Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ефимов, Антон Валентинович

• Ефимов, Антон Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ефимов, Антон Валентинович

Введение.

Глава 1. Краевые задачи со смещением для дифференциальных уравнений гиперболического типа.

§1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования и некоторые их свойства.

§ 1.2. Нелокальная краевая задача для уравнения

Геллерстедта.

§ 1.3. Нелокальная краевая задача для гиперболического уравнения второго рода в характеристической области.

§ 1.4. О краевой задаче с операторами М. Сайго и Римана

Лиувилля для уравнения влагопереноса при а = 1.

§ 1.5. Нелокальная краевая задача для уравнения влагопереноса при а = -1.

Глава 2. Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа.

§ 2.1. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода.

§ 2.2. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода.

§ 2.3. О нелокальных задачах для параболо-гиперболичского уравнения с дробной производной.

§ 2.4. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные краевые задачи для модельных уравнений гиперболического и смешанного типов»

Диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов в ограниченных областях, а также для уравнений смешанного типа с дробной производной в неограниченных областях.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов. Теория краевых задач для таких уравнений является одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Основополагающими в развитии этой теории стали труды Ф. Трикоми [87] и С. Геллерстедта [94]. В работах отечественных и зарубежных математиков рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи. Большая заслуга в развитии таких исследований принадлежит A.B. Бицадзе, С.П. Пулькину, В.А. Ильину, Е.И. Моисееву, Л.И. Чибриковой, В.И. Жегалову, A.M. Нахушеву. Интересные результаты получены в работах В.Ф. Волкодавова, В.Н. Врагова, Ф.Г. Мухлисова, Н.Б. Плещинского, P.C. Хайруллина, К.Б. Сабитова, А.Н. Зарубина, O.A. Репина, JI.C. Пулькиной, A.A. Андреева, и др. Среди опубликованных за последние годы работ, отметим следующие: [5-6], [8-11], [13-14], [22-25], [26-27], [29], [33-34], [40], [43], [47], [48-50], [58], [65-66], [69], [70-71], [77-79], [90-91], [92].

Необходимость решения современных проблем физики, как отмечает в своей обзорной работе A.A. Самарский [81], повлекла за собой возникновение качественно нового класса задач, получивших название нелокальных задач. Сам термин «нелокальная» задача, по-видимому, впервые встречается в работе A.A. Дезина [19].

Это такие задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения между значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.

На подобные краевые условия, возникающие в теплопроводности, в 1922 году было указано В.А. Стекловым [86] и в 1956 году - Ф.И. Франклем [89] при решении конкретной газодинамической задачи. Однако самому пристальному вниманию нелокальные задачи подверглись после публикации работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [11], в которой были предложены новые постановки эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями, возникающими в теории плазмы.

Существенный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов внесли В.И. Жегалов [22] и A.M. Нахушев [56], предложившие ряд нелокальных задач нового типа. Эти задачи вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением.

Благодаря исследованиям A.M. Нахушева, его учеников и последователей стала бурно развиваться теория задач со смещением, краевые условия которых содержат операторы дробного интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля [58].

Классические и современные результаты теории дробного интегродифференцирования и ее приложений к интегральным и дифференциальным уравнениям и теории функций изложены в монографии С.Г. Самко, A.A. Килбаса и О.И. Маричева [82].

Новым этапом развития этой теории было положено работами японского математика М. Сайго [98-102]. В его работах для гиперболического уравнения Эйлера-Дарбу-Пуассона (Э.Д.П.) в краевых условиях появились интегралы и производные дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса F(a,b;c;z) в ядре.

Нелокальным задачам, содержащим операторы в смысле М. Сайго и операторы подобной структуры, посвятили свои работы М.М. Смирнов [84], М.С. Салахитдинов, А. Хасанов [80], O.A. Репин [72-76], [31-32], A.A. Килбас [31-32], Д. Аманов [1], С.И. Макаров [45-46], С.Ю. Назаров [54-55], A.A. Андреев, E.H. Огородников [2-3] и другие математики.

