Краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Хуштова Фатима Гидовна

• Хуштова Фатима Гидовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Хуштова Фатима Гидовна

§3.1. Задача Коши

§3.2. Первая краевая задача

§3.3. Вторая краевая задача

§ 3.4. Краевые задачи для уравнения с производной Капуто

§ 3.5. Уравнение с переменным младшим коэффициентом

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ИЗ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка»

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена краевым задачам в ограниченных и неограниченных областях для дифференциального уравнения в частных производных

д а

Вхи{х} у) - — и{х, у) = /(ж, у), (1)

где и(х,у) - функция двух вещественных аргументов;

д2 Ь д

х дх2 х дх

- оператор Бесселя, дуа _ дробная производная порядка 0 < а ^ 1с началом в точке у = 0, которая понимается в одном из следующих смыслов: ^у^ = _ ПрОИЗВОдНая Римана-Лиувилля, дуа = д0у - производная Капуто (известная также как производная Герасимова-Капуто).

Актуальность темы исследования. Уравнения математической физики с оператором Бесселя относятся к классу вырождающихся дифференциальных уравнений, для которых теория краевых задач в настоящее время является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Дифференциальные уравнения с производными дробного порядка выступают в качестве основы при математическом моделировании процессов, протекающих в средах с фрактальной структурой.

Уравнение (1) при а = 1, то есть

Ь

ихх(х,у) + ~их(х,у) - иу(х,у) = /(x,У), (2)

х

В

нием [19], [21]. Подобного рода уравнение, а именно

ди

—- = к Ааи, к = const > 0, (3)

д Ь

где

Д _ xa—1 д

dx dx

- «а-мерный оператор Лапласа» в работе A.M. Нахушева [36, с. 230] называется уравнением «теплопроводности на фрактале» или уравнением «аномальной диффузии». Уравнение (3) можно переписать в виде

x(ut — кпхх) + (1 - а)нпх _ 0.

Последнее уравнение относится к классу уравнений параболического типа со знакопеременной характеристической формой, рассмотренным A.M. Нахуше-вым в работе [35].

Краевые задачи в ограниченной и неограниченной областях для уравнения (2) при различных значениях параметра b рассматривали многие авторы. Например, в работе V.Alexiades [73] для него решены первая, вторая и третья краевые задачи в области с подвижной границей, в работе D.Calton [76] исследована задача Коши.

Уравнение (2) было также объектом исследования в монографиях С.А. Терсенова [52], М.И. Матийчука [34]. Подобного рода уравнения при раз-

b

О. Arena [75], М. Giona, Е. Roman [79], И.Б.Гарипов, P.M. Мавлявиев [5], [6]. Уравнение (2) с помощью замены £ _ [ x/(1 — b) ]1—b сводится к уравнению

£qпее(£,y) — пу(£,y) _ f (x,y), q _ 2b/(b — 1),

рассмотренному также при различных значениях параметра q в работах C.D.Pagani [98], О. Arena [74], Ю. П. Горькова [9] - [И].

При f (x,y) _ 0 заменой z _ x2/(4n) уравнение (2) сводится к уравнению

. . m +1 n b — 1 Uzz(z, y) +--nz(z, y)--Uy (z, y) _ 0, m _ , (4)

Z Z 2

для которого С. Кепинским в работе [82] исследована краевая задача в полуполосе х > 0, у < у0. Частные случаи уравнения (4) были также рассмотрены С. Кепинским [81] при ш = —1, п = 1, и В. Миллер-Лебедевой [96] - при ш = 0, п = 1.

В работе В. О'ЗЬаг^певйу, I. Ргосасаа [97] рассматривалось уравнение

д ч 1 д / , , а ! дР(г, Ь) \ — Р (г, Ь) = --— К (г) г 4—1—, дЬ г 4—1 дг\ дг )

К(г) г

В работе Я.И. Житомирского [15] исследовалась краевая задача в первом квадранте для системы линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя

= Р (В ,Ь)и(х,Ь),

где и(х,Ь) = {щ(х,Ь), ...,ит(х,Ь)}, Р(В,Ь) - квадратная матрица размера ш х ш, элементами которой являются полиномы от операторов Бесселя В = Ъх? + 2Р~ ддх °ДН0Г0 и того же по рядка р ^ 0. Начальное и граничное условия задаются в виде и(х, 0) = ио(х), их(0, Ь) = 0.

Л.Н. Ляхов и Л.Б. Райхельгауз [29] исследовали задачу Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с ^в-оператором Бесселя, степени которого представляют собой степень оператора Бесселя или производную от степени этого оператора

, Ва/2, а = 2к,

Ов = { 5

В ^ / В (а—1)/2, а = 2к + 1,

ах ' '

где к = 0,1, 2,..., В = ах + ах, Р > —1/2. В этой работе сформулированы теоремы существования и единственности решения исследуемой задачи в соответствующем классе обобщенных вектор-функций. Л.Н. Ляховым в работе [30] строится фундаментальное решение обыкновенного дифферен-

циального уравнения четного порядка с оператором Од.

Дифференциальные уравнения, содержащие оператор Бесселя, наиболее подробно и полно исследованы в работах И.А. Киприянова и его учеников [19], [21]. Следует отметить полученные В.В. Катраховым и С.М. Ситником [17], С.М. Ситником и Э.Л.Шишкиной [51] весьма важные результаты по применению операторов преобразования в теории дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах, в частности, с операторами Бесселя.

В случае, когда Ь = 0, 0 < а < 2, уравнение (1) совпадает с диффузионно-волновым уравнением. Различные краевые задачи для него, а также для многомерных его обобщений, богато и обстоятельно исследованы в работах многих авторов. Приведем некоторые из них.

А.Н. Кочубей в работе [22] исследовал задачу Коши для уравнения диффузии дробного порядка с регуляризованной дробной производной (производной Капуто) и эллиптическим оператором с непрерывными ограниченными вещественными коэффициентами

В случае, когда L = Д - оператор Лапласа, в терминах H-функции Фокса построено фундаментальное решение, изучены его свойства, найдено решение задачи Коши и показана его единственность.

Исследованию задачи Коши для диффузионного и диффузионно-волнового уравнений дробного порядка с производной Капуто посвящены также работы А.Н. Кочубея и С.Д. Эйдельмана [23], [24], [86] - [88].

