Краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Чернова Ольга Викторовна

• Чернова Ольга Викторовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Чернова Ольга Викторовна

Введение

Глава 1. Эллиптические системы

1. Эллиптические системы первого порядка

2. Функции, аналитические по Дуглису

3. Одномерные сингулярные операторы

4. Обобщенный оператор Векуа—Помпейю

Глава 2. Краевые задачи

5. Задача Римана—Гильберта в конечной области

6. Задача Римана—Гильберта в бесконечной области

7. Задача линейного сопряжения

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для эллиптических систем первого порядка на плоскости»

Введение

Особый интерес к краевым задачам для эллиптических систем первого порядка на плоскости основан на том, что такие задачи достаточно часто встречаются в приложениях.

Самой первой по праву работой по изучению эллиптических задач в областях с угловыми точками считается работа И. Радона [36]. Для случая плоской области с угловыми точками на границе им был применен метод решения уравнений с частными производными путем сведения краевой задачи (Неймана и Дирихле) для оператора Лапласа к интегральным уравнениям на границе области. Впоследствии предложенный метод нашел широкое применение в различных направлениях: в краевых задачах теории функций [21], плоской теории упругости [27], общей теории эллиптических задач [26].

Во второй половине XX-го века теория краевых задач для эллиптических уравнений была изучена в работах многих математиков: М. С. Аграновича, М. И. Вишика [2], И. А. Бикчантаева [4], [5], В. С. Виноградова [11]—[13], М. И. Вишика [14], [15], Л. Р. Волевича [16], А. И. Вольперта [17], [18], С. А. Назарова, Б. А. Пламеневского [32], И. Г. Петровского [35], Я. A. Ройтберга [38], Я. A. Ройтберга, З. Г. Шефтеля [39], [40], В. А. Солонникова [45], Р. С. Сакса [41], S. Agmon [60], [61], S.Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg [63], L. Bers, А. John, M. Schechter [67], F. Browder [69], [70], R. P. Gilbert, J. L. Buchanan [77], L. Hormander [81], Ya. A. Roitberg [86]-[89], M. Schechter [90]-[95] и многих других.

В последние годы прошлого века усилился интерес к решению эллиптических краевых задач путем редукции их к сингулярным уравнениям на границе [28]. Известны два классических способа: метод потенциала и теоретико-функциональный метод. В работах [78], [30] были получены фундаментальные результаты по решению общих эллиптических задач методом потенциала. Отметим работу Я. Б. Лопатинского [26] как одну из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точ-

кой. Им были рассмотрены краевые задачи с постоянными коэффициентами. Используя метод потенциала им были получены условия нормальной разрешимости краевой задачи в пространствах функций, все производные до порядка п включительно которых непрерывны. В дальнейшем метод потенциала для эллиптических систем высокого порядка на плоскости был развит в работах [62], [73], для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами в работе [74].

Классический теоретико-функциональный метод восходит к трудам А. Пуанкаре, Л. В. Гильберта, Т. Карлемана, И. И. Привалова. Основываясь на представлении решений эллиптических уравнений через аналитические функции, он позволяет свести исследование исходной задачи к исследованию краевых задач теории функций. В середине прошлого века И. Н. Векуа в своей работе [9] был развит теоретико-функциональный метод для эллиптических уравнений на плоскости с вещественно аналитическими коэффициентами, для эллиптических систем с постоянными старшими коэффициентами данный метод получил развитие в работах А. В. Бицадзе [6], а также в работах Р.С. Сакса [42] и Н. Е. Тов-масяна [56]. Важные результаты для общих эллиптических задач на плоскости методом, близким к теоретико-функциональному, получены А. И. Вольпертом [18]. Отметим также, что обширный класс краевых задач в областях с кусочно-гладкой границей для аналитических функций допускает прямое эффективное исследование [10], [19], [31] классическим теоретико-функциональным методом. Существенным затруднением является наличие угловых точек границы, так как в указанном представлении кроме самой аналитической функции участвуют и ее производные. Большое число работ, посвященных изучению общих краевых задач в областях с особенностями на границе типа угловой или конической точки, опубликовали В. Г. Мазья [28] и С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский [32]. Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах М. И. Вишика [15], R. Beals [64], M. Schechter [95].

В современной теории эллиптических краевых задач важное место зани-

мает проблема постановки фредгольмовых краевых задач для общих эллиптических систем. Эта проблема была поставлена еще в 60-х годах прошлого века в монографии А. В. Бицадзе [6]. Отметим, что в представлении А. В. Бицадзе решений эллиптических систем наряду с аналитическими функциями участвуют и ее производные до некоторого порядка. Немного позже А. П. Солдатову [45] удалось существенно упростить это представление, заменив аналитические функции решениями канонических эллиптических систем 1-го порядка

дф _ Здф = 0

ду дх '

где все собственные значения Л постоянной матрицы J € С1х1 лежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть. Как показано А. Ду-глисом [72], все элементы теории аналитических функций распространяются и на решения этой системы. Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласса. Аналогичные свойства выявлены в работах Н. А. Жу-ра [22] и для систем, эллиптических по Дуглису - Ниренбергу, а также для систем, гиперболических по Лере и Петровскому. В этом направлении можно также отметить работу В. А. Солонникова [55]. Краевая задача для общих эллиптических систем с переменными коэффициентами в ограниченной области с кусочно-гладкой границей рассматривалась в работе М. М. Сиражудинова [44], в которой получена формула индекса и приведены условия фредгольмовости.

Задача о нахождении голоморфной функции в ограниченной области И, которая удовлетворяет условию: значение неизвестной функции в точке у границы области дИ связано со значением в каждой точке 0.(у), 0,дВ ^ дИ-гладкое невырожденное преобразование, = у, где у € дИ была рассмотрена Т.

Саг1ешап [71] в 1932 г. Эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом.

