Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Эфендиев, Беслан Игорьевич

• Эфендиев, Беслан Игорьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Эфендиев, Беслан Игорьевич

Введение

Вводные сведения

0.1. Специальные функции

0.2. Операторы интегро-дифференцирования дробного и континуального порядка

Глава I. Задача Коши

1.1. Постановка задачи.

1.2. Общее представление решения.

1.3. Фундаментальное решение.

1.4. Интегральное представление фундаментального решения

1.5. Решение задачи Коши.

Глава II. Задача Дирихле и задача Неймана

2.1. Решение задачи Дирихле.

2.2. Решение задачи Неймана.

2.3. О спектре задачи Дирихле.

2.4. Оценка спектра задачи Дирихле.

2.5. О спектре задачи Неймана.

Глава III. Нелокальные краевые задачи

3.1. Постановка задач.

3.2. Функции Грина нелокальных краевых задач.

3.3. Решение задачи Стеклова с граничными условиями первого класса.

3.4. Решение задачи Стеклова с граничными условиями второго класса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с континуальной производной»

Область математического анализа, называемая дробным исчислением и посвященная исследованию и применению производных и интегралов произвольного (вещественного или комплексного) порядка, имеет давнюю историю и богатое содержание, обусловленное проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др. Дробное исчисление функций одной и многих переменных продолжает интенсивно развиваться, и в настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к нему. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного интегро-дифференцирования при математическом моделировании физических, химических, экономических и социально-биологических явлений. Как справедливо заметил A.M. Нахушев: "дробное (дифференциальное и интегральное) исчисление в теории фракталов и систем с памятью приобретает такое же важное значение, как и классический анализ в физике (механике) сплошных сред" [19, с. 8].

Дифференциальные уравнения дробного порядка являются основой большинства математических моделей, описывающие физические, химические, экономические и социально-биологические явления. Поэтому весьма актуальной и важной задачей является развитие аналитического аппарата теории уравнений с производными дробного порядка.

В 1925 г. впервые при обобщении задач вариационного исчисления С. Мандельбройт пришел к уравнению, позже названное В. Вольтерра, обыкновенным непрерывным дифференциальным уравнением [1, с. 100].

A.M. Нахушев в 1988 г. ввел оператор интегро-дифференцирования континуального порядка

M2fu{x) = J a^x)Dixu(t)d^ a < P, (1) a где Dlx - оператор дробного интегро-дифференцирования порядка £ с началом в точке а и с концом в точке х, и следуя В. Вольтерра, дал определение непрерывного дифференциального уравнения [11]. В силу этого определения, уравнения с операторами (1) относятся к классу непрерывных дифференциальных уравнений [1, с. 100], [13, с. 99], [11], [12], [14], [15].

В англоязычной литературе вместе с названием "непрерывное дифференциальное уравнение" используется "distributed order differential equation".

В 1995 году в работе [57] М. Caputo ввел производную распределенного порядка 1

D^V)M = J С®ia)v){tMa)da, (2) о где (pka}ip){t) = Da~lji(p{t), ¡1 - положительная функция.

В настоящее время имеется много работ, посвященных различным аспектам теории дифференциальных уравнений с производными дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля и в смысле Капуто (см., например, монографии [2],[5],[13],[19],[32] и статьи [8],[9],[10],[И],[16],[17] и ссылки там). В то время, как непрерывные дифференциальные уравнения остаются практически не исследованными.

Сделаем краткий библиографический обзор работ, в которых исследовались уравнения с операторами (1) и (2).

A.M. Нахушев в работе [11] предложил метод решения непрерывных дифференциальных уравнений, им найдено условие однозначной разрешимости видоизмененной задачи Коши в классе функций со степенной особенностью.

В работе [17] A.M. Нахушев доказал формулы дробного и непрерывного интегрирования по частям, взаимную сопряженность операторов дробного и непрерывного дифференцирования и интегрирования, положительность операторов дискретного и непрерывного интегрирования, положительность оператора дробного дифференцирования и континуального интегрирования сегментного порядка.

Непрерывное уравнение Абеля

Dtß]u{t) = Ф), (3) где 0

D[äß]u(t) = J Dlu(m, (4) а в случае ß = 0, а < 0 было исследовано A.M. Нахушевым в работе [19, с. 83] (см. также [25]). В этой же работе [19, с. 145] рассмотрены задачи Коши и Дирихле для уравнения ф) - А£>£\(г) = f(x).