A.B. Псху в работах [44], [45] и [47] методом сведения к системе уравнений меньшего порядка и методом функции Грина исследованы первая, вторая и смешанные краевые задачи в прямоугольной области, а также решена задача Коши в полосе для диффузионного и диффузионно-волнового уравнений с оператором Римини Лиуиилля. В работе [48] для многомерного диффузионно-волнового уравнения с оператором дробного дифференцирова-

ния Джрбишяни Нерсесяни. включающим в себя как частный случай операторы дробного дифференцирования Римини Лиуиилля и Капуто, построено фундаментальное решение и исследованы его свойства, построено решение задачи Коши и доказана теорема единственности в классе функций, удовлетворяющих аналогу условия Тихонова. В работах [46] и [102] также построено фундаментальное решение и исследована задача Коши для уравнения дробной диффузии соответственно с оператором дискретно распределенного дифференцирования и оператором Джрбишяни Нерсесяни. действующим по многим переменным времени. В работе [43] решена первая краевая задача в нецилиндрической области для диффузионно-волнового уравнения с оператором Джрбашяна-Нерсесяна. Доказана теорема существования и единственности исследуемой задачи, построено представление решения.

A.A. Ворошилов и A.A. Килбас в работе [4] методом интегральных преобразований исследовали задачу Коши для уравнения

Dа u(x,t) = Л2 Дxu(x,t), x е Rm, t> 0, (6)

где Дх = д2/дх2, п — 1 < а < п, п Е N. При 0 < а ^ 1 и 1 < а < 2 решения выписаны в терминах Н-фупкции Фокса. В работе [3] этими же авторами была исследована задача Коши в случае, когда в уравнении (6) вместо оператора Римини Лиуиилля содержится оператор Капуто.

Задача Коши для уравнения (6) при Л = 1, 0 < а ^ 1 была рассмотрена С.Х. Геккиевой в работе [7], а в работе [8] - исследована первая краевая задача в первом квадранте для уравнения (6) при т = Л = 1, 0 < а ^ 1. Решения рассмотренных задач выписаны в терминах функции Райта.

Уравнение диффузии дробного порядка с переменными коэффициентами

a(x)uxx + b(x, y)ux + c(x, y)u - Dgyu = 0,

где a(x) > 0, b(x,y), c(x,y) - непрерывные функции, исследовалось в работе

М.О. Мамчуева [32]. Здесь в терминах функции типа Райта построено фундаментальное решение, изучены его свойства, исследована задача Коши. В работе [32] также исследованы различные краевые задачи для уравнения

где а = 2в € (0,2), Ь,с заданные действительные числа, а в качестве дробной производной выступает либо производная Римини Лиувилля. либо производная Капуто. Последнее уравнение при Ь = с = 0 совпадает с уравнением диффузии дробного порядка.

В работе З.А. Нахушевой [37] рассматривалась задача Самарского в видоизмененной постановке для уравнения диффузии дробного порядка.

Уравнение диффузии дробного порядка и некоторые его обобщения рассматривались также в работах Р.МашагсН [89], [91], G.Pagnini [100], Р.МашагсН, Уи. ЬисЫш, G.Pagnini [90], G.Pagnini, Р. РагасЦз1 [99], А.М.Ма^ш, И. К. Бахепа, Н.Л.НаиЬоЫ [92].

Уравнение вида (1), а именно уравнение

где ж ( характеризуют фрактальную размерность среды, Р(г,Ь) - плотЬ,

предложено И. Ме1г1ег, \¥. в. С1оск1е, Т. Б. МоппептасЬег в работе [93] для описания процессов переноса в средах, имеющих фрактальную размерность. Интерес к изучению уравнений вида (7) вызван также их приложениями при решении диффузионных задач физики, химии и других прикладных наук

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование краевых задач для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка.

[13], [16], [20], [31], [56], [93] - [95], [106].

Методы исследования. Результаты работы получены с использованием метода функции Грина, метода интегральных преобразований, теории специальных функций и теории дробного исчисления.

Научная новизна. В работе исследованы основные краевые задачи для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя, действующим по пространственной переменной, и частными производными Римини Лиувилля и Кинуто по временной переменной. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Теорема об общем представлении решения в прямоугольной области дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной дробного порядка.

2. Теоремы существования и единственности решения первой, второй и смешанных краевых задач в прямоугольной области для дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной дробного порядка. Построение соответствующих функций Грина.

3. Построение решения задачи Коши для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка.

4. Построение решений первой и второй краевых задач в неограниченных областях для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя и частными производными дробного порядка.

5. Доказательство единственности решения краевых задач в неограниченных областях в классах функций быстрого роста.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные в работе результаты носят теоретический характер и могут быть использованы при математическом моделировании различных процессов переноса в средах с фрактальной структурой.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по проблемам современного анализа, информатики и физики Института прикладной математики и автоматизации

Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (ИП-МА КБНЦ РАН) (руководитель - д.ф.-м.н., проф. A.M. Нахушев), на заседаниях отдела Дробного исчисления НПМА КБНЦ РАН (руководитель -д.ф.-м.н., доц. А.В.Псху), на научном семинаре кафедры Общей математики факультета ВМК МГУ им. М.В.Ломоносова (руководитель -д.ф.-м.н., проф. И.С.Ломов), на семинаре «Избранные вопросы математического анализа» Института математики СО РАН им. С.Л. Соболева (руководитель - д.ф.-м.н., проф. Г.В. Демидепко), на заседаниях отдела САПР смешанных систем и управления ИПМА КБНЦ РАН (руководитель - к.ф.-м.н., доц. А.Х.Аттаев), на научно-исследовательском семинаре по актуальным проблемам прикладной математики ИПМА КБНЦ РАН (руководитель - к.ф.-м.н., A.A. Алиханов), на Всероссийской научной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики», посвященной памяти академика A.A. Самарского (Нальчик, 2014 г.), на Международной Российско-Китайской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Эльбрус, 2015 г.), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных», посвященной памяти А.В.Бицадзе (Москва, 2016 г.), на Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики» (Эльбрус, 2017 г.), на Международной школе-конференции «Соболевские чтения», посвященной 110-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2018г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [58] - [72], [83], из них [58] - [63] - в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих 13 параграфов, заключения, списка литературы из 107 наименований и содержит 2 рисунка. Общий объем составляет 125 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследований, излагается краткое содержание основных результатов работы.