Теория эллиптических систем первого порядка для случая I = 2 получи-

ла законченный вид в трудах И. Н. Векуа [10] и Л. Берса [68] и известна под названием теории обобщенных аналитических функций. Дальнейшее распространение: I > 2, проявилось в работах Б. В. Боярского [7], Р. Гилберта [75], Р. Гилберта, Г. Хилла [76] и др.

Одной из основных краевых задач аналитических функций является краевая задача Римана-Гильберта. Первая ее постановка для аналитических функций исторически принадлежит Б. Риману [37]. В 1857 г. он сформулировал задачу следующим образом: найти аналитическую в области И функцию по известному соотношению между действительной и мнимой частями на границе области, но не указал способов ее решения.

Полное решение этой задачи в односвязной области, при условии что действительная и мнимая части и и V удовлетворяют на границе условию

Ие((а — г@ )(и + IV)) = аи + (Зу =

где а2 + Р2 = 1 дал Д. Гильберт [80]. В связи с этим данную задачу стали называть задачей Римана-Гильберта. Впервые в 1907 г. И. Племель [84] применил к краевой задаче Римана-Гильберта интеграл типа Коши. Такой подход оказался настолько удачным, что и в настоящее время интеграл типа Коши является основным средством для исследования и решения краевых задач.

Уже к концу 50-х годов прошлого века в работах И.Н. Векуа [10], Ф. Д. Гахова [19], Н. И. Мусхелешвили [31] изучение этой задачи было завершено. В монографии И. Н. Векуа [10] данная проблема рассматривалась для обобщенных аналитических функций и для некоторого класса эллиптических систем двух уравнений. Задача Римана-Гильберта тесно связана с задачей линейного сопряжения, постановка которой также восходит к Б. Риману.

Позже работы многих математиков [7], [11-13], [18] были направлены на обобщение задачи на общие эллиптические системы 2п уравнений первого порядка. Так Б. Боярским [7] изучается краевая задача для аналитических функций в многосвязных областях, которые являются решением одной эллип-

тической системы специального вида. В трудах В. С. Виноградова [11-13] и А. И. Вольперта [17] изучены краевые задачи в односвязных областях для общих эллиптических систем, получена формула индекса и установлена фредгольмо-вость. Краевые задачи в односвязной области для однородной эллиптической системы с действительными коэффициентами, порядки производных в краевых условиях которых меньше порядка системы, изучены А. И. Вольпертом [18].

Много интересных результатов для эллиптических систем первого порядка с постоянными коэффициентами были получены Б. Боярский [7], W. Wendland [97], R. P. Gilbert, J. L. Buchanan [77] и др. Впервые краевую задачу типа Гильберта для аналитических функций с краевым условием, содержащим производные рассмотрел Ф. Д. Гахов в [19]. К этой задаче приводятся многие задачи теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны, а также задачи безмоментной теории оболочек.

Законченные результаты по краевым задачам для общих эллиптических систем с постоянными коэффициентами получены в работах А. П. Солдатова [46], [47], [50], [52]. Так в [52] изучена краевая задача для эллиптических систем с постоянными матричными коэффициентами, которая охватывает широкий круг локальных и нелокальных краевых задач и предложен метод эквивалентной редукции этой задачи к системе граничных уравнений. Рассмотрения проводились в пространствах с весом для областей с кусочно-гладкой границей. В работе была получена формула индекса задачи, описана асимптотика ее решений в окрестности угловых точек и установлен критерий фредгольмовости.

Новый подход к задачам такого рода, которые опирается на априорные оценки был разработан в работе В. А. Кондратьева [24]. Далее на этом направлении В. А. Кондратьевым и О. А. Олейник [25] получены законченные результаты: сформулированы условия, необходимые и достаточные для фред-гольмовости. Отметим также, что аналогичные задачи для более общих классов эллиптических псевдодифференциальных операторов были рассмотрены в работах Г. И. Эскина [59] и В. Б. Васильева [98], [99].

Целью данной работы является установление новых интегральных представлений и доказательство фредгольмовой разрешимости краевых задач для эллиптических систем первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами.

Апробация работы. Результаты представленной диссертации, по мере их получения, докладывались и обсуждались в рамках устных докладов на научно-исследовательском семинаре «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» под руководством А. П. Солдатова и В. Б. Васильева при Белгородском государственном национальном исследовательском университете (2008-2018 гг) и математическом семинаре НИУ «БелГУ» (рук. Васильев В.Б., Мейрманов А.М., Ситник С.М.) в 2019 г.

Наиболее значимые результаты диссертационной работы докладывались на III и V Школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус), которые проводились, соответственно, в 2005 и 2007 гг., в ходе Воронежской зимней математической школы «Современные методы теорий функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), на VII и VIII школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики», которые проводились, соответственно, в рамках Российско-Абхазского (Нальчик-Эльбрус, 2009) и Российско-Болгарского (Нальчик-Хабез, 2010) сипозиумов; на международной заочной научно-практической конференции «Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика» (Воронеж, 2015); на VI Международной научно-практической заочной конференции «Актуальные проблемы и перспективы преподавания математики» (Курск, 2016). Также результаты диссертации были представлены на III Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук» (Орел, 2017), Международной научной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна ВЗМШ - 2018» (Воронеж, 2018), IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики» (Наль-

чик, Приэльбрусье, п. Терскол, 2018), VII Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» (Белгород, 2018), Международной молодежной научно-практической конференции «Школа молодых ученых: достижения в области науки и техники» (Воронеж, 2018), IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук» (Орел, 2018), XVII Всероссийской молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения-2018» (Казань, 2018) и на V-ой международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2018).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [98]-[120]. Публикации [101], [103], [107], [112], [115], [120] выполнены в изданиях из перечня ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов. Публикации [101], [103], [105], [107], [108], [110], [115] выполнены совместно с научным руководителем А. П. Солдатовым. Здесь научному руководителю принадлежит постановка задач и выбор методик исследования, а соискателю — реализация указанных методик.