В работе [20] A.M. Нахушев поставил класс принципиально новых задач для уравнений с оператором дифференцирования континуального порядка.

A.B. Псху в работе [30, с. 135] (см. также [24], [25]) построил оператор, обратный оператору (4), доказал аналоги формулы Ньютона-Лейбница для интегрального и дифференциального операторов, решил непрерывное уравнение Абеля (3) через обратный оператор, сформулировал и доказал принцип экстремума для оператора интегро-дифференцирования континуального порядка.

В работе A.B. Псху [27, с. 150] (см. также [28], [31]) исследовалось уравнение

Dtß]u (t) + А и(х) = f(x), О<0<1. (5)

Там же найдено фундаментальное решение уравнения (5), решена задача Коши, доказана положительность фундаментального решения и исследован характер зависимости от спектрального параметра.

Уравнение диффузии континуального порядка было исследовано A.B. Псху в работе [30, с. 152] (см. также [26]), который получил фундаментальное решение и его оценку, построил общее представление решения методом функции Грина, решил задачу Коши и основные краевые задачи.

Задачи с операторами континуального дифференцирования в краевых условиях исследовались в работах A.A. Керефова [4] и Ф.М. Нахушевой [22].

Уравнения с оператором (2) рассматривали Е. Andries, Т.М. Atanack-ovic, R.L. Bagley, M. Budincevic, M. Caputo, Y. Chen, К. Diethelm, R. Goren-flo, T.T. Hartley, A.N. Kochubei, C.F. Lorenzo, Yu. Luchko, F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, S. Pilipovic, H.Sheng, S. Steinberg, M.N. Stojanovic, P.J. Torvik, S. Umarov [53]—[TO].

Цель работы. Основной целью работы является исследование основных локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной.

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием методов функции Грина, интегрального преобразования Лапласа, теории интегральных уравнений, теории специальных функций, теории дробного исчисления.

Научная новизна. В диссертации исследуются основные локальные (Коши, Дирихле, Неймана) и нелокальные (Стеклова с граничными условиями первого и второго классов) краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего производную континуального порядка.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Доказана теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле и задачи Неймана.

3. Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Доказана теорема об оценке спектра задачи Дирихле.

4. Доказаны теоремы существования и единственности решения задач Стеклова с граничными условиями первого и второго классов.

Практическая и теоретическая ценность. Работа является теоретической. Ее результаты могут быть использованы при построении теории краевых задач для непрерывных дифференциальных уравнений. Практическая ценность обусловлена прикладной значимостью обыкновенных дифференциальных уравнений, локальных и нелокальных краевых задач в математическом моделировании и других областях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на III Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики"(Нальчик, 2006), на Международном Российско-Азербайджанском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "(Эльбрус, 2008), на Международном Российско-Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики" (Нальчик - Эльбрус, 2009), на III, V, VIII, IX школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики"(Нальчик - Эльбрус, 2005, 2007, 2010, 2011), на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики" (Терскол, 2010), на Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел" (Белгород, 2011), на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (руководитель - Нахушев A.M.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [35]-[52]. Из них [46], [48] и [51] опубликованы в изданиях, включенных в список изданий, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, вводных сведений, трех глав, объединяющих 14 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 70 наименований, и изложена на 73 страницах.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Эфендиев, Беслан Игорьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации, посвященной исследованию локальных и нелокальных краевых задач для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной получены следующие основные результаты:

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной:

1. Найдено фундаментальное решение. Решена задача Коши.

2. Решены задача Дирихле и задача Неймана. Построены соответствующие функции Грина.

3. Показаны непустота и конечность спектра задачи Дирихле и задачи Неймана. Получена оценка спектра задачи Дирихле.

4. Решены задачи Стеклова с граничными условиями первого и второго классов. Построены функции Грина.

Хочу выразить глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю Адаму Маремовичу Нахушеву за постановку задач, постоянное внимание и поддержку, а также Арсену Владимировичу Псху за весьма ценные замечания, советы и обсуждения результатов работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Эфендиев, Беслан Игорьевич, 2011 год

1. Волътерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегродиффе-ренциальных уравнений/ В. Вольтерра// М.: Наука, 1982. - 304 с.

2. Джрбашян, М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области/ М.М. Джрбашян// М.: Наука, 1966. - 672 с.