В первой главе приводятся необходимые для дальнейшего изложения работы сведения из теории специальных функций, теории дробного исчисления и теории интегральных преобразований. В § 1.1 приводятся определения и некоторые свойства гамма-функции Г(г), бета-функции В (а, в), функций Бесселя (г), (г), функции Райта ф (р,5; г), функции типа Миттаг-Леф-

флера Е1 (г; ц). В этом параграфе также изучены некоторые свойства функ-

р

ЦИИ

(г) = Н ¡>1

где Н¡з [...]- Н-функция Фокса. В частности, здесь приводятся асимптотические формулы, интегральное представление и представление в виде степенного ряда функции ^(г), основанные на известных свойствах Н-функции. Из интегрального представления функции (8) выводятся формулы дифференцирования целого порядка, рекуррентные формулы и формула автотрансформации.

В § 1.2 приводятся некоторые сведения из теории дробного исчисления, в частности, определение оператора дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля порядка 7 с началом в точке а и с концом в точке у, определение регуляризованной дробной производной д^у.

В § 1.3 приводится известное определение и некоторые свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре (преобразование

4

(1 - а/2,1), - ра/2,р) (г/2,1), (1 - а/2,1), ( - г/2,1)

(8)

Станковича)

с»

A v(y) = J v(t) y ф (- - ty - a) dt, 0 <a< 1, 0

где v(y) - функция, заданная на положительной полуоси.

В случае, когда д = 0, обозначается A a 0 v(y) = A a v(y). Если преобразование Aa'M применяется к функции, зависящей от нескольких переменных, то с помощью нижнего индекса обозначается переменная, по которой проводится преобразование. Например, Av(x,y).

Вторая глава посвящена построению и исследованию основных свойств фундаментального решения уравнения

L u(x, y) = Вхи(х., y) - О0Уu(x, y) = f(x. y). (9)

где

В — \х\-Ь д {мъ ^ — д2 + Ь д х дх \ дх / дх2 х дх

- оператор Бесселя, |Ь| < 1, 0 < а ^ 1, а также построению общего представления решения и функций Грина первой, второй и смешанных краевых задач в прямоугольной области.

В § 2.1 строится и исследуются основные свойства фундаментального решения уравнения (9)

Г = Г (x,£,y) = A g(x,Ç,y), (10)

g(x,Ly) = 4y

r (H|\ ^ . ( л r (H|

2у ) ° У ^ Н\2у ; где в — (1 — Ь)/2. В случае д — 0 обозначается Га0,в(х,£,у) — Га,в(х,£,у).

В § 2.2 доказана теорема об общем представлении решения уравнения (9) в прямоугольной области.

Пусть Б — {(х,у) : г\ < х < г2, 0 < у < Т}, Бу — : Г\ < ^ <

r2, 0 < n < y}, D - замыкание области D.

Регулярным, решением уравнения (9) в области D назовем функцию u = u(x,y), удовлетворяющую уравнению (9) в области D, и такую, что y 1-au G C(D),Bxu, Day u G C(D).

Теорема 1. Пусть y 1—af (x,y) G C (D), y(x) G C [r1; r2], функция v = v(x,y; £,n) удовлетворяет условиям:

1) в обласmu Dy функция v является решением уравнения

L*v(x,y; £,n) = Bîv(x,y; £,n) — Davv(x,y; £,n) = q(x,y; £,n),

где n 1-aq G L(Dy);

2) для любой функции h(x) G C[x\; x2], r1 ^ xi < x2 ^ r2, выполняется соотношение

X2

lim |b h(£) D"—1 v(x,y; £,n) d£ = h(x), xi < x < x2; n^y J y 1

Xl

3) функцurv непрерывна в D x Dy\{y = n} вместе с |£|bv^, D^v и y1-av, и для любых точек (x,y) G Du (£,n ) G Dy выполняется неравенство

|v(x, y; £,n)| ^ const • (y — n)ав—1.

u(x, y)

имеет непрерывную и интегрируемую производную с весом |x|bux(x,y) вплоть до участков границы x = r1 и x = r2, и удовлетворяет условию

lim D0ay—1u(x,y) = <p(x), r1 < x < r2,

то для любой точки (x, y) Е D имеет место соотношение

Г2

u(x,y) = J |Z|6 v(x, y; Z, 0) ^) +

ri

У

+ J [ |r216 v(x,y; Г2,п) ч(Г2,п) - Ы&v(x,y; ri,n) Щ(ri,n) 0

-|r216 v^(x, y; Г2,п) u(r2,n) + |ri|6 v^(x,y; ri,n) u(ri,n)] dn+

r 2 У

+ J J 1 iu(Z,n) q(x,y; Z,n) — v(x,y; Z,n) f (Z,n)] dnd

ri 0

В § 2.3 в прямоугольной области Dr = {(x, y) : 0 < x < r, 0 < y < T} исследуется первая краевая задача для уравнения

L u(x, y) = 0. (И)

Dr

летворяющее краевым условиям

lim D0y-1u(x,y) = ^>(x), 0 < x <r,

u(0,y)= To(y), u(r,y)= Tr(y), 0 <y<T^

где ip(x), T0(y) и Tr(y) - заданные функции.

Функцию Ga,ß(x,Z,y — n), которая является решением уравнения

L* Ga,ß(x,Z,y — n) = 0 (12)

и вместе с условиями 2) и 3) теоремы 1 удовлетворяет условиям

lim Ga,ß(x,Z,y — п) = 0, limGa>ß(x,Z,y — n) = 0, y = n,

назовем функцией Грина первой краевой задачи для уравнения (11). Функция Грина первой краевой задачи представима в виде

С(х,£,у - п) =

2 xß£ß ^ Jß (Am x) Jß (Am £) Г 2 (У - П) 1-am=! J2+ß (ХтГ)

E Jß Jm X)Jß Гт £) ^ ( - Am (y - пГ; а) , (13)

где Хт - положительные корни уравнення Зв(\тг) = 0, т = 1, 2,..., занумерованные в порядке их возрастания.

Теорема 2. Пусть (р(х) е С[0,г], у1-а т0(у), у1-а тг(у) е С[0,Т] и выполнены условия согласования

Ит Б^т^у) = <р(0), Ьш Р0у-1тг(у) = ф).

1

г

и(х,у) = ( £1-2в с (х,£,у) <р(£)

+ J £1-2ß Gfß(x,£,y - п)\= то(п) dn - r1-2ß J G^ß(x,r,y - n) ъ(n) dV, 0 0

где Ga,ß(x,£,y) определяется из (13).

В § 2.4 исследуется вторая краевая задача для уравнения (11) в прямоугольной области Dr.