Перейдем к изложению содержания диссертации, которая состоит из двух глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул. Они нумеруются двумя позициями: первая указывает на номер параграфа, а вторая на порядковый номер внутри параграфа.

Во введении приведен краткий исторический обзор по теме диссертации, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель диссертационной работы, апробация работы, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, описывается ее структура и кратко излагается содержание основных результатов.

Первая глава диссертации содержит предварительные сведения, касающиеся эллиптических систем первого порядка, функций, аналитических по Дуглису, одномерных сингулярных интегралов и обобщенного интеграла Ве-

куа-Помпейю.

В первом параграфе в области И комплексной плоскости С переменной х = х + г у рассматривается система I линейных дифференциальных уравнений первого порядка

ди (г) ди (г)

Л1~дх + А2~^Т + ^ (^ + Ь^)и (г) = Е (г), геВ,

где коэффициенты при старших членах - постоянные матрицы Л1, Л2 € С1х1, а I х /—матричные коэффициенты а,Ь € С (О). Решением этой системы является комплексная /—вектор-функция и = (и,...,и1) класса С 1(0).

По определению система эллиптична, если для каждого ненулевого вектора £ = (£ъ &) € К2, выполнено условие + £2Л2) = 0, тогда матрица Л = -Л—1Л1 не имеет вещественных собственных значений и предыдущую систему всегда можно представить в эквивалентном виде

ди ди —

ди — Лди + аи + Ьи = К (0.1)

д д х

Пусть ¿1 и 12 число собственных значений матрицы Л системы (0.1) (с учетом кратности), лежащих, соответственно, в верхней и нижней полуплоскостях, при этом I = ¿1 + 12. Множество всех собственных значений можно записать в виде

0 = 01 и 02, аг С {Л, 1т Л > 0}, г = 1, 2,

где черта означает комплексное сопряжение.

С помощью подходящей обратимой линейной подстановки систему (0.1) всегда можно преобразовать к каноническому виду, т.е. к аналогичной системе, в которой все собственные значения матрицы системы лежат в верхней полуплоскости. В основе этого преобразования лежит следующее предложение

Лемма 1.1. (а) Существуют такие обратимые I х I матрицы В, 3 блочной структуры

/ Вц В12 \ ( З1 0 ,

в = I 11 в12 ) , 3 = ( 1 I , (0.2)

В21 В 22 \ 0 32

где В^ е , е Сг*хг*, г,] = 1, 2, что

- - /л 0 .

В—1 ЛБ = .7, 3 = | _ | , (0.3)

\ 0 3 2

причем матрица Зг записана в жордановой форме и ее диагональные элементы составляют множество а{.

(Ь) Если матрица А вещественна, то 11 = 12 и, следовательно, число I—четно. Множества а1 и а2 совпадают, так как с каждым комплексным корнем есть комплексно сопряженный той же кратности, а матрицы В и 3 можно подчинить условиям 31 = 32, В,ь1 = В^2.

Опираясь на второе утверждение этой леммы, в случае вещественной матрицы А общая эллиптическая система (0.1) принимает вид

^ — А™ + аи = р, (0.4)

ду ох

с вещественными 21x21 матричными коэффициентами А, а и 2/—компонентными вещественными векторами и и В. Кроме того, согласно лемме 1.1.(Ь) в соотношениях (0.2), (0.3) можно положить

В = | В1 В! | =(В,В), где В е С21х1

в2 В 2

3 = | 3 0 | , к = В—12В = (2^, 2¥),

0 3

(0.5)

где матрица 3 е С1х1 записана в жордановой форме и ее диагональные элементы составляют множество и собственных значений матрицы, лежащих в верхней полуплоскости.

Основным результатом это параграфа является доказательство теорем о сведении общей комплексной эллиптической системы (0.1) и общей вещественной эллиптической системы (0.4) к эквивалентной эллиптической системе, записанной в каноническом виде.

Теорема 1.1. В обозначениях (0.2) подстановка В—1и = (ф1,ф2), или в блочной записи, подстановка

иг = Вцф1 + В,2ф2, 1 = 1, 2,

преобразует систему (0.1) к эквивалентной системе

д ф( ) д ф( )

— + Ф)ф(г) + 3(г)ф(г) = ^ (г), (0.6)

д д х

где I х I—матричные коэффициенты имеют вид

С= I СИ ^2 I (1= С12

(21 С22 I \ С21 (22

Теорема 1.2. В обозначениях (0.5) подстановка ф = 2В—1и = (ф, ф), или в блочной записи, подстановка

иг = ЯеВгф, 1 = 1, 2,

преобразует систему (0.4) к эквивалентной системе (0.6) с 1х1— матричными коэффициентами

с = сь11, ( = а12,

где

~ ^ 1 ^ / а11 а12 а = В аВ = I

\ а21 а22

есть 21 х 21—комплекснозначная матрица.

Второй параграф посвящен основным понятиям для функций, аналитических по Дуглису. Если в системе (0.6) положить с = ( = Рс = 0 и I = 1-[, 12 = 0, то получим простейшую эллиптическую систему

ду 3дх 0, (0 7)

где все собственные значения Л матрицы 3 € С1х1 лежат в верхней полуплоскости, т.е. имеют положительную мнимую часть. Решением системы является

/—вектор-функция ф(г) = (ф1(г),... ,ф1 (г)). Именное название системы оправдано, так как в предположении тёплицевой матрицы 3 [23] она впервые в 1953 г. была изучена Авроном Дуглисом [72] в рамках так называемых гиперкомплексных чисел. В дальнейшем это направление развивалось И. Хорватц [82], Б. Боярским [7], Р. Гилбертом [76], [77], Д. Хайлом [79], Х. Бегером [65], [66] и др.