Результаты настоящей диссертации являются продолжением исследований [31-32], [73], [95] в этом направлении. В работе поставлен и исследован ряд новых нелокальных краевых задач для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля, для уравнения Бицадзе-Лыкова (уравнения влагопереноса), для модельных уравнений смешанного эллиптико-гиперболического типа и параболо-гиперболического типа с дробной производной первого и второго родов. Отличительной особенностью этих задач является наличие в краевом условии производных и интегралов дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса.

Актуальность этих исследований можно обосновать как внутренними потребностями теоретического обобщения классических задач для уравнений математической физики, так и прикладным значением, поскольку вырождающиеся дифференциальные уравнения с частными производными связаны с задачами газовой динамики, теории теплопроводности, теории упругости, теории оболочек, теории плазмы, математической биологии, математическим моделированием различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой и многими другими вопросами механики. Следует отметить и такой аспект теории краевых задач со смещением, как получение новых результатов как в теории дробного интегродиффренцирования, так и в области дифференциальных и интегральных уравнений.

В работе широко используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными и операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для уравнений смешанного типа.

В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Для гиперболических уравнений Геллерстедта и Кароля в явном виде получены решения двух новых нелокальных задач, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегро-дифференцирования.

2. Для уравнения влагопереноса при различных значениях коэффициента при младшей производной поставлены и исследованы задачи со смещением с операторами М. Сайго и Римана-Лиувилля в краевом условии.

3. Для модельных уравнений эллиптико-гиперболического типа первого и второго родов доказаны существование и единственность решений четырех новых нелокальных задач со смещением, содержащих обобщенные дробные операторы в краевом условии.

4. Выявлены условия, обеспечивающие выполнение принципов экстремума при доказательстве единственности решений.

5. Доказаны существование и единственность решения нелокальных задач для параболо-гиперболических уравнений первого и второго родов с частной дробной производной Римана-Лиувилля и наличием обобщенных операторов М. Сайго в краевом условии. Решение поставленных задач ищется в области с неограниченной параболической частью различного вида.

6. Установлены ограничения на параметры операторов М. Сайго, при которых справедливы теоремы единственности и существования решения всех поставленных задач.

Работа носит теоретический характер. Она является продолжением развития теории нелокальных краевых задач для вырождающихся уравнений гиперболического и смешанного типов

Методы исследования могут быть применены для решения и исследования широкого класса краевых задач для дифференциальных уравнений смешанного типа, а также прикладных задач, приводящих к таким уравнениям.

Основные результаты диссертации докладывались на:

- Втором Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Самара, 2001 г.);

- научной конференции «Проблемы современной математики», посвященной 125-летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001 г.);

- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Мордовском государственном университете (Саранск, 2002 г.);

- международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в Самарском государственном архитектурно-строительном университете (Самара, 2002);

- всероссийских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самарском государственном техническом университете (Самара, 2003-2004 гг.);

- третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2003» в Казанском государственном университете (Казань, 2003 г.);

- десятой международной научной конференции им. акад. М. Кравчука в Национальном техническом университете Украины «КПИ» (Киев, 2004 г.);

- третьей и пятой международных конференциях молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2002 г., 2004 г.);

- семинарах кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2003-2004 гг. (руководитель - д. ф.-м. н., профессор В.П. Радченко);

Шестнадцать работ [105-120], опубликованных автором по теме диссертации, отражают ее основные результаты.

Диссертационная работа изложена на 120 страницах и состоит из введения, двух глав, включающих 9 параграфов и библиографического списка использованных источников, включающего 120 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ефимов, Антон Валентинович, 2004 год

1. Аманов Д. Некоторые нелокальные задачи для одного гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // ДАН Уз. ССР. 1984. № 7. -С. 4-7.

2. Андреев A.A., Огородников E.H. Нелокальные краевые задачи для вырождающейся системы и интегральные уравнения третьего рода // Интегр. уравнения и краевые задачи матем. физики. Мат. Всесоюзн. конф. Владивосток. 1990. С. 97.

3. Андреев A.A., Огородников E.H. Матричные интегродифференциальные операторы и их применения // Вестник СамГТУ. 1999. Серия «физико-матем. науки». С. 27-37.

4. Ахмед Махер, Плещинский Н.Б. Граничные задачи для уравнений смешанного типа с дефектом на линии изменения типа. Казань. «Препринт». 2001. - 30 с.