Задача 2. Найти регулярное в области Dr решение уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям

lim Day-1u(x,y) = <p(x), 0 < x <r, lim xb ux(x,y) = vo(y), ux(r,y) = Vr(y), 0 <y<T,

x—» 0

У

У

где <р(х), щ(у) и (у) - заданные функции.

Функцию Оа,в(х,£,у), которая является решением уравнения (12) и вместе с условиями 2) и 3) теоремы 1 удовлетворяет условиям

Пт £ь оав(х,£,у — П) — 0, О?,в(х,г,у — п) —0, у —

назовем функцией Грина второй краевой задачи для уравнения (11). Функция Грина второй краевой задачи представима в виде

О (х,£,у — п) — 2 хв £в ^ 3-е (Хтх) 3-е (\т£) ^ ! Л2 л. ^ла

2, и Е J—ß Г2, J—ß() M — Xl (y — n)a; a), (14)

r2 (y — n) 1—aW=i J-ß (Xwr) aV J

где Хт - положительные корни уравнения 31—в (Хтт) — 0, т — 1, 2,...

Теорема 3. Пусть у(х) е С[0,г], у1—а ^о(у), у1—а (у) е С[0,Т]. Тогда

2

u(x,y)= Z1—2ßGa,ß(x,Z,y) <Ж) dZ

— J Ga,ß(x, 0, y — n) vo(n) dn + r1—22ß J Ga'ß(x,r,y — n) Vr(n) dn, 00

где функция Ga,ß(x,Z,y) определяется из (14).

В § 2.5 построены функции Грина и найдены представления решений двух

Dr.

Dr

летворяющее краевым условиям

lim Day—1u(x,y) = <ß(x), 0 < x <r,

r

У

У

u(0,y ) = to^ Ux{r,y) = vr (y), 0 < y <T.

Задача 4. Найти регулярное в области Dr решение уравнения (11), f/doe-летворяющее краевым условиям

lim D0y-1u(x,y) = p(x), 0 < x <r,

lim xbUx(x,y) = vo(y), u(r, y) = Tr(y), 0 < y < T.

Третья глава посвящена исследованию краевых задач в неограниченных областях для дифференциальных уравнений с оператором Бесселя, производными Римини Лиуиилля и Капуто.

В §3.1 исследуется задача Коши в области Q = {(x,y) : —то < x < то, 0 < y < T} для уравнения (9).

Регулярным, решением уравнения (9) в области Q будем называть функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (9) в области Q, и такую, что y 1—au Е C(Q), Bxu, Dayu Е C(Q), Q - замыкание области Q.

В случае, когда f (x,y) = 0 исследована задача Коши и доказана соответствующая теорема существования и единственности решения.

Задача 5. Найти регулярное в области Q решение уравнения (11), удовлетворяющее условию

lim D0y—1u(x,y) = tß(x), —то < x < то,

где ip(x) - заданная функция.

Теорема 4. Пусть <p(x) Е C(—то, то) и выполняется условие

(2 \ 2 а

—р |x|^l = 0, р< (2 — а) 2 —^ (а/Т) ^ .

г, '

Тогда функция

u(x,y) = Ц|1-2вГ(x,£,y) <Ж) d£,

—оо

где Га,в(x,£,y) определяется, из (10), является регулярным, решением задачи 5.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некотором положительном k условию

lim y1-а u(x,y)exp(y — k \x\) = 0.

|—

В этом параграфе также доказана теорема существования решения задачи Коши в случае, когда f (x,y) ф 0, и показана неулучшаемость показателя степени в условии единственности решения задачи Коши.

В §3.2 исследуется первая краевая задача в области Q+ = {(x,y) : 0 < x < ж, 0 < y < T} для уравнения (11).

Регулярным, решением уравнения (11) в области Q+ будем называть функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (11) в области Q+, и такую что y 1—au € C(&+), Bxu, DQyu € C(Q+), - замыкание области Q+.

Задача 6. Найти регулярное в области решение уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям

lim Da—1u(x,y) = <p(x), 0 < x < ж,

u(0,y)= t(y), 0 <y<T,

где tf(x) и t(y) - заданные функции.

Обозначим через

„.ß „, — aß/2—1 / ,r \

K'"ß (x,y) = J , (15)

G a,^ß (x,£,y) = A g(x,£,y), (16)

где

x ß £ ß x2+i2 f g(x'by) = -2y-e- 4y Iß{Ту)'

В случае ц = 0 будем обозначать Gа'°'ß(x,£,y) = G a,ß(x,£,y). Теорема 5. Пусть ip(x) G C[0, то), y1—a t(y) e C[0,T],

(2 \ 2 а

-рх—Л =0, p< (2 - а) 2-2-а (a/T) ^ , (17) /

и выполнено условие согласования lim Dау 1 т(y) = ^(0). Тогда функция

то у

u(x,y) = J £1-2ß G a,ß (x,£,y) <p(£) d£ + J K a,ß (x,y - n) T (n) dn, °°

где Ga,ß(x,£,y) определяется из (16), Ka,ß(x,y) - из (15), является регулярным решением задачи 6.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некотором положительном k условию

lim y1-а u(x,y) exp ( — kx ) = 0. (18)

х^то

В § 3.3 исследуется вторая краевая задача в области Q+.

Задача 7. Найти регулярное в области решение уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям

lim D0ay—1u(x,y) = <ß(x), 0 < x < то,

lim xb Ux(x,y ) = v (y), 0 < y <T, где tf(x) и v(y) - заданные функции.

Обозначим через

х 3 у ав/2—1 / х \

ка,в (х'у)=- 21-в Г (1-е) ^ 2-Ч УОЧ' (19)

С (х,£,у) = А У" д(х,£,у), (20)

где

х 3£в ж2+е2 { Х£\ д(хЛ,у) = -^е- -).

В случае д = 0 будем обозначать Са'0,3(х,£,у) = С а,в(х,£,у).

Теорема 6. Пусть (р(х) е С[0, то), у1-аV(у) е С[0,Т] и выполнено условие (17). Тогда функция

то у

и(х,у) = I £1-2/3 С а,в (х,£,у) <р(£) + У к а,в (х,у - п) V (ц) Лц, 0 0

где, Са,в(х,£, у) определяется из (20), Ка,в(х,у) - из (19), является регулярным решением задачи 7.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию (18).