В общем случае в системе (0.7) матрицу 3 можно выбрать с точностью до

подобия и подчинить различным дополнительным требованиям. Например, 3

можно считать жордановой матрицей, или, более общим образом, треугольной

матрицей. В случае скалярной матрицы 3 = Л получим систему

дф_ хдф = 0 ду дх '

представляющую при 3 = г аналог системы Коши-Римана, когда роль мнимой единицы играет матрица 3, собственные значения которой лежат в верхней полуплоскости.

По этой причине /—вектор-функция ф(х) = (ф1(г),... ,ф1 (г)) е С 1(Л) называется аналитической по Дуглису, если она удовлетворяет уравнению (0.7). Иногда, чтобы подчеркнуть зависимость от матрицы ,/, решения этой системы называют также </—аналитическими функциями. Их рассматриваем в области И, ограниченной гладким контуром Г, который может быть составным и предполагается ориентированным положительно по отношению к области И, т.е. движение по Г в выбранном направлении оставляет область И слева. Саму область И называем конечной, если она лежит внутри некоторого круга и бесконечной, если она содержит внешность некоторого круга.

Основные сведения, касающиеся системы Дуглиса (0.7) подробно изложены в [53]. Здесь мы укажем лишь те из них, которые основаны на аналогах теоремы и формулы Коши для решений этих систем.

Для этого с каждым комплексным числом х+гу е С свяжем I х /—матрицу

ZJ = х • 1 + у • х,у е К,

собственными значениями которой служат числа = % + Ау, где Л € и(3), а через 1 обозначена единичная матрица. В частности, при х = 0 эта матрица обратима.

Аналогом интегральной теоремы Коши для 3—аналитической в конечной области В вектор-функции ф(г) € С (В) является равенство

dzJ ф(х) = 0.

Здесь (I х I)— матричный дифференциал dzJ, определяемый аналогично zJ, действует на /—вектор ф(х) обычным образом и потому поставлен впереди. Это равенство является очевидным следствием системы (0.7) и формулы Грина.

Аналогом интегральной формулы Коши является обобщенная интегральная формула Коши

1

* ) =

(г — X)—1<1Ь:!ф(г), г € В.

Из этих теорем как и в классической теории выводится, что в окрестности каждой точки г0 € В функция ф раскладывается в равномерно сходящийся обобщенный ряд Тейлора

*) = £ к*"к) дкф

кГ у 0у' г дхк'

к=0

Если область В бесконечна, то формула Коши сохраняет свою силу при дополнительном предположении ф(г) ^ 0 при £ ^ то (в этом случае говорят, что функция ф исчезает на бесконечности). При этом имеет место разложение в равномерно сходящийся обобщенный степенной ряд

1

*)=Е Ск^, Ск = к<-1

Гл к—Чь ф(1),

в окрестности бесконечности.

Граничные свойства в классах Гельдера интеграла типа Коши

(т* )= 1

2т

г € Д

г-х

определяющего аналитическую в В функцию, хорошо известны.

Напомним, что функция р удовлетворяет условию Гельдера с показателем д, 0 < д < 1, на некотором множестве Е комплексной плоскости, если существует такая постоянная С > 0, что г\) — г2)1 < С|г1 — для любых г1, х2 € Е. Наименьшая постоянная С в этой оценке совпадает с полунормой

(гг) — ^

м = йир

г I I,, '

где верхняя грань берется по точкам € Е. Класс ограниченных функций, удовлетворяющих этому условию, обозначается См(Е), относительно нормы

м = эир 1^(г)1 + [ р]^

Е

он является банаховым пространством [54]. Заметим, что элементы р этого пространства продолжаются до функций р € С^(Е) с сохранением См— норм, так что множество Е всегда можно считать замкнутым.

Отметим, что семейство банаховых пространств См(Е) монотонно убывает по д в смысле вложений, причем в случае ограниченного множества Е вложение С"(Е) С С^(Е) при д < V компактно. Если Е является замкнутой областью В, то можно ввести пространство С1,И(В) непрерывно дифференцируемых в И функций, которые вместе со своими частными производными принадлежат С V (В).

В соответствии с обобщенной формулой Коши можно ввести обобщенный интеграл типа Коши

1

(=

2т

(г — х)—1<Им(г), г € В, (0.8)

с произвольной /—вектор-функцией = ... ,^1^)) € С (Г) и матрич-

ным дифференциалом &7 = & 1 + .1<И2. Этот интеграл определяет функцию, 3—аналитическую вне кривой Г. С ним также связан обобщенный сингулярный интеграл

1 Г

(3,7(р)(и) = — (I — to)-JldtJiр(t), и € Г, жг

который понимается обычным образом в смысле главного значения по Коши.

Для этих интегралов справедлив результат [50], аналогичный классическому случаю. Единственное отличие состоит в том, что на контур Г необходимо наложить дополнительное условие гладкости. Обозначим е(1) = е1^) + ге2(Ь) единичный касательный вектор к Г в точек , направление которого согласовано с ориентацией контура. Его можно рассматривать как непрерывную функцию на Г. По определению Г называют ляпуновским контуром, если эта функция удовлетворяет условию Гельдера. Более точно, этот контур принадлежит классу С1,1/, если функция е(Ь) € Су(Г), 0 < V < 1.

Теорема 2.1. Пусть область И С С ограничена гладким контуром Г € С1,и, ориентированным положительно по отношению к И. Тогда для вектор-функции (р({) из класса СИ(Г), 0 < ^ < и < 1, функция (1}^)(г), аналитическая по Дуглису, непрерывно продолжима на границу Г = дИ области И, и оператор I} ограничен СИ(Г) ^ СИ(Б). При этом для граничных значений (этой функции справедливы формулы Сохоцкого-Племеля

2( = фо) + SJ^(to) и € Г.

Если контур Г, ориентирован отрицательно по отношению к И, то в первом слагаемом выше указанного равенства следует поставить знак минус.