5. Бабенко К.И. К теории уравнений смешанного типа // Успехи матем. наук. 1953. Т. 8. №2.-С. 160.

6. Бабенко К.И. О принципе максимума для уравнений Эйлера-Трикоми // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. № 4. С. 777-782.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1.: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука. 1973. - 296 с.

8. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа // Труды Матем. института АН СССР им. В.А. Стеклова. 1953. Т. 41. С. 3-57.

9. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука. 1966. - 203 с.

10. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981.-448 с.

11. Бицадзе A.B., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // ДАН СССР. 1969. Т. 185. № 4. -С. 739-740.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ. 1959. -628 с.

13. Врагов В.Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. № 1. С. 7-16.

14. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск: НГУ. 1983. - 84 с.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. - 640 с.

16. Геккиева С.Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной АН. 2000. Т. 5. № 1. С. 16-19.

17. Геккиева С.Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Докл. Адыгской (Черкесской) Международной АН. 2001. Т. 5. № 2. С. 18-22.

18. Гринько А.П., Килбас A.A. Обобщенные дробные интегралы в пространствах Гельдера с весом // ДАН БССР. 1990. Т. 34. № 6. С. 493-496.

19. Дезин A.A. Операторы с первой производной по «времени» и нелокальные граничные условия // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. Т. 31. № 1. -С. 61-86.

20. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. - 671 с.

21. Джунисов А.Т. О единственности решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа с сильным нехарактеристическим вырождением // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 175. № 1. С. 168-170.

22. Жегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии // Уч. зап. Казанск. ун-та. 1962. Т. 122. Кн. 3. С. 3-16.

23. Жегалов В.И. Задача типа Трикоми с пятью смещениями в гиперболической части области // Труды семинара по краевым задачам. Изд-во Казанск. ун-та. 1978. Вып. 15. С. 48-52.

24. Жегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно-112составного типа // Изв. вузов. Математика. 1982. № 10. С. 15-18.

25. Жегалов В.И. К краевым задачам со смещениями для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Изв. вузов. Математика. 1986. № 3. С. 61-64.

26. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. -С. 88-94.

27. Зарубин А.Н. Начально-краевая задача для дифференциально-разностного уравнения Трикоми в неограниченной области // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 715-717.

28. Кальменов Т.Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7. № 1.-С. 178-181.

29. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1991. Т 27. № 1.-С. 60-68.

30. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллипти-ко-гиперболического типа // ДАН СССР. 1953. Т.88. № 2. С. 197-200.

31. Килбас A.A. Репин O.A. Задача со смещением для параболо-гиперболи-ческого уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 6. С. 799-805.

32. Килбас A.A. Репин O.A. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. №5. -С. 638-644.

33. Кислов Н.В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 8. -С. 1427-1436.

34. Кислов Н.В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Матем. сб. 1984. Т. 125 (167). № 1.-С. 19-37.

35. Кобелев В.Л. и др. О диффузии через фрактальную поверхность // ДАН России. 1997. Т. 355. № 3. С. 326-327.

36. Кобелев В.JI. и др. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве // ДАН России. 1998. Т. 361. № 6. С. 755-758.

37. Кобелев B.J1. и др. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // ДАН России. 1999. Т. 369. № 3. С. 332-333.

38. Кочубей А.Н. Задача Коши для эволюционного уравнения дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 8. С. 1359-1368.

39. Кочубей А.Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. №4.-С. 660-670.

40. Кузьмин А.Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике. Д.: Изд-во ЛГУ. 1990. - 204 с.

41. Кумыкова С.К. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболичес-* кого уравнения в характеристическом двуугольнике // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 79-91.

42. Лернер М.Е. О качественных свойствах функции Римана // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. № 12. С. 2106-2120.

43. Лыков A.B. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и массообмена // Инженер.-физ. жур. Минск. 1965. Т. 9. № 3. С. 287-304.

44. Макаров С.И. Задача Трикоми с комбинированными условиями склеивания для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Аналитические методы решения дифф. ур-ий. Куйбышев: Изд-во КГУ. 1988.-С. 105-111.

45. Моисеев Е.И. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа // Матем. заметки. 1986. Т. 30. Вып. 5. С. 707-718.

46. Моисеев Е.И. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 1. С. 110-121.