В § 3.4 исследуются краевые задачи в неограниченных областях для уравнения с производной Капуто

Бхп(х, у) - д0уи(х, у) = 0, (21)

где Щ < 1, 0 < а ^ 1.

Регулярным, решением уравнения (21) в области й будем называть функцию и = и(х, у), удовлетворяющую уравнению (21) в области й, и такую, что и е С (й), Бхи, д0у и е С (й).

Задача 8. Найти регулярное в области й решение уравнения (21), удовлетворяющее условию

и(х, 0) = ^(х), -то < х < то,

где <р(х) - заданная функция.

Теорема 7. Пусть функция <р(х) удовлетворяет условиям теоремы 4 и условию Гёльдера по переменной х. Тогда, функция

00

u(x,y )=у |£ |1—2ß г °1—a,ß (x,£,y) <р(£) d£,

—то

где Гa 1—a,ß(x,£,y) определяется из (10), является регулярным решением задачи 8.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при, некото-

k

2

lim u(x, y) exp ( — k |x| ) = 0.

|x|—^то

Регулярным, решением уравнения (21) в области будем называть функцию u = u(x, y), удовлетворяющую уравнению (21) в области Q+, и такую, что u G C(Ü+), Bxu, д°уu G C(fi+).

Первая, краевая, задача для уравнения (21) в области формулируется следующим образом.

Задача 9. Найти регулярное в области решение уравнения (21), удовлетворяющее краевым условиям

u(x, 0) = if(x), 0 < x < то,

u(0,y) = т(y), 0 <y<T.

Теорема 8. Пусть функция <p(x) G C[0, то) удовлетворяет условию Гёльдера по переменной x, т(y) G C[0,T], ^>(0) = т(0) и вы,полнено условие (17). Тогда, функция

то у

u(x,y) = i £1-2ß G°1-a,ß(x, £, y) p(£) d£ +f Ka,ß(x,y - n) т(n) dn,

где G1—a,ß(x,£,y) определяется из (16), Ka,ß(x,y) - из (15), является регулярным решением задачи 9.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих при некотором положительном k условию

lim u(x, y) exp ( — kx=0. (22)

Сформулируем вторую краевую задачу для уравнения (21) в области Q+.

Задача 10. Найти регулярное в области решение уравнения (21), удовлетворяющее краевым условиям

u(x, 0) = p(x), 0 < x < ж,

lim xbUx(x,y) = v(y), 0 < y < T.

Теорема 9. Пусть функция <p(x) E C[0, ж) удовлетворяет условию Гёльдера по переменной x, v(y) E C[0,T] и вы,полнено условие (17). Тогда, функция

ж y

U(x,y) = j £1—2ß G a l—a,ß (x,£,y) <p(£) d£ + j K a,ß (x,y — n) v(n) dn, 0 0

где G1—a,ß(x,£,y) определяется из (20), Ka,ß(x,y) - из (19), является регулярным решением задачи 10.

Решение единственно в классе функций, удовлетворяющих условию (22).

В § 3.5 рассматривается уравнение с переменным младшим коэффициентом, соответствующее уравнению (9). Устанавливается условие на младший коэффициент, при котором задача Коши будет иметь единственное решение в классе ограниченных функций с весом.

В заключении приводятся основные результаты работы.

Глава 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ 1.1. Некоторые специальные функции

Гамма-функция. Гамма-функцией или эйлеровским интегралом второго рода, называется функция Г(й), определяемая равенством [1, с. 15], [26, с. 8], [28, с. И]

с»

Г(5)=/б-Ч8-1(И, 11е5> 0. (1.1.1)

Функция r(s) аналитична в комплексной плоскости s всюду, кроме точек s = -n, n = 0,1, 2,..., в которых имеет полюсы первого порядка с вычетами (-1)n/n!, n = 0,1, 2,... Имеют место формулы

r(s + n) = (s)„r(s), (1.1.2)

r(s + 1 - n)=(-1)("r(s + 1), (1.1.3)

(-s)n

где n = 0,1, 2,..., (s)n - так называемый символ Похгаммера, определяемый равенствами

(s)n = s(s + 1)(s + 2)...(s + n - 1), (s)o = 1. (1.1.4)

Бета-функция. Бета-функцией или эйлеровским интегралом первого рода, называется функция B(а, в), определяемая равенством [1, с. 23], [26, с. 5], [28, с. 25]

1

B(а, в) = /1а-1(1 - t) e-1dt, Rea > 0^ев > 0,

и связана с гамма-функцией формулой

= а,Я

Функции Бесселя. Функция ■(г), определяемая рядом [2], [26, с. 95], [28, с. 127]

называется цилиндрической или бесселевой функцией первого рода порядка V. При 1гI ^ 0 функция (г) имеет следующее поведение

■^ - г(^ТГ) (I]. (1Л'7)

При | г1 ^ ж для функции (г) справедливо асимптотическое представление

■(г) = \1Лг, СОБ(г - Т - 1) + °(1г3)■ (1Л-8)

Имеют место формулы дифференцирования

— [г-(г)] = -г-"Зу+Х(г), — [г"(г)] = г'■-Х(г), (1.1.9) и рекуррентные формулы

V (г) - г IV(г) = г +\(г), V ■ (г) + г ■ (г) = г -\(г), (1.1.10)

г ■ -1(г) + 3У+х(г)] = 2у (г). (1.1.11)

Функция Бесселя порядка, равного половине целого нечетного числа, выражается через элементарные функции, в частности

■ (г) = \ —ът г, 1 (г) = \ —соъ г, (1.1.12)

2 V пг 2 V пг 4

1 (*)Ч К ^ -сов (1ллз)

Имеет место равенство [39, с. 690

У \(Шт*] , = , 0 ^ г< 1, (1.1.14)

1,1 1 . (т ) 2 ' ' v ;

т=1

11+^ (/т) 2

где /т - положительные корни уравнения (/) = 0. Докажем следующее равенство

1тг У 2 • т*} Ч = г- г^, 0 <г ^ 1, (1.1.15)

где /т - как и в (1.1.14), положительные корн и уравнения (/) = 0.

Разложим функцию /(г) = г - - гV, заданную в интервале (0; 1), в ряд Фурье-Бесселя [28, с. 163]

с

/(г) = Е Ст1 (/тг) , (1.1.16)

т=1

где V > -1 /2, коэффициенты ст вычисляются по формуле

1

Ст = ~т2—7—а (/тг) / (г) ¿г, т = 1, 2,... (1.1.17)

• 1+и (/т) 3 0

Условия, обеспечивающие сходимость ряда (1.1.16) к рассматриваемой функции /(г), будут выполнены, если -1/2 < V < 3/2 [28, с. 165].