В завершении параграфа приведена теорема о представлении функций, аналитических по Дуглису, обобщенными интегралами типа Коши с вещественной плотностью. Эта теорема является аналогом известной теоремы Н. И. Му-схелишвили о представлении аналитических функций, удовлетворяющих условию Гельдера в замкнутой области, интегралами типа Коши с вещественной плотностью [31].

Теорема 2.2. (а) Пусть область И конечна и контур Г состоит из простых контуров Г1,..., Гт, где для определенности последний контур охватывает все остальные. Тогда любая 3 —аналитическая в И функция ф0(г) €

CM(D) единственным образом представима в виде

ф°(г) = ( I^)(z) + i ^

с вещественным I—вектором £ £ R и некоторой вещественной I—вектор-функцией if(t) £ СМ(Г), удовлетворяющей условиям

<p(t)dit = 0, 1 <i<m — 1,

Г

где d\t—элемент длины дуги.

(b) Пусть область D бесконечна и контур Г состоит из простых контуров Г,..., Гт. Тогда любая J —аналитическая в D функция ф°(г) £ C^(D), исчезающая на бесконечности, единственным образом представима в виде

ф0М = (Шг),

с некоторой вещественной I—вектор-функцией ф(t) £ СИ(Г), удовлетворяющей условиям

<p(t)dit = 0, 1 <i<m.

Г

Третий параграф посвящен одномерным сингулярным операторам. Напомним [34], что оператор N, ограниченный в банаховых пространствах X ^ Y, фредгольмов, если подпространство {х £ X, Nx = 0}, называемое его ядром kerN, конечномерно, образ imN = N(X) замкнут в Y и фактор-пространство Y/im N, называемое его коядром coker N, также конечномерно. Удобно для краткости размерности dim(kerN) и dim(cokerN) обозначать, соответственно, dim N и codim N.

Целое число ind N = dim N — codim N называется индексом оператора N. Коядро coker N = Y/imN часто отождествляется с ядром ker N * сопряженного оператора N *.

Исходя из I х /—матриц-функций а,Ь € С^(Г), рассмотрим сингулярный оператор

2 N = а(1 + 3) + Ь(1 — 3) + 2Щ, (0.9)

где

(Я ^ о) = -жг

го € Г

г — г о

простейший сингулярный оператор на ориентированном контуре Г, который понимается в смысле главного значения по Коши, а и Ь понимаются как операторы умножения р ^ а(р, оператор N0 компактен в пространстве С^(Г), 1 означает единичный оператор. По определению N принадлежит к нормальному типу, если матрицы-функции а и Ь обратимы, т.е. det а(1) = 0 для всех € Г и аналогичным свойством обладает . Приведем результаты классической теории сингулярных уравнений [31].

Теорема 3.2. Пусть матрицы-функции а,Ь € С"(Г) и оператор N0 компактен в пространстве СИ(Г). Тогда оператор (0.9) фредгольмов в пространстве СИ(Г) тогда и только тогда, когда матрицы а, Ь обратимы и его индекс дается формулой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чернова Ольга Викторовна, 2019 год

Литература

1. Абаполова Е. А., Солдатов А. П. К теории сингулярных интегральных уравнений на гладком контуре / Е. А. Абаполова, А. П. Солдатов // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. — 2010. — № 5 (76), вып. 18. — C. 6-20.

2. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида / М. С. Агранович, М. И. Вишек // Успехи матем. наук. — 1964. - Т. 19, № 3(117). — С. 53-157.

3. Александров А. В., Солдатов А. П. Граничные свойства интегралов типа Коши. Lp-случай / А. В. Александров, А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. — 1991. — T. 27, № 1. — C. 3-8.

4. Бикчантаев И. А. Об одной краевой задаче для дифференциального уравнения эллиптического типа / И. А. Бикчантаев // Тр. сем. по краевым задачам. — 1971. — вып. 8. — С. 31-40.

5. Бикчантаев И. А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения, II / И. А. Бикчантаев // Изв. вузов. Матем. — 1973. — № 12. — С. 10-21.

6. Бицадзе А. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка / А. В. Бицадзе. — М.: Наука, 1966.— 203 с.

7. Боярский Б. В. Теория обобщенного аналитического вектора // Annales Polonici Mathematici. — 1966. — V. 17, № 3. — P. 281-320.

8. Васильев В. Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи / В. Б. Васильев. — М.: КомКнига, 2010. — 136 с.

9. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений / И. Н. Ве-куа. — М.: ОГИЗ, Государственное издание технико-технической литературы, 1948. — 296 с.

10. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции / И. Н. Векуа. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. — 512 с.

11. Виноградов В. С. Граничная задача для эллиптической системы первого порядка на плоскости / В. С. Виноградов // Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7, № 8. — С. 1440-1448.

12. Виноградов В. С. Об одном методе решения граничной задачи для эллиптической системы первого порядка на плоскости / В. С. Виноградов // Докл. АН СССР. — 1971. —Т. 201, № 4. — С. 767-770.

13. Виноградов В. С. О граничных задачах для эллиптических систем на плоскости с непрерывными коэффициентами / В. С. Виноградов // Докл. АН СССР. — 1976. —Т. 227, № 4. — С. 777-780.

14. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений / М. И. Вишек // Матем. сб. — 1951. — Т. 29(71), № 3. — С. 615-676.

15. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / М. И. Вишек // Тр. ММО. — 1952. — Т. 1. — С. 187-246.

16. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем / Л. Р. Волевич // Матем. сб. — 1965. — Т. 68(110), № 3. — С. 373-416.

17. Вольперт А. И. Нормальная разрешимость граничных задач для эллиптических дифференциальных уравнений на плоскости / А. И. Вольперт // Теор. и прикл. матем. — 1958. — вып. 1. — С. 28-57.

18. Вольперт А. И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости / А. И. Вольперт // УМН. — 1960. — Т. 15, выпуск 3(93). — С. 189-191.

19. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — М.: Наука, 1977. — 640 с.

20. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд. — М.: Наука. 1971. — 280 с.

21. Данилюк И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости / И. И. Да-нилюк. — М.: Наука, 1975. — 296 с.

22. Жура Н. А. Общая краевая задача для эллиптических в смысле Дуг-лиса-Ниренберга систем в областях с гладкой границей / Н. А. Жура // Изв. РАН. Сер. матем. — 1994. — Т. 58, № 1. — С. 22—44.

23. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. / И. С. Иохвидов. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

24. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками / В. А. Кондраьев // Тр. ММО. — 1967.

— Т. 16. — С. 202-292.

25. Кондратьев В. А., Олейник О. А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях / В. А. Кондратьев, О. А. Олейник // УМН. — 1983. — Т. 38, № 2(230). — С. 3-76.

26. Лопатинский Я. Б. Теория общих граничных задач / Я. Б. Лопатинский.

— К: Наукова думка, 1984. — 316 с.

27. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками / Л. Г. Магнадзе // Докл. АН СССР. — 1937. — Т. 16, № 3. — С. 157-161.

28. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения / В. Г. Мазья // Анализ - 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, ВИНИТИ, М. — 1988. — С. 131-228.

29. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. — М.: Наука, 1970. — 402 с.

30. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа / К. Миранда. — М.: ИЛ, 1957. — 256 с.

31. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мухе-лишвили. — М.: Наука, 1968. — 513 с.

32. Назаров С. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей / С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

33. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С. М. Никольский. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1977. — 456 с.

34. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе / Р. Пале. — М.: Мир, 1970. — 360 с.

35. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. — М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературтгиз, 1961. — 400 с.

36. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала / И. Радон // УМН. — 1946. — Т. 1, вып. 3-4(13-4). — С. 96-124.

37. Риман Б. Сочинения / Б. Риман. —М.: Гостехиздат, 1948. — 543 с.

38. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных

решений / Я. А. Ройтберг // Докл. АН СССР. — 1964. — Т. 157, № 4. — С. 798-801.

39. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Формула Грина и теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем / Я. А. Ройтберг, З. Г. Шефтель // УМН. — 1967. — Т. 22, вып. 5(137). — С. 181-182.

40. Ройтберг Я. А., Шефтель З. Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем и ее приложения / Я. А. Ройтберг, З. Г. Шефтель // Матем. сб. — 1969. — Т. 78(120), № 3. — С. 439-465.

41. Сакс Р. С. Краевые задачи для некоторых систем, приводимых к эллиптическим / Р. С. Сакс // Дифференц. уравнения. — 1974. — Т. 10, № 1. — С. 132-142.

42. Сакс Р. С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений, спецкурс для студентов-математиков вузов / Р. С. Сакс. — Новосибирск, НГУ. — 1975. — 165 с.

43. Сиражудинов М. М. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка в многосвязной области / М. М. Сиражудинов // Матем. сб. — 1993. — Т. 184, № 11. — С. 39-62.

44. Сиражудинов М. М., Магомедов А. Г., Магомедова В. Г. Краевые задачи для общих эллиптических систем на плоскости. II / М. М. Сиражудинов, А. Г. Мгомедов, В. Г. Магомедова // Изв. РАН. Сер. матем. — 2000. — Т. 63, № 3. — С. 169-224.

45. Солдатов А. П. Эллиптические системы высокого порядка / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. — 1989. —Т. 25, № 1. — С. 136-144.

46. Солдатов А. П. Общая краевая задача (к — 1)—порядка для эллиптических

уравнений / А. П. Солдатов // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 311, № 1. — С. 39-43.

47. Солдатов А. П. Общая краевая задача для эллиптических систем / А. П. Солдатов // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 311, №3. — С. 539-543.

48. Солдатов А. П. Граничные свойства интегралов типа Коши / А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. — 1990. — Т. 26, № 1. — С. 131-136.

49. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. / А. П. Солдатов. — М.: Высш. шк. — 1991. — 206 с.

50. Солдатов А. П. Метод теории функций в краевых задачах на плоскости. I. Гладкий случай / А. П. Солдатов // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1991. — Т. 55, № 5. — С. 1070-1100.

51. Солдатов А. П. Метод теории функций в эллиптических задачах на плоскости. II. Кусочно гладкий случай / А. П. Солдатов // Изв. РАН. Сер. матем. — 1992. — Т. 56, № 3. — С. 529-563.

52. Солдатов А. П. Эллиптические системы второго порядка на полуплоскости / А . П. Солдатов // Изв. РАН. Сер. матем — 2006. Т. 70, № 6. — С. 161-192.

53. Солдатов А. П. Гипераналитические функции и их приложения: учебное пособие / А. П. Солдатов. Федер. агенство по образованию, Белгор. гос. ун-т. — Белгород: БелГУ, 2006. — 108 с.

54. Солдатов А. П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I / А. П. Солдатов // СМФН. — 2017. — Т. 63, № 1. — С. 1-189.

55. Солонников В. А. Об общих краевых задачах для систем, эллиптических в смысле Дуглиса-Ниренберга / В А. Солонников // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1964. — Т. 28, № 3. — С. 665-706.

56. Товмасян Н. Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго поряд- ка с постоянными коэффициентами. II / Н. Е. Товмасян // Диффе-ренц. уравнения. — 1966. — Т. 2, № 2. — С. 163-171.

57. Трикоми Ф. Интегральные уравнения / Ф. Трикоми. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 299 с. Перевод с английского.

58. Хермандер Л. О регулярности решений граничных задач / Л. Хермандер // Математика. — 1960. — Т. 4, № 4. — С. 37-74.

59. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г. И. Эскин. — М.: Наука, 1973. — 232 с.

60. Agmon S. The Lp approach to the Dirichlet problem. Part I: regularity theorems / S. Agmon // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze.

— 1959. — V. 13, I. 4 — P. 405-448.

