения с разрывными коэффициентами и для разомкнутых контуров. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения, выпуск 4, Душанбе 1996, 92-95.

69. Усманов Н. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений эллиптического типа. ДАН РТ, 1996, т. XXXIX, №9-10, 69-74

70. Усманов Н. Краевая задача Римана для кусочка аналитического вектора в сингулярном случае. Международная конференция. Дифференциальные уравнения и их приложения. Душанбе 1998, 91-92.

71. Усмнов Н., Муминов А. Об одной краевой задаче сопряжения гармонических функций и ее особый случай. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 7. Душанбе 1998, 85-89. ш

72. Усманов Н. Общая граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами в параболическом случае. Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Выпуск 6, Душанбе 1998, 110-114.

73. Усманов Н. Обобш;енная граничная задача линейного сопряжения с разрывными коэффициентами и с разомкнутыми контурами. Вестник педагогического университета, №5. 1999, 89-94. »

74. Усманов Н., Караев X. Общая квазилинейная граничная задача линейного - сопряжения с сингулярным граничным условием. Вестник педагогического университета Душанбе 1999, №7, 56-58. ЯР

75. Усманов Н., Караев X. Об одной граничной задаче гармонических функций. Тезисы докладов Республиканской научно-практичес-кой конференции и «Технический прогресс и производство» посвященное 1100-летию государству Саманидов, Душанбе 1999, 63-65.

76. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения III международной конференции по математическому моделированию. Тезисы докладов. Якутск 2001, 52-53. (Россия)

77. Михайлов Л. Г., Усманов Н. Сингулярные краевые задачи сопряжения ДАНР 2002. т. 387, №3, 309-313. (Россия)

78. Усманов Н. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения. Мат. Заметки. Якутск 2001, т. 8 выпуск 2, (Россия).

79. Хведелидзе Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тбил. Матем. Ин-та АН Груз. ССР XXIII, 1956, 3-158.

80. Черский Л. И. К решению краевой задачи Римана в классе обобщенных функций ДАН СССР 125, №3, 1959, 500-503.

81. Чибрикова Л. И. Особые случаи обобщенной задачи Римана, Уч. Зал Казанск. ук-та 112, №10, 1992, 129-154.

82. Чибрикова Л. И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Издательство казанского университета, 1972.

83. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Уч-зал. Казанск ун-та I 13, №10, 1952,57-105.