Подставляя функцию / (г) = г - - г" в (1.1.17) и вычисляя полученный интеграл с помощью формул (1.1.9) и учитывая при этом (1.1.7), получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хуштова Фатима Гидовна, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эр-дейи. - М.: Наука, 1965. - Т. 1.

2. Ватсон, Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. М.: Издательство иностранной литературы, 1949. - 787 с.

3. Ворошилов, A.A. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Кинуто / А. А. Ворошилов, А. А. Килбас // Дифференц. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 5. - С. 599-609.

4. Ворошилов, А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римини Лиуиилля / А.А. Ворошилов, A.A. Килбас // Доклады Академии наук. - 2006. - Т. 406, № 1. - С. 12-16.

5. Гарипов, И. Б. Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя с интегральным условием первого рода / И. Б. Гарипов, P.M. Мавлявиев // Известия ТулГУ. Естественные науки. -2013. - Вып. 1. - С. 5-12.

6. Гарипов, И. Б. Краевая задача для одного параболического уравнения с оператором Бесселя с интегральным условием второго рода / И. Б. Гарипов, P.M. Мавлявиев // Известия ТулГУ. Естественные науки, _ 2014. - Вып. 1, Ч. 1. - С. 14-21.

7. Геккиева, С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной /С.Х. Геккиева // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2000. Т. 5. Л'° 1. С. 16-19.

8. Геккиева, С. X. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области / С.Х. Геккиева // Известия КБНЦ РАН. - 2002. - № 1 (8). - С. 6-8.

9. Горьков, Ю. П. О представлении решения одной краевой задачи для стационарного уравнения броуновского движения / Ю.П. Горьков // Вычислительные методы и программирование. - 2004. Т. 5. С. 118 123.

10. Горьков, Ю. П. Об асимптотике решения броуновского движения / Ю.П. Горьков // Вычислительные методы и программирование. -2003. - Т. 4. - С. 19-25.

11. Горьков, Ю.П. Построение фундаментального решения параболического уравнения с вырождением / Ю.П. Горьков // Вычислительные методы и программирование. - 2005. - Т. 6. - С. 66-70.

12. Джрбашян, М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области / М.М. Джрбашян. - М.: Наука, 1966. - 672 с.

13. Динариев, О. Ю. Фильтрация в трещиноватой среде с фрактальной геометрией трещин / О. Ю. Динариев // Механика жидкости и газа. -1990. - № 5. - С. 66-70.

14. Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление / В. А. Диткин, А. П. Прудников. - М.: Физматлит, 1961. - 524 с.

15. Житомирский, Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя / Я. И. Житомирский // Математический сборник. - 1955. -Т. 36(78), № 2. - С. 299-310.

16. Зеленый, Л. М. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики / Л. М. Зеленый, А. В. Милованов // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 178, № 8. -С. 809-852.

17. Катрахов, В. В. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений / В. В. Катрахов, С. М. Сит-

ник // Современная математика. Фундаментальные направления. -2018. - Т. 64, № 2. - С. 211-426.

18. Килбас, А. А. Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка (курс лекций) / А. А. Килбас // Методологическая школа-конференция «Математическая физика и нанотехнологии». Самара, 2009. - 121 с.

19. Киприянов, И. А. О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений / И. А. Киприянов, В. В. Ка-трахов, В. М. Ляпин // ДАН СССР. - 1976. - Т. 230, № 6. - С. 1271-1274.

20. Киприянов, И. А. Оптимальное управление процессами, описываемыми сингулярными уравнениями параболического типа / И. А. Киприянов, А. А. Куликов // Дифференц. уравнения. - 1994. - Т. 30, № 11. - С. 19821987.

21. Киприянов, И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И. А. Киприянов. - М.: Наука. Физматлит, 1997. - 208 с.

22. Кочубей, А. Н. Диффузия дробного порядка / А. Н. Кочубей // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 4. - С. 660-670.

23. Кочубей, А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка / А. Н. Кочубей // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, № 8. - С. 1359-1368.

24. Кочубей, А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка / А. Н. Кочубей, С. Д. Эйдельман // Доклады АН. - 2004. -Т. 394, № 2. - С. 159-161.

25. Краснов, М. Л. Интегральные уравнения / М. Л. Краснов. - М.: Наука, 1975. - 304 с.

26. Кузнецов, Д. С. Специальные функции / Д. С. Кузнецов. - М.: Высшая школа, 1962. - 248 с.

27. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М.: Наука, 1965. - 716 с.

28. Лебедев, H.H. Специальные функции и их приложения / H.H. Лебедев. - М.: Физматлит, 1963. - 359 с.

29. Ляхов, Л. Н. Задача Коши для параболических систем дифференциальных уравнений с Dß-оператором Бесселя / Л.Н. Ляхов, Л. Б. Райхель-гауз // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2010. - № 2. - С. 118-125.

30. Ляхов, Л.Н. Фундаментальное решение сингулярных дифференциальных уравнений с Dß-оператором Бесселя /Л.Н. Ляхов // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. - 2012. - Т. 278. - С. 148-160.

31. Малыми кои. A.B. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией / A.B. Малыми кои // Инженерно-физический журнал. - 1992. -Т. 62, № 3. - С. 405-410.

32. Мамчуев, М.О. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частными производными дробного порядка / М. О. Мамчуев. - Нальчик.: Изд-во КБНЦ РАН, 2013. - 200 с.

33. Маричев, О. И. Метод вычисления интегралов от специальных функций (теория и таблицы формул) / О. И. Маричев. - Мн.: Наука и техника, 1978. - 312 с.

34. Матшчук, M.I. 11ирибо.mini сингулярш крииош зиди'п / M.I. Матш-чук. - Киш: 1п-т математики HAH Украши, 1999. - 176 с.

35. Нахушев, А. М. О правильной постановке краевых задач для параболических уравнений со знакопеременной характеристической формой / А. М. Нахушев // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9, № 1. -С. 130-135.

36. Нахушев, A.M. Дробное исчисление и его применение / A.M. Нахушев. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

37. Нахушева, З.А. Задача Самарского для уравнения фрактальной диффузии / 3.3. Нахушева // Математические заметки. - 2014. - Т. 95, вып. 6. - С. 878-883.