61. Agmon S. Lectures on elliptic boundary value problems / S. Agmon. — D. Van Nostrand Company, Inc, Princeton, New Jersey, Toronto, New York, London, 1965. — 291 pp.

62. Agmon S. Milteple layer potentials and Dirichlet problem for higher order elliptic equation in the plane. I / S. Agmon // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1957.

— V. 10. — P. 179-239.

63. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions / S. Agmon, A. Douglis, L. Nirenberg // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1964. — V. 12. — P. 623-727.

64. Beals R. Nonlocal elliptic boundary value problems / R. Beals // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa-Classe di Scienze. — 1966. — V. 20, № 2. — P. 421-441.

65. Begehr H., Gilbert R. P. Pseudohyperanalytic functions /H. Begehr, R. P. Gilbert // Complex Variables, Theory Appl. — 1988. — V. 9. - P. 343-357.

66. Begehr H., Gilbert R. P. Transformations, transmutations, and kernel functions; I, II. Longman, Harlow, 1992, 1993.

67. Bers L. Partial Differential Equations / L. Bers, A. John and M. Schechter. — Lectures in Applied Mathematics. Volume: 3, 1964. — 343 pp.

68. Bers L. Theory of pseudo-analytic functions / L. Bers // Bull. Amer. Math. Soc. — 1956. — V. 62, № 4. — P. 291-331.

69. Browder F. E. Estimates and existence theorems for elliptic boundary value problems / F. E. Browder // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. — 1959. — V. 45, № 3. — P. 365-372.

70. Browder F. E. A priori estimates for solutions of elliptic boundary value problems / F. E. Browder //I, II, Proc. Kon. Nederl. Akad. Wetenschap. — 1960. — V. 22. — P. 145-159, 160-196; III, Indag. Math. — 1961. — V. 23. — P. 404-410.

71. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications / T. Carleman. — Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zurich, 1932. — 14 pp.

72. Douglis A. A function theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables / A. Douglis // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1953. — V. 6. — P. 259-289.

73. Fichera G. Linear elliptic equations of higher order in two independent variables and singular integral equations, with applications to anisotropic inhomogeneous elasticity /G. Fichera // Part. Diff. Equations and Contin. Mech. (langer, cd). Univ. of Wisconsin Press, Madison. — 1961. — P. 55-80.

74. Fichera G., Ricci P. E. The single layer potential approach in the theory of boundary value problems for elliptic equations /G. Fichera, P. E. Ricci // Lecture Notes in Math. — 1976. — V. 561. — P. 39-50.

75. Gilbert R. P. Constructive methods for elliptic equations / R. P. Gilbert // Bull. Amer. Math. Soc. — 1975. — V. 81. — P. 1036-1037.

76. Gilbert R. P. Hile G. N. Generalized hypcrcomplex function theory / R. P. Gilbert, G. N. Hile // Trans. of the Amer. Math. Soc. —1974. — V. 1, № 1. — P. 1-29.

77. Gilbert R. P. First order elliptic systems /R. P. Gilbert, J. L. Buchanan. — Mathematics in Science and Engineering. Academic Press, 1983. — 296 pp.

78. Giraud G. Nouvelles méthode pour traiter certaines problèmes relatifs aux équations du type elliptique //J. de Math. — 1939. —V. 18. — P. 111-143.

79. Hile G. N. Elliptic systems in the plane with order term and constant coefficients / G. N. Hile // Comm. Partial Diff. Eq. — 1978. — V. 3. — P. 949-977.

80. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen / D. Hilbert. — Leipzig, Berlin: B. G. Teubner, 1924. — 282 pp.

81. Hormander L. Linear partial differential operators// Springer, Berlin-GottingenHeidelberg, 1963.

82. Horvath J. A generalization of the Cauchy-Riemann equations / J. Horvath // Contrib. Differ. Equ. — 1961. — V.1. — P. 39-57.

83. Ieh, R. Z. Hyperholomorphic functions and higher order partial differentials equations in the plane / R.Z. Ieh // Pacific Journ. of Mathem. — 1990. — V. 142, № 2. — P. 379-399.

84. Plemelj J. Riemannsche Funktionenscharen mit gegebener Monodromiegruppe /J. Plemelj // Monatshefte für Mathematik und Physik. - 1908. - V. 19. - P. 211-246.

85. Pompeiu D. Sur une classe de fonctions d'une variable complexe / D. Pompeiu // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1912. — V. 33, № 1. — P. 108-113.

86. Roitberg, Ya.A. Homeomorphism theorems and a Green formula for general elliptic boundary problems with nonnormal boundary conditions / Ya.A. Roitberg // Mat. Sb. 83 125, 1970.

87. Roitberg, Ya. A. On the boundary values of generalized solutions / Ya.A. Roitberg // Mat. Sb. (N. S.). — 1971. — V. 86(128), № 2(10). — P. 248-267.

88. Roitberg, Ya. A. A theorem on a complete selection of isomorphism for elliptic Douglis-Nirenberg systems / Ya. A. Roitberg // Ukrain. Mat. Zh. — 1975. — V. 27, № 4. — P. 544-548.

89. Roitberg, Ya.A. On the existence of boundary values of generalized solutions to elliptic equations / Ya.A. Roitberg // Sibirsk. Mat. Zh. — 1979. — V. 20. — P. 386-396.

90. Schechter M. Integral inequalities for partial differential operators and functions satisfying general boundary conditions /M. Schechter // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1959. — V. 12. — P. 37-66.

91. Schechter M. General boundary value problems for elliptic partial differential equations /M. Schechter // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1959. — V. 12. — P. 457-486.

92. Schechter M. Remarks on elliptic boundary value problems /M. Schechter // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1959. — V. 12. — P. 561-578.