47. Моисеев Е.И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. № 1. С. 93-103.

48. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. 3-е изд., исправл. и дополн. - М.: Наука. 1968. - 512 с.

49. Мухлисов Ф.Г. О новых краевых задачах для одного сингулярного эллиптического уравнения // Тезисы докладов Сибир. конф. по неклассическим уравнениям матем. физики. 1995. Новосибирск. — С. 71.

50. Назаров С.Ю. О некоторых краевых задачах для уравнения Эйлера-Дарбу // Изв. АН Арм. ССР. Мат. 1989. Т. 24. № 5. С. 484-495.

51. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 4. С. 736-739.

52. Нахушев A.M. Об уравнениях состояния одномерных непрерывных систем и их приложениях. Нальчик: Логос. 1995. - 59 с.

53. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995.-301 с.

54. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение. Нальчик, изд-во КБНЦ РАН. 2000. - 299 с.

55. Нахушева В.А. Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения и смешанная задача для обобщенного волнового уравнения // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. 1996. Т. 2. № 1. С. 26-28.

56. Нахушева В.А. Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса. Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Нальчик. НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 1998. 9 с.

57. Нахушева Ф.Б. Некоторые конструктивные свойства решений гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 2. С. 334-340.

58. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. // Теорет. и матем. физика. 1992. Т. 90. № 3. С. 354-368.

59. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды МИАНСССР. 1968. Т. 103.-С. 181-200.

60. Петрушко И.М. О фредгольмовости некоторых краевых задач для уравнения и^ + уиуу + ссиу + ßux +уи = / в смешанной области // Дифференц.уравнения. 1968. Т. 4. № 1. С. 123-135.

61. Псху A.B. Краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными дробного порядка // Докл. Адыгской (Черкесской) Межд. АН. 2000. Т. 5. № 1. С. 45-53.

62. Псху A.B. Решение краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными дробного порядка. Нальчик: Сообщения Научно-исследовательского института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН. 2001.-43 с.

63. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнений и ±и +—и =0хх уу X

64. Ученые записки КГПИ. Куйбышев. 1958. Вып. 21. С. 3-55.

65. Пулькина J1.C. Об одной задаче для гиперболического уравнения с сингулярными коэффициентами // Труды второго междунар. семинара «Дифференц. уравнения и их приложения». Самара. 1998. С. 129-132.

66. Пулькина JI.C. О разрешимости в L2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36. № 2. С.279-280.

67. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 23. № 1. С. 173-176.

68. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Изд-во Саратовского ун-та. 1992. 164 с.

69. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения // ДАН России. 1994. Т. 335. № 3. С. 295-296.

70. Репин O.A. О задаче с операторами М.Сайго на характеристиках для уравнения влагопереноса // Сб. науч. трудов Белорусского университета, Минск. 1996. С. 299-305.

71. Репин O.A. О разрешимости задачи с краевым условием на характеристиках для вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34. № 1. С. 110-113.

72. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром // Диффернц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1.-С. 117-126.

73. Сабитов К.Б. К проблеме обобщенной задачи Трикоми, возникшей в теории сопла Лаваля // Диффернц. уравнения. 1990. Т. 26. № 5. С. 841-851.

74. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

75. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987.-688 с.

76. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970. - 296 с.

77. Смирнов М.М. Об одной задаче со смещением для уравнения смешанного типа второго рода с двумя линиями вырождения // Изв. вузов. Матем. 1982. № 3. С. 68-75.

78. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. шк. 1985. - 304 с.

79. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. М.: Наука. 1983.-432 с.

80. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. M.JI.: Гостехиздат. 1947. - 192 с.

81. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // Журнал технической физики. 1998. Т. 68. № 1.-С. 138-139.

82. Франкль Ф.И. Обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвуковой зоной, оканчивающиеся прямым скачком уплотнения // Прикл. мат. и мех. 1956. Т. 20. № 2. С. 196-202.

83. Хайруллин P.C. Об одной краевой задаче для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением // Труды семинара по краевым задачам. Казань. 1987. Вып. 23. С. 231-238.

84. Хайруллин P.C. К теории уравнения Эйлера-Пуассноа-Дарбу // Изв. вузов. Мат-ка. 1993. № 11. С. 69-76.