38. Новоженова, О. Г. Биография и научные труды Алексея Никифоро-вича Герасимова. О линейных операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных / О. Г. Новоженова. - М.: Перо, 2018. - 235 с.

39. Прудников, А.П. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука, 1983. -752 с.

40. Прудников, А. П. Интегралы и ряды. Т. 3. Дополнительные главы / А.П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. - М.: Наука, 1986. -800 с.

41. Псху, A.B. Об обращении интегрального преобразования Б. Станко-вича / A.B. Псху // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2013. - Т. 15, № 2. - С. 64-67.

42. Псху, А. В. Интегральное преобразование с функцией Райта в ядре / А. В. Псху // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. - 2002. - Т. 6, № 1. - С. 35-47.

43. Псху, А. В. Первая краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения в нецилиндрической области / A.B. Псху // Известия РАН. Серия математическая. - 2017. - Т. 81, № 6. - С. 158-179.

44. Псху, А. В. Решение краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка методом функции Грина / A.B. Псху // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 10. - С. 1430-1433.

45. Псху, A.B. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка / А. В. Псху // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, № 9. - С. 1286-1289.

46. Псху, А. В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования / A.B. Псху // Сибирские электронные математические известия. - 2016. - Т. 13. - С. 1078-1098.

47. Псху, A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка / А. В. Псху. - М.: Наука, 2005. - 199 с.

48. Псху, А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения / А. В. Псху // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. -Т. 73, № 2. - С. 141-182.

49. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. - 368 с.

50. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, A.A. Килбас, О. И. Маричев. - Мн.: Наука и техника, 1987. - 688 с.

51. Ситник, С.М. Метод операторов преобразования для дифференциальных уравнений с операторами Бесселя / С.М. Ситник, Э.Л. Шишкина. М.: Физматлит, 2018. - 246 с.

52. Терсенов, С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени / С. А. Терсенов. - М.: Наука. Сибирское отделение, 1985. - 105 с.

53. Тихонов, А. Н. Собрание научных трудов: в десяти томах. II. Математика. Ч. 2. Вычислительная математика. 1956-1979. Математическая физика. 1933-1948. / Ред.-сост. Т.А. Сушкевич, А.В.Гулин. - М.: Наука, 2009. - 590 с.

54. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, A.A. Самарский. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

55. Толстов, Г. П. Ряды Фурье / Г. П. Толстов. - М.: Физматлит, 1960. -390 с.

56. Учайкин, В. В. Анизотропия космических лучей в дробно-дифференциальных моделях аномальной диффузии / В. В. Учайкин // ЖЭТФ. - 2013. - Т. 143. вып. 6. - С. 1039-1047.

57. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II / Г.М. Фихтенгольц. - М.: Наука, 1969. - 800 с.

58. Хуштова, Ф.Г. Первая краевая задача в полуполосе для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и производной Римана-Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Математические заметки. - 2016. - Т. 99, вып. 6. - С. 921-928.

59. Хуштова, Ф. Г. Вторая краевая задача в полуполосе для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля / Ф.Г. Хуштова // Математические заметки. -2018. - Т. 103, вып. 3. - С. 460-470.

60. Хуштова, Ф.Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка / Ф.Г. Хуштова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2015. - Т. 19, № 4. - С. 722-735.

61. Хуштова, Ф.Г. Задача Коши для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2016. - Т. 20, Л" 1. С. 74-84.

62. Хуштова, Ф.Г. Вторая краевая задача в полуполосе для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и производной Римана-Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Известия вузов. Математика. - 2017. -Л" 7. - С. 84-93.

63. Хуштова, Ф.Г. Первая краевая задача в полуполосе для дробно-дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной про-

изводной Римана-Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Уфимский математический журнал. - 2017. - Т. 9, вып. 4. - С. 117-128.

64. Хуштова, Ф.Г. Первая краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа / Ф.Г. Хуштова // Материалы Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Белгород. - 2013. - С. 243-244.

65. Хуштова, Ф.Г. Краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа в неограниченной области / Ф.Г. Хуштова // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Современные вопросы математической физики, математической биологии и информатики», посвященная памяти академика A.A. Самарского. - Нальчик. - 2014. - С. 130-132.

66. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в видоизмененной постановке для нагруженного уравнения параболического типа / Ф.Г. Хуштова // Материалы конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложение-V». - Ростов-на-Дону. - 2015. - С. 146-147.

67. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полуполосе для вырождающегося уравнения параболического типа с оператором Римана-Лиувилля / Ф. Г. Хуштова // Материалы I Международной научной конференции «Осенние математические чтения в Адыгее». - Майкоп. - 2015. - С. 220222.

68. Хуштова, Ф. Г. Первая и вторая краевые задачи в полуполосе для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и производной Римана-Лиувилля / Ф.Г. Хуштова / / Труды десятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Ч. 3: Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ. - 2016. - С. 85-88.

69. Хуштова, Ф. Г. Первая краевая задача в полу пол осе для дифференциального уравнения с оператором Бесселя и производной Римини Лиувилля / Ф.Г. Хуштова // Тезисы докладов Международной научной конференции «Актуальные проблемы теории уравнений в частных производных». - М.: МАКС Пресс. - 2016. - С. 60.

70. Хуштова, Ф. Г. Задача Коши для уравнения дробной диффузии с оператором Бесселя / Ф. Г. Хуштова // Материалы Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и физики». - Нальчик. - 2017. - С. 215-216.

71. Хуштова, Ф.Г. Смешанная краевая задача для дифференциального уравнения с оператором Бесселя и частной производной Римини Лиувилля /Ф.Г. Хуштова / / Материалы IV Международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики». - Нальчик. - 2018. - С. 269.

72. Хуштова, Ф.Г. К единственности решения задачи Коши для дробного уравнения диффузии с оператором Бесселя / Ф.Г. Хуштова // Тезисы докладов Международной школы-конференции «Соболевские чтения», посвященная 110-летию со дня рождения Сергея Львовича Соболева. -Новосибирск: Изд-во Института математики. - 2018. - С. 184.

73. Alexiades, V. Generalized axially symmetric heat potentials and singular parabolic initial boundary value problems / V. Alexiades // Archive for Rational Mechanics and Analysis. - 1982. - V. 79, - Issue 4. - pp. 325-350.

74. Arena, O. On a degenerate elliptic-parabolic equation / O. Arena // Comm. in partial differential equations. - 1978. - 3 (11). - pp. 1007-1040.