93. Schechter M. Negative norms and boundary problems / M. Schechter // Ann. Of Math. — 1960. —V. 72, № 3. — P. 581-593.

94. Schechter M. A local regularity theorem / M. Schechter //J. Math. Mech. — 1961. — V. 10, № 2 — P. 279-287.

95. Schechter M. Nonlocal elliptic boundary value problems// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, (3). — 1966. — V. 20, № 2. — P. 421-441.

96. Vasil'ev V.B. Wave factorization of elliptic symbols: theory and application. Introduction to the theory of boundary value problems in non-smooth domains. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2000.

97. Wendlahd W. Elliptic systems in the plane. (Monographs and studies in mathematics) Pitman, London etc., 1979. — 448 pp.

Список публикаций по теме диссертации

98. Ващенко О. В. ( Чернова О. В.), Солдатов А. П. Об одном интегральном представлении // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (ВГУ, 26-30 января) — г. Воронеж, 2005. — С. 52-53.

99. Ващенко О.В. ( Чернова О. В.) Интегральное представление решений эллиптических систем первого порядка в классах Гельдера // Материалы III Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» ( Эльбрус, 10-15 мая) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2005. — С. 11-14.

100. Ващенко О.В. ( Чернова О. В.) Обобщенное пространство Харди // Материалы Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (СамГУ, 27 июня-2 июля) — г. Самара, 2005. — С. 24.

101. Ващенко О. В. (Чернова О. В.), Солдатов А. П. Интегральное представление решений обобщенной системы Бельтрами / О. В. Ващенко, А. П. Солдатов // Научные ведомости БелГУ. Серия «Информатика и прикладная математика». — 2006. — вып. 2, № 1(21). — С. 3-6.

102. Чернова О. В. Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка // Материалы V Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Эльбрус-ский учебно-научный комплекс КБГУ, 26-30 сентября) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2007. — С. 143-146.

103. Ващенко О. В. (Чернова О. В.), Солдатов А. П. Пространство Харди решений обобщенной системы Бельтрами / О. В. Ващенко, А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 4. — С. 488-491.

104. Чернова О. В. Гладкость решения задачи Римана-Гильберта для неоднородной системы Дуглиса // Материалы Международного Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Эльбрус, 12-17 мая) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2008. — С.243-244.

105. Солдатов А. П., Чернова О. В. К теории эллиптических систем первого порядка / А. П. Солдатов, О. В. Чернова // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. — 2009. — Т.11, № 1. — С. 79-83.

106. Чернова О. В. Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка в многосвязной области // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», VII Школа молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (Эльбрус, 17-22 мая) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2009. — С. 320-321.

107. Солдатов А. П., Чернова О. В. Задача Римана-Гильберта для эллиптической системы первого порядка в классах Гельдера / А. П. Солдатов, О. В. Чернова // Научные ведомости БелГУ. — 2009. — Т. 13(68), вып. 17/2. — С. 115-120.

108. Солдатов А. П., Чернова О. В. Эллиптическая система первого порядка в бесконечной области // Всероссийская конференция молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики». (Приэльбрусье, п. Терскол, 6-9 декабря) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2010. — С. 145-147.

109. Абаполова Е. А, Чернова О. В. О гладкости решений сингулярных интегральных уравнений // Материалы международного Российско-Болгарского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Приэльбрусье, 26-30 июня) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Хабез, 2010. — С. 11.

110. Солдатов А. П., Чернова О. В. Интегралы типа потенциалов в весовых пространствах на плоскости / А. П. Солдатов, О. В. Чернова // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия Техника и Технологии. — 2016.- №1(18). — С.100-103.

111. Чернова О. В. Эллиптические системы первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами // Материалы III Международной научно-практической конференции «Современные проблемы физико-математических наук» (ОГУ, 23-26 ноября) — г. Орел, 2017. — С. 109-112.

112. Чернова О. В. Обобщенный оператор Векуа-Помпейю / О. В. Чернова // Научные ведомости БелГУ. — 2018. — Т 50, № 1. — С. 40-46.

113. Чернова О. В. О задаче Римана-Гильберта для эллиптических систем

// Материалы международной конференции ««ВЗМШ С. Г. Крейна ВЗМШ-2018» (ВГУ, 26-31 января) — г. Воронеж, 2018. — С. 360-361.

114. Чернова О. В. Об одной краевой задаче для эллиптической системы // Материалы IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики» (Приэльбрусье, п. Терскол, 22 мая-26 мая) — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2018. — С. 271.

115. Солдатов А. П., Чернова О. В. Задача Римана-Гильберта для эллиптических систем первого порядка на плоскости с постоянными старшими коэффициентами / А. П. Солдатов, О. В. Чернова // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. ВИНИТИ РАН, М. — 2018. — Т. 149. — С. 95-102.

116. Чернова О. В. Краевая задача для вещественной эллиптической системы // Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Современные проблемы физико-математических наук» (ОГУ, 22-25 ноября) — г. Орел, 2018. — С. 86-89.

117. Чернова О. В. Задача линейного сопряжения для эллиптической системы первого порядка на плоскости // Материалы XVII-ой всероссийской молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения-2018» (КФУ, 23-28 ноября) — г. Казань, 2018. — С. 311-315.

118. Чернова О. В. Задача линейного сопряжения для эллиптической системы // Материалы V-ой международной научной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» ( Институт прикладной математики и автоматизации, 4-7 декабря). — Кабардино-Балкарская Республика, г. Нальчик, 2018. — С. 209.

119. Чернова О. В. О фредгольмовости одной краевой задачи для эллиптиче-

ской системы // Материалы Международной молодежной научно-практической конференции «Школа молодых ученых: достижения в области науки и техники» (ВГЛУ, 10-12 декабря) — г. Воронеж, 2018. — С. 86-90.

120. Чернова О. В. Фредгольмова разрешимость задачи линейного сопряжения для эллиптической системы первого порядка с комплексными коэффициентами / О. В. Чернова // Динамические системы. — 2018. — Т. 8(36), № 4. — С. 357-371.