3. Диткин, В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление/ В.А. Диткин, А.П. Прудников// М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

4. Керефов, A.A. О нелокальных краевых задачах для вырождающихся уравнений с континуальной производной в условиях/ A.A. Керефов// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -1995. Т. 1, № 2. - С. 18-22.

5. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат// М.-Л.: Гиз технико-теоретической литературы, - 1951. - 168 с.

6. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций/ А.И. Маркуше-вич// М.: Гиз технико-теоретической литературы, 1950. - 704 с.

7. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы/ М.А. Най-марк// М.: Наука. - 1969. - 528 с.

8. Нахушев, A.M. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1974. - Т. 10, № 1. - С. 100-111.

9. Нахушев, A.M. Задача Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка с дробными производными в младших членах/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1977. - Т. 234, № 2. - С. 308311.

10. Нахушев, A.M. К теории дробного исчисления/ A.M. Нахушев// Диф-ференц. уравнения. 1988. - Т. 24, № 2. - С. 313-324.

11. Нахушев, A.M. О непрерывных дифференциальных уравнениях и их разностных аналогах/ A.M. Нахушев// ДАН СССР. 1988. - Т. 300, № 4. - С. 796-799.

12. Нахушев, A.M. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их аналогах в дробном исчислении/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1994. - Т. 1, № 1. - С. 22-26.

13. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии/ A.M. Нахушев// М.: Высш. шк. - 1995. - 301 с.

14. Нахушев, A.M. Об одном классе дифференциальных уравнений состояния дробного порядка в сплошных средах с памятью/ A.M. Нахушев, В.А. Нахушева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. - Т. 1, № 2. - С. 6-11.

15. Нахушев, A.M. О положительности интегральных операторов, весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1997. - Т. 2, № 2. - С. 10-12.

16. Нахушев, A.M. О положительности операторов непрерывного и дискретного дифференцирования и интегрирования весьма важных в дробном исчислении и в теории уравнений смешанного типа/ A.M. Нахушев// Дифференц. уравнения. 1998. - Т. 34, № 1. - С. 101-109.

17. Нахушев, A.M. Еще раз об одном свойстве оператора Римана-Лиувил-ля/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т. 5, № 2. - С. 42-43.

18. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение/ A.M. Нахушев// М.: Физматлит. - 2003. - 272 с.

19. Нахушев, A.M. Дробное исчисление фундаментальная основа краевых задач со смещением и математической физики фракталов/ A.M. Нахушев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2004. - Т. 7, № 1. - С. 60-65.

20. Нахушев, A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных/ A.M. Нахушев// М.: Наука. - 2006. - 287 с.

21. Нахушева, Ф.М. Об одном классе нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности/ Ф.М. Нахушева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 1995. - Т. 1, № 2. -С. 23-25.

22. Попов, А.Ю. О количестве вещественных собственных значений одной краевой задачи для уравнения второго порядка с дробной производной/ А.Ю. Попов// Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12, № 6. - С. 137-155.

23. Псху, A.B. Об операторах типа свертки и их приложения к теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2001. - Т. 5, № 2. - С. 49-54.

24. Псху, A.B.K теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка/ A.B. Псху// Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, № 1. - С. 120-127.

25. Псху, A.B. Уравнение диффузии континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. -2004. Т. 7, № 1. - С. 79-83.

26. Псху, A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка/ A.B. Псху// М.: Наука, - 2005. - 199 с.

27. Псху, A.B. Задача Копій для дифференциального уравнения континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 7, № 2. - С. 45-49.

28. Псху, A.B. О вещественных нулях функции типа Миттаг-Леффлера/ A.B. Псху// Мат. заметки. 2005. - Т. 77, № 4. - С. 592-599.

29. Псху, A.B. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка/ A.B. Псху//

30. Дис. . докт. физ.-мат. наук. Нальчик. - 2006. - 183 с.

31. Псху, A.B. Фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения континуального порядка/ A.B. Псху// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2007. - Т. 9, № 1. - С. 30-36.

32. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения/ С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев// Минск.: Наука и Техника. - 1987. - 688 с.

33. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной/ А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов// М.: Наука. - 1967. - 304 с.

34. Сохиева, A.B. Аналог формулы Ньютона-Лейбница для регуляризо-ванного оператора дифференцирования континуального порядка/ A.B. Сохиева// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 8, № 1. - С. 84-86.