85. Чибрикова Л.И., Показеев В.И. Задачи Трикоми для одной многосвязной области. В кн. Краевые задачи теории функций комплексного переменного. Казань: Изд-во Казанск. ун-та. 1962. с. 73-79.

86. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. Вып. 5(11).-С. 1875-1884.

87. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte // Arciv Mat., Astr. Och. Fisik. 1937. 25 A, 29. P. 1-23.

88. Kilbas A.A., Repin O.A., Saigo M. Solution in Closed Form of Boundary Value Problem for Degenerate Equation of Hyperbolic type // Kyungpook. Mathematical Journal. 1996. Vol. 36. № 2. P. 261-273.

89. Nigmatullin R.R. The realization of the Generalized Transfer Equation in a Medium with Fractal Geometry // Phys. Status Solidi. B. 1986. Vol. 133. № 1. P. 425-430.

90. Pleshchinskaya I.E., Pleshchinskii N.B. The Cauchy problem and potentials for elliptic partial differential equations and some of their applications // Advances in Equat. and Inequal. (ed. J.M.Rassias). Hadronic Press. 1999. - P. 127-146.

91. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric functions. // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1978. Vol. 11. № 2. P. 135-143.

92. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Poisson-Darboux equation // Math. Japan. 1979. Vol. 24, № 4. P. 377-385.

93. Saigo M. On the Holder continuity of the generalized fractional integrals and derivatives // Math. Rep. Kyushu. Univ. 1980. Vol. 12. № 2. P. 55-62.

94. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japan 1980. Vol. 25. № 2. P. 211-220.

95. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler-Darboux equation // Math. Japan 1981. Vol.26. № 1. P. 103-119.

96. Saigo M., Kilbas A.A. Generalized fractional integrals and derivatives in Holder spaces. Transform Methods and Special Functions, Sofia 94 (Proceeding of International Workshop). Sci. Cult. Tech. Publ., Singapore. 1995. P. 282-293.

97. Saigo M., Repin O.A., Kilbas A.A. On a non local boundary value problem for an equation of mixed parabolic-hyperbolic type // International Journal of Mathemat. and Statistical. 1996. Vol. 5. № 1. P. 104-117.

98. Ефимов A.B. Некоторые краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа // Тезисы докладов XXVII самарской областной студенческой научной конференции. Самара. СамГТУ. 2001. С. 79.

99. Ефимов A.B., Репин O.A. Аналог задачи A.M. Нахушева для уравнения Геллерстедта // Обозрение прикладной и промышленной математики. Т.8. Вып.1. М.: Научное изд-во «ТВП». 2001. С. 169.

100. Ефимов A.B. Нелокальная краевая задача для уравнения Геллерстедта в характеристической области // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 11. Казань. «Унипресс». 2001. С. 83-87.

101. Ефимов A.B. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Геллерстедта // Актуальные проблемы современной науки. Труды 3-й международной конференции молодых ученых. 4.1. Математика. Механика. Самара. СамГТУ. 2002. С. 13-14.

102. Ефимов A.B. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго рода // Дифференциальные уравнения и их приложения. Сборник трудов международной научной конференции. Самара. СамГАСА. 2002. С. 113-116.

103. Ефимов A.B. О задаче со смещением для уравнения смешанного типа первого рода // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 19. Самара. СамГТУ. 2003. С. 29-33.

104. Ефимов A.B. О нелокальной задаче для параболо-гиперболического уравнения с дробной производной // Труды международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с-120сингулярными коэффициентами. Душанбе. «Нодир». 2003. С. 76-79.

105. Ефимов A.B. О краевых задачах с операторами М. Сайго для уравнения смешанного типа с дробной производной // Вестник СамГТУ. Серия «Физико-математические науки». Вып. 26. Самара. СамГТУ. 2004. С. 16-20.

106. Ефимов A.B. Задача со смещением для уравнения Бицадзе-Лыкова // Материалы десятой международной научной конференции им. академика М. Кравчука. Киев. НТУУ «КПИ». 2004. С. 105-107.

107. Ефимов A.B. О краевой задаче с обобщенными дробными операторами для гиперболического уравнения Бицадзе-Лыкова // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции. Т.1. Уфа. «Гилем». 2004. С. 136-142.