75. Arena, O. On a Singular Parabolic Equation Related to Axiallly Symmetric Heat Potentials / O. Arena // Annali di Mat. Рига Appl. - 1975. - Ser. IV. 105. - pp. 347-393.

76. Calton, D. Cauchy's problem for a singular parabolic partial differential equation / D. Calton // Diff. Equations. - 1970. - V. 8, № 2. - pp. 250-257.

77. Gevrey, M. Sur les équations aux dérivées Partielles du type parabolique /M. Gevrey // Journal de mathématiques pures et appliquées. -1913. - 6e série. - V. 9. - pp. 305-476.

78. Gevrey, M. Sur les équations aux dérivées Partielles du type parabolique

(suite) /M. Gevrey // Journal de mathématiques pures et appliquées. -

e

79. Giona, M. Fractional diffusion equation on fractals: one-dimensional case and asymptotic behavior / M. Giona, H.E. Roman // Physica A: Math. Gen. - 1992. - T. 25. - pp. 2093-2105.

80. Gorenflo, R. Analytical properties and applications of the Wright function R. Gorenflo, Y. Luchko, F. Mainardi // Fract. Calc. Appl. Anal. - 1999. V. 2, № 4. - pp. 383-414.

81. Kepinski, S. Integration der Differentialgleichung — |§f = 0 S. Kepinski // Bull. Int. de lAcad. des Sci. de Cracovie. - 1905. - pp. 198 205.

82. Kepinski, S. "Uber die Differentiateichung 0- + fx — xff = 0 S. Kepinski // Math. Ann. - 1905. - V. 61, Issue 3. - pp. 397-405.

83. Khushtova F. G. The second boundary value problem in a halfstrip for a degenerate parabolic equation with the Riemann-Liouville operator / F. G. Khushtova // Proceedings of International Russian-Chinese Conference «Actual Problems of Applied Mathematics and Physics» and School for Young Scientists «Nonlocal Boundary Problems and Modern Problems of Algebra, Analysis and Informatics». - Elbrus. - 2015. - pp. 9092.

84. Kilbas, A. A. H-Transform. Theory and Applications / A. A. Kilbas, M. Saigo. - Chapman and Hall/CRC, Boca Raton-London-New York-Washington, D.C. 2004.

85. Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Differential Equation / A. A. Kilbas, H.M. Srivastava, J.J. Trujillo. - North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204. Elsevier, Amsterdam etc., 2006.

86. Kochubei, A.N. Asymptotic Properties of Solutions of the Fractional Diffusion-Wave Equation / A.N. Kochubei // Fract. Calc. Appl. Anal. -2014. - V. 17, № 3. - pp. 881-896.

87. Kochubei, A. N. Cauchy Problem for Fractional Diffusion-Wave Equations with Variable Coefficients / A. N. Kochubei // Journal Applicable Analysis. - 2014. - V. 93, № 19. - pp. 2211-2242.

88. Kochubei, A.N. Distributed Order Calculus and Equations of Ultraslow Diffusion / A. N. Kochubei //J. Math. Anal. Appl. - 2008. - V. 340, № 1. -pp. 252-281.

89. Mainardi, F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation /F. Mainardi // Applied Mathematics Letters. - 1996. - V. 9, № 6. - pp. 23-28.

90. Mainardi, F. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation / F. Mainardi, Yu. Luchko, G. Pagnini // Fract. Calc. Appl. Anal. -2001.-V. 4, №2.-pp. 153-192.

91. Mainardi, F. The time fractional diffusion-wave equation /F. Mainardi // Radiophysics and Quantum Electronics. - 1995. - V. 38, № 1-2. - pp. 13-24.

92. Mathai, A.M. The H-function. Theory and Applications / A.M. Mathai, R. K. Saxena, H.J. Haubold. - Springer, 2010. - 270 p.

93. Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diffusion / R. Metzler, W. G. Glockle, T. F. Nonnenmacher // Physica A. - 1994. - T. 211. - pp. 1324.

94. Metzler, R. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach / R. Metzler, J. Klafter // Physics Reports. - 2000. -T. 339. - pp. 1-77.

95. Metzler, R. The restaurant at the end of the random walk: recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics / R. Metzler, J. Klafter // Physica A: Math. Gen. - 2004. -T. 37. - pp. R161-R208.

96. Myller-Lebedeff, W. Uber die Anwendung der Integralgleichungen in einer parabolischen Randwertaufgabe / W. Myller-Lebedeff // Math. Ann. -1908. - V. 66, Issue 3. - pp. 325-330.

97. O'Shaugnessy, B. Analytical Solutions for Diffusion on Fractal Objects / B. O'Shaugnessy, I. Procaccia // Phys. Rev. Lett. - 1985. - V. 54. - pp. 455 458.

98. Pagani, C. D. On the parabolic equation and a related one / C. D. Pagani // Ann. mat. pura ed appl. - 1974. - T. 99, № 4. - pp. 333-339.

99. Pagnini, G. A stochastic solution with Gaussian stationary increments of the symmetric space-time fractional diffusion equation / G. Pagnini, P. Paradisi// Fract. Calc. Appl. Anal. - 2016. - V. 19, № 2. - pp. 408440.

100. Pagnini, G. The M-Wright function as a generalization of the Gaussian density for fractional diffusion processes / G. Pagnini // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2013. - V. 16, № 2. - pp. 436-453.

101. Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. - Academic Press. San Diego etc., 1999. - 366 p.

102. Pskhu, A. V. Multi-time fractional diffusion equation / A. V. Pskhu // Eur. Phys. J. Special Topics. - 2013. - V. 222, № 8. - pp. 1939-1950.

103. Stankovic, B. On the function of E.M. Wright / B. Stankovic // Publications de L'institut Mathématique (Beograd). - 1970. - V. 10(24) -pp. 113-124.

104. Stankovic, B. Inversion et invariantes de la transformation généralisée de Hankel / B. Stankovic // Publications de L'institut Mathématique (Beograd). - 1955. - V. 8 - pp. 37-52.

105. Tychonoff, A. Théoremes d'unicité pour l'équation de la chaleur / A. Tychonoff // Mat. sb. - 1935. - V. 42, № 2. - pp. 199-216.

106. Uchaikin, V.V. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. V. I. Background and Theory / V.V. Uchaikin. - HEP/Springer, 2013. - 385 p.

107. Wright, E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function / E. M. Wright // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1940. - V. s2-46. - pp. 389-408.