35. Эфендиев, Б.И. Задача Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2005. - Т. 8, № 1. - С. 99-104.

36. Эфендиев, Б.И. Задача Неймана для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2006. - Т. 8, № 2. - С. 87-89.

37. Эфендиев, Б.И. Задача Коши и задача Дирихле для обыкновенногодифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2008. - Т. 10, № 1. - С. 83-85.

38. Эфендиев, Б. И. Об одной нелокальной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2009. - Т. 11, № 2. - С. 61-62.

39. Эфендиев, Б.И. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной в группе младших членов/ Б.И. Эфендиев// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2010. - Т. 12, № 2. - С. 1-2.

40. Эфендиев, Б. И. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с континуальной производной/ Б.И. Эфендиев// Дифференц. уравнения. 2011. - Т. 47, № 9. - С. 1364-1368.

41. Andries, Е. Monte Carlo Random Walk Simulations Based on Distributed Order Differential Equations/ E. Andries, S. Umarov, S. Steinberg// 2006, 1-18.

42. Atanackovic, T.M. On a fractional distributed-order oscillator/ T.M. Ata-nackovic, M. Budincevic, S. Pilipovic// Journal of Physics A: Mathematical and General, 2005, 38 (30), 6703-6713.

43. Bagley, R.L. On the existence of the order domain and the solution of distributed order equations Part I/ R.L. Bagley, P.J. Torvik//Int. J. Appl. Math. 2000, 2 (7), 865-882.

44. Bagley, R.L. On the existence of the order domain and the solution of distributed order equations Part II/ R.L. Bagley, P.J. Torvik//Int. J. Appl. Math. 2000, 2 (8), 965-987.

45. Caputo, M. Mean fractional-order-derivatives differential equations and filters/ M. Caputo// Ann. Univ. Ferrera Sci. Math. 1995, 41 (1), 73-84.

46. Caputo, M. Distributed order differential equations modelling dielectric induction and diffusion/ M. Caputo //Fractional Differentiation and its Applications 2001, 4 (4), 421-442.

47. Caputo, M. Diffusion with space memory modelled with distributed order space fractional differential equations/ M. Caputo/Mnna/s of Geophysics 2003, 46 (2), 223-234.

48. Diethelm, K. Numerical Solution of Linear Multi-Term Initial Value Problems of Fractional Order/ K. Diethelm, Yu. Luchko// 1-21.

49. Kochubei, A.N. Distributed Order Calculus and Equations of Ultraslow Diffusion/ A.N. Kochubei// 1-39.

50. Kochubei, A.N. Distributed order derivatives and relaxation patterns/ A.N. Kochubei// J. of Physics A: Math, and theor., 2009, 42 (31), 1-9.

51. Lorenzo, C.F. Variable order and distributed order fractional operators/ C.F. Lorenzo, T.T. Hartley// Nonlinear Dynamics, 2002, 29 (1-4), 57-98.

52. Luchko, Yu. Initial-Boundary-Value Problems for the Generalized Time-Fractional Diffusion Equation/ Yu. Luchko// Fractional Differentiation and its Applications, 2008, 1-6.

53. Luchko, Yu. Boundary Value Problems for the Generalized Time-Fractional Diffusion Equation of Distributed Order/ Yu. Luchko// J. Fractional Calculus Applied Analysis, 2009, 12, 4, 409-422.

54. Luchko, Yu. Maximum Principle for the Generalized Multi-Term Time-Fractional Diffusion Equations and its Applications/ Yu. Luchko// Symposium on Fractional Signals and Systems, Lisbon, 2009, 1-9.

55. Mainardi, F. Time-Fractional Diffusion of Distributed Order/ F. Mainardi, A. Mura, G. Pagnini, R. Gorenflo// Journal of Vibration and Control, 2007, 1-30.

56. Sheng, H. Optimal Distributed-order Fractional Damping/ H. Sheng, Y. Chen// 2010, 1-5.

57. Stojanovic, M.N. Well-Posedness of Diffusion-Wave Problem with Arbitrary Finite Number of Time Fractional Derivatives in Sobolev Spaces Hs / M.N. Stojanovic// J. Fractional Calculus Applied Analysis, 2010, 13, 1, 21-41.

58. Umarov, S. Random walk models associated with distributed fractional order differential equations/ S. Umarov, S. Steinberg// J. High Dimensional Probability, 2006, 51, 